3-2运输问题表上作业法
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运输问题的求解方法(过程)——表上作业法的解题思路和原理、具体步骤。
运输问题的求解方法(过程)——表上作业法的解题思路和原理、具体步骤。
运输问题是一种常见的工业应用问题,涉及到如何安排运输工具和货物,以最小化总成本或最大化利润。
表上作业法(Tableau Programming)是解决运输问题的一种有效方法,其解题思路和原理、具体步骤如下:1. 确定问题的状态在表上作业法中,我们需要先确定问题的状态。
状态是指某个特定时间段内,某个运输问题需要满足的条件。
例如,在一个例子中,我们可以将运输问题的状态定义为“需要从A城市运输货物到B城市,运输工具数量为3,运输距离为100公里”。
2. 定义状态转移方程接下来,我们需要定义状态转移方程,以描述在不同状态下可能采取的行动。
例如,在这个问题中,我们可以定义一个状态转移方程,表示当运输工具数量为2时,货物可以运输到B城市,而运输距离为80公里。
3. 确定最优解一旦我们定义了状态转移方程,我们就可以计算出在不同状态下的最优解。
例如,在这个问题中,当运输工具数量为2时,货物可以运输到B城市,运输距离为80公里,总成本为200元。
因此,该状态下的最优解是运输距离为80公里,运输工具数量为2,总成本为200元。
4. 确定边界条件最后,我们需要确定边界条件,以确保问题的状态不会无限制地变化。
例如,在这个问题中,当运输工具数量为3时,运输距离为120公里,超过了B城市的运输距离范围。
因此,我们需要设置一个限制条件,以确保运输工具数量不超过3,且运输距离不超过120公里。
表上作业法是一种简单有效的解决运输问题的方法,其原理和具体步骤如下。
通过定义状态转移方程、确定最优解、确定边界条件,我们可以计算出问题的最优解,从而实现最小化总成本和最大化利润的目标。
[物流管理]表上作业法
![[物流管理]表上作业法](https://img.taocdn.com/s3/m/3bd49cf75ff7ba0d4a7302768e9951e79b89690e.png)
表上作业法什么是表上作业法表上作业法是指用列表的方法求解线性规划问题中运输模型的计算方法。
是线性规划一种求解方法。
当某些线性规划问题采用图上作业法难以进行直观求解时，就可以将各元素列成相关表，作为初始方案，然后采用检验数来验证这个方案，否则就要采用闭合回路法、位势法等方法进行调整，直至得到满意的结果。
这种列表求解方法就是表上作业法。
表上作业法的步骤1、找出初始基本可行解（初始调运方案，一般m+n-1个数字格），用西北角法、最小元素法；（1）西北角法：从西北角（左上角）格开始，在格内的右下角标上允许取得的最大数。
然后按行（列）标下一格的数。
若某行（列）的产量（销量）已满足，则把该行（列）的其他格划去。
如此进行下去，直至得到一个基本可行解。
（2）最小元素法：从运价最小的格开始，在格内的右下角标上允许取得的最大数。
然后按运价从小到大顺序填数。
若某行（列）的产量（销量）已满足，则把该行（列）的其他格划去。
如此进行下去，直至得到一个基本可行解。
注:应用西北角法和最小元素法，每次填完数，都只划去一行或一列，只有最后一个元例外（同时划去一行和一列）。
当填上一个数后行、列同时饱和时，也应任意划去一行（列），在保留的列（行）中没被划去的格内标一个0。
2、求出各非基变量的检验数，判别是否达到最优解。
如果是停止计算，否则转入下一步，用位势法计算；运输问题的约束条件共有m+n个，其中：m是产地产量的限制；n是销地销量的限制。
其对偶问题也应有m+n个变量，据此：σij = c ij− (u i + v j) ,其中前m个计为,前n个计为由单纯形法可知，基变量的σij = 0c ij− (u i + v j) = 0因此u i,v j可以求出。
3、改进当前的基本可行解（确定换入、换出变量），用闭合回路法调整；（因为目标函数要求最小化）表格中有调运量的地方为基变量，空格处为非基变量。
基变量的检验数σij = 0，非基变量的检验数。
第二节运输问题求解表上作业法-精品文档
10
应用西北角法、最小元素法和 Vogel法，每次填完数，都只划去一 行或一列，只有最后一个元例外（同 时划去一行和一列）。当填上一个数 后行、列同时饱和时，也应任意划去 一行（列），在保留的列（行）中没 被划去的格内标一个0。
11
[例 3-2] 某食品公司下属的 A1、A2、 A3 ，3 个厂生产方便食品，要运输到 B1、 B2、B3、B4 ，4 个销售点，数据如下： 表1 B1 B2 A1 3 11 A2 1 9 A3 7 4 销量 bj 3 6 求最优运输方案。 B3 3 2 10 5 B4 产量 ai 10 7 8 4 5 9 6 20（产销平衡）
（1）西 北 角 法 B3 B4 10
产量 ai 7
8 2 5 3 6 6
4
9
销量 bj
3
6
5
20
14
（ 2） 最 小 元 素 法 B1 B2 A1 3 11
B3 3 4 10
B4
产 量 ai 7 3
A2
1 3
9
2 1
8
4
A3
7
4 6
10
5 3 5 6
9
销 量 bj
3
6
2015
（ 2） 最 小 元 素 法 B1 B2 A1 3 11
(4)若运输平衡表中所有的行与列均被 划去，则得到了一个初始基本可行解。否 则在剩下的运输平衡表中选下一个变量， 转(4)。
4
上述计算过程可用流程图描述如下
取未划去的单元格xij ,令 xij = min { ai , bj }
ai’ = ai - xij bj’ = bj - xij
否
ai’ = 0?
第二节 运输问题求解 —表上作业法
应用西北角法、最小元素法和 Vogel法，每次填完数，都只划去一 行或一列，只有最后一个元例外（同 时划去一行和一列）。当填上一个数 后行、列同时饱和时，也应任意划去 一行（列），在保留的列（行）中没 被划去的格内标一个0。
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[例 3-2] 某食品公司下属的 A1、A2、 A3 ，3 个厂生产方便食品，要运输到 B1、 B2、B3、B4 ，4 个销售点，数据如下： 表1 B1 B2 A1 3 11 A2 1 9 A3 7 4 销量 bj 3 6 求最优运输方案。 B3 3 2 10 5 B4 产量 ai 10 7 8 4 5 9 6 20（产销平衡）
（1）西 北 角 法 B3 B4 10
产量 ai 7
8 2 5 3 6 6
4
9
销量 bj
3
6
5
20
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（ 2） 最 小 元 素 法 B1 B2 A1 3 11
B3 3 4 10
B4
产 量 ai 7 3
A2
1 3
9
2 1
8
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A3
7
4 6
10
5 3 5 6
9
销 量 bj
3
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2015
（ 2） 最 小 元 素 法 B1 B2 A1 3 11
(4)若运输平衡表中所有的行与列均被 划去，则得到了一个初始基本可行解。否 则在剩下的运输平衡表中选下一个变量， 转(4)。
4
上述计算过程可用流程图描述如下
取未划去的单元格xij ,令 xij = min { ai , bj }
ai’ = ai - xij bj’ = bj - xij
否
ai’ = 0?
第二节 运输问题求解 —表上作业法
第二节运输问题求解表上作业法
2
即从 Ai 向 Bj 运最大量(使行或列在 允许的范围内尽量饱和，即使一个约 束方程得以满足),填入 xij 的相应位 置； (2) 从 ai 或 bj 中分别减去 xij 的值，即调整 Ai 的拥有量及 Bj 的需 求量；
3
(3) 若 ai = 0 ，则划去对应的行（把 拥有的量全部运走），若 bj = 0 则划去 对应的列（把需要的量全部运来），且每 次只划去一行或一列（即每次要去掉且只 去掉一个约束）；
—表上作业法
我们已经介绍过，可以通过增加虚 设产地或销地（加、减松弛变量）把问 题转换成产销平衡问题。
1.产量大于销量的情况
考虑 si > dj 的运输问题，得到的数学模 型为
i=1 j=1
39
m
n
2.运输问题求解
—表上作业法
Min f =
n m i=1 j=1
n
cij xij
s.t. xij si i = 1,2,…,m
10
应用西北角法、最小元素法和 Vogel法，每次填完数，都只划去一 行或一列，只有最后一个元例外（同 时划去一行和一列）。当填上一个数 后行、列同时饱和时，也应任意划去 一行（列），在保留的列（行）中没 被划去的格内标一个0。
11
表1
12
13
14
15
16
二、基本可行解的最优性检验
最优性检验就是检查所得到的方 案是不是最优方案。 检查的方法----计算检验数 由于目标要求极小，因此，当所 有的检验数都大于或等于零时该调运 方案就是最优方案；否则就不是最优， 需要进行调整。
第二节 运输问题求解 —表上作业法
运输问题的方法 —— 表上作业法： 1、确定一个初始基本可行解； 2 、根据最优性判别准则来检查这 个基本可行解是不是最优的。如果 是则计算结束；如果不是，则至3 3、换基，直至求出最优解为止。
即从 Ai 向 Bj 运最大量(使行或列在 允许的范围内尽量饱和，即使一个约 束方程得以满足),填入 xij 的相应位 置； (2) 从 ai 或 bj 中分别减去 xij 的值，即调整 Ai 的拥有量及 Bj 的需 求量；
3
(3) 若 ai = 0 ，则划去对应的行（把 拥有的量全部运走），若 bj = 0 则划去 对应的列（把需要的量全部运来），且每 次只划去一行或一列（即每次要去掉且只 去掉一个约束）；
—表上作业法
我们已经介绍过，可以通过增加虚 设产地或销地（加、减松弛变量）把问 题转换成产销平衡问题。
1.产量大于销量的情况
考虑 si > dj 的运输问题，得到的数学模 型为
i=1 j=1
39
m
n
2.运输问题求解
—表上作业法
Min f =
n m i=1 j=1
n
cij xij
s.t. xij si i = 1,2,…,m
10
应用西北角法、最小元素法和 Vogel法，每次填完数，都只划去一 行或一列，只有最后一个元例外（同 时划去一行和一列）。当填上一个数 后行、列同时饱和时，也应任意划去 一行（列），在保留的列（行）中没 被划去的格内标一个0。
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表1
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13
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15
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二、基本可行解的最优性检验
最优性检验就是检查所得到的方 案是不是最优方案。 检查的方法----计算检验数 由于目标要求极小，因此，当所 有的检验数都大于或等于零时该调运 方案就是最优方案；否则就不是最优， 需要进行调整。
第二节 运输问题求解 —表上作业法
运输问题的方法 —— 表上作业法： 1、确定一个初始基本可行解； 2 、根据最优性判别准则来检查这 个基本可行解是不是最优的。如果 是则计算结束；如果不是，则至3 3、换基，直至求出最优解为止。
运输问题的求解方法(过程)——表上作业法的解题思路和原理、具体步骤。
运输问题的求解方法(过程)——表上作业法的解题思路和原理、具体步骤。
运输问题是指在给定的供应地和需求地之间，选择最佳的运输方案，使总运输成本最低的问题。
表上作业法是一种常用的解决运输问题的方法，它基于线性规划的思想，通过逐步逼近最优解的方式来求解运输问题。
表上作业法的原理是将运输问题转化为一个线性规划问题，通过构建一个供需平衡表来描述运输问题。
在该表中，将供应地和需求地分别作为行和列，并在表中填入运输量的变量。
同时，引入一个辅助表来记录每个供应地和需求地的运输量。
具体的求解步骤如下：1. 构建供需平衡表：将给定的供应地和需求地以及对应的运输量填入表格中，并计算每个供应地和需求地的供应总量和需求总量。
2. 确定初始基本可行解：根据运输量的限制条件，确定一个初始的基本可行解。
可以选择将某些运输量设置为0，使得每个供应地和需求地都满足其供应总量和需求总量。
3. 计算单位运输成本：根据给定的运输成本，计算每个供应地和需求地之间的单位运输成本，填入表格中。
4. 判断最优解条件：检查当前的基本可行解是否满足最优解的条件。
如果每个供应地和需求地都满足其供应总量和需求总量，并且没有其他更低成本的运输方案，则当前解为最优解。
5. 迭代改进解：如果当前解不满足最优解的条件，则需要进行迭代改进。
在每一次迭代中，选择一个非基本变量（即非0运输量）进行改变，并计算改变后的基本可行解。
6. 更新供需平衡表和辅助表：根据改变后的基本可行解，更新供需平衡表和辅助表的运输量，并重新计算单位运输成本。
7. 重复步骤4-6，直到找到最优解为止。
通过以上的步骤，表上作业法能够有效地求解运输问题，并得到最优的运输方案。
它在实践中广泛应用于物流管理、供应链优化等领域，为运输问题的决策提供了科学的依据。
运输问题表上作业法
1、闭回路法
以确定了初始调运方案的作业表为基础，以 一个非基变量作为起始顶点，寻求闭回路。 该闭回路的特点是：除了起始顶点是非基变 量外，其他顶点均为基变量（对应着填上数值 的格）。
可以证明，如果对闭回路的方向不加区别，对 于每一个非基变量而言，以其为起点的闭回路 存在且唯一。
约定作为起始顶点的非基变量为偶数次顶点， 其它顶点从1开始顺次排列，那麽，该非基变 量xij的检验数：
（3）当作业表中所有的行或列均被划去，说明 所有的产量均已运到各个销地，需求全部满足， xij 的取值构成初始方案。否则，在作业表剩余 的格子中选择下一个决策变量，返回步骤（2）。
按照上述步骤产生的一组变量必定不构成 闭回路，其取值非负，且总数是m+n-1个， 因此构成运输问题的基本可行解。 对xij的选择采用不同的规则就形成各种不 同的方法，比如每次总是在作业表剩余的格 子中选择运价（或运距）最小者对应的xij ， 则构成最小元素法，若每次都选择左上角格 子 对应的xij 就形 成西北 角法（ 也称左 上角 法）。
产量 200 100 250 100
100 90 A1
X11 X12
X13
80 150 65 100 75
A2
销 量
X21
X22
X23
100
150
200 100
450
得到初始调运方案为： x11=100，x13=100，x22=150，x23=100
最小元素法实施步骤口诀 《运价表》上找最小，《平衡表》上定产销；
分别使用最小元素法和西北角法求出初 始方案。 & 最小元素法的基本思想是“就近供 应” ； & 西北角法则不考虑运距（或运价），每 次都选剩余表格的左上角（即西北角）元 素作为基变量，其它过程与最小元素法相 同；
运输问题_表上作业法
填入数字的格才能向左或右转90度（当然也
可以不改变方向）继续前进，这样继续下去，
直至回到出发的那个空格，由此形成的封闭
折线叫做闭合回路。一个空格存在唯一的闭
回路。
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运输问题_表上作业法
1.闭合回路
所谓闭合回路法，就是对于代表非基变量的 空格（其调运量为零），把它的调运量调整 为1，由于产销平衡的要求,我们必须对这个 空格的闭回路的顶点的调运量加上或减少1。 最后我们计算出由这些变化给整个运输方案 的总运输费带来的变化。如果所有代表非基 变量的空格的检验数也即非基变量的检验数 都大于等于零，则已求得最优解，否则继续 迭代找出最优解。
相抵后，总的运费增加了1个单位。由检验数的经济
含义可以知道，（A，甲）处单位运量调整所引起的
运费增量就是（A，甲）的检验数，即σ11=1。
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运输问题_表上作业法
仿照此步骤可以计算初始方案中所有空 格的检验数，表4-25～表4-30展示了各 检验数的计算过程，表4-30给出了最终 结果。可以证明，对初始方案中的每一 个空格来说“闭合回路存在且唯一”。
甲
乙
丙
A
B
C
•6
销量（bj） 3
6
5
•表4-14
甲 乙丙
A
3
11
3
B
1
9
2
C
7
4 10
两最小元素之差
•2 5
•1
丁
产量（ai）
7
4
9
6
丁 两最小元素之差
10
•0
8
•1
•5
•2
3
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运输问题_表上作业法
经济管理决策分析方法第六章2-运输问题-表上作业法
A B C
销量（bj）
3
6
5
6
第三步：在表4-5中再找出最小运价“3”， 这样一步步地进行下去，直到单位运价表上 的所有元素均被划去为止。
表4-6 A B C 销量（bj） 表4-7 甲 乙 甲 3 1 7 3 乙 11 9 4 6 丙 3 2 10 5 丙 4 1 6 6 3 5 6 丁 10 8 5 6 丁 3 产量（ai） 7 4 9
表上作业法
第一步 确定初始基可行解
与一般的线性规划不同，产销平衡的运输问
题一定具有可行解（同时也一定存在最优 解）。 最小元素法(the least cost rule)。
最小元素法
最小元素法的基本思想是就近供应，即从单位 运价表中最小的运价开始确定产销关系，依此 类推，一直到给出基本方案为止.
450
非基变量X12的检验数：
12 =（c12+c23）-（c13+c22）
=70+75-（100+65）=-20， 非基变量X21的检验数：
21 =（c +c ）-（c +c ） 21 13 11 23
=80+100-（90+75）=15。 经济含义：在保持产销平衡的条件下，该非 基变量增加一个单位运量而成为基变量时目 标函数值的变化量。
表4-30 A B
甲 11 = 1 3
31 = 10 3 销量（bj） C
乙 12 = 2 22 = 1 6 6
丙 4 1 33 = 12 5
丁 3
24 = -1 3 6
产量（ai） 7 4 9
表4-33 乙 12 = 2 22 = 1 6 31 = 10 3 6 销量（bj） A B C 表4-34 甲 乙 丙 4 1 丁 3
ch2第二节-表上作业法
§3.2 运输问题求解—表上作业法
由于运输问题系数矩阵的特殊性，如果直接使用线 性规划单纯形法求解计算，则无法利用这些有利条 件。人们在分析运输规划系数矩阵特征的基础上建 立了针对运输问题的表上作业法。 表上作业法: 建立在运输表上的求解运输问题的方法。
一、表上作业法求解思路（单纯形法完全类似）
基本可行解 是否最优解
表3-5中用虚线画出以非基变量 x22 为起始顶点的2 为起始顶点的闭回路 销地 产地 A1 A2 A3 销量
B1
3 [ ] 1
B2
11 [ ] 9
B3
3 4 2 3
B4
10 8
产量 7 4 9
20(产销平衡)
3
7 [ ] 3
[ ]
4 6 6
1
10 [ ] 5
12
练习
销地
产地 B1 B2 B3 B4 产量
A1
6
7
5
3
1
8 4 2
13
7
14
A2
2
5
13
9
12
10 6
27
A3 销量
19
22 13 12 13
19
2.西北角法（或左上角法）
此法是纯粹的人为的规定，没有理论依据和实际背景，但 它易操作，特别适合在计算机上编程计算，因而受欢迎。 方法如下：
3
4 2
3
闭回路及其顶点
在表3-3的决策变量格中，凡是能够排列成下列形式的 xab ,xac ,xdc ,xde ,…,xst ,xsb (3.3) 或 xab ,xcb ,xcd ,xed ,…,xst ,xat (3.4) 其中，a,d,…,s 各不相同；b,c,…,t 各不相同，我们称之为 变量集合的一个闭回路，并将式（3.3）、式（3.4）中的 变量称为这个闭回路的顶点。 例如，x13, x16, x36, x34, x24, x23 ；x23, x53, x55, x45, x41, x21 ； x11, x14, x34, x31等都是闭回路。若把闭回路的各变量格看作节 点，在表中可以画出如下形式 的闭回路：
由于运输问题系数矩阵的特殊性，如果直接使用线 性规划单纯形法求解计算，则无法利用这些有利条 件。人们在分析运输规划系数矩阵特征的基础上建 立了针对运输问题的表上作业法。 表上作业法: 建立在运输表上的求解运输问题的方法。
一、表上作业法求解思路（单纯形法完全类似）
基本可行解 是否最优解
表3-5中用虚线画出以非基变量 x22 为起始顶点的2 为起始顶点的闭回路 销地 产地 A1 A2 A3 销量
B1
3 [ ] 1
B2
11 [ ] 9
B3
3 4 2 3
B4
10 8
产量 7 4 9
20(产销平衡)
3
7 [ ] 3
[ ]
4 6 6
1
10 [ ] 5
12
练习
销地
产地 B1 B2 B3 B4 产量
A1
6
7
5
3
1
8 4 2
13
7
14
A2
2
5
13
9
12
10 6
27
A3 销量
19
22 13 12 13
19
2.西北角法（或左上角法）
此法是纯粹的人为的规定，没有理论依据和实际背景，但 它易操作，特别适合在计算机上编程计算，因而受欢迎。 方法如下：
3
4 2
3
闭回路及其顶点
在表3-3的决策变量格中，凡是能够排列成下列形式的 xab ,xac ,xdc ,xde ,…,xst ,xsb (3.3) 或 xab ,xcb ,xcd ,xed ,…,xst ,xat (3.4) 其中，a,d,…,s 各不相同；b,c,…,t 各不相同，我们称之为 变量集合的一个闭回路，并将式（3.3）、式（3.4）中的 变量称为这个闭回路的顶点。 例如，x13, x16, x36, x34, x24, x23 ；x23, x53, x55, x45, x41, x21 ； x11, x14, x34, x31等都是闭回路。若把闭回路的各变量格看作节 点，在表中可以画出如下形式 的闭回路：
管理运筹学讲义 第3章 运输问题(6学时)
m行 n行
... 1
其系数列向量的结构是：
A ij (0,..., 0,1, 0,..., 0,1, 0,..., 0) T , 除第i个和第（m j）个分量为 1外，其他分量全等于零。因此，运输问题具有以下特点： 约束条件系数矩阵的元素为0或1； 约束矩阵每一列都有两个非零元素，这对应于每一个变量在 前m个约束方程中出现一次，在后n个约束方程中出现一次。
Ai
Bj
表 3－ 5
B1 x11 C11 x21
B2 x12 C12 x22 C22 x31 x32 C32 b2
运价表（元/吨） B4 产量
A3
需要量
3 5 4 5
2 3 1 7
6 8 2 8
3 2 9 3
10 8 5 23
解:设xij ( i =1,2,3；j =1,2,3,4)为i个产粮地 运往第j个需求地的运量，这样得到下列运输问题的数 学模型：
Min z = 3x11+ 2x12+ 6x13+ 3x14+ 5x21+ 3x22+ 8x23+ 2x24 + 4x31+ x32+ 2x33+ 9x34 x11 x12 x13 x14 10 x11 x21 x31 5 x x x 7 12 22 32 x x x x 8 21 22 23 24 x13 x23 x33 8 x x x x 5 31 32 33 34 x14 x24 x34 3
下表中填有数字的格为基变量，它们对应的约束 方程组的系数列向量线型无关：
B1
4
B2
12
... 1
其系数列向量的结构是：
A ij (0,..., 0,1, 0,..., 0,1, 0,..., 0) T , 除第i个和第（m j）个分量为 1外，其他分量全等于零。因此，运输问题具有以下特点： 约束条件系数矩阵的元素为0或1； 约束矩阵每一列都有两个非零元素，这对应于每一个变量在 前m个约束方程中出现一次，在后n个约束方程中出现一次。
Ai
Bj
表 3－ 5
B1 x11 C11 x21
B2 x12 C12 x22 C22 x31 x32 C32 b2
运价表（元/吨） B4 产量
A3
需要量
3 5 4 5
2 3 1 7
6 8 2 8
3 2 9 3
10 8 5 23
解:设xij ( i =1,2,3；j =1,2,3,4)为i个产粮地 运往第j个需求地的运量，这样得到下列运输问题的数 学模型：
Min z = 3x11+ 2x12+ 6x13+ 3x14+ 5x21+ 3x22+ 8x23+ 2x24 + 4x31+ x32+ 2x33+ 9x34 x11 x12 x13 x14 10 x11 x21 x31 5 x x x 7 12 22 32 x x x x 8 21 22 23 24 x13 x23 x33 8 x x x x 5 31 32 33 34 x14 x24 x34 3
下表中填有数字的格为基变量，它们对应的约束 方程组的系数列向量线型无关：
B1
4
B2
12
管理运筹学
第三章 运输问题
3.1 运输问题的数学模型 3.2 表上作业法 3.3 不平衡的运输问题 3.4 运输问题的实际案例
概 述： 运输问题(The Transportation Problem, TP)是 运输问题 是 一类特殊而且极其典型的线性规划问题。 一类特殊而且极其典型的线性规划问题。 运输问题可用单纯形法来求解。 运输问题可用单纯形法来求解。由于运输问题 数学模型具有特殊的结构， 数学模型具有特殊的结构，存在一种更简便的 计算方法 表上作业法——实质仍是单纯形法。 实质仍是单纯形法。 表上作业法 实质仍是单纯形法 从运输问题的解决及表上作业法的理论解释， 从运输问题的解决及表上作业法的理论解释， 我们可更充分体会到单纯形法的魅力。 我们可更充分体会到单纯形法的魅力。
3.1 运输问题的数学模型
运输问题的数学模型； 运输问题的数学模型； 运输问题数学模型的特点； 运输问题数学模型的特点； 运输问题解的情况. 运输问题解的情况
一、运输问题的数学模型 1、实际案例 、 设某种物资有3个产地 设某种物资有 个产地 A1，A2，A3， 生产量分别 个销地B 为9，5，7;有4个销地 1，B2，B3，B4 ，销售量分 ， ， 有 个销地 别为3， ， ， 已知从 已知从A 别为 ，8，4，6 ;已知从 i到Bj 物资的单位运价见 下表。求总运费最小的调运方案。 下表。求总运费最小的调运方案。 B1 A1 A2 A3 销量 2 1 8 3 B2 9 3 4 8 B3 10 4 2 4 B4 7 2 5 6 产量 9 5 7
x11 x12 x1n 1 1 1 D= Ａ= 1 1 1
x21 x22 x2n ... xm1 xm2 xmn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
a1 a2 am b 1 b2 bn
3.1 运输问题的数学模型 3.2 表上作业法 3.3 不平衡的运输问题 3.4 运输问题的实际案例
概 述： 运输问题(The Transportation Problem, TP)是 运输问题 是 一类特殊而且极其典型的线性规划问题。 一类特殊而且极其典型的线性规划问题。 运输问题可用单纯形法来求解。 运输问题可用单纯形法来求解。由于运输问题 数学模型具有特殊的结构， 数学模型具有特殊的结构，存在一种更简便的 计算方法 表上作业法——实质仍是单纯形法。 实质仍是单纯形法。 表上作业法 实质仍是单纯形法 从运输问题的解决及表上作业法的理论解释， 从运输问题的解决及表上作业法的理论解释， 我们可更充分体会到单纯形法的魅力。 我们可更充分体会到单纯形法的魅力。
3.1 运输问题的数学模型
运输问题的数学模型； 运输问题的数学模型； 运输问题数学模型的特点； 运输问题数学模型的特点； 运输问题解的情况. 运输问题解的情况
一、运输问题的数学模型 1、实际案例 、 设某种物资有3个产地 设某种物资有 个产地 A1，A2，A3， 生产量分别 个销地B 为9，5，7;有4个销地 1，B2，B3，B4 ，销售量分 ， ， 有 个销地 别为3， ， ， 已知从 已知从A 别为 ，8，4，6 ;已知从 i到Bj 物资的单位运价见 下表。求总运费最小的调运方案。 下表。求总运费最小的调运方案。 B1 A1 A2 A3 销量 2 1 8 3 B2 9 3 4 8 B3 10 4 2 4 B4 7 2 5 6 产量 9 5 7
x11 x12 x1n 1 1 1 D= Ａ= 1 1 1
x21 x22 x2n ... xm1 xm2 xmn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
a1 a2 am b 1 b2 bn
运输问题的模型及表上作业法
04
CATALOGUE
表上作业法的实际应用
货物调运问题
总结词
货物调运问题是指如何合理安排货物的运输 ，以最小化运输成本。
详细描述
在货物调运问题中，需要考虑货物的来源、 目的地、运输方式、运输距离和运输成本等 因素。通过表上作业法，可以找到最优的运
输方案，使得总运输成本最低。
车辆调度问题
总结词
车辆调度问题是指如何合理安排车辆的运行，以最小化车辆的空驶和等待时间。
资源限制
运输问题的资源限制包括供应量 、需求量、运输能力等，这些限 制条件要求在运输过程中不能超 过资源的最大供应或需求量。
距离限制
运输问题的距离限制通常以运输 距离或运输时间为标准，要求在 运输过程中尽量缩短距离或时间 。
质量限制
在某些情况下，运输问题的质量 限制包括货物的质量、运输工具 的质量等，要求在运输过程中保 证货物的质量和运输工具的安全 。
02
CATALOGUE
运输问题的数学模型
变量与参数
变量
表示各供应地应向各需求地运输的货物量。
参数
包括各供应地的供应量、各需求地的需求量、各供应地到各需求地的单位运输费用和各货物的单位运 价。
目标函数
• 最小化总费用：目标是找到一组 运输方案，使得总运输费用最小 。
约束条件
供需平衡约束
每个供应地的供应量等于其对应需求地的需求量。
运输问题的模型及 表上作业法
contents
目录
• 运输问题概述 • 运输问题的数学模型 • 表上作业法 • 表上作业法的实际应用 • 表上作业法的优化与改进
01
CATALOGUE运输问题概述Fra bibliotek定义与特性
管理运筹学 第3章 运输问题
运费 销地 单价 产地 A1 A2 销量
B1
B2
B3
产量 (件) 200 300
6 6 150
4 5 150
6 5 200
设xij表示从产地Ai调运到Bj的运输量(i=1,2;j=1,2,3)
Min f=6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+5x22+ 5x23
x11+ x12+ x13=200 x21+ x22+ x23=300 x11+ x21=150 x12+ x22=150 x13+ x23=200 xij ≥0
运输 销地 单价 产地 1 2 3 4 销量
1
2
3
4
D
产量
10.8 M M M 10
10.95 11.10 11.25 11.10 11.25 11.40 M M 15 11.00 11.15 M 25 11.30 20
0 0 0 0 30
25 35 30 10 100 100
练习: 1. 某公司有甲乙丙丁四个分厂生产同一种产 品,产量为300、500、400、100吨,供应6个地区的 需要,需要量分别为300、250、350、200、250,150 吨.由于原料、工艺和技术的差别,各厂每千克产 品的成本分别为1.3元、1.4元、1.35元、1.5元,各 地区销售价分别为2.0、 2.2、1.9、2.1、1.8、2.3 元.已知各厂运往各销售地区每千克运价 如下表, 从上面知销大于产,如果要求第一第二个销地 至 少供应150吨,第五个销地的需求要必须全部满足, 第三、第四,第六个销地只要求供应量不超过 需 求量.试确定 一个运输方案使公司获利最多.
运筹学运输问题表上作业法资料
4
3
3
10
7
1
9
2
3
1
84
7
4
6
10
5
3
9
36
56
34
31 Z
cij xij 3 4 10 3 1 3 21 4 6 5 3 86
i1 j1
最小元素法的优劣？
也很简单哦
最优解可望，但还 是有一定距离的
32
伏格尔法
A1 A2 A3 销量
B1 B2 B3 B4 产量
3
11
3
10 7
D
M
0
M 0M 0
根据表上作业法计算，可以求得这个问题的最优方案
需 求 地 区 Ⅰ Ⅰ’ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅳ’
利润
产地
Ⅰ
10 5 6 7 250
Ⅱ
8 2 7 6 250
Ⅲ
9 3 4 8 500
销量 150 200 300 350
“总利润最大”而不是“运费最小”，“最小元素”怎么找？
38
闭回路 法
最优性 检验
位势法
39
最优性检验——闭回路法
表示什么？
每个空格都能找到闭回路 吗？有的话，是否唯一？
运筹学
李细霞 2013物流工程1班 2014~2015学年第二学期
课程主要内容
绪论
线性规划及 单纯形法
对偶理论与 灵敏度分析
目标规划
整数规划
运输问题
动态规划
图与网络
第三章 运输问题
Transportation problem
3
学习目标
什么是运 输问题？
复杂运输 问题
如何解决运 输问题？
3
3
10
7
1
9
2
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31 Z
cij xij 3 4 10 3 1 3 21 4 6 5 3 86
i1 j1
最小元素法的优劣？
也很简单哦
最优解可望，但还 是有一定距离的
32
伏格尔法
A1 A2 A3 销量
B1 B2 B3 B4 产量
3
11
3
10 7
D
M
0
M 0M 0
根据表上作业法计算，可以求得这个问题的最优方案
需 求 地 区 Ⅰ Ⅰ’ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅳ’
利润
产地
Ⅰ
10 5 6 7 250
Ⅱ
8 2 7 6 250
Ⅲ
9 3 4 8 500
销量 150 200 300 350
“总利润最大”而不是“运费最小”，“最小元素”怎么找？
38
闭回路 法
最优性 检验
位势法
39
最优性检验——闭回路法
表示什么？
每个空格都能找到闭回路 吗？有的话，是否唯一？
运筹学
李细霞 2013物流工程1班 2014~2015学年第二学期
课程主要内容
绪论
线性规划及 单纯形法
对偶理论与 灵敏度分析
目标规划
整数规划
运输问题
动态规划
图与网络
第三章 运输问题
Transportation problem
3
学习目标
什么是运 输问题？
复杂运输 问题
如何解决运 输问题？
运输问题的表上作业法的一个解释
运输问题的表上作业法的一个解释
运输问题的表上作业法，也称作基于选表法或表上方法，是一种分配类型的技术，它是用来求解类似运输问题的一种技术。
这类问题是在现实生活和技术领域中经常被遇到的，它要求将一定数量的物品从某一个地方运输到另一个地方，或者将某种资源从一个地方运输到另一个地方，再或者将某种物品从一个地方运输到多个地方，例如从苹果在北京的仓库运输到上海的几家超市。
与其他分配类型的技术相比，运输问题的表上作业法的优势在于，它可以给出最优的解决方案，而且这种解决方案可以在较短的时间内获得。
它的基本思路是，首先将数据输入到一个表格，如仓库和超市之间的距离或运输成本，然后用一个“对换”算法对表格进行优化，不断“对换”表格中直接相连的数值，使得解决方案到达最优状态，达到最优化。
首先，将运输问题用表格表示，表格中每一行表示从某一出发地到一定目的地的运输距离或运输费用，每一列表示从一定出发地到某一目的地的运输距离或运输费用。
然后，用“费用减少法”对表格进行优化，不断比较当前状态下两点之间的运输成本，如果当前状态下两点之间的运输成本比较大，则以更小的运输成本替换，从而达到最优解。
经过一定的步骤，即可得到运输问题的最优解，计算完成后可得出最小的运输成本，而且可以把最小的运输成本显示出来，使用户能
够清楚明白。
此外，表上作业法在实际应用中还有其他优势，它比较容易实现，只要将数据输入到表格中，即可完成优化，而且计算时间较短。
有时候，表上作业法也可以用来解决更复杂的问题，如经营决策问题、联盟问题和设备调度问题。
总之，运输问题的表上作业法是一种有效的配类型的技术，它可以帮助人们在短时间内得到最优解，最小化运输成本，应用范围也比较广泛，非常适合求解类似运输问题的技术。
管理运筹学运输问题之表上作业法课件
扩展适用范围
进一步扩展表上作业法的适用范 围，使其能够处理更多类型的运 输问题，包括带有特殊约束条件 的运输问题。
引入现代信息技术
利用现代信息技术，如大数据和 云计算等，提高表上作业法的计 算效率和精度，以满足实际应用 的需求。
THANKS
感谢您的观看
的优化配置。
应用实例二：农产品运输问题
总结词
多约束优化问题
详细描述
农产品运输问题需要考虑时间、保鲜度、运 输量等多种约束条件，要求在满足需求的前 提下，实现运输成本和损耗的最小化。表上 作业法可以通过多目标优化算法，综合考虑 各种约束条件，制定最优的农产品运输方案
。
应用实例三：城市物流配送问题
要点一
在迭代过程中，需要有一个判断准则来确定何时停止迭代并输出最优解。常用的判断准则包括最大最 小准则和最小最大准则。
迭代求解
根据判断准则，通过不断调整运输方案，使目标函数（通常是总运输费用最小）逐渐逼近最优解。在 每次迭代中，需要检查运输方案的可行性，并更新基可行解。
终止阶段：确定最优解并输出结果
确定最优解
03
表上作业法原理
表上作业法的定义与步骤
在此添加您的文本17字
定义：表上作业法是一种求解运输问题的线性规划方法， 通过在运输表上逐行计算和调整，最终找到最优解。
在此添加您的文本16字
步骤
在此添加您的文本16字
1. 建立初始运输方案；
在此添加您的文本16字
2. 检查运输方案的可行性；
在此添加您的文本16字
确定单位运输成本
根据运输距离、运输方式等因素确定单位运输成本。
建立数学模型
根据供求关系、运输能力限制等因素建立线性规划模型。
运输问题的求解方法
B1
方案 2 方案 1
B2
方案 2 方案 1
B3
方案 2 方案 1
B4
方案 2
发量 （吨）
A1 A2 A3 A4
收量（吨）
50 20 10
45 15 20 10 10 10 20 80 10 30
5 5
50 20 30
20
50 50
50
70 170
对于第一个方案运行的总吨公里是 f ( x) = 50 × (66 + 52) + 20 × 52 + 10 × 71 + 10 × 85 + 10 × (71 + 45) + 20 × 120 + 50 × 150 = 19560(吨公里) 对于第二个方案运行的总吨公里是
170
图 3-7
调运的数量写在箭头的旁边，并把同方向的两个流向合并成一个。 再看 B2 → A3 →B1 支线， A3 需调出 30 吨， B2 需调入 10 吨，本着先平衡支线的原则， 从 A3 调给 B2 10 吨余下 20 吨须调给其他的地方。由于自 A3 调出时必经过 B1 ，而 B1 还需 10 吨，因此从 A3 调给 A110 吨，余下 10 吨调给另外地方。
供应， A4 余下的 50 吨全部给 B4 。这样最后得到的流向图（如图 3-8） 。 图 3-8 所示的流向图既无对流，又无迂回，所以它是最优流向图，对应的方案是最 好方案。 相应于该流向图的调运方案显然不是唯一的， 现在给出两个调运方案， 如表 3-2 所示。 表 3-2
方 发 点 收 案 点 方案 1
B2 头来表示流向， 10 85 A3 30 A1 50 66 A2 20 58 71 B1 80 45 B3 30 120 A4 70 150 B4 50
相关主题
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表（a）
表（b）
表（c）
三、最优性检验
检查当前调运方案是不是最优方 案的过程就是最优性检验。检查的 方法：计算非基变量（未填上数值 的格，即空格）的检验数（也称为 空格的检验数），若全部大于等于 零，则该方案就是最优调运方案， 否则就应进行调整。
1、闭回路法
以确定了初始调运方案的作业表为基础，以 一个非基变量作为起始顶点，寻求闭回路。 该闭回路的特点是：除了起始顶点是非基变 量外，其他顶点均为基变量（对应着填上数值 的格）。
否
改进调整 （换基迭代）
最优方案
图3-1 运输问题求解思路图
二、 初始方案的确定
1、作业表（产销平衡表）
初始方案就是初始基本可行解。 将运输问题的有关信息表和决策变量——调 运量结合在一起构成“作业表”（产销平衡 表）。
表3-3是两个产地、三个销地的运输问题作业表。
表3-3 运输问题作业表（产销平衡表）
给定自由变量一个值，解方程组式（3-7）， 即可求得位势变量的一组值， 在 式 （ 3-7 ） 中 ， 令 u1=0 ， 则 可 解 得 v1=90 ， v3=100，u2=-25，v2=90，于是 σ12=c12-（u1+v2）=70-（0+90）=-20 σ21=c21-（u2+v1）=80-（-25+90）=15
调 运 量 产地 销地 B1
B2
B3 70 100 100
产量 200 250
100 90 A1
X11
A2
销 量
X13 + X12 80 150 65 100 75 X21 X23 + - X22 100 150 200
450
计算调整量：ε=Min（100，150）=100。 按照下面的方法调整调运量：
相应的最小总运输量为：
Zmin=90×50+70×150+80×50+75×200
=34000（吨公里）
课后习题1 求下列运输问题的最优解
退化问题的处理
保证基变量的个数为m+n-1
Boston Chicago St. Louis Lexington 供应量 Cleveland 3 2 7 6 5,000
例3-2初始调运方案中以X12(X21)为起点的闭回路
调 运 量 产地 销地 B1
B2
B3 70 100 100
产量 200 250
100 90 A1
X11 X12
X13
80 150 65 100 75
A2
销 量
X21
X22
X23
100
150
200 450
非基变量X12的检验数：
12 =（c12+c23）-（c13+c22）
B2 70
B3 100
X13
产量 200 100 250 200
100 90 100
A1
X11 X12
80
A2
销 量
X21
50 65 X22
200 75
X23
100
150 50
200 450
得到初始调运方案为： x11=100，x12=100，x22=50，x23=200 分别判别表（a）、（b）、（c） 所给出的调运方案可否作为表上作业 法求解时的初始方案，为什么？
v3
方程组的特点：
方程个数是m+n-1=2+3-1=4个，位势变量共 有m+n=2+3=5个，通常称ui为第i行的位势，称 vj为第j列的位势；
初始方案的每一个基变量xij对应一个方程— —-—所在行和列对应的位势变量之和等于该基 变量对应的运距（或运价）：ui+vj=cij；
方程组恰有一个自由变量，可以证明方程 组中任意一个变量均可取作自由变量。
闭回路上，奇数次顶点的调运量减去ε，偶数 次顶点（包括起始顶点）的调运量加上ε；闭 回路之外的变量调运量不变。
得到新的调运方案：
调
运
销地
量 B1
B2 100 70
X12
B3 100
X13
产量 200 250
产地
100 90 A1 A2
销 量
X11
80
X21
50
X22
65 200 75
X23
100
3、举例
例3-2 甲、乙两个煤矿供应A、B、C 三个城市用煤，各煤矿产量及各城 市需煤量、各煤矿到各城市的运输 距离见表3-4，求使总运输量最少的 调运方案。
表3-4
运距 煤矿 甲 乙 日销量 （需求量） 90 80 100 城市
例3-2有关信息表
A B C
日产量 （供应量）
70 65 150
100 75 200
供过于求的处理
销售商 供应商 甲 乙 丙 需求量(吨) A 3 7 2 6,000 B 2 5 5 4,000 C 7 2 4 2,000 D 6 3 5 1,500 生产能力 (吨) 5,000 6,000 4,500
销售商 供应商 甲 乙 丙 需求量 (吨)
A 3 7 2 6,000
B 2 5 5 4,000
Max w = si u i d j v j
i 1 j1
m
n
st.
u i v j cij i = 1,2,, m; j 1,2,, n
u i , v j 无约束 i = 1,2,, m; j = 1,, n
对偶变量 xij
原问题检验数： σ ij=cij-(ui+vj)
检验数：目标函数的系数减去对偶变量之和
Min z = cijxij
i 1 j1
m
n
st. 供应：
x
j1
n
ij
si
对偶变量 ui
i = 1,2,, m
需求：
x
i 1
m
ij
dj
对偶变量 vj
j = 1,2,, n
x ij 0, i = 1,2,, m; j = 1,, n
四、方案调整
当至少有一个非基变量的检验数是负值时， 说明作业表上当前的调运方案不是最优的，应 进行调整。
若检验数σij 小于零，则首先在作业表上以xij 为起始变量作出闭回路，并求出调整量ε：
ε=min{该闭回路中奇数次顶点调运量xij}
ij
继续上例，因σ12=-20 ，画出以x12为起始变量的闭回 路
（3-7）
例3-2初始调运方案位势变量对应表
调 运 量 产地 销地 B1
B2
B3 70 100 100
产 量 200 250 450
位势 变量 ui
100 90
A1
A2
销 量 位势变量vj
X11
X21
X12
X22
X13
X23
u1 u2
80 150 65 100 75 100 150 200
v1
v2
2、确定初始方案的步骤：
（1）选择一个xij，令xij= min{ai，bj}=
第 a 第i个产地的产量全部运到 j个销地 i b 满足第j个销地需求 j
将具体数值填入xij在表中的位置；
（2）调整产销剩余数量：从ai 和bj 中分别减去 xij的值，若ai-xij=0，则划去产地Ai所在的行，即 该产地产量已全部运出无剩余，而销地Bj 尚有 需求缺口bj-ai ；若bj-xij =0，则划去销地Bj 所在 的列，说明该销地需求已得到满足，而产地Ai 尚有存余量ai-bj；
3.2 运输问题的表上作业法
一、表上作业法的基本思想是:先设法给出 一个初始方案,然后根据确定的判别准则对初 始方案进行检查、调整、改进，直至求出最 优方案，如图3-1所示。 表上作业法和单纯形法的求解思想完全一致， 但是具体作法更加简捷。
确定初始方案 ( 初 始 基本可行解)
判定是否 最 优？
是 结 束
i=1,2,……m; j=1,2,……n
特别对于m+n-1个基变量，有
λij=cij-(ui+vj)=0
2、位势法
以例3-2初始调运方案为例，设置位势变 量 u i 和 v j ，在初始调运方案表的基础上 增加一行和一列（见下页表格）。 然后构造下面的方程组：
u1 v1 c11 90 u v c 100 1 3 13 u 2 v 2 c 22 65 u 2 v3 c 23 75
5000 0
Bedford York 需求量
0
7 2 5,000
5 5 4,
2 4 2,000
3 5 2,500
6,000 2,500
3.3运输问题的推广
一、产销不平衡的运输问题 供大于求 供不应求
增加虚拟销地 增加虚拟产地
转化
产销平衡的运输问题
对应的运距（或运价） ？
非平衡问题的处理
----转换为平衡问题
C 7 2 4 2,000
D 6 3 5 1,500
E 0 0 0 2000
生产能力 (吨) 5,000 6,000 4,500
供不应求的处理
销售商 供应商 甲 乙 丙 需求量(吨)
销售商 供应商 甲 乙 丙 丁 需求量 (吨)
=70+75-（100+65）=-20， 非基变量X21的检验数：
21 =（c +c ）-（c +c ） 21 13 11 23
=80+100-（90+75）=15。 经济含义：在保持产销平衡的条件下，该非 基变量增加一个单位运量而成为基变量时目 标函数值的变化量。
2.运输问题的特殊解法 ——位势方法