量子力学门福殿近似方法习题解

第五章 近似方法1．一维无限深势阱宽度为a ，其势能函数为(0,)()0(0/4,3/4)(/43/4)x x a U x x a a x a K a x a ∞<>⎧⎪=≤≤≤≤⎨⎪≤≤⎩K 是个很小的常数，把此势阱中的粒子看成是受到微扰的一维无限深势阱中的粒子，求其能量和波函数的一级近似。

解：无微扰时的本征函数为(0)()(1,2,)n n x x n aπψ== 对应的能量本征值为：222(0)22nn E aπμ= 能量的一级修正为：3/43/4(1)'(0)*(0)220/4/422ˆ'd sin d sin aa a nnnnn a a n x K n x E H H x K x dxa a a aππψψ====⎰⎰⎰3/43/4/4/421c o s 223c o s [s i n s i n ]222222a a a a n x K K K n x K K n n a dx dx a a a n πππππ-==-=--⎰⎰ 12/2((1)(2n K n K Kn n π-⎧⎪=⎨+-⎪⎩为偶数时）为奇数时)波函数的一级修正：'(1)(0)(0)(0)mn nm m n n mH E E ψψ≠=-∑ 现在来求：'mn H3/43/4'(0)*(0)0/4/422ˆ'd sin sin d sin sin aa a mnmn a a m x n x K m x n x H H x K x dx a a a a a a ππππψψ===⎰⎰⎰3/43/4/4/421()()()()[cos cos ][cos cos ]2a a a a K m n x m n x K m n x m n x dx dx a a a a a aππππ-+-+=-=-⎰⎰3/4/4()()[sin sin ]|()()a a K a m n x a m n x a m n a m n aππππ-+=--+ 3()()3()(){sin sin }{sin sin }()44()44K m n m n K m n m n m n m n ππππππ--++=----+2()()2()()cos sin cos sin()24()24K m n m n K m n m n m n m n ππππππ--++=--+ 将此式代入上式可得波函数的一级修正2．一维无限深势阱（a x <<0）中的粒子受到微扰：⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<=)0()1(2)20(2)(/a x a xax a xx H λλ 的作用，求基态能量的一级修正。

解：本题是一维非简并问题，无微扰时的能量本征函数(0)n n xaπψ=（1） 能量本征值 222(0)22nn Ea πμ= （2） 对基态1n =，计算能量的一级修正量时，因微扰/H 是分段连续的，因而要求两个积分式的和/*/*/222200002222022222sin ()sin (2)222{(1cos )(1cos )()}(3)a a aa a a a a a x x x x H H dx H dx dx dxa a a a a a x xxdx a x dx a a a πλπλψψψψλλππ=+=+-=-+--⎰⎰⎰⎰⎰⎰利用定积分公式：px ppx p x px x xcos 1sin cos 2+=⎰ （4） 代入（3）；得 )221(2/11)1(11πλ+==H E附带地指出：对于本题的粒子的激发态能量的一级修正量计算，可以用同样步骤得到，第K 个激发态的一级修正：(1)22022222{(1cos )(1cos )()}11{[1(1)]()}2a a a kkk k x k x Exdx a x dx a a a k λππλπ=-+--=+--⎰⎰3．一个粒子在二维无限深势阱 ⎩⎨⎧∞<<=其它地方）与()0(0),(a y x y x V中运动，设加上微扰xy H λ=' ),0(a y x ≤≤求基态及第一激发态的能量修正。

[解]二维无限深势阱的定解与一维相类似，因为x,y 方向运动是独立的，能量的零级本征函数是两个一维无限深势阱波函数乘积：y k x k C y x k k 21)0(s i n s i n ),(21=ψ 式中21,k k 是指波数，阱壁的约束条件即周期性边界条件是： ),3,2,1,(21 ===n m an k am k ππ因而零级本征函数可用m,n 表示： )2(sin sin ),()0(aC ayn a x m C y x mn ==ππψ （1）粒子总能量)0(mn E 则可设 2222)0(2a m Em μπ =，2222)0(2a n E n μπ =， )0()0()0(n m mn E E E +=或 )(222222)0()0(n m aEEmn+==μπ （2） 可见波函数是高度简并的（L.Pauling.E.B Wilson;Introduction to Quantum Mechanics 1951.P98~P100）, 本题不讨论其简并度的公式。

但基态（m=1，n=1能级最低的二维运动）是没有简并的。

(基态能量一级修正量)；这时 xydxdy axaxa H x y λππ⋅=⎰⎰222'11sin sin 4ydy a yxdx a x a y x )2cos 1()2cos 1(002⎰⎰∞=∞=-⨯-=ππλ（3）利用定积分公式：px ppx p x pxdx x xcos 1sin cos 2⎰+=（4） 或者： px ppx p x x pxdx x x 2cos 812sin 44sin 222--=⎰ （5）代入（3）aaa ya a y ay y a x a a x ax x x a H 022202222'112cos 42sin 222cos 42sin 2ππππππππλ--⋅--=42a λ=（第一激发态一级能量修正量）：第一激发能态是指m=1,n=2,和m=2,n=1的二重简并态，这时的简并能级是： 22222)0(2,12)12(aEμπ += (6) 简并的能量本征函数有二个： a y a x a ππψsin 2sin 2)0(1=a ya x a ππψ2sinsin 2)0(2= 我们用简并态微扰法求能级，设有微扰后的零能级本征函数是 )0(212)0(111)0(1ψψϕc c +=)0(222)0(121)0(21ψψϕc c +=代入有微扰的能量本征方程式：⎩⎨⎧++=++++=++))(())('ˆˆ())(())('ˆˆ()0(222)0(121)0()0(1)0(222)0(1210)0(212)0(111)1()0(1)0(212)0(1110ψψλψψλψψλψψλc c E E c c H H c c E E c c H H 约去相等项，利用的正交归一性，可得的线形方程组：⎩⎨⎧=-+=+-)8(0)()7(0)(22)1('22'212112'1211)1('11c E H H C c H c E H 由两式得到非平凡解的条件：0)1('22'21'12)1('11=--EH H H E H （9） 现在分别计算所需的矩阵元；积分公式可以用（4）或者（5） ⎰⎰*=x yx y d x dy H λψψ)0(1)0(1'11 4sin 2sin 42222a ydy a y xdx a x a yx λππλ==⎰⎰ ⎰⎰*=x yx y d x d y H λψψ)0(1)0(1'12 （10） ⎰⎰=yx ydy a ya y xdx a x a x a ππππλ2sin sin sin 2sin 42 ydy a ya y xdx a x a nx aa y ax )3cos (cos )3cos (cos002πππλ-⋅-=⎰⎰== 22})3cos(cos {xdx a xa x aππλ-=⎰ 2022222}3cos 93sin 3cossin{aa x a a x ax axaaxaxaππππππππλ--+=4281256πλa ⋅= （11） '11'22H H =代入久期方程式（9）得到：422)1(1812564πλλa a E+= 422)1(2812564πλλa a E -= （12）零级波函数的决定可以用)1(1E 先代入方程式（7）或（8），伴同正交归一化条件 1212211=+c c 可求得11c ，12c)0(212)0(111)0(1ψψϕc c +=再用)1(2E 代入（8），伴同可求得21c ，22c 。

)0(222)0(121)0(2ψψϕc c +=4．一维谐振子的哈密顿为22220212-Kx dx d H +=μ假设它处在基态，若在加上一个弹性力作用H ’=1/2 bx 2，试用微扰论计算H’对能量的一级修正，并与严格解比较。

[解] 用非简并微扰法，计算微扰矩阵元：（质量记作μ）已知 )0(k ψ，能级 μKn E k)21()0(+=dx x x b x HEk k kkk)()()()()(020112ψψ⋅==⎰∞∞- 本题中μωK=，42μαK =（1） 引用习题（1）所用的谐振子递推公式： })2)(1()12()1({21)0(2)0()0(22)0(2+-+++++-=k k k k k k k k k xψψψαψ (2) 代入（1），再利用)0(k ψ 正交归一性。

)21(42)12(212)1(+=+=k K b b k E k μα （3） 再计算能量二级修正量，为此要计算指标不同的矩阵元1kn H ，用（2）式：})2)(1()12()1({4})2)(1()12()1({42,,2,2)0(22)0(2)0(21+-+-∞-∞=+++-++=+++++-=⎰n k n k n k n n n x k knn n n n n bdxn n n n n b Hδδδαψψψψα再利用谐振子零能级本征值公式 ω )21()0(+=n E n（但μωK=）∑≠-=kn n nk nk kE E H E)0()0(2)2(|| })2()1()2()1)(2({1642+--+--++=k k k k k k k k ab ωω ω4216)12(a b k +-= （4）因此用微扰法算得的，正确到二级修正值的能量是：)2(2)2()0(k k k k E E E E λλ++=ωω 4228)21(2)21()21(a b k a b k k +-+++= }821{)21(4222ωμμωωb b k -+⋅+= }821{)21(22Kb K b k -++=ω （5） 如果用严格的本征方程式求解，则本题中221'ˆbx H=和0ˆH 的势能2/2Kx 为同类项可以合并，哈氏算符为2/)(2ˆ2222x b K dxd H ++-=μ （6） 直接看出，它的严格的能级是：μωbK k k E k ++=+=)21(')21('}821{)21(22+-++=K b K b k ω （7） 与近似（5）比较，发现近似值的绝对误差是：22'16)21(Kb k E E E k k⋅+<-=∆ω 在基态的情形，可令0=k ，2232K b E ω <∆4．设非简谐振子的哈密顿量为：220222212ˆx d x d H μωμ+-= （β为常数）取 220220212ˆx dx d h H μωμ+-= ，2x H β='，试用定态微扰论求其能量及能量本征函数。