百校联盟2016年江苏省高考《考试大纲》调研卷理科数学(第一模拟) Word版含解析

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2016年普通高等学校招生统一考试数学卷(江苏卷) Word版含解析

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2016年高考江苏数学试题及答案(word解析版)

2016年高考江苏数学试题及答案(word解析版)2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,nx x x 的方差()2211ni i s x xn ==-∑，其中11n ii x x n ==∑．棱柱的体积V Sh =，其中S 是棱柱的底面积，h 是高．棱锥的体积13V Sh =，其中S 是棱锥的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．（1）【2016年江苏，1，5分】已知集合{}1,2,3,6A =-，{}|23B x x =-<<，则A B =_______．【答案】{}1,2-【解析】由交集的定义可得{}1,2A B =-．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．（2）【2016年江苏，2，5分】复数()()12i 3i z =+-，其中i 为虚数单位，则z 的实部是_______．【答案】5【解析】由复数乘法可得55i z =+，则则z 的实部是5．【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．（3）【2016年江苏，3，5分】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是_______．【答案】210【解析】2210c a b +，因此焦距为2210c =【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，比较基础（4）【2016年江苏，4，5分】已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是_______．【答案】0.1【解析】 5.1x =，()22222210.40.300.30.40.15s =++++=．【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用．（5）【2016年江苏，5，5分】函数232y x x =--的定义域是_______．【答案】[]3,1-【解析】2320x x --≥，解得31x -≤≤，因此定义域为[]3,1-．【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题．（6）【2016年江苏，6，5分】如图是一个算法的流程图，则输出a 的值是________．【答案】9【解析】,a b 的变化如下表：a1 5 9 b9 7 5 则输出时9a =．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．（7）【2016年江苏，7，5分】将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．【答案】56【解析】将先后两次点数记为(),x y ，则共有6636⨯=个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有()()()()()()4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6六种，则点数之和小于10共有30种，概率为305366=．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．（8）【2016年江苏，8，5分】已知{}na 是等差数列，nS 是其前n 项和．若2123a a +=-，510S =，则9a 的值是_______．【答案】20【解析】设公差为d ，则由题意可得()2113a a d ++=-，151010a d +=，解得14a =-，3d =，则948320a =-+⨯=．【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．（9）【2016年江苏，9，5分】定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是________．【答案】7【解析】画出函数图象草图，共7个交点．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象，作出函数sin 2y x =与cos y x =在区间[]0,3π上的图象是关键，属于中档题．（10）【2016年江苏，10，5分】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x ya b a b +=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是________． 6-11OyxFC BOyx原点A 到直线220x y +-=的距离，22541d -==+()22min45x y +=，图中B 点距离原点最远，B 点为240x y -+=与330x y --=交点，则()2,3B ，则()22max13x y +=．【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键．（13）【2016年江苏，13，5分】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，,E F 是AD 上两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是________．【答案】78【解析】令DF a =，DB b =，则DC b =-，2DE a =，3DA a =，则3BA a b =-，3CA a b =+，2BE a b =-，2CE a b =+，BF a b =-，CF a b =+，则229BA CA a b ⋅=-，22BF CF a b ⋅=-，224BE CE a b ⋅=-，由4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-可得2294a b -=，221a b -=-，因此22513,88a b ==，因此22451374888BE CE ab ⨯⋅=-=-=．【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档．（14）【2016年江苏，14，5分】在锐角三角形ABC 中，sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是_______．【答案】8【解析】由()()sin sin πsin sin cos cos sin A A B C B C B C =-=+=+，sin 2sin sin A B C =，可得sin cos cos sin 2sin sin B C B C B C +=（*），由三角形ABC 为锐角三角形，则cos 0,cos 0B C >>，在（*）式两侧同时除以cos cos B C 可得tan tan 2tan tan B C B C +=，又()()tan tan tan tan πtan 1tan tan B CA ABC B C+=--=-+=--(#)，则tan tan tan tan tan tan tan 1tan tan B C A B C B C B C+=-⨯-，由tan tan 2tan tan B C B C +=可得FE()22tan tan tan tan tan 1tan tan B C A B C B C=--，令tan tan B C t =，由,,A B C 为锐角可得tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>，由(#)得1tan tan 0B C -<，解得1t >，2222tan tan tan 111t A B C tt t=-=---， 221111124t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，由1t >则211104t t >-≥-，因此tan tan tan A B C 最小值为8，当且仅当2t =时取到等号，此时tan tan 4B C +=，tan tan 2B C =，解得tan 22,tan 22,tan 4B C A ===（或tan ,tan B C 互换），此时,,A B C 均为锐角．【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指．．．．定区域内．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（15）【2016年江苏，15，14分】在ABC △中，6AC =，4cos 5B =，π4C =．（1）求AB 的长；（2）求πcos 6A ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．解：（1）4cos 5B =，B 为三角形的内角，3sin 5B ∴=，sinC sin AB ACB=，6325=，即：52AB =（2）()cos cos sin sin cos cos A C B B C B C =-+=-，2cos A ∴=，又A 为三角形的内角，72sin A ∴=，π31726cos sin 62A A A -⎛⎫∴-=+=⎪⎝⎭【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于中档题．（16）【2016年江苏，16，14分】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,AB BC 的中点，点F 在侧棱1B B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥．求证：（1）直线//DE 平面11AC F ；（2）平面1B DE ⊥平面11AC F ．解：（1）,D E 为中点，DE ∴为ABC ∆的中位线，//DE AC ∴，又111ABC A B C-为棱柱，11//AC AC ∴11//DE AC ∴，又11AC ⊂平面11AC F ，且11DE AC F ⊄，//DE ∴平面11AC F ．（2）111ABC A B C -为直棱柱，1AA ∴⊥平面111A B C ，111AA AC ∴⊥，又1111AC A B ⊥，且1111AA A B A =，111,AA A B ⊂平面11AA B B ，11AC ∴⊥平面11AA B B ，又11//DE AC ，DE ∴⊥平面11AA B B ，又1A F ⊂平面11AA B B ，1DE A F ∴⊥，又11A F B D ⊥，1DE B D D =，且1,DE B D ⊂平面1B DE ，1A F ∴⊥平面1B DE ，又111A F AC F ⊂，∴平面1B DE ⊥平面11AC F ．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难答不大．（17）【2016年江苏，17，14分】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -（如图所示），并要求正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍．（1）若6m AB =，12m PO =，则仓库的容积是多少；（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，当1PO 为多少时，仓库的容积最大？解：（1）12m PO =，则18m OO =，1111231116224m 33P A B C D ABCD V S PO -⋅=⨯⨯==， 111123168288m ABCD A B C D ABCD V S OO -⋅=⨯==，111111113312m =P A B C D ABCD A B C D V VV --+=，故仓库O 1ODCD 1C 1B 1A FECBA C 1B 1A 1的容积为3312m ．（2）设1m PO x =，仓库的容积为()V x ，则14m OO x =，21136mAO x -，211236A B x -，()1111223331111272272224m 3333P A B C D ABCD V S PO x x x x x x -⋅=⨯-⨯=-=-=， 11112233172242888m ABCD A B C D ABCD V S OO x x x x -⋅=-⨯=-=，()()111111113332262428883120633=P A B C D ABCD A B C D V x V V x x x x x x x --+=-+-=-+<<，()()22'263122612V x x x =-+=--()06x <<，当(0,23x ∈时，()'0V x >，()V x 单调递增，当()23,6x ∈时，()'0V x <，()V x 单调递减，因此，当23x =时，()V x 取到最大值，即123m PO =时，仓库的容积最大．【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度中档．（18）【2016年江苏，18，16分】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：221214600x y x y +--+=及其上一点()2,4A ．（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程；（3）设点(),0T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围．解：（1）因为N 在直线6x =上，设()6,N n ，因为与x 轴相切，则圆N 为()()2226x y n n -+-=，0n >，又圆N 与圆M 外切，圆M ：()()226725x x -+-=，则yxO MA75n n -=+，解得1n =，即圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=．（2）由题意得25OA =2OAk = 设:2l y x b =+，则圆心M 到直线l 的距离21275521b b d -++==+则()2225252255b BC d +=-=-25BC =，即()25225255b +-=解得5b =或15b =-，即l ：25y x =+或215y x =-．（3）TA TP TQ +=，即TA TQ TP PQ =-=，即TA PQ =，()2224TA t =-+又10PQ ≤，即()222410t -+，解得2221,221t ⎡∈-+⎣，对于任意221,221t ⎡⎤∈-+⎣⎦，欲使TA PQ =，此时10TA ≤，只需要作直线TA 的平行线，使圆心到2254TA -，必然与圆交于P Q 、两点，此时TA PQ =，即TA PQ =，因此对于任意2221,221t ⎡∈-+⎣，均满足题意，综上2221,2221t ⎡∈-+⎣．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．（19）【2016年江苏，19，16分】已知函数()()0,0,1,1xxf x a b a b a b =+>>≠≠．（1）设2a =，12b =． ①求方程()2f x =的根；②若对于任意x ∈R ，不等式()()26f x mf x -≥恒成立，求实数m 的最大值；（2）若01a <<，1b >，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值．解：（1）①()122xxf x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()2f x =可得1222xx +=，则()222210x x-⨯+=，即()2210x-=，则21x=，0x =．②由题意得221122622xxxxm ⎛⎫++- ⎪⎝⎭≥恒成立，令122xxt =+，则由20x >可得12222x xt ⨯=≥，此时226tmt --≥恒成立，即244t m t t t+=+≤恒成立∵2t ≥时444t t t t+⋅=≥，当且仅当2t =时等号成立，因此实数m 的最大值为4．（2）()()22xxg x f x a b =-=+-，()ln 'ln ln ln ln xxxxa b g x a a b b a b b a ⎡⎤⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由01a <<，1b >可得1b a>，令()ln ln xb ah x a b⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()h x 递增，而ln 0,ln 0a b <>，因此0ln log ln b a a x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时()00h x =，因此()0,x x ∈-∞时，()0h x <，ln 0xa b >，则()'0g x <；()0,x x ∈+∞时，()0h x >，ln 0xa b >，则()'0g x >；则()g x 在()0,x -∞递减，()0,x +∞递增，因此()g x 最小值为()0g x ，① 若()00g x <，log 2ax <时，log 22a xa a >=，0xb >，则()0g x >；x >log b 2时，0x a >，log 22b xb b>=，则()0g x >；因此1log 2a x <且10x x <时，()10g x >，因此()g x 在()10,x x 有零点， 2log 2b x >且20x x >时，()20g x >，因此()g x 在()02,x x 有零点，则()g x 至少有两个零点，与条件矛盾； ② 若()00g x ≥，由函数()g x 有且只有1个零点，()g x 最小值为()0g x ，可得()00g x =，由()00020g ab =+-=，因此0x=，因此ln log0ln b aa b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即ln 1ln ab-=，即ln ln 0a b +=，因此()ln 0ab =，则1ab =．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数的应用，基本不等式的应用，函数恒成立的应用，考查分析问题解决问题的能力．（20）【2016年江苏，20，16分】记{}1,2,,100U =．对数列{}na （*n ∈N ）和U 的子集T ，若T =∅，定义0TS =；若{}12,,,k T t t t =，定义12kTt t t S a a a =+++．例如：{}1,3,66T =时，1366T S a a a =++．现设{}na （*n ∈N ）是公比为3的等比数列，且当{}2,4T =时，30TS =．（1）求数列{}na 的通项公式；（2）对任意正整数k （1100k ≤≤），若{}1,2,,T k ⊆，求证：1T k S a +<；（3）设C U ⊆，D U ⊆，C D S S ≥，求证：2C C D DS S S +≥．解：（1）当{}2,4T =时，2422930T S a a a a =+=+=，因此23a =，从而2113a a ==，13n n a -=．（2）2112131133332k k kTk k Sa a a a -+-++=++++=<=≤（3）设()CA C D =，()DB C D =，A B =∅，CAC DS S S =+，DBC DS S S =+， 22CC DDABS S S S S +-=-，因此原题就等价于证明2A B S S ≥．由条件C DS S ≥可知A BS S ≥．① 若B =∅，则0B S =，所以2A BS S ≥．② 若B ≠∅，由A BS S ≥可知A ≠∅，设A 中最大元素为l ，B 中最大元素为m ，若1m l +≥，则由第⑵小题，1A l m BS a a S +<≤≤，矛盾．因为A B =∅，所以l m ≠，所以1l m +≥，211123113332222m m m lAB m a a S S a a a -+-+++=++++=<≤≤≤，即2ABSS >．综上所述，2ABS S ≥，因此2CC DDS S S +≥．【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．数学Ⅱ【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两．．．．．题．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（21-A ）【2016年江苏，21-A ，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，在ABC △中，90ABC ∠=︒，BD AC ⊥，D 为垂足，E 是BC 中点，求证：EDC ABD ∠=∠．解：由BD AC ⊥可得90BDC ∠=︒，由E 是BC 中点可得12DE CE BC ==，则EDC C∠=∠，由90BDC ∠=︒可得90C DBC ∠+∠=︒，由90ABC ∠=︒可得90ABD DBC ∠+∠=︒，因此ABD C ∠=∠，又EDC C ∠=∠可得EDC ABD ∠=∠．【点评】本题考查三角形的性质应用，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，证得∠ABD=∠C 是关键，属于中档题．（21-B ）【2016年江苏，21-B ，10分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵1202⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，矩阵B 的逆矩阵111202-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦B ，求矩阵AB ．ECBA解：()11112124221010222--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦B B ，因此151121440210102⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦AB ．【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，属于中档题．（21-C ）【2016年江苏，21-C ，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为()11,23,x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪⎪⎩为参数，椭圆C 的参数方程为()cos ,2sin ,x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求线段AB 的长．解：直线l 330x y -，椭圆C 方程化为普通方程为2214y x +=，联立得2233014x y y x ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得1x y =⎧⎨=⎩或1783x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此221831610777AB ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基础题．（21-D ）【2016年江苏，21-D 】（本小题满分10分）（选修4-4：不等式选讲）设0a >，13a x -<，23ay -<，求证：24x y a+-<．解：由13a x -<可得2223a x -<，22422233a ax y x y a +--+-<+=≤．【点评】本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单性质，考查运算能力，属于基础题．【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．．．．．．．．．．．．（22）【2016年江苏，22，10分】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线()2:20C y px p =>．（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；（2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q ．①求证：线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --； ②求p 的取值范围．解：（1）:20l x y --=，∴l 与x 轴的交点坐标为()2,0，即抛物线的焦点为()2,0，22p∴=，28y x ∴=．（2）① 设点()11,P x y ，()22,Q x y ，则：21122222y px y px ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即21122222y x p y xp⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12221212222PQ y y pk y y y y p p-==+-，又,P Q关于直线l 对称，1PQk∴=-，即122y yp+=-，122y y p +∴=-，又PQ中点一定在直线l 上，12122222x xy y p ++∴=+=-，∴线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --；② 中点坐标为()2,p p --，122212122422y y p y y x x p p +=-⎧⎪∴+⎨+==-⎪⎩即1222212284y y p y y p p+=-⎧⎨+=-⎩，12212244y y py y p p+=-⎧∴⎨=-⎩，即关于222440ypy p p ++-=有两个不等根，0∴∆>，Cl yxO()()2224440p p p -->，40,3p ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭．【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．（23）【2016年江苏，23，10分】（1）求34677C 4C -的值；（2）设*,m n ∈N ，n m ≥，求证：()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m m m m m m m m n n n m m m n n m +++-++++++++++=+．解：（1）34677C 4C 7204350-=⨯-⨯=．（2）对任意的*m ∈N ，① 当n m =时，左边()1C 1m m m m =+=+，右边()221C 1m m m m ++=+=+，等式成立，② 假设()n k k m =≥时命题成立，即()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m m m m m m m m k k k m m m k k m +++-++++++++++=+，当1n k =+时，左边=()()()()()12111C 2C 3C C 1C 2C m m m m m m m m m k k k m m m k k k ++-++++++++++++()()2211C 2C m m k k m k +++=+++，右边()231C m k m ++=+，而()()()()()()()()()22323!2!1C 1C 12!1!2!!m m k k k k m m m m k m m k m ++++⎡⎤+++-+=+-⎢⎥+-++-⎢⎥⎣⎦()()()()()()()()()12!1!13122C 2!1!!1!mk k k m k k m k k m k m m k m +++=+⨯+--+=+=+⎡⎤⎣⎦+-+-+ 因此()()()222131C 2C 1C m m m k k k m k m ++++++++=+，因此左边=右边，因此1n k =+时命题也成立，综合①②可得命题对任意n m ≥均成立．另解：因为()()111C 1C m m kk k m +++=+，所以左边()()()1111211C 1C 1C m m m m m n m m m ++++++=++++++()()1111211C C C m m m m m n m ++++++=++++ 又由111C C C k k k nn n ---=+，知2212112111112111221121C C C C C C C C C C C C m m m m m m m m m m m m n n n n n n m m n m m n ++++++++++++++++++++++=+=++==+++=+++，所以，左边=右边．【点评】本题考查组合数的计算与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数公式和数学归纳法的合理运用．。

江苏省2016年高考最新数学模拟试卷及答案

2016江苏省高考数学模拟试卷及答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. 设集合M ＝{x |x ＋3x －2<0}，N ＝{x |(x －1)(x －3)<0}，则集合M ∩N ＝___ ▲ _____． 2. 复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，如果|z 1|＜|z 2|，则实数a 的取值范围是__ ▲ _____．3. 某公司生产三种型号A 、B 、C 的轿车，月产量分别为1200、6000、2000辆．为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，则型号A 的轿车应抽取____ ▲ ____辆． 4. 有红心1、2、3和黑桃4、5共5张扑克牌，现从中随机抽取两张，则抽到的牌中有黑桃的概率是___ ▲ _______．5. 右图是一个算法的流程图，则输出的结果是____ ▲ ____．6. 设{a n }是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是“数列{a n }是递增数列”的_____ ▲ ____条件．7. 取正方体的六个表面的中心，这六个点所构成的几何体的体积记为V 1，该正方体的体积为V 2，则V 1∶V 2＝____ ▲ ____.8. 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120º，AB ＝AC ＝2，D 为BC 边上的点，且→AD ·→BC ＝0，→CE ＝2→EB ，则→AD ·→AE ＝____ ▲ ___.9. 对任意的实数b ，直线y ＝－x ＋b 都不是曲线y ＝x 3－3ax 的切线，则实数a 的取值范围是____ ▲____．10. 如图，已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点恰好是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F ，且两条曲线的交点连线也过焦点F ，则该椭圆的离心率为 ▲ ．11. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x (0＜x ≤10)|6－12x | (x ＞10)，若a ,b ,c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围为 ▲ ．AB CD E12. 若函数f (x )＝sin(ωπx －π4)（ω＞0）在区间(－1,0)上有且仅有一条平行于y 轴的对称轴，则ω的最大值是______ ▲ _____．13. 若实数a ,b ,c 成等差数列，点P (－1,0)在动直线ax ＋by ＋c ＝0上的射影为M ，点N (2,1)，则线段MN 长度的最大值是_____ ▲ _____．14. 定义：若函数f (x )为定义域D 上的单调函数，且存在区间(m ,n )⊆D (m ＜n )，使得当x ∈(m ,n )时，f (x )的取值范围恰为(m ,n )，则称函数f (x )是D 上的“正函数”．已知函数f (x )＝a x (a ＞1)为R 上的“正函数”，则实数a 的取值范围是▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，且bca B C -=2cos cos . （1）求B ；（2）若7)4tan(=+πA ，求C cos 的值.16.正方形ABCD 所在的平面与三角形CDE 所在的平面交于CD ，且AE ⊥平面CDE ．（1）求证：AB ∥平面CDE ；（2）求证：平面ABCD ⊥平面ADE ．ABCDE17.如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线l 1、l 2的距离分别为4米、8米，河岸线l 1与该养殖区的最近点D 的距离为1米，l 2与该养殖区的最近点B 的距离为2米．（1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得∠BAD ＝60º，请据此算出养殖区的面积S ，并求出直线AD 与直线l 1所成角的正切值；（2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试求养殖区面积S 的最小值，并求出取得最小值时∠BAD 的余弦值．18.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0,3)，离心率为12，经过椭圆C 的右焦点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，点A 、F 、B 在直线x ＝4上的射影依次为D 、K 、E ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 交y 轴于点M ，且→MA ＝λ→AF ，→MB ＝μ→BF ，当直线l 的倾斜角变化时，探究λ＋μ是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；若不是，说明理由；（3）连接AE 、BD ，试探索当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于一定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．（图甲）（图乙）1l 1l 2l 2l AABBCCDD19. 已知数列{a n}的奇数项是公差为d1的等差数列，偶数项是公差为d2的等差数列，S n是数列{a n}的前n 项和，a1=1，a2=2．（1）若S5=16，a4=a5，求a10；（2）已知S15=15a8，且对任意n∈N*，有a n＜a n+1恒成立，求证：数列{a n}是等差数列；（3）若d1=3d2（d1≠0），且存在正整数m、n（m≠n），使得a m=a n．求当d1最大时，数列{a n}的通项公式．20.已知函数f (x )＝mxx 2＋n(m ,n ∈R )在x ＝1处取到极值2．（1）求f (x )的解析式；（2）设函数g (x )＝ax －ln x ，若对任意的x 1∈[12, 2]，总存在唯一的．．．x 2∈[1e 2, e ](e 为自然对数的底)，使得g (x 2)＝f (x 1)，求实数a 的取值范围．兴化市第一中学2014-2015学年度春学期期初考试数学附加题1. 已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤1a b 1，N ＝⎣⎡⎦⎤c 20d ，且MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20－20，（1）求实数a ,b ,c ,d 的值；（2）求直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程．2. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2t y ＝1－t(t 为参数)，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1，试在椭圆C 上求一点P ，使得P 到直线l 的距离最小．3. 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，AB ＝BC ＝2，BB 1＝3，D 为A 1C 1的中点，F 在线段AA 1上．（1）AF 为何值时，CF ⊥平面B 1DF ？（2）设AF ＝1，求平面B 1CF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值.班级___________ 学号________ 姓名_____________………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………C 1B 1A4.一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.（1）设抛掷5次的得分为X ，求变量X 的分布列和数学期望E (X )；（2）求恰好得到n (n ∈N *)分的概率．参考答案1、(1,2)2、(－1,1)3、64、107 5、63 6、充要 7、168、19、(－∞,13)10、2－111、(25,34)12、54 13、3 214、(1, e 1e)15、(1)3π(2) 16、证明：（1）正方形ABCD 中，//AB CD ，又AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//AB 平面CDE ．（2）因为AE CDE ⊥平面，且CD CDE ⊂平面，所以AE CD ⊥，又 ABCD CD AD ⊥正方形中，，且AE AD A =，AE AD ADE ⊂、平面，所以CD ADE ⊥平面，又CD ABCD ⊂平面，所以ABCD ADE ⊥平面平面．17、解：（1）设AD 与1l 所成夹角为α，则AB 与2l 所成夹角为60α-，对菱形ABCD 的边长“算两次”得()36sin sin 60αα=-，解得3tan 5α=，所以，养殖区的面积()()22231sin 6091sin 6042 3 (m )sin tan S αα=⋅=+⋅=；（5分）（2）设AD 与1l 所成夹角为α，()120 180BAD θ∠=∈，，则AB 与2l 所成夹角为()180θα-+，对菱形ABCD 的边长“算两次”得()36sin sin 180αθα=-+，解得sin tan 2cos θαθ=+，所以，养殖区的面积()23sin sin S θα=⋅()2191sin tan θα=+⋅()54cos 9sin θθ+=，由()()254cos 5cos 4990sin sin S θθθθ'++'==-=得4cos 5θ=-，经检验得，当4cos 5θ=-时，养殖区的面积2min =27(m )S ．答：（1）养殖区的面积为242 3 m ；（2）养殖区的最小面积为227m ．（15分） 18、解：（1）x 24＋y 23＝1（2）设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (0,y 0)∵→MA ＝λ→AF ∴(x 1,y 1－y 0)＝λ(1－x 1,－y 1) ∴λ＝x 11－x 1，同理，μ＝x 21－x 2∴λ＋μ＝x 11－x 1＋x 21－x 2＝x 1＋x 2－2x 1x 2x 1x 2－x 1－x 2＋1∵⎩⎨⎧l ：y ＝k (x －1)3x 2＋4y 2－12＝0∴(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3∴x 1＋x 2－2x 1x 2＝8k 24k 2＋3－2×4k 2－124k 2＋3＝244k 2＋3，x 1x 2－x 1－x 2＋1＝4k 2－124k 2＋3－8k 24k 2＋3＋1＝－94k 2＋3∴λ＋μ＝－249＝－83（3）当l ⊥x 轴时，易得AE 与BD 的交点为FK 的中点(52,0) 下面证明：BD 过定点P (52,0)word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载B 、D 、P 共线⇔k BP ＝k DP ⇔y 14－52＝y 2x 2－52⇔32y 2＝x 2y 1－52y 1⇔3y 2＝2x 2y 1－5y 1⇔3k (x 2－1)＝2x 2k (x 1－1)－5k (x 1－1) ⇔2kx 1x 2－5k (x 1＋x 2)＋8k ＝0⇔2k ·4k 2－124k 2＋3－5k ·8k 24k 2＋3＋8k ＝0⇔2k (4k 2－12)－40k 3＋8k (4k 2＋3)＝0成立．得证．同理，AE 过定点P (52,0)，∴直线AE 与BD 相交于一定点(52,0)．【注】：书写可证明：k BP －k DP ＝···－···＝·······，证明值为0．19、（1）解：根据题意，有a 1=1，a 2=2，a 3=a 1+d 1=1+d 1，a 4=a 2+d 2=2+d 2，a 5=a 3+d 1=1+2d 1∵S 5=16，a 4=a 5，∴a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=7+3d 1+d 2=16，2+d 2=1+2d 1∴d 1=2，d 2=3． ∴a 10=2+4d 2=14（2）证明：当n 为偶数时，∵a n ＜a n+1恒成立，∴2+，∴（d 2﹣d 1）+1﹣d 2＜0，∴d 2﹣d 1≤0且d 2＞1 当n 为奇数时，∵a n ＜a n+1恒成立，∴，∴（1﹣n ）（d 1﹣d 2）+2＞0，∴d 1﹣d 2≤0∴d 1=d 2 ∵S 15=15a 8，∴8++14+=30+45d 2∴d 1=d 2=2 ∴a n =n ∴数列{a n }是等差数列；（3）解：若d 1=3d 2（d 1≠0），且存在正整数m 、n （m≠n），使得a m =a n ，在m ，n 中必然一个是奇数，一个是偶数不妨设m 为奇数，n 为偶数 ∵a m =a n ，∴∵d 1=3d 2，∴∵m 为奇数，n 为偶数，∴3m﹣n ﹣1的最小正值为2，此时d 1=3，d 2=1∴数列{a n }的通项公式为a n =．20、解：（1）∵f (x )＝m (x 2＋n )－2mx 2(x 2＋n )2＝－mx 2＋mn(x 2＋n )2∵由f (x )在x ＝1处取到极值2，∴⎩⎨⎧f (1)＝0f (1)＝2 ∴－m ＋mn (1＋n )2＝0，m 1＋n ＝2,∴⎩⎨⎧m ＝4n ＝1，经检验，此时f (x )在x ＝1处取得极值，故f (x )＝4xx 2＋1 （2）记f (x )在[12,2]上的值域为A ，函数g (x )在[1e2,e ]上的值域为B ，由（1）知：f (x )＝－4x 2＋4(x 2＋1)2＝－4(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)2∴f (x )在[12,1]上单调递增，在(1,2]上单调递K O ABMx yDEFword 专业资料-可复制编辑-欢迎下载减，由f (1)＝2，f (2)＝f (12)＝85，故f (x )的值域A ＝[85,2]依题意g (x )＝a －1x ∵x ∈[1e 2,e ] ∴1e ≤1x≤e 2①当a ≤1e 时，g (x )≤0 ∴g (x )在[1e 2,e ]上递减 ∴B ＝[g (e ),g (1e2)]，由题意得：[85,2]⊆B ．∵g (e )＝ae －1，g (1e 2)＝a 1e2＋2，∴⎩⎨⎧g (e )＝ae －1≤85g (1e 2)＝a 1e2＋2≥2 ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤135e a ≥0∵135e ＞1e ∴0≤a ≤1e②当1e ＜a ＜e 2时，e ＞1a ＞1e 2 ∴当x ∈[1e 2,1a )时，g (x )＜0；当x ∈(1a,e ]时，g (x )＞0；∵对任意的y 1∈[85,2]，总存在唯一的．．．x 2∈[1e 2,e ]，使得g (x 2)＝y 1 ∵g (e )－g (1e 2)＝ae －a 1e 2－3＝a (e －1e2)－3∴当3e 2e 3－1＜a ＜e 2时，g (e )＞g (1e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (1e 2)≤85g (e )≥2∴⎩⎨⎧a ≥3e a ≤－25e 2 无解当1e ＜a ＜3e 2e 3－1时，g (e )＜g (1e 2) ∴⎩⎨⎧g (e )＝ae －1≤85g (1e 2)＝a 1e2＋2≥2 ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤135e a ≥0∵135e ＜3e 2e 3－1 ∴1e ＜a ＜135e当a ＝3e 2e 3－1时，g (e )＝g (1e2)不成立；③当a ≥e 2时，1a ＜1e 2 ∴g (x )＞0 ∴g (x )在[1e 2,e ]上递增 ∴B ＝[g (1e2), g (e )]∵[85,2]⊆B ∴g (e )≥2，g (1e 2)≤85 ∴⎩⎪⎨⎪⎧ea －1≥2a e 2＋2≤85 ∴⎩⎨⎧a ≥3e a ≤－25e 2 无解综上，0≤a <135e附加题参考答案1、解：（Ⅰ）由题设，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 20d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20－20得⎩⎨⎧c ＝22＋ad ＝0bc ＝－22b ＋d ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－1b ＝－1c ＝2d ＝2；（Ⅱ）取直线y ＝3x 上的两点(0,0)、(1,3)，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1－11⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1－11⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22得：点(0,0)、(1,3)在矩阵M 所对应的线性变换下的像是(0，0)，(－2，2)，从而直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程为y ＝－x ．2、解：直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2t y ＝1－t(t 为参数)∴x ＋2y ＝4设P (2cos θ,sin θ)∴P 到l 的距离为d ＝|2cos θ＋2sin θ－4|5＝|22sin(θ＋ π4)－4|5≥|22－4|5＝4－225当且仅当sin(θ＋ π 4)＝1，即θ＝2kπ＋ π 4时等号成立．此时，sin θ＝cos θ＝22∴P (2,22) 3、解：（1）因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥面ABC ，∠ABC ＝ π2．以B 点为原点，BA 、BC 、BB 1分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系. 因为AC ＝2，∠ABC ＝90º，所以AB ＝BC ＝2，(2,0,0)从而B (0，0，0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(0，0，3)，A 1 A (2,0,3)，C 1(0,2,3)，D (22,22,3)，E (0,22,32)．所以→CA 1＝(2,－2,3)，设AF ＝x ，则F (2，0，x )， →CF ＝(2,－2,x )，→B 1F ＝(2,0,x －3) ，→B 1D ＝(22,22,0) ∴→CF ·→B 1D ＝···＝0，所以→CF ⊥→B 1D 要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥B 1F .由→CF ·→B 1F ＝2＋x (x －3)＝0，得x ＝1或x ＝2，故当AF ＝1或2时，CF ⊥平面B 1DF ．（2）由（1）知平面ABC 的法向量为m ＝(0,0,1). 设平面B 1CF 的法向量为n ＝(x ,y ,z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·→CF ＝0n ·→B 1F ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＋z ＝02x －2z ＝0令z ＝1得n ＝(2,322,1)，所以平面B 1CF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值cos ＜m ,n ＞＝30154、解：（1）所抛5次得分的概率为P (X ＝i )＝C i -55·(12)5(i ＝5，6，7，8，9，10)，其分布列如下：∴ EX＝152（2）令P n 表示恰好得到n 分的概率. 不出现n 分的唯一情况是得到n －1分以后再掷出一次反面. 因为“不出现n 分”的概率是1－P n ，“恰好得到n －1分”的概率是P n －1，因为“掷一次出现反面”的概率是12，所以有1－P n ＝12P n －1，即P n －23＝－12( P n －1－23). 于是{P n －23}是以P 1－23＝12－23＝－16为首项，以－12为公比的等比数列.X 5 6 7 8 9 10 P132532516516532132ABC C 1B 1A 1FDx yz所以P n －23＝－16(－12)n −1，即P n ＝13[2＋(－12)n ]. 答：恰好得到n 分的概率是13[2＋(－12)n ].。

江苏省百校联考2016届高三下学期第一次联考数学试题 Word版含答案

数学试卷第Ⅰ卷一、填空题（本大题共14个小题，每小题5分，共70分）1、若集合{|1},{|37}A x N x B x x =∈>=-<<，则集合A B 的圆度个数为2、设i 为虚数单位，则复数(3)(13)z i i =-+的模为3、某服装设计公司有1200名员工，其中老年、中年、青年所占的比例为1:5:6，公司十年庆典活动特别邀请了5位当地的歌手和公司的36名员工同台表演节目，其中员工按老年中年、青年进行分层抽样，则参演的中年员工的人数为4、已知等差数列{}n a 中，1685,58a a a =+=，则公差d =5、执行下面的算法流程图，则输出的i =6、函数()4xxf x e e -=+的最小值为7、设向量(1,3),(2sin ,2)AB BC θ=--=，若,,A B C 三点共线，则cos 2θ=8、某办公室刚装修一新，放些植物花草可以消除异味，公式提供绿萝、文竹、碧玉、芦荟4中植物供员工选择，每个员工只能任选1种，则员工甲和乙选择的植物不同的概率为910+=平行的直线l 被圆22(7x y +=所截得的弦长为 10、右图为平面中两个全等的直角三角形，将这两个三角形绕着它们的对称轴（虚线所在的直线）旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为11、离心率为2的双曲线22:1(0)y M x m m-=>上一点P 到左右焦点12,F F 的距离之和为10，则12PF PF ⋅=12、已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上递减，若不等式3232()()2(1)f x x a f x x a f -++-+-≥对[]0,1x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为13、记m i n{,a b 表示,a b 中较小的数，比如min{3,1}1-=-，设函数()3310min{log }f x x x =(0)x >，若()()()123f x f x f x ==（123,,x x x 互不相等）则123,,x x x 的取值范围为14、在ABC ∆中，2223(s i n s i n s i n 23s i n s i nB C A B C +-=，且ABC ∆的面积为BC 边上的高的最大值为二、解答题：本大题共6小题，满分90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15、（本小题满分14分）已知tan 2,(,)2x x ππ=∈（1）求tan 2x 的值；（2）求sin()4x π+的值。

2016江苏卷数学理科

2016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{－1，2，3，6}，B ＝{x|－2<x<3}，那么A ∩B ＝________．2. 若复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________．3. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________．4. 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，那么该组数据的方差是________． 5. 函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________．6. 如图所示的算法流程图，输出的a 的值是________．(第6题)7. 将一枚质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．8. 已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________． 9. 定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________．10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点，若直线y＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．(第10题)11. 设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x<0，⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x<1，其中a ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则f(5a)的值是________．12. 已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，那么x 2＋y 2的取值范围是________．13. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，若BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．(第13题)14. 在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin Bsin C ，则tan Atan Btan C 的最小值是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，已知AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1) 求边AB 的长； (2) 求cos ⎝⎛⎭⎫A －π6的值．\16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1.(1) 求证：直线DE ∥平面A 1C 1F ； (2) 求证：平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F.(第16题)17. (本小题满分14分)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，如图，上部分的形状是正四棱锥PA 1B 1C 1D 1，下部分的形状是正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍．(1) 若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2) 若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？(第17题)18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A(2，4)．(1) 设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2) 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程；(3) 设点T(t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．(第18题)19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝a x ＋b x (a>0，b>0，a ≠1，b ≠1)． (1) 设a ＝2，b ＝12.①求方程f(x)＝2的根；②若对于任意x ∈R ，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求实数m 的最大值． (2) 若0<a<1，b>1，函数g(x)＝f(x)－2有且只有1个零点，求ab 的值．20. (本小题满分16分)记U ＝{1，2，…，100}．对数列{a n }(n ∈N *)和U 的子集T ，若T ＝定义S T ＝0；若T ＝{t 1，t 2，…，t k }，定义S T ＝at 1＋at 2＋…＋at k .例如：T ＝{1，3，66}时，S T ＝a 1＋a 3＋a 66.现设{a n }(n ∈N *)是公比为3的等比数列，且当T ＝{2，4}时，S T ＝30.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 对任意正整数k(1≤k ≤100)，若T {1，2，…，k}，求证：S T <a k ＋1； (3) 设S C ≥S D ，求证：S C ＋S C ∩D ≥2S D .数学Ⅱ(附加题)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. 选修41：几何证明选讲如图，在△ABC 中，已知∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，D 为垂足，E 是BC 的中点，求证：∠EDC ＝∠ABD.(第21－A 题)B. 选修42：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤120－2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1202，求矩阵AB .C. 选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D. 选修45：不等式选讲设a ＞0，|x －1|＜a 3，|y －2|＜a3，求证：|2x ＋y －4|＜a.【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0)．(1) 若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2) 已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；②求p的取值范围．(第22题)23. (本小题满分10分)(1) 求7C36－4C47的值；(2) 设m，n∈N*，n≥m，求证：(m＋1)C m m＋(m＋2)C m m＋1＋(m＋3)C m m＋2＋…＋nC m n－1＋(n ＋1)C m n＝(m＋1)C m＋2.n＋22016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)1. {－1，2} 【解析】由题意知A ∩B ＝{－1，2}．2. 5 【解析】由题意知z ＝5＋5i ，所以z 的实部是5.3. 210 【解析】由题意知c ＝a 2＋b 2＝7＋3＝10，所以焦距为2c ＝210.4. 0.1 【解析】因为x ＝15(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5)＝5.1，所以s 2＝15(0.42＋0.32＋02＋0.32＋0.42)＝0.1.5. [－3，1] 【解析】由题意知3－2x －x 2≥0，解得－3≤x ≤1，所以原函数的定义域为[－3，1]．6. 9 【解析】由流程图可知，在循环的过程中，a 与b 的值依次为1，9；5，7；9，5.因为9>5，所以输出的a ＝9.7. 56 【解析】由题意知，先后抛掷骰子2次，共有36个基本事件．其中点数之和大于等于10的基本事件有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共6个，则点数之和小于10的基本事件共有30个．故所求的概率为3036＝56.8. 20 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意知a 1＋(a 1＋d)2＝－3，5a 1＋10d ＝10，解得a 1＝－4，d ＝3，所以a 9＝－4＋8×3＝20.9. 7 【解析】如图，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝sin 2x 与y ＝cos x 在区间[0，3π]上的图象，可知共有7个交点．(第9题)10.63【解析】由题意知焦点F 的坐标为(c ，0)，联立解得x ＝±32a ，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－3a 2，b 2，点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫3a 2，b 2. 因为∠BFC ＝90°，所以BF →·CF →＝0.又BF →＝⎝⎛⎭⎫c ＋3a 2，－b 2，CF →＝⎝⎛⎭⎫c －3a 2，－b 2，所以c 2－34a 2＋14b 2＝0.因为b 2＝a 2－c 2，所以34c 2＝12a 2，即c 2a 2＝23，所以e ＝ca ＝23＝63.11. －25 【解析】由题意知f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12＋a ，f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪25－12＝110. 因为f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，所以－12＋a ＝110，解得a ＝35，所以f(5a)＝f(3)＝f(－1)＝－1＋a ＝－1＋35＝－25.12. ⎣⎡⎦⎤45，13 【解析】作出实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则x 2＋y 2即为可行域内的点(x ，y)到原点O 的距离的平方．由图可知点A 到原点O 的距离最近，点B到原点O 的距离最远．点A 到原点O 的距离即原点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离d ＝|0－2|12＋22＝255，则(x 2＋y 2)min ＝45；点B 为直线x －2y ＋4＝0与3x －y －3＝0的交点，即点B 的坐标为(2，3)，则(x 2＋y 2)max ＝13.综上，x 2＋y 2的取值范围是⎣⎡⎦⎤45，13.(第12题)13. 78 【解析】方法一：设DF →＝a ，DB →＝b ，则DC →＝－b ，DE →＝2a ，DA →＝3a ，所以BA→＝DA →－DB →＝3a －b ，CA →＝DA →－DC →＝3a ＋b ，BE →＝DE →－DB →＝2a －b ，CE →＝DE →－DC →＝2a ＋b ，BF →＝DF →－DB →＝a －b ，CF →＝DF →－DC →＝a ＋b ，所以BA →·CA →＝9a 2－b 2，BF →·CF →＝a 2－b 2，BE →·CE →＝4a 2－b 2.又因为BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，所以9a 2－b 2＝4，a 2－b 2＝－1，解得a 2＝58，b 2＝138，所以BE →·CE →＝4a 2－b 2＝4×58－138＝78. 方法二：以D 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设点B 的坐标为(－a ，0)，点C 的坐标为(a ，0)，点A 的坐标为(b ，c)，所以BA →＝(b ＋a ，c)，CA →＝(b －a ，c)，BF →＝⎝⎛⎭⎫b 3＋a ，c 3，CF →＝⎝⎛⎭⎫b 3－a ，c 3. 因为BA →·CA →＝b 2－a 2＋c 2＝4，BF →·CF →＝b 29－a 2＋c 29＝－1，所以b 2＋c 2＝458，a 2＝138.又因为BE →＝BD →＋DE →＝⎝⎛⎭⎫23b ＋a ，2c 3，CE →＝CD →＋DE →＝(23b －a ，2c 3)，所以BE →·CE →＝49b 2－a 2＋4c 29＝49×458－138＝78.14. 8 【解析】因为sin A ＝2sin Bsin C ，所以sin(B ＋C)＝2sin Bsin C ，所以sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝2sin Bsin C ，等式两边同时除以cos Bcos C ，得tan B ＋tan C ＝2tan Btan C. 又因为tan A ＝－tan(B ＋C)＝tan B ＋tan Ctan Btan C －1，所以tan Atan Btan C －tan A ＝2tan Btan C ，即tan Btan C(tan A －2)＝tan A.因为A ，B ，C 为锐角，所以tan A ，tan B ，tan C>0，且tan A>2，所以tan Btan C ＝tan A tan A －2，所以原式＝tan 2Atan A －2.令tan A －2＝t(t>0)，则tan 2A tan A －2＝（t ＋2）2t ＝t 2＋4t ＋4t ＝t ＋4t ＋4≥8，当且仅当t ＝2，即tan A ＝4时取等号．故tan Atan Btan C 的最小值为8.15. (1) 因为cos B ＝45，0<B<π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35.由正弦定理知AC sin B ＝AB sin C ，所以AB ＝AC·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.(2) 在△ABC 中，因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C)，所以cos A ＝－cos(B ＋C)＝－cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝－cos Bcos π4＋sin Bsin π4.又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.因为0<A<π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210，所以cos ⎝⎛⎫A －π6＝cos Acos π6＋sin Asin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620.16. (1) 在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，A 1C 1∥AC.在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ∥AC ，所以DE ∥A 1C 1. 又因为DE平面A 1C 1F ，A 1C 1平面A 1C 1F ，所以直线DE ∥平面A 1C 1F.(2) 在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面A 1B 1C 1. 因为A 1C 1平面A 1B 1C 1，所以A 1A ⊥A 1C 1.又因为A 1C 1⊥A 1B 1，A 1A平面ABB 1A 1，A 1B 1平面ABB 1A 1，A 1A ∩A 1B 1＝A 1，所以A 1C 1⊥平面ABB 1A 1. 因为B 1D平面ABB 1A 1，所以A 1C 1⊥B 1D.又因为B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1平面A 1C 1F ，A 1F平面A 1C 1F ，A 1C 1∩A 1F ＝A 1，所以B 1D ⊥平面A 1C 1F. 因为直线B 1D平面B 1DE ，所以平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F.17. (1) 由PO 1＝2 m ，知O 1O ＝4PO 1＝8 m ，因为A 1B 1＝AB ＝6 m ，所以正四棱锥PA 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)，正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的体积V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)，所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)． (2) 设A 1B 1＝a m ，PO 1＝h m ，则0<h<6，O 1O ＝4h m.如图，连接O 1B 1.在Rt △PO 1B 1中，因为O 1B 21＋PO 21＝PB 21，所以⎝⎛⎭⎫2a 22＋h 2＝36，即a 2＝2(36－h 2)，所以仓库的容积V ＝V 柱＋V 锥＝a 2·4h ＋13a 2·h ＝133a 2h ＝263(36h －h 3)，0<h<6，所以V′＝263(36－3h 2)＝26(12－h 2)．令V′＝0，得h ＝23或h ＝－23(舍去)．当0<h<23时，V ′>0，V 在(0，23)上是单调增函数；当23<h<6时，V ′<0，V 在(23，6)上是单调减函数．故当h ＝23时，V 取得极大值，也是最大值．所以，当PO 1＝2 3 m 时，仓库的容积最大．(第17题)18. 圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M(6，7)，半径为5.(1) 由圆心N 在直线x ＝6上，可设N(6，y 0)．因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，所以圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1，所以圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2) 因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m|5＝|m ＋5|5.(第18题)如图，因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，又MC 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫BC 22，所以25＝（m ＋5）25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3) 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，因为A(2，4)，T(t ，0)，TA →＋TP →＝TQ →，所以因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25. ② 将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25，所以点P(x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25上，从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25有公共点，所以5－5≤[（t ＋4）－6]2＋（3－7）2≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221.所以实数t 的取值范围是[2－221，2＋221 ]． 19. (1) 因为a ＝2，b ＝12，所以f(x)＝2x ＋2－x .①方程f(x)＝2，则2x ＋2－x ＝2，即(2x )2－2×2x ＋1＝0，所以(2x －1)2＝0，所以2x ＝1，解得x ＝0.②由题意知f(2x)＝22x ＋2－2x ＝(2x ＋2－x )2－2＝(f(x))2－2，因为f(2x)≥mf(x)－6对于x ∈R 恒成立，且f(x)>0，所以m ≤（f （x ））2＋4f （x ）对于x ∈R 恒成立．又（f （x ））2＋4f （x ）＝f(x)＋4f （x ）≥2f （x ）·4f （x ）＝4，且（f （0））2＋4f （0）＝4，所以m ≤4，故实数m 的最大值为4.(2) 因为函数g(x)＝f(x)－2只有1个零点，又g(0)＝f(0)－2＝a 0＋b 0－2＝0，所以0是函数g(x)的唯一零点．因为g′(x)＝a x ln a ＋b x ln b ，又由0<a<1，b>1，知ln a<0，ln b>0，所以g′(x)＝0有唯一解x 0＝log b a⎝⎛⎭⎫－ln aln b .令h(x)＝g′(x)，则h′(x)＝(a x ln a ＋b x ln b )′＝a x (ln a)2＋b x (ln b)2，从而对任意x ∈R ，h ′(x)>0，所以g′(x)＝h(x)是(－∞，＋∞)上的单调增函数，所以当x ∈(－∞，x 0)时，g ′(x)<g′(x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x)>g ′(x 0)＝0.所以函数g(x)在(－∞，x 0)上是单调减函数，在(x 0，＋∞)上是单调增函数．下证x 0＝0.若x 0<0，则x 0<x 02<0，所以g ⎝⎛⎭⎫x 02<g(0)＝0.又g(log a 2)＝alog a 2＋blog a 2－2>alog a 2－2＝0，且函数g(x)在以x 02和log a 2为端点的闭区间上的图象不间断，所以在x 02和log a 2之间存在g(x)的零点，记为x 1.因为0<a<1，所以log a 2<0.又x 02<0，所以x 1<0，与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾．若x 0>0，同理可得，在x 02和log b 2之间存在g(x)的非0的零点，矛盾．综上，x 0＝0. 所以－ln aln b＝1，故ln a ＋ln b ＝0，所以ab ＝1. 20. (1) 由已知得a n ＝a 1·3n －1，n ∈N *.所以当T ＝{2，4}时，S T ＝a 2＋a 4＝3a 1＋27a 1＝30a 1. 又S T ＝30，故30a 1＝30，即a 1＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *. (2) 因为T{1，2，…，k}，a n ＝3n －1>0，n ∈N *，所以S T ≤a 1＋a 2＋…＋a k ＝1＋3＋…＋3k －1＝12(3k －1)<3k ，所以S T <a k ＋1.(3) 下面分三种情况证明．①若D 是C 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S D ≥S D ＋S D ＝2S D . ②若C 是D 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S C ＝2S C ≥2S D . ③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集．令E ＝C ∩∁U D ，F ＝D ∩∁U C ，则E ≠，F ≠，E ∩F ＝，所以S C ＝S E ＋S C ∩D ，S D ＝S F ＋S C ∩D ，又由S C ≥S D ，得S E ≥S F . 设k 为E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则k ≥1，l ≥1，k ≠l.由(2)知，S E <a k ＋1，所以3l －1＝a l ≤S F ≤S E <a k ＋1＝3k ，所以l －1<k ，即l ≤k. 又k ≠l ，故l ≤k －1，所以S F ≤a 1＋a 2＋…＋a l ＝1＋3＋…＋3l －1＝3l －12≤3k －1－12＝a k －12≤S E －12，故S E ≥2S F ＋1，所以S C －S C ∩D ≥2(S D －S C ∩D )＋1，即S C ＋S C ∩D ≥2S D ＋1.综合①②③得，S C ＋S C ∩D ≥2S D . 21. A. 在△ADB 和△ABC 中，因为∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，∠A 为公共角，所以△ADB ∽△ABC ，所以∠ABD ＝∠C. 在Rt △BDC 中，因为E 是BC 的中点，所以ED ＝EC ，从而∠EDC ＝∠C ，所以∠EDC ＝∠ABD.C. 椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1.将直线l 的参数方程代入x 2＋y 24＝1，得⎝⎛⎭⎫1＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167，所以AB ＝|t 1－t 2|＝167. D. 因为|x －1|<a 3，|y －2|<a3，所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|<2×a 3＋a3＝a.22. (1) 抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，由点⎝⎛⎭⎫p 2，0在直线l ：x －y －2＝0上，得p2－0－2＝0，即p ＝4，所以抛物线C 的方程为y 2＝8x.(2) 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，线段PQ 的中点M(x 0，y 0)，因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，所以直线PQ 的斜率为－1，则可设其方程为y ＝－x ＋b. ①由错误!消去x ，得y 2＋2py －2pb ＝0. (*)因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以y 1≠y 2，所以Δ＝(2p)2－4×(－2pb)>0，化简得p ＋2b>0. 方程(*)的两根为y 1，2＝－p±p 2＋2pb ，从而y 0＝y 1＋y 22＝－p. 因为点M(x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝2－p ，所以线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p)． ②因为M(2－p ，－p)在直线y ＝－x ＋b 上，所以－p ＝－(2－p)＋b ，即b ＝2－2p.由①知p ＋2b>0，所以p ＋2(2－2p)>0，所以p<43，所以p 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，43. 23. (1) 7C 36－4C 47＝7×6×5×43×2×1－4×7×6×5×44×3×2×1＝0. (2) 当n ＝m 时，结论显然成立．当n>m 时，(k ＋1)C m k ＝（k ＋1）·k ！m ！·（k －m ）！＝(m ＋1)·（k ＋1）！（m ＋1）！·[（k ＋1）－（m ＋1）]！＝(m ＋1)C m ＋1k ＋1，k ＝m ＋1，m ＋2，…，n.又因为C m ＋1k ＋1＋C m ＋2k ＋1＝C m ＋2k ＋2，所以(k ＋1)C m k ＝(m ＋1)(C m ＋2k ＋2－C m ＋2k ＋1)，k ＝m ＋1，m ＋2，…，n ，所以(m ＋1)C m m ＋(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋(n ＋1)C m n＝(m ＋1)C m m ＋[(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋(n ＋1)C mn ]＝(m ＋1)C m ＋2m ＋2＋(m ＋1)[(C m ＋2m ＋3－C m ＋2m ＋2)＋(C m ＋2m ＋4－C m ＋2m ＋3)＋…＋(C m ＋2n ＋2－C m ＋2n ＋1)]＝(m ＋1)C m ＋2n ＋2.。

2016年高考真题——数学(江苏卷) Word版含解析

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2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．棱柱的体积V Sh =，其中S 是棱柱的底面积，h 是高．棱锥的体积13V Sh =，其中S 是棱锥的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1. 已知集合{}1,2,3,6A =-，{}|23B x x =-<<，则A B = ．【答案】{}1,2-；【解析】由交集的定义可得{}1,2AB =-．2. 复数()()12i 3i z =+-，其中i 为虚数单位，则z 的实部是．【答案】5；【解析】由复数乘法可得55i z =+，则则z 的实部是5．3. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是．【答案】【解析】c，因此焦距为2c =．4. 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是．【答案】0.1；【解析】 5.1x =，()22222210.40.300.30.40.15s =++++=． 5.函数y 的定义域是．【答案】[]3,1-；【解析】2320x x --≥，解得31x -≤≤，因此定义域为[]3,1-．6. 如图是一个算法的流程图，则输出a 的值是．【答案】9；【解析】,a b 的变化如下表：则输出时9a =．7. 将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是．【答案】56；【解析】将先后两次点数记为(),x y ，则共有6636⨯=个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有()()()()()()4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6六种，则点数之和小于10共有30种，概率为305366=． 8. 已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和．若2123a a +=-，510S =，则9a 的值是．【答案】20；【解析】设公差为d ，则由题意可得()2113a a d ++=-，151010a d +=，解得14a =-，3d =，则948320a =-+⨯=．9. 定义在区间[]0,3π上的函数s i n 2y x =的图象与c o s y x =的图象的交点个数是．【答案】7；【解析】画出函数图象草图，共7个交点．10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是．【解析】由题意得(),0F c ，直线2by =与椭圆方程联立可得2b B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2b C ⎫⎪⎪⎝⎭，由90BFC ∠=︒可得0BF CF ⋅=，2b BFc ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，2b CF c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，则22231044c a b -+=，由222b a c =-可得223142c a =，则c e a ==．11. 设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上(),10,2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中a ∈R ，若5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()5f a 的值是．【答案】25-；【解析】由题意得511222f f a ⎛⎫⎛⎫-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，91211225210f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得11210a -+=，则35a =，则()()()325311155f a f f a ==-=-+=-+=-． 12. 已知实数,x y 满足240,220,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩ 则22x y +的取值范围是．【答案】4,135⎡⎤⎢⎥⎣⎦；【解析】在平面直角坐标系中画出可行域如下22x y +为可行域内的点到原点距离的平方．可以看出图中A 点距离原点最近，此时距离为原点A 到直线220x y +-=的距离， d ==()22min45x y +=，图中B 点距离原点最远，B 点为240x y -+=与330x y --=交点，则()2,3B ，则()22max13x y +=．13. 如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，,E F 是AD 上两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是．B【答案】78；【解析】令DF a =，DB b =，则DC b =-，2DE a =，3DA a =，则3BA a b =-，3CA a b =+，2BE a b =-，2CE a b =+，BF a b =-，CF a b =+，则229BA CA a b ⋅=-，22BF CF a b ⋅=-，224BE CE a b ⋅=-，由4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-可得2294a b -=，221a b -=-，因此22513,88a b ==，因此22451374888BE CE a b ⨯⋅=-=-=． 14. 在锐角三角形ABC 中，sin 2sin sin A B C =，则t a n t a n t a n AB C 的最小值是．【答案】8；【解析】由()()sin sin πsin sin cos cos sin A A B C B C B C =-=+=+，sin 2sin sin A B C =，可得sin cos cos sin 2sin sin B C B C B C +=（*），由三角形ABC 为锐角三角形，则cos 0,cos 0B C >>，在（*）式两侧同时除以cos cos B C 可得tan tan 2tan tan B C B C +=，又()()tan tan tan tan πtan 1tan tan B CA ABC B C+=--=-+=--(#)，则tan tan tan tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C B C+=-⨯-，由tan tan 2tan tan B C B C +=可得()22tan tan tan tan tan 1tan tan B C A B C B C=--，令tan tan B C t =，由,,A B C 为锐角可得tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>，由(#)得1tan tan 0B C -<，解得1t > 2222tan tan tan 111t A B C t t t=-=---，221111124t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，由1t >则211104t t >-≥-，因此tan tan tan A B C 最小值为8，当且仅当2t =时取到等号，此时tan tan 4B C +=，tan tan 2B C =，解得tan 224B C A ===（或tan ,tan B C 互换），此时,,A B C 均为锐角．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分14分）在ABC △中，6AC =，4cos 5B =，π4C =． ⑴ 求AB 的长； ⑵ 求πcos 6A ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】⑴．【解析】⑴ 4cos 5B =，B 为三角形的内角 3sin 5B ∴=sinC sin AB ACB =635=，即：AB = ⑵ ()cos cos sin sin cos cos A C B B C B C =-+=-cos A ∴= 又A 为三角形的内角sin A ∴=π1cos sin 62A A A ⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭．16. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,AB BC 的中点，点F 在侧棱1B B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥．求证：⑴ 直线//DE 平面11AC F ；⑵ 平面1B DE ⊥平面11AC F ．【答案】见解析；【解析】⑴ ,D E 为中点，DE ∴为ABC ∆的中位线//DE AC ∴又111ABC A B C -为棱柱，11//AC AC ∴11//DE AC ∴，又11AC ⊂平面11AC F ，且11DE AC F ⊄FEC BAC 1B 1A 1//DE ∴平面11AC F ；⑵111ABC A B C -为直棱柱，1AA ∴⊥平面111A B C 111AA AC ∴⊥，又1111AC A B ⊥且1111AA A B A =，111,AA A B ⊂平面11AA B B11AC ∴⊥平面11AA B B ，又11//DE AC ，DE ∴⊥平面11AA B B 又1A F ⊂平面11AA B B ，1DE A F ∴⊥ 又11A F B D ⊥，1DEB D D =，且1,DE B D ⊂平面1B DE 1A F ∴⊥平面1B DE ，又111A F AC F ⊂∴平面1B DE ⊥平面11AC F ．17. （本小题满分14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -（如图所示），并要求正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍．⑴ 若6m AB =，12m PO =，则仓库的容积是多少；⑵ 若正四棱锥的侧棱长为6m ，当1PO 为多少时，仓库的容积最大？【答案】⑴3312m；⑵m ；【解析】⑴ 12m PO =，则18m OO =，1111231116224m 33P A B C D ABCD V S PO -⋅=⨯⨯==，111123168288m ABCD A B C D ABCD V S OO -⋅=⨯==， 111111113312m =P A B C D ABCD A B C D V V V --+=，故仓库的容积为3312m ；⑵ 设1m PO x =，仓库的容积为()V x则14m OO x =，11AO，11m A B =，()111123331111272224m 3333P A B C D ABCD V S PO x x x x x -⋅=⨯⨯=-=-=，1A1111233142888m ABCD A B C D ABCD V S OO x x x -⋅=⨯=-=，()()111111113332262428883120633=P A B C D ABCD A B C D V x V V x x x x x x x --+=-+-=-+<<，()()22'263122612V x x x =-+=--()06x <<，当(0,x ∈时，()'0V x >，()V x 单调递增，当()x ∈时，()'0V x <，()V x 单调递减，因此，当x =()V x 取到最大值，即1PO =时，仓库的容积最大．18. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：221214600x y x y +--+= 及其上一点()2,4A ．⑴ 设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； ⑵ 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程；⑶ 设点(),0T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围．【答案】⑴()()22611x y -+-=⑵25y x =+或215y x =-⑶2⎡-+⎣【解析】⑴ 因为N 在直线6x =上，设()6,N n ，因为与x 轴相切，则圆N 为()()2226x y n n -+-=，0n >又圆N 与圆M 外切，圆M ：()()226725x x -+-=，则75n n -=+，解得1n =，即圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=； ⑵ 由题意得OA =2OA k = 设:2l y x b =+，则圆心M 到直线l 的距离d ==则BC =BC =，即=解得5b =或15b =-，即l ：25y x =+或215y x =-； ⑶ TA TP TQ +=，即TA TQ TP PQ =-=，即TA PQ =，(TA t =又10PQ ≤,10，解得2t ⎡∈-+⎣，对于任意2t ⎡∈-+⎣，欲使TA PQ =，此时10TA ≤，只需要作直线TA 2TA必然与圆交于P Q 、两点，此时TA PQ =，即TA PQ =，因此对于任意2t ⎡∈-+⎣，均满足题意，综上2t ⎡∈-+⎣．19. （本小题满分14分）已知函数()()0,0,1,1x x f x a b a b a b =+>>≠≠． ⑴ 设2a =，12b =． ① 求方程()2f x =的根；② 若对于任意x ∈R ，不等式()()26f x mf x -≥恒成立，求实数m 的最大值； ⑵ 若01a <<，1b >，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值．【答案】⑴ ①0x =；②4；⑵1；【解析】⑴ ① ()122xxf x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()2f x =可得1222x x +=，则()222210x x -⨯+=，即()2210x -=，则21x =，0x =；② 由题意得221122622x x x x m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭≥恒成立，令122x xt =+，则由20x>可得2t =≥，此时226t mt --≥恒成立，即244t m t t t +=+≤恒成立∵2t ≥时44t t +≥，当且仅当2t =时等号成立，因此实数m 的最大值为4．()()22xxg x f x a b =-=+-，()ln 'ln ln ln ln x x x xa b g x a a b b a b b a ⎡⎤⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由01a <<，1b >可得1b a >，令()ln ln xb ah x a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()h x 递增，而ln 0,ln 0a b <>，因此0ln log ln b aa xb ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时()00h x =，因此()0,x x ∈-∞时，()0h x <，ln 0x a b >，则()'0g x <； ()0,x x ∈+∞时，()0h x >，ln 0x a b >，则()'0g x >；则()g x 在()0,x -∞递减，()0,x +∞递增，因此()g x 最小值为()0g x ， ① 若()00g x <，log 2a x <时，log 22a x a a >=，0x b >，则()0g x >； x >log b 2时，0x a >，log 22b x b b >=，则()0g x >；因此1log 2a x <且10x x <时，()10g x >，因此()g x 在()10,x x 有零点， 2l o g 2bx >且20x x >时，()20g x >，因此()g x 在()02,x x 有零点，则()g x 至少有两个零点，与条件矛盾；② 若()00g x ≥，由函数()g x 有且只有1个零点，()g x 最小值为()0g x ，可得()00g x =，由()00020g a b =+-=，因此00x =，因此ln log 0ln b a a b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即ln 1ln a b -=，即ln ln 0a b +=，因此()ln 0ab =，则1ab =．20. （本小题满分14分）记{}1,2,,100U =．对数列{}n a （*n ∈N ）和U 的子集T ，若T =∅，定义0T S =；若{}12,,,k T t t t =，定义12k T t t t S a a a =+++．例如：{}1,3,66T =时，1366T S a a a =++．现设{}n a （*n ∈N ）是公比为3的等比数列，且当{}2,4T =时，30T S =． ⑴ 求数列{}n a 的通项公式；⑵ 对任意正整数k （1100k ≤≤），若{}1,2,,T k ⊆，求证：1T k S a +<； ⑶ 设C U ⊆，D U ⊆，C D S S ≥，求证：2C CDD S S S +≥．【答案】⑴13n n a -=；⑵⑶详见解析；【解析】⑴ 当{}2,4T =时，2422930T S a a a a =+=+=，因此23a =，从而2113a a ==，13n n a -=；⑵ 2112131133332k k k T k k S a a a a -+-++=++++=<=≤；⑶ 设()C A CD =ð，()D B C D =ð，则A B =∅，C A CDS S S =+，D B CDS S S =+，22C CDD A B S S S S S +-=-，因此原题就等价于证明2A B S S ≥．由条件C D S S ≥可知A B S S ≥．① 若B =∅，则0B S =，所以2A B S S ≥．② 若B ≠∅，由A B S S ≥可知A ≠∅，设A 中最大元素为l ，B 中最大元素为m ，若1m l +≥，则由第⑵小题，1A l m B S a a S +<≤≤，矛盾．因为A B =∅，所以l m ≠，所以1l m +≥， 211123113332222m m m lA B m a a S S a a a -+-+++=++++=<≤≤≤，即2A B S S >．综上所述，2A B S S ≥，因此2C CDD S S S +≥．数学Ⅱ（附加题）21. [选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，在ABC △中，90ABC ∠=︒，BD AC ⊥，D 为垂足，E 是BC 中点．求证：EDC ABD ∠=∠．【答案】详见解析；【解析】由BD AC ⊥可得90BDC ∠=︒，由E 是BC 中点可得12DE CE BC ==，则EDC C ∠=∠，由90BDC ∠=︒可得90C DBC ∠+∠=︒，由90ABC ∠=︒可得90ABD DBC ∠+∠=︒，因此ABD C ∠=∠，又EDC C ∠=∠可得EDC ABD ∠=∠．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）ECBA已知矩阵1202⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，矩阵B 的逆矩阵111202-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦B ，求矩阵AB ．【答案】51401⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；【解析】()11112124221010222--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦B B ，因此151121*********⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦AB ．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为()11,2,x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪⎪⎩为参数，椭圆C 的参数方程为()cos ,2sin ,x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求线段AB 的长．【答案】167；【解析】直线l0y -，椭圆C 方程化为普通方程为2214y x +=，联立得22014y y x --=⎨+=⎪⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩或17x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此167AB ．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设0a >，13a x -<，23ay -<，求证：24x y a +-<．【答案】详见解析；【解析】由13a x -<可得2223a x -<， 22422233a ax y x y a +--+-<+=≤．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. （本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线()2:20C y px p =>． ⑴ 若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； ⑵ 已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q ． ①求证：线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --； ②求p 的取值范围．【答案】⑴28y x =；⑵①见解析；②40,3⎛⎫⎪⎝⎭【解析】⑴ :20l x y --=，∴l 与x 轴的交点坐标为()2,0即抛物线的焦点为()2,0，22p∴= 28y x ∴=；⑵ ① 设点()11,P x y ，()22,Q x y则：21122222y px y px ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即21122222y x p y x p⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12221212222PQ y y p k y y y y p p -==+- 又,P Q 关于直线l 对称，1PQ k ∴=- 即122y y p +=-，122y y p +∴=- 又PQ 中点一定在直线l 上12122222x x y y p ++∴=+=- ∴线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --；②中点坐标为()2,p p --122212122422y y p y y x x p p +=-⎧⎪∴+⎨+==-⎪⎩即1222212284y y p y y p p +=-⎧⎨+=-⎩ 12212244y y py y p p+=-⎧∴⎨=-⎩，即关于222440y py p p ++-=有两个不等根 0∴∆>，()()2224440p p p -->，40,3p ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭．23. （本小题满分10分）⑴ 求34677C 4C -的值；⑵ 设*,m n ∈N ，n m ≥，求证：()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m m m m m m m m n n n m m m n n m +++-++++++++++=+．【答案】⑴0；⑵详见解析；【解析】⑴ 34677C 4C 7204350-=⨯-⨯=；⑵ 对任意的*m ∈N ，① 当n m =时，左边()1C 1m m m m =+=+，右边()221C 1m m m m ++=+=+，等式成立，② 假设()n k k m =≥时命题成立，即()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m m m m m m m m k k k m m m k k m +++-++++++++++=+，当1n k =+时，左边=()()()()()12111C 2C 3C C 1C 2C m m mm m mm m m k k k m m m k k k ++-++++++++++++()()2211C 2C m m k k m k +++=+++，右边()231C m k m ++=+，而()()22321C 1C m m k k m m +++++-+，()()()()()()()()()()()()()()()()13!2!12!1!2!!2!1312!1!1!2!1!2C m k k k m m k m m k m k m k k m m k m k k m k m k +⎡⎤++=+-⎢⎥+-++-⎢⎥⎣⎦+=+⨯+--+⎡⎤⎣⎦+-++=+-+=+ 因此()()()222131C 2C 1C m m m k k k m k m ++++++++=+，因此左边=右边，因此1n k =+时命题也成立，综合①②可得命题对任意n m ≥均成立．另解：因为()()111C 1C m m k k k m +++=+，所以左边()()()1111211C 1C 1C m m m m m n m m m ++++++=++++++()()1111211C C C m m m m m n m ++++++=++++又由111C C C k k k n n n ---=+，知2212112111112111221121C C C C C C C C C C C C m m m m m m m m m m m m n n n n n n m m n m m n ++++++++++++++++++++++=+=++==+++=+++，所以，左边=右边．。

【真题】2016年江苏省高考数学试题(含附加题+答案)

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。

1.已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B ▲.2.复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是▲.3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是▲.4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是▲.5.函数y =232x x --的定义域是▲.6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是▲.7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是▲.8.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是▲.9.定义在区间[0,3π]上的函数y =sin2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是▲.10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b +=＞＞0的右焦点，直线2by =与椭圆交于B ，注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。

本卷满分为160分。

考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

江苏省苏州市2016届高三调研测试数学试题Word版含解析

苏州市2016届高三调研测试数学Ⅰ试题 2016．1参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．设全集U ＝｛x | x ≥2，x ∈N ｝，集合A ＝｛x | x 2≥5，x ∈N ｝，则U A ð＝ ▲ ．【答案】{2}．【命题立意】本题旨在考查集合补集的运算．考查概念的理解和运算能力，难度较小．【解析】∵U ＝｛x | x ≥2，x ∈N ｝，A ＝｛x | x 2≥5，x ∈N ｝∴{}{}22U A x x x N =≤<∈=ð． 2．复数i(0)12ia z a =<+，其中i 为虚数单位，||za 的值为 ▲ ．【答案】－5．【命题立意】本题旨在考查复数的运算，复数模的几何意义．考查概念的理解和运算能力，难度较小．【解析】()()()i 1-2i i 2i 12i 12i 1-2i 5a a a a z +===++，||z ==，故5a =-．【方法技巧】本题主要考查复数代数形式的基本运算以及复数模的考查，进行复数的除法的运算需要分子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i 2改为-1．在复数的除法运算中，共轭复数是一个重要的概念，通过它能将分母中的虚数单位i 化去，因),())((22R b a b a bi a bi a ∈+=-+，所以复数bi a z +=的共轭复数为bi a z -=，这与实数中的互为有理化因数类似，所以在复数的四则运算中，可类比二次根式的运算，从而更好地掌握共轭复数．3．双曲线22145x y -=的离心率为 ▲ ．【答案】32．【命题立意】本题旨在考查双曲线的离心率．考查概念的理解和计算，难度中等.【解析】双曲线22145x y -=，224,5a b == ，由222c a b =+ 得2459c =+= ，22293,42c e e a ===．4．若一组样本数据9，8，x ，10，11的平均数为10，则该组样本数据的方差为 ▲ ．【答案】2．【命题立意】本题旨在考查统计数据的平均数与方差．考查概念的理解和运算能力，难度较小．【解析】9+8+x+10+11=10×5，解得x=12，这对应的方差为s 2=15（12+22+22+02+12）=2． 5．已知向量a =(1，2)，b =(x ，-2)，且a ⊥(a -b )，则实数x = ▲ ．【答案】9．【命题立意】本题旨在考查平面向量的坐标运算与数量积．考查运算和推理能力，难度中等. 【解析】()1,4a b x -=- ，∵()a ab ⊥-∴()0a a b ⋅-= ，即()11240x -⨯+⨯= ，解得9x =．6．阅读算法流程图，运行相应的程序，输出的结果为 ▲ ．【答案】53．【命题立意】本题旨在考查算法的流程图中的直到型循环结构及其应用．考查运算和推理能力，难度较小．【解析】由算法的流程图，开始时x=1，y=1，此时z=2,满足z<6；接下来有x=1，y=2，z=3,此时满足z<6；接下来有x=2，y=3，z=5,此时满足z<6；接下来有x=3，y=5，z=8此时满足z>6；结束循环，输出53y x =．（第6题图）7．函数22,0,()1,0x x f x x x ⎧⎪=⎨-+>⎪⎩≤的值域为 ▲ ．【答案】(,1]-∞．【命题立意】本题旨在考查分段函数，函数的图象与性质，函数的值域．考查数形结合的数学思想，难度较小.【解析】当0x ≤时，()2x f x =，∵()f x 在0x ≤单调增，∴()01f x <≤；当0x >时，()21f x x =-+，∵()f x 在0x ≤单调减，()1f x ≤，综上所述()f x 的值域为(,1]-∞．8．连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，则事件“两次向上的数字之和等于7”发生的概率为 ▲ ．【答案】16．【命题立意】本题旨在考查古典概型及其应用．考查运算和推理能力，难度较小．【解析】设连续2次抛掷一枚骰子两次向上的数字用（x,y ）表示，两次向上的数字共有36种，两次向上的数字之和等于7的情况有6种：（1，6），（6，1），（2，5），（5，2），（3，4），（4，3），根据古典概型的概率公式可得所求的概率为61366P ==． 9．将半径为5的圆分割成面积之比为1:2:3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为123,,r r r ，则123r r r ++＝ ▲ ．【答案】5．【命题立意】本题旨在考查圆锥的几何性质与展开图．考查计算和推理能力，难度中等. 【解析】半径为5的圆分割成面积之比为1:2:3的三个扇形，三个扇形的圆心角分别为2,,33πππ ，由弧长公式l r α=，所对的弧长分别为510,,533πππ，三个扇形作为三个圆锥的底面半径的和为151055233ππππ⎛⎫++=⎪⎝⎭． 10．已知θ是第三象限角，且2sin 2cos 5θθ-=-，则sin cos θθ+＝ ▲ ．【答案】3125-．【命题立意】本题旨在考查同角三角函数的基本关系．考查概念的理解和运算能力，难度较小．【解析】由同角三角函数的基本关系得()()222sin 2cos 15sin cos 12θθθθ⎧-=-⎪⎨⎪+=⎩，解得7cos 25θ=-，3cos 5θ=，∵θ是第三象限角∴3cos 5θ=（舍），∴7cos 2524sin 25θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，31sin cos 25θθ+=-． 11．已知{}n a 是等差数列，a 5＝15，a 10＝－10，记数列{}n a 的第n 项到第n +5项的和为T n ，则n T 取得最小值时的n 的值为 ▲ ．【答案】5或6．【命题立意】本题旨在考查等差数列的通项公式与求和公式．考查数列的单调性，难度较小. 【解析】由题意可知11415910a d a d +=⎧⎨+=-⎩ ，解得135,5a d ==-，由等差数列的前n 项和公式得()()563405155165302n n n a a T n n n ++==-+-=- ，16530n T n =- ，12345135105754515T T T T T =>=>=>=>=，6789154575105T T T T =<=<=<=<所以当n=5或n=6时，n T 取得最小值．12．若直线1:l y x a =+和直线2:l y x b =+将圆22(1)(2)8x y -+-=分成长度相等的四段弧，则22a b +＝ ▲ ．【答案】18．【命题立意】本题旨在考查直线与圆的方程的应用，考查转化与化归，分析解决问题的能力．难度较大.【解析】设直线1:l y x a =+与圆相交于A,B 点，直线2:l y x b =+与圆相交于C,D 点．由题意可知AD BC ⊥ ,圆心到直线1:l y x a =+的距离为2，2d == ，解得1a =或1a =-；圆心到直线2:l y x b =+的距离为2，2d == ，解得1b =或1b =-，∵a b ≠∴11a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩或11b a ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，2218a b +=．13．已知函数f (x )＝|sin |x －kx (x ≥0，k ∈R )有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为0x ，则0200(1)sin 2x x x +＝ ▲ ．【答案】12．【命题立意】本题旨在考查三角函数的图象与性质，函数与方程，函数的零点及其应用．考查函数与方程思想，数形结合的数学思想，难度中等.【解析】设函数()sin f x x =的图象关于y 轴对称，直线y kx =过原点，所以函数f (x )＝|sin |x －kx (x ≥0，k ∈R )有且只有三个零点，即函数()sin f x x = 与直线()0y kx k =>在[)0,+∞上有三个公共点，此三个交点中的横坐标最大值为0x且在3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内相切，其切点为()00,A x y ，03,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ．由于()/3cos ,,2f x x x ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭ ，所以000sin cos x x x =， 002200000020sin (1)sin 2sin 12sin cos cos cos x x x x x x x x x =+⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭2200112cos 2sin 2x x ==+．【方法技巧】1．对于易画出图象的函数，判断零点的个数或零点所在的区间时，可转化为判断函数图象与x 轴的交点问题．2．对于函数)()()(x g x h x f -=的零点问题，可采用数形结合的方法，将函数)(x f 的零点问题转化为函数)(x h ，)(x g 的图象的交点问题，作出两个函数的图象，从而判断零点所在的大致区间或零点个数. 14．已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211ab+--的最小值为 ▲ ．【答案】4．【命题立意】本题旨在考查基本不等式及换元法．考查推理论证的能力与计算能力．难度较大.【解析】由14ab =得14a b = ，2221211424122711411451451a b b b b b b b b b b b +---+--=+==+---+--+-令71b t -=则22714949111418451427183427b t b b t t t t-+=+=-≥+-+--+-+-当且仅当2t =即214等号成立．二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos cos 2cos a B+b AC c=．（1）求角C 的大小；（2）若ABC ∆的面积为，6a b +=，求边c 的长．【答案】（1）3π；（2）【命题立意】本题旨在考查余弦定理，“边、角”互化思想．考查运算推理能力，难度较小.【解析】（1）由余弦定理知22222222cos cos 222a c b b c a c a B+b A a b c ac bc c+-+-=⋅+⋅==3分c o s c o s 1a B +b A c ∴=，1cos 2C ∴=， …………………………………5分又()0,C ∈π，3C π=. ………………………7分（2）1sin 2ABCS ab C ==8ab ∴=， ………………………10分又6a b +=，()22222cos 312c a b ab C a b ab ∴=+-=+-=， …………………13分c ∴=…………………………………14分 16．（本小题满分14分）如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中， E ，F 分别是AB ，BC 的中点，A 1C 1 与B 1D 1交于点O .（1）求证：A 1，C 1，F ，E 四点共面；（2）若底面ABCD 是菱形，且OD ⊥A 1E ，求证：OD ⊥平面A 1C 1FE .【答案】（1）略；（2）略．【命题立意】本题旨在考查空间直线平行．线与平面垂直的判定，考查空间想象．推理论证能力．难度中等.【解析】（1）连接AC ，因为E ，F 分别是AB ，BC 的中点，所以EF 是△ABC 的中位线，所以EF ∥AC ． ………………………2分由直棱柱知AA 1=CC 1，所以四边形AA 1C 1C 为平行四边形，所以AC ∥A 1C 1． ………………5分所以EF ∥A 1C 1，故A 1，C 1，F ，E 四点共面．……………7分（2）连接BD ，因为直棱柱中1DD ⊥平面1111A B C D ，11AC ⊂平面1111A B C D ，所以1DD ⊥11A C ． ………………………9分因为底面A 1B 1C 1D 1是菱形，所以11A C 11B D ⊥．又1DD 111=B D D ，所以11AC ⊥平面11BB D D ． ………………………11分因为OD ⊂平面11BB D D ，所以OD ⊥11A C ．又OD ⊥A 1E ，11AC 11A E A =，11AC ⊂平面A 1C 1FE ，1A E ⊂平面A 1C 1FE ，所以OD ⊥平面A 1C 1FE . ………………………14分 17．（本小题满分14分）图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C 为半圆弧ACB 的中点，渠宽AB 为2米．（1）当渠中水深CD 为0.4米时，求水面的宽度；（2）若把这条水渠改挖（不准填土）成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？（第16题图）1EAB【答案】（1）1.6米；（2．【命题立意】本题旨在考查圆的方程，切线方程，利用导数求函数的最值，考查数学模型的实际应用，分析与解析问题的能力．难度中等.【解析】（1）以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系xOy ，因为AB ＝2米，所以半圆的半径为1米，则半圆的方程为221(11,0)x y x y +=-≤≤≤． ………………………3分因为水深CD ＝0.4米，所以OD ＝0.6米，在Rt △ODM中，0.8DM ==（米）． ……………………5分所以MN ＝2DM ＝1.6米，故沟中水面宽为1.6米． ……………………6分（2）为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，设切点为(c o s ,s i n )(0)2P θθθπ-<<是圆弧BC 上的一点，过P 作半圆的切线得如图所示的直角梯形OCFE ，得切线EF 的方程为cos sin 1x y θθ+=． ……………………8分令y ＝0，得1(,0)c o s E θ，令y ＝-1，得1s i n (,1)c o s F θθ+-．设直角梯形OCFE 的面积为S ，则11s i n 2s i()()1c o s c o s c o S C F O E O C θθθθθ++=+⋅=+⨯= （02θπ-<<）． ……………………10分22cos cos (2sin )(sin )12sin cos cos S θθθθθθθ-+-+'==，令0S '=，解得6θπ=-，当26θππ-<<-时，0S '<，函数单调递减；当06θπ-<<时，0S '>，函数单调递增． ………………………12分所以6θπ=-时，面积S ．此时1sin()6cos()6CF π+-==π-14分 18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆O ：x 24＋y 2＝1的右焦点为F ，点B ，C 分别是椭圆O 的上、下顶点，点P 是直线l ：y ＝－2上的一个动点（与y 轴交点除外），直线PC 交椭圆于另一点M ．（1）当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，求△FBM 的面积；（2）①记直线BM ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值； ②求PB PM ⋅的取值范围．【答案】（1）7；（2）①略②()9,+∞．【命题立意】本题旨在考查直线与椭圆的位置关系，直线方程，平面向量的位置关系与线性运算，考查分析与解决问题的能力和运算能力等．难度中等.【解析】解：（1）由题意(0,1),(0,1)B C -，焦点F ，当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，则直线PM11y +=-，即1y x -，联立，221,41,3x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得1,7x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0,1x y =⎧⎨=-⎩（舍），即1)7M ．……………2分连BF ，则直线BF11y=，即0x +=，而2BF a ==，1|72d +===． ……………………4分故11222MBFSBF d =⋅⋅=⋅=． ……………………5分（2）解法一：①设(,2)P m -，且0m ≠，则直线PM 的斜率为1(2)10k m m---==--，则直线PM 的方程为11y x m=--，联立2211,1,4y x mx y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得2248(1)0x x m m ++=，解得22284(,)44m m M m m --++， (8)分所以22212412148844m m m k m m m m ---+===--+，21(2)30k m m --==--，所以1231344k k m m ⋅=-⋅=-为定值． …………………10分② 由①知，(,3)PB m =-，2322222841212(,2)(,)4444m m m m m PM m m m m m ---+=--+=++++，所以324222212121536(,3)(,)444m m m m m PB PM m m m m ++++⋅=-⋅-=+++， ……………13分令244m t +=>，故22(4)15(4)367887t t t t PB PM t t t t-+-++-⋅===-+，因为87y t t=-+在(4,)t ∈+∞上单调递增，所以8874794PB PM t t ⋅=-+>-+=，即PB PM ⋅的取值范围为(9,)+∞……16分解法二：①设点()000(,)0M x y x ≠，则直线PM 的方程为0011y y x x +=-，令2y =-，得00(,2)1xP y --+. ……………7分所以0101y k x -=，()020*******y k x x y +--==-+，所以()()()()2200001222000031313113441y y y y k k x x x y --+-=⋅===--（定值）. ………………10分 ②由①知，00(,3)1x PB y =+，0000(,2)1xPM x y y =+++，所以()()()()20000000200023212311x y x x PB PM x y y y y y +⎛⎫⋅=+++=++ ⎪+++⎝⎭ =()()()()()()200000200412723211y y y y y y y -+-+++=++． ………………13分令()010,2t y =+∈，则()()8187t t PB PM t tt-+⋅==-++，因为87y t t=-++在(0,2)t ∈上单调递减，所以8872792PB PM t t ⋅=-++>-++=，即PB PM ⋅的取值范围为(9,)+∞．…16分【方法技巧】 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题. 19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足：112a =，113n n n a a p nq -+-=⋅-，*n ∈N ,,p q ∈R . （1）若0q =，且数列{}n a 为等比数列，求p 的值；（2）若1p =，且4a 为数列{}n a 的最小项，求q 的取值范围. 【答案】（1）0p =或1p =；（2）2734q ≤≤．【命题立意】本题旨在考查数列的递推关系式，累加法，等比数列的定义，数列求和，数列的增减性．考查函数与方程思想，以及转化和化归能力，难度中等. 【解析】（1）0q =，113n n n a a p -+-=⋅，∴2112a a p p =+=+，321342a a p p =+=+，由数列{}n a 为等比数列，得21114222p p ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得0p =或1p =.……………3分当0p =时，1n n a a +=，∴12n a = 符合题意； ……………………4分当1p =时，113n n n a a -+-=， ∴()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-=()12111131133322132n n n ----++++=+=⋅-，∴13n na a +=符合题意. ………………………6分（2）法一：若1p =，113n n n a a nq -+-=-，∴()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-=()()211331212n n q -++++-+++-⎡⎤⎣⎦=()11312n n n q -⎡⎤--⎣⎦. …………8分 ∵数列{}n a 的最小项为4a ，∴对*n ∀∈N ，有()()141131271222n n n q a q -⎡⎤--=-⎣⎦≥恒成立，即()1232712n n n q ----≥对*n ∀∈N 恒成立. …………………10分当1n =时，有2612q --≥，∴136q ≥；当2n =时，有2410q --≥，∴125q ≥；当3n =时，有186q --≥，∴3q ≥；当4n =时，有00≥，∴q ∈R ； …………………12分当5n ≥时，2120n n -->，所以有1232712n q n n ----≤恒成立，令()123275,12n n c n n n n --=∈--N *≥，则()()()2112222123540169n n n n n n c c n n -+--+-=>--，即数列{}n c 为递增数列，∴5274q c =≤. …………………15分综上所述，2734q ≤≤. ……………………16分法二：因为1p =，113n n n a a nq -+-=-，又4a 为数列{}n a 的最小项，所以43540,0,a a a a -⎧⎨-⎩≤≥即930,2740,q q -⎧⎨-⎩≤≥所以2734q ≤≤. ……………………………………………………8分此时2110a a q -=-<，32320a a q -=-<，所以1234a a a a >>≥. ………………………………………………………10分当4n ≥时，令1n n n b a a +=-，141127232304n n n b b q --+-=⋅-⋅->≥，所以1n n b b +>，所以4560b b b <<<≤，即4567a a a a <<<≤. ………………………………………………………14分综上所述，当2734q ≤≤时，4a 为数列{}n a 的最小项，即所求q 的取值范围为27[3,]4. ………………………………………………………16分20．（本小题满分16分）已知函数()e (21)xf x x ax a =--+（a ∈R ），e 为自然对数的底数．（1）当a ＝1时，求函数()f x 的单调区间；（2） ①若存在实数x ，满足()0f x <，求实数a 的取值范围；②若有且只有唯一整数0x ，满足0()0f x <，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增.；（2）①()32e ,14,⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U ；②32e e e 35[,1)3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦．【命题立意】本题旨在考查导数及其应用，导数的运算与导数的几何意义，函数的单调性，考查分类讨论思维，分离参数构造函数求取值范围．难度中等.【解析】（1）当a ＝1时，()()e 211x f x x x =--+，()()e '211x f x x =+-，……1分由于'(0)0f =，当(0,)x ∈+∞时，e 1,211x x >+>，∴'()0f x >，当(,0)x ∈-∞时，0<e 1,211x x <+<，∴'()0f x <，所以()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增. ………………4分（2）①由()0f x <得()()e211xx a x -<-．当1x =时，不等式显然不成立；当1x >时，()e 211x x a x ->-；当1x <时，()e 211x x a x -<-. ………………6分记()g x =()e 211x x x --，()()()()()()222e e e '()232112111x x x g x x xx x x x x =-+---=--，∴ ()g x 在区间()0-∞，和3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，()0,1和31,2⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数．∴ 当1x >时，32e 342a g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，当1x <时，()01a g <=． …………………8分综上所述，所有a 的取值范围为()32e ,14,⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U ． …………………9分②由①知1a <时，0(,1)x ∈-∞，由0()0f x <，得0()g x a >，又()g x 在区间()0-∞，上单调递增，在()0,1上单调递减，且()01g a =>， ∴()1g a -≤，即e 32a ≥，∴e312a <≤. …………………12分当324e a >时，0(1,)x ∈+∞，由0()0f x <，得0()g x a <，又()g x 在区间312⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且32e 342g a ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，∴()()23g a g a<⎧⎪⎨⎪⎩≥，解得32e 532a <e ≤. ……………………15分综上所述，所有a 的取值范围为32e e e 35[,1)3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦． …………………16分数学II （附加题）21．【选做题】A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，四边形ABDC 内接于圆．BD ＝CD ，过C 点的圆的切线与AB 的延长线交于E 点。

2016年江苏省高中数学考纲

2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）说明数学科一、命题指导思想2016年普通高等学校招生全国统一考试数学学科（江苏卷）命题,将依据中华人民共和国教育部颁发的《普通高中数学课程标准（实验）》，参照《普通高等学校招生全国统一考试大纲（课程标准实验版）》，结合江苏省普通高中课程标准教学要求，既考查中学数学的基础知识和方法，又考查进入高等学校继续学习所需要的基本能力. 试卷保持较高的信度、效度以及必要的区分度和适当的难度。

1．突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查对数学基础知识和基本技能的考查，贴近教学实际，既注意全面，又突出重点，注重知识内在联系的考查，注重对中学数学中所蕴涵的数学思想方法的考查.2．重视数学基本能力和综合能力的考查数学基本能力主要包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理这几方面的能力.（1）空间想象能力的考查要求是:能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形，能够根据平面直观图形想象出空间图形；能够正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，并能够对空间图形进行分解和组合.（2）抽象概括能力的考查要求是：能够通过对实例的探究,发现研究对象的本质；能够从给定的信息材料中概括出一些结论，并用于解决问题或作出新的判断.（3）推理论证能力的考查要求是：能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题，运用归纳、类比和演绎进行推理，论证某一数学命题的真假性.（4）运算求解能力的考查要求是：能够根据法则、公式进行运算及变形；能够根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能够根据要求对数据进行估计或近似计算.（5）数据处理能力的考查要求是：能够运用基本的统计方法对数据进行整理、分析，以解决给定的实际问题.数学综合能力的考查，主要体现为分析问题与解决问题能力的考查，要求能够综合地运用有关的知识与方法，解决较为困难的或综合性的问题.3．注重数学的应用意识和创新意识的考查数学的应用意识的考查，要求能够运用所学的数学知识、思想和方法，构造数学模型，将一些简单的实际问题转化为数学问题，并加以解决.创新意识的考查要求是:能够综合，灵活运用所学的数学知识和思想方法，创造性地解决问题.二、考试内容及要求数学试卷由必做题与附加题两部分组成.选修测试历史的考生仅需对试题中的必做题部分作答；选修测试物理的考生需对试题中必做题和附加题这两部分作答.必做题部分考查的内容是高中必修内容和选修系列1的内容；附加题部分考查的内容是选修系列2中的内容以及选修系列4中专题4-1《几何证明选讲》、4-2《矩阵与变换》、4-4《坐标系与参数方程》、4-5《不等式选讲》这4个专题的内容（考生只需选考其中两个专题）.对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C表示）. 了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.具体考查要求如下：三、考试形式及试卷结构（一）考试形式闭卷、笔试，试题分必做题和附加题两部分.必做题部分满分为160分，考试时间120分钟；附加题部分满分为40分，考试时间30分钟.（二）考试题型1．必做题必做题部分由填空题和解答题两种题型组成.其中填空题14小题，约占70分；解答题6小题，约占90分.2．附加题附加题部分由解答题组成，共6题.其中，必做题2题，主要考查选修系列2中的内容；选做题共4题，依次考查选修系列4中4-1、4-2、4-4、4-5这4个专题的内容，考生只须从中选2题作答.填空题着重考查基础知识、基本技能和基本方法，只要求直接写出结果，不必写出计算或推理过程；解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（三）试题难易比例必做题部分由容易题、中等题和难题组成.容易题、中等题和难题在试卷中的比例大致为4：4：2.附加题部分由容易题、中等题和难题组成.容易题、中等题和难题在试卷中的比例大致为5：4：1.。

百校联盟2016年江苏省高考考试大纲调研卷理科数学第二模拟Word版含解析

实用标准文档文案大全百校联盟2016年江苏省高考《考试大纲》调研卷理科数学（第二模拟）一、填空题：共14题1．设全集U={1,3,5,7},集合M={1,a},?U M={3,7},则实数a的值为. 【答案】5【解析】本题考查集合的补运算.解题时,注意对补集概念的理解.根据补集的概念,易得a=5.2．已知i是虚数单位,复数z=(a∈R),若|z|=1,则a=.【答案】±1 【解析】本题主要考查复数的乘、除法运算,复数的模.因为z=+i,所以=1,解得a=±1.3．已知一组数据的平均数与方差分别为4.8和3.6,若将这组数据中的每一个数据都加上32,则所得新数据的平均数与方差分别为.【答案】36.8,3.6【解析】本题主要考查平均数与方差的相关知识,意在考查考生对统计的基础知识、基本概念的掌握情况和运算求解能力.平均数反映的是一组数据的平均水平,与每一个样本数据有关,任何一个数据改变都会引起平均数的改变,所以若将这组数据中的每一个数据都加上32,平均数也相应地增加32,为36.8;方差反映的是一组数据的离散程度,若将这组数据中的每一个数据都加上32,方差不变,仍然是3.6.4．如图是一个算法流程图,则输出的结果为.实用标准文档文案大全【答案】16【解析】本题主要考查算法流程图的相关知识,意在考查考生的阅读理解能力.求解本题的关键是正确理解循环语句的特点,S的值本质上形成了一个等比数列.由题意得,第一次循环的结果为2,第二次循环的结果为4,第三次循环的结果为8,第四次循环的结果为16,结束循环,故输出S的值为16.5．已知某兴趣小组有男生2名,女生1名,现从中任选2名去参加问卷调查,则恰有1名男生与1名女生的概率为.【答案】【解析】本题主要考查古典概型的相关知识,考查考生对基础知识的掌握情况.求解时,可以用枚举法直接求解,也可间接求解.解法一：设2名男生分别为A1,A2,1名女生为B,则任选2名共有(A1,A2),(A1,B),(A2,B)三种情况,设“恰有1名男生与1名女生”为事件M,则事件M共包含(A1,B),(A2,B)两种情况,故所求概率为P(M)=.解法二：设2名男生分别为A1,A2,1名女生为B,则任选2名共有(A1,A2),(A1,B),(A2,B)三种情况,设“2名都是男生”为事件N,则事件N包含的情况为(A1,A2),故所求概率为P()1-P(N)1-.6．已知=tanβ,且α-β=,则m=.【答案】【解析】本题主要考查三角恒等变换等知识,考查考生的转化与化归思想和运算求解能力. 由题意得=tanβ,又α-β=,所以tanβ=tan(α-)=,所以,所以m=.实用标准文档文案大全7．若双曲线-=1的左焦点为F,点P是双曲线右支上的动点,A(1,4),则|PF|+|PA|的最小值是.【答案】9【解析】本题主要考查双曲线的定义和几何性质,考查考生的数形结合思想和基本的运算能力.由题意知,双曲线-=1的左焦点F的坐标为(-4,0),设双曲线的右焦点为B,则B(4,0),由双曲线的定义知,|PF|+|PA|=4+|PB|+|PA|≥4+|AB|=4+=4+5=9,当且仅当A,P,B三点共线且P在A,B之间时取等号.8．已知f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意的x∈R都有f(x+3)-f(-x)=0.当x ∈(0,1]时,f(x)=x2-4x,则f(2 015)+f(2 016)的值为.【答案】3【解析】本题主要考查奇函数的性质、函数的周期性、函数求值等知识,意在考查考生的计算能力,属于中档题.由f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意的x∈R都有f(x+3)-f(-x)=0得,f(0)=0,f(x+6)=f(-x-3)=-f(x+3)=-f(-x)=f(x),∴函数f(x)的周期为6,∴f(2 015)+f(2 016)=f(-1+336×6)+f(336×6)=f(-1)+f(0)=-f(1)+0=3.9．已知等比数列{a n}的前n项和为S n,且满足S2=3,S3-S1=6,则a6=. 【答案】32【解析】本题主要考查等比数列的前n项和及通项公式等知识,意在考查考生基本的运算能力.设等比数列{a n}的公比为q,由S2=3,S3-S1=6,得a1+a2=3,a2+a3=6,则q==2,代入a1+a2=3得a1=1,所以a6=a1q5=25=32.10．设平面向量a,b,c都是单位向量,且向量a,b的夹角为60°,若c=2x a+y b,其中x,y为正实数,则xy的最大值为.实用标准文档文案大全【答案】【解析】本题主要考查平面向量数量积的概念及基本运算等知识,意在考查考生的运算能力.平方法是解此类问题的常用方法. 因为向量a,b的夹角为60°,所以将c=2x a+y b两边平方得,c2=4x2a2+4xy a·b+y2b2=4x2a2+4xy|a|·|b|c os 60°+y2b2,又a,b,c都是单位向量,所以1=4x2+2xy+y2≥2(2x·y)+2xy=6xy,当且仅当y=2x时等号成立,所以xy的最大值为.11．已知实数x,y满足-≤x≤,-≤y≤.若2·3x+sinx-2=0,9y+siny cos y-1=0,则cos(x-2y)的值为.【答案】1【解析】本题主要考查函数的单调性、特殊角的三角函数值等知识,意在考查考生的转化与化归思想及分析问题和解决问题的能力.抓住两个已知等式结构上的相似性,合理变式是求解本题的关键.由9y+sinycosy-1=0得2·32y+sin 2y-2=0.又2·3x+sinx-2=0,得2·3x+sinx=2·32y+sin 2y,令f(x)=2·3x+sinx,因为函数y=2·3x和y=sinx在区间[-,]上都是单调递增函数,所以f(x)在区间[-,]上是单调递增函数.由于-≤x≤,-≤y≤,故x=2y,即x-2y=0,所以cos(x-2y)=cos 0=1. 12．如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB1=BB1=BA=BC=2,∠B1BC=90°,D为AC的中点,AB⊥B1D,则三棱锥A1-B1AD的体积为.【答案】【解析】本题以三棱柱为背景,主要考查线面垂直的判定、三棱锥体积的求解等知识,考查考生的空间想象能力、转化能力及运算求解能力.取AB的中点O,连接DO,B1O,因为BB1=AB1,所以OB1⊥AB,又AB⊥B1D,OB1∩B1D=B1,所以AB⊥平面B1OD,因为OD?平面B1OD,所以AB⊥OD,由已知BC⊥BB1,又OD∥BC,所以OD⊥BB1,因为AB∩BB1=B,所以OD⊥平面ABB1A1,又O,D分别为AB,AC的中点,BC=2,所以OD=BC=1,所以×4×1=.实用标准文档文案大全13．在平面直角坐标系中,已知M(-1,0),N(1,0),A(0,2),B(0,t)(t>2),若存在点P,使,且∠APB为钝角,则实数t的取值范围是.【答案】(,+∞)【解析】本题主要考查圆的标准方程、圆与圆的位置关系等知识,意在考查考生的转化与化归能力及运算求解能力.设P(x,y),由,得,化简得x2-6x+y2+1=0,即(x-3)2+y2=8,∴点P在以E(3,0)为圆心,2为半径的圆上.又以AB为直径的圆的方程为x2+(y-)2=()2,此圆的圆心为F(0,),半径为.∵∠APB为钝角,∴圆F与圆E相交,∴(2-)2<|EF|2<(2+)2,即(2-)2<(3-0)2+(0-)2①,且(3-0)2+(0-)2<(2+)2②,又t>2,故由①得t>2,由②得t>,综上可知,实数t的取值范围为(,+∞).14．设函数f(x)=ex+(x≠0,m≠0)在x=1处的切线与直线(e-1)x-y+2 016=0平行,且kf(s)≥tlnt+1在s∈(0,+∞),t∈(1,e]上恒成立,则实数k的取值范围是.【答案】[,+∞)【解析】本题主要考查不等式恒成立、函数的最值、导数的几何意义等知识,意在考查考生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力. 由条件可得f'(x)=e-,故f'(1)=e-m=e-1,∴m=1.当s∈(0,+∞),t∈(1,e]时,f(s)>0,tlnt+1>0 ,由kf(s)≥tlnt+1可得k≥在s∈(0,+∞),t∈(1,e]上恒成立,即k≥[]max,设g(x)=xlnx+1,故只需求出f(x)在(0,+∞)上的最小值和g(x)在(1,e]上的最大值.由f(x)=ex+可得f'(x)=e-.由f'(x)>0可得,解得x>或x<-,由f'(x)<0可得,解得-<x<0或0<x<.∴f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,故f(x)在(0,+∞)上的最小值为f()=2.由g(x)=xlnx+1可得g'(x)=ln x+1,当x∈(1,e]时,g'(x)>0,∴g(x)在(1,e]上的最大值为g(e)=eln e+1=e+1,∴只需k≥,∴实数k的取值范围是[,+∞).二、解答题：共12题15．已知函数f(x)=sin 2x+cos 2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期; (2)若f(-)=,α是第二象限角,求sin 2α.【答案】(1)由题意得,f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+).所以函数f(x)的最大值为2,且函数f(x)的最小正周期T==π.实用标准文档文案大全(2)由(1)知,f(x)=2sin(2x+).因为f(-)=,所以2sinα=,即sinα=.又α是第二象限角,所以cosα<0,且cosα=-=-,所以sin 2α=2sinαcosα=2××(-)=-. 【解析】本题主要考查正弦函数的图象与性质、二倍角公式、两角和的正弦公式等知识,考查考生的运算求解能力.(1)先由两角和的正弦公式化简函数f(x)的解析式,再利用正弦函数的图象与性质求解;(2)将x=-代入函数f(x)的解析式,结合角的范围和二倍角公式求解. 【备注】三角函数、三角恒等变换部分的C级考点是两角和(差)公式,二倍角的正弦、余弦及正切公式,这也是高考的重点,故猜想回归定义是2016年高考命题的一种趋势,三角函数与向量运算相结合命制简单的小综合题也应该重视.复习时,要关注定义及公式的推导方法.16．已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,平面PAD⊥平面ABCD,点E,F,G分别为棱BC,PC,AD的中点.(1)求证:平面PBG⊥平面PAD; (2)求证:PG∥平面DEF. 【答案】(1)连接BD. 因为底面ABCD为菱形,且∠BAD=60°,所以△ABD为正三角形. 因为G为AD的中点,所以BG⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面，ABCD=AD,BG?平面ABCD,所以BG⊥平面PAD.又BG?平面PBG,所以平面PBG⊥平面PAD.(2)解法一连接CG 交DE于点H,连接FH,GE.因为E,G分别是BC,AD的中点,BC∥AD,且BC=AD,所以DG∥CE,且DG=CE,所以四边形GECD为平行四边形,所以H为CG的中点.因为F为PC的中点,所以FH∥PG,又PG?平面DEF,FH?平面DEF,所以PG∥平面DEF.解法二因为E为BC的中点,F为PC的中点,所以PB∥EF.又PB?平面DEF,EF?平面DEF,所以PB∥平面DEF.因为BE∥DG,BE=DG,所以四边形BEDG为平行四边形,所以BG∥DE,实用标准文档文案大全又BG?平面DEF,DE?平面DEF,所以BG∥平面DEF.又PB,BG?平面PBG,PB ∩BG=B,所以平面PBG∥平面DEF.又PG?平面PBG,所以PG∥平面DEF.【解析】本题主要考查面面垂直与线面平行的证明等,考查考生的空间想象能力及推理论证能力.(1)先由条件证明BG⊥平面PAD,再由面面垂直的判定定理证明平面PBG⊥平面PAD;(2)解法一利用线面平行的判定定理进行证明,先得线线平行,再证线面平行;解法二利用面面平行的性质进行证明,先得面面平行,再证线面平行.【备注】复习立体几何时,应做到以下三点:(1)合理把握要求,研究高考试题的命题特点与考查要点,对其难度、知识点覆盖、考试要求了然于胸;(2)梳理知识网络,重点掌握并能够熟练运用直线与平面、平面与平面平行与垂直的判定定理及性质定理,能够灵活进行转化;(3)书写规范,证明题要步步有据,切忌跳步或是漏写条件.17．如图,一小区中有一块边长为40 m的正方形空地ABCD,现要在正方形空地中规划一个三角形区域PAQ种植花草,P,Q分别在边BC,CD上(P,Q均不与端点重合),其他区域安装健身器材.为了使规划比较美观,需要满足PB+QD=PQ.(1)当P,Q在边BC和CD上移动时,试问∠PAQ是否为定值,若是,求出该定值,若不是,请说明理由;(2)求△PAQ面积的最小值.【答案】(1)设∠BAP=α, ∠DAQ=β,则0<α<,0<β<.设BP=xm,DQ=ym,则PQ=(x+y) m,CP=(40-x) m,CQ=(40-y) m.∴(x+y)2=(40-x)2+(40-y)2,∴xy=1 600-40(x+y).∵tanα=,tanβ=,∴tan(α+β)==1,∴α+β=,∴∠PAQ=,为定值. (2)由(1)可得AP=,AQ=,∴S△PAQ=···,∴S△PAQ=,∴当2α+,即α=时,S△PAQ取得最小值,且(S△PAQ)min=1 600(-1).故△PAQ面积的最小值为1 600(-1) m2.实用标准文档文案大全【解析】本题主要考查两角和的正切公式、三角函数的最值等知识,意在考查考生的数学应用意识和数学建模能力、运算求解能力.(1)由题意,结合两角和的正切公式可得∠PAQ为定值;(2)利用三角函数求最值是应用问题中求最值经常使用的方法. 【备注】求解应用题时,审题是做题的前提,至关重要,应强化审题意识.审题时,首先要抓住题目中的关键字、词、句,结合所给图形,了解题目中讲的是什么,要求的结果是什么;其次确定需要建立什么类型的数学模型和需要用到的数学知识;再次提取题干中的有效信息,结合已知条件进行数学问题的求解;最后回归实际,将所得的数学结果转化为实际问题的结果.18．已知椭圆W:+=1(a>b>0)的焦距为2,一条准线方程为x=.过点P(0,-2)的直线l 交椭圆W于A,C两点(异于椭圆的顶点),椭圆W的上顶点为B,直线AB,BC的斜率分别为k1,k2. (1)求椭圆W的标准方程;(2)当∠CAB=90°时,求直线l的斜率; (3)当直线l的斜率变化时,求k1k2的值. 【答案】(1)∵椭圆W的焦距为2,∴c=,又一条准线方程为x=,∴,∴a=2,b=1,则椭圆W的标准方程为+y2=1.(2)由(1)知B(0,1),设A(x0,y0),直线l的斜率为k,∵∠CAB=90°,∴k1·k=-1,即·=-1,∴+y0-2=-,又点A在椭圆W上,∴+=1,∴=4-4,∴+y0-2=4-4,∴y0=1或y0=-,∵A,B不重合,∴y0=1舍去,∴y0=-,∴x0=±,∴A(,-)或A(-,-). ∴k=或k=-,即直线l的斜率为或-.(3)由题意知直线AB:y=k1x+1,直线BC:y=k2x+1,由,化简得(4+1)x2+8k1x=0, ∴A(,),同理可得C(,),又P(0,-2),由P,A,C三点共线得,化简得(4+1)(4k1k2-3)=0, 又4+1>0,∴4k1k2-3=0,∴k1k2=.【解析】本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线和椭圆的位置关系等知识,考查考生的运算能力和分析问题、解决问题的能力.(1)由焦距和准线的方程求基本量,即可得椭圆W的标准方程;(2)由题意得直线l的斜率与直线AB的斜率之间的关系,进而求解直线l的斜率;(3)先求出A,C两点的坐标,再由三点共线求解k1k2的值. 【备注】高考中,解析几何解答题第(1)问往往是已知圆锥曲线类型及其简单的几何性质求方程,比较基础,易于上手;其他小问是在求出圆锥曲线方程的基础上,研究圆锥曲线更深层次的性质、直线与圆锥曲线的位置关系,定点、定值、最值及探究性问题值得高度重视.对解析几何的复习,要牢固掌握与解析几何有关的基本概念,把上述内容作为复习和研究的重点,同时要狠抓运算关,提高运算能力.实用标准文档文案大全19．设函数f(x)=e x-ax+a-e,其中e是自然对数的底数.(1)若f(x)为R上的单调函数,求实数a的取值范围; (2)若a>0,求证:f(x)有唯一零点的充要条件是a=e.【答案】(1)由题意得f'(x)=e x-a.当a>0时,由f'(x)=0得x=lna.当x>lna时,f'(x)>0,f(x)为单调递增函数;当x<lna时,f'(x)<0,f(x)为单调递减函数.此时f(x)在R上不单调. 当a≤0时,f'(x)>0,f(x)在R上单调递增.综上,实数a的取值范围是(-∞,0].(2)充分性当a=e时,f(x)=e x-ex,f'(x)=e x-e.令f'(x)=0得x=1. 当x>1时,f'(x)>0,f(x)为单调递增函数,所以f(x)>f(1)=0;当x<1时,f'(x)<0,f(x)为单调递减函数,所以f(x)>f(1)=0.所以函数f(x)有唯一的零点x=1. 必要性设函数f(x)有唯一的零点x0,因为f(1)=0,所以x0=1.又a>0,由(1)知,当且仅当x=lna时,f(x)取得最小值f(lna)=2a-alna-e.记g(a)=2a-alna-e,所以g'(a)=1-lna,令g'(a)=0得a=e.当a>e时,g'(a)<0,g(a)为单调递减函数,g(a)<g(e)=0,即f(lna)<0.因为a>lna>1,且f(a)=e a-a2+a-e>0,所以f(x)在(lna,a)内有零点,与题意矛盾;同理当0<a<e时,有f(lna)<0.因为lna<1,所以存在-<lna,使得f(-)=-a·(-)+a-e=a+>0,所以f(x)在(-,lna)内有零点,与题意矛盾.故lna=1,即a=e.综上所述,f(x)有唯一零点的充要条件是a=e.【解析】本题考查导数的运算、函数的单调性、函数的极值与最值、函数的零点等,考查考生的运算能力,综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力,考查数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想等.【备注】函数是高中数学的主线,在历年江苏省高考卷中,考查比重都较大,无论是填空题还是解答题,难度、思维量都不小,且常常与导数的知识相结合进行考查,猜想2016年高考依然会保持这一特点不变.在复习中,对函数与导数要重点关注,同时也应该根据自身的情况确定复习的难度和广度.20．设数列{a n}是公差为d的等差数列,数列{b n}是公比为q(q≠1)的等比数列,记S n为数列{b n}的前n项和.实用标准文档文案大全(1)若S3,S13,S8成等差数列.①求证:b m+1,b m+11,b m+6(m∈N*)成等差数列;②是否存在正整数k,使得(S k)2,(S k+10)2,(S k+5)2成等差数列?并说明理由;(2)若公差d>0,公比q>1.集合{a1,a2,a3}∪{b1,b2,b3}={1,2,3,4,5}.从{a n}中取出s(s∈N*,s>1)项,从{b n}中取出t(t∈N*,t>1)项,按照某一顺序排列构成s+t 项的等差数列{c n},当s+t取到最大值时,求数列{c n}的通项公式.【答案】(1)①∵S3,S13,S8成等差数列,∴2S13=S3+S8,又q≠1,∴+,即2q13=q3+q8,∴2q10=1+q5,则2b1q m+10=b1q m+b1q m+5,即2b m+11=b m+1+b m+6,∴b m+1,b m+11,b m+6成等差数列.②解法一假设存在正整数k,使得(S k)2,(S k+10)2,(S k+5)2成等差数列,则2(S k+10)2=(S k)2+(S k+5)2,∴2[]2=[]2+[]2,∴2(1-q k+10)2=(1-q k)2+(1-q k+5)2 (*),由2q10=1+q5,得q5=-,代入(*)式化简得q2k=0,矛盾,∴不存在正整数k,使得(S k)2,(S k+10)2,(S k+5)2成等差数列.解法二由①可得S k,S k+10,S k+5成等差数列,∴(S k)2+(S k+5)2≥=2(S k+10)2,∵S k≠S k+5,∴(S k)2+(S k+5)2>2(S k+10)2,∴不存在正整数k,使得(S k)2,(S k+10)2,(S k+5)2成等差数列.(2)∵d>0,q>1,且集合{a1,a2,a3}∪{b1,b2,b3}={1,2,3,4,5},∴a1=1,a2=3,a3=5,b1=1,b2=2,b3=4,∴a n=2n-1,b n=2n-1,又s>1,t>1,则从{a n b n}中至少各取2项.解法一①若数列{b n}中不取1,则{b n}中取出的数全部为偶数,而数列{a n}中全部是奇数, ∴数列{c n}中的项必为奇数,偶数相间,不妨设为a i,b j,a m,b n,a h,b k,…,其中i<m<h<…,j<n<k<…,∵b n=2n-1,∴b n-b j<b k-b n,则从等比数列{b n}中取出的项只能为2项,从数列{a n}中取出的项最多为3项,若取出的项多于3项,则数列{c n}中必有连续2项是数列{a n}中的项,不满足题意,∴(s+t)max=5.下面证明(s+t)max=5能取到.∵a i,b j,a m,b n,a h成等差数列,∴a m==2j-2+2n-2,其中2≤j<n,j,n∈N*,∵a m为奇数,∴2j-2+2n-2为奇数,∴j=2,则b2=2,a i=a1=1,∴c n=n.②若数列{b n}中取1,可以将1看成数列{a n}中的项,则数列{c n}为1,b i,a j,b m,a n,同理可得b i=b2=2,∴c n=n.解法二①若数列{b n}中不取1,则{b n}中取出的数全部为偶数,而数列{a n}中全部是奇数, ∴数列{c n}中的项必为奇数,偶数相间,不妨设为a i,b j,a m,b n,a h,b k,…,其中i<m<h<…,j<n<k<…,∵b n=2n-1,∴b n-b j<b k-b n,则从等比数列{b n}中取出的项只能为2项,从数列{a n}中取出的项最多为3项,若取出的项多于3项,则数列{c n}中必有连续2项是数列{a n}中的项,不满足题意,∴(s+t)max=5.下面证明(s+t)max=5能取到.实用标准文档文案大全设数列{c n}的公差为d1,∵a i,b j,a m,b n,a h成等差数列,∴d1=2j-1-(2i-1),∴b n=a i+3d1,即2n-1=3·2j-1-2(2i-1),且n≥j+1,若n≥j+2,则2n-1≥2j+1,即3·2j-1-2(2i-1)≥2j+1,化简得-2(2i-1)≥2j-1,矛盾.∴n=j+1,∴3·2j-1-2(2i-1)=2j,故有2i-1=2j-2, ∵2i-1为奇数,∴j=2,n=3,∴b j=b2=2,b n=b3=4,∴c n=n.②若数列{b n}中取1,可以将1看成数列{a n}中的项,则数列{c n}为1,b i,a j,b m,a n,∴b m=1+3d1,其中d1=2i-1-1,故2m-1=1+3(2i-1-1),若m≥i+2,则2m-1≥2i+1,即3·2i-1-2≥2i+1,化简得-2≥2i-1,矛盾. ∴m=i+1,∴2i=3·2i-1-2,∴2i-1=2,得i=2,∴b i=b2=2,∴c n=n.综上可得,数列{c n}的通项公式为c n=n. 【解析】本题主要考查等差数列的通项公式,等比数列的通项公式、前n项和等知识,意在考查考生的运算求解能力,分析问题、解决问题的能力.【备注】近几年,江苏卷总是将数列题,特别是以等差、等比数列为背景的数列题作为高考中的压轴题,这是江苏省高考试卷的一个特点.针对这种情况,在高三复习中,一是要特别关注等差、等比数列中的一些基本问题及性质;二是要培养观察、分析问题的能力,即在平时复习中,不仅仅要简单地模仿,更要学会多角度分析题目的条件和结论,拓宽视野.21．如图,☉O是△ABC的外接圆,AB=AC,延长BC到点D,使得CD=AC,连接AD交☉O 于点E,连接BE与AC交于点F,求证:BE平分∠AB C.【答案】因为CD=AC,故∠D=∠CAD.又∠EBC=∠CAD,故∠EBC=∠D.因为AB=AC,故∠ABC=∠ACB.因为∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ACB=∠D+∠CA D.故∠ABE=∠D=∠EBC,即BE平分∠ABC.【解析】本题主要考查圆的基本性质、圆周角定理等基础知识,考查考生的推理论证能力.熟练运用圆周角定理与等腰三角形的性质是解题的关键.【备注】对几何证明选讲部分的复习,一要关注圆中的角、弧、线段等元素的关系及转换;二要从文字语言、图形语言两个角度认识和理解一些常见的定理.22．已知矩阵M=,其中a,b,c∈R,若点P(1,-2)在矩阵M对应的变换下得到点P'(-3,1),且矩阵M的属于特征值-1的一个特征向量是,求a·(2b-c)的值. 【答案】由题意可知, ,得 ,得解得a=2,b=1,c=0,所以a·(2b-c)=4.实用标准文档文案大全【解析】本题主要考查矩阵的变换、矩阵的特征值与特征向量等基础知识,考查考生的运算求解能力.【备注】对于矩阵与变换的复习,要在对基本概念的理解上下工夫,如理解变换与矩阵的关系、矩阵的乘法与变换的关系、逆矩阵的意义、特征值和特征向量的含义等.同时,还要掌握与矩阵有关的基本计算,提高运算能力.23．已知直线l的参数方程是(t为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是ρ=-2cosθ,设直线l与y轴的交点是M,N是曲线C 上一动点,求|MN|的最大值.【答案】曲线C的极坐标方程可化为ρ2=-2ρcosθ,故曲线C的直角坐标方程为x2+y2+2x=0.将直线l的参数方程化为普通方程,得y+3=-x.令x=0,得y=-3,即点M 的坐标为(0,-3).又圆C的圆心坐标为(-1,0),半径r=1,则|MC|=,所以|MN|≤|MC|+r=+1,即|MN|的最大值为+1.【解析】本题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系,考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力和分析问题、解决问题的能力.24．已知实数a,b满足|a+b|≤2,求证:|a2+2a-b2+2b|≤4(|a|+2).【答案】∵|a2+2a-b2+2b|=|a+b||a-b+2|=|a+b||2a-(a+b)+2|≤|a+b|(|2a|+|a+b|+2), 又|a+b|≤2,故|a2+2a-b2+2b|≤4(|a|+2).【解析】本题主要考查绝对值不等式及其性质等知识,考查考生的推理论证能力.【备注】对不等式选讲的复习,一方面要关注对基本不等式、柯西不等式的理解,另一方面要注意从目标出发,合理使用公式,减少盲目性.25．某智能玩具公司抓住春节这一契机,推出了一款新型的儿童智能玩具,该玩具的外形是正方体,其每一个面(编号分别为①②③④⑤⑥)上都配置有5颗颜色各异的闪光小星星,假设每颗闪光小星星正常发光的概率均为,若一个面上至少有3颗闪光小星星正常发光,则不需要更换这个面,否则需要更换这个面,假定更换一个面需要10元,用η表示更换费用. (1)求①号面需要更换的概率; (2)求η的分布列及数学期望.实用标准文档文案大全【答案】(1)由题意知,①号面需要更换的概率为1-. (2)设需要更换的面的个数为ξ,则ξ~B(6,), P(ξ=0)=,P(ξ=1)=, P(ξ=2)=,P(ξ=3)=, P(ξ=4)=,P(ξ=5)=, P(ξ=6)=,∴维修费用η的分布列为∴Eη=0×+10×+20×+30×+40×+50×+60×=30(元). 【解析】本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望等知识,考查考生的阅读理解能力、运算求解能力及解决实际问题的能力.【备注】江苏省高考近几年第22题主要考查空间向量与立体几何、概率,2015年附加题考查空间向量与立体几何,2016年考查概率的可能性较大,所考知识点主要是离散型随机变量的分布列与数学期望、二项分布等,建议考生在复习时要加强对该类试题的练习.26．已知数列{a n}满足a n+1=-na n+1(n∈N*),且a1=3.(1)计算a2,a3,a4的值,由此猜想数列{a n}的通项公式,并给出证明; (2)求证:当n ≥2时,≥4n n.【答案】(1)由题意得,a2=4,a3=5,a4=6.由此猜想a n=n+2(n∈N*).①当n=1时,a1=3,结论成立; ②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,结论成立,即a k=k+2,则当n=k+1时,a k+1=-ka k+1=(k+2)2-k(k+2)+1=k+3=(k+1)+2,即当n=k+1时,结论也成立. 由①②得,数列{a n}的通项公式为a n=n+2(n∈N*).(2)原不等式等价于(1+)n≥4.显然,当n=2时,等号成立;实用标准文档文案大全当n>2时,(1+)n=++()2+…+()n≥++()2+()3>++()2=5->4. 综上所述,当n≥2时,≥4n n.【解析】本题主要考查数列的通项公式、不等式的证明、数学归纳法等,考查考生的运算求解能力与推理论证能力.【备注】江苏省高考附加题最后一题常以数列为背景,考查数学归纳法及二项式定理等知识,复习时应对以上问题加以重视.。

高考专题百校联盟江苏省高考《考试大纲》调研卷理科数学(第.docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作百校联盟2016年江苏省高考《考试大纲》调研卷理科数学（第四模拟）一、填空题：共14题1．设全集U=[-2,2],若集合A满足∁U A=[1,2),则A=.【答案】[-2,1)∪{2}【解析】本题主要考查考生对补集的理解,考查考生对基础知识的掌握情况.在数轴上分别作出全集U与∁U A,根据补集的概念可得A=[-2,1)∪{2}.2．在复平面内,复数z=+i2 016(i为虚数单位)对应的点位于第象限.【答案】一【解析】本题考查复数的基本运算,结合i4=1,对式子进行化简,从而判断z对应的点所在的象限.∵z=+1=+1=+,∴z对应的点所在的象限是第一象限.3．某校有甲、乙、丙3个高三文科班,其中甲班有47人,乙班有51人,丙班有49人.现分析3个班的某一次数学考试成绩,计算得甲班的平均成绩是90分,乙班的平均成绩是90分,丙班的平均成绩是87分,则该校这3个高三文科班的数学平均成绩是分.【答案】89【解析】本题考查统计中的平均数,考查考生的运算求解能力.由题意知,3个高三文科班的数学平均成绩=89.4．已知向量a=(2,-1),2b=(-4,6),则(a-b)·(a+b)=.【答案】-8【解析】本题主要考查平面向量的坐标运算、数量积等知识,考查考生对基础知识的掌握情况.解法一因为向量a=(2,-1),2b=(-4,6),所以b=(-2,3),a+b=(0,2),a-b=(4,-4),所以(a-b)·(a+b)=(4,-4)·(0,2)=0-8=-8.解法二因为向量a=(2,-1),2b=(-4,6),所以a2=5,b=(-2,3),b2=13,所以(a-b)·(a+b)=a2-b2=5-13=-8.5．已知等比数列{a n}的各项都是正数,且,,a2成等差数列,则=.【答案】9【解析】本题考查等差数列与等比数列的基础知识,意在考查考生的运算求解能力.破解此题的关键是活用等差数列的性质、等比数列的通项公式和性质.设等比数列{a n}的公比为q(q>0),因为,,a2成等差数列,所以+a2,所以q2=3+2q,所以q=3或q=-1(舍去),所以=9.6．已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2b=a+c,若sin B=,cos B=,则b的值为.【答案】4【解析】本题考查余弦定理、同角三角函数的关系等知识的综合运用.∵2b=a+c,sin B=,cos B=,sin2B+cos2B=1,∴ac=15,∴b2=a2+c2-2ac cos B=(a+c)2-48=4b2-48,得b=4.7．从1,2,3,4,5这五个数字中随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是.【答案】【解析】本题主要考查古典概型的概率计算公式.解题的关键是正确列出总的基本事件及所求事件包含的基本事件.通解由题意知,从1,2,3,4,5这五个数字中随机取出三个数字的情况有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10种,其中剩下两个数字都是奇数的情况有(1,2,4),(2,3,4),(2,4,5),共3种,故所求概率为.优解由题意知,事件“从1,2,3,4,5这五个数字中随机取出三个数字,剩下两个数字都是奇数”的概率与事件“从1,2,3,4,5这五个数字中随机取出两个数字,这两个数字都是奇数”的概率相等,又从1,2,3,4,5这五个数字中随机取出两个数字的情况(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种,其中抽取的两个数字都是奇数的情况有(1,3),(1,5),(3,5),共3种,故所求概率为.8．已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-<φ<0)的图象的一个最高点为(,),其图象的相邻两个对称中心之间的距离为,则φ=.【答案】-【解析】本题考查三角函数的图象与性质等基础知识,考查考生的运算求解能力.因为函数f(x)的图象的相邻两个对称中心之间的距离为,故函数的最小正周期为T=π,所以ω==2,因为函数f(x)的图象的最高点为(,),所以2×+φ=2kπ+(k∈Z),φ=2kπ-(k∈Z),因为-<φ<0,所以φ=-.9．定义[x]为不超过x的最大整数,例如[1.3]=1.执行如图所示的算法流程图,当输入x的值为4.7时,则输出y的值为.【答案】10.2【解析】本题考查算法流程图的基础知识,考查考生分析问题、解决问题的能力.求解时注意准确判断条件是否满足,决定程序执行的方向.由输入的x为4.7,执行第一个条件判断框后,执行否方向,而4.7-[4.7]=0.7,即4.7-[4.7]不等于0,因而仍执行否方向,得到y=7+([4.7-3]+1)×1.6=10.2,故输出y的值为10.2.10．已知正三棱锥P-ABC的体积为,底面边长为2,则侧棱PA的长为.【答案】2【解析】本题考查空间几何体的体积,一方面要牢记空间几何体的体积公式,另一方面要掌握常见几何体中的基本数量关系.设底面正三角形ABC的中心为O,又底面边长为2,故OA=,由V P-ABC=PO·S△ABC,得PO××22,PO=,所以PA==2.11．已知周期为4的函数f(x)=,则方程3f(x)=x的根的个数为.【答案】3【解析】本题考查分段函数、方程的根等知识.先画出函数f(x)一个周期的图象,再向左、向右扩展,数形结合可得出两个函数图象的交点个数,从而得解.作出函数y=f(x)的图象及直线y=如图所示,则两个图象的交点个数为3,即方程的根的个数为 3.12．在平面直角坐标系中,不等式组 (a为常数)表示的平面区域的面积为4,则x2+y的最小值为.【答案】-【解析】本题考查不等式组表示的平面区域等知识.要注意z=x2+y不是一次型函数,而是二次型函数,故不一定在可行域的边界点处取得最值.由题意作出可行域如图中阴影部分所示,因为平面区域的面积为4,易得A(2,2),B(2,-2),把A,B,O三个边界点的坐标分别代入x2+y,得在这三点处的最小值为0. 令x2+y=0,即y=-x2,y'=-2x,当抛物线y=-x2平移到与直线y=-x相切时,y'=-2x=-1,得x=,即切点P(,-),代入x2+y,得x2+y=-=-,所以x2+y的最小值为-.13．已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1、F2,过点F1作圆x2+y2=a2的一条切线分别交双曲线的左、右两支于B、C两点,与双曲线的渐近线在第二象限内交于点D,且|CD|=|CF2|,则双曲线的离心率为.【答案】【解析】本题主要考查双曲线的定义、几何性质,直线与圆、双曲线的位置关系等知识,考查考生分析问题、解决问题的能力.由双曲线的定义可知,-=2a,又,所以=2a.因为点F1的坐标为(-c,0),直线DF1与圆x2+y2=a2相切,且圆的半径为a,所以直线DF1的方程为y=(x+c),又直线OD的方程为y=-x,联立得点D的坐标为(-,),所以(-+c)2+()2=4a2,得,所以双曲线的离心率为.14．若关于x的不等式(ax-1)(ln x+ax)≥0在(0,+∞)上恒成立,则实数a的取值范围是.【答案】(-∞,-]∪{e}【解析】本题主要考查函数的图象与性质,考查考生的转化与化归能力、运算求解能力和分类讨论思想.(ax-1)(ln x+ax)≥0⇔(a-)(a+)≥0⇔ 或.设函数f(x)=,g(x)=-,在同一平面直角坐标系内画出它们的图象如图所示,由图象可得实数a的取值范围是(-∞,-]∪{e}.二、解答题：共12题15．已知锐角α满足cos(α+)=.(1)求sin 2α的值;(2)求tan(α-)的值.【答案】(1)因为cos(α+)=,所以cosα-sinα=>0,所以1-sin 2α=,解得sin 2α=. (2)因为sin 2α==2sinαcosα=,即有7tan2α-50tanα+7=0,解得tanα=或tanα=7. 因为cosα-sinα>0,所以0<tanα<1,所以tanα=.则tan(α-)=.【解析】本题主要考查三角函数的运算.解答本题时要注意利用和差角公式与二倍角公式,以及同角三角函数的关系式进行求解.【备注】三角作为高考考查的重点内容,每年必考,其考查的重点是同角三角函数的关系式,三角函数的诱导公式,正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质,两角和(差)的正弦、余弦及正切公式,二倍角公式,其中两角和(差)的正弦、余弦及正切公式是高考中8个C级考点之一,在复习的过程中要重视公式的逆向应用和变形应用.16．如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,平面APD⊥平面ABCD,且PA=PD,BC=CD=AD,E,F分别为AD,PD的中点.(1)求证:CF∥平面PAB;(2)求证:平面PEC⊥平面PB D.【答案】(1)解法一连接EF,在△APD中,E,F分别为AD,PD的中点,所以EF∥PA,在四边形ABCD中,BC∥AD,又BC=AD,且AE=ED,所以BC AE,四边形BCEA为平行四边形,所以EC∥AB.又EF∩EC=E,PA∩AB=A,所以平面EFC∥平面PAB, 又FC⊂平面EFC,所以CF∥平面PAB.解法二如图,取PA的中点M,连接MF,MB.在△PAD中,PM=MA,PF=FD,所以MF∥AD,且MF=AD. 由已知,BC∥AD,且BC=AD,所以MF∥BC,且MF=BC,所以四边形BCFM为平行四边形,所以FC∥BM, 又FC⊄平面PAB,BM⊂平面PAB,所以CF∥平面PAB.(2)连接BE,在△PAD中,PA=PD,AE=ED,所以PE⊥AD.又平面APD⊥平面ABCD,平面APD∩平面ABCD=AD,所以PE⊥平面ABCD,故PE⊥BD. 在四边形ABCD中,BC∥DE,且BC=DE,所以四边形BCDE为平行四边形.又BC=CD,所以四边形BCDE为菱形,BD⊥CE, 又PE∩EC=E,所以BD⊥平面PEC,又BD⊂平面PBD,所以平面PEC⊥平面PBD.【解析】本题考查几何体的结构特征以及空间中线面平行与面面垂直的证明等,考查考生的空间想象能力以及逻辑推理能力等.(1)可以构造过CF与平面PAB平行的平面;也可以在平面PAB内找出与CF平行的直线;(2)首先由面面垂直,得到PE⊥BD,再分析四棱锥底面的性质,证明BD⊥CE,即可证得BD⊥平面PEC,最后利用面面垂直的判定定理证得结果.【备注】空间中线面位置关系的证明一般都是从平面图形中的线线垂直、平行入手的,所以要注意几何体的结构特征以及平面图形中的基本运算,熟练把握空间中的平行与垂直关系的互化是解决此类问题的关键.17．如图是一个半圆形广场的平面示意图.已知AB为直径,且AB=200 m,O为圆心,C为圆周上靠近A的一点,D为圆周上靠近B的一点,且CD∥A B.设∠AOC=x rad(rad为弧度单位).(1)现在准备对半圆形广场进行绿化,在△OCD内栽花,其余部分植树,求植树面积S(x)的最小值;(2)如果从A经过C到D建造一条观光路线,其中A到C是圆弧,C到D是线段C D.设观光路线总长为f(x),求观光路线总长f(x)的最大值.【答案】(1)设半圆形广场的半径为R,由题意知S△OCD=R2sin(π-2x)=5 000sin 2x, 因为C 为圆周上靠近A的一点,D为圆周上靠近B的一点,且CD∥AB,所以0<x<.所以植树面积S(x)=S半圆-S△OCD=πR2-5 000sin 2x=5 000(π-sin 2x). 因为0<x<,所以当x=时,S(x)min=5 000(π-1).(2)由题意知,=x×100=100x,CD=200cos x,所以f(x)=100x+200cos x,x∈(0,), 则f'(x)=100(1-2sin x).令f'(x)=0,得x=,则f'(x),f(x)随x的变化情况为所以函数f(x)在x=处取得极大值,这个极大值就是最大值,所以观光路线总长的最大值为f()=100(+)m.【解析】本题是应用性问题,第(1)问先建立植树面积S(x)的函数解析式,再利用三角函数求最值;第(2)问建立观光路线总长f(x)的函数解析式,利用导数求函数的最值.【备注】高考中应用题涉及的数学模型有函数模型、不等式模型、三角模型等,解题时要认真审题,抓住关键词,将实际问题抽象为数学问题,从各种关系中找出最关键的数量关系,将这些关系用有关的量、数字及符号表示出来,从而建立数学模型,运用所学的知识解决问题.18．已知椭圆C:+=1(0<b<4)的左、右顶点分别为A、B,M为椭圆C上异于A、B的任意一点,A关于M的对称点为P.(1)若M的横坐标为,且点P在椭圆的右准线上,求b的值;(2)若以PM为直径的圆恰好经过坐标原点O,求b的取值范围.【答案】(1)∵M是AP的中点,x M=,x A=-2,∴x P=3.∵P在椭圆的右准线上,∴=3,解得b=.(2)设点P的坐标为(x0,y0),点M的坐标为(x1,y1),∵P关于M的对称点为A,∴=x1,=y1, 即x0=2x1+2,y0=2y1.∵以PM为直径的圆恰好经过坐标原点O,∴OM⊥OP,∴·=0,即x0x1+y0y1=0,∴(2x1+2)x1+2=0,即=--x1. 又点M在椭圆+=1(0<b<4)上,∴+=1,即b=,∴b=4×=4(1+)=4[1+]=4[1+],∵-2<x1<2,∴2<x1+4<6,∴4≤x1+4+<8,∴≤,即∈(-∞,], ∴b∈(-∞,4(1+)],即b∈(-∞,2-].又0<b<4,∴b∈(0,2-].【解析】本题考查直线、圆、椭圆等知识,考查椭圆中基本量的运算、圆的性质等.解题时,(1)由题意建立基本量之间的关系,即可求出b的值;(2)运用基本不等式求出b的取值范围.【备注】解析几何解答题可能涉及圆、椭圆,但更多是直线与椭圆的位置关系的研究,主要考查“设而不求”的思想,往往需要将题目所给的几何关系用代数式进行表达,最终用代数运算解决几何问题.主要类型有:定点(定值)问题、取值范围(最值)问题、存在性问题等.通常以三角形、平行四边形、垂直关系、对称关系等为载体,有时可以借助初中平面几何知识进行转化,一般步骤都是联立方程,写出判别式,然后用代数式刻画几何关系.19．已知函数f(x)=,g(x)=ax-a.(1)若函数g(x)的图象与f(x)的图象相切,求a的值及切点坐标;(2)若m,n∈(0,1],且m>n,求证:≥e m-n.【答案】(1)设函数f(x)的图象与g(x)的图象相切于M(t,),由f'(x)=,则f'(t)==a,且=at-a,消去a得,(2t-1)ln t-t+1=0.设h(t)=(2t-1)ln t-t+1,则h'(t)=2ln t+-1=2ln t-+1.设φ(t)=2ln t-+1,则φ'(t)=+>0,所以φ(t)=2ln t-+1单调递增,即h'(t)=2ln t-+1单调递增, 又h'(1)=0,所以当t∈(0,1)时,h'(t)<0,h(t)单调递减,当t∈(1,+∞)时,h'(t)>0,h(t)单调递增,所以h(t)的最小值为h(1)=0,所以(2t-1)ln t-t+1=0仅有一解t=1,此时a==1,切点为M(1,0).(2)要证≥e m-n,即证ln()≥m-n,即证-≥m-n,即证-m≥-n. 设p(x)=-x,因为m,n∈(0,1],m>n,所以只要证p(x)为(0,1]上的增函数即可. 因为p'(x)=-1=,又x ∈(0,1],所以p'(x)≥0,所以p(x)为(0,1]上的增函数,从而得证.【解析】本题考查利用导数研究曲线的切线、不等式的证明,考查化归与转化思想.【备注】对于函数与导数的考查,在高考题中多以对数、指数形式出现,而且属于压轴题,对考生能力的要求很高,意在提高区分度.题目可能是从含有参数的函数的单调性、极值、最值、曲线的交点等进行设计,解题时由于对参数的讨论比较复杂,因而有提升的价值,也可能是从切线等角度入手,看似简单,但如果对数学思想方法不能做到运用自如,则很难达到预期效果.因此,在复习过程中对于常规函数的性质及图象要力争做到了如指掌.20．已知数列{a n},{b n}满足b n=a n+1-a n,其中n=1,2,3,….(1)若a1=1,b n=n,求数列{a n}的通项公式;(2)若b n+1b n-1=b n(n≥2),且b1=1,b2=2.(i)记c n=a6n-1,求证:数列{c n}为等差数列;(ii)若数列{}中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次,求a1应满足的条件.【答案】(1)当n≥2时,有a n=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a n-a n-1)=a1+b1+b2+…+b n-1=1+-+1. 又a1=1也满足上式,所以数列{a n}的通项公式为a n=-+1.(2)(i)因为对任意的n∈N*,有b n+6==b n,所以c n+1-c n=a6n+5-a6n-1=b6n-1+b6n+b6n+1+b6n+2+b6n+3+b6n+4=1+2+2+1++=7(n≥1),所以数列{c n}为等差数列.(ii)设d m=a6m+i(m≥0,i为常数且i∈{1,2,3,4,5,6}),所以d m+1-d m=a6m+6+i-a6m+i=b6m+i+b6m+i+1+b6m+i+2+b6m+i+3+b6m+i+4+b6m+i+5=7(m≥0),所以数列{a6m+i}均是以7为公差的等差数列.设f k=+,当a i=时,对任意的n=6k+i(k≥0,i为{1,2,3,4,5,6}中的一个常数),有,此时由已知条件可推得a1=,,,-,-,.当a i≠时,f k+1-f k=-=(a i-)[-]=(a i-)·,①若a i>,则对任意的k∈N,有f k+1<f k,所以数列{}为单调递减数列;②若a i<,则对任意的k∈N,有f k+1>f k,所以数列{}为单调递增数列.综上,设集合B={}∪{}∪{}∪{-}∪{-}∪{}={,,,-,-},则当a1∈B时,数列{}中必有某数重复出现无数次;当a1∉B时,{} (i=1,2,3,4,5,6)均为单调数列,任意一个数在每个数列中最多出现一次,所以数列{}中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次.【解析】本题考查数列的基本运算及其通项公式的求解等,考查考生基本的计算能力、分类讨论思想.【备注】数列求和要注意通项公式的特征,灵活选用相应的方法,其中裂项相消法与错位相减法是高考命题的热点,应熟练掌握求解的基本步骤.21．如图,在☉O的直径AB的延长线上任取一点C,过点C作直线CE与☉O交于点D、E,记点E关于直径AB的对称点为F,连接DF,交AB于G.若CB=AB,求的值.【答案】连接OE、OF,易知∠EDG=∠EOF,又点E、F关于直径AB对称,所以,得∠EOA=∠EOF, 所以∠EDG=∠EOA,又∠EOG+∠EOA=π,所以∠EOG+∠EDG=π,故E、D、G、O四点共圆. 故CE·CD=CO·CG,又CE·CD=CA·CB,所以CA·CB=CO·CG,又CB=AB,所以CO=AB,CA=AB,故.【解析】本题主要考查四点共圆的判定、圆的割线定理等,属于中档题.先证∠EDG=∠EOA,再证E、D、G、O四点共圆,在两个圆中分别由割线定理可得CE·CD=CO·CG,CE·CD=CA·CB,进而可得CA·CB=CO·CG,再由CB=AB可得的值.22．已知二阶矩阵M的属于特征值λ=3的一个特征向量为e1=,且M对应的变换将点(-1,2)变换成(9,15),求矩阵M.【答案】设M=,则=3,故,故解得a=-1,b=4,c=-3,d=6,故M=.【解析】本题考查矩阵的特征值与特征向量、矩阵的变换.23．已知两条曲线的极坐标方程分别为ρ=1与ρ=2cos(θ+),它们相交于A,B两点,求线段AB的长.【答案】以极点为原点,极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系,则由ρ=1得,x2+y2=1, ∵ρ=2cos(θ+)=cosθ-sinθ,∴ρ2=ρcosθ-ρsinθ,∴x2+y2-x+y=0,由,得A(1,0),B(-,-)或A(-,-),B(1,0).∴|AB|=.【解析】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化.先联立方程求出两个交点的坐标,再由两点间的距离公式求出线段AB的长.24．已知函数f(x)=|x-1|+|x-2|.若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)(a≠0,a,b∈R)恒成立,求实数x的取值范围.【答案】由|a+b|+|a-b|≥|a|f(x),且a≠0,得≥f(x) .又≥=2,则2≥f(x),解不等式|x-1|+|x-2|≤2,得≤x≤,即实数x的取值范围为[,].【解析】本题主要考查绝对值不等式的性质及绝对值不等式的求解,考查考生分析问题、解决问题的能力.25．某学习小组由3名男生和3名女生组成,现从中选取参加学校座谈会的代表,规则是每次选取1人,依次选取,每人被选取的机会均等.(1)若要求只选取2名代表,求选出的2名代表都是男生或都是女生的概率;(2)若选取过程中只要有女生入选,选取即结束,记所选取的代表的人数为X,求X的分布列和数学期望EX.【答案】(1)记“选出的2名代表都是男生或都是女生”为事件A,则P(A)=. (2)由题意知,X=1,2,3,4.P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=.所以X的分布列为EX=1×+2×+3×+4×.【解析】离散型随机变量的分布列与数学期望是高中概率与统计的核心内容,为高考考查的重点,备考中要牢牢抓住该部分,通过各类练习,熟练掌握其解法.本题中要特别注意第(2)问中“只要有女生入选,选取即结束”,理解其含义,正确计算X取各个值的概率.26．已知平面内有n(n≥2,n∈N*)条直线,其中任意两条不平行,任意三条不共点,设这n条直线将平面分成f(n)个区域,如f(2)=4,f(3)=7.(1)试猜想f(n)的表达式,并用数学归纳法加以证明;(2)请用类比的方法,写出n个平面将空间最多分成多少个部分.(不要求证明)(注:12+22+32+…+n2=).【答案】(1)通过画图可求出f(4)=11,f(5)=16,观察发现:f(3)=f(2)+3,f(4)=f(3)+4,f(5)=f(4)+5. 猜想f(n)-f(n-1)=n,进而用累加法求得f(n)-f(2)=n+(n-1)+…+3,所以f(n)=+1. 下面用数学归纳法证明.①当n=2时,f(2)=4显然成立;②假设当n=k(k≥2,k∈N*)时成立,即f(k)=+1,则当n=k+1时,因为第k+1条直线与前面的k条直线都不平行,而且也不交于同一点(因为任意三条直线不共点),所以第k+1条直线与其他k条直线有k个交点,这k个交点将第k+1条直线分成k+1段,其中每一段都将所在区域一分为二,所以增加了k+1个区域,所以f(k+1)=f(k)+k+1,由归纳假设得,f(k+1)=f(k)+k+1=+k+1+1=+1=+1,即当n=k+1时也成立.综合①②,得f(n)=+1对任意的n(n≥2,n∈N*)均成立.所以f(n)=+1(n≥2,n∈N*).(2)设这n个平面将空间最多分成g(n)个部分,当这n个平面任意两个不平行,任意三个不共线(即交线不重合)时才能最多,用类比法得g(n+1)=g(n)+f(n),从而求得g(n)=4+f(2)+…+f(n-1)=.【解析】本题考查推理与证明.第(1)问通过归纳推理得到结论,再利用数学归纳法给出证明;第(2)问运用类比推理写出结果.。

2016年高考理科数学江苏卷-答案

5
4 / 11
sin B 3 5
AB AC sinC sin B
AB
2
6
3
，即：
AB
5
2
2
5
（Ⅱ） cos A cos(C B) sin BsinC cos BcosC
cos A 2 又 A 为三角形的内角sin A 7 2
10
10
cos
A
π 6
3 cos A 1 sin A 7
准方程为 (x 6)2 ( y 1)2 1
|12 7 b | | 5 b |
（Ⅱ）由题意得 OA 2 5 ， kOA 2 设 l : y 2x b ，则圆心 M 到直线 l 的距离 d
0
，由
b2
a2
c2
可
2 / 11
得 3 c2 1 a2 ，则 e c 2 6 ．
42
a 33
【提示】设右焦点 F(c,0) ，将 y b 代入椭圆方程求得 B ， C 的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积 2
为 1，结合离心率公式计算即可得到所求值．【考点】直线与椭圆的位置关系． 11.【答案】 2
容积的表达式，利用导数法，可得最大值【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，组合几何体的面积、体积问题． 18.【答案】（Ⅰ）因为 N 在直线 x 6 上，设 N(6,n) ，因为与 x 轴相切，则圆 N 为 (x 6)2 ( y n)2 n2 ，
n 0 ，又圆 N 与圆 M 外切，圆 M ： (x 6)2 (x 7)2 25 ，则 | 7 n || n | 5 ，解得 n 1 ，即圆 N 的标
=f
9 2
，可得
a
值，进而得到
f
(5a)