航海自动化Chp04

因为它既表征了输入对于系统内部状态的 因果关系，同时又反映了系统内部状态对 于外部输出的影响。 采用状态方程来表达系统的运动状态便于 应用计算机进行计算。
三、状态空间表达式的解
设有线性时不变系统，其状态方程为：
X AX B u
1、状态方程的对应齐次方程为：
X AX 实质：
或
=Ф[t－（－τ) ]= Ф(t +τ) e A(t－t) ＝ Ｉ
性质二： Ф（t－t) = Ｉ 该性质意味着状态向量从t 时刻又转移到t 时刻，显 然状态向量是不变的。
性质三：

[Ф(t)] –1 =Ф(-t)
或 [e At] –1 ＝e －At 转移矩阵的逆，意味着时间的逆转，利用这个 性质，可以在已知X(t)的情况下，求出小于t 时 刻的X(t。)，(t。<t )。
X [t ] [ x1 (t ), x2 (t ), xn (t )]
T
3、状态空间：
◆以状态变量为坐标轴所构成的n维空间。
X1 X(t) X(t0 ) 0 t
x2
二、状态空间表达式
1、状态方程： 如图1.3.1 R-L-C 网络， 选取状态变量vc、i,
dvc C i di
Cij=
a
K 1
S
ik
bkj
•必须满足矩阵A的列与矩阵B的行相等，均为S；
1 2
1 3
2 1
1 3
1 2 11 11 1 3 3 2 2 3 1 2 1 3 3 7
1 0 A 2 1 3 4
di L R i vc v dt
c 1 i V C
1 vc R i 1 v i L L L
◆由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为 系统的状态方程。
式中若将状态变量用一般符号表示，即令 vc x1 , i x2 ,
并写出向量矩阵形式，则状态方程变为：
若改选系统的两个状态变量vc和 vc , 且令vc x1 , vc x2 ;
则
0 x1 1 x 2 LC
1 x 0 R 1 1 v x2 L LC

(1- 3 - 1 - 6)
y(k) T y(k-1) 相加： y(k)

y(k)+x(k)
相乘：
y(k)
a
x(k) ay(k) y(k) y(k) a ay(k) ay(k)
a
4、差分方程：
例1．一离散系统如图1.3.5所示，激励信号为 u(k)，响应序列是y(k)，试写出描述系统工作 的差分方程。——k表示为现在时刻 解： y(k)经单位延时T后， 给出y(k-1) 。 故经图1.3.5中的相加器后， 可以写出方程：
t
A( t )
B u( )d
◆ 解X(t)是由两部分组成：
第一项是由于初始状态不在平衡位置而引起的自由
运动，即为前面所指出的系统的自由解。
第二项是由于控制激励作用u(t)引起的强制运动，
即为一再提出的所谓控制。
◆状态转移矩阵Ф (t)的主要性质： 性质一： Ф(t) · Ф(τ) = Ф(t+τ) 或 e At · Aτ ＝e A(t＋τ) e ——组合性质，这意味着从一τ转移到0，再从0 转移到t 的组合，即Ф(t－0) · Ф[0－（－τ) ]
y(k ) ay(k 1) u(k )
u(k) a y(k)

T
y(k-1)
y(k-1)
◆ 整理后可得差分方程：
y(k ) ay(k 1) u(k ) ——后向差分
图 1.3.5
例2．离散系统如图1.3.6所示，试写出描述系统工 作的差分方程。
解： 可写出方程：
u(k) a
y(k+1)
T
y(k)
y(k 1) ay(k ) u(k )
◆整理后可得差分方程：
y(k 1) ay(k ) u(k ) y(k ) ay(k 1) u(k )
图
1.3.6
——前向差分 ——后向差分
◆由于方程中仅包括未知序列y(k)的移位项y(k-1) 或y(k+1)，故称为一阶差分方程。
•即
(t ) e At
•如果初始时刻为t。,对应的状态转移矩阵可写为
(t t0 )
◆齐次方程的解因之可对应写成
X (t ) (t ) X (0)
或
X (t ) (t t0 ) X (t0 )
2、 系统在控制作用U(t)影响下的强迫运动：
X AX B u (t )
4、状态空间表达式的方块图
和经典理论相类似，可以用方块图表示系统的信 号传递关系。
D
X AX B u y CT X
U u
X
B
＋
1 s
X
CT
y Y
X AX B U Y CX DU
A
◆为什么状态空间表达式是对系统的一种 完全 的描述？
X AX B U Y CX DU
§3
一、基本概念
1、状态变量：
控制系统的状态分析
§3－1 系统的状态变量和状态空间表达式
足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变 量。 2、状态向量： 如果n 个状态变量用 x1 (t ), x2 (t ), xn (t ) 表示， 并把这些状态变量看作是向量X(t)的分量，则 称X(t)为状态向量。记作：
X AX B U Y CX DU
r 个输入，m 个输出
X AX B U Y CX DU
式中X和A---同单输入系统，分别为n维状态向
量和n×n系统矩阵；
U表示r维输入(或控制)向量；
B表示n×r输入(或控制)向量；
Y 表示m维输出向量；
C表示m×n输出矩阵； D表示m×r直接传递矩阵。
x1 x X 2 xm
A为 m 行 n 列矩阵 1、矩阵A的元素aij可以是实数、复数、函数或算式。 （i=1，2…m；j=1，2…n） 2、矩阵A的转置矩阵AT为矩阵A的行和列的元素互换 后形成的。 3、称m×1的矩阵为m维列向量。 通常向量用X表示 4、称1×m的矩阵为m维行向量。
y vc 或 y x1
x1 0] x2
◇向量矩阵形式表示为： y [1 或 y= CT
X
即反映了系统内部状态对于外部的影响。
3、状态空间表达式： 状态方程 和输出方程 总合起来，构成对一个系统 动态的完整描述，称为系统的状态空间表达式。 若改选系统的两个状态变量， 则可得另一组一阶 微分方程组。
5、如果方阵E的主对角线上的元素均为1，其余元 素均为零，则称 E为单位矩阵。
1 0 E 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
6、方阵A，若AT=A， 即（aij
a ji ） i,j=1,2,……n ,
则A一定为对称阵。
7、若方阵A对应的行列式不为零，
（1）单输入――单输出系统的状态方程：
x1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1u x 2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2u x n an1 x1 an 2 x2 ann xn bnu
a11 a12 a a A 21 22 a n1 a n 2
a1n a2n ann
b1 b 表示输入对状态的作用，称为输入矩 2 阵或控制矩阵；为n×1的列阵。 B bn
CT=[1 0 …0] 表示状态对输出的影响，称为输出矩阵； 为1×n 的行向量。 （2）r 个输入，m 个输出系统的状态空间表达式
§3－2 离散系统的状态空间表达式及其解
一．基本概念 1、 离散系统：
指其输入和输出的时间定义域都是整数的系统。
2、 离散函数： 对给定的连续变量t的函数x(t ) ，若 取 x(kT ) x(t ) t kT ，则得到相应的离散函 数 x(kT ) 。
◆即将自变量和函数之间按某种对应的关系定 义的函数或曲线。
4 11
11、函数矩阵的微(积)分为矩阵各元素的微(积)分。 课堂练习： 已知
2 1 5 B 1 0 0
请分别求出A B和B A，试问其结果说明什么?
讨论：
设X为n维列向量，则XXT为—— 一n阶方阵。 设X为n维行向量，则XXT为—— 一函数多项式
解的表达式为：
X (t ) e X (0) e
At 0
t
A( t )
B u( )d
对应于区间 t0 t 取积分，则有
X (t ) e
A( t t0 )
X (t0 ) e
t0
t
A(t )
B u( )d
X (t ) e X (t0 ) e
At t0
5、差分方程的一般表达式：
y(k ) a1 y(k 1) an1 y(k n 1) an y(k n) b0u(k ) b1u(k 1) bm1u(k m 1) bmu(k m) (1- 3 - 2 - 2)
复习矩阵的概念与运算 一、有关矩阵的基本概念：
a11 a A 21 am1 a12 a22 am 2 a1n a2 n amn
a11 a AT 12 a1n a21 am1 a22 am 2 a2 n amn
是不施加外部控制作用的系统方程，其解因此被 称为系统的自由解。