精品 2014年八年级数学上册整式乘除与因式分解10 因式分解----分组分解法及复习
八年级数学人教版上册第14章整式的乘除与因式分解14.2.2完全平方公式(第1课时图文详解)
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
一位老人非常喜欢孩子．每当有孩子到他家做客时， 老人都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个 孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块塘，… （1）第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩
子多少块糖？ a2
（2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
(2)(-a2+b3)2 【解析】原式= (b3-a2)2
=b6-2 a2 b3+a4 ∵(a-b)2 =(b-a)2 ∴(-a2 +b3)2 = (a2 -b3)2
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
【例2】运用完全平方公式计算:
(1) 1022;
(2) 992.
(2) (4x-3y)2 =16x2-24xy+9y2
(4)(-2m-1)2 =4m2+4m+1
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.（日照·中考）由m（a+b+c）=ma+mb+mc，可得a+b)(a2－ ab+b2）=a3－a2b+ab2+a2b－ab2+b3=a3+b3，即（a+b)(a2－ab+b2） =a3+b3 ①.我们把等式①叫做多项式乘法的立方公式. 下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是( ) （A）（x+4y)(x2－4xy+16y2）=x3+64y3 （B）（2x+y)(4x2－2xy+y2）=8x3+y3 （C）（a+1)(a2＋a+1）=a3+1 （D） x3+27=（x+3)(x2－3x+9） 【解析选】C.根据乘法的立方公式（a+b）（a2－ab+b2）
八年级上册第十四章-整式的乘除与因式分解知识梳理
八年级数学第十四章--整式的乘法与因式分解知识梳理知识点一、整式的乘法1、同底数幂相乘，底数不变，指数相加；即 （m,n 都是正整数）2、幂的乘方，底数不变，指数相乘；即 （m,n 都是正整数）3、积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得幂相乘；即： （n 是正整数）4、整式的乘法：（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式；例如： （2）单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加； 例如： （3）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；例如：知识点二、整式的除法5、同底数幂相除，底数不变，指数相减；即 6、规定：任何不等于0的数的0次幂都等于1。
即 7、单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
例如： 8、多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
例如：知识点三、乘法公式9、平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差；即10、完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍；（记()n m mn a a =m n m n a a a ++=()n n n ab a b =7252525)()(abc abc c c b a bc ac ==⋅⋅⋅=⋅+pcpb pa c b a p ++=++)(bqbp aq ap q p b q p a q p b a +++=+++=++)()()(）（)0(10≠=a a ),,0(n m n m a a a a n m n m >≠=÷-都是正整数，并且32322323234))()(312(312c a c b b a a ab c b a =÷÷÷=÷ba m bm m am m bm am +=÷+÷=÷+）（()()22ab a b a b +-=-忆口诀“首平方，尾平方，收尾二倍中间放”）即： 11、添括号规则： （1）如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号； 即： a+b+c=a+(b+c)（2）如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号；即： a-b-c=a-(b+c)知识点四、因式分解12、把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做因式分解；（也叫做把这个多项式分解因式）。
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解整式的乘法整式的乘法多项式与多项式相乘
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精品 2014年八年级数学上册整式乘除与因式分解10 因式分解----分组分解法及复习
知识点 分组后能直接提公因式： 分组后能直接运用公式：
am an bm bn = ( am an) (bm bn) = a ( m n) b( m n) = ( m n)(a b)
x 2 y 2 ax ay
2
2
(2) x 2 9 y 2
(3) x 2 8 x 12
(4) 8(a b) 2 12(b a )
(5) (a 2b) 2 a 2 2ab
(6) a b 2ab b
2
(7) x( x 5) 2 x( x 5)( x 5)
(8) 6(a 2 b 2 ) (a b)
12. x 2 3 x m 可分解为 ( x 3)( x n) ，则 m=______ 13.计算：(1) ( x 3)( x 4) ( x 1)( x 2) =_____________； (2) (3 x 1)(2 3 x) =_____________ 14.设 xy x y 5 ，则 ( x 1)( y 1) = 15.若 x 13 ，则 ( x 2)( x 2) = 16.两个正方形的周长差是 96cm，面积差是 960cm ，则这两个正方形的边长分别是_________cm。 17.对下列多项式进行因式分解： (1) 2 x 8
8.分解因式 2 x 2 4 x 2 的最终结果是 ( A.2x(x-2) B.2(x -2x+1)
2
2
D.(2x-2)
2
9.下列四个多項式，哪一个是 2 x 2 5 x 3 的因式？（ A.2x-1 10.展开下列各式： (1) (1 2 x)(2 2 x) = 。 B.2x-3
八年级上数学整式的乘除与因式分解基本知识点
整式是一个或多个代数式的和、差或积。
整式的乘除与因式分解是数学中非常重要的概念，是解决各种代数问题的基础。
本文将详细介绍八年级上数学中整式的乘除与因式分解的基本知识点。
一、整式的乘法1.1 单项式的乘法：单项式的乘法是指单项式与单项式之间的乘法。
例如：2x ×3y = 6xy，-4a^2 × 5b^3 = -20a^2b^31.2多项式的乘法：多项式的乘法是指多项式与多项式之间的乘法。
例如：(3x+2)(x-1)=3x^2+x-2二、整式的除法2.1 单项式的除法：单项式的除法是指单项式除以单项式。
例如：4x^2 ÷ x = 4x，10a^3b^2 ÷ 2ab = 5a^2b。
2.2多项式的除法：多项式的除法是指多项式除以多项式。
例如：(12x^3+9x^2+3x)÷3x=4x^2+3x+1三、整式的因式分解整式的因式分解是将一个整式写成几个整式的乘积的形式，其中每个整式都是原来整式的因式。
例如：12x^2+8xy，将其因式分解为4x(3x+2y)。
3.1 提取公因式：如果一个整式的每一项都能被同一个整式整除，那么这个公因式就是整式的一个因子。
例如：12x^2+8xy，公因式是4x。
3.2分解差的平方：差的平方是指形如"一个数的平方减另一个数的平方"的表达式。
例如：x^2-9，可因式分解为(x-3)(x+3)。
3.3 分解二次三项式：二次三项式是指形如"一个平方项加两个相同系数的次项"的表达式。
例如：x^2+2xy+y^2，可因式分解为(x+y)^2四、习题例析例1：将多项式4x^2+16x因式分解。
解：这个多项式2x的平方加4x的倍数，所以可以因式分解为4x(x+4)。
例2：将多项式a^2-9因式分解。
解：由差的平方公式可得，a^2-9=(a-3)(a+3)。
例3：将多项式4x^2y^2-8xy^2因式分解。
精品 2014年八年级数学上册整式乘除与因式分解08 因式分解--运用公式法
第08课 因式分解--运用公式法知识点：平方差公式： 完全平方公式：平方差公式基础练习：(1)x 2-4=x 2－22= ( )( ) (2)x 2－16 =( )2-( )2= ( )( ) (3)9-y 2=( )2-( )2= ( )( ) (4)1-a 2=( )2-( )2= ( )( ) 完全平方公式基础练习：(1)a 2+6a+9=a 2+2× × ＋( )2＝( )2(2)a 2-6a+9=a 2-2× × ＋( )2＝( )2辨析，下面那些多项式可以使用公式法。
平方差： （1）x 2－y 2 （2）x 2+y 2 （3）－x 2－y 2 （4）－x 2+y 2 （5）64－a 2 （6）4x 2－9y 2完全平方：（1）a 2－4a +4 （2）x 2+4x +4y 2 （3）4a 2+2ab +14b 2（4）a 2－ab +b 2 （5）x 2－6x －9 （6）a 2+a +0.25 例1.把下列各式分解因式.(1)11002-x (2)92+-x (3)2225401.0y x - (4)x x -5(5)m m 43-(6)2633x x - (7)33ab b a -(8)222)21()2(y y x ---例2.把下列各式分解因式. (1)122++m m(2)41292+-x x (3)110252+-x x(4)9)(6)(2++-+n m n m (5)1)4(2)4(222++-+x x (6))1(4)(2-+-+y x y x例3.用公式法计算下列各题.(1)22)412()435(- (2)1198992++ (3)22201420144026-2013+⨯(4)11435-1156522⨯⨯例4.把下列各式分解因式.(1))()(22x y y y x x -+- (2))()(22y x b y x a --- (3)814-x(4)4416y x - (5)2232ab b a a +- (6)x x x +-232(7)xy y x 4)(2+- (8)22216)4(x x -+ (9)42242b b a a +-例5.已知312=-y x ,2=xy ，求43342y x y x -. 例6.已知3,5==+ab b a ，求32232ab b a b a ++.例7.对于任意自然数n ，22)5()7(--+n n 都能被动24整除。
人教版八年级数学上册14.整式的乘除与因式分解--复习课件
例2 把下列各式分解因式. (1)(a+b)2-4a2 ； (2)1-10x+25x2； (3)(m+n)2-6(m+n)+9
解:(1)(a+b)2-4a2=(a+b)2-(2a)2 =(a+b+2a)(a+b-2a) =(3a+b)(b-a)
(2)1-10x+25x2 =1-10x+(5x)2 =(1-5x)2 (3)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.
5, 求(a
1 )2的值. a
(2)若x y2 2, x2 y2 1, 求xy的值.
(3)如果(m n)2 z m2 2mn n2 ,
则z应为多少?
(4)(x 3y 2z)(x 3y 2z)
(5)19992, (6)20012 19992
练习：计算下列各题。
(1)( 1 a6b4c) ((2a3c) 4
1、 205×195 2、 (3x+2) (3x-2) 3、(-x+2y) (-x-2y) 4 、 (x+y+z)(x+y-z)
（2）、完全平方公式
一般的，我们有：
(a b)2 a2 2ab b2;
(a b)2 a2 2ab b2 其中a, b既可以是数, 也可以是代数式.
即: (a b)2 a2 2ab b2
探索与创新题 例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= —
分析:完全平方式是形如：a2±2ab+b2即两数 的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).
∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2 ∴±kxy=2·3x·6y=36xy ∴k=±36
八年级数学上册“第十四章整式的乘法与因式分解”必背知识点
八年级数学上册“第十四章整式的乘法与因式分解”必背知识点一、整式的乘法1. 单项式乘单项式：法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。
2. 单项式乘多项式：法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
3. 多项式乘多项式：法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
二、乘法公式1. 平方差公式：公式：$(a+b)(a-b) = a^2 b^2$应用：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
2. 完全平方公式：公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$(a-b)^2 = a^2 2ab + b^2$应用：两个数的和 （或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减去）这两个数积的2倍。
三、因式分解1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式。
2. 提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
3. 公式法：利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解。
注意：分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
四、十字相乘法十字相乘法主要用于二次项系数为1的二次多项式的因式分解。
方法：通过观察和尝试，将常数项分解为两个因数的乘积，并使得这两个因数与一次项系数的组合满足整式的乘法规则。
五、注意事项在进行整式乘法时，要注意系数的计算、字母的指数运算以及符号的处理。
在进行因式分解时，要注意分解的彻底性，即每一个因式都不能再进一步分解。
熟练掌握乘法公式和因式分解的方法，对于提高解题效率和准确率至关重要。
掌握这些知识点，将有助于学生更好地理解和应用整式的乘法与因式分解，提高代数运算能力和解题能力。
初中数学八年级上册第十五章《整式的乘除与因式分解》简介
新课标人教版初中数学八年级上册第十五章《整式的乘除与因式分解》简介人教版《义务教育课程标准实验教科书?数学》第十五章是“整式的乘除与因式分解”。
本章的主要内容是整式的乘除运算、乘法公式以及因式分解。
本章内容建立在已经学习了的有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减运算等知识的基础上。
整式的乘除运算和因式分解是基本而重要的代数初步知识，这些知识是以后学习分式和根式运算、函数等知识的基础，在后续的数学学习中具有重要意义，同时，这些知识也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学基础知识.本章共安排了4个小节，教学时间约需13课时（供参考）：15.1 整式的乘法4课时15.2 乘法公式2课时15.3 整式的除法2课时15.4 因式分解3课时数学活动小结2课时一、教科书内容和课程学习目标（一）本章知识结构框图（二）教科书内容本章共包括4节15.1 整式的乘法整式的乘法是整式四则运算的重要组成部分。
本节分为四个小节，主要内容是整式的乘法，这些内容是在学生掌握了有理数运算、整式加减运算等知识的基础上学习的。
其中，幂的运算性质，即同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是整式乘法的基础，教科书把它们依次安排在前三个小节中，教学中应适当复习幂、指数、底数等概念，特别要弄清正整数指数幂的意义。
在学生掌握了幂的运算性质后，作为它们的一个直接应用，教科书在第四小节安排一般整式乘法的教学内容。
首先是单项式与单项式相乘，由于进行单项式与多项式、多项式与多项式相乘的前提是熟练地进行单项式与单项式相乘，因此，对于单项式与单项式相乘的教学应该予以充分重视。
在学生掌握了单项式与单项式相乘的基础上，教科书利用分配律等进一步引入单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘，这样使整式乘法运算的教学从简到繁，由易到难，层层递进。
15.2乘法公式本节分为两个小节，分别介绍平方差公式与完全平方公式。
乘法公式是整式乘法的特殊情形，是在学习了一般的整式乘法知识的基础上学习的，运用乘法公式能简化一些特定类型的整式相乘的运算问题，教科书在本节开始首先指出了这一点。
精品 2014年八年级数学上册-整式的乘除与因式分解 同步讲义+练习
整式的乘除与因式分解第一课 积的乘方 幂的乘方知识点：1.同底数幂的乘法： 公式：2.幂的乘方：公式：3.积的乘方：公式：同底数幂基础练习：(1)()())(222222222243=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯ (2)35 ⨯45= )(5=(3)7)3(-⨯6)3(-= ())(3-= (4))(⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛1011011013(5)3a ⨯4a = =()a 幂的乘方基础练习：(1)23)2(= = =）（2; (2)54)(x = = =）（x;(3)3100)3(= = =）（3 ;(4)23])2[(-= = =）（)2(-=）（2;积的乘方基础练习：(1)3)2(x = = × = （2）4)3-(x = = × = （3）5)(ab = = × =例1.计算：(1)310⨯410= ;(2)53a a a ⋅⋅= ;(3);(4)x x x x ⋅+⋅22=(5)11010+⋅m n = ; (6);97)(m m m ⋅-⋅= ;(7)()3922-⨯= ; (8)y y y y ⋅-⋅⋅-425)(=(9)103=)(233⋅=)(533⋅=)(733⋅例2.把下列各式化成()ny x +或()ny x -的形式.(1) ()()43y x y x ++ = ; (2)()()()x y y x y x ---23= ;(3)()()12+++m my x y x = ; (4)342)()()(y x x y y x --- = ;(5)23)()(y x y x +-- = ;例3.计算:(1)32)2(= (2)34)3(= (3)65)(x = (4)3)(n x = (5)8x =)(2)(x =）（xx ⋅2=）（xx ⋅3 (6)12x =)(2)(x =）（xx ⋅2=）（xx ⋅7=)(3)(x例4.计算：(1)()332⨯； (2)()253⨯； (3)()22ab ; (4)()432a ;(5)10001001)21()2(-⨯- (6)()23351021104⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯ (7)20019911323235.0⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯例5.已知：2,3==n m x x ，求n m x 23+。
八年级数学上册 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.1
·2abc=
1
2
3
4
5
6
; ;
.
(1)a5b2 (2)-1 000a3n+4b4 (3)-2a3b4c
关闭
答案
(2)12xny2(3yn-1-2xyn+1+1)
=12xny2·3yn-1-12xny2·2xyn+1+12xny2·1
=36xnyn+1-24xn+1yn+3+12xny2.
3.多项式与多项式相乘
【例 3】
计算
������
+
1 3
������-
1 4
=
.
解析:原式=a·a-14a+13a-13
14.1.4 整式的乘法
第1课时 整式的乘法
学前温故 新课早知
1.同底数幂的乘法法则:am·an= am+n
(m,n都是正整数).
2.幂的乘方法则:(am)n= amn (m,n都是正整数).
3.积的乘方法则:(ab)n= anbn (n为正整数).
4.单项式是一种特殊的式子,单项式中的数与字母或字母与字母
之间都是 乘积
关系.另外,单独一个数或一个字母也是单
项式.
学前温故 新课早知
1.单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分
别 相乘 ,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指
数作为
积的一个因式
.
2.计算:(-3x2)·2x3的结果是( A ).
A.-6x5 B.-3x5 C.2x5 D.6x5
3.单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把
所得的积 相加 .
八年级上数学整式的乘除与因式分解基本知识点
整式的乘除与因式分解基本知识点一、整式的乘除：1、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 例如：_______3=-a a ；________22=+a a ；________8253=+-+b a b a __________________210242333222=-++-+-x xy x y x xy xy y x2、同底数幂的乘法法则：a m ·a n =a m+n (m ，n 是正整数). 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 例如：________3=⋅a a ；________32=⋅⋅a a a3、幂的乘方法则：(a m )n =a mn (m ，n 是正整数).幂的乘方，底数不变，指数相乘. 例如：_________)(32=a ；_________)(25=x ；()334)()(a a =4、积的乘方的法则：(a b)m =a m b m (m 是正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 例如：________)(3=ab ；________)2(32=-b a ；________)5(223=-b a 5、同底数幂的除法法则：a m ÷a n =a m-n (a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m ＞n). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 规定：10=a例如：________3=÷a a ；________210=÷a a ；________55=÷a a 6、单项式乘法法则y x 32⋅ )5)(2(22xy y x - )2()3(22xy xy -⋅ 2232)()(b a b a ⋅-7、单项式除法法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.y x y x 2324÷ ()xy y x 6242-÷ ()()58103106⨯÷⨯8、单项式与多项式相乘的乘法法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.)(c b a m ++ )532(2+--y x x )25(32b ab a ab +--9、多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.)6)(2(-+x x )12)(32(+--y x y x ))((22b ab a b a +-+10、多项式除以单项式的除法法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.()x x xy ÷+56； ()()a ab a 4482-÷-()b a b a b a 232454520÷-c c b c a 2121222÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-11、整式乘法的平方差公式：(a +b)(a -b)=a 2-b 2.两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 例如：（4a －1）（4a+1）=___________； （3a －2b ）（2b+3a ）=___________；()()11-+mn mn = ； =--+-)3)(3(x x ；12、整式乘法的完全平方公式：(a +b)2=a 2+2a b+b 2，(a -b)2=a 2-2a b+b 2.两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍. 例如：()____________522=+b a ； ()_______________32=-y x()_____________22=+-ab ； ()______________122=--m二、因式分解： 1、提公因式法：4y xy - 32x x + x 2+12x 3+4x )1()1(-+-a n a m 2、公式法.：（1）、平方差公式：))((22b a b a b a -+=-12-x 2294b a - 22)(16z y x +- 22)2()2(b a b a --+（2）、完全平方公式：222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+-442+-m m 2269y xy x ++ 924162++x x 36)(12)(2++-+b a b a3、分组分解法：1a b ab +++ ab －c ＋b －ac a 2－2ab ＋b 2－c 24、“十字相乘法”：即式子x 2+(p+q)x+pq 的因式分解. x 2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).x 2＋7x ＋6 （2）、x 2－5x －6 （3）、x 2－5x ＋6整式的乘法[同底数幂的乘法]a m ·a n =a m+n （m 、n 都是正整数） [幂的乘方](a m )n ＝a mn (m ，n 都是正整数) [积的乘方](ab)n ＝a n b n (n 是正整数) [单项式乘以单项式]单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同的字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． [单项式乘以多项式]单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． [多项式乘以多项式]多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．平方差公式[平方差公式] (a ＋b)(a －b)＝a 2－b 21. 公式的结构特征：⑴左边是两个二项式相乘，这两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数.⑵右边是这两个数的平方差，即完全相同的项与互为相反数的项的平方差（同号项2－异号项2）.2. 公式的应用：⑴公式中的字母a ，b 可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式，只要符合公式的结构特征，就可以用此公式进行计算.⑵公式中的a b 22-是不可颠倒的，注意是同号项的平方减去异号项的平方，还要注意字母的系数和指数.⑶为了避免错误，初学时，可将结果用“括号”的平方差表示，再往括号内填上这两个数. 如：(a+b )( a - b )= a 2 － b 2 ↓↓ ↓↓ ↓ ↓计算：(1+2x )(1-2x )= ( 1 )2－( 2x )2 =1-4x 2[完全平方公式]两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加（或减）它们的积的2倍.公式特征：左边是一个二项式的平方，右边是一个三项式（首平方，尾平方，二倍乘积在中央）．公式变形：(a+b)2=(a-b)2+4ab a 2 + b 2 = (a+b)2-2ab (a-b)2=(a+b)2-4ab a 2 + b 2 = (a-b)2+2ab(a+b)2- (a-b)2=4ab[公式的推广] (a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac[同底数幂的除法]a m ÷a n =a m-n (a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m>n)． a 0=1(a ≠0)任何非零数的零次幂是1. [单项式除以单项式]单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． [多项式除以单项式]多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．[因式分解]把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解（或分解因式）. [提公因式法]ac ＋bc=（a ＋b ）c[公式法][十字相乘法一、训练平台1.下列各式中，计算正确的是( ) ×27=28 ×22=210 +26=27 +26=2122.当x=23时，3(x+5)(x-3)-5(x-2)(x+3)的值等于( )239 B.-18 D.239 3.已知x-y=3，x-z=21，则(y-z)2+5(y-z)+425的值等于( )A.425B.25 25 4.设n 为正整数，若a 2n =5，则2a 6n -4的值为( ) B.246 D.不能确定 5.(a +b)(a -2b)= . 6.(2a +2= .7.(a +4b)(m+n)= . 8.计算.(1)(2a -b 2)(b 2+2a )= ；(2)(5a -b)(-5a +b)= . 9.分解因式.(1)1-4m+4m 2； (2)7x 3-7x. 10.先化简，再求值.[(x-y)2+(x+y)(x-y)]÷2x ，其中x=3，y=. 二、探究平台1.分解因式(a -b)(a 2-a b+b 2)-a b(b-a )为( ) A.(a -b)(a 2+b 2) B.(a -b)2(a +b) C.(a -b)3 (a -b)32.下列计算正确的是( )÷a 2=a 4(a ≠0) ÷a 4=a (a ≠0) ÷a 6=a 3(a ≠0) D.(a 2b)3=a 6b3.下列各题是在有理数范围内分解因式，结果正确的是( ) =(-x+4)(-x-4)+x 3n =x n (2+x 3) 41=41(1+2x)(1-2x)4.分解因式：-a 2+4a b-4b 2= .5.如果x 2+2(m-3)x+25能用公式法分解因式，那么m 的值是 .6.(3x 3+3x)÷(x 2+1)= . . 8.计算.(1)12345678921234567890123456789112345678902⨯-；(2)20032002200220002002220022323-+-⨯-. 9.分解因式.(1)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m)； (2)x 4-81x 2y 2.10.112--x x +x(1+x1)，其中x=2-1.三、交流平台1.一条水渠其横断面为梯形，如图15－23所示，根据图中的长度求出横断面面积的代数式，并计算当a =2，b=时的面积.2.已知多项式x 3+kx+6有一个因式x+3，当k 为何值时，能分解成三个一次因式的积并将它分解. 3.如果x+y=0，试求x 3+x 2y+xy 2+y 3的值.4.试说明无论m ，n 为任何有理数，多项式4m 2+12m+25+9n 2-24n 的值为非负数.第十六章分式知识点和典型例习题【知识网络】【思想方法】 1．转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．第一讲 分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b ca a a a±±=≠2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac±±=±=≠≠;3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac •=,b c b d bda d a c ac÷=•=4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m )n = a mn7.负指数幂: a -p =1p aa 0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）31+-x x （2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x-84为正；（2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.练习：1．当x 取何值时，下列分式有意义：（1）3||61-x（2）1)1(32++-x x （3）x111+2．当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4|1|5+--x x（2）562522+--x x x3．解下列不等式 （1）012||≤+-x x （2）03252>+++x x x（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）yx yx --+- （2）ba a ---（3）ba ---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x，求yxy x yxy x +++-2232的值. 提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出yx11+. 【例4】已知：21=-xx ，求221xx +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值. 练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）yx yx 5.008.02.003.0+-（2）b a ba 10141534.0-+ 2．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.3．已知：311=-b a ，求aab b bab a ---+232的值.4．若0106222=+-++b b a a ，求ba ba 532+-的值. 5．如果21<<x ，试化简x x --2|2|xx x x |||1|1+---.（三）分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.题型一：通分【例1】将下列各式分别通分.（1）cb ac a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--； （3）22,21,1222--+--x x xx xx x ； （4）aa -+21,2题型二：约分【例2】约分：（1）322016xy y x -；（3）n m m n --22；（3）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；（2）22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+； （3）mn mn m n m n n m ---+-+22；（4）112---a a a ；（5）874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--； （6）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ； （7）)12()21444(222+-⋅--+--x x x x x x x 题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（1）已知：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；（2）已知：432z y x ==，求22232zy x xzyz xy ++-+的值；（3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a a a --的值.题型五：求待定字母的值【例5】若111312-++=--x Nx M x x ，试求N M ,的值. 练习：1．计算（1）)1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ；（2）a b abb b a a ----222； （3）ba c cb ac b c b a c b a c b a ---++-+---++-232；（4）b a b b a ++-22；（5）)4)(4(ba abb a b a ab b a +-+-+-； （6）2121111x x x ++++-； （7）)2)(1(1)3)(1(2)3)(2(1--+-----x x x x x x . 2．先化简后求值（1）1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a . （2）已知3:2:=y x ，求2322])()[()(yxx y x y x xy y x ÷-⋅+÷-的值.3．已知：121)12)(1(45---=---x Bx A x x x ，试求A 、B 的值. 4．当a 为何整数时，代数式2805399++a a 的值是整数，并求出这个整数值. （四）、整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂计算【例1】计算：（1）3132)()(---⋅bc a （2）2322123)5()3(z xy z y x ---⋅（3）24253])()()()([b a b a b a b a +--+-- （4）6223)(])()[(--+⋅-⋅+y x y x y x题型二：化简求值题【例2】已知51=+-x x ，求（1）22-+x x 的值；（2）求44-+x x 的值. 题型三：科学记数法的计算【例3】计算：（1）223)102.8()103(--⨯⨯⨯；（2）3223)102()104(--⨯÷⨯. 练习：1．计算：（1）20082007024)25.0()31(|31|)51()5131(⋅-+-+-÷⋅-- （2）322231)()3(-----⋅n m n m （3）23232222)()3()()2(--⋅⋅ab b a b a ab（4）21222)]()(2[])()(4[----++-y x y x y x y x2．已知0152=+-x x ，求（1）1-+x x ，（2）22-+x x 的值.第二讲 分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程产生增根的原因3.分式方程的应用题【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程（1）xx 311=-；（2）0132=--x x ；（3）114112=---+x x x ；（4）x x x x -+=++4535 提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.题型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程（1）4441=+++x x x x ； （2）569108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示：（1）换元法，设y x x =+1；（2）裂项法，61167++=++x x x .【例3】解下列方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+)3(4111)2(3111)1(2111x z z y y x 题型三：求待定字母的值【例4】若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值. 【例5】若分式方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围. 提示：032>-=ax 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a . 题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于x 的方程)0(≠+=--d c dcx b a x 提示：（1）d c b a ,,,是已知数；（2）0≠+d c . 题型五：列分式方程解应用题 练习：1．解下列方程：（1）021211=-++-xxx x ； （2）3423-=--x x x ； （3）22322=--+x x x ； （4）171372222--+=--+x x x x xx （5）2123524245--+=--x x x x（6）41215111+++=+++x x x x（7）6811792--+-+=--+-x x x x x x x x2．解关于x 的方程： （1）b xa211+=)2(a b ≠；（2）)(11b a xbb x a a ≠+=+. 3．如果解关于x 的方程222-=+-x xx k 会产生增根，求k 的值.4．当k 为何值时，关于x 的方程1)2)(1(23++-=++x x kx x 的解为非负数. 5．已知关于x 的分式方程a x a =++112无解，试求a 的值. （二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下： 一、交叉相乘法例1．解方程：231+=x x二、化归法例2．解方程：012112=---x x 三、左边通分法例3：解方程：87178=----x x x 四、分子对等法例4．解方程：)(11b a xb b x a a≠+=+五、观察比较法例5．解方程：417425254=-+-x x x x六、分离常数法例6．解方程：87329821+++++=+++++x x x x x x x x七、分组通分法例7．解方程：41315121+++=+++x x x x（三）分式方程求待定字母值的方法例1．若分式方程xmx x -=--221无解，求m 的值。
八年级数学人教版上册第14章整式的乘除与因式分解14.1.4整式的乘法(第1课时图文详解)
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.下列计算中，正确的是（ B ）
A.2a3·3a2=6a6
B.4x3·2x5=8x8
C.2x·2x5=4x5
D.5x3·4x4=9x7
2.下列运算正确的是（ D ）
A.x2·x3=x6
B.x2+x2=2x4
C.(-2x)2=-4x2
D.(-2x2)(-3x3)=6x5
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
第14章 整式的乘除与因式分解
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八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
14.1.4 整式的乘法
第1课时
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则， 并运用它们进行运算． 2.让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主 动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题 的能力.
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
2.填空：
a4 26
(1)6 2
a9 28
9 x2 y4 4
1
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需 要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是 多少千米吗？ 分析：距离=速度×时间，即（3×105）×（5×102）； 怎样计算（3×105）×（5×102）? 地球与太阳的距离约是： （3×105）×（5×102）=(3 ×5)×(105×102) =15×10７=1.5×108（千米）
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
2.单项式与多项式相乘的法则: 单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多 项式的每一项，再将所得的积相加即可.
八年级数学人教版上册第14章整式的乘除与因式分解14.4.1提公因式法(图文详解)
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
2.6（m－n）3－12（n－m）2 【解析】6（m－n）3－12（n－m）2
=6（m－n）3－12［－（m－n）］2 =6（m－n）3－12（m－n）2 =6（m－n）2（m－n－2）.
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.填空 请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号， 使等式成立:
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第14章 整式的乘除与因式分解
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八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
14.4 因式分解
14.4.1 提公因式法
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1．了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式 乘法的区别和联系． 2．理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式． 3．通过学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析和创 新能力，深化学生逆向思维能力.
=－（a2－ab+ac）=－a（a－b+c） （6）－2x3+4x2－2x
=－（2x3－4x2+2x）=－2x（x2－ 2x+1）
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
6.把(a+b－c)(a－b+c)+(b－a+c)(b－a－c)分解因式
【解析】原式=（a+b－c)(a－b+c)－(b－a+c)(a－b+c) =（a－b+c)［(a+b－c)－(b－a+c)］
把下列各式分解因式:1.a（x－y）+b（y－x）; 分析：虽然a（x－y)与b(y－x)看上去没有公因式，但仔 细观察可以看出（x－y)与(y－x）互为相反数，如果把 其中一个提取一个“－”号，则可以出现公因式，如： y－x=－（x－y） 【解析】a（x－y）+b（y－x）
精品 2014年八年级数学上册整式乘除与因式分解07 因式分解----提公因式法
第07课 因式分解----提公因式法知识点：因式分解： ，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.)1)(1(12-+−−−→−-x x x 因式分解 )1)(1(12-+−−−−←-x x x 整式乘法提公因式法：多项式mc mb ma ++中的各项都有一个公共的因式m ，我们把因式m 叫做这个多项式的公因式.)(c b a m mc mb ma ++=++就是把mc mb ma ++分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式)(c b a ++是mc mb ma ++除以m 所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.公式：提公因式法注意事项：(1)系数：(2)相同字母或式子： (3)首项有负号时：例1.下列变形是否是因式分解？为什么，(1))3(322x x y y xy y x -=+-； (2)2)1(3222+-=+-x x x ； (3))1)(1(1222-+=-+xy xy xy y x ； (4)n n n x xn x x x x +-=+-++122)1(. 例2.用提公因式法将下列各式因式分解.(1)ay ax -； (2)236xz xyz -; (3)y x z x 43+-；(4)ab abx aby 61236+-； (5))(2)(3a b y b a x -+-； (6)))(())((m y m x m y m x m x -----(7)3()()m x y n y x --- (8)7(a －3) – b (a －3) (9)()()y x y y x x ---2(10)()()()()q p n m q p n m -+-++ (11)324(1)2(1)q p p -+- (12)(2a+b)(2a-3b)-3a(2a+b)例3.已知3)(,7)(22=-=+b a b a ,求ab 与22b a +的值。
精品 2014年八年级数学上册整式乘除与因式分解09 因式分解----十字相乘法
（3） t 2 2t 8
(4) m 2 4m 12
(5) x 2 13 xy 36 y 2
(6) a 2 ab 12b 2
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(7) m(3 m) 28
（8） 2 x 2 5 x 12
（9） 3 x 2 5 x 2
（10） 6 x 2 13 x 5
2.两个连续的奇数的平方差总可以被 k 整除，则 k 等于（ A.4 B.8 C.4 或-4
3.已知 2 48 1 可以被在 60～70 之间的两个整数整除，则这两个数是( A.61、63 B.61、65 C.61、67
4. x 2 3 x 10 __________． 5. m 2 5m 6 (m＋a)(m＋b)．a=______，b=_____． 6. 2 x 2 5 x 3 (x-3)(__________)． 7.若 x y 6 ， xy
3.多项式 x 2 3 x a 可分解为(x-5)(x-b)，则 a，b 的值分别为( A.10 和-2 B.-10 和 2 ) C. 4 x 2 x 2 ，n= C.10 和 2
D.-10 和-2
4.不能用十字相乘法分解的是( A. x 2 x 2
B. 3 x 2 10 x 2 3 x
2
为一次项，
为
看作常数，就是关于
的二次三项式；如果把
看作常
(3)在多项式 2a b 2 7ab 3 中，把 看作一个整体，即 ，就是关于 的二次三 项式．同样，多项式 ( x y ) 2 7( x y ) 12 ，把 看作一个整体，就是关于 的二次三项式． 十字相乘法： (1)对于二次项系数为 1 的二次三项式 x 2 (a b) x ab ( x a )( x b) 方法的特征是“拆常数项，凑一次项” 当常数项为正数时,把它分解为两个同号因数的积,因式的符号与一次项系数的符号相同； 当常数项为负数时,把它分解为两个异号因数的积,其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号 相同． (2)对于二次项系数不是 1 的二次三项式 ax2 bx c a1 a 2 x 2 (a1 c 2 a 2 c1 ) x c1 c 2 (a1 x c1 )(a 2 x c 2 ) 它的特征是“拆两头，凑中间” 当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项； 常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同； 常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的 符号相同 注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个 积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母． 十字相乘法基础练习： (1) x 2 3 x 2 (2) x 2 3 x 2 (3) x 2 x 2 (4) x 2 x 2
八年级数学人教版上册第14章整式的乘除与因式分解14.2.1平方差公式(图文详解)
= 25－4x2
(3)(x 6)2 (x 6)2
原式=[(x+6)-(x-6)][(x+6)+(x-6)]
= (x+6-x+6)(x+6+x-6)
=12×2x=24x
平方差公式的逆用
a2－b2 = (a+b)(a－b)
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
(4)(0.5 x)(x 0.5)(x2 0.25) 【解析】原式=(0.5-x)(0.5+x)(x2 +0.25)
=( 0.25－x2)( 0.25+x2) =0.0625－x4 （5）100.5×99.5 【解析】原式=(100+0.5)(100-0.5) =10000-0.25 =9999.75
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1．（眉山·中考）下列运算中正确的是（ ）
A．3a 2a 5a2
B．(2a b)(2a b) 4a2 b2
（5）(－a－b)(a－b)； （6）(c2－d2)(d2+c2).
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
2.利用平方差公式计算：
(1)(x 2y)(2y x)
(2)(2x 5)(5 2x)
【解析】 原式=(-2y-x)(-2y+x)
原式=(5+2x)(5-2x)
= 4y2－x2
D．0
【解析】选C.a2－b2－2b=(a-b)(a+b)-2b=a+b-2b=a-b=1.
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
3.（湖州·中考）将图甲中阴影部分的小长方形变换到 图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是 ___________．
八年级数学人教版上册第14章整式的乘除与因式分解14.3.2整式的除法(图文详解)
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.（綦江·中考）2a2÷a的结果是（ ）
A．2 B．2a
C．2a3
D．2a2
【解析】选B.利用单项式除以单项式的运算法则易得 选项B正确.
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
2.（无锡·中考）下列正确的是（ ）
A．（a3)2=a5 C．(a3-a)÷a=a2
B．a3+a2=a5 D．a3÷a3=1
【解析】选D.利用单项式除以单项式的运算法则易得选
项D正确.
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
3.（4x2y3）2 ÷ (-2xy2) 【解析】原式=16x4y6÷(-2xy2)
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
【例】计算:
（1）28x4y2÷7x3y （2）-15a5b3c÷5a4b
【解析】原式=4xy
原式=-3ab2c
（3）（2x2y）3×（-7xy2）÷14x4y3
原式=8x6y3×（-7xy2）÷14x4y3
=-56x7y5÷14x4y3
=-4x3y2
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
的值. 【解析】原式
(9x2 4 y2 5x2 2xy 10xy 4 y2 ) 8x (4x2 8xy) 8x 1xy
2 Q x 2 y 2012 1 x y 1006
2 原式 1006
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.单项式相除 (1)系数相除； (2)同底数幂相除； (3)只在被除式里的幂不变. 2.多项式除以单项式
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第10课 因式分解----分组分解法及复习知识点口诀：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．例1.用分组分解法对下列多项式进行分解因式：(1)bx by ay ax -+-5102 (2)bc ac ab a -+-2 (3)1+--y x xy(4)2222c b ab a -+- (5)y y x x 3922--- (6)yz z y x 2222---(7)3223y xy y x x --+ (8)b a ax bx bx ax -+-+-22 (9)181696222-+-++a a y xy x例2.若32=m ，62=n ，求n m +2和n m 232-的值。
例3.已知a ＋b=10，ab=24，求a 2＋b 2的值。
例4.若x ＋y=8，x 2y 2=4，求x 2＋y 2的值。
分组后能直接提公因式：bn bm an am +++=)()(bn bm an am +++ =)()(n m b n m a +++ =))((b a n m ++分组后能直接运用公式：ay ax y x ++-22=)()(22ay ax y x ++- =)())((y x a y x y x ++-+ =))((a y x y x +-+课堂练习：1.若n 为正整数，且n n n a a a 22232)(4)3(,7-=的值为（ ） A.837B.2891C.3283D.12252.下列各式：①)23(2223ab a a -;②)3()2(223a b a --;③)2(3424b a a a -;④)64(24a b a --中相等的两个是（ ）A.①与②B.②与③C.③与④D.④与①3.下列各式可以用平方差公式计算的是（ ）A.))((y x y x -+B.)23)(32(y x y x +-C.))((y x y x +--D.)21)(21(b a b a -+-4.下列各式的分解因式:①)510)(510(2510022q q q p -+=-;②)2)(2(422n m n m n m -+-=--; ③)2)(3(62-+=-x x x ;④22)21(41--=+--x x x 其中正确的个数有( ) A.0 B.1 C.2 D.35.下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是( )A.()()4x y y x xy +--B.2224a ab b -+C.2144m m -+D.()2221a b a b ---+ 6.设()()()()1112,1133M a a a N a a a =++=-+，那么M N -等于( )A.2a a +B.()()12a a ++C.21133a a + D.()()1123a a ++7.已知正方形的面积是()22168x x cm -+(x>4cm)，则正方形的周长是( )A.()4x cm -B.()4x cm -C.()164x cm -D.()416x cm - 8.若023=-+b a ，则b a 273⋅= 9.已知3,5==n n y x ，则n xy 2)(=10.若252++ax x 为一元一次的完全平方式，则a=______ 11.分解因式：(1)49)23(2--x = ; (2)22)1()12(+--x x =________________ (3)2294b a -=__________________; (4))12(3)12(52---x x x =_______________ (5))1()12(2--+-a b a a =_________________； (6)81492-x =_________________；(7))5(10)5(8+-+x x x x =_________________； (8))2(4)2(72+-+x x =_________________；12.整式)5)(3(+-ax a x 的乘积中，2x 项系数为-12，求各项系数和为______13.已知)3)(3(22m x x nx x +-++的展开式中不含2x 和3x 项，则m= ，n= . 14.若()()2310x x x a x b --=++，则a =________，b =________。
15.若()222,8x y z x y z ++=-+=时，x y z --=__________。
16.设a 、b 是常数，且b ＜0，若942++ax x 可以因式分解为2)2(b x -，则a+b= 17.利用分解因式计算：(1)7716.87.63216⨯+⨯=________；(2)221.229 1.334⨯-⨯=________；(3)5×998+10=_________。
18.甲、乙两个同学分解因式2x ax b ++时，甲看错了b ，分解结果为()()24x x ++；乙看错了a ，分解结果为()()19x x ++，则a =________，b =________。
19.对下列多项式进行分解因式：(1)y xy y x 442+- (2)2422+-a a (3) ()()22141m m m ---(4)3222a a b ab -+ (5)322159a ab ac -+- (6)()222416x x +-(7)452++x x(8)1072++x x (9)6432-+x x(10)a b b ab a 4912622-++- (11)y b x b y a x a 222244+--(12)92234-+-a a a (13)222y yz xz xy x ++--(14)122222++-+-ab b b a a (15)xy y x x y x ++--)7()2(82220.利用分解因式的方法计算： (1)()()200120022001222-+-- (2)()51125530+÷21.已知 6.61, 3.39x y ==-，求()()()2235x y x xy y xy x y -++--的值。
课堂测试题10日期： 月 日 满分：100分 姓名： 得分：1.下列各式：42x x ⋅，42)(x ，44x x +，24)(x -，与8x 相等的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个2.下列计算结果正确的是（ ） A.8)4)(2(2-=-+x x xB.13)13)(13(22-=+-y x xy xyC.229)3)(3(y x y x y x -=++-D.216)4)(4(x x x -=+--3.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( )A.()()2339a a a +-=-B.()()22a b a b a b -=+-C.()24545a a a a --=--D.23232m m m m m ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭ 4.下列分解因式正确的是（ ）A.)1(23a a a +-=+-B.)2(2242b a b a -=+-C.22)2(4-=-a aD.22)1(12-=+-a a a5.下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ )A.12+xB.122-+x xC.12++x xD.442++x x 6.已知106222-=--+y x y x ，则22015y x 的值为（ ） A.91B.9C.1D.997.若12--ax x 以分解为))(2(b x x +-，则b a +的值为（ ） A.-1B.1C.-2D.28.分解因式2422+-x x 的最终结果是 ( )A.2x(x-2)B.2(x 2-2x+1)C.2(x-1)2D.(2x-2)2 9.下列四个多項式，哪一个是3522-+x x 的因式？（ ）A.2x-1B.2x-3C.x-1D.x-3 10.展开下列各式：(1))22)(21(x x +---= 。
(2) )53)(12(+--x x =________________________。
(3)2)65(x --=________________________。
11.若22)(4b x ax x +=++，则b a ⋅= 12.m x x +-32可分解为))(3(n x x ++，则m=______13.计算：(1))2)(1()4)(3(++---x x x x =_____________； (2))32)(13(x x -+=_____________ 14.设5=+-y x xy ，则)1)(1(-+y x = 15.若13=x ，则)2)(2(+-x x =16.两个正方形的周长差是96cm ，面积差是960cm 2，则这两个正方形的边长分别是_________cm 。
17.对下列多项式进行因式分解：(1) 228x - (2)229y x - (3)1282++x x(4))(12)(82a b b a --- (5)ab a b a 2)2(22--+ (6)22a b ab b ++(7))5)(5()5(2+-+-x x x x x (8))()(622b a b a +-- (9)3322x x y xy -+18.已知m 、n 互为相反数，且满足()()224416m n +-+=，求22mm n n+-的值。
19.先化简，再求值。
已知2)()1(2-=---y x x x ，求xy y x -+222的值．。