第六章+树_1 (1)

【例如】
空树
只含一个根结 点的二叉树
以空白字符“
A 以字符串“A 以下列字符串表示 D
”表示
”表示
A B
A(B(
,C(
,
)),D(
,
))
C
6.3 二叉树的存储结构
B
A C
void createbintree（BINTREE *t） /* 按先序遍历创建二叉链表*/ D { int a; scanf（″%d ″，&a）; /* 如果读入0，创建空树*/ i f（a==0） *t=NULL; else ｛ *t=（BTNODE *）malloc（sizeof（BTNODE））; （*t）->data=a; /* 将结点数据a放入根结点的数据域*/ createbintree（&（*t）->lchi ld）; /* 建左子树*/ createbintree（&（*t）->rchi ld）; /* 建右子树*/ ｝ ｝
6.1 树的基本概念 例如:
B
A
C F
K L
D H I J
M
E
G
T1
T2
T3
6.1 树的基本概念
【特性】 1. 空树是树的特例; 2. 非空树中至少有一个结点，称为树的根，只有 根结点的树称为最小树; 3. 在含有多个结点的树中，除根结点外，其余结 点构成若干棵子树，且各子树间互不相交。
6.1 树的基本概念
6.2 二叉树
根结点
A
B C E F G H 左子树 K
D
右子树
根结点
右子树
A
B
C
E
F
D
左子树 显然，二叉树的定义是递归的。
G
H K
6.2 二叉树 【二叉树的五种基本形态】：
空树 只含根结点 N 右子树为空树 N L 左子树为空树 左右子树均 不为空树
N
R L
N
R
6.2
二叉树
思考：二叉树与度为2的有序树相同吗？？ 不同！！在有序树中，虽然一个结点的孩子之间是有左右
E
E F G
D
F
G
6.1 树的基本概念
线性结构 树型结构
第1个数据元素 无直接前驱
最后1个数据元素 无直接后继 其它数据元素 一个直接前驱、 一个直接后继
根结点 无双亲 多个叶子结点 无子结点
其它数据元素 一个双亲、 1个或多个孩子
6.2 二叉树
6.2.1二叉树的定义
二叉树是n (n≥0) 个结点的有限集合，这个集 合或是空集，或是由一个根结点以及两棵互不相交的、 被称为根的左子树和右子树所组成；左子树和右子树 分别又是一棵二叉树。 【特点】： 每个结点至多只有两棵子树， 且二叉树的子树有左右之分，其次 序不能任意颠倒。
6.1.1 树的定义
• 当n=0时称为空树； H E
D I L J M
树是n（n≥0）个结点的有限集。
• 当n>0时为非空树，在任意一棵非空树中，有且仅 有一个称为根的结点，其余的结点可分为m(m ≥0) 个互不相交的有限集T1,T2,…,Tm，其中每一个集合 又称为一棵树，并且称为根的子树;
• 同理，每一棵子树又可以分为若干个互不相交的 有限集……
6.1 树的基本概念
森林：是m(m ≥0)棵互不相交的树的集合。对树 中每个结点而言，其子树的集合即为森林。
任何一棵非空树是一个二元组
Tree = （root，F）
其中：root 被称为根结点 F F 被称为子树森林 B
E F
root
A
C
G H
D
I J
K
L
M
6.1 树的基本概念
6.1.3 树的表示方法
6.1 树的基本概念
1. 双亲表示法 数组下标
data parent
A B C D E F G -1 0 0 0 2 2 5
A
B
E
C F G
D
0 1 2 3 4 5 6
※ 很容易由孩子找到双亲，但不易从双亲找到孩子。
6.1 树的基本概念
2. 多重链表表示法 每个结点可能含有 m个孩子，即每个结点发 出m 个链，分别指向它的一个孩子。 结点
5 10 11 12
10 11 12
6
7
6.3.1 二叉树的顺序存储结构
对于一般二叉树，则应将其每个结点与完全二叉树 上的结点相对照，存储在一维数组的相应分量中。 【一般 二叉树 2 的顺序 存储】 C 4
● 8 0 1 2
A 1
B 5 D F 6 ● ● 12 8 9
●
3 7 ●
● E 9 10 3 4 5
的度 结点元 素的值
指向孩子 的指针域
【补充－－孩子链表表示法】:
另一种办法是: • 把每个结点的孩子结点排列起来，看成是一个 线性表，且以单链表作存储结构，则n个结点有n 个孩子链表（叶子的孩子链表为空表）。 • 而n个头指针又组成一个线性表，为了便于查 找，可采用顺序存储结构。
data firstchild
6.1.2 树的基本术语
D
J M
树的结点：包含一个数据元素 H I 及若干个指向其子树的分支； 结点的度：一个结点拥有的子树数目；
（有几个直接后继就是几度，亦称“次数”）
树的度：一棵树上所有结点度的最大值； 叶子结点（终端结点）：度为零的结点； 分支结点（非终端结点） ：度大于零的结点； (从根到结点的)路径：由从根到该结点所经分支和 结点构成；
结点结构:
lchild data rchild
二叉树的每个结点包括三个成员。其中，lchild是指向该结点左孩子的 指针，rchild是指向该结点右孩子的指针，data存放结点本身的值。
6.3 二叉树的存储结构
6.3.3 建立二叉树
以字符串的形式 根-左子树-右子树 定义一棵二 叉树
6.3 二叉树的存储结构
进行 1 至 n 的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为
i 的结点：
8 9 10 11 12
(1) 若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲， 否则，编号为 i/2 的结点为其双亲结点； (2) 若 2i>n，则该结点无左孩子，
否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点；
(3) 若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点， 否则，编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。
2i+2
2i+3
6.3 二叉树的存储结构
• 二叉树的顺序存储表示
•
二叉树的链式存储表示
6.3 二叉树的存储结构
6.3.1 二叉树的顺序存储结构
对于完全二叉树，用一组地址连续的存储单元依 次自上而下、自左至右存储完全二叉树上的结点元素。 1 【完全二叉树的顺序存储】 2 3 4 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
试采用顺序存储方法画出所示二叉树的存储结构
1
2 4 6 5 7 3
【二叉树的顺序存储】
1 2 3 4 5
6
7
试采用二叉链表方法画出所示二叉树的存储结构
root
A B C D B E A
D
C E
6.3 二叉树的存储结构
C 语言的类型描述如下: typedef struct btnode { // 结点结构 int data; struct btnode *lchild, *rchild; // 左右孩子指针 } BTNode, *BiNTree;
B
E F
C
G H
D
I J
K
L
M
6.1 树的基本概念
结点的层次：从根结点到该结点所经过的路径长度 加1； 树的深度：树中叶子结点具有的最大层次数； 有序树：如果将树中结点的各子树看成从左至右是 有次序的（即不能互换），则称该树为有序树；
第一个孩子：在有序树中，最左边的子树的根称为 第一个孩子； A
最后一个孩子：最右边 的子树的根称为最后 一个孩子； E B F K L C G H D I J M
树形结构 是一类非线性结 构。这种结构结点之 间有分支，并具有层 次关系。它非常类似 于自然界中的树。
客观世界中：例如家谱、行政组织机构 计算机领域中：例如在编译程序中，用树来表示源程序 的语法结构；在数据库系统中，可用树来组织信息；在分 析算法的行为时，可用树来描述其执行过程。
6.1 树的基本概念
6.2
二叉树
2 4 8 9 5 10 11
1 3
性质5 :
6
12
7
（4） 如果结点i的序号为奇数且不等于1，则它 的左兄弟为i-1。 （5） 如果结点i的序号为偶数且不等于n，则它 的右兄弟为i+1。 （6） 结点i所在层数为 log2i +1。
6.2 二叉树
i/2
i
i+1
2i
2i+1
（k≥1）。
6.2 二叉树
• 性质 3 ：
对任何一棵二叉树，若它含有n0 个叶子结点、 n2 个度为 2 的结点，则必存在关系式：n0 = n2+1。 【证明】： 设 n1为度为1的结点数,则总结点数 n = n0 + n1 + n2,又: 二叉树上分支总数 b = 0* n0 +1*n1+2*n2=n1 + 2n2
6.1 树的基本概念
孩子结点：结点的子树的根称为该结点的孩子结点； 双亲结点：相应地，该结点称为孩子的双亲结点； 兄弟：具有同一父结点的子结点互称兄弟； 堂兄弟：其双亲在同一层的结点互为堂兄弟； 祖先结点：从根到该结点所经分支上的所有结点； 子孙结点：以某结点为根的子树中任一结点都称为 A 该结叉树】