高三一轮复习高三易错题练习(6份)含答案参考答案

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高三真题易错题及答案解析

高三真题易错题及答案解析

高三真题易错题及答案解析高三是每位学生都期待的一个重要时期,这段时间被认为是升学道路上的关键一步。

然而,在备战高考的过程中,学生们经常会遇到一些难题,特别是一些易错题。

本文将就高三真题中的易错题进行解析,并提出解题思路,以帮助高三学生提高解题能力和应对考试的信心。

1. 数学在高三时期,数学往往是学生们最难攻克的科目之一。

以下是一道典型的易错题及解析:题目:已知直线l1 : 2x + y = 7, l2 : 3x - y = 1,设A为l1与l2的交点,M为l2上一点,且直线l与x轴的夹角为α,则α的取值范围是()A.(0, π)B.(0, π/2)C.(0, π/3)D.(0, 2π/3)解析:首先,我们可以通过解方程组得到A的坐标为(2, 3)。

接着,我们利用斜率的性质来求解α的取值范围。

直线l1的斜率为-2,直线l2的斜率为3。

由于直线与x轴的夹角是直线的斜率的反函数的绝对值,因此α的取值范围为(π/6, π/3),所以答案为 C.2. 英语英语作为一门重要的外语课程,也是高考分数的一部分。

在高三的英语考试中,学生们时常会在阅读理解和单词选择等部分遇到一些易错题。

以下是一道典型的易错题及解析:题目:Although the idea of history being divided into three ages is not new, few people would deny that the year 2000 will bring to an end of our present age - the age of science and technology - and the beginning of a new age - the age of biology. _____, many scientists seem convinced that biology will do far more for man than science and technology have done.A.ThereforeB.InsteadC.HoweverD.Anyway解析:根据上文提到的2000年将会带来"the age of biology",所以此题在逻辑上需要使用转折词,表示与之前相反的情况。

高三物理一轮复习易错题7动量守恒定律

高三物理一轮复习易错题7动量守恒定律

精品基础教育教学资料,仅供参考,需要可下载使用!易错点07 动量守恒定律易错题【01】对动量守恒定义理解有误动量守恒定律1.内容:如果一个系统不受外力,或者所受外力的矢量和为0,这个系统的总动量保持不变。

[注1]2.表达式:m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′。

3.适用条件(1)理想守恒:不受外力或所受外力的合力为0。

(2)近似守恒:系统内各物体间相互作用的内力远大于它所受到的外力。

[注2](3)某一方向守恒:如果系统在某一方向上所受外力的合力为0,则系统在该方向上动量守恒。

易错题【02】对爆炸、反冲运动分析有误碰撞、反冲、爆炸1.碰撞(1)特点:作用时间极短,内力(相互碰撞力)远大于外力,总动量守恒。

(2)分类①弹性碰撞:碰撞后系统的总动能没有损失。

[注3]②非弹性碰撞:碰撞后系统的总动能有损失。

③完全非弹性碰撞:碰撞后合为一体,机械能损失最大。

2.爆炸与碰撞类似,物体间的相互作用时间很短,作用力很大,且远大于系统所受的外力,所以系统动量守恒。

[题型技法] 碰撞问题解题策略(1)抓住碰撞的特点和不同种类碰撞满足的条件,列出相应方程求解。

(2)可熟记一些公式,例如“一动一静”模型中,两物体发生弹性正碰后的速度满足:v 1′=m 1-m 2m 1+m 2v 1 v 2′=2m 1m 1+m 2v 1 (3)熟记弹性正碰的一些结论,例如,当两球质量相等时,两球碰撞后交换速度。

当m 1≫m 2,且v 2=0时,碰后质量大的速率不变,质量小的速率为2v 1。

当m 1≪m 2,且v 2=0时,碰后质量小的球原速率反弹。

易错题【03】对爆炸过程各个量分析有误爆炸现象的三个规律动量守恒 由于爆炸是在极短的时间内完成的,爆炸物体间的相互作用力远远大于受到的外力,所以在爆炸过程中,系统的总动量守恒动能增加 在爆炸过程中,由于有其他形式的能量(如化学能)转化为动能,所以爆炸后系统的总动能增加位置不变爆炸的时间极短,因而作用过程中,物体产生的位移很小,一般可忽略不计,可以认为爆炸后仍然从爆炸前的位置以新的动量开始运动01 对动量守恒定律理解不到位1、关于系统动量守恒的条件,下列说法正确的是( )A .只要系统内存在摩擦力,系统动量就不可能守恒B.只要系统中有一个物体具有加速度,系统动量就不守恒C.只要系统所受的合外力为零,系统动量就守恒D.系统中所有物体的加速度为零时,系统的总动量不一定守恒【警示】本题容易出错的主要原因是对动量守恒定义理解有误。

2020-2021学年高三地理一轮复习易错题01 地球与地图(含答案)

2020-2021学年高三地理一轮复习易错题01 地球与地图(含答案)

易错点01 地球与地图易错题【01】无法分清大圆和最短航线若两地的经度差不等于180度,则经过这两点大圆不是经线圈,而是与经线圈斜交,其最短航线不经过极点,具体分为两种情况:①甲地位于乙地的东方,从甲到乙最短航程为:同在北半球,先向西北,再向西,最后向西南;同在南半球,先向西南,再向西,最后向西北;位于不同半球时,需要讨论哪一段为劣弧段。

②甲地位于乙地的西方,从甲到乙最短航程为:同在北半球,先向东北,再向东,最后向东南;同在南半球,先向东南,再向东,最后向东北;位于不同半球时,需要讨论哪一段为劣弧段。

易错题【02】无法正确处理等高线和坡度的相互关系根据等高线疏密,判断坡度陡缓。

等高线稀疏的地方表示缓坡,密集的地方表示陡坡,间隔相等的地方表示均匀坡。

等高线的凸出部分指向低处表示山脊,其最大弯曲处的点的连线,表示为山脊线,也叫分水线。

等高线凸出部分指向高处,表示为山谷,其最大弯曲处点的连线,表示为山谷线,也叫集水线。

判断两点间可否通视,可通过绘制地形剖面图判断。

等高线上疏下密表示凸形坡,一般不可视;等高线上密下疏表示凹形坡,一般可视,在等高线图上判断河流流向时,要注意等高线的弯曲方向与河流流向相反。

易错题【03】不会描述地形特征根据等高线判定地貌特征可以从“以何种地形为主”“地势的高低起伏”“各种地形的分布(此条只大范围地区用)”等方面回答。

01无法分清大圆和最短航线西北通道是指从北大西洋经加拿大北极群岛进入北冰洋,再进入太平洋的航道。

以往因冰封影响,航运受限,但未来有望实现通航。

读图,完成下面小题。

1.若不考虑地形等因素,一架飞机从甲地沿最近的线路飞往乙地,则该飞机飞行方向是A.一路正西B.先西北,后西南C.先东北,后东南D.先西南,后西北2.图示区域西北通道的长度约为(cos 70°≈0.342)A.1 800 km B.13 500 km C.5 000 km D.3 330 km【错因】分不清大圆和最短航线,无法确定劣弧【问诊】1.图中甲、乙两地同位于北半球,所以二者之间最近距离应为凸向北极附近的劣弧弧长,所以飞机从甲地到乙地的飞行方向为先向西北再向西南。

高三化学一轮复习易错题:原子核外电子排布式

高三化学一轮复习易错题:原子核外电子排布式

原子核外电子排布式【易错分析】(1)在写基态原子的电子排布图时,常出现以下错误:(2)当出现d 轨道时,虽然电子按n s 、(n -1)d 、n p 的顺序填充,但在书写电子排布式时,仍把(n -1)d 放在n s 前,如Fe :1s 22s 22p 63s 23p 63d 64s 2,失电子时,先失4s 轨道上的电子,如Fe 3+:1s 22s 22p 63s 23p 63d 5。

(3)半充满、全充满状态的原子结构稳定,即n s 2、n p 3、n p 6等处于相对稳定结构状态。

如Cr :3d 54s 1、Mn :3d 54s 2、Cu :3d 104s 1、Zn :3d 104s 2。

(4)注意比较原子核外电子排布式、简化电子排布式、原子外围电子或价电子排布式的区别与联系。

如Cu 的电子排布式:1s 22s 22p 63s 23p 63d 104s 1;简化电子排布式:[Ar]3d 104s 1;外围电子或价电子排布式:3d 104s 1。

【错题纠正】例题1、(1)Goodenough 等人因在锂离子电池及钴酸锂、磷酸铁锂等正极材料研究方面的卓越贡献而获得2019年诺贝尔化学奖。

基态Fe 2+与Fe 3+离子中未成对的电子数之比为______。

(2)钙钛矿(CaTiO 3)型化合物是一类可用于生产太阳能电池、传感器、固体电阻器等的功能材料,基态Ti 原子的核外电子排布式为____________。

(3)以铁、硫酸、柠檬酸、双氧水、氨水等为原料可制备柠檬酸铁铵((NH 4)3Fe(C 6H 5O 7)2)。

Fe 基态核外电子排布式为___________;(4)钙和铜合金可用作电解制钙的阴极电极材料,基态铜原子的价电子排布式为________。

(5)基态Sn 原子价层电子的空间运动状态有___种,基态氧原子的价层电子排布式不能表示为222x y 2s 2p 2p ,因为这违背了____原理(规则)。

2020-2021学年高三物理一轮复习易错题06 机械能守恒定律

2020-2021学年高三物理一轮复习易错题06 机械能守恒定律

易错点05 机械能守恒定律易错题【01】对机械能守恒定律分析有误一、重力做功与重力势能1.重力做功的特点:重力做功与路径无关,只与始、末位置的高度差有关。

2.重力势能(1)表达式:E p=mgh。

[注1](2)重力势能的特点:重力势能的大小与参考平面的选取有关,但重力势能的变化与参考平面的选取无关。

3.重力做功与重力势能变化的关系(1)定性关系:重力对物体做正功,重力势能减小;重力对物体做负功,重力势能增大。

(2)定量关系:重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量。

即W G=E p1-E p2=-ΔE p。

二、弹性势能1.定义:发生弹性形变的物体的各部分之间,由于有弹力的相互作用而具有的势能。

2.弹力做功与弹性势能变化的关系[注2]:弹力做正功,弹性势能减小;弹力做负功,弹性势能增大。

即W=-ΔE p。

三、机械能守恒定律1.内容:在只有重力或弹力做功的物体系统内,动能与势能可以互相转化,而总的机械能保持不变。

[注3]2.表达式:E k1+E p1=E k2+E p2。

易错题【02】对机械能守恒定律的判断方法有误1.对机械能守恒条件的理解第1页共17页(1)只受重力作用,例如做平抛运动的物体机械能守恒。

(2)除重力外,物体还受其他力,但其他力不做功或做功代数和为零。

(3)除重力外,只有系统内的弹力做功,并且弹力做的功等于弹性势能减少量,那么系统的机械能守恒。

注意:并非物体的机械能守恒,如与弹簧相连的小球下摆的过程,小球机械能减少。

2.机械能是否守恒的三种判断方法(1)利用做功及守恒条件判断。

(2)利用机械能的定义判断:若物体或系统的动能、势能之和保持不变,则机械能守恒。

(3)利用能量转化判断:若物体或系统与外界没有能量交换,内部也没有机械能与其他形式能的转化,则机械能守恒。

1.机械能守恒的三种表达式对比2.求解单个物体机械能守恒问题的基本思路第2页共17页(1)选取研究对象——物体。

(2)根据研究对象所经历的物理过程,进行受力、做功分析,判断机械能是否守恒。

2020-2021学年高三生物一轮复习易错题06 遗传的分子基础(含答案)

2020-2021学年高三生物一轮复习易错题06 遗传的分子基础(含答案)

易错点06 遗传的分子基础易错题【01】对中心法则的理解不到位易错题【02】对DNA复制、转录和翻译的区别不清易错题【03】对证明DNA是主要的遗传物质的经典实验理解不到位01对中心法则的理解不到位(2020年全国统一高考生物试卷(新课标Ⅲ·1))关于真核生物的遗传信息及其传递的叙述,错误的是()A.遗传信息可以从DNA流向RNA,也可以从RNA流向蛋白质B.细胞中以DNA的一条单链为模板转录出的RNA均可编码多肽C.细胞中DNA分子的碱基总数与所有基因的碱基数之和不相等D.染色体DNA分子中的一条单链可以转录出不同的RNA分子【错因】生物的遗传信息传递方向就是中心法则描述的内容,本题各个选项是对中心法则具体内容的描述,对中心法则识记或理解不到位的,则会在本题出现混淆。

【问诊】真核生物的正常细胞中遗传信息的传递和表达过程包括DNA的复制、转录和翻译过程。

DNA分子上分布着多个基因,基因是有遗传效应的DNA片段。

A、遗传信息的表达过程包括DNA转录成mRNA,mRNA进行翻译合成蛋白质,A正确;B、以DNA的一条单链为模板可以转录出mRNA、tRNA、rRNA等,mRNA可以编码多肽,而tRNA的功能是转运氨基酸,rRNA是构成核糖体的组成物质,都不编码成多肽,B错误;C、基因是有遗传效应的DNA片段,而DNA分子上还含有不具遗传效应的片段,因此DNA 分子的碱基总数大于所有基因的碱基数之和,C正确;D、染色体DNA分子上含有多个基因,由于基因的选择性表达,一条单链可以转录出不同的RNA分子,D正确。

故选B。

【答案】B【叮嘱】中心法则:,图中实线表示的是绝大部分生物(包括所有细胞结构的生物和大部分病毒)都具有的遗传信息传递方式,包括DNA的复制、转录和翻译;虚线表示的是RNA病毒的信息传递方式,分为两种:一种是逆转录病毒(如HIV),一种是RNA自我复制类型(如新冠病毒)。

1.如图为人体中基因对性状控制过程示意图,据图分析可以得出A.①过程需要DNA单链作模板,葡萄糖作为能源物质为其直接供能B.过程①②者主要发生在细胞核中,且遵循的碱基互补配对方式相同C.镰刀型细胞贫血症是基因重组的结果D.基因1是通过控制蛋白质的结构直接控制生物体的性状【答案】D【解析】【分析】分析题图:图示为人体基因对性状控制过程示意图,其中①表示转录过程,主要在细胞核中进行;M1、M2是转录形成的mRNA,可作为翻译的模板;②是翻译过程,在细胞质的核糖体上合成;据此分析。

2020-2021学年高三英语一轮复习易错题07 介词和介词短语(含答案)

2020-2021学年高三英语一轮复习易错题07 介词和介词短语(含答案)

专题07 介词和介词短语易错题【01】more...than...易错题【02】介词+名词短语易错题【03】to为介词01more...than...(2020·新课标I卷,语法填空,1.5分)The far side of the moon is of particular interest to scientists because it has a lot of deep craters (环形山), more so 65 the familiar near side. 【警示】本题容易出错的主要原因是固定搭配记忆不牢。

【问诊】句意:因为它比熟悉的一面有更多的深环形山。

根据空前的比较级more so可知,此处填介词than,表示“比……更”。

故填than。

【答案】than【叮嘱】more than 与more …than 短语在英语中使用得十分广泛。

但其用法和意义并不简单,一不留神就可能用错。

因为more than 与more …than 除了具备其基本用法外,还有些特殊用法。

理解和翻译时要特别小心,不能一看到more than就简单地按照字面上的意思将其理解为“比……更……”或“超过”等,而是要根据上下文找出more than 短语的确切含义more than 相当于一个形容词或副词短语,在句中作定语或状语,修饰其后的动词、副词、数词或名词等。

一.more than 的用法1. more than 后跟数词,相当于over,翻译成“……多、超过……”等,强调某物数量上超出某一范围。

More than 1,500 people were killed in the earthquake. 地震中有一千五百多人遇难。

2. more than 后跟名词或动名词,相当于over, not just, not only,表示“不只是、不仅仅是”等。

例如:She is more than a teacher to us, she is our friend. 他不只是教师,她还是我们的朋友。

高三一轮复习高三易错题练习(6份)含答案参考答案

高三一轮复习高三易错题练习(6份)含答案参考答案

高三一轮复习高三易错题练习(6份)含答案参考答案1. BC2. BD3. D4. B5. B6. D7. C8. B9. BC 10. A11. 5.8m ,制动距离不仅与列车重量有关,还与列车的行驶速度相关;3.3m/s 2, 12. 0, 0.2 13. m(g+a)sin θ ,斜面向上 14. 1m/s 215.解:设小铁块的质量为 m ,加速度为a 1,受木板的滑动摩擦力为mg N f μμ==有 1ma f = 得 212m/s ==g a μ设在拉出木板的过程中,小铁块位移为s 1,木板的位移为s 2,那么21121t a s = 2221t a s = L s s +=12代入数据得 72.022162122+⨯=⨯t t 解得 6.0=t s16.解: a =162=8 m/s 2,mg -f =ma ,f =mg -ma =160N大约是39.5格,因此h =39.5⨯4=158 m 〔在150~165范畴内均可〕 W f =mgh -12mv 2=1.25⨯105 Jh 2=500-158=342 m 。

t 2=342/6=57 s ,t =71 s 。

17.〔1〕一般列车的制动过程是一个匀减速直线运动,利用运动学公式220102t v v as -= 代入数据解得:a =-0.309m/s 2。

〔2〕列车提速后的制动加速度依旧原先的数值,利用运动学公式22022t v v as -= 代入数据解得:s =1250m 。

〔3〕假设道口处有险情,在安全栅栏放下的瞬时,列车同时刹车,列车将最终停止在道口处。

依照运动学公式02t v v at =+ 代入数据解得:t =126s 。

08-09年度高三物理寒假基础练习2参考答案1. A2. A3. C4. C D5. B6. C7. AC8. B9. ACD 10. BD11. mg μ30023t mgv μ 12. 12m/s 0.2m/s 2 13. r :R r R / 14. 221mv mgv μ 2mv15.解:〔1〕人所受的静摩擦力提供向心力,当m f r m >2ω时,人将滑动。

高三化学一轮复习易错题:原子核外电子排布式

高三化学一轮复习易错题:原子核外电子排布式

精品基础教育教学资料,仅供参考,需要可下载使用!原子核外电子排布式【易错分析】(1)在写基态原子的电子排布图时,常出现以下错误:(2)当出现d 轨道时,虽然电子按n s 、(n -1)d 、n p 的顺序填充,但在书写电子排布式时,仍把(n -1)d 放在n s 前,如Fe :1s 22s 22p 63s 23p 63d 64s 2,失电子时,先失4s 轨道上的电子,如Fe 3+:1s 22s 22p 63s 23p 63d 5。

(3)半充满、全充满状态的原子结构稳定,即n s 2、n p 3、n p 6等处于相对稳定结构状态。

如Cr :3d 54s 1、Mn :3d 54s 2、Cu :3d 104s 1、Zn :3d 104s 2。

(4)注意比较原子核外电子排布式、简化电子排布式、原子外围电子或价电子排布式的区别与联系。

如Cu 的电子排布式:1s 22s 22p 63s 23p 63d 104s 1;简化电子排布式:[Ar]3d 104s 1;外围电子或价电子排布式:3d 104s 1。

【错题纠正】例题1、(1)Goodenough 等人因在锂离子电池及钴酸锂、磷酸铁锂等正极材料研究方面的卓越贡献而获得2019年诺贝尔化学奖。

基态Fe 2+与Fe 3+离子中未成对的电子数之比为______。

(2)钙钛矿(CaTiO 3)型化合物是一类可用于生产太阳能电池、传感器、固体电阻器等的功能材料,基态Ti 原子的核外电子排布式为____________。

(3)以铁、硫酸、柠檬酸、双氧水、氨水等为原料可制备柠檬酸铁铵((NH 4)3Fe(C 6H 5O 7)2)。

Fe 基态核外电子排布式为___________;(4)钙和铜合金可用作电解制钙的阴极电极材料,基态铜原子的价电子排布式为________。

(5)基态Sn 原子价层电子的空间运动状态有___种,基态氧原子的价层电子排布式不能表示为222x y 2s 2p 2p ,因为这违背了____原理(规则)。

2020-2021学年高三生物一轮复习易错题07 遗传的基本规律(含答案)

2020-2021学年高三生物一轮复习易错题07 遗传的基本规律(含答案)

易错点07 遗传的基本规律易错题【01】对有关异常分离比的遗传题不会分析在遗传题中经常出现偏离与3:1分离比的现象,可能是由于某种配子不育,或某种受精胚胎不能成活或成活比例低,或不完全显性、共显性等原因造成的,可以通过棋盘分析将异常情况直观的标注出来,进行分析计算。

易错题【02】对涉及到到染色体变异的遗传题不会分析这种类型的题目,要求学生充分理解“基因位于染色体上”这个概念,可以通过画染色体图(将基因标注其上),然后再通过遗传图解分析,有时还要涉及到减数分裂过程中的染色体异常分配,就要求学生正确深刻的认识遗传的细胞基础是在减数分裂过程中的染色体行为带动基因的分离和组合。

易错题【03】对伴性遗传、从性遗传等表现型与性别有关的情况不会分析伴性遗传或从性遗传所表现的性状,也同样遵循基因分离定律,一样可以用遗传图解进行分析,可以将性别也看做一个性状,结合染色体的组型来分析。

01对有关异常分离比的遗传题不会分析(2020年江苏省高考生物试卷)有一观赏鱼品系体色为桔红带黑斑,野生型为橄榄绿带黄斑,该性状由一对等位基因控制。

某养殖者在繁殖桔红带黑斑品系时发现,后代中2/3为桔红带黑斑,1/3为野生型性状,下列叙述错误..的是()A.桔红带黑斑品系的后代中出现性状分离,说明该品系为杂合子B.突变形成的桔红带黑斑基因具有纯合致死效应C.自然繁育条件下,桔红带黑斑性状容易被淘汰D.通过多次回交,可获得性状不再分离的桔红带黑斑品系【错因】对题干中描述的性状分离现象中偏离3:1的分离比的情况未能充分理解,造成错选。

【问诊】已知该鱼体色受一对等位基因控制,设为A、a,繁殖桔红带黑斑品系时,后代出现的表现型比例为桔红带黑斑∶橄榄绿带黄斑=2∶1,说明桔红带黑斑为显性性状,且后代存在显性纯合致死情况。

【详解】A、由桔红带黑斑品系的后代出现性状分离,说明该品系均为杂合子,A正确;B、由分析可知,桔红带黑斑为显性性状,则突变形成的桔红带黑斑基因为显性基因,杂合桔红带黑斑鱼(Aa)相互交配,子代表现型比例为2∶1,可推得基因型为AA的个体死亡,即桔红带黑斑基因具有纯合致死效应,B正确;C、由于桔红带黑斑基因具有纯合致死效应,自然繁育条件下,该显性基因的频率会逐渐下降,则桔红带黑斑性状容易被淘汰,C正确;D、桔红带黑斑基因显性纯合致死,则无论回交多少次,所得桔红带黑斑品系均为杂合子,D错误。

2018年高考数学人教A版一轮复习易错考点排查练六 含解析 精品

2018年高考数学人教A版一轮复习易错考点排查练六 含解析 精品

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易错考点排查练(六)算法、统计与概率考点一 算法1.图中,x 1,x 2,x 3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分,p 为该题的最终得分,当x 1=6,x 2=9,p=8.5时,x 3等于 ( )A.11B.10C.8D.7 【解析】选C.x 1=6,x 2=9,|x 1-x 2|=3≤2不成立, 即为“否”,所以再输入x 3;由绝对值的意义(一个点到另一个点的距离)和不等式|x3-x1|<|x3-x2|知,点x3到点x1的距离小于点x3到x2的距离,所以当x3<7.5时,|x3-x1|<|x3-x2|成立,即为“是”,此时x2=x3,所以p=错误!未找到引用源。

,即错误!未找到引用源。

=8.5,解得x3=11>7.5,不合题意;当x3≥7.5时,|x3-x1|<|x3-x2|不成立,即为“否”,此时x1=x3,所以p=错误!未找到引用源。

,即错误!未找到引用源。

=8.5,解得x3=8>7.5,符合题意.2.若框图所给的程序运行结果为S=20,那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A.k<8?B.k≤8?C.k≥8?D.k>8?【解析】选 D.k=10,S=1,执行,得S=11,k=9,不合题意,需继续执行,得S=20,k=8,此时符合题意,需终止程序运行,故应填k>8?.3.阅读如图所示的程序框图,若运行该程序后输出的y值为错误!未找到引用源。

,则输入的实数x值为.【解析】由程序框图可得,该程序为一分段函数y=错误!未找到引用源。

所以错误!未找到引用源。

或错误!未找到引用源。

解得x=错误!未找到引用源。

.答案:错误!未找到引用源。

4.阅读如图所示的程序框图,则输出的S= .【解析】第一次循环:T=3×1-1=2,S=0+2=2,i=2;此时不满足i>5. 第二次循环:T=3×2-1=5,S=2+5=7,i=3;此时不满足i>5.第三次循环:T=3×3-1=8,S=2+5+8=15,i=4;此时不满足i>5.第四次循环:T=3×4-1=11,S=2+5+8+11=26,i=5;此时不满足i>5.第五次循环:T=3×5-1=14,S=2+5+8+11+14=40,i=6;此时,i>5,满足退出条件,故输出S=40.答案:40考点二统计、统计案例1.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有30名,高二年级有40名,现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了6名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )A.6B.8C.10D.12【解析】选B.设在高二年级的学生中应抽取的人数为x人,则错误!未找到引用源。

高考数学一轮复习数学数列多选题的专项培优易错试卷练习题含答案

高考数学一轮复习数学数列多选题的专项培优易错试卷练习题含答案

高考数学一轮复习数学数列多选题的专项培优易错试卷练习题含答案一、数列多选题1.已知等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和0n S >,设2132n n n b a a ++=-,记{}n b 的前n 项和为n T ,则下列判断正确的是( ) A .若1q =,则n n T S = B .若2q >,则n n T S > C .若14q =-,则n n T S > D .若34q =-,则n n T S > 【答案】BD 【分析】先求得q 的取值范围,根据q 的取值范围进行分类讨论,利用差比较法比较出n T 和n S 的大小关系. 【详解】由于{}n a 是等比数列,0n S >,所以110,0a S q =>≠, 当1q =时,10n S na =>,符合题意; 当1q ≠时,()1101n n a q S q-=>-,即101nq q ->-,上式等价于1010n q q ⎧->⎨->⎩①或1010n q q ⎧-<⎨-<⎩②.解②得1q >.解①,由于n 可能是奇数,也可能是偶数,所以()()1,00,1q ∈-.综上所述,q 的取值范围是()()1,00,-+∞.2213322n n n n b a a a q q ++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,所以232n n T q q S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以()2311222n n n n T S S q q S q q ⎛⎫⎛⎫-=⋅--=⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,而0n S >,且()()1,00,q ∈-⋃+∞.所以,当112q -<<-,或2q >时,0n n T S ->,即n n T S >,故BD 选项正确,C 选项错误. 当12(0)2q q -<<≠时,0n n T S -<,即n n T S <. 当12q =-或2q 时,0,n n n n T S T S -==,A 选项错误.综上所述,正确的选项为BD. 故选:BD 【点睛】本小题主要考查等比数列的前n 项和公式,考查差比较法比较大小,考查化归与转化的数学思想方法,考查分类讨论的数学思想方法,属于中档题.2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若831a =,10210S =,则( ) A .19919S a =B .数列{}22n a是公比为8的等比数列C .若()1nn n b a =-⋅,则数列{}n b 的前2020项和为4040D .若11n n n b a a +=,则数列{}n b 的前2020项和为202024249【答案】CD 【分析】由等差数列性质可判断A ;结合已知条件可求出等差数列的公差,从而可求出通项公式以及22n a ,结合等比数列的定义可判断B ;写出n b ,由定义写出2020T 的表达式,进行分组求和即可判断C ;11144143n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭,裂项相消即可求和.【详解】由等差数列的性质可知,191019S a =,故A 错误;设{}n a 的公差为d ,则有811017311045210a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩,解得13a =,4d =,故41n a n =-,28122na n -=, 则数列{}22n a是公比为82的等比数列,故B 错误;若()()()1141n nn n b a n =-⋅=-⋅-,则{}n b 的前2020项20203711158079410104040T =-+-+-⋅⋅⋅+=⨯=,故C 正确; 若()()1111414344143n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭,则{}n b 的前2020项和2020111111120204377118079808324249T ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=⎪⎝⎭,故D 正确. 故选:CD . 【点睛】 方法点睛:求数列的前n 项和常见思路有:1、对于等差和等比数列,直接结合求和公式求解;2、等差数列±等比数列时,常采取分组求和法;3、等差数列⨯等比数列时,常采取错位相减法;4、裂项相消法.3.已知数列{}n a ,{}n b 满足1n n n a a +-=,21n n n b a nb ⋅+=,且11a =,n S 是数列{}n b 的前n 项和,则下列结论正确的有( )A .m +∃∈N ,55m m a a a +=+B .n +∀∈N ,33314n a n +≥C .m +∃∈N ,16m b =D .n +∀∈N ,113n S ≤< 【答案】BD 【分析】用累加法得到222n n n a -+=,代入21n n n b a nb ⋅+=,得11212n b n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭, 代入5m a +5m a a =+求出m 可判断A ;代入33n a n+求最值可判断B ; 令1121612m b m m ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭解出m 可判断C ;裂项相消后可求出n S 的范围可判断D.【详解】因为1n n n a a +-=,所以211a a -= 322a a -=11(2)n n n a a n -=-≥-以上各式累加得1121(1)2n a a n n n =+++-=--,所以(1)12n n n a -=+,当1n =时,11a =成立, 所以2(1)2122n n n n a n --+=+=,由21n n n b a nb ⋅+=,得112112(1)1222(1)(2)12n n b a n n n n n n n n ⎛⎫====- ⎪+++++⎝-+⎭+,对于A ,()()5254922122m a m m m m ++++++==,25(1)5(51)2411222m a a m m m m -⨯--+=+++=+ , 当55m m a a a +=+时,222492222m m m m -+++=,得15m +=∉N ,A 错误; 对于B,(1)1(13333343411)22222n n n n a n n n n n ++==+=+-≥--+, 当且仅当268n =取等号,因为n +∀∈N ,所以8n =时,8333184a +=, 所以B 正确;对于C,令1121612mbm m⎛⎫=-=⎪++⎝⎭得,215308m m++=,解得m+=N,所以C错误;对于D,n+∀∈N,1231111112233412nS b b bn n⎛⎫=+++=-+-++-⎪++⎝⎭112211222n n⎛⎫=-=-<⎪++⎝⎭,可以看出n S是关于n递增的,所以1n=时有最小值13,所以113nS≤<,D正确.故选:BD.【点睛】本题考查了由递推数列求通项公式、裂项相消求数列和,关键点是用累加法求出n a,然后代入求出n b,考查了学生的推理能力、计算能力.4.某集团公司有一下属企业A从事一种高科技产品的生产.A企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了40%,预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求A企业从第一年开始,每年年底上缴资金t万元(800t<),并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底A企业上缴资金后的剩余资金为n a万元.则()A.22800a t=-B.175n na a t+=-C.1n na a+>D.当400t=时,33800a>【答案】BC【分析】先求得第一年年底剩余资金1a,第二年底剩余资金2a,即可判断A的正误;分析总结,可得1na+与n a的关系,即可判断B的正误;根据题意,求得n a的表达式,利用作差法即可比较1na+与n a的大小,即可判断C的正误,代入400t=,即可求得3a,即可判断D的正误,即可得答案.【详解】第一年年底剩余资金12000(140%)2800a t t=⨯+-=-,第二年底剩余资金211712(140%)392055a a t a t t=⨯+-=-=-,故A错误;第三年底剩余资金3227109(140%)5488525ta a t a t=⨯+-=-=-,⋅⋅⋅所以第n +1年年底剩余资金为17(140%)5n n n a a t a t +=⨯+-=-,故B 正确; 因为212277777()()55555n n n n a a t a t t a t t ---=-=--=--12217777()[1()()]5555n n a t --=-+++⋅⋅⋅+117[1()]75()(2800)7515n n t t ---=---=11757()(2800)[()1]525n n t t -----=1775()(2800)522n t t --+, 所以111722775277[()(2800)]()(2800)555522552n n n n n n n t t ta a a t a a t t --+-=--=-=-+-=-,因为800t <,所以7280002t->, 所以11277()(2800)0552n n n ta a -+-=->,即1n n a a +>,故C 正确; 当400t =时,310910940054885488374438002525t a ⨯=-=-=<,故D 错误; 故选:BC 【点睛】解题的关键是根据123,,a a a ,总结出n a ,并利用求和公式,求得n a 的表达式,综合性较强,考查计算化简的能力,属中档题.5.在数列{}n a 中,如果对任意*n N ∈都有211n n n na a k a a +++-=-(k 为常数),则称{}n a 为等差比数列,k 称为公差比.下列说法正确的是( ) A .等差数列一定是等差比数列 B .等差比数列的公差比一定不为0C .若32nn a =-+,则数列{}n a 是等差比数列D .若等比数列是等差比数列,则其公比等于公差比 【答案】BCD 【分析】考虑常数列可以判定A 错误,利用反证法判定B 正确,代入等差比数列公式判定CD 正确. 【详解】对于数列{}n a ,考虑121,1,1n n n a a a ++===,211n n n na a a a +++--无意义,所以A 选项错误;若等差比数列的公差比为0,212110,0n n n n n na a a a a a +++++---==,则1n n a a +-与题目矛盾,所以B 选项说法正确;若32nn a =-+,2113n n n na a a a +++-=-,数列{}n a 是等差比数列,所以C 选项正确; 若等比数列是等差比数列,则11,1n n q a a q -=≠,()()11211111111111n n nn n n n n n n a q q a a a q a q q a a a q a q a q q +++--+---===---,所以D 选项正确.故选:BCD 【点睛】易错点睛:此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意: (1)常数列作为特殊的等差数列公差为0; (2)非零常数列作为特殊等比数列公比为1.6.已知数列{}n a ,下列结论正确的有( ) A .若12a =,11n n a a n +++=,则20211a =.B .若11132n n a a a ++=,=,则71457a =C .若12nn S =3+,则数列{}n a 是等比数列 D .若11212n n n a a a a ++=,=()*n N ∈,则15215a = 【答案】AB 【分析】直接利用叠加法可判断选项A ,从而判断,利用构造新数列可求出B,D 中数列的通项公式,可判断,选项C 求出数列的前3项从而可判断. 【详解】选项A. 由11n n a a n +=++,即11n n a a n +-=+ 则()()()()19191818120207121a a a a a a a a a a =-+-+-++-+20191822211=+++++=故A 正确.选项B. 由132n n a a +=+,得()1311n n a a +=++,所以数列{}1n a +是以112a +=为首项,3为公比的等比数列.则1123n n a -+=⨯,即1231n n a -=⨯-,所以672311457a =⨯-=,故B 正确.选项C. 由12nn S =3+,可得当1n =时,11722a =+=3当2n =时,得2211193622a S S ⎛⎫⎛⎫=-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 当3n =时,得332112791822a S S ⎛⎫⎛⎫=-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,显然2213a a a ≠,所以数列{}n a 不是等比数列,故C 错误.选项D. 由122nn n a a a +=+,可得11112n n a a +-= 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项,12为公差的等差数列. 所以()1111122n n n a +=+-=,则1511826a ==,即1518a =,故D 错误. 故选:AB 【点睛】关键点睛:本题考查利用递推关系求数列的通项公式,解答的关键是掌握求数列通项公式的常见方法,由叠加法可得()()()()19191818120207121a a a a a a a a a a =-+-+-++-+,利用构造新数列()1311n n a a +=++,11112n n a a +-=解决问题,属于中档题.7.在n n n A B C (1,2,3,n =)中,内角,,n n n A B C 的对边分别为,,n n n a b c ,n n n A B C 的面积为n S ,若5n a =,14b =,13c =,且222124n n n a c b ++=,222124n n n a b c ++=,则( ) A .n n n A B C 一定是直角三角形 B .{}n S 为递增数列 C .{}n S 有最大值 D .{}n S 有最小值【答案】ABD 【分析】先结合已知条件得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-,进而得到22225=n n n b c a +=,得A 正确,再利用面积公式得到递推关系1221875=644n n S S ++,通过作差法判定数列单调性和最值即可. 【详解】 由222124n n n a c b ++=,222124n n n a b c ++=得,222222112244n n n n n n a c a b bc+++++=+()2221122n n n a b c =++()2225122n n b c =++,故()222211125=252n n n n b c b c +++-+-, 又221125=0b c +-,22250n n b c ∴+-=,22225=n n n b c a ∴+=,故n n n A B C 一定是直角三角形,A 正确;n n n A B C 的面积为12n n n S b c =,而()4222222222221124224416n n n n n n n n n n n n a b c a b c a c a b b c +++++++=⨯=, 故()42222222222111241875161875==1616641n n n n n n n n n n n a b c a b bS S c c S +++++++==+,故22212218751875==6446434n n n n n S S SS S +-+--, 又22125=244n n n n n b c b c S +=≤(当且仅当=n n b c 22121875=06344n n n S SS +∴--≥,又由14b =,13c =知n n b c ≠不是恒成立,即212n n S S +>,故1n n S S +>,故{}n S 为递增数列,{}n S 有最小值16=S ,无最大值,故BD 正确,C 错误. 故选:ABD. 【点睛】本题解题关键是利用递推关系得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-,进而得到22225=n n n b c a +=,再逐步突破.数列单调性常用作差法判定,也可以借助于函数单调性判断.8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若981S =,713a =,3S ,1716S S -,k S 成等比数列,则( ) A .2n S n = B .122310*********a a a a a a ++⋅⋅⋅+= C .11k = D .21n a n =-【答案】ACD 【分析】先根据题意求出等差数列的首项和公差,再根据等差数列的通项公式和求和公式求得,n n a S ,再由3S ,1716S S -,k S 成等比数列列出式子求解得出k 的值,再利用裂项相消法求和,得到122310111111021a a a a a a ++⋅⋅⋅+=,从而判断各项的正误. 【详解】依题意,95981S a ==,解得59a =; 而713a =,故75275a ad -==-,则1541a a d =-=, 则21n a n =-,2n S n =,故D 、A 正确:因为3S ,1716S S -,k S 成等比数列,故()223171617k S S S S a =-=,则22933k =,解得11k =,故C 正确;而122310111111021a a a a a a ++⋅⋅⋅+=,故B 错误. 故选:ACD . 【点睛】思路点睛:该题考查的是有关数列的问题,解题方法如下: (1)根据题意,求得通项公式,进而求得前n 项和; (2)根据三项成等比数列的条件,列出等式,求得k 的值;(3)利用裂项相消法,对12231011111a a a a a a ++⋅⋅⋅+求和; (4)对选项逐个判断正误,得到结果.二、平面向量多选题9.如图,已知长方形ABCD 中,3AB =,2AD =,()01DE DC λλ→→=<<,则下列结论正确的是( )A .当13λ=时,1233E A A E D B →→→=+B .当23λ=时,10cos ,10AE BE →→=C .对任意()0,1λ∈,AE BE →→⊥不成立D .AE BE →→+的最小值为4 【答案】BCD 【分析】根据题意,建立平面直角坐标系,由DE DC λ→→=,根据向量坐标的运算可得()3,2E λ,当13λ=时,得出()1,2E ,根据向量的线性运算即向量的坐标运算,可求出2133AD AE BE →→→=+,即可判断A 选项;当23λ=时,()2,2E ,根据平面向量的夹角公式、向量的数量积运算和模的运算,求出cos ,AE BE →→=,即可判断B 选项;若AE BE →→⊥,根据向量垂直的数量积运算,即可判断C 选项;根据向量坐标加法运算求得()63,4AE BE λ→→+=-,再根据向量模的运算即可判断D 选项.【详解】解:如图,以A 为坐标原点,,AB AD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系, 则()0,0A ,()3,0B ,()3,2C ,()0,2D ,由DE DC λ→→=,可得()3,2E λ,A 项,当13λ=时,()1,2E ,则()1,2AE →=,()2,2BE →=-, 设AD m AE n BE →→→=+,又()0,2AD →=,所以02222m n m n =-⎧⎨=+⎩,得2313m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,故2133AD AE BE →→→=+,A 错误;B 项,当23λ=时,()2,2E ,则()2,2AE →=,()1,2BE →=-,故cos ,AE BE AE BE AE BE→→→→→→⋅===⋅,B 正确;C 项,()3,2AE λ→=,()33,2BE λ→=-,若AE BE →→⊥,则()2333229940AE BE λλλλ→→⋅=-+⨯=-+=, 对于方程29940λλ-+=,()2Δ94940=--⨯⨯<, 故不存在()0,1λ∈,使得AE BE →→⊥,C 正确;D 项,()63,4AE BE λ→→+=-,所以4AE BE →→+=≥,当且仅当12λ=时等号成立,D 正确. 故选:BCD.【点睛】关键点点睛:本题考查平面向量的坐标运算,数量积运算和线性运算,考查运用数量积表示两个向量的夹角以及会用数量积判断两个平面向量的垂直关系,熟练运用平面向量的数量积运算是解题的关键.10.已知数列{a n },11a =,25a =,在平面四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点E ,且2AE EC =,当n ≥2时,恒有()()1123n n n n BD a a BA a a BC -+=-+-,则( ) A .数列{a n }为等差数列B .1233BE BA BC =+ C .数列{a n }为等比数列D .14n n n a a +-= 【答案】BD【分析】 证明1233BE BA BC =+,所以选项B 正确;设BD tBE =(0t >),易得()114n n n n a a a a +--=-,显然1n n a a --不是同一常数,所以选项A 错误;数列{1n n a a --}是以4为首项,4为公比的等比数列,所以14n n n a a +-=,所以选项D 正确,易得321a =,选项C 不正确.【详解】因为2AE EC =,所以23AE AC =, 所以2()3AB BE AB BC +=+, 所以1233BE BA BC =+,所以选项B 正确;设BD tBE =(0t >),则当n ≥2时,由()()1123n n n n BD tBE a a BA a a BC -+==-+-,所以()()111123n n n n BE a a BA a a BC t t -+=-+-, 所以()11123n n a a t --=,()11233n n a a t +-=, 所以()11322n n n n a a a a +--=-,易得()114n n n n a a a a +--=-,显然1n n a a --不是同一常数,所以选项A 错误;因为2a -1a =4,114n n n n a a a a +--=-, 所以数列{1n n a a --}是以4为首项,4为公比的等比数列,所以14n n n a a +-=,所以选项D 正确,易得321a =,显然选项C 不正确.故选:BD【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算,考查等比数列等差数列的判定,考查等比数列通项的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。

高考数学一轮复习数学数列多选题的专项培优易错试卷练习题及答案

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高考数学一轮复习数学数列多选题的专项培优易错试卷练习题及答案一、数列多选题1.在数学课堂上,教师引导学生构造新数列:在数列的每相邻两项之间插入此两项的和,形成新的数列,再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造,第1次得到数列1,3,2;第2次得到数列1,4,3,5,2;…;第()*n n ∈N次得到数列1,123,,,,k x x x x ,2;…记1212n k a x x x =+++++,数列{}n a 的前n 项为n S ,则( ) A .12n k += B .133n n a a +=- C .()2332n a n n =+D .()133234n n S n +=+- 【答案】ABD 【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果,寻找规律,再进行推理运算即可. 【详解】由题意可知,第1次得到数列1,3,2,此时1k = 第2次得到数列1,4,3,5,2,此时3k = 第3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2,此时 7k =第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2,此时15k = 第n 次得到数列1,123,,,,k x x x x ,2 此时21n k =-所以12n k +=,故A 项正确;结合A 项中列出的数列可得: 123433339339273392781a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩123333(*)n n a n N ⇒=++++∈用等比数列求和可得()33132n n a -=+则 ()121331333322n n n a+++--=+=+23322n +=+ 又 ()3313333392n n a ⎡⎤-⎢⎥-=+-=⎢⎥⎣⎦22393332222n n +++--=+ 所以 133n n a a +=-,故B 项正确;由B 项分析可知()()331333122n nn a -=+=+即()2332n a n n ≠+,故C 项错误. 123n n S a a a a =++++23133332222n n +⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭()231331322nn --=+ 2339424n n +=+-()133234n n +=+-,故D 项正确. 故选:ABD. 【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果,寻找规律,对于复杂问题,著名数学家华罗庚指出:善于“退”,足够的“退”,退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去,这就是以退为进的思想.2.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时,发现有这样的一列数:1,1,2,3,5,8,…,该数列的特点是:前两个数均为1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n f 称为斐波那契数列. 并将数列{}n f 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}n g ,则下列结论正确的是( ) A .20192g = B .()()()()222123222022210f f f f f f -+-=C .12320192688g g g g ++++=D .22221232019201820202f f f f f f ++++=【答案】AB 【分析】由+2+1+n n n f f f =可得()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-,可判断B 、D 选项;先计算数列{}n g 前几项可发现规律,使用归纳法得出结论:数列{}n g 是以6为最小正周期的数列,可判断A 、C 选项. 【详解】 对于A 选项:12345678910111211,2,3,1,0,1,12310g g g g g g g g g g g g ============,,,,,,,所以数列{}n g 是以6为最小正周期的数列,又20196336+3=⨯,所以20192g =,故A 选项正确;对于C 选项:()()12320193361+1+2+3+1+0+1+1+22692g g g g ++++=⨯=,故C 选项错误;对于B 选项:斐波那契数列总有:+2+1+n n n f f f =,所以()()22222232122232221f f f f f f f f =-=-,()()22121222021222120f f f f f f f f =-=-, 所以()()()()222123222022210f f f f f f -+-=,故B 正确; 对于D 选项:()212+2+1112+n n n f f f f f f f f ==∴=,,,()222312321f f f f f f f f =-=-, ()233423432f f f f f f f f =-=-,,()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-。

高三一轮复习 数列全章 练习(5套)+易错题+答案

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第八章数列与数学归纳法第1节等差数列与等比数列一、选择题1.已知数列{a n}满足2a n=a n+1(n∈N*),且前n项和为S n,则的值为( A )(A) (B) (C)4 (D)2解析:由2a n=a n+1知{a n}是等比数列,公比q=2,===,故选A.2.等差数列{a n}的公差d≠0,且a3=0,若a k是a6与a k+6的等比中项,则k 等于( C )(A)5 (B)6 (C)9 (D)11解析:等差数列{a n}的公差d≠0,由a3=0得a2=-d,可得a1=a2-d=-2d, 则a n=a1+(n-1)d=(n-3)d,若a k是a6与a k+6的等比中项,即有=a6a k+6,即为(k-3)2d2=3d·(k+3)d,由d不为0,可得k2-9k=0,解得k=9(k=0舍去),故选C.3.在各项均为正数的等比数列{a n}中,a1=2,且a2,a4+2,a5成等差数列,记S n是数列{a n}的前n项和,则S5等于( B )(A)32 (B)62 (C)27 (D)81解析:设等比数列{a n}的公比为q,由a2,a4+2,a5成等差数列可知,a2+a5=2(a4+2),即2q+2q4=2(2q3+2),q+q4=2q3+2,q(1+q3)=2(q3+1),又等比数列{a n}各项均为正数,所以q>0,从而q=2,S5==62,选B.4.已知各项均不为0的等差数列{a n}满足a3-+a11=0,数列{b n}为等比数列,且b7=a7,则b1·b13等于( A )(A)16 (B)8 (C)4 (D)25解析:由a3-+a11=0,得2a7-=0,a7=4,所以b7=4,b1·b13==16,选A.5.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个实根组成一个首项为的等差数列,则|m-n|等于( C )(A)1 (B)(C)(D)解析:设这个方程的四个实根为x1<x2<x3<x4,则x1+x4=x2+x3=2,所以x1=,所以4×+d=4,d=,所以x2=,x3=,x4=,m=x1x4=,n=x2x3=,所以|m-n|=.6.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a1=-20,且S n的最小值仅为S6,则等差数列{a n}的公差d的取值范围是( D )(A)(,) (B)(,)(C)(,4) (D)(,4)解析:a6=a1+5d=-20+5d<0,a7=a1+6d=-20+6d>0,解得<d<4,选D.二、填空题7.在等差数列{a n}中,a2=4,且1+a3,a6,4+a10成等比数列,则公差d= ,数列{a n}的前n项和S n= .解析:因为1+a3,a6,4+a10成等比数列,所以=(1+a3)(4+a10),因为a6=a2+4d,a3=a2+d,a10=a2+8d,所以(4+4d)2=(5+d)(8+8d),解得d=3或d=-1,当d=-1时,a6=0不符合等比数列,故d=3.则a1=1,S n=n+×3=.答案:38.已知等比数列{a n}中,a3+a5=8,a1a5=4,则= .解析:在等比数列{a n}中,a1a5==4,a3=±2.当a3=-2时,a5=10,此时=a3a5=-20<0,不合题意,舍去;当a3=2时,因为a3+a5=8,所以a5=6,q2==3,所以=q4=9.答案:99.已知等比数列{a n}的公比q>0,前n项和为S n,若2a3,a5,3a4成等差数列,a2a4a6=64,则a n= ,S n= .解析:因为a2a4a6=64,所以=64,所以a4=4,又2a3+3a4=2a5,2×+3×4=2×4×q,即2q2-3q-2=0,q=-(舍去)或q=2.a1=,a n=×2n-1=2n-2,S n==.答案:2n-210.设数列{a n}的通项公式为a n=2n-10(n∈N*),则|a1|+|a2|+…+|a15|= .解析:|a1|+|a2|+…+|a15|=8+6+4+2+0+2+4+…+20=130.答案:13011.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S10=10,S20=30,则S30= ;解析:法一设等差数列{a n}的公差为d,由题意可得解得d=,a1=,则S30=30×+×=+=60.法二因为S10,S20-S10,S30-S20成等差数列,所以2(S20-S10)=S10+(S30-S20),所以40=10+S30-30,所以S30=60.答案:6012.已知{a n},{b n}是公差分别为d1,d2的等差数列,且A n=a n+b n,B n=a n b n.若A1=1,A2=3,则A n= ;若{B n}为等差数列,则d1d2= . 解析:因为{a n},{b n}是公差分别为d1,d2的等差数列,且A n=a n+b n,所以数列{A n}是等差数列,又A1=1,A2=3,所以数列{A n}的公差d=A2-A1=2,则A n=2n-1;因为B n=a n b n,且{B n}为等差数列,所以B n+1-B n=a n+1b n+1-a n b n=(a n+d1)(b n+d2)-a n b n=a n d2+b n d1+d1d2=[a1+(n-1)d1]d2+[b1+(n-1)d2]d1+d1d2=a1d2+b1d1-d1d2+2d1d2n.为常数.所以d1d2=0.答案:2n-1 0三、解答题13.已知在等比数列{a n}中,a1=1,且a2是a1和a3-1的等差中项.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足b n=2n-1+a n(n∈N*),求{b n}的前n项和S n.解:(1)由已知a1=1,且a2是a1和a3-1的等差中项,有2a2=a1+(a3-1)=a3,所以q==2,故a n=a1q n-1=2n-1.(2)由b n=2n-1+a n(n∈N*)有b n=2n-1+2n-1,则S n=(1+1)+(3+2)+(5+22)+…+[(2n-1)+2n-1]=[1+3+5+…+(2n-1)]+(1+2+22+…+2n-1)=+=n2+2n-1.14.已知数列{a n}的前n项和S n=-a n-()n-1+2(n∈N*),数列{b n}满足b n=2n a n.证明数列{b n}是等差数列,并求数列{a n}的通项公式.解:在S n=-a n-()n-1+2中,令n=1,可得a1=S1=-a1-1+2,解得a1=.当n≥2时,S n-1=-a n-1-()n-2+2,所以a n=S n-S n-1=-a n+a n-1+()n-1,即2a n=a n-1+()n-1,所以2n a n=2n-1a n-1+1.而b n=2n a n,所以b n=b n-1+1,即当n≥2时,b n-b n-1=1.又b1=2a1=1,所以数列{b n}是首项和公差均为1的等差数列,于是b n=1+(n-1)×1=n,所以a n=.15.设数列{a n}是公比小于1的正项等比数列,S n为数列{a n}的前n项和,已知S3=14,且a1+13,4a2,a3+9成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=a n(n+2-λ),且数列{b n}是递减数列,求实数λ的取值范围. 解:(1)设正项等比数列{a n}的公比为q,由题意可得0<q<1.因为S3=14,且a1+13,4a2,a3+9成等差数列,所以a1+a2+a3=14,8a2=a1+13+a3+9,联立解得a2=4,代入a1+a2+a3=14,可得+4+4q=14,解得q=或q=2(舍去),所以a1==8,所以数列{a n}的通项公式为a n=8×()n-1=()n-4.(2)由(1)知b n=a n·(n+2-λ)=(n+2-λ)·()n-4,因为数列{b n}是递减数列,所以b n>b n+1,即(n+2-λ)·()n-4>(n+3-λ)·()n-3,所以n+2-λ>(n+3-λ),所以λ<n+1.因为上式对任意正整数n都成立,所以实数λ的取值范围为(-∞,2).第2节求数列的通项一、选择题1.设数列{a n}的前n项和S n=n2,则a8的值为( A )(A)15 (B)16 (C)49 (D)64解析:a8=S8-S7=64-49=15,选A.2.已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0,a2=-,则{a n}的前10项和等于( C )(A)-6(1-3-10) (B)(1-310)(C)3(1-3-10) (D)3(1+3-10)3.已知数列{a n}中,a1=1,且a n+1=(n∈N*),则a10等于( D )(A)28 (B)33 (C) (D)4.已知数列{a n}的前n项和S n=n2-4n+2,则|a1|+|a2|+…+|a10|等于( A )(A)66 (B)65 (C)61 (D)565.已知数列{a n},{b n}满足a1=1,且a n,a n+1是函数f(x)=x2-b n x+2n的两个零点,则b10等于( D )(A)24 (B)32 (C)48 (D)64解析:由a n a n+1=2n,所以a n+1a n+2=2n+1,两式相除得=2,所以a1,a3,a5,…成等比数列,a2,a4,a6,…也成等比数列,而a1=1,a2=2,所以a10=2×24=32,a11=1×25=32,又因为a n+a n+1=b n,所以b10=a10+a11=64.6.各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n,且3S n=a n a n+1,则a2+a4+a6+…+a2n等于( B )(A)(B)(C)(D)解析:当n=1时,3S1=a1a2,即3a1=a1a2,所以a2=3,当n≥2时,由3S n=a n a n+1,可得3S n-1=a n-1a n,两式相减得3a n=a n a n+1-a n-1a n,3a n=a n(a n+1-a n-1).因为a n≠0,所以a n+1-a n-1=3,所以{a2n}为一个以3为首项,3为公差的等差数列,所以a2+a4+a6+…+a2n=3n+×3=,选B.二、填空题7.设S n是数列{a n}的前n项和,已知a1=1,2a n=-S n S n-1(n≥2),则S n= .答案:8.设数列{a n}满足a1=1,且a n+1-a n=n+1(n∈N*),则数列{}前10项的和为.解析:因为a1=1,a n+1-a n=n+1,所以a2-a1=2,a3-a2=3,…,a n-a n-1=n(n≥2),将以上n-1个式子相加得a n-a1=2+3+…+n=,即a n=, 令b n=,故b n==2(-),故S10=b1+b2+…+b10=2(1-+-+…+-)=.答案:9.设数列{a n}的前n项和为S n.若S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*,则a1= ,S5= .解析:a1+a2=4,a2=2a1+1,所以a1=1,a2=3,由a n+1=2S n+1,a n=2S n-1+1(n≥2)相减可得a n+1-a n=2a n,a n+1=3a n(n≥2),又a2=3a1,所以{a n}为等比数列,S5==121.答案:1 12110.已知数列{a n}的首项a1=1,其前n项和S n=n2·a n(n∈N*),则a9= .解析:当n≥2时,S n=n2·a n,S n-1=(n-1)2a n-1,得a n=n2·a n-(n-1)2a n-1,(n2-1)a n=(n-1)2a n-1,即=,因为··…··=··…··,即=,a n=,所以a9=.答案:11.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=4a n+2n,则数列{a n}的通项公式a n= .解析:由题=+·()n,由-=·()n-1,-=·()n-2,…-=·()1,得-=,即a n=22n-1-2n-1.答案:22n-1-2n-112.设S n为数列{a n}的前n项和,S n=(-1)n a n-,n∈N*,则(1)a3= ;(2)S1+S2+…+S100= .解析:(1)当n=1时,S1=(-1)a1-,得a1=-.当n≥2时,S n=(-1)n(S n-S n-1)-.当n为偶数时,S n-1=-,当n为奇数时,S n=S n-1-,从而S1=-,S3=-,又由S3=-a3-得a3=-.(2)由(1)得S1+S3+S5+…+S99=----…-,S101=-,又S2+S4+S6+…+S100=2S3++2S5++2S7++…+2S101+=0,故S1+S2+…+S100=(-1).答案:(1)-(2)(-1)三、解答题13.数列{a n}中,a1=,a n+1=,求数列{a n}的通项公式.解:由a n+1=可得,(n+1)a n+1=,两边取倒数得,==1+,两边同时加上1,得+1=2+=2(+1).所以数列{+1}是以+1=3为首项,以2为公比的等比数列.所以+1=3×2n-1,化简得a n=.14.若数列{a n}的前n项和为S n,点(a n,S n)在y=-x的图象上(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若C1=0,且对任意正整数n都有C n+1-C n=lo a n.求证:对任意正整数k≥2,总有≤+++…+<.(1)解:因为S n=-a n,所以当n≥2时,a n=S n-S n-1=a n-1-a n,所以a n=a n-1,又因为S1=-a1,所以a1=,所以a n=·()n-1=()2n+1.(2)证明:由C n+1-C n=lo a n=2n+1得当n≥2时,C n=C1+(C2-C1)+(C3-C2)+…+(C n-C n-1)=0+3+5+…+(2n-1)=n2-1=(n+1)(n-1),所以++…+=++…+=×[(1-)+(-)+…+(-)]=[(1+)-(+)]=-(+)<.又因为++…+≥=.所以原式得证.15.在数列{a n}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+na n=a n+1(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项a n;(2)若存在n∈N*,使得a n≤(n+1)λ成立,求实数λ的最小值. 解:(1)当n≥2时,由题可得a1+2a2+3a3+…+(n-1)a n-1=a n.①a1+2a2+3a3+…+na n=a n+1,②②-①得na n=a n+1-a n,即(n+1)a n+1=3na n,=3,所以{na n}是以2a2=2为首项,3为公比的等比数列(n≥2),所以na n=2·3n-2,所以a n=·3n-2(n≥2),因为a1=1,不满足上式,所以a n=(2)a n≤(n+1)λ⇔λ≥,由(1)可知当n≥2时,=,设f(n)=(n≥2,n∈N*),则f(n+1)-f(n)=<0,所以>(n≥2),又=3,可得λ≥×=,所以所求实数λ的最小值为.第3节求数列的前n项和一、选择题1.设数列{a n}是等差数列,且a2=-2,a8=6,数列{a n}的前n项和为S n,则S9等于( B )(A)27 (B)18 (C)20 (D)9解析:因为{a n}是等差数列,且a2=-2,a8=6,所以a8=6=a2+6d=-2+6d,所以d=,a1=a2-d=-2-=-,所以S9=9a1+d=9×(-)+36×=18,故选B.2.已知{a n}为等差数列,公差为-2,且a7是a3与a9的等比中项,S n为{a n}的前n项和,n∈N*,则S10的值为( D )(A)-110 (B)-90 (C)90 (D)110解析:由=a3a9,d=-2得(a1-12)2=(a1-4)(a1-16),所以a1=20,所以S10=10×20+×(-2)=110.3.设S n为等差数列{a n}的前n项和,若=,则等于( A )(A)(B)(C)(D)解析:因为{a n}是等差数列,所以==,解得a1=d,所以===,故选A.4.已知数列{a n}的通项公式是a n=,则数列{a n}的前n项和为( A )(A)-++1 (B)+-1(C)-++1 (D)+-1解析:因为a n==n+()n,所以S n=(1+)+[2+()2]+…+[n+()n]=(1+2+…+n)+[+()2+…+()n]=+=+1-()n=-++1,故选A.5.数列{a n}中,a1=-60,且a n+1=a n+3,则|a1|+|a2|+…+|a30|等于( B )(A)495 (B)765 (C)3 105 (D)2 721解析:因为a n+1=a n+3,所以a n+1-a n=3,所以数列{a n}是以-60为首项,3为公差的等差数列,所以a n=-60+3(n-1)=3n-63,由a n=3n-63≥0得n≥21,所以|a1|+|a2|+…+|a30|=-a1-a2-…-a20+a21+…+a30=-(a1+a2+…+a20)+ (a21+a22+…+a30)=S30-2S20=30×(-60)+×3-2×[20×(-60)+×3]=765.故选B.6.(2017·浙江省温州十校联合体高三上学期期末)已知数列{a n}的首项a1=1,前n项和为{a n},且满足2a n+1+S n=2,则满足<<的n 的最大值是( B )(A)8 (B)9 (C)10 (D)11解析:当n=1时,2a2+S1=2,得a2=,当n≥2时,有2a n+S n-1=2,两式相减得a n+1=a n.再考虑到a2=,所以数列{a n}是等比数列,故有S n=2-2·()n,因此原不等式化为<<,化简得<() n<,得n=4,5,6,7,8,9,所以n的最大值为9.二、填空题7.等比数列{a n}中,前n项和为S n,a1a9=2a3a6,S5=-62,则a1的值为.解析:a1a9=a3a7=2a3a6,所以q==2,由S5=-62,可知a1=-2.答案:-28.若已知数列的前4项是,,,,则数列的前n项和为.解析:由前4项知,数列{a n}的通项公式为a n=,由==(-)知,S n=a1+a2+a3+…+a n=[(1-)+(-)+(-)+…+(-)]=(1+--)=-.答案:-9.(2017·浙江绍兴质量调测)已知等差数列{a n},等比数列{b n}的前n 项和分别为S n,T n(n∈N+),若S n=n2+n,b1=a1,b2=a3,则a n= , T n= .解析:因为S n=n2+n,所以,当n=1时,a1=+=2,当n≥2时,S n-1=(n-1)2+(n-1),所以a n=S n-S n-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=3n-1,因为b1=a1,b2=a3,所以b1=2,b2=a3=3×3-1=8,所以q===4,所以T n==(4n-1).答案:3n-1 (4n-1)10.(2017·浙江三市联考)已知等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q(n,q∈N+),设{a n},{b n}的前n项和分别为S n,T n,若T2n+1=,则a n= .解析:S n=na1+d=n2+(a1-)n,T n==-q n,因为T2n+1=,所以-q2n+1=q2n+(a1-)q n,这是关于n的恒等式,所以解得所以a n=1+2(n-1)=2n-1.答案:2n-111.(2017·淮北二模)已知数列{b n}是等比数列,b n=,a1=1,a3=3,c n=(a n+1)·b n,那么数列{c n}的前n项和S n= .解析:设等比数列{b n}的公比为q,由题意得===q,即a n+1-a n=log2 q.所以{a n}为等差数列,又d==1,a1=1.所以a n=1+n-1=n,b n=2n-1.所以c n=(a n+1)·b n=(n+1)·2n-1.所以数列{c n}的前n项和S n=2×1+3×2+4×22+…+(n+1)·2n-1.①2S n=2×2+3×22+…+n·2n-1+(n+1)·2n,②①-②得-S n=2+2+22+23+…+2n-1-(n+1)·2n=1+-(n+1)·2n=-n·2n,所以S n=n·2n.答案:n·2n三、解答题12.(2017·浙江嘉兴期末)已知单调递增的等比数列{a n}满足:a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=a n·lo a n,求使S n+n·2n+1>50成立的正整数n的最小值. 解:(1)设等比数列{a n}的首项为a1,公比为q.依题意,有2(a3+2)=a2+a4,代入a2+a3+a4=28,可得a3=8,所以a2+a4=20,即解之得或又因为数列{a n}单调递增,所以所以数列{a n}的通项公式为a n=2n.(2)因为b n=a n·lo a n=2n lo2n=-n·2n,所以S n=-(1×2+2×22+…+n·2n),2S n=-[1×22+2×23+…+(n-1)·2n+n·2n+1]两式相减,得S n=2+22+23+…+2n-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1,要使S n+n·2n+1>50,即2n+1-2>50,即2n+1>52,易知:当n≤4时,2n+1≤25=32<52,当n≥5时,2n+1≥26=64>52,故使S n+n·2n+1>50成立的正整数n的最小值为5.13.(2017·浙江衢州质检)已知数列{a n}满足a1=1,S n=2a n+1,其中S n为{a n}的前n项和(n∈N+).(1)求数列{S n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足b n=,且{b n}的前n项和为T n,求证:当n≥2时,≤|T n|≤.(1)解:数列{a n}满足S n=2a n+1,则S n=2a n+1=2(S n+1-S n),即3S n=2S n+1,所以=,即数列{S n}为以1为首项,以为公比的等比数列,所以S n=()n-1(n∈N+).(2)证明:在数列{b n}中,b n==-1×,|T n|=-1×(1+(-)++[-()3]+…+)=1+(-)++(-)3+…+,而当n≥2时,1-≤1+(-)++[-()3]+…+≤1+(-)+=. 即≤|T n|≤.14.(2017·浙江省嘉兴市高三教学测试)已知数列{a n}满足:a1=,a n=+a n-1(n≥2且n∈N+).设数列{}的前n项和为A n,数列{}的前n项和为B n,证明:=a n+1.证明:由a n=+a n-1,可得=a n-a n-1,所以A n=++…+=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a n+1-a n)=a n+1-,又由a n=+a n-1,可得a n=a n-1(a n-1+1),所以==-,即=-,所以B n=++…+=(-)+(-)+…+(-) =-,所以==a n+1, 即=a n+1成立.第4节 数列的综合问题一、选择题1.设{a n },{b n }分别是等差数列与等比数列,a 1=b 1=4,a 4=b 4=1,则下列结论正确的是( A )(A)a 2>b 2 (B)a 3<b 3(C)a 5>b 5 (D)a 6>b 6解析:因为a 1=4,a 4=a 1+3d=4+3d=1,所以d=-1,所以a n =4-(n-1)=5-n,b 1=4,b 4=b 1q 3=4q 3=1,所以q=(),所以b n =4×()=, 所以a2=3,b 2==<=a 2,a 3=2,b 3==<=a 3, a 5=0,b 5=>0=a 5,a 6=-1<0,b 6=>0>a 6,故选A.2.已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意的正数x,y都有f(x·y)=f(x)+f(y),若数列{a n}的前n项和为S n,且满足f(S n+2)-f(a n)=f(3),(n∈N+),则a n等于( D )(A)2n-1 (B)n(C)2n+1 (D)()n-1解析:因为f(x·y)=f(x)+f(y),f(S n+2)-f(a n)=f(3),所以f(S n+2)=f(a n)+f(3)=f(3a n),S n+2=3a n,当n≥2时,S n-1+2=3a n-1,所以a n=3a n-3a n-1,即=,又因为S1+2=3a1,所以a1=1,所以a n=a1q n-1=1×()n-1=()n-1.故选D.3.气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用.第n天的维修保养费为(n∈N+)元,使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少),一共使用了( B )(A)600天 (B)800天(C)1 000天(D)1 200天解析:第n天的维修保养费为a n=,前n天的维修保养费合计为S n,则S n=++…+==平均每天耗资为=++≥2+=, 当且仅当=,即n=800时,平均每天耗资最少.故选B.4.已知数列{a n}的通项公式为a n=,则数列{a n}的最大值为( B )(A)第7项 (B)第8项(C)第7项或第8项 (D)不存在解析:因为a n==≤,当且仅当n=,即n=时,{a n}最大.但n=不是整数,且7<<8,当n=7时,a7==,a8==>,故选B.5.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,S9=-36,S13=-104,等比数列{b n}中b5=a5,b7=a7,则b6的值为( A )(A)±4 (B)-4(C)4 (D)无法确定解析:因为S9=9a1+36d=-36,所以a1+4d=-4,即a5=-4,S13=13a1+78d=-104,所以a1+6d=-8,即a7=-8,又因为b5=a5,b7=a7,所以b5=-4,b7=-8,所以=b5·b7=(-4)×(-8)=32,所以b 6=±4,故选A.6.定义:F(x,y)=y x(x>0,y>0),已知数列{a n}满足a n=(n∈N+),若对任意正整数n,都有a n≥a k(k∈N+)成立,则a k的值为( A ) (A)(B)1 (C) (D)2解析:根据题意有a n==,当n=1时,a1==2;当n=2时,a2==1;当n=3时,a3==;当n=4时,a4==1;当n≥5时,2n>n2,所以a n>1,故选A.二、填空题7.在等差数列{a n}中,a1=2,a3=6,若将a1,a4,a5都加上同一个数,所得的三个数依次成等比数列,则所加的这个数为.解析:因为在等差数列{a n}中,a1=2,a3=6,所以a3=a1+2d=2+2d=6,所以d=2,a n=a1+2(n-1)=2n,设加上的这个数是A,则a1+A=2+A,a4+A=8+A,a5+A=10+A,根据题意有(8+A)2=(2+A)(10+A),所以A=-11.答案:-118.设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n,满足S5S6+15=0,则d的取值范围是.解析:因为S n是等差数列{a n}的前n项和,所以S5S6+15=(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2+9a1d+10d2+1=0,所以Δ=(9d)2-4×2×(10d2-1)=d2-8≥0,所以d≥2或d≤-2.答案:(-∞,-2]∪[2,+∞)9.某人从2013年9月1日起,每年这一天到银行存款一年定期1万元,且每年到期的存款将本和利再存入新一年的一年定期,若一年定期存款利率2.50%保持不变,到2018年9月1日将所有的存款和利息全部取出,他可取回的钱数约为万元.解析:设存入1万元一年定期,n年后的本息为{a n},所以a n=(1+2.50%)n,根据题意n≤5且n∈N,所以{a n}成等比数列,S n=a1+a2+…+a5=(1+2.50%)1+(1+2.50%)2+…+(1+2.50%)5=≈5.387 737,所以2018年9月1日他可取回的钱数约为5.387 737万元.答案:5.387 73710.夏季山上的温度从山脚起,每升高100米,降低0.7 ℃,已知山顶处的温度是14.8 ℃,山脚处的温度为26 ℃,则此山相对于山脚处的高度是米.解析:设山脚温度为a1=26,山顶温度a n=14.8,由于每升高100米,降低0.7 ℃,所以温度的变化成等差数列,所以a n=26-0.7(n-1)=14.8,所以n=17,所以此山相对于山脚处的高度是1 600米.答案:1 60011.如图的倒三角形数阵满足:(1)第1行的n个数分别是1,3,5,…,2n-1;(2)从第二行起,各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和;(3)数阵共有n行.问:当n=2 012时,第32行的第17个数是.1 3 5 7 9 11…4 8 12 16 20…12 20 28 36……解析:设第n行的第一个数为a n,则a1=1,a2=4=2a1+2,a3=12=2a2+22,a4=32=2a3+23,…,由以上归纳,得a k=2a k-1+2k-1(k≥2,且k∈N+),所以=+,所以数列{}是以为首项,以为公差的等差数列,所以=+(n-1)=,所以a n=n×2n-1(n∈N+)由数阵的排布规律可知,每行的数(倒数两行另行考虑)都成等差数列,且公差依次为2,22,…,2k,…第n行的首项为a n=n×2n-1,公差为2n,所以,第32行的首项为a32=32×231=236,公差为232,所以,第32行的第17个数是236+16×232=237.答案:237三、解答题12.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=n2,数列{b n}为等比数列,且首项b1=1,b4=8.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)若数列{c n}满足c n=,求数列{c n}的前n项和T n.解:(1)因为S n=n2,所以S n-1=(n-1)2(n≥2),所以a n=n2-(n-1)2=2n-1,又因为{b n}为等比数列,且首项b1=1,b4=8,所以b4=q3=8,所以q=2,所以b n=2n-1,所以a n=2n-1,b n=2n-1.(2)由(1)有c n===2·2n-1-1=2n-1,所以T n=(2-1)+(22-1)+…+(2n-1)=(2+22+…+2n)-n=-n=2n+1-2-n.13.某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍,并且每年年底固定给股东们分红500万元,该企业2010年年底分红后的资金为1 000万元.(1)求该企业2014年年底分红后的资金;(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元. 解:设{a n}为(2010+n)年年底分红后的资金,其中n∈N+,则a1=2×1 000-500=1 500,a2=2×1 500-500=2 500,…,a n=2×a n-1-500(n ≥2),所以a n-500=2(a n-1-500)(n≥2),即数列{a n-500}是首项为a1-500=1 000,公比为2的等比数列,所以a n-500=1 000×2n-1,即a n=1 000×2n-1+500.(1)a4=1 000×24-1+500=8 500,所以该企业2014年年底分红后的资金为8 500万元.(2)a n>32 500,即2n-1>32,得n>6,所以该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32 500万元. 14.已知数列{a n}是公差不为零的等差数列,a10=15,且a3,a4,a7成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=,数列{b n}的前n项和为T n,求证:-≤T n<-1(n∈N+). (1)解:设数列{a n}的公差为d(d≠0),由已知得即解得所以a n=2n-5(n∈N+).(2)证明:因为b n==,n∈N+,所以T n=+++…+,①T n=+++…++,②①-②得T n=+2(++…+)-=-+, 所以T n=-1-(n∈N+),因为>0(n∈N+),所以T n<-1,因为T n+1-T n=(-1-)-(-1-)=,所以T n<T n+1(n≥2)又T1=-1-=-,T2=-1-=-,因为T1>T2,所以T2最小.即T n≥T2=-.综上所述,-≤T n<-1(n∈N+).第5节数学归纳法一、选择题1.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3…(2n+1)(n∈N*),从“k到k+1”左端需乘的代数式是( B )(A)2k+1 (B)2(2k+1)(C) (D)解析:左端需乘的代数式是=2(2k+1),选B.2.用数学归纳法证明:1+++…+<n,(n∈N*,n>1)时,在第二步证明从n=k到n=k+1成立时,左边增加的项数是( A )(A)2k(B)2k-1(C)2k-1(D)2k+1解析:项数为(2k+1-1)-(2k-1)=2k,选A.3.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证( C )(A)n=1 (B)n=2(C)n=3 (D)n=4解析:由题意知n≥3,所以应验证n=3,选C.4.如果命题P(n)对n=k成立,则它对n=k+1也成立,现已知P(n)对n=4不成立,则下列结论中正确的是( D )(A)P(n)对n∈N*成立(B)P(n)对n>4且n∈N*成立(C)P(n)对n<4且n∈N*成立(D)P(n)对n≤4且n∈N*不成立解析:假设P(n)对n=4成立,则它对n=3,2,1都成立,现n=4时P(n)不成立,所以n=1,2,3也不成立,选D.5.S k=+++…+(k=1,2,3,…),则S k+1等于( C )(A)S k+ (B)S k+-(C)S k+- (D)S k++6.已知f(n)=++++…+,则( C )(A)f(n)中共有n项,当n=2时,f(2)=+(B)f(n)中共有n+1项,当n=2时,f(2)=1+++(C)f(n)中共有n2-n+2项,当n=2时,f(2)=1+++(D)f(n)中共有n2-n+1项,当n=2时,f(2)=1+++解析:由f(n)的解析式可知,共有项数为n2-(n-1)+1=(n2-n+2)项,当n=2时,f(2)=+++,选C.二、填空题7.用数学归纳法证明:++…+>-.假设n=k时不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是.解析:从不等式结构看,左边n=k+1时,最后一项为,前面的分母的底数是连续的,右边n=k+1时,式子是-,所以不等式为++…+>-.答案:++…+>-8.用数学归纳法证明“当n为正偶数时x n-y n能被x+y整除”第一步应验证n= 时,命题成立;第二步归纳假设成立应写成.解析:因为n为正偶数,故取第一个值n=2,第二步假设n取第k个正偶数成立,即n=2k,故假设当n=2k(k∈N*)时结论成立,x2k-y2k能被x+y 整除.答案:2 当n=2k(k∈N*)时,x2k-y2k能被x+y整除9.观察下列式子:1+<,1++<,1+++<…则可归纳出.解析:1+<即1+<,1++<,即1++<,归纳为1+++…+<(n∈N*).答案:1+++…+<(n∈N*)10.已知a1=,a n+1=,则a2,a3,a4,a5的值分别为,由此猜想a n= .解析:a2====,同理,a3===,a4==,a5==,猜想a n=.答案:,,,11.将全体正整数排成一个三角形数阵:12 34 5 67 8 9 10…按照以上排列的规律,第n行(n≥3)从左向右的第5个数为.解析:前n-1行数字个数之和为1+2+3+…+(n-1)=,所以第n-1行最后一个数字是,第n行(n≥3)从左向右的第5个数为+5=.答案:12.n为正奇数时,求证:x n+y n被x+y整除,当第二步假设n=2k-1命题为真时,进而需证n= ,命题为真.解析:题中是数学归纳法关于所有正奇数的命题,2k-1之后的正奇数为2k+1,据此可得第二步假设n=2k-1命题为真时,进而需证n=2k+1,命题为真.答案:2k+1三、解答题13.求证:12+22+…+n2=.证明:(1)当n=1时,左端=1,右端==1,左端=右端,等式成立.(2)假设n=k时,等式成立,即12+22+…+k2=,则12+22+…+k2+(k+1)2=+(k+1)2=.所以,当n=k+1时,等式仍然成立.由(1)(2)可知,对于∀n∈N*等式依然成立.14.证明:1-(x+3)n(n∈N*)能被x+2整除.证明:(1)当n=1时,1-(x+3)=-(x+2),能被x+2整除.(2)假设n=k(k∈N*)时命题成立,即1-(x+3)k能被x+2整除,则可设1-(x+3)k=(x+2)f(x)(其中f(x)为k-1次多项式),当n=k+1时,1-(x+3)k+1=1-(x+3)(x+3)k=(x+3)[1-(x+3)k]-(x+2)=(x+3)(x+2)f(x) -(x+2)=(x+2)[(x+3)f(x)-1]能被x+2整除,所以,当n=k+1时,命题仍然成立.由(1)(2)可知,对于∀n∈N*命题依然成立.15.设函数y=f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy.(1)求f(0)的值;(2)若f(1)=1,求f(2),f(3),f(4)的值;(3)在(2)的条件下,猜想f(n)(n∈N*)的表达式,并用数学归纳法证明.解:(1)令x=y=0,得f(0)=0.(2)f(1)=1,f(2)=f(1+1)=1+1+2=4,f(3)=f(2+1)=4+1+2×2×1=9,f(4)=f(3+1)=9+1+2×3×1=16.(3)猜想:f(n)=n2.证明:n=1时,f(1)=1满足条件.假设n=k时,命题成立,即f(k)=k2.则当n=k+1时,f(k+1)=f(k)+f(1)+2k=k2+1+2k=(k+1)2,从而得n=k+1时满足条件,所以对任意正整数n都有f(n)=n2.知识拓展:数列放缩技巧一、选择题1.在等差数列{a n}中,若a n>0,公差d>0,则有a4·a6>a3·a7,类比上述性质,在等比数列{b n}中,若b n>0,公比q>1,则b4,b5,b7,b8的一个不等关系是( A )(A)b4+b8>b5+b7(B)b5+b7>b4+b8(C)b4+b7>b5+b8(D)b4+b5>b7+b8解析:(b4+b8)-(b5+b7)=(b4-b5)+(b8-b7)=b4(1-q)+b7(q-1)=(1-q)(b4- b7),因为b n>0,q>1,所以{b n}为递增数列,所以b4<b7,因为1-q<0,所以(1-q)(b4-b7)>0,所以(b4+b8)-(b5+b7)>0,所以b4+b8>b5+b7.故A正确.2.若a,b,c成等比数列,则关于x的方程ax2+bx+c=0( C )(A)必有两个不等实根(B)必有两个相等实根(C)必无实根(D)以上三种情况均有可能解析:因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac>0,又Δ=b2-4ac=-3ac<0,所以方程ax2+bx+c=0无实数根.故选C.3.等差数列{a n}中,a2+a5+a8=9,那么方程x2+(a4+a6)x+10=0的根的情况是( A )(A)没有实根 (B)两个相等实根(C)两个不等实根(D)无法判断解析:由a2+a5+a8=9得a5=3,所以a4+a6=6,方程转化为x2+6x+10=0, 因为Δ<0,所以方程没有实根.4.已知{a n}为等差数列,{b n}为正项等比数列,公比q≠1,若a1=b1,a11=b11,则( B )(A)a6=b6(B)a6>b6(C)a6<b6(D)以上都有可能解析:因为{a n}为等差数列,所以a6=.因为{b n}为正项等比数列,所以b6==.因为公比q≠1,由基本不等式可知a6>b6.5.给出以下命题,其中正确的命题的个数是( B )①存在两个不等实数α,β,使得等式sin(α+β)=sin α+sin β成立;②若数列{a n}是等差数列,且a m+a n=a s+a t(m,n,s,t∈N*),则m+n=s+t;③若S n是等比数列{a n}的前n项和,则S6,S12-S6,S18-S12成等比数列;④若S n是等比数列{a n}的前n项和,且S n=Aq n+B(其中A,B是非零常数,n∈N*),则A+B=0;⑤已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2+b2>c2,则△ABC一定是锐角三角形;(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:①取α=π,β=-π,显然等式成立,命题正确,②当公差d=0时,显然命题不正确,例如a1+a2=a3+a4,1+2≠3+4.③当a1=1,q=-1时,S6=S12-S6=S18-S12=0,命题错误,④因为S n=Aq n+B(其中A,B是非零常数,n∈N*),所以q≠1,此时S n==q n+,所以A=,B=,从而A+B=0,命题正确,⑤由a2+b2>c2,得cos C>0,C是锐角,不能推出△ABC一定是锐角三角形,命题错误,故选B.6.在数列{a n}中,a n>0,a1=,如果a n+1是1与的等比中项,那么a1++++…+的值是( C )(A) (B) (C) (D)解析:由题意得=⇒(2a n+1+a n a n+1+1)(2a n+1-a n a n+1-1)=0⇒a n+1=⇒a n+1-1=⇒=-1,所以=-(n-1)=-n-1⇒a n=⇒=.所以a1++…+=1-+-+…+-=.二、填空题7.已知数列{a n}满足a n+2-a n+1=a n+1-a n,n∈N*,且a5=,若函数f(x)=sin2x-2sin2,记y n=f(a n),则数列{y n}的前9项和为.解析:因为2a n+1=a n+a n+2,所以数列{a n}是等差数列.设公差为d,则a n=+(n-5)d.又因为f(x)=sin 2x-2sin2=sin 2x+cos x-1.所以f(a1)+f(a2)+…+f(a9)=[sin 2(-4d)+sin 2(-3d)+…+s i n(2×)+…+s i n2(+4d)]+c o s(-4d)+…+c o s+…+ cos(+4d)+9×(-1)=-9.答案:-98.在等比数列{a n}和等差数列{b n}中,a1=b1>0,a3=b3>0,a1≠a3,则a5与b5的大小关系为.解析:设公比为q,公差为d.则a3=a1q2,b3=b1+2d=a1+2d,由a3=b3,所以2d=a1(q2-1).又因为a1≠a3,所以q2≠1.所以a5-b5=a1q4-(a1+4d)=a1(q2-1)2>0.所以a5>b5.答案:a5>b59.在等差数列{a n}中,若任意两个不等的正整数k,p,都有a k=2p+1,a p=2k+1,设数列{a n}的前n项和为S n,若k+p=m,则S m= (结果用m表示).解析:设公差为d,因为a k=2p+1=a1+(k-1)d ①a p=2k+1=a1+(p-1)d ②由①-②可得d=-2,把d=-2代入a k=2p+1可得a1+(k-1)×(-2)=2p+1,所以a1=2p+2k-1=2m-1,所以S m=ma1+ d=m(2m-1)+×(-2)=m2.答案:m210.数列{a n}满足a1=,a n+1=-a n+1(n∈N*),则m=++…+的整数部分是.解析:因为a1=,a n+1=-a n+1,则a n+1-a n=(a n-1)2>0,所以a n+1>a n,所以数列{a n}单调递增,所以a n+1-1=a n(a n-1)>0,所以=-,即=-,所以S n=++…+=(-)+(-)+…+(-)=-=3-,所以m=S2 013=3-.因为a1=,所以a2=()2-+1=,所以a3=()2-+1=,所以a4=()2-+1=+1>2.因为a2 014>a4>2,所以0<<1,所以2<3-<3,所以m的整数部分是2.答案:211.在由正数组成的等比数列{a n}中,设x=a5+a10,y=a2+a13,则x与y的大小关系为.解:因为等比数列{a n}各项均为正数,所以a1>0,q>0,a2+a13-(a10+a5)=(a1q+a1q12)-(a1q9+a1q4)=a1q[(q11+1)-(q3+q8)]=a1q(q8- 1)(q3-1)≥0,所以a2+a13≥a10+a5.答案:y≥x12.已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足a n=(n∈N*),若不等式S2n-S n>对于n∈N*恒成立,则自然数m的最大值为.解析:S2n-S n>变形为<S2n-S n,因为S2n-S n=++…+≥++…+==,所以S2n-S n的最小值为.所以<,所以m<12,自然数m的最大值为11.答案:11三、解答题13.已知数列{a n}的前n项和为S n,若4S n=(2n-1)a n+1+1,且a1=1.(1)求证:数列{a n}是等差数列,并求出{a n}的通项公式;(2)设b n=,数列{b n}的前n项和为T n,求证:T n<.(1)解:4S n=(2n-1)a n+1+1,所以4S n-1=(2n-3)a n+1(n≥2),所以4a n=(2n-1)a n+1-(2n-3)a n(n≥2),即(2n+1)a n=(2n-1)a n+1⇒=,所以=,=,…,=,所以··…·=··…·即=(n≥2),所以a n=a2,由4S n=(2n-1)a n+1+1,令n=1可得:4S1=a2+1⇒a2=3,所以a n=2n-1(n≥2),验证a1=1符合上式,所以a n=2n-1,S n=n2.(2)证明:由(1)得b n==,b1=1,可知当n≥2时,b n=<==(-),所以T n=b1+b2+…+b n<b1+[(1-)+(-)+…+(-)]=1+(1-)<.14.已知数列{a n},a1=1,a n=2a n-1+1(n≥2,n∈N*).(1)证明{a n+1}是等比数列;(2)若b n=,求数列{b n}的前n项和为S n;(3)证明-<++…+<(n∈N*).(1)证明:因为a n+1=2(a n-1+1)(n≥2),所以=2.因为a1+1=2,所以{a n+1}是以2为首项,2为公比的等比数列.(2)解:因为a n+1=2n,所以a n=2n-1.所以b n===-.S n=(-)+(-)+…+(-)=-.(3)证明:因为==<.所以++…+<.又因为==·=[1-]=-=->-(k∈N*),所以++…+≥-×(++…+)=-(1-)>-.综上,-<++…+<(n∈N*).。

高考数学一轮复习数学数列多选题的专项培优易错试卷练习题及答案

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高考数学一轮复习数学数列多选题的专项培优易错试卷练习题及答案一、数列多选题1.各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项积为n T ,若11a >,公比1q ≠,则下列命题正确的是( )A .若59T T =,则必有141T =B .若59T T =,则必有7T 是n T 中最大的项C .若67T T >,则必有78T T >D .若67T T >,则必有56T T >【答案】ABC 【分析】根据题意,结合等比数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式,以及等比数列的性质,逐项分析,即可求解. 【详解】由等比数列{}n a 可知11n n a a q -=⋅,由等比数列{}n a 的前n 项积结合等差数列性质可知:()1211212111111123n n n n n n n n a a q a q a qa a T a a a q a q--+++-=⋅⋅⋅==⋅=对于A ,若59T T =,可得51093611a q a q =,即42611a q =,()71491426211141a q q T a ∴===,故A 正确;对于B ,若59T T =,可得42611a q =,即13211a q=,又11a >,故1q <,又59T T =,可知67891a a a a =,利用等比数列性质知78691a a a a ==,可知67891,1,1,1a a a a >><<,故7T 是n T 中最大的项,故B 正确;对于C ,若67T T >,则61572111a q a q >,即611a q <,又10a >,则1q <,可得76811871T T a a q a q <=<=,故78T T >,故C 正确; 对于D ,若67T T >,则611a q <,56651T a T a q ==,无法判断其与“1”的大小关系,故D 错误. 故选:ABC 【点睛】关键点点睛:本题主要考查了等比数列的通项公式及等差数列前n 项和公式,以及等比数列的性质的应用,其中解答中熟记等比数列的通项公式和性质及等差数列的求和公式,准确运算是解答的关键,着重考查了学生的推理与运算能力,属于较难题.2.设n S 是公差为()d d ≠0的无穷等差数列{}n a 的前n 项和,则下列命题正确的是( ) A .若0d <,则数列{}n S 有最大项 B .若数列{}n S 有最大项,则0d <C .若对任意*n N ∈,均有0n S >,则数列{}n S 是递增数列D .若数列{}n S 是递增数列,则对任意*n N ∈,均有0n S > 【答案】ABC 【分析】由等差数列的求和公式可得()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭,可看作关于n 的二次函数,由二次函数的性质逐个选项验证可得. 【详解】由等差数列的求和公式可得()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭, 选项A ,若0d <,由二次函数的性质可得数列{}n S 有最大项,故正确; 选项B ,若数列{}n S 有最大项,则对应抛物线开口向下,则有0d <,故正确; 选项C ,若对任意*n ∈N ,均有0n S >,对应抛物线开口向上,0d >, 可得数列{}n S 是递增数列,故正确;选项D ,若数列{}n S 是递增数列,则对应抛物线开口向上, 但不一定有任意*n ∈N ,均有0n S >,故错误. 故选:ABC . 【点睛】本题考查等差数列的求和公式的应用,()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭可看成是二次函数,然后利用二次函数的性质解决问题,考查分析和转化能力,属于常考题.3.已知数列{}n a 的前n 项和为2n 33S n n =-,则下列说法正确的是( )A .342n a n =-B .16S 为n S 的最小值C .1216272a a a +++=D .1230450a a a +++=【答案】AC 【分析】利用和与项的关系,分1n =和2n ≥分别求得数列的通项公式,检验合并即可判定A; 根据数列的项的正负情况可以否定B;根据前16项都是正值可计算判定C;注意到121617193300()a a a S a a a +++=+----16302S S =-可计算后否定D.【详解】1133132a S ==-=,()()()2213333113422n n n a S S n n n n n n -=-=---+-=-≥,对于1n =也成立,所以342n a n =-,故A 正确;当17n <时,0n a >,当n=17时n a 0=,当17n >时,n a 0<,n S ∴只有最大值,没有最小值,故B 错误;因为当17n <时,0n a >,∴21216163316161716272a a a S +++==⨯-=⨯=,故C 正确;121617193300()a a a S a a a +++=+----2163022272(333030S S =-=⨯-⨯-)54490454=-=, 故D 错误. 故选:AC. 【点睛】本题考查数列的和与项的关系,数列的和的最值性质,绝对值数列的求和问题,属小综合题.和与项的关系()()1112n nn S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩,若数列{}n a 的前 k 项为正值,往后都是小于等于零,则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-,若数列{}n a 的前 k 项为负值,往后都是大于或等于零,则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-+.若数列的前面一些项是非负,后面的项为负值,则前n 项和只有最大值,没有最小值,若数列的前面一些项是非正,后面的项为正值,则前n 项和只有最小值,没有最大值.4.首项为正数,公差不为0的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,则下列4个命题中正确的有( )A .若100S =,则50a >,60a <;B .若412S S =,则使0n S >的最大的n 为15;C .若150S >,160S <,则{}n S 中7S 最大;D .若89S S <,则78S S <. 【答案】ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质,逐一检验选项,即可得答案. 【详解】对于A :因为正数,公差不为0,且100S =,所以公差0d <, 所以1101010()02a a S +==,即1100a a +=, 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=,又0d <, 所以50a >,60a <,故A 正确;对于B :因为412S S =,则1240S S -=,所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=,又10a >, 所以890,0a a ><, 所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>,116891616()16()022a a a a S ++===, 所以使0n S >的最大的n 为15,故B 正确; 对于C :因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>,则80a >, 116891616()16()022a a a a S ++===,则890a a +=,即90a <, 所以则{}n S 中8S 最大,故C 错误;对于D :因为89S S <,则9980S a S =->,又10a >, 所以8870a S S =->,即87S S >,故D 正确, 故选:ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负,再根据等差数列的性质,对求和公式进行变形,求得项的正负,再分析和判断,考查等差数列性质的灵活应用,属中档题.5.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,1+14,()n n a S a n N *==∈,数列12(1)n n n n a +⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n T ,n *∈N ,则下列选项正确的是( )A .24a =B .2nn S =C .38n T ≥D .12n T <【答案】ACD 【分析】在1+14,()n n a S a n N *==∈中,令1n =,则A 易判断;由32122S a a =+=,B 易判断;令12(1)n n n b n n a ++=+,138b =,2n ≥时,()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅,裂项求和3182nT ≤<,则CD 可判断. 【详解】解:由1+14,()n n a S a n N *==∈,所以2114a S a ===,故A 正确;32212822S a a =+==≠,故B 错误;+1n n S a =,12,n n n S a -≥=,所以2n ≥时,11n n n n n a S S a a -+=-=-,12n na a +=, 所以2n ≥时,2422n n n a -=⋅=, 令12(1)n n n b n n a ++=+,12123(11)8b a +==+,2n ≥时,()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅,1138T b ==,2n ≥时,()()23341131111111118223232422122122n n n n T n n n ++=+-+-++-=-<⨯⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅ 所以n *∈N 时,3182n T ≤<,故CD 正确;故选:ACD. 【点睛】方法点睛:已知n a 与n S 之间的关系,一般用()11,12n n n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩递推数列的通项,注意验证1a 是否满足()12n n n a S S n -=-≥;裂项相消求和时注意裂成的两个数列能够抵消求和.6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差为d .已知312a =,120S >,70a <则( ) A .60a >B .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列C .0n S <时,n 的最小值为13D .数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项【答案】ACD 【分析】 由已知得()()612112712+12+220a a a a S ==>,又70a <,所以6>0a ,可判断A ;由已知得出2437d -<<-,且()12+3n a n d =-,得出[]1,6n ∈时,>0n a ,7n ≥时,0n a <,又()1112+3n a n d =-,可得出1n a 在1,6n n N上单调递增,1na 在7nnN ,上单调递增,可判断B ;由()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=,可判断C ;判断 n a ,n S 的符号, n a 的单调性可判断D ; 【详解】由已知得311+212,122d a a a d ===-,()()612112712+12+220a a a a S ==>,又70a <,所以6>0a ,故A 正确;由7161671+612+40+512+3>0+2+1124+7>0a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪==⎨⎪==⎩,解得2437d -<<-,又()()3+312+3n a n d n d a =-=-,当[]1,6n ∈时,>0n a ,7n ≥时,0n a <,又()1112+3n a n d =-,所以[]1,6n ∈时,1>0na ,7n ≥时,10n a <,所以1na 在1,6nn N上单调递增,1na 在7nn N,上单调递增,所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是递增数列,故B 不正确;由于()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=,而120S >,所以0n S <时,n 的最小值为13,故C 选项正确 ;当[]1,6n ∈时,>0n a ,7n ≥时,0n a <,当[]1,12n ∈时,>0n S ,13n ≥时,0n S <,所以当[]7,12n ∈时,0n a <,>0n S ,0nnS a <,[]712n ∈,时,n a 为递增数列,n S 为正数且为递减数列,所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项,故D 正确; 【点睛】本题考查等差数列的公差,项的符号,数列的单调性,数列的最值项,属于较难题.7.斐波那契数列,又称黄金分割数列、兔子数列,是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……,此数列从第3项开始,每一项都等于前两项之和,记该数列为(){}F n ,则(){}F n 的通项公式为( )A .(1)1()2n nF n -+=B .()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==C .()1122n nF n ⎡⎤⎛⎛+-⎥=- ⎥⎝⎭⎝⎭⎦ D .()n n F n ⎡⎤⎥=+⎥⎝⎭⎝⎭⎦【答案】BC 【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式,再验证即可; 【详解】解:斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……,显然()()11,21F F ==,()()()3122F F F =+=,()()()4233F F F =+=,,()()()11,2F n F n F n n +=+-≥,所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==,即B 满足条件;由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥, 所以()()()()11F n n F n n ⎤+-=--⎥⎣⎦所以数列()()1F n n ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭是以12为首项,12为公比的等比数列, 所以()()1nF n n +-=⎝⎭11515()n F F n n -+=+, 令1nn n Fb -=⎝⎭,则11n n b ++,所以1n n b b +=-, 所以nb ⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭32-为公比的等比数列,所以1n n b -+, 所以()1115n n n nF n --⎤⎤⎛⎫+⎥⎥=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦; 即C 满足条件;故选:BC 【点睛】考查等比数列的性质和通项公式,数列递推公式的应用,本题运算量较大,难度较大,要求由较高的逻辑思维能力,属于中档题.8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若981S =,713a =,3S ,1716S S -,k S 成等比数列,则( ) A .2n S n = B .122310*********a a a a a a ++⋅⋅⋅+= C .11k = D .21n a n =-【答案】ACD 【分析】先根据题意求出等差数列的首项和公差,再根据等差数列的通项公式和求和公式求得,n n a S ,再由3S ,1716S S -,k S 成等比数列列出式子求解得出k 的值,再利用裂项相消法求和,得到122310111111021a a a a a a ++⋅⋅⋅+=,从而判断各项的正误. 【详解】依题意,95981S a ==,解得59a =; 而713a =,故75275a a d -==-,则1541a a d =-=, 则21n a n =-,2n S n =,故D 、A 正确:因为3S ,1716S S -,k S 成等比数列,故()223171617k S S S S a =-=,则22933k =,解得11k =,故C 正确; 而122310111111021a a a a a a ++⋅⋅⋅+=,故B 错误. 故选:ACD . 【点睛】思路点睛:该题考查的是有关数列的问题,解题方法如下: (1)根据题意,求得通项公式,进而求得前n 项和; (2)根据三项成等比数列的条件,列出等式,求得k 的值;(3)利用裂项相消法,对12231011111a a a a a a ++⋅⋅⋅+求和; (4)对选项逐个判断正误,得到结果.二、平面向量多选题9.ABC 是边长为2的等边三角形,已知向量a 、b 满足AB a =、AC a b =+,则下列结论正确的是( ) A .2b = B .a b ⊥C .2a b ⋅=D .(2)a b BC +⊥【答案】AD 【分析】本题首先可以根据向量的减法得出BC b =,然后根据ABC 是边长为2的等边三角形得出A 正确以及B 错误,再然后根据向量a 、b 之间的夹角为120计算出2a b ⋅=-,C 错误,最后通过计算得出(2)0a b BC +⋅=,D 正确. 【详解】因为AB a =,AC a b =+,所以BC AC AB a b a b =-=+-=, 因为ABC 是边长为2的等边三角形,所以2b BC ==,A 正确, 因为AB a =,BC b =,所以向量a 、b 之间的夹角为120,B 错误, 所以1cos1202222a b a b ⎛⎫⋅=⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭,C 错误, 因为()22(2)(2)22220a b BC a b b a b b +⋅=+⋅=⋅+=⨯-+=, 所以(2)a b BC +⊥,D 正确, 故选:AD. 【点睛】本题考查向量的减法运算以及向量的数量积,若向量a 、b 之间的夹角为θ,则cos a b a b θ⋅=⋅⋅,若0a b ⋅=,则a b ⊥,考查推理能力与计算能力,是中档题.10.已知,a b 是单位向量,且(1,1)a b +=-,则( ) A .||2a b += B .a 与b 垂直C .a 与a b -的夹角为4π D .||1a b -=【答案】BC 【分析】(1,1)a b +=-两边平方求出||2a b +=;利用单位向量模长为1,求出0a b ⋅=;||a b -平方可求模长;用向量夹角的余弦值公式可求a 与a b -的夹角.【详解】由(1,1)a b +=-两边平方,得2222||21(12|)|a b a b ++⋅=+-=, 则||2a b +=,所以A 选项错误;因为,a b 是单位向量,所以1122a b ++⋅=,得0a b ⋅=,所以B 选项正确; 则222||22a b a b a b -=+-⋅=,所以||2a b -=,所以D 选项错误;2()cos ,2||||1a a b a a b a a b ⋅-〈-〉====-⨯, 所以,a 与a b -的夹角为4π.所以C 选项正确; 故选:BC. 【点睛】本题考查平面向量数量积的应用. 求向量模的常用方法:(1)若向量a 是以坐标形式出现的,求向量a 的模可直接利用公式2+a x y =(2)若向量a b , 是以非坐标形式出现的,求向量a 的模可应用公式22•a a a a ==或2222||)2?(a b a b aa b b ==+,先求向量模的平方,再通过向量数量积的运算求解.判断两向量垂直:根据数量积的坐标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可. 解两个非零向量之间的夹角:根据公式•a bcos a b ==求解出这两个向量夹角的余弦值.。

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高三一轮复习高三易错题练习(6份)含答案参考答案I. BC 2. BD 3. D 4. B 5. B 6. D 7. C 8. B 9. BC 10. AII. 5.8m,制动距离不仅与列车重量有关,还与列车的行驶速度相关:3.3m/s2, 12. 0,0.213•〃”g+(〃sin& ,斜而向上 14. lm/s 215. 解:设小铁块的质量为加,加速度为山,受木板的滑动摩擦力为f =小=/Jmg有 f =ma x 得 = pg = 2nVs 2设在拉出木板的过程中,小铁块位移为•小木板的位移为$2,那么1 2 T =— Ct t 屯=》+厶 1.1._x 6r =-x2r 2+0.72 解得 r=O.6s 2 2大约是39.5格.因此/i = 39.5x4=158 m (在150〜165范畴内均可) W\ =〃?&/?—* 加2= 1.25x10’J/:2=500—158=342 nu 门=342/6=57 s, t =71 So17. (1) 一般列车的制动过程是一个匀减速直线运动,利用运动学公式b-昭=2皿。

代入数据解得:a=-0.309nVs 2o(2)列车提速后的制动加速度依旧原先的数值,利用运动学公式才-谛2 =2皿 代入数据解得:s= 1250m 。

(3)假设道口处有险情,在安全栅栏放下的瞬时,列车同时刹车,列车将最终停止在道口处。

依照运动学公式v z = v 02 + at代入数据解得:t= 126so08-09年度高三物理寒假基础练习2参考答案1. A2. A3. C4. CD5. B6.C7. AC & B 9. ACD 10. BD11. 3"”g 312. 12nVsO.2ni/s 213. r:R y/R/ r14. —mv 2mv 21 2代入数据得16・解:_\6=T=8 m/s 2. mg —f=ma 9 f ——ma — 160N15. 解:(1)人所受的静摩擦力提供向心力,当〃sb >几时,人将滑动。

由此式可知,「越大, 所需向心力越大,即离盘心越远的人先显现打滑。

21177 9x3 14(2) ----------------------------------------- 向心力大小 F=nu ・3ji ( ) 2r=20x () 2xlN=17.7 N60 30设行星的质量为半径为R,飞船的质量为加弹簧复原原长的过程中,机械能守恒,得 ^, = ^0 = 1^=100;1&解:假设有足够长的时刻,小球经假设干次往复运动,最终将在水平线BB 之下方的圆弧轨道 往复运动:(1) 从A 到B 的重力势能减少〃2gRcos& = “”gcos&・s 总得s & = R///第一次过C 点时压力最大,由mgR -01 gcos8 • L = ”叫和Na 器 解得,压力最大MW+〃哼=(3-2“詈弟吨 在BB 下方往复运动时,通过C 点时压力最小,由〃7gR(l-cos&) = £〃w ;2和Nr 一 mg = m — 解得 N[ = mg + m — = (3 — 2 cos &)mg R - R08-09年度高三物理寒假基础练习3参考答案1.C2. B3.C4.A B CD5. ABC6. AC7. A &A 9. AC 10. AC11. 高压电源正极,高压电源负极,分子,负电. 12. 负 1:813.2A 10W14.增大 1」W15・解:(1)负电 (2)分析小球受力如下图,英中电场力 gE16. (10 分)解: 飞船围绕行星运动有畤訥爭R 得M 4兀亍研行星的密度=M = 3M P~~V~~^s GT17•解:设小球平抛的初速度为巾,在竖直方向上v ; = 2g/i 得着地速度为內其竖直分速度为岭. \\ = J2gh = J2x 10x 15m/s = 1 oV3m/s 在水平方向上Vo =vx -——--^10^3=―?=- m/s = 1 Om/s⑵AB 斜而长度L 忤由平稳条件得:F=mgtan 9 E=m^tanQ/q (3)剪断细线后小球做初速度为0的匀加速直线运动F “=mg/cosO=mu vi=atv (= gt/cos&速度方向为与竖直方向夹角为0斜向下16、解:(1)由题意知:小球运动到D 点时,由于AD=AB,因此有纠)=则 即U)B=0L) 一 0B=O ① 那么由动能定理得:加点sin30+q“DB=| "川_0②(2)当小球运动到C 点时,球受力如下图*由平稳条件得:联立①②解得③F N +F 件・sin30°=/”gcos30° ④ 由库仑定律得:F 尸丽希⑤联立④⑤得:F N =^ "谓一|譽由牛顿第三定律即F N '=F N =£ "用―|寻门.⑴加速过程依照动能定理有皿严如)0(2)偏转过程有:1 = qU y i y =—at^ = 广 22mdt =Lvo得尸4dU\(3)电子离开平行板后做匀速直线运动,反向延长线过偏转电场中 央,由三角形相似有=丄得OP 亠a 乙+厶/2 厶/2 厶18.解析:假设电子在离开电场前到达B 点1 °Fd = v Q t<s L = -at 2=—t 2d =0 2 2m假设电子在离开电场后到达B 点> s<d<2s1 . 1 eE .-ar = ---------- r 2 2 mrv 0 v 0 /nv 008-09年度高三物理寒假基础练习4参考答案那么:导体棒切割磁场产生的电动势是=BLv 导体中电流为:/ =务=爷•••导体棒匀速运动 ••• F = BIL即:F = B 芈L = ^2需=严咚「=5伽/$) B ・Lr (0.8x0.5 广 '7(2)外力F 做功全部转化为电能,电能又全部转化为电阻R 上产生的电热 /.P/?=Fv=0.2X5=l (W)[R16. --------------------------------------------------------------解:(1)^ = nBlv I = s/R 得:v =nBl代入数值求得离O 点30m 远处Vj = 12nVs 离O 点130m 远处v 2 = 15nVs(2)由匀变速运动规律 v ; = v.2 + 2as 得:a = 一 = 0.405 nVs 2- 2s 17. 解:仃)设:在t 时刻内水流通过水轮机减少的机械能为AE那么:A£ = mgh +1/nr,2 -....... ① m = pQ t ......... ②依题意得:此过程机械能转化为电能的M7JW =AE - Hl • n 2……③ ・•・发电机输出电功率P =字=pQ 何心h +_就)=6.24 x 105(W)④(2)设升压变压器原副线圈匝数分不为n,、n 2,降压变压器原副线圈匝数分不为n,、如下图输电线路:升圧变压器升压到弘,输电线上电流为乙L Ees1. A2.C 3・ AD 4. D 5・ CD 6・ D7. A11 ・ b —d Bh ,/212. 感应电流的方向逆时针, 大小:13・ 11005 : 1 2014. 1.8 49. B10. B15•解:(1)设:导体棒ab 匀速运动速度为v8. BD 7rD 2k 4R依题意得:丛=240V,也=220V,P^=Pn,=6. 24X105X0. 05=3. 12X10; (W) 输电线上的电流I2 =7¥ « 43.27(A)……⑥原线圈中电流/,=^ = 2600(A)……⑦•••件=半a占……⑧降压变压器的输入电压匕=牛 # 1.37x 1(/( V)……⑨2 I 2•咗件罕……⑩18.解:⑴ 据说_$图象知,当线框进入磁场时,v2=16 (m/s) 2, 5=1.6 m由v2=2t/5得“=5m/s2对线框由牛顿第二定律得吨sin 〃訥“ 解得〃=30°磁场的宽度or m2(2)由图线知线框穿过磁场的过程中匀速运动,且v = ^ = 4nVsF线框中感应电动势E=Bdv感应电流1 = -RZ>2 / 2线框所受安培阻力F=BIcl= —由平稳条件得加gsin 0 =F解得,际4T(3)据忙一s图象知,金属框滑至斜而底端时的速度据v t=5nVsV 2〃v— V金属框从斜而顶端滑至斜面底端所用的总时刻/=- + — +」一=1.25s a v a⑷ 金属框中产生的电能Q = mg・2〃sin & = 0.5 J08-09年度高三物理寒假基础练习5参考答案1.答案:AC 电磁波从真空进入水中,传播速度变小,而电磁波的频率不变,因此波长变小:"B超"本质是超声波,而不是电磁波.2.答案:C 由题意知,在细线未断之前,两个弹簧受的禅力是相等的,因此当细线断开后,甲、乙两物体做简谐运动的振幅是相等的,A、B均错:两物体在平稳位宜时速度最大,现在的动能等于弹簧刚开释时的弹性势能,因此两物体的最大动能是相等的,那么质量大的速度小, D 错,C 对. 3. 答案:ABD 从图象中可知波长A = 8/r?,通过& = 1.2$时刻,恰好第三次重复显现图示的波形,因此可知周期T = 0.45,从而确泄波速和AT = 1.25时刻内质元P 通过的路程为 5 = 4A X 3 = 120CW , t = 0.65时由于不知波的传播方向,因此无法确左质元P 的振动方向, 『=0.6$ = 1.57\ I 天1此能够确t = 0.65的波形图.综上此题答案为ABD.4. 答案:B 如下图,在第一个入射点A,入射角i=45° ,依照n=sini/sinr, n=近,解得,,=30° ,在A 点有一条反射光线,反射光线与法线的夹角为45° ; A 点的折射光线射到玻璃球与真空的 交界而B 处发生反射和折射,入射角为30° ,反射角为30° ,折射角为45° ,任B 点有一条 从玻璃球内射出的折射光线:B 点反射光线射到玻璃球与真空的交界面C 处发生反射和折射, 入射角为30° ,反射角为30° ,折射角为45° ,在C 处有一条从玻璃球内射岀的折射光线: C 点的反射光线射到玻璃球与貞•空的交界面恰好射到A 处发生反射和折射,入射角为30° ,反射角为30° ,折射角为45° ,折射角恰好与第一次的反射光线重合.因此,从各个方向观 看玻璃球,能看到3条从玻璃球内射出的光线.5. 答案:C 电磁波中波长从长到短依次是:无线电波、红外 线、可见光、紫外线、X 射线、y 射线.由条件,T 射线介于无线电 波和红外线之间,可见它的波长比可见光长,A 错:原子内层电 子受激发产生的是X 射线,B 错;波长越长的电磁波,更容易表 现岀波动性,因此C 对,D 错.6. 答案:D 再过◎个周期,质点经平稳位苣向下振动,从而能够2判泄岀只有〃处质点符合要求.7.答案:A8. 答案:B 依照光的折射立律,画出从/W 面进入三棱镜后的光路图,由于内侧而和外侧而平行,光从三棱镜的AC 而射出后一定与入射光线平行,故B 正确. 9. 答案:A第一从甲图上能够看出心方两束光的波长大小,然后再依照波长和频率、折射率的关系即可得到正确答案. p10. 20 cm, 4s, 10cm, 8s, 20cm, 1: 4 11. ——74^2N 212. 4/313. 解析:入射角#60° ,红光、紫光的折射角分不为门和门,光束宽度为/, l=AD (cotz'2-cot r\) =10 (cot rz-cot 门) 忙空£ =空竺= 1.5/ subr { sin 斤 由以上三式可解得/=0.28cm14.解析:(1)假如这列简谐横波是向右传播的,在内波形向右匀速传播了”+丄)sin/ sin60° , “n 2 = ------ = --------- = 1.53- -sin r 2 sin r 2H ,因此波速i ,』“ +导八(/厂rJ=100 (3»+1) nVs 5=0, 1, 2,…);同理可得假设该波是向左传播的, 可能的波速 2100 (3n+2) nVs (n=0, 1, 2, •••)(2) P 质点速度向上,讲明波向左传播,T< b-t, <2T,讲明这段时刻内波只可能是向左传播了 5/3个波长,因此速度是唯独的:p=500nVs(3) ' Q 比R 先回到平稳位置",讲明波只能是向右传播的,而0.01s<7'<0.02s,也确实是 T<0.02s<27',因此这段时刻内波只可能向右传播了 4/3个波长,解也是唯独的:v=400nVs*15.解答:细线烧断后,金属片作自由落体运动,针尖在金属片上打下的相邻两个点所经历的时08-09年度高三物理寒假基础练习6参考答案LAB 2.A 3.D 4.CD 5BD 6B 7C 8D9.0.8m, 4s , L, 0.5nVs 10. 6s, 45m , 6 颗,10 颗 11. &耳, 寻& 12.解:设绳断后小球以速度w 平抛2R=lgt 2 4R=vit 得Vi =2 7^小球从最低点到最髙点过程,小球机械能守恒 mg2R=lm vp — Im v o 2 F~mg = m — 得F2 2 R=9mg13解:(1) ”棒下滑受到沿斜而向上的安培力F=BIL,稳固时,以速度u 匀速下滑,由力平稳得 BIL=mg sin 37° I=0・ 60A(2)由闭合电路得:E=Ix (R+r)=3・0V,再由肋棒下滑产生感应电动势E=BLv.得v=10nVs(3)由感应电流方向判泄电容C 上极板带负电荷,电荷1:Q=CU R =CIR=2.7X 10 5C 14解:(1)带电微粒经Ui 电场加速后速度为心,由动能左理qU^liW-O2带电微粒在偏转电场中受电场力F=Eq.,做类似平抛运动,4血血一 “2)4=3最终表达式为P: “ 仇-久) 的3_ gl+&2+g3 _4/o‘(Q+仇 +〃4 一仇一乞 一%)由运动学公式得:&严臺匚hl3 9刻相等,时刻间隔为心丄2九C V v F匸:整理得®=爲哼3⑵帶电微粒在磁场tan9= —v y=<it a= —中做匀速圆周运动,如图由几何知识得圆弧的圆心角加300,故运动时刻t=_, T=-2i整理得:B=—H 口|邙U6qt15解:⑴由能的转化和守恒泄律的Q=pmigL=2.0J(2)物体A滑上木板B以后,做匀减速运动,加速度为“A,木板B做加速运动,加速度为“B, MA pmig=mi“A 对B F+j.iniig=m2t/B物体A不滑落的临界条件是A到达B的右端时,A、B具有共同的速度力,那么对 A Vi-v o=—r/At> 且vi2— v o2=—2</A(S+L)对 B vi —O=r/Bti 且vi2—0=2r/BS整理后解得vi=3m/s> t/B=6m/s2 , F=1 N・。

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