快速直线生成算法
直线生成算法——Bresenham法
直线生成算法——Bresenham法最近的研究涉及在像素图上作直线，自己也不想花时间摸索，于是在网上找到了Bresenham的直线生成算法，有一篇博客讲得清晰明了，但是算法上有些问题，我进行了改进和移植，下面讲解Bresenham的直线生成算法时也是参考这篇博文。
1.算法简介图1算法思想：图1中，连接M点和N点的直线经过点B，由于是像素图，所以实际上B 点应该由A点或者C点代替。
当B点更靠近A点时，选择点A（x+1,y+1）；当B点更靠近C点时，选择点C（x+1,y）。
因此，当ε+m < 0.5时，绘制(x + 1, y)点，否则绘制(x + 1, y + 1)点，这里ε为累加误差，表达式为：式中：表示在第n次计算时的值，表示在第n+1次计算时的值；m就是直线的斜率。
由于斜率m的值有正有负，有可能为0，也可能为∞，为了避免分别讨论这些情况，将上述公式两边都乘以dx, 并将ε*dx用ξ表示，则有式中：表示在第n次计算时的值，表示在第n+1次计算时的值；dx为起点和终点横坐标之差，dy为起点和终点纵坐标之差。
还需说明一点，由直线斜率的定义故值得注意的是，现在我们只考虑dx > dy，且x，y的增量均为正的情况，但实际上有8种不同的情况（但是算法思想不变），如图2所示如图22.算法程序前文提到的那篇博文提出了一种方法，能将这8种情况都考虑，很巧妙。
但是实际应用时发现程序运行结果不是完全对，多次检查之后将程序进行了修改。
修改后的算法VB程序如下‘**************************************************************************** Type mypos '自定义数据类型x As Integery As IntegerEnd Type‘**************************************************************************** Function Bresenham(arr() As mypos, x1, y1, x2, y2)Dim x!, y!, dx!, dy!, ux%, uy%, eps!Dim cnt%ReDim arr(100)dx = x2 - x1dy = y2 - y1If dx >= 0 Then ux = 1If dx < 0 Then ux = -1If dy >= 0 Then uy = 1If dy < 0 Then uy = -1x = x1y = y1eps = 0dx = Abs(dx): dy = Abs(dy)cnt = 0If dx >= dy ThenFor x = x1 To x2 Step uxcnt = cnt + 1If 2 * (eps + dy) < dx Theneps = eps + dyarr(cnt).x = xarr(cnt).y = yElseeps = eps + dy - dxIf cnt >= 2 Then y = y + uy 'cnt大于2才执行y = y + uy，即排除起始坐标点，否则造成错误结果arr(cnt).x = xarr(cnt).y = yEnd IfNext xElseFor y = y1 To y2 Step uycnt = cnt + 1If 2 * (eps + dx) < dy Theneps = eps + dxarr(cnt).x = xarr(cnt).y = yElseeps = eps + dx - dyIf cnt >= 2 Then x = x + ux 'cnt大于2才执行x = x + ux，即排除起始坐标点，否则造成错误结果arr(cnt).x = xarr(cnt).y = yEnd IfNext yEnd Ifarr(0).x = cnt’记录元素个数End Function如果大家有不同看法，还希望共同讨论3.程序运行结果（VB+ OpenGL）图3图4绘制y=x，0≤x≤10，图3是原程序运行结果，图4时修改后的程序运行结果，原程序运行得到的起点是（0,1），但实际应该是（0,0）图5图6绘制直线[第1个坐标为起点，第2个坐标为终点]（5,5）-（15,15）、（5,10）-（15,15）、（5,15）-（15,15）、（5,20）-（15,15）、（5,25）-（15,15）；（25,5）-（15,15）、（25,10）-（15,15）、（25,15）-（15,15）、（25,20）-（15,15）、（25,25）-（15,15）；（5,5）-（15,15）、（10,5）-（15,15）、（15,5）-（15,15）、（20,5）-（15,15）、（25,5）-（15,15）；（5,25）-（15,15）、（10,25）-（15,15）、（15,25）-（15,15）、（20,25）-（15,15）、（25,25）-（15,15）；图5是原程序运行结果，图6是修改后的程序运行结果。
分别解释直线生成算法dda法,中点画线法和bresenham法的基本原理
分别解释直线生成算法dda法,中点画线法和
bresenham法的基本原理
直线生成算法DDA法、中点画线法和Bresenham法的基本原理如下：
1. DDA直线生成算法：基于差分运算的直线生成算法。
通过将直线分割成
若干个相邻的像素点，并按照一定的步长进行逐点绘制，实现直线的绘制。
算法主要涉及到线性插值的思想，即根据已知的两点坐标，通过计算它们之间的差值，然后根据这个差值和步长来确定新的像素点的位置。
2. 中点画线法：一种线段绘制算法，从线段的起点和终点出发，按照一定的规则向终点逐步逼近，并在途中以控制变量的方式得出每个像素点的坐标，从而绘制出所需的线条。
具体实现中，通过计算线段斜率的变化情况，分为斜率小于1和大于等于1两种情况，并采用Bresenham的对称性原理，以中点的颜色来控制每个像素点的生长方向，从而获得较高的绘制效率和图像质量表现。
3. Bresenham算法：通过一系列的迭代来确定一个像素点是否应该被绘制。
对于一条从点(x1,y1)到点(x2,y2)的直线，首先计算出斜率k。
然后，通过比较每个像素点的y值到直线上的y值，来决定哪些像素点应该被绘制。
当斜率k大于等于1时，在x方向上迭代，而对于每个x值，计算出y值，并将像素点(x,y)绘制。
当斜率k小于1时，在y方向上迭代，而对于每个y值，计算出x值，并将像素点(x,y)绘制。
以上内容仅供参考，如需更多信息，建议查阅相关文献或咨询数学专业人士。
计算机图形学-三种直线生成算法及圆的生成算法
计算机科学与技术学院2013－2014学年第一学期《计算机图形学》实验报告班级：110341C学号：110341328姓名：田野教师：惠康华成绩：实验（一）：平面图形直线和圆的生成一、实验目的与要求1.在掌握直线和圆的理论基础上，分析和掌握DDA生成直线算法、中点生成直线算法、Bresenham生成直线算法、中点画圆算法、Bresenham圆生成算法。
2.熟悉VC6.0MFC环境，利用C语言编程实现直线和圆的生成。
3.比较直线生成三种算法的异同，明确其优点和不足。
同时了解圆的生成算法适用范围。
二、实验内容1.掌握VC6.0环境中类向导和消息映射函数的概念，并且为本次实验做好编程准备工作。
2. 用Ｃ语言进行编程实现上述算法，并且调试顺利通过。
3. 在MFC图形界面中显示不同算法下的图形，并且注意对临界值、特殊值的检验。
完成后保存相关图形。
三、算法分析➢DDA直线生成算法描述：1)给定一直线起始点（x0,y0）和终点（x1,y1）。
分别计算dx=x1-x0,dy=y1-y0。
2)计算直线的斜率k=dy/dx。
当|k|<1时转向3）；当|k|<=1时，转向4）；3)当x每次增加1时，y增加k。
即(xi,yi)→(xi+1,yi+k)。
直到xi增加到x1。
并且每次把得到的坐标值利用系统函数扫描显示出来。
但要注意对y坐标要进行int（y+0.5）取整运算。
结束。
4)对y每次增加1时，x增加1/k，即（xi,yi）→(xi+1/k,yi+1)。
直到yi增加到y1. 并且每次把得到的坐标值利用系统函数扫描显示出来。
但要注意对x坐标要进行int（x+0.5）取整运算。
结束。
➢中点生成算法描述：算法基本思想：取当前点（xp,yp）,那么直线下一点的可能取值只能近的正右方点P1（xp+1,yp）或者P2（xp+1,yp+1）。
为了确定好下一点，引入了这两点中的中点M（xp+1,yp+0.5）。
这时可以把改点带入所在直线方程，可以观察该中点与直线的位置关系。
Bresenham算法
Course PagePage 1 of 6课程首页 > 第二章 二维图形的生成 > 2.1 直线的生成 > 2.1.2 生成直线的Bresenham算法全部隐藏2.1.2 生成直线的Bresenham算法从上面介绍的DDA算法可以看到，由于在循环中涉及实型数据的加减运算，因此直线的生成速度较慢。
在生成直线的算法中，Bresenham算法是最有效的算法之一。
Bresenham算法是一种基于误差判别式来生成直线的方法。
一、直线Bresenham算法描述： 它也是采用递推步进的办法，令每次最大变化方向的坐标步进一个象素，同时另一个方向的坐标依据误差判别式的符号来决定是否也要步进一 个象素。
我们首先讨论m=△ y/△x，当0≤m≤1且x1<x2时的Bresenham算法。
从DDA直线算法可知这些条件成立时，公式(2-2)、(2-3)可写成： xi+1=x i+1 yi+1=y i+m (2－6) (2－7)有两种Bresenham算法思想，它们各自从不同角度介绍了Bresenham算法思想，得出的误差判别式都是一样的。
二、直线Bresenham算法思想之一： 由于显示直线的象素点只能取整数值坐标，可以假设直线上第i个象素点坐标为(xi，yi)，它是直线上点(xi，yi)的最佳近似，并且xi=xi(假设 m<1），如下图所示。
那么，直线上下一个象素点的可能位置是(xi+1，yi)或(xi+1，yi+1)。
由图中可以知道，在x=xi+1处，直线上点的y值是y=m(xi+1)+b，该点离象素点(xi+1，yi)和象素点(xi+1，yi+1)的距离分别是d1和d2：d1=y-yi=m(xi+1)+b-yi d2=(yi+1)-y=(yi+1)-m(xi+1)-b 这两个距离差是 d1-d2=2m(xi+1)-2yi＋2b-1(2－8) (2－9)(2－10)我们来分析公式(2-10)： (1)当此值为正时，d1>d2，说明直线上理论点离(xi+1，yi+1)象素较近，下一个象素点应取(xi+1，yi+1)。
直线和圆弧的生成算法
第3章直线和圆弧的生成算法3.1直线图形的生成算法数学上的直线是没有宽度、由无数个点构成的集合，显然，光栅显示器只能近地似显示直线。
当我们对直线进行光栅化时，需要在显示器有限个像素中，确定最佳逼近该直线的一组像素，并且按扫描线顺序，对这些像素进行写操作，这个过程称为用显示器绘制直线或直线的扫描转换。
由于在一个图形中，可能包含成千上万条直线，所以要求绘制算法应尽可能地快。
本节我们介绍一个像素宽直线绘制的三个常用算法：数值微分法(DDA、中点画线法和Bresenham算法。
3.1.1逐点比较法3.1.2数值微分(DDA)法设过端点P o(x o , y°)、R(X1 , y1)的直线段为L( P0 , R)，则直线段L的斜率为—沁生要在显示器显示厶必须确定最佳逼近Z的掃素集合。
我们从L的起点P0的横坐标X o向L的终点R的横坐标X1步进，取步长=1(个像素)，用L 的直线方程y=kx+b计算相应的y坐标，并取像素点(x,round( y))作为当前点的坐标。
因为：y i+1 = kX i+1+b= k1X i +b+k x= y i+k x所以，当x =1; y i+1 = y i+k。
也就是说，当x每递增1，y递增k(即直线斜率)。
根据这个原理，我们可以写出DDA( Digital Differential Analyzer) 画线算法程序。
DDA画线算法程序: void DDALi ne(int xO,i nt yO,i nt x1,i nt y1,i nt color){ int x ；float dx, dy, y, k ；dx = x1-x0 ；dy=y1-y0 ；k=dy/dx, ；y=yO；for (x=xO ；x< x1 ；x++){ drawpixel (x, i nt(y+0.5), color);y=y+k;}}注意：我们这里用整型变量color表示像素的颜色和灰度。
基于模式分解的快速直线生成算法
（ ｃ ｏ ｌ ｆ Ｓ ｆｗａ ｅ ｈ ｎ ａ ｇ Ｕ ｉｅ ｓ ｙ ｏ ｅｈ ｏｏ ｙ， ｈ ｎ ａ ｇ １ ０ ２ ） Ｓ ｈ ｏ ｏｔ ｒ ，Ｓ ｅ ｙ ｎ ｎｖ ｒｉ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ Ｓ ｅ ｙ ｎ １ ０ ３ ｏ ｔ ｆ
利 于 简 化算 法 的设 计 复 杂 性 并 提 高 生成 速 度 ． 论 分 析 和 计 算 结 果 表 明 ， 中 算 法 比 Ｂ ｅｅｈ ｍ 算 法 的平 均 误 差 判 理 文 ｒｓｎ ａ 定 和 累 计 次 数 减 少 １ 倍 以上 ， Ｏ 平均 生成 速 度 提 高 了 ２７ ． ．倍
关键词 ： 线生成 ； 数运算 ； 点绘制 ； 直 整 多 图形 算 法 ； 式 ； 对 称 性 模 弱
中图 法 分 类 号 ：Ｔ ３ １ ４ Ｐ ９．１
Ａ ｓ ｎ ｓ ｅ ｉａ ｉ ｎ Ａｌ ｏ ｉｈ ｓ ｄ ｏ ｔｅ ｎ Ｄｅ ｏ ｐ ｓｔｏ Ｆａ ｔＬｉ ｅ Ｒａ ｔ ｒｚ ｔｏ ｇ ｒ ｔ ｍ Ｂａ ｅ ｎ Ｐａ ｔ ｒ ｃ ｍ ｏ ｉｉ ｎ
ｇ ｎ ｒ ｔ ｓ ａ ｐ ｔ ｅ ｎ ｃ ｎ ｉｔ ｇ ｏ ｎ ｒ ｍｏ ｅ ｓ ｇ ｅ ｔ ｔｅ ｃ ｔ ｐ，ｔ ｅ ｔｍｅ ｆｏ ｅ ａ ｉ ｎ ａ ｄ ｏ ｔ ｕ ｅ ｅ ａ ｅ ａ ｔ ｒ ｏ ｓ ｓ ｉ ｆｏ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ ｎ ｓａ ａ ｈ ｓｅ ｎ ｈ ｉ ｓｏ ｐ ｒ ｔｏ ｎ ｕ ｐ ｔ
基 于模 式分 解 的快速 直 线生成 算 法
牛 连强， 中 邵
（ 阳工 业 大 学 软件 学 院 沈
（ ｉｌ＠Ｓ ｔ ｅ ｕ ｃ ） ｎ ｕｑ ｕ ． ｄ ． ｎ
沈 阳 １ ０ ２ ） １ ０ ３
摘
要 ： 线 是 图形 系 统 中 的 基 本元 素 ， 了提 高 其 生 成 效 率 ， 出一 种快 速 的直 线 绘 制 算 法 ． 算 法 将 直 线 视 为 由 直 为 提 该
生成直线的dda算法
生成直线的dda算法
DDA算法是一种简单而有效的直线生成算法，可以使用数值计算来生成线段坐标。
本文将介绍DDA算法的实现原理、优缺点以及在实际应用中的使用情况。
一、DDA算法的实现原理：
DDA算法使用数值计算来计算每个像素的坐标，然后在屏幕上直接画出直线。
具体实现步骤如下：
1. 取两个端点（x1，y1）和（x2，y2）。
2. 计算dx，dy，m（斜率）和steps（使用的步骤）。
3. 计算xinc和yinc以确定绘制的方向。
4. 分配像素的坐标并在屏幕上绘制直线。
二、DDA算法的优缺点：
1. 优点：
（1）DDA算法能够生成直线。
（2）算法简单，易于实现。
（3）计算速度快，对硬件要求低。
2. 缺点：
（1）DDA算法产生的直线锯齿状。
（2）当线的斜率趋近于无穷大时，计算会出现分母无限大的错误，需要特殊处理。
（3）当线的斜率趋近于0时，计算会出现分母为0的错误，需要特殊处理。
三、DDA算法的应用：
DDA算法被广泛应用于计算机图形学中，常被用来生成直线和绘制几何图形。
例如，绘制线条、矩形、椭圆等形状，都会使用DDA算法。
此外，还有一些基于DDA算法的算法，如圆算法、填充算法等。
四、总结：
DDA算法是一种简单而有效的直线生成算法，具有计算速度快、对硬件要求低等优点。
然而，由于其产生的直线锯齿状，导致其在某些应用场景下难以满足要求。
在实际应用中，DDA算法被广泛应用于生成直线和绘制几何图形的场景中。
直线生成算法 DDA画线算法、中点画线算法、Bresenham画线算法
101x x y y x y k --=∆∆=Bkx y i i +=()()111111<+==∆∆+=∆++=+∆+=+=++++k ky y x let xk y y x k B kx B x x k B kx y i i i i i i i i ()111111>+==∆∆+-=-=+++k k x x y let ky k B k y k B k y x i i i i i 实验一、直线生成算法DDA 画线算法一 .名称：DDA 画线算法；二 . 算法分析：1.设直线两端点为:P1(x1,y1)及 P0(x0,y0),2.则直线斜率3.则直线方程为4.当 k <1 , x 每增加1，y 最多增加1(或增加小于1)。
5.当 k>1 ,y 每增加1,x 最多增加1 (或增加小于1) 。
y ix i y i +1 x i +1三．算法实现：void CHuayahuaView::OnDda() //DDA画直线{// TODO: Add your command handler code hereCDC* pdc1 = GetDC();int color = RGB(255,0,0);int x1=10,y1=20,x2=200,y2=200;double k=(y2-y1)*1.0/(x2-x1);//k<1;double y=y1;for(int i=x1;i<=x2;i++){pdc1->SetPixel(i,(int)(y+0.5),color);y=y+k;}ReleaseDC(pdc1);}四：程序截图：中点画线算法一．实验名称：中点画线算法二．算法分析：直线方程直线将二维空间划分为三个区域:如F(x,y)=0, 则(x,y) 在直线上如F(x,y)<0, 则(x,y)在直线下方如F(x,y)>0, 则(x,y)在直线上方条件: a= -(y1-y0)b=(x1-x0)c= -B(x1-x0)三．代码实现：void CHuayahuaView::MidPointLine(){// TODO: Add your command handler code hereCDC* pdc1 = GetDC();int color = RGB(255,0,0);int x1=30,y1=50,x2=200,y2=100;//斜率；int x,y,a,b,d,d0,d1,d2;a=y2-y1;b=x2-x1;d=2*a+b;d1=2*a;d2=2*(a+b);x=x1,y=y1;pdc1->SetPixel(x,(int)(y+0.5),color);while(x < x2){if(d>0){x++;y++;d+=d2;}else{x++;d+=d1;}pdc1->SetPixel(x,(int)(y+0.5),color);}ReleaseDC(pdc1);}四．程序截图：Bresenham画线算法一．算法名称：Bresenham画线算法二．算法分析：定义决策变量d = d+k (0<k<1)设0<k<1，如直线上的一点为（x,y）,则点，为: （x+1,y） (d<0.5) 或（x+1,y+1）(d>=0.5) 当d>1时,让以证0<=d<1d0=0定义决策变量d = d+k (0<k<1)设0<k<1，如直线上的一点为( x,y）, 则下一点为: （x+1,y） (d<0.5) 或（x+1,y+1）(d>=0.5) 当d>1时, 让d=d-1,以保证0<=d<1定义决策变量e = d-0.5 (0<k<1),e0 = -0.5则下一点为:（x+1,y） (e<0) 或（x+1,y+1）(e>=0) 当e >0时, 让e=e-1, (重新初始化误差项)由于算法只用到误差项的符号,为了改用整数以避免除法,可以作如下替换:e = 2*e*dx定义决策变量e = 2*e*dx, e0 = - dx;e=e +2*dy则下一点为: （x+1,y） (e <0) ;或（x+1,y+1）(e >=0) 当e >0时, 让e= e - dx, (重新初始化误差项)三．算法实现：void CHuayahuaView::Breshnham(){// TODO: Add your command handler code hereCDC* pdc2 = GetDC();int color = RGB(255,0,0);int x1=50,y1=50,x2=200,y2=150;int x,y,dx,dy,e;dx=x2-x1;dy=y2-y1;e=-dx；x=x1;y=y1;for(int i=0;i<=dx;i++){pdc2->SetPixel(x,(int)(y+0.5),color);x++;e=e+2*dy;if(e>=0){y++;e=e-2*dx;}}ReleaseDC(pdc2);}四：程序运行截图：。
直线生成算法的实现
直线生成算法的实现1.数字微分法：数字微分法是直线生成算法的一种基本方法，其核心思想是通过对直线的斜率进行离散化处理，从而得到直线上的像素点。
具体步骤如下：步骤1:根据直线的起点和终点坐标，计算直线的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)。
步骤2:根据斜率k的值，判断直线属于四种情况：0<=k<=1、k>1、-1<=k<0、k<-1步骤3:对于不同的斜率范围，采取不同的策略进行像素点的生成。
对于斜率0<=k<=1，直线的横坐标增加1，纵坐标按照斜率增加1，每次增加1后判断纵坐标是否需要增加1对于斜率k>1，直线的纵坐标增加1，横坐标按照1/k增加。
每次增加1后判断横坐标是否需要增加1对于斜率-1<=k<0，直线的横坐标减少1，纵坐标按照斜率减少1，每次减少1后判断纵坐标是否需要减少1对于斜率k<-1，直线的纵坐标减少1，横坐标按照1/，k，减少。
每次减少1后判断横坐标是否需要减少1步骤4:重复步骤3直到直线上所有的像素点都生成完毕。
2. Bresenham算法：Bresenham算法是一种角度固定的画线算法，通过判断像素点与理想直线之间的距离来确定下一个像素点的位置。
具体步骤如下：步骤1:根据直线的起点和终点坐标，计算直线的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)。
步骤2:初始化误差项d=-1/2步骤3:循环直到达到直线的终点。
步骤4:根据斜率k的值，判断直线属于四种情况。
对于0<=k<=1，判断d<k-1/2，如果满足则x坐标加1，否则x、y坐标同时加1对于k>1，判断d<-1/2，如果满足则y坐标加1，否则x、y坐标同时加1对于-1<=k<0，判断d>k+1/2，如果满足则x坐标减1，否则x、y坐标同时加1对于k<-1，判断d>-1/2，如果满足则y坐标减1，否则x、y坐标同时加1步骤5:更新误差项d=d+k。
基于Bresenham的直线快速生成算法
步 需要在列 Ｘ 上确定 扫描 线 ｙ的值 。 Ｙ值要 么 不变 ， 么 要
在列 位 置 Ｘ 用 ｄ 和 ｄ 来 标识 两 个候 选像 素 的 Ｙ值 与 线段 上理 想 Ｙ值 的差 值 。显 然 ， ｄ＞ ２ 线 上理 想 位 若 ｄ直
置 与右上 方像素 （ｋ ，ｋ 更 接近 ， 以应取 右上 方像 素 ： ｘ＋ Ｙ＋ ． １ ） 所 而 直线 是生 成各 种 图形 的基 本 元素 ， 直线 生 成算 法是其 当 ｄ＜ ２ ， 方 像 素（ Ｙ） 直 线上 理 想 位 置 更 接 近 ， ｄ 时 右 Ｘ ｋ 与 它各 类 图形算 法的基础 。 在计 算机 上 画线一般 都是给 定两 应 取 右 方像 素 ； ｄ＝ 时 ， 个候 选 像 素 与直 线 上 理 想 当 １ｄ 两 个坐 标点 （１ ｙ ）Ｄｘ ，２ ， ｘ ，１￣ （２ ｙ ）要求 画 出它们 的直 线。 当要在 位 置一样 接近 ， 约定取 （ Ｙ 。 ｘ ） ， 屏 幕上 显示一 条 直线 时 ， 能在 显示器 所给 定 的有 限个 像 只 素 矩阵 中 ， 定最 佳 逼 近于 该 直 线 的一组 像 素 ， 这 些 像 确 对 素进 行 写操作 。这 就是 通常所 说 的在 显示器 上 绘制 直线 ， 或直 线 的扫 描 转换。 目前 ， 已有较 多文 献讨 论 了直 线扫 描 转换 算法 的构造 构造 决策 变量 ｄ： ｄ＝ ｄ — ｘ （ ｏ ２ ｙ ｄ 得到 ｄ 初值 ）： ｋ 若 ｄ＜ ， ｋ０ 取右 方像素 ， ｄ＋ ｄ＋ ｄ ￣； 则 ｋ＝ ｋ ２ ｙ 】 ｌ ２ 若 ｄ ≥０ 取 右上 方像素 ， ｄ＋ ｄ＋ｄ — ｘ ｋ ， 则 ｋ＝ Ｋ（ｙ ｄ ）。 ｌ ２
bresenham算法画直线例题
bresenham算法画直线例题摘要：一、引言二、Bresenham 算法的原理1.计算机显示的直线是离散的2.用一系列离散化后的点（像素）来近似表现直线三、Bresenham 算法的实现1.第一个版本：将直线分成10 份，每一份画一个像素2.优化版本：Bresenham 算法四、Bresenham 算法的优点1.计算简单2.能够快速绘制直线五、Bresenham 算法的局限性1.直线的精度受限于像素数量六、结论正文：一、引言在计算机图形学中，绘制直线是一个基本任务。
然而，由于计算机显示的直线是离散的，我们无法直接绘制连续的直线。
为了解决这个问题，Bresenham 算法应运而生。
该算法通过用一系列离散化后的点（像素）来近似表现直线，从而实现在计算机上绘制直线。
二、Bresenham 算法的原理在计算机图形学中，绘制直线的过程实际上是将直线分成若干个离散的点，然后在屏幕上绘制这些点。
由于计算机显示的精度有限，我们无法直接绘制连续的直线，因此需要用一系列离散化后的点（像素）来近似表现直线。
Bresenham 算法是一种经典的直线绘制算法，它的基本原理是：在直线上的两个点A 和B 之间，选取一个点C，使得线段AC 和线段CB 的斜率相等。
然后，通过计算点C 的坐标，将其绘制在屏幕上。
重复这个过程，直到线段AB 的两个端点都被绘制出来。
三、Bresenham 算法的实现1.第一个版本：将直线分成10 份，每一份画一个像素在第一个版本中，我们将直线分成10 份，每一份画一个像素。
这种方法虽然简单，但是效果并不理想，因为直线中间会有很多空洞，显得不连续。
2.优化版本：Bresenham 算法为了解决这个问题，我们引入了Bresenham 算法。
该算法通过计算点C 的坐标，使得线段AC 和线段CB 的斜率相等，从而实现在计算机上绘制连续的直线。
Bresenham 算法的计算过程较为简单，能够快速绘制直线。
四、Bresenham 算法的优点Bresenham 算法具有以下优点：1.计算简单：Bresenham 算法的计算过程较为简单，容易实现。
分别解释直线生成算法dda法、中点画线法和bresenham法的基本原理。
分别解释直线生成算法dda法、中点画线法和bresenham法
的基本原理。
一、DDA（Digital Differential Analyzer）法
DDA法是一种基于像素的直线生成算法，其基本原理是通过在直线的每个像素点上应用微分关系来计算出该点的位置。
具体来说，首先选择一个起始点，然后在直线上每隔一个像素点进行微分计算，得到该点相对于前一个点的增量。
在直线的终点处，由于没有前一个点的信息，需要使用特殊的方法进行处理。
DDA法生成的线条在视觉上较为平滑，且无需进行线条绘制。
二、中点画线法
中点画线法是一种基于连续点的直线生成算法，其基本原理是每隔一定数量的点在直线上绘制一个点，以生成直线。
该算法的优点是计算量较小，适用于实时性要求较高的场景。
但是，由于该算法生成的线条不够平滑，因此在一些对线条质量要求较高的场景下可能无法满足要求。
三、Bresenham法
Bresenham法是一种基于二进制运算的直线生成算法，其基本原理是通过比较相邻像素之间的灰度级差异来决定线条的绘制。
算法首先确定直线的起点和终点，然后根据灰度级差异的大小和二进制运算的特点，确定在直线上绘制点的位置。
Bresenham法生成的线条在视觉上较为清晰，且具有较好的连续性。
同时，由于该算法采用了二进制运算，因此在处理大量数据时具有较高的效率。
总结：DDA法、中点画线法和Bresenham法是常用的直线生成算法，每种算法都有其适用的场景和优缺点。
在实际应用中，需要根据具体需求和场景选择合适的算法，以达到最佳的直线生成效果。
(二)点、线、面图形生成技术(精)
2.圆的生成算法
中点圆算法 角度DDA画圆算法
中点圆算法
利用圆的对称性，只须讨论1/8圆。
P(xp，yp) P1 M P2
1. 直线的生成算法
逐点比较法(续)
• 产生递推公式： 设画笔当前位置为M1(x1, y1)，此时 F1=y1xA-yAx1<0, 下一点应为 x2=x1 A(xA, yA) M(xM, yM)
y2=y1+1
M2处的偏差为 F2=y2xA-yAx2 =y1xA+xA-yAx1=F1+xA 若F2>=0 x3=x2+1
else interchange=0; f=2*deltay-deltax; for(int i=1;i<=deltax;i++) { pDC->SetPixel(x,y,color); if(f>=0) { if(interchange==1) x=x+s1; else y=y+s2; f=f-2*deltax;} if(interchange==1) {y=y+s2;} else x=x+s1; f=f+2*deltay; } }
（二）点、线、面图形生成技术
1. 2. 3. 4.
5.
6.
直线的生成算法 圆的生成算法 椭圆的生成算法 其他曲线 填充区域图元 字符生成
1. 直线的生成算法
即是找出逼近直线的一组象素，按扫描 线顺序，对这些象素进行写操作。
逐点比较法
数值微分画线法（ＤＤＡ） Bresenham画线算法
1. 直线的生成算法
逐点比较法
是绘图仪经常采用的方法。 设要画的直线段两端点 OA(xO, yO), (xA， yA). x= xO+(xA –xO)t y= yO+(yA –yO)t 令 t=ti=i/n (i=0, 1, …, n) 则可得到点列 xi= xA+(xB –xA)ti yi= yA+(yB –yA)ti Mi=([xi], [yi])就是该直线线段上的第i 个象素点，n+1个象素点可以构成直线 段OA。 n=max(│ xo –xA│, │ yo –yA│)
1.论述直线的bresenham算法的原理,方法和步骤。
论述直线的bresenham算法的原理,方法和步骤。
Bresenham算法是一种用于计算直线段的算法，它是一种基于中点画线思想的折线逼近算法。
该算法可以在二维平面中以最小的误差逼近直线。
B resenham算法的主要优点是它只需要计算整数坐标，而不需要使用浮点数计算，因此运行速度快，精度高。
Bresenham算法的原理是：从直线的一个端点开始，按照一定的方向和步长绘制一系列点，直到另一个端点为止。
这些点之间的间距逐渐减小，使得视觉效果上形成一条直线。
在这个过程中，通过计算每个点的坐标，可以得到一条近似于直线的折线。
Bresenham算法的方法如下：1. 初始化参数：设定直线的两个端点坐标（x1，y1）和（x2，y2），以及画线的方向变量k。
初始方向k等于两点横坐标之差与纵坐标之差的比值，即k = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
2. 计算第一个点：根据初始方向k，计算第一个点的坐标。
第一个点的横坐标为x1 + k/2，纵坐标为y1。
3. 迭代计算后续点：从第二个点开始，每次迭代都将当前点的横坐标加上k，纵坐标加上1/k。
同时，检查当前点的横坐标是否超过终点坐标x2，如果是，则结束绘制。
4. 输出结果：将计算出的所有点按照顺序连接起来，形成一条折线，这条折线近似于原始直线。
Bresenham算法的步骤如下：1. 初始化参数：设置直线的两个端点坐标和方向k。
2. 计算第一个点：根据方向k，计算第一个点的坐标。
3. 迭代计算后续点：按照迭代公式，依次计算出所有点的位置。
4. 输出结果：将计算出的所有点连接起来，形成一条折线。
5. 终止条件：当计算出的点的横坐标超过终点坐标时，绘制过程结束。
通过以上方法和步骤，Bresenham算法可以高效地绘制出直线段，适用于各种图形绘制和计算场景。
在实际应用中，可以根据需要调整算法的参数和精度，以满足不同的需求。
生成直线的三种常用方法
生成直线的三种常用方法
生成直线的三种常用方法包括：
1. 点斜式：已知直线上一点的坐标和直线的斜率，可以使用点斜式方程来表示直线。
点斜式方程为y-y1 = m(x-x1)，其中(x1, y1) 是直线上的已知点，m 是直线的斜率。
可以根据点斜式方程来求解其他点的坐标。
2. 斜截式：已知直线上一点的坐标和直线的斜率，可以使用斜截式方程来表示直线。
斜截式方程为y = mx + c，其中m 是直线的斜率，c 是直线和y 轴的截距。
可以根据斜截式方程来求解其他点的坐标。
3. 两点式：已知直线上的两个点的坐标，可以使用两点式方程来表示直线。
两点式方程为(y-y1)/(x-x1) = (y2-y1)/(x2-x1)，其中(x1, y1) 和(x2, y2) 是直线上的两个已知点。
可以根据两点式方程来求解其他点的坐标。
这些方法可以根据具体的问题需求选择合适的方法来生成直线。
Bresenham快速画直线算法
Bresenham快速画直线算法⼀、算法原理简介：算法原理的详细描述及部分实现可参考： Fig. 1假设以(x, y)为绘制起点，⼀般情况下的直观想法是先求m = dy /dx（即x每增加1， y的增量），然后逐步递增x, 设新的点为x1 = x + j,则y1 = round(y + j * m)。
可以看到，这个过程涉及⼤量的浮点运算，效率上是⽐较低的（特别是在嵌⼊式应⽤中，DSP可以⼀周期内完成2次乘法，⼀次浮点却要上百个周期）。
下⾯，我们来看⼀下Bresenham算法，如Fig. 1,(x, y +ε)的下⼀个点为(x, y + ε + m)，这⾥ε为累加误差。
可以看出，当ε+m < 0.5时，绘制(x + 1, y)点，否则绘制(x + 1, y + 1)点。
每次绘制后，ε将更新为新值：ε = ε + m ,如果(ε + m) <０.５ (或表⽰为2*(ε + m) < 1)ε = ε + m – 1, 其他情况将上述公式都乘以dx, 并将ε*dx⽤新符号ξ表⽰，可得ξ = ξ + dy, 如果2*(ξ + dy) < dxξ = ξ + dy – dx, 其他情况可以看到，此时运算已经全变为整数了。
以下为算法的伪代码：ξ← 0, y ← y1For x ← x1 to x2 doPlot Point at (x, y)If (2(ξ + dy) < dx)ξ←ξ + dyElsey ← y + 1,ξ←ξ + dy – dxEnd IfEnd For⼆、算法的注意点：Fig. 2在实际应⽤中，我们会发现，当dy > dx或出现Fig.2 右图情况时时，便得不到想要的结果，这是由于我们只考虑dx > dy，且x, y的增量均为正的情况所致。
经过分析，需要考虑8种不同的情况，如Fig. 3所⽰：(Fig. 3)当然，如果直接在算法中对8种情况分别枚举，那重复代码便会显得⼗分臃肿，因此在设计算法时必须充分考虑上述各种情况的共性，后⾯将给出考虑了所有情况的实现代码。
五步直线扫描转换生成算法
图 ２ 五步法的 １４ 种移动模式
为了避免由于误差的累积而造成光栅化后象素 一般来说， 可选择从起点向终点画一条直线， 并根据
点偏离直线走样现象 ， 必须考虑下次画线的误差校 正 ，
不同的斜率来选择三种不同的方式。 第一种是当 Δ Ｘ≥ Δ Ｙ ＞０ 时朝着 Ｘ 正方向驱动直线 ， 第二种是 Δ Ｙ ＞Δ Ｘ ＞
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Ｙｉ＋５＝ Ｙｉ＋５ｋ
Y +Á = Y + 1 Y +Á = Y + 1
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软件时空
图 １ Ｂｒｅｓｅｎｈａｍ 算法误差与被亮像素的关系
２ 五步法生成直线原理
根据 Ｂｒｅｓｅｎｈａｍ 直线生成算法的基本思想 ， 沿轴 向每移动一个象素点 ， 斜方向上都将会有两种选择 ， 因
而 ， 沿轴向移动五个象素点 ， 斜方向上的组合模式共有
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软件时空
五步直线扫描转换生成算法
Ａ Ｑｕ ｉｃｋ Ｇｅ ｎ ｅ ｒａ ｔｉｎ ｇ Ａｌｇ ｏ ｒｉｔｈ ｍ ｆｏ ｒ Ｌｉｎ ｅ Ｓ ｃａ ｎ Ｃｏ ｎ ｖｅ ｒｓ ｉｏ ｎ
直线的Bresenham算法
生成直线的B resenham算法从上面介绍的DDA算法可以看到，由于在循环中涉及实型数据的加减运算，因此直线的生成速度较慢。
在生成直线的算法中，B resenham算法是最有效的算法之一。
B resenham算法是一种基于误差判别式来生成直线的方法。
一、直线Bresenham算法描述：它也是采用递推步进的办法，令每次最大变化方向的坐标步进一个象素，同时另一个方向的坐标依据误差判别式的符号来决定是否也要步进一个象素。
我们首先讨论m=△y/△x，当0≤m≤1且x1<x2时的B resenham算法。
从DDA直线算法可知这些条件成立时，公式(2-2)、(2-3)可写成：x i+1=x i+△x(2－2)y i+1=y i+△y(2－3)x i+1=x i+1 (2－6)y i+1=y i+m(2－7)有两种B resenham算法思想，它们各自从不同角度介绍了B resenham算法思想，得出的误差判别式都是一样的。
二、直线B resenham算法思想之一：由于显示直线的象素点只能取整数值坐标，可以假设直线上第i个象素点坐标为(x i，y i)，它是直线上点(x i，y i)的最佳近似，并且x i=x i(假设m<1），如下图所示。
那么，直线上下一个象素点的可能位置是(x i+1，y i)或(x i+1，y i+1)。
由图中可以知道，在x=x i+1处，直线上点的y值是y=m(x i+1)+b，该点离象素点(x i+1，y i)和象素点(x i+1，y i+1)的距离分别是d1和d2：这两个距离差是我们来分析公式(2-10)：(1)当此值为正时，d1>d2，说明直线上理论点离(x i+1，y i+1)象素较近，下一个象素点应取(x i+1，y i+1)。
(2)当此值为负时，d1<d2，说明直线上理论点离(x i+1，y i)象素较近，则下一个象素点应取(x i+1，y i)。
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２０ ０ ７年 ９月
快 速 直 线 生 成 算 法
刘 晶 ，李 俊２ 孙 涵２ ， ，贾银 亮。
（ ． 陵科 技 学 院 信 息 技 术 学 院 ， 苏 南 京 ２ ０ ０ ； ． 京 航 空 航 天 大 学 信 息 科 学 与技 术学 院 ， 苏 南 京 ２ ０ １ ； １金 江 １０ １ ２ 南 江 １０ ６
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第２Байду номын сангаас３卷
第 ３期
金 陵 科 技 学 院 学 报 Ｊ ＵＲ Ｌ Ｏ Ｉ Ｉ ＮＳ ＴＵＴ Ｆ Ｔ Ｃ ＯＬ Ｇ Ｏ ＮＡ Ｆ ＪＮＬ ＮＧ Ｉ ＴＩ Ｅ Ｏ Ｅ ＨＮ Ｏ Ｙ
Ｖｏ１２３． ． Ｎｏ． ３ Ｓｅ ｐ．， ００ ２ ７
循 环 次 数 ， 高 了 直线 生 成 效 率 。 提 关键词 ： 计算 机 图形 学 ；Ｂｅｅ ｈｍ 算 法 ；快 速 算 法 ； 定 变 量 ｒｓｎ ａ 判 中 图分 类 号 ： Ｐ３ １４ Ｔ ９ ．１ 文献标识码 ： Ａ 文 章 编 号 ：６ ２ ５ Ｘ（０ ７ ０ —０ ０ —０ １７ —７５ ２ ０ ３ ０ ９ ４ Ｊ
３ 南 京 航 空 航 天 大 学 自动 化学 院 ， 苏 南 京 ２ ０ １ ） ． 江 １ ０ ６
摘
要： 经典 的 Ｂｅｅｈ ｍ 算 法 一 次 运 算 只 能生 成 １ 像 素 点 ， 双 步直 线 生 成 算 法 一次 能 生 成 ２个 像 素 点 ， ｒ ｎａ ｓ 个 而 这
些 算 法 在 计 算 时 没 有 充 分 利 用 像 素 点 之 间 的相 关 性 因 而 效 率 不 高 。 为 了 提 高 直 线 生 成 效 率 而 对 Ｂｅｅ ｈｍ 算 ｒｓｎ ａ 法 和双 步 直 线 生 成 算 法 进 行 改 进 ， 出 一 种 快 速 直 线 生 成 算 法 。新 算 法 利 用 直 线 的 斜 率 来 预 测 其 像 素 行 组 合 。 提 生 成 直 线 时 只 在 那 些 可 能 出现 的像 素行 组 合 中进 行 选 取 ， 次 选 取 可 以 生 成 两 个 像 素 行 ， 而 减 少 了 计 算 量 和 一 从