北京市海淀区2016高三一模数学(理)

海淀区高三年级2015-2016学年度第二学期期中练习数学试卷（理科） 2016.4本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项．1．函数()21x f x =-的定义域为A ．［0，＋∞）B ．［1，＋∞）C ．（－∞，0］D ．（－∞，1］ 2．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为 A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i3．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为A ．52 B ．3 C ．72D ．44．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为 A ．33 B ．32 C ．233 D ．2635．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，则“ {}n a 为常数列”是“*,n n n N S na ∀∈=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在极坐标系中，圆C 1 :2cos ρθ=与圆C 2:2sin ρθ=相交于 A ，B 两点，则｜AB ｜＝ A ．1 B ．2 C ．3 D ． 2 7．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是A ．,44a b ππ==-B ．2,36a b ππ==C ．,36a b ππ== D ．52,63a b ππ== 8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则 下列叙述正确的是A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．丁可以承担第三项工作二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．已知向量(1,),(,9)a t b t == ，若a b，则t ＝ _______．10．在等比数列{}n a 中，a 2＝2，且131154a a +=，则13a a +的值为_______． 11．在三个数1231,2.log 22-中，最小的数是_______．12．已知双曲线C ：22221x y a b-=的一条渐近线l 的倾斜角为3π，且C 的一个焦点到l 的距离为3，则C 的方程为_______．13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个．（ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种； （ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．14．已知函数()f x ，对于实数t ，若存在a ＞0，b ＞0 ，满足：[,]x t a t b ∀∈-+，使得|()()|f x f t -≤2，则记a ＋b 的最大值为H （t ）．（ⅰ）当 ()f x ＝2x 时，H （0）＝ _______．（ⅱ）当()f x 2x =且t [1,2]∈时，函数H （t ）的值域为_______．三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13 分）如图，在△ABC 中，点D 在边 AB 上，且13AD DB =．记∠ACD ＝α ，∠BCD ＝β． （Ⅰ）求证：sin 3sin AC BC βα= ； （Ⅱ）若,,1962AB ππαβ===，求BC 的长．16．（本小题满分13 分）2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推 广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法 上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中 分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4 株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ，22s ，根据样本数据， 试估计21s 与22s 的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为ξ，求 随机变量ξ的分布列和数学期望．17．（本小题满分14 分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M ，N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ． （Ⅰ）求证： BC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ， A 四个点在同一个平面内； （Ⅲ）当PA ＝AB ＝2，二面角C －AN －D 的大小为3π时，求PN 的长．18．（本小题满分13 分） 已知函数f (x ) ＝ln x ＋1x －1，1()ln x g x x-= （Ⅰ）求函数 f (x )的最小值；（Ⅱ）求函数g (x )的单调区间；（Ⅲ）求证：直线 y ＝x 不是曲线 y ＝g (x )的切线。

19．（本小题满分14 分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，椭圆C 与y 轴交于A ， B 两点，且｜AB ｜＝2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且点P 在 y 轴的右侧．直线PA ，PB 与直线x ＝ 4 分别交于M ， N 两点．若以MN 为直径的圆与x 轴交于两点E ， F ，求点P 横 坐标的取值范围及｜EF ｜的最大值．20．（本小题满分13 分）给定正整数n (n ≥3)，集合{}1,2,,n U n =⋅⋅⋅．若存在集合A ，B ，C ，同时满足下 列条件：① U n ＝A ∪B ∪C ，且A ∩B ＝ B ∩C ＝A ∩C ＝∅；②集合A 中的元素都为奇数，集合B 中的元素都为偶数，所有能被3 整除的数都在集 合C 中（集合C 中还可以包含其它数）；③集合A ， B ，C 中各元素之和分别记为S A ， S B ，S C ，有S A ＝S B ＝S C ； 则称集合 U n 为可分集合．（Ⅰ）已知U 8为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合A ， B ，C ； （Ⅱ）证明：若n 是3 的倍数，则U n 不是可分集合； （Ⅲ）若U n 为可分集合且n 为奇数，求n 的最小值． （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）DABC海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（理科） 2016.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ADCACBCB二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．解：（Ⅰ）在ACD ∆中，由正弦定理,有sin sin AC ADADC α=∠ …………………2分在BCD∆中，由正弦定理,有sin sin BC BDBDC β=∠ …………………4分因为πADC BDC ∠+∠=,所以sin sin ADC BDC ∠=∠ …………………6分 因为13AD DB =, 所以sin 3sin AC BC βα= …………………7分（Ⅱ）因为π6α=，π2β=, 9． 3±10． 511.1212．2213y x -=13．4,614． 2,[62,2)[23,4]-由（Ⅰ）得πsin32π23sin 6AC BC == …………………9分 设2,3,0AC k BC k k ==>,由余弦定理,2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠ …………………11分代入,得到222π1949223cos3k k k k =+-⋅⋅⋅, 解得1k =,所以3BC =. …………………13分16解: (I)由山下试验田4株青蒿样本青蒿素产量数据，得样本平均数 3.6 4.4 4.4 3.644x +++== …………………2分则山下试验田100株青蒿的青蒿素产量S 估算为100400S x ==g …………………3分 （Ⅱ）比较山上、山下单株青蒿素青蒿素产量方差21s 和22s ，结果为21s >22s .…………………6分（Ⅲ）依题意，随机变量ξ可以取7.27.488.28.69.4，，，，，， …………………7分 1(7.2)4P ξ==, 1(7.4)8P ξ== 1(8)4P ξ==, 1(8.2)8P ξ== 1(8.6)8P ξ==, 1(9.4)8P ξ== …………………9分 随机变量ξ的分布列为…………………11分 随机变量ξ的期望111111()7.27.4+8+8.2+8.6+9.4=8484888E ξ=⨯+⨯⨯⨯⨯⨯. …………………13分ξ 7.2 7.4 88.2 8.6 9.4p14 18 14 18 18 1817解:（Ⅰ）证明：在正方形ABCD 中，AB BC ⊥, …………………1分 因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以PA BC ⊥. …………………2分 因为AB PA A = ，且AB ，PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB …………………4分 （Ⅱ）证明：因为BC ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ,所以BC PB ⊥ …………………5分 在PBC ∆中，BC PB ⊥，MN PB ⊥，所以MN BC . …………………6分 在正方形ABCD 中，AD BC , 所以MN AD ， …………………7分所以 MN AD ，可以确定一个平面，记为α 所以,,,M N D A 四个点在同一个平面α内 …………………8分 （Ⅲ）因为PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥,PA AD ⊥.又AB AD ⊥,如图，以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -, …………………9分所以(2,2,0),(0,2,0),(2,0,0),(0,0,2)C D B P .设平面DAN 的一个法向量为(,,)n x y z =，平面CAN 的一个法向量为(,,)m a b c =,设PN PC λ=, [0,1]λ∈，因为(2,2,2)PC =- ，所以(2,2,22)AN λλλ=-，又(0,2,0)AD = ，所以00AN n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即22(22)020x y z y λλλ++-=⎧⎨=⎩，…………………10分取1z =, 得到1(,0,1)n λλ-= , …………………11分 因为(0,0,2)AP = ，(2,2,0)AC =所以00AP m AC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即20220c a b =⎧⎨+=⎩，z yxNM DCB AP取1a =得, 到(1,1,0)m =-, …………………12分因为二面C AN D --大小为3π, 所以π1|cos ,|cos 32m n <>== ,所以211|cos ,|2||||12()1m nm n m n λλλλ-⋅<>===-+解得12λ=, 所以3PN = …………………14分 18解: （Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， …………………1分22111'()x f x x x x -=-=…………………2分 当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：x(0,1) 1 (1,)+∞'()f x - 0+()f x极小值…………………4分 函数()f x 在(,)+∞0上的极小值为1()ln1101f a =+-=， 所以()f x 的最小值为0 …………………5分 （Ⅱ）解：函数()g x 的定义域为(0,1)(1,)+∞ ， …………………6分22211ln (1)ln 1()'()ln ln ln x x x f x x x g x x x x --+-===…………………7分 由（Ⅰ）得，()0f x ≥，所以'()0g x ≥…………………8分所以()g x 的单调增区间是(0,1),(1,)+∞，无单调减区间. …………………9分 （Ⅲ）证明：假设直线y x =是曲线()g x 的切线. ………………10分设切点为00(,)x y ，则0'()1g x =，即0021ln 11ln x x x +-= …………………11分 又000001,ln x y y x x -==，则0001ln x x x -=. …………………12分 所以000011ln 1x x x x -==-, 得0'()0g x =，与 0'()1g x =矛盾所以假设不成立，直线y x =不是曲线()g x 的切线 …………………13分19解：（Ⅰ）由题意可得，1b =， …………………1分32c e a ==， …………………2分 得22134a a -=， …………………3分 解24a =， …………………4分椭圆C 的标准方程为2214x y +=. …………………5分 （Ⅱ）设000(,)(02)P x y x <≤，(0,1)A ，(0,1)B -， 所以001PA y k x +=，直线PA 的方程为0011y y x x +=-， …………………6分同理：直线PB 的方程为0011y y x x -=+， 直线PA 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y M x -+， …………………7分 直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-， 线段MN 的中点04(4,)y x ， …………………8分 所以圆的方程为22200044(4)()(1)y x y x x -+-=-， …………………9分 令0y =，则222002016(4)(1)4y x x x -+=-， …………………10分因为220014x y +=，所以 2020114y x -=-， …………………11分 所以28(4)50x x -+-=，因为这个圆与x 轴相交,该方程有两个不同的实数解， 所以 0850x ->，解得08(,2]5x ∈. …………………12分设交点坐标12(,0),(,0)x x ，则1208||25x x x -=-（0825x <≤） 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分方法二：（Ⅱ）设000(,)(02)P x y x <≤，(0,1)A ，(0,1)B -， 所以001PA y k x +=，直线PA 的方程为0011y y x x +=-， …………………6分同理：直线PB 的方程为0011y y x x -=+， 直线PA 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y M x -+， …………………7分 直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-， 若以MN 为直径的圆与x 轴相交， 则004(1)[1]y x -+⨯004(1)[1]0y x +-<， …………………9分 即2000200016(1)4(1)4(1)10,y y y x x x --+-+-< 即2020016(1)810.y x x -+-< …………………10分 因为 220014x y +=，所以 2020114y x -=-, …………………11分代入得到 0850x ->，解得08(,2]5x ∈. …………………12分该圆的直径为000004(1)4(1)8|+1(1)|=|2|y y x x x -+---，圆心到x 轴的距离为0000004(1)4(1)41|+1+(1)|=||2y y y x x x -+-，该圆在x 轴上截得的弦长为22000044882(1)()25,(2)5y x x x x --=-<≤； 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分 方法三：（Ⅱ）设000(,)(02)P x y x <≤，(0,1)A ，(0,1)B -， 所以001PA y k x +=，直线PA 的方程为0011y y x x +=-， …………………6分同理：直线PB 的方程为0011y y x x -=+， 直线PA 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y M x -+， …………………7分 直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-， 所以000004(1)4(1)8||=|+1(1)|=|2|y y MN x x x -+---， …………………8分 圆心到x 轴的距离为0000004(1)4(1)41|+1+(1)|=||2y y y x x x -+-， …………………9分若该圆与x 轴相交，则 04|1|x ->004||y x ， …………………10分 即2200044(1)()0y x x -->， 因为 220014x y +=，所以2020114y x -=-, …………………11分所以0850x ->，解得08(,2]5x ∈ …………………12分该圆在x 轴上截得的弦长为22000044882(1)()2525=22y x x x --=-≤-； 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分方法四： 记(20)D ，, (40)H ，，设00(,) (4,) (4,)P x y M m N n 由已知可得(0,1) (0,1)A B -， 所以AP 的直线方程为0011y y x x -=+， ……………………….6分 BP 的直线方程为0011y y x x +=-， 令4x =，分别可得004(1)1y m x -=+， 004(1)1y n x +=- ， ……………………….8分 所以004(1)(4,1),y M x -+004(1)(41)y N x +-， 若以MN 为直径的圆与x 轴相交于,E F ，因为EH MN ⊥， 所以2EH HN HM =⋅， ……………………….9分200004(1)4(1)(1)(1)y y EH HN HM x x -+=⋅=-+⋅- 220002016168()y x x x -+-=- ……………………….10分 因为 220014x y +=，所以2020114y x -=-, ……………………….11分代入得到2EH =20020850x x x -=> 所以08(,2]5x ∈， ……………………….12分 所以0882252522EF EH x ==-≤-=所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分方法五：设直线 OP 与4x =交于点T 因为//MN y 轴，所以有,,AP AO OP BP BO OPPN TN PT PM TM PT==== 所以AO BOTN TM=，所以TN TM =，所以T 是MN 的中点. ……………………….6分 又设000(,)(02)P x y x <≤, 所以直线OP 方程为0y y x x =, ……………………….7分 令4x =,得004y y x =, 所以004(4)y T x ， ……………………….8分而041r TN x ==- ……………………….9分 若以MN 为直径的圆与x 轴相交于,E F 则00044||1y d r x x =<=- ……………………….10分 所以220016(4)y x <-因为 220014x y +=，所以2020114y x -=-,代入得到 ……………………….11分所以200580x x ->，所以085x >或00x < 因为点002x <≤，所以0825x <≤ ……………………….12分 而22220004422(1)()y EF r d x x =-=-- 088252522x =-≤-= 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分 20解：（I ）依照题意，可以取{}5,7A =，{}4,8B =，{}1,2,3,6C = …………………3分（II ）假设存在n 是3的倍数且n U 是可分集合. 设3n k =，则依照题意{3,6,,3}k C ⋅⋅⋅⊆，故C S ≥2333632k kk +++⋅⋅⋅+=，而这n 个数的和为(1)2n n +，故21(1)3322C n n k k S ++=⋅=2332k k+<, 矛盾，所以n 是3的倍数时，n U 一定不是可分集合 …………………7分 (Ⅲ)n =35. …………………8分 因为所有元素和为(1)2n n +，又B S 中元素是偶数，所以(1)32B n n S +==6m (m 为正整数) 所以(1)12n n m +=，因为,1n n +为连续整数，故这两个数一个为奇数，另一个为偶数 由（Ⅱ）知道，n 不是3的倍数，所以一定有1n +是3的倍数. 当n 为奇数时，1n +为偶数，而(1)12n n m +=，所以一定有1n +既是3的倍数，又是4的倍数，所以112n k +=,所以*121,n k k =-∈N . …………………10分 定义集合{1,5,7,11,...}D =，即集合D 由集合n U 中所有不是3的倍数的奇数组成， 定义集合{2,4,8,10,...}E =，即集合E 由集合n U 中所有不是3的倍数的偶数组成， 根据集合,,A B C 的性质知道，集合,A D B E ⊆⊆，此时集合,D E 中的元素之和都是224k ，而21(1)24232A B C n n S S S k k +====-，此时n U 中所有3的倍数的和为2(3123)(41)2462k k k k +--=-，2224(242)2k k k k --=,22(242)(246)4k k k k k ---=显然必须从集合,D E 中各取出一些元素，这些元素的和都是2k ，所以从集合{1,5,7,11,...}D =中必须取偶数个元素放到集合C 中，所以26k ≥, 所以3k ≥，此时35n ≥而令集合{7,11,13,17,19,23,25,29,31,35}A =，集合{8,10,14,16,20,22,26,28,32,34}B =， 集合{3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,1,5,2,4}C =，检验可知，此时35U 是可分集合, 所以n 的最小值为35. …………………13分。