弹性力学习题提示和答案

《弹性力学简明教程》习题提示和参考答案第二章 (2)第三章 (3)第四章 (5)第五章 (6)第六章 (8)第七章 (9)第八章 (10)第九章 (12)2－1 是 2－2 是2－3 按习题2－1分析。

2－4 按习题2－2分析。

2－5 在0M =∑的条件中，将出现2、3阶微量。

当略去3阶微量后，得出的切应力互等定理完全相同。

2－6 同上题。

在平面问题中，考虑到3阶微量的精度时，所得出的平衡微分方程都相同。

其区别只是在3阶微量（即更高阶微量）上，可以略去不计。

2－7 应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程─连续性和小变形，物理方程─理想弹性体。

2－8 在大边界上，应分别列出两个精确的边界条件；在小边界（即次要边界）上，按照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替。

2－9 在小边界OA 边上，对于图2－15（a ）、（b ）问题的三个积分边界条件相同，因此，这两个问题为静力等效。

2－10 参见本章小结。

2－11 参见本章小结。

2－12 参见本章小结。

2－13 注意按应力求解时，在单连体中应力分量, , x y xy σστ必须满足（1）平衡微分方程， （2）相容方程，（3）应力边界条件（假设σS S =)。

2－14 见教科书。

2－15 见教科书。

2－16 见教科书。

2－17 取3223120, , 6().4y x xy M Fσσy xy I hQS F h y bI h τ===-==--它们均满足平衡微分方程，相容方程及x =0和2hy =±的应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。

2－18 见教科书。

2－19 提示：求出任一点的位移分量u 和v ，及转动量ω，再令0x y ==,便可得出。

3-1 本题属于逆解法，已经给出了应力函数，可按逆解法步骤求解： （1）校核相容条件是否满足， （2）求应力，（3）推求出每一边上的面力,,y x f f 从而得出这个应力函数所能解决的问题。

3-2 用逆解法求解。

由于本题中 l >>h , x =0,l 属于次要边界（小边界），可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。

3-3 见3-1例题。

3-4 本题也属于逆解法的问题。

首先校核Φ是否满足相容方程。

再由Φ求出应力后，并求对应的面力。

本题的应力解答如习题3-10所示。

应力对应的面力是： 主要边界：,0)(,0)(2/2/====±h y y h y yx στ所以在 2/h y ±=边界上无剪切面力作用。

下边界无法向面力；,)(2/q h y y -==-σ 上边界有向下的法向面力q 。

次要边界：,0)(0==x xy τ x =0面上无剪切面力作用；),534()(220-==h y h y q x x σ 但其主矢量和主矩在 x =0 面上均为零。

因此，本题可解决如习题3-10所示的问题。

3-5 按半逆解法步骤求解。

（1）可假设。

0=x σ（2）可推出 。

)()(1x f x yf Φ+=（3）代入相容方程可解出f 、1f ，得到 。

)()(2323Fx Ex Cx Bx Ax y Φ++++= （4）由 Φ 求应力。

（5）主要边界x =0,b 上的条件为 。

q b x xy x xy b x x ======)( ,0)( ,0)(0,0ττσ 次要边界y =0上，可应用圣维南原理，三个积分边界条件为。

0)(,0)(,0)(000000======⎰⎰⎰dx xdx dx y byx y b y y by τσσ读者也可以按xy τ或y σ的假设进行计算。

3-6 本题已给出了应力函数Φ，应首先校核相容方程是否满足，然后再求应力，并考察边界条件。

在2/b x ±=各有两个应精确满足的边界条件，即.)( ,0)(22q b x xy b x x -===±=±τσ而在次要边界 y =0 上，0)(0==y y σ已满足，而0)(0==y yx τ的条件不可能精确满足（否则只有A=B=0，使本题无解），可用积分条件代替：.0)(022==-⎰y b b yx τ3-7 见例题2。

3-8 同样，在αtan =y 的边界上，应考虑应用一般的应力边界条件(2-15)。

3-9 本题也应先考虑对称性条件进行简化。

3-10 应力函数Φ中的多项式超过四次幂时，为满足相容方程，系数之间必须满足一定的条件。

3-11 见例题3。

3-12 见圣维南原理。

3-13 m 个主要边界上，每边有两个精确的应力边界条件，如式(2-15)所示。

n 个次要边界上，每边可以用三个积分的条件代替。

3-14 见教科书。

3-15 严格地说，不成立。

第四章 习题的提示和答案4-1 参见§4-1，§4-2。

4-2 参见图4-3。

4-3 采用按位移求解的方法，可设(),u u ρρρ=0,φu =代入几何方程得形变分量，然后再代入物理方程得出用位移表示的应力分量。

将此应力公式代入平衡微分方程，其中第二式自然满足，而由第一式得出求u ρ的基本方程。

4-4 按应力求解的方法，是取应力为基本未知函数。

在轴对称情况下，0ρϕτ=，只有,ρϕσσ为基本未知函数，且它们仅为ρ的函数。

求解应力的基本方程是：(1)平衡微分方程(其中第二式自然满足)，(2)相容方程。

相容方程可以这样导出：从几何方程中消去位移，得,d d ρρϕεεερρ-=再将形变通过物理方程用应力表示，得到用应力表示的相容方程。

4-5 参见§4-3。

4-6 参见§4-3。

4-7 参见§4-7。

4-8 见例题1。

4-9 见例题2。

4-10 见答案。

4-11 由应力求出位移，再考虑边界上的约束条件。

4-12 见提示。

4-13 内外半径的改变分别为(),(),r R u u ρρρρ==两者之差为圆筒厚度的改变。

4-14 R ρ=为位移边界条件。

4-15 求出两个主应力后，再应用单向应力场下圆孔的解答。

4-16 求出小圆孔附近的主应力场后，再应用单向应力场下圆孔的解答。

4-17 求出小圆孔附近的主应力场后，再应用单向应力场下圆孔的解答。

4-18 见例题3。

4-19 见例题4。

第五章 习题提示和答案5-1 参见书中由低阶导数推出高阶导数的方法。

5-2 参见书中的方程。

5-3 注意对称性的利用，取基点A 如图。

答案见书中。

5-4 注意对称性的利用,并相应选取基点A 。

答案见书中。

5-5 注意对称性的利用，本题有一个对称轴。

5-6 注意对称性的利用，本题有二个对称轴。

5-7 按位移求微分方程的解法中，位移应满足：(1) u s 上的位移边界条件，(2) σs 上的应力边界条件，(3)区域A 中的平衡微分方程。

用瑞利-里茨变分法求解时，设定的位移试函数应预先满足(1)上的位移边界条件，而(2)和(3)的静力条件由瑞利-里茨变分法来代替。

5-8 在拉伸和弯曲情况下，引用1d d 2x x AU σx y ε=⎰⎰的表达式，再代入书中的公式。

在 扭转和弯曲情况下，引用1d d 2xy xy A U x y τγ=⎰⎰的表达式，再代入书中的公式。

5-9 对于书中图5-15的问题，可假设123()()[],u x x a y y b A A x A y =--+++123()()[].v x x a y y b B B x B y =--+++ 对于书中图5-16的问题中，y 轴是其对称轴，x 轴是其反对称轴，在设定u 、v 试函数时，为满足全部约束边界条件，应包含公共因子2222()()x a y b --。

此外，其余的乘积项中，应考虑：u 应为x 和y 的奇函数，v 应为x 和y 的偶函数。

5-10 答案见书中。

5-11 在u ,v 中各取一项,并设0u =时,用瑞利-里茨法得出求解的方程是1110, d d .y AU Uf v x y A B ∂∂==∂∂⎰⎰ 代入y U f 和后,上两式方程是2111118150, 6.752ρga A B A B E-=-+=- 解出2211175225,.2533533ρga ρga A B E E=-=-⨯位移分量的解答为2333322222175()(),2533225(1)(1).533ga x x y y u E a a a aga x y v E a aρρ=---⨯=--- 应力分量为222222222222175(13)(1),2533450(1),533225175[(1)(1)(13)].5334533x y xy x y σgy a a x σgy a y x y gx a a aρρτρ=---⨯=-=----⨯6-1 提示：分别代入(,,)i N i j m 的公式进行运算。

6-2 （3）中的位移，一为刚体平移，另一为刚体转动，均不会产生应力。

其余见书中答案。

6-3 求i 结点的连杆反力时，可应用公式,,(),i in n en i j m==∑∑F k δe∑为对围绕i 结点的单元求和。

6-4 求支座反力的方法同上题。

6-5 单元的劲度矩阵k ，可采用书中P.124式（g ）的结果，并应用公式,ij ije=∑K k求出整体劲度矩阵的子矩阵。

6-6 求劲度矩阵元素同上题。

应力转换矩阵可采用书中P.127的结果。

6-7 求劲度矩阵元素可参见P.124式（g ）的结果，再求出整体劲度矩阵元素ij ij e=∑K k 。

答案见书中。

6-8 当单元的形状和局部编号与书中图6－10相同时，可采用P.124式（g ）的单元劲度矩阵。

答案：中心线上的上结点位移16,5F v E =-下结点位移245Fv E=-。

6-9 能满足收敛性条件，即位移模式不仅反映了单元的刚度位移和常量应变，还在单元的边界上，保持了相邻单元的位移连续性。

7-1 答案：1, 3n n σΘτ== 7-2 提示：原(x ,y ,z )的点移动到(x+u ,y+v ,z+w )位置，将新位置位置代入有关平面、直线、平行六面体和椭球面方程。

7-3 见本书的叙述。

7-4 空间轴对称问题比平面轴对称问题增加了一些应力、形变和位移，应考虑它们在导出方程时的贡献。

7-5 对于一般的空间问题，柱坐标中的全部应力、形变和位移分量都存在，且它们均为 的函数。

在列方程时,,z ρϕ应考虑它们的贡献。

8-1 提示：应力应满足平衡微分方程、相容方程及应力边界条件（设σs s =)。

柱体的侧面，在（x ,y ）平面上应考虑为任意形状的边界（n =0,l ,m 为任意的），并应用一般的应力边界条件。

8-2 提示：同上题。

应力应满足平衡微分方程、相容方程及应力边界条件（设σs s = 若为多连体，还应满足位移单值条件。