弹性力学课后习题详解

第一章习题

1-1 试举例证明，什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体，什么是非均匀的各向异性体。

1．均匀的各向异性体：

如木材或竹材组成的构件。整个物体由一种材料组成，故为均匀的。材料力学性质沿纤维方向和垂直纤维方向不同，故为各向异性的。

2．非均匀的各向同性体：

实际研究中，以非均匀各向同性体作为力学研究对象是很少见的，或者说非均匀各向同性体没有多少可讨论的价值，因为讨论各向同性体的前提通常都是均匀性。设想物体非均匀（即点点材性不同），即使各点单独考察都是各向同性的，也因各点的各向同性的材料常数不同而很难加以讨论。

实际工程中的确有这种情况。如泌水的水泥块体，密度由上到下逐渐加大，非均匀。但任取一点考察都是各向同性的。

再考察素混凝土构件，由石子、砂、水泥均组成。如果忽略颗粒尺寸的影响，则为均匀的，同时也必然是各向同性的。反之，如果构件尺寸较小，粗骨料颗粒尺寸不允许忽略，则为非均匀的，同时在考察某点的各方向材性时也不能忽略粗骨料颗粒尺寸，因此也必然是各向异性体。因此，将混凝土构件作为非均匀各向同性体是很勉强的。

3．非均匀的各向异性体：

如钢筋混凝土构件、层状复合材料构件。物体由不同材料组成，故为非均匀。材料力学性质沿纤维方向和垂直纤维方向不同，故为各向异性的。

1-2一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？

理想弹性体指：连续的、均匀的、各向同性的、完全（线）弹性的物体。

一般的混凝土构件（只要颗粒尺寸相对构件尺寸足够小）可在开裂前可作为理想弹性体，但开裂后有明显塑性形式，不能视为理想弹性体。

一般的钢筋混凝土构件，属于非均匀的各向异性体，不是理想弹性体。

一般的岩质地基，通常有塑性和蠕变性质，有的还有节理、裂隙和断层，一般不能视为理想弹性体。在岩石力学中有专门研究。

一般的土质地基，虽然是连续的、均匀的、各向同性的，但通常具有蠕变性质，变形与荷载历史有关，应力-应变关系不符合虎克定律，不能作为理想弹性体。在土力学中有专门研究。

1-3 五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？

连续性假定使变量为坐标的连续函数。完全（线）弹性假定使应力应变关系明确为虎克定律。均匀性假定使材料常数各点一样，可取任一点分析。各向同性使材料常数各方向一样，坐标轴方位的任意选取不影响方程的唯一性。小变形假定使几何方程为线性，

且可采用变形前的尺寸列平衡方程。

1-4 应力和面力的符号规定有什么区别？试分别画出正面和负面上的正的应力和正的

面力的方向。

面力的正/负总是按与坐标轴正向是/否一致来确定，与所讨论的边界面的外法线方向（可能与坐标轴正向一致或相反，或者与坐标轴呈一夹角）无关。对于平行于坐标面的截面上的应力而言，其正负号取决于两方面，一是所讨论的截面的外法线方向是否与坐标轴正向一致（即该截面是正面还是负面），二是应力本身方向与坐标轴正向是否一致。

教材P4图1-3标出所有平行于坐标面的截面上的应力的正方向。分别设想该图的某一面为边界面，则右面、上面、前面的面力正方向与应力正方向一致，而左面、下面、后面的面力正方向与应力正方向相反。

1-5 试比较弹性力学和材料力学中关于切应力的符号规定。

材力中切应力符号的规定，通常按使微元体顺/逆时针转为+/-。弹力则规定正面上切应力与坐标轴方向一致为+、负面上切应力与坐标轴方向相反为+。根据剪应力互等，某个坐标面内的2对切应力总是一对顺时针一对逆时针，因此按材力规定则切应力变化下标后，大小相等、符号改变，即切应力互等差一负号，而按弹力规定使切应力变化下标后，大小相等、符号不变，即切应力互等绝对成立。

1-6 试举例说明正的应力对应于正的形变。

关于本题的理解：（1）“正的应力”包括正的正应力、正的剪应力（注意“正的应力”不只等价于“正应力” ） ；（2）“正的形变”包括正的线应变、正的切应变；（3）所谓“对应”是指应力、形变下标一致的两者对应，如x σ对应x ε、yz τ对应yz γ等。参考答案如下：

（1）说明正的正应力对应正的线应变：以图3-1(a)简单拉伸问题为例，设a >0，

则有应力解答a y 2=σ>0，x σ=0，xy τ=0。由物理方程（2-12）得02>=E

a x ε（此外还有02<-=a E

y με，xy γ=0），即板沿y 轴伸长。可见，拉应力（即正的正应力）对应线段的相对伸长（即正的线应变）。从本例也可见，正应力为零时对应的线应变不一定为零，但正应力不为零时对应的线应变一定不为零，而且正负号一致。

（2）说明正的切应力对应正的切应变：以右图微元体纯剪切

问题为例，设b >0，则有y σ=0，x σ=0，b yx xy ==ττ>0。由物理

方程（2-12）得G

b yx xy ==γγ>0（此外还有x ε=0、y ε=0）。可见，正的切应力对应正的切应变。 这里要对切应变的几何含义加以解释。右图为上述正的切应

力作用下的微元体变形后的图形。注意到∠DAB 、∠DCB 处直角变

x

为锐角，与上述yx xy γγ=>0也是一致的。但∠ABC 、∠ADC 处都是直角变为钝角，是否意味着yx xy γγ=<0？并不是这样的。实际上，yx xy γγ=>0从几何上看就是指微元体沿第一、三象限对角方向伸长，沿第二、四象限对角方向缩短的切变形，即如图所示的变形形式就是正的切应变的几何含义。因此严格地讲，“切应变以直角变小时为正”中的“直角”应是指从一点出发沿两坐标轴正向的线段之间的直角。按此定义，在考察图中的切变形到底是正是负，只需考察∠DAB 处的直角变化，因为点A 、B 、C 、D 中只有A 点具有从该点出发沿两坐标轴正向的线段。

1-7 试画出图1-4中的矩形薄板的正的体力、面力和应力的方向。

题为薄板，可认为不关心与z 下标有关的物理量，只标出与x 、y 下标有关的物理量：

容易犯的错误：1）一个边界上，面力只标出一个方向的分量，少标一个；2）只在一个边界面上标面力分量；3）正的面力分量方向标反；4）正的体力分量方向标反。5）各微元体截面上正的应力分量标反；6）将应力分量标在物体边界面上。

1-8 试画出图1-5中的三角形薄板的正的面力和体力的方向。

题为薄板，可认为不关心与z 下标有关的物理量，只标出与x 、y 下标有关的物理量。

x f y x f f

x y σ

yx σ薄板的正的体力 薄板的正的面力

微元体的正的应力

x

z y O

y f f f 薄板的正的体力 薄板的正的面力