平面向量数量积1

2.4 平面向量的数量积(4月11日)

第1课时

教学目标

一、知识与技能

1．掌握平面向量的数量积及其几何意义；

2．掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；

3．了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；

二、过程与方法

本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识．

三、情感、态度与价值观

通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力；培养学生的交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力．

教学重点、难点

教学重点：平面向量数量积的定义．

教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用.

教学关键：平面向量数量积的定义的理解．

教学方法

本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识．

学习方法

通过类比物理中功的定义，来推导数量积的运算．

教学准备

教师准备: 多媒体、尺规.

学生准备: 练习本、尺规.

教学过程

一、创设情境，导入新课

在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W可由下式计算：

W=| F | | s | cosθ，

其中θ是F与s的夹角．我们知道力和位移都是向量，而功是一个标量（数量）．

故从力所做的功出发，我们就顺其自然地引入向量数量积的概念．

二、主题探究，合作交流

提出问题

①a·b的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么？

②由所学知识可以知道，任何一种运算都有其相应的运算律，数量积是一种向量的乘法运算，它是否满足实数的乘法运算律？

师生活动:已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即

a·b=|a||b|cosθ（0≤θ≤π）．

其中θ是a与b的夹角，|a|cosθ（|b|cosθ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的

投影．

在教师与学生一起探究的活动中，应特别点拨引导学生注意:

（1）两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积；

（2）零向量与任一向量的数量积为0，即a ·0=0；

（3）符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；

（4）当0≤θ<2π时cos θ>0，从而a ·b >0；当2

π<θ≤π时，cos θ<0，从而a ·b <0．与学生共同探究并证明数量积的运算律．

已知a 、b 、c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律:

①a ·b =b ·a （交换律）；

②（λa ）·b =λ（a ·b ）=a ·（λb ）（数乘结合律）；

③（a +b ）·c =a ·c +b ·c （分配律）．

特别是:（1）当a ≠0时，由a ·b =0不能推出b 一定是零向量．这是因为任一与a 垂直的非零向量b ，都有a ·b =0．

注意：已知实数a 、b 、c （b ≠0），则ab =bc ⇒a =c ．但对向量的数量积，该推理不正确，即a ·b =b ·c 不能推出a =c ．由上图很容易看出，虽然a ·b =b ·c ，但a ≠c ．

对于实数a 、b 、c 有（a ·b ）c =a （b ·c ）；但对于向量a 、b 、c ，（a ·b ）c =a （b ·c ）不成立．这是因为（a ·b ）c 表示一个与c 共线的向量，而a （b ·c ）表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线，所以（a ·b ）c =a （b ·c ）不成立．

提出问题

①如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？

②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？

师生活动:教师引导学生来总结投影的概念，可以结合“探究”，让学生用平面向量的数量积的定义，从数与形两个角度进行探索研究．教师给出图形并作结论性的总结，提出注意点“投影”的概念，如下图．

定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影．并引导学生思考.

A . 投影也是一个数量，不是向量；

B . 当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ=0°时投影为|b |；当θ=180°时投影为-|b |．

教师结合学生对“投影”的理解，让学生总结出向量的数量积的几何意义：

数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积．

让学生思考:这个投影值可正、可负，也可为零，所以我们说向量的数量积的结果是一个实数．教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质:

设a 、b 为两个非零向量，θ为两向量的夹角，e 是与b 同向的单位向量．

A . e ·a =a ·e =|a |cos θ．

B . a ⊥b ⇔a ·b =0．

C . 当a 与b 同向时，a ·b =|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b =-|a ||b |．

特别地a ·a =|a |2或|a ．

D . cos θ=||||

a b a b ∙． E . |a ·b |≤|a ||b |．

上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证，教师给予必要的补充和提示，在推导过程中理解并记忆这些性质．

讨论结果:

①略．

②向量的数量积的几何意义为数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积．

三、拓展创新，应用提高

例1 已知|a |=5，|b |=4，a 与b 的夹角为120°，求a ·b

活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解．

解: a ·b =|a ||b |cos θ

=5×4 ×cos120°

=5×4×（2

1-） =-10．

点评: 确定两个向量的夹角，利用数量积的定义求解．

例2 我们知道，对任意a ，b ∈R ，恒有（a +b ）2=a 2+2ab +b 2，（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2．对任意向量a 、b ，是否也有下面类似的结论？

（1）（a +b ）2=a 2+2a ·b +b 2；

（2）（a +b ）·（a -b ）=a 2-b 2．

解：（1）（a +b ）2=（a +b ）·（a +b ）

=a ·b +a ·b +b ·a +b ·b

=a 2+2a ·b +b 2；

（2）（a +b ）·（a -b ）=a ·a -a ·b +b ·a -b ·b

=a 2-b 2．

例3 已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为60°，求（a +2b ）·（a -3b ）．

解: （a +2b ）·（a -3b ）=a ·a -a ·b -6b ·b

=|a |2-a ·b -6|b |2

=|a |2-|a ||b |cos θ-6|b |2

=62-6×4×cos60°-6×42

=-72．

例4 已知|a |=3，|b |=4，且a 与b 不共线，当k 为何值时，向量a +k b 与a -k b 互相垂直？ 解: a +k b 与a -k b 互相垂直的条件是（a +k b ）·（a -k b ）=0，

即a 2-k 2b 2=0．

∵a 2=32=9，b 2=42=16，

∴9-16k 2=0．