【教师版】2020年3月南海区2020届高三年级综合能力测试 理科数学

2020年3月南海区2020届高三年级综合能力测试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为R ，集合122(1),{|20}A x y x B x x x -⎧⎫⎪⎪==-=-<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则()A B =R I ð（ ）A ．(0,2)B ．(1,2]C ．[0,1]D ．(0,1]1．答案：D解析：12(1){|1},{|1}1A x y x x y x x A x x x -⎧⎫⎧⎪⎪==-===>∴=⎨⎬⎨⎬-⎪⎪⎩⎭⎩⎭R ≤ð， 2{|20}{|(2)0}{|02}B x x x x x x x x =-<=-<=<<，()(0,1]A B ∴=R I ð．2．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．答案：B解析：设i (,)z a b a b =+∈R ，则22i 48i z z a b a b +=+++=+，2264,68i 88a a ab z b b ⎧=-⎧⎪++=∴⇒∴=-+⎨⎨==⎩⎪⎩，所以复数z 在复平面内所对应的点在第二象限．3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（ ） A ．45 B ．42C ．25D ．363．答案：D解析：192899()9()9(210)36222a a a a S ++⨯-+====． 4．函数x xxy e e-=+的图象大致为（ ）4．答案：A 解析：设()x x x f x e e -=+，则()()x xxf x f x e e ---==-+，所以函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除B ，C ，且当x →+∞时，()0x xxf x e e -=→+，排除D ，选A ．5．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如sin a bx 的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数0.06sin180000y t =构成乐音的是（ ）A ．0.02sin 360000y t =B ．0.03sin180000y t =C ．0.02sin181800y t =D ．0.05sin 540000y t =5．答案：C解析：由12f T ωπ==，可知若12()f nf n *=∈N ，则必有12()n n ωω*=∈N ，故选C ． 6．已知,a b rr 为非零向量，“22a b b a =r r r r ”为“a a b b =r r r r ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．答案：B解析：若22a b b a =r r r r 成立，则22a b b a =r r r r ，则向量a r 与b r 的方向相同，且22a b b a =r r r r ，从而a b =r r ， 所以a b =r r ；若a a b b =r r r r ，则向量a r 与b r的方向相同，且22a b =r r ，从而a b =r r ，所以a b =r r ．所以“22a b b a =r r r r”为“a a b b =r r r r ”的充分必要条件．7．把函数2()sin f x x =的图象向右平移12π个单位，得到函数()g x 的图象．给出下列四个命题 ①()g x 的值域为(0,1]②()g x 的一个对称轴是12x π=③()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫⎪⎝⎭④()g x 存在两条互相垂直的切线其中正确的命题个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．答案：C解析：2121cos 21cos 21112()sin ()cos 222262x x f x x g x x πππ⎛⎫-- ⎪-⎛⎫⎝⎭==−−−−−−→==--+ ⎪⎝⎭向右平移个单位， cos 2[1,1]6x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭Q ，()g x ∴的值域为[0,1]，①错误；当12x π=时，206x π-=，所以12x π=是函数()g x 的一条对称轴，②正确；当3x π=时，262x ππ-=，所以()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫⎪⎝⎭，③正确； ()sin 2[1,1]6g x x π⎛⎫'=-∈- ⎪⎝⎭，则121212,,()1,()1,()()1x x g x g x g x g x ''''∃∈=-=⋅=-R ，则()g x 在1x x =和2x x =处的切线互相垂直，④正确．8．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人们喜爱．右图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是（ ）A ．37B ．47 C ．57D ．678．答案：D解析：窗花的面积为21241140-⨯=，其中小正方形的面积为5420⨯=， 所以所求概率1402061407P -==．9．已知三棱锥,2,1,P ABC AC BC AC BC -==⊥且2,PA PB PB =⊥平面ABC ，其外接球体积为（ ） A ．43πB ．4πC ．323πD ．3π9．答案：A 解析：223AB AC BC =+PB h =，则由2PA PB =，可得232h h +=，解得1h =，可将三棱锥P ABC -还原成如图所示的长方体，则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球，设外接球的半径为R ，则22221(2)12,1R R =++==，所以外接球的体积34433V R ππ==． AB 123h10．一个盒子里有4个分别标有号码为1，2，3，4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是4的取法有（ ） A ．17种 B ．27种 C ．37种 D ．47种10．答案：C解析：所有可能的情况有3464=种，其中最大值不是4的情况有3327=种，所以取得小球标号最大值是4的取法有642737-=种．11．已知双曲线2222:1(0)x y M b a a b-=>>的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()x c y a -+=的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是（ ） A ．2] B ．2,3]C ．2,5]D ．3,5]11．答案：B解析：b a >Q ，所以离心率212c b e a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭222()x c y a -+=是以(,0)F c 为圆心，半径r a =的圆，要使得经过点T 所作的圆的两条切线互相垂直，必有2TF a =，而焦点(,0)F c 到双曲线渐近线的距离为b ，所以2TF a b =≥，即2b 213c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，所以双曲线M 的离心率的取值范围是(2,3]．bTFO1y x=交于点N ，3OM ON OP +=u u u u r u u u ru u u r ，，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 12．答案：C解析：设(,3ln )M t t ，则1,N t t ⎛⎫⎪⎝⎭，所以21,ln 333OM ON t OP t t +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭u u u u r u u u ru u u r ，依题意可得1ln 03t t +=，设1()ln 3g t t t =+，则221131()33t g t t t t -'=-=，当103t <<时，()0,()g t g t '<单调递减，当13t >时，()0,()g t g t '>单调递增，所以min 1()1ln 303g t g ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭，且221120,(1)033e g g e ⎛⎫=-+>=> ⎪⎝⎭，1()ln 03g t t t∴=+=有两个不同的解，所以曲线G 上的“水平黄金点”的个数为2． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．抛物线24y x =上到其焦点F 距离为5的点有 个． 13．答案：2解析：设符合条件的点00(,)P x y ，则00015,4,4PF x x y =+=∴==±，所以符合条件的点有2个． 14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足2n n S a +=-，则数列{}n a 的通项n a = ．14．答案：112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭解析：当1n =时，1111221S a a a +==-⇒=-，由2n n S a +=-，可知当2n ≥时，112n n S a --+=-，两式相减，得120n n a a --=，即11(2)2n n a a n -=≥，所以数列{}n a 是首项为1-，公比为12的等比数列，所以112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭．15．对任意正整数n ，函数32()27cos 1f n n n n n πλ=---，若(2)0f ≥，则λ的取值范围是 ；若不等式()0f n ≥恒成立，则λ的最大值为 ． 15．答案：13,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦，132- 解析：由(2)1628210f λ=---≥，解得132λ-≤． 当n 为奇数时，cos 1n π=-，由32()2710f n n n n λ=+--≥，得2127n n nλ+-≤， 而函数21()27g n n n n=+-为单调递增函数，所以min ()(1)8g n g ==，所以8λ≤． 当n 为偶数时，cos 1n π=，由32()2710f n n n n λ=---≥，得2127n n nλ--≤，设21()27(2)h x x x x x =--≥，则212,()470x h x x x '∴=-+>Q ≥，()h x ∴单调递增，min 13()(2)2h x h ∴==-．所以132λ-≤，综上可知，若不等式()0f n ≥恒成立，则λ的最大值为132-．16．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 平面1A BE ，记1B 与F 的轨迹构成的平面为α．①F ∃，使得11B F CD ⊥；②直线1B F 与直线BC 所成角的正切值的取值范围是2142⎤⎥⎣⎦；③α与平面11CDD C 所成锐二面角的正切值为22④正方体1111ABCD A B C D -的各个侧面中，与α所成的锐二面角相等的侧面共四个． 其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确命题的序号）16．答案：①②③④解析：取CD 中点G ，连接EG ，则1//EG A B ，所以平面1A BE 即为平面1A BGE ，取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,B M B N MN ，则易证得111//,//B M BG B N A E ，从而平面1//B MN 平面1A BGE ，所以点F 的运动轨迹为线段MN ，平面1B MN 即为平面α．①取F 为MN 中点，因为1B MN △是等腰三角形，所以1B F MN ⊥，又因为1//MN CD ，所以11B F CD ⊥，故①正确；②设正方体的棱长为2，当点F 为MN 中点时，直线1B F 与直线BC 所成角最小，此时122C F =， 111112tan 4C F C B F B C ∠==，当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大，此时111tan 2C B F ∠=，所以直线1B F 与直线BC 所成角的正切值的取值范围是2142⎤⎢⎥⎣⎦，②正确； ③取F 为MN 中点，则1111,,MN C F MN B F B FC ⊥⊥∴∠即为α与平面11CDD C 所成的锐二面角，11111tan 22B C B FC C F∠==，所以③正确； ④正方体1111ABCD A B C D -的各个侧面中，平面ABCD ，平面1111A B C D ，平面11BCC B ，平面11ADD A 与平面α所成的角相等，所以④正确．ABCDD 1A 1B 1C 1EGMNF三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分） 在ABC △中，5,cos 43B C π∠==． （1）求cos A 的值；（2）点D 为边BC 上的动点（不与C 点重合），设AD DC λ=，求λ的取值范围． 17．解：（1）在ABC △，5cos 3C =，所以22sin 1cos 3C C =-=.…………………………1分 所以 cos cos cos sin sin cos cos 4444A C C C C πππππ⎛⎫⎛⎫=--=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222522103-==…………………………………………………………5分 （2）由（1）可知2210cos 0A -=<，所以2A π>．因为sin sin AD DC C DAC =∠，所以sin 2sin 3sin AD C DC DAC DACλ===∠∠．……………………8分 因为0DAC BAC <∠∠≤，所以 sin (0,1]DAC ∠∈．…………………………………………11分 所以2,3λ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭．………………………………………………………………………………12分CAB D18．（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD-中，1,//,,2AB PA AB CD AB CD PAD⊥=△是等边三角形，点M在棱PC上，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：平面PCD⊥平面PAD；（2）若AB AD=，求直线AM与平面PBC所成角的正弦值的最大值；（3）设直线AM与平面PBD相交于点N，若AN PMAM PC=，求ANAM的值．18．解析：（1）证明：取AD中点为O，连接PO．PAD△是等边三角形，所以PO AD⊥．因为PAD ABCD⊥平面平面且相交于AD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO DC⊥．因为//,AB CD AB PA⊥，所以CD PA⊥．因为PO PA P=I在平面PAD内，所以CD PAD⊥平面．所以PCD PAD⊥平面平面．…………3分（2）以O为原点，过O作AB的平行线OF，分别以OA, OF，OP分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系．设2AB AD==，则(1,0,0)A，(1,2,0)B，(1,4,0)C-，3)P．…………5分因为M在棱PC上，可设[](1)(,43(1)),0,1OM t OP tOC t t t t=-+=--∈u u u u r u u u r u u u r，所以(1,43(1))AM t t t=---u u u u r．设平面PBC的法向量为(,,)n x y z=r，因为(2,2,0),(1,4,3)BC PC=-=-u u u r u u u r，PACDM所以220430x y x y z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 令1x =，可得113x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即3)n =r ．设直线AM 与平面PBC 所成角为θ，所以2sin cos ,5(51)AM n AM n AM n t t θ⋅===-+u u u u r ru u u u r r u u u u r r ． 可知当110t =时， sin θ219；…………8分（3）设2,AD DC m ==，则有3),(1,,0)P C m -，得(1,,3)PC m =-u u u r ．设AN PMk AM PC==，那么,PM k PC AN k AM ==u u u u r u u u r u u u r u u u u r ，所以(,,3)PM k mk k =-u u u u r．所以(,3(1))M k mk k --． 因为(1,0,0),(1,3(1))A AM k mk k =---u u u u r所以．22,(,3(1))AN k AM AN k k mk k k ==---u u u r u u u u r u u u r因为所以．所以22(1,3(1))N k k mk k k --+-．又因为(1,0,0),1,,02m D B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以22(2,3(1))DN k k mk k k =--+-u u u r ．(1,0,3),2,,02m PD DB ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，设平面PDB 的法向量为(,,)n x y z =r，有30202x z m x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩3x =-令331x y m z ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，即433,n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r …………10分 因为N 在平面PDB 内，所以DN n ⊥u u u r r ．所以0DN n ⋅=u u u r r．所以22433(2)3(1)0k k mk k k --++-=．即2210k k +-=， 所以12k =或者1k =-（舍），即12AN AM =………………………………………………………12分PA BCDMxyz O F19．（本小题满分12分）某精密仪器生产车间每天生产n 个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查．根据多年的生产数据和经验，这些零件的长度服从正态分布2(10,0.1)N （单位：微米m μ），且相互独立．若零件的长度d 满足9.710.3m d m μμ<<，则认为该零件是合格的，否则该零件不合格．（1）假设某一天小张抽查出不合格的零件数为X ，求(2)P X ≥及X 的数学期望EX ；（2）小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件，若以此频率作为当天生产零件的不合格率．已知检查一个零件的成本为10元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元．假设n 充分大，为了使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件，试说明理由． 附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则5049(33)0.9987,0.99870.9370,0.99870.00130.0012P μσξμσ-<<+==⨯=．19．解（1）1495050(2)1(1)(0)10.99870.00130.99870.003P X P X P X C =-=-==-⋅⋅-=≥，由于X 满足二项分布，故0.0013500.065EX =⨯= …………--5分（2）由题意可知不合格率为250，若不检查，损失的期望为252()2602020505E Y n n =⨯⨯-=-，若检查，成本为10n ，由于522()1020102055E Y n n n n -=--=-，当n 充分大时，2()102005E Y n n -=->所以为了使损失尽量小，小张需要检查其余所有零件． ……………………12分 20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>经过点(0,2)A -3．（1）求椭圆M 的方程；（2）经过点(0,1)E 且斜率存在的直线l 交椭圆于,Q N 两点，点B 与点Q 关于坐标原点对称．连接,AB AN ．求证：存在实数λ，使得AN AB k k λ=成立．20．解：（1）由题意可知2b =，3c a =222a c b -=，得6,2a c == 所以椭圆M 的方程为22164x y +=；……………4分（2）证明：设直线l 的方程为为：1y kx =+，联立221164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元可得：22(23)690k x kx ++-=，设1122(,),(,)Q x y N x y则有12122269,2323k x x x x k k +=-=-++……………-8分 因为121222,AQ AN y y k k x x ++==， 所以2222121212Q 1212223()92232A ANy y k x x k x x k k k k k x x x x +++++⋅=⋅==+--=-又因为点B 与点Q 关于原点对称，所以11(,)B x y --，即112AB y k x -+=-， 则有2111211224AQ ABy y y k k x x +-+-⋅=⋅=-，由点Q 在椭圆22:1x y C +=上，得2224y x -=， 所以23AQ AB k k ⋅=-，所以AN AB k k =所以存在实数3λ=，使AN k λ=（2）解法二：证明：设直线l 的方程为为：1y kx =+，联立221164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元可得：22(23)690k x kx ++-=，设1122(,),(,)Q x y N x y ，则11(,)B x y --，则有12122269,2323k x x x x k k+=-=-++……………8分 121223x x k x x +∴=，12123()2x x kx x +=，222AN y k x +=，112AB y k x -=， 所以1212121121121221211221223()3(2)(3)393233()(2)(1)32AN ABx x x k y x kx x kx x x x x x x k x y x kx kx x x x x x +-++++======+---+-，所以存在实数3λ=，使AN AB k k λ=成立．………………12分 21．（本小题满分12分） 已知2()(0)kxf x kx e k -=+>（1）当12x >时，判断函数()f x 的极值点的个数； （2）记21()()ln 2g x f x x m x x ⎛⎫=+->⎪⎝⎭，若存在实数t ，使直线y t =与函数()g x 的图象交于不同的两点12(,),(,)A x t B x t ，求证：122m x x >． 21．解析：（1）当12x >时，'()(2)kxf x k x e -=-，(())(2)0kx f x k ke -''=+>，所以()f x '在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增．所以21()(1)02kf x f k e -⎛⎫''>=-> ⎪⎝⎭．所以()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，所以函数()f x 没有极值点；…………………………………4分（2）22()()ln (1)ln kxg x f x x m x k x m x e -=+-=+-+，存在实数t ，使直线y t =与函数()g x 的图象交于不同的两点12(,),(,)A x t B x t ，即存在121,,2x x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭且12x x <，使12()()g x g x =．……… 6分由12()()g x g x =可得：21222121(ln ln )(1)()()kx kx m x x k x x ee ---=+-+-，12x x <，由（1）可知21()()f x f x >，可得：212221()kx kx ee k x x --->--．所以222121(ln ln )m x x x x->-，即22212122ln x x m x x ->．……………………8分 下面证明222112212ln x x x x x x ->,只需证明：221221112ln x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>． 令211x s x =>,则证：212ln s s s ->，即12ln 0s s s -->．……………………………………10分 设1()2ln h s s s s=--，那么22(1)()0s h s s -'=>． 所以()(1)0h s h >=．所以122mx x >，即122m x x >．………12分 （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）已知曲线M 的参数方程为1cos 21sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为22sin 2ρθ=-．（1）写出曲线M 的极坐标方程；（2）点A 是曲线N 上的一点，试判断点A 与曲线M 的位置关系． 22．解析：（1）曲线M 的极坐标方程是12ρ=．………………………………………4分 （2）当3π4θ=时，线段OA 取得最小长度为22332sin(2π)4=-⨯．…………………………6分因为曲线M 是以原点为圆心，半径为12的圆，所以 12OA >． 所以点A 与曲线M 的位置关系是点A 在曲线M 外．………10分 23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知0,a b a c d >≥≥≥，且ab cd ≥．（1）请给出,,,a b c d 的一组值，使得2()a b c d ++≥成立； （2）证明不等式a b c d ++≥恒成立．23．解析：（1）2,1,1,1a b c d ====-．（答案不唯一）………………………………4分（2）证明：由题意可知，0a ≠． 因为a c d ≥≥，所以()()0a c a d --≥． 所以2()0a c d a cd -++≥，即2()a cd c d a ++≥．……-7分 因为0a b >≥，所以cd a c d a ++≥．因为ab cd ≥，所以 cdb a≥． 所以cda b a c d a+++≥≥．………………10分。