狂刷13三角函数的概念及诱导公式-学易试题君之小题狂刷2019年高考数学(理)人教版(原卷版)
高考数学常用的【诱导公式】
高考数学常用的【诱导公式】高考数学常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinαcos(2kπ+α)=cosαtan(2kπ+α)=tanαcot(2kπ+α)=cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα高中数学重要知识点1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x，y+y)。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=—b，b=—a，a+b=0。
0的反向量为0 AB—AC=CB。
即“共同起点，指向被减”a=(x，y)b=(x，y)则a—b=(x—x，y—y)。
3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
当λ0时，λa与a同方向;当λ0时，λa与a反方向;当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ0)或反方向(λ0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ0)或反方向(λ0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
狂刷17 三角函数的综合应用-学易试题君之小题狂刷2019年高考数学(理)人教版(解析版)
A． B．
C． D．
【答案】A
【名师点睛】先根据图象求周期得 ，再根据点坐标求 ，最后根据 图象确定周期.
已知函数 的图象求解析式：
(1) .
(2)由函数的周期 求
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求 .
5．已知函数 的零点是 和 ，则
A． B．
1．“ ”是“函数 与函数 在区间 上的单调性相同”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D相邻对称轴的距离为 ，若角 的终边经过点 ，则 的值为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据题意可得函数的最小正周期为 , ，
角 的终边经过点 ,∴ ,∵ , ，
同时 ≥ ﹣ = ，则 ≥ ×2，则ω≤ .
当k=0时，0＜ω≤ ，
当k=1时，不等式无解，
故ω的最大值为 ，
故答案为C．学科#网
【名师点睛】本题主要考查三角函数单调性的应用，根据条件建立不等式关系是解决本题的关键．根据函数的单调性求出函数的单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系进行求解即可．
C． D．
【答案】C
【解析】由 得 ， ，所以 ,
因此 .
故选C.学科%网
【名师点睛】本题考查两角和正切公式以及根与系数的关系，考查基本求解能力.先求函数零点得零点关系，再根据两角和正切公式求结果.
6．△ABC中， 分别是内角A,B,C所对的边,若 成等比数列，且 ，则
A． B．
C． D．
【答案】B
（2）周期性： 存在周期性，其最小正周期为T= ；
（3）单调性：根据y=sint和t= 的单调性来研究，由 得单调增区间；由 得单调减区间；
狂刷13 辛亥革命-学易试题君之小题狂刷君2019学年高一历史人教版(必修1)(原卷版)
1
1．叶圣陶在一则日记中写道：“课毕后阅读报纸，见专电栏中有云：XX 已为革命党所据，新军亦起而响应……从此而万恶之政府即已推倒，亦未可知也。
”日记反映的重要事件是
A ．黄花岗起义
B ．武昌起义
C ．北伐战争
D ．南昌起义
2．孙中山（1866—1925）在回忆录中说：“28岁那年，我就与20多个华侨，在海外成立起革命团体，决心用流血斗争推翻满清王朝。
”孙中山“28岁那年”的主要行动是
A ．他与革命党人一起发动广东沿海起义
B ．联合其他革命团体，成立中国同盟会
C ．成立兴中会，提出“振兴中华”的口号
D ．领导华侨支持康有为和梁启超的戊戌变法运动
3．孙中山坦率地承认：“倘近数日内，无足够之资金以解燃眉之急……虽经种种筹划，而时光荏苒，交涉
迄无结果……于军队解散、革命政府崩溃之前，作为最后之手段，唯有与袁世凯缔结和议，以防天下大乱。
”这说明孙中山让位给袁世凯的主要目的是
A ．维护既得革命成果
B ．实现和平建国
C ．顺利通过《临时约法》
D ．缓解财政困难
4．《中华民国临时约法》第四十五条规定：国务员于临时大总统提出法律案，公布法律及发布命令时，须副署之。
该规定的进步意义在于
A ．否定了君主专制制度
B ．宣扬了资产阶级自由平等思想
C ．体现了三权分立原则
D ．一定程度上限制总统专制独裁
5．学者陈旭麓认为：“
（毛泽东）富有历史感地把新民主主义的胜利，看成整个民主革命的胜利。
辛亥革。
2019版高考数学理一轮讲义：第19讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式 含答案 精品
第19讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：__sin 2α＋cos 2α＝1__.(2)商数关系：！！！ tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z ###. 2．三角函数的诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝__cos_α__， tan(α＋2k π)＝tan α，其中k ∈Z .公式二：sin(π＋α)＝__－sin_α__，cos(π＋α)＝__－cos_α__， tan(π＋α)＝__tan_α__.公式三：sin(－α)＝__－sin_α__，cos(－α)＝__cos_α__， tan(－α)＝__－tan_α__.公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝__－cos_α__， tan(π－α)＝－tan α. 3．必会结论(1)特殊角的三角函数值(2)诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．“奇”与“偶”指的是诱导公式k ·π2＋α中的k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 是偶数，则函数的名称不变．“符号看象限”指的是k ·π2＋α中，将α看成锐角时k ·π2＋α所在的象限．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)120°角的正弦值是12，余弦值是－32.( × )(2)同角三角函数关系式中的角α是任意角．( × ) (3)诱导公式中的角α可以是任意角．( × )(4)诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”与α的大小无关．( √ )解析 (1)错误．sin 120°＝sin(180°－60°)＝sin 60°＝32， cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－12.(2)错误．在tan α＝sin αcos α中α≠k π＋π2，k ∈Z .(3)错误．对于正、余弦的诱导公式角α可以为任意角，而对于正切的诱导公式α≠π2＋k π，k ∈Z .(4)正确．诱导公式的“符号看象限”中的符号是把任意角α都看成锐角时原函数值的符号，因而与α的大小无关.2．若cos α＝13，a ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan α＝( C ) A ．－24B ．24C ．－22D ．2 2 解析 由已知得sin α＝－1－cos 2α＝－1－19＝－223，所以tan α＝sin αcos α＝－2 2.3．若tan α＝2，则sin α－cos αsin α＋cos α的值为( C )A ．－13B ．－53C ．13D ．53解析sin α－cos αsin α＋cos α＝tan α－1tan α＋1＝2－12＋1＝13.4．(2016·四川卷)sin 750°＝！！！ 12 ###.解析 sin 750°＝sin(720°＋30°)＝sin 30°＝12.5．cos ⎝⎛⎭⎫－17π4－sin ⎝⎛⎭⎫－17π4解析 cos ⎝⎛⎭⎫－17π4－sin ⎝⎛⎭⎫－17π4＝cos 17π4＋sin 17π4＝ cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎫4π＋π4＝cos π4＋sin π4＝22＋22＝ 2.一 同角三角函数关系及其应用同角三角函数关系在解题中的应用(1)利用转化思想，对于sin α，cos α，tan α，由公式sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α进行转化，可以“知一求二”．(2)利用方程思想，对于sin α±cos α，sin αcos α，由下面三个关系式(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，可以“知一求二”．(3)sin α，cos α的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式，或含有sin 2α，cos 2α及sin αcos α的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin 2α＋cos 2α＝1”代换后转化为“切”求解．【例1】 (1)(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( A )A ．6425B ．4825C ．1D ．1625(2)sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 289°＝！！！892###. 解析 (1)当tan α＝34时，原式＝cos 2α＋4sin αcos α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4×34916＋1＝6425，故选A ． (2)原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋...＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋...＋(sin 244°＋cos 244°)＋12＝1＋1＋1＋ (144)＋12＝892.【例2】 (1)已知tan α＝2，求值： ①2sin α－3cos α4sin α－9cos α；②4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α.(2)已知θ∈(0，π)，且sin θ＋cos θ＝13，求sin θ－cos θ的值．解析 (1)①2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1.②4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1.(2)∵sin θ＋cos θ＝13，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝19，∴sin θcos θ＝－49.∵θ∈(0，π)，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，θ， ∴sin θ>0>cos θ，sin θ－cos θ>0.由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1＋89＝179，得sin θ－cos θ＝173.二 诱导公式及应用(1)学会诱导公式的逆用，如sin α＝sin(π－α)，cos α＝－cos(π－α)等，再如y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3，将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－x 中x 的系数由负变正，且不改变“正弦”前面的符号． (2)学会观察两角之间的关系，看看它们的和或差是否为π2的整数倍，如⎝⎛⎭⎫π3＋x ＋⎝⎛⎭⎫π6－x ＝π2，⎝⎛⎭⎫2π3＋x －⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝π2. 【例3】 (1)计算：2sin ⎝⎛⎭⎫－316π＋cos 12π＋tan 7π4＝__1__. (2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝！！！ －23###.(3)已知f (x )＝sin (2π－x )·cos ⎝⎛⎭⎫32π＋x cos (3π－x )·sin ⎝⎛⎭⎫112π－x ，则f ⎝⎛⎭⎫－21π4＝__－1__. 解析 (1)原式＝2sin ⎝⎛⎭⎫－6π＋56π＋cos 0＋tan ⎝⎛⎭⎫2π－π4 ＝2sin 56π＋1－tan π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π－π6＋1－1＝2sin π6＝1. (2)因为⎝⎛⎭⎫π6－α＋⎝⎛⎭⎫α－23π＝－π2， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α－23π＝sin ⎣⎡⎦⎤－π2－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－23. (3)因为f (x )＝sin (－x )·sin xcos (π－x )·sin ⎣⎡⎦⎤6π－⎝⎛⎭⎫π2＋x＝－sin 2x－cos x ⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝－sin 2x cos 2x ＝－tan 2x ，所以f ⎝⎛⎭⎫－214π＝－tan 2⎝⎛⎭⎫－214π＝－tan 2⎝⎛⎭⎫－5π－π4 ＝－tan 2⎝⎛⎭⎫－π4＝－tan 2π4＝－1.1．若点(16，tan θ)在函数y ＝log 2x 的图象上，则sin 2θcos 2θ＝( D )A ．2B ．4C ．6D ．8解析 由题意知tan θ＝log 216＝4，所以sin 2θcos 2θ＝2sin θcos θ＝2tan θ＝8，故选D ．2．给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④sin 7π10cos πtan17π9.其中是负数的是( C )A ．①B ．②C ．③D ．④解析 sin(－1 000°)＝sin 80°>0，cos(－2 200°)＝cos (－40°)＝cos 40°>0，tan (－10)＝－tan 10<0，sin7π10cos πtan 17π9＝－sin 7π10tan 17π9，∵sin 7π10>0，tan 17π9<0，∴sin 7π10cos πtan 179π>0. 3．若cos(π－α)＝53且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin(π＋α)＝( B ) A ．－53B ．－23C ．－13D ．±23解析 cos (π－α)＝－cos α＝53，∴cos α＝－53. 又∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－532＝23， ∴sin (π＋α)＝－sin α＝－23，故选B ．4．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两个根，则m 的值为( B ) A ．1＋5 B ．1－ 5 C ．1±5D ．－1－ 5解析 由题意得sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θ·cos θ＝m4.又∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5.又∵Δ＝4m 2－16m ≥0，解得m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－5，故选B ．易错点 忽视隐含的平方关系错因分析：含有参数的同一个角的正余弦值，要受到“sin 2θ＋cos 2θ＝1”的限制． 【例1】 若sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，π2<θ<π，则m 的取值范围是( )A ．(3,9)B ．{8}C ．(3，＋∞)D ．(－∞，9)解析 由已知得0<m －3m ＋5<1且－1<4－2mm ＋5<0，解得3<m <9.∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴(m －3)2＋(4－2m )2(m ＋5)2＝1，解得m 1＝8，m 2＝0(舍去)，故选B ．答案 B【跟踪训练1】 求函数y ＝(sin x ＋a )(cos x ＋a )(0<a ≤2)的最值．解析 y ＝sin x cos x ＋a (sin x ＋cos x )＋a 2，令t ＝sin x ＋cos x ，则sin x cos x ＝t 2－12，∵t＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－2，2]，∴y ＝12t 2＋at －12＋a 2，t ∈[－2，2]，其图象的对称轴为t ＝a－2×12＝－a ∈[－2，0)，∴t ＝－a 时，y min ＝a 2－12；t ＝2时，y max ＝a 2＋2a ＋12.课时达标 第19讲[解密考纲]本考点主要考查三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式与诱导公式，通常以选择题、填空题的形式呈现，安排在比较靠前的位置．一、选择题1．(2018·四川成都外国语学校月考)已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( B )A ．45B ．－45C ．35D ．－35解析 tan(α－π)＝34⇒tan α＝34.又α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝－45，故选B ．2.cos 350°－2sin 160°sin (－190°)＝( D )A ．－3B ．－32C ．32D ． 3解析 原式＝cos (360°－10°)－2sin (180°－20°)－sin (180°＋10°)＝cos 10°－2sin (30°－10°)－(－sin 10°)＝cos 10°－2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝ 3.3．已知sin α＋cos α＝2，则tan α＋cos αsin α的值为( D )A ．－1B ．－2C ．12D ．2解析 ∵sin α＋cos α＝2，∴(sin α＋cos α)2＝2， ∴sin αcos α＝12，∴tan α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝2.4．(2018·湖北黄冈调考)若A ，B 是锐角三角形ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 ∵△ABC 是锐角三角形，则A ＋B >π2，∴π2>A >π2－B >0，π2>B >π2－A >0， ∴sin A >sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ，sin B >sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝cos A ， ∴cos B －sin A <0，sin B －cos A >0，∴点P 在第二象限，故选B ．5．(2018·安徽模拟)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( A )A ．12B ．32C ．0D ．－12解析 f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫17π6＋sin 17π6＝f ⎝⎛⎭⎫11π6＋sin 17π6＋sin 11π6＝f ⎝⎛⎭⎫5π6＋sin 17π6＋sin 11π6＋sin 5π6＝sin 176π＋sin 116π＋sin 56π＝12－12＋12＝12. 6．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是( C )A ．355B ．377C ．31010D ．13解析 由已知得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1， 解得tan α＝3，故sin α＝31010.二、填空题7．已知tan α＝－12，π2<α<π，则sin α＝！！！ 5###.解析 ∵α为第二象限角，tan α＝－12，∴设α终边上一点P (x ，y )，其中x ＝－2，y ＝1，则r ＝5，∴sin α＝55. 8．(2018·浙江绍兴模拟)若f (cos x )＝cos 2x ，则f (sin 15°)＝ －32. 解析 f (sin 15°)＝f (cos 75°)＝cos 150°＝cos(180°－30°)＝－32. 9．函数y ＝sin x cos x 1＋cos x ＋sin x的最大值为！！！2###. 解析 设t ＝cos x ＋sin x ，则t ∈[－2，－1)∪(－1，2]． 于是y ＝t 2－121＋t ＝t －12，当t ＝2时，y 取最大值2－12.三、解答题10．已知cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1213，α∈⎝⎛⎫0，π4，求cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值． 解析cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(cos α＋sin α)＝2(cos α－sin α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－α.∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，∴π4－α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，又cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1213， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝513，∴cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1013. 11．已知sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝45，求tan α的值．解析 由已知得sin 2α＋sin αcos α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝45，所以tan 2α＋tan α－2tan 2α＋1＝45，整理得，tan 2α＋5tan α－14＝0， 解得tan α＝2或tan α＝－7. 12．已知sin(3π＋α)＝lg1310，cos(π－α)>0.(1)求cos α＋1sin α的值；(2)求sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α－cos 2⎝⎛⎭⎫32π＋α的值． 解析 (1)因为sin(3π＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α，lg1310＝lg 10－13＝－13，所以－sin α＝－13，即sin α＝13.又因为cos(π－α)＝－cos α>0，即cos α<0， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－223.则cos α＋1sin α＝－223＋113＝3－2 2. (2)sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α－cos 2⎝⎛⎭⎫32π＋α＝cos 2α－sin 2α＝⎝⎛⎭⎫－2232－⎝⎛⎭⎫132＝79.。
三角函数诱导公式总结.docx
精品文档三角函数诱导公式与同角的三角函数【知识点 1】诱导公式及其应用公式一： sin( ) -sin ； cos( ) cos ； tan( ) tan公式二： sin( ） -sin；cos(） -cos； tan(） tan．公式三： sin( ） sin ； cos(） -cos ； tan(） tan公式四：sin(2） sin；cos(2） cos；tan(2）tan公式五： sin() = cos ；cos() = sin ．22公式六： sin(+ ) = cos ； cos(+ ) = sin ．22公式七： sin(3)=- cos ；cos( 3) = -sin ．22公式八： sin(3+ ) = -cos ；cos( 3 + ) = sin．22公式九： sin( 2k ) sin； cos(2k) cos； tan(2k )tan．（其中 k Z ）．方法点拨：把看作锐角一、前四组诱导公式可以概括为：函数名不变，符号看象限公式（五）到公式（八）总结为一句话：函数名改变，符号看象限（原函数所在象限）二、奇变偶不变，符号看象限将三角函数的角度全部化成k或是 k，符号名该不该变就看k 是奇数还是偶数，是奇数就改变函22数名，偶数就不变精品文档例 1、求值（1） cos( 29 ) = __________ ．（ 2） tan( 8550 ) = _______ ___ ． （3） sin(16 ) = __________．63例 、已知tan( ) 3,2求：2cos() 3sin( )的值。
4cos() sin(2)例 3、 1 2 sin( 2) cos(2) 【 】A ． sin2－ cos2B ． cos2－ sin2C ．±（ sin2－cos2）D ．sin2+cos2例 4、下列各式不正确的是【】A ． sin （α＋ 180°） =－ sin αB ． cos （－α＋ β） =－ cos （α－ β）C ． sin （－α－ 360°） =－ sin αD ． cos （－α－ β） =cos （α＋ β）例 5、若 sin （π＋α）＋ sin （－α） =－ m,则 sin （ 3π＋α）＋ 2sin （ 2π－α）等于【】232 3A ．－ 3 mB ．－ 2 mC ． 3 mD ． 2 m例 6、已知函数 f ( x)a sin xb tan x 1，满足 f (5) 7. 则 f ( 5) 的值为【】A ． 5B ．－ 5C ． 6D ．－ 6·sin(3) cos(3 )sin(2)) cos(4例 7、试判断 ) cos(为第三象限角） 符号 例 8、化简29(5tan· cos (5)tan(3 ) cos() sin()222例 9、已知方程 sin(3 ) = 2cos(4 )，求sin() 5cos(2 ) 2 sin(3 ) sin()21 cos()cos(2 )的值．例 10、若 sin(),求1 cos33cos()) cos()sin(3sin()221 提示：先化简，再将sin代入化简式即可．3精品文档13)1cos( 4 )sin(例 11、若2为第三象限角，化简1cos(5)1sin()2例 12、设f ( x)满足f (sin x) 3 f (sin x) 4sin x cos x,(| x |) ,求 f ( x) 的表达式.2例 13、设 f ( ) 2 sin() cos()cos()， sin1，求 f (23) 的值．23226 1sin cos()sin ()22【知识点 2】同角的三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式有两个：①平方关系： sin 2+ cos 2=②商数关系：sincos例 14、化简 cosα1－ sinα1－ cosα3π】＋ sin α(π<α<2)得【1＋ sinα1＋ cosαA ． sinα＋ cosα－ 2B．2－ sinα－cosαC． sinα－ cosαD． cosα－ sinαπ例 15、若 cos( －α)＝ m(|m|≤ 1)，则 sin(2】63π－α)的值为【m mA ．－ m B．－2 C. 2 D ． m例 16、 1＋ 2sin π－3 cos π＋3化简的结果是【】A ． sin3－ cos3B ． cos3－sin3 C．±(sin3－ cos3) D ．以上都不对例 17、 tan(5π＋α)＝m，则sinα－3π＋cosπ－α的值为【】sin －α－ cos π＋ am＋1m－ 1A .m－1 B.m＋1C．－ 1 D． 1例 18、已知sin m, ( m 1) ，，那么tan【】2A mBm m 1 m 2 22C D2精品文档例 19、若角的终边落在直线 xy 0 上，则sin 1 cos 2 】1 sin 2的值等于 【cosA2B2C2或2D例 20、已知 tan3 ，3 sin 的值是 【】，那么 cos21313 131 3AB2C2D221例 21、已知 A 为锐角， lg(1 ＋ cosA)＝ m ， lg＝ n ，则 1gsinA 的值为【 】1－ cosA11 1111A ． m ＋ nB .2(m － n)C.2(m ＋n )D. 2(m － n )例 22、已知角 的终边经过点A ．1B ．2P( 8m, 6 cos60 0 ) , 且 cos4 , 则 m 的值为【 】51 3 32C ．D ．22例 23、 (2011 年高考江西卷) 已知角θ的顶点为坐标原点 , 始边为 x 轴的正半轴 . 若 P(4,y) 是角θ终边上一点 , 且sin θ =-2 5 , 则 y= .5例 24、已知 sincos2(0) ，求 tan3精选试题1、以下四个命题中，正确的是【】A ．在定义域内，只有终边相同的角的三角函数值才相等B ．｛ ｜ ＝ k ＋ ， k ∈ Z ｝≠｛｜＝- k ＋， k ∈ Z ｝66C ．若 是第二象限的角，则 sin2 ＜ 0D ．第四象限的角可表示为｛｜ 2k ＋3＜ ＜ 2k ， k ∈ Z ｝22、 sin 4·cos25· tan 5的值是【】364A ．－3B ．3C ．－3 D ．3精品文档3、已知 sin1 ，则1的值为【】2cos723 B ． －2C ． 2 32 3A ．3D ．334、如果 A 为锐角， sin(A)1 ，那么 cos(A) 【】211C 、33A 、B 、2D 、2225、若 cos3 , 2 , 则 sin2 的值是【】53B ．3C ．4D ．4A ．55556、已知 cos78°约等于 0.20，那么 sin66°约等于【】A .0.92 B.0.85C.0.88D.0.957、已知 tan3 4 ,且 3 ,2,则 cos的值是 【】2322A ．3 3445B ．C ．D ．5558、 sin 2 1 sin 2 2 sin 2 3 Lsin 2 89 sin 2 90 =9、已知 cos()33 2 ，则 tan() =,25210、若 sin()1) ________．，则 tan(22211、已知3sincos 2 ，则 tan ＝．4 sincos 912、 已知 cos(3 5)2) 的值．提示：把5 () ，进而利用诱导)，求 cos(sin (化成6 36666公式求解．。
狂刷13 伴性遗传和人类遗传病-学易试题君之小题狂刷2019年高考生物人教版(原卷版)
1 狂刷13 伴性遗传和人类遗传病
1．下列有关伴性遗传特点的叙述，错误的是
A ．红绿色盲症女性患者的父亲和儿子都是患者
B ．伴X 染色体隐性遗传病中，男患者的父亲和母亲可以都正常
C ．抗维生素
D 佝偻病男性患者的母亲和女儿都是患者
D ．伴X 染色体显性遗传病中，女患者的父亲和母亲可以都正常
2．果蝇的红眼对白眼为显性，受一对等位基因控制，位于X 染色体上。
下列哪组杂交子代中，通过眼色就可直接判断果蝇的性别
A ．白♀×白♂
B ．杂合红♀×红♂
C ．白♀×红♂
D ．杂合红♀×白♂
3．火鸡的性别决定方式是ZW 型(♀ZW 、♂ZZ)。
曾有人发现少数雌火鸡(ZW)的卵细胞未与精子结合，也可以发育成二倍体后代。
遗传学家推测，该现象产生的原因可能是：卵细胞与其同时产生的三个极体之一结合，形成二倍体后代(WW 胚胎不能存活)。
若该推测成立，理论上这种方式产生后代的雌雄比例是
A ．雌∶雄＝1∶1
B ．雌∶雄＝1∶2
C ．雌∶雄＝3∶1
D ．雌∶雄＝4∶1
4．果蝇是XY 型性别决定的生物，正常雄性和雌性果蝇的体细胞中分别含有XY 、XX 性染色体。
但果蝇种群中偶尔也会出现性染色体异常的种类，如表所示是性染色体异常果蝇的性别、育性情况。
下列相关说法不正确的是 项目 XXY XXX XYY YY OY XO 性别 雌性 — 雄性 — — 雄性 育性 可育 死亡 可育 死亡 死亡 不育
A ．表中结果显示果蝇性染色体的组成类型会影响果蝇的性别。
2023高考数学基础知识综合复习第9讲三角函数的概念和诱导公式 课件(共24张PPT)
(1)α=60°= ,l=10×
3
3
=
10π
(cm).
3
(2)由已知得,l+2R=20,则 l=20-2R,
1
2
1
2
所以 S= lR= (20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25,
所以当 R=5 cm 时,扇形的面积最大为 25 cm2,此时弧长 l=10 cm,圆心
角 α=2 rad.
cos α
-tan α
sin α
-cos α
-tan α
口诀 函数名不变
符号看象限
cos α
cos α
sin α
-sin α
—
—
函数名改变
符号看象限
考点一
考点二
考点三
考点四
考点五
考点六
考点七
象限角与终边相同的角
例1(1)若角α是第二象限角,则
是(
2
)
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第一或第三象限角
5
则 tan α=
=- ,故选 D.
cos 12
sin
3
(2)方法一 由 tan α=
= ,cos2α+sin2α=1,
cos
4
得
3
5
4
=
5
sin = ,
cos
或
cos =
16 48
+
25 25
则 cos2α+2sin 2α=
方法二 cos
故选 A.
2
3
5
则
4
- ,
5
sin = - ,
诱导公式总结大全
诱导公式1所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。
公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanα诱导公式记忆口诀奇变偶不变，符号看象限。
“奇、偶”指的是整数n的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。
（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。
一全正；二正弦；三两切；四余弦这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“＋”，其余全部是“－”；第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”。
狂刷13 三角函数的概念及诱导公式-学易试题君之小题狂刷2020年高考数学(理)(解析版)
专题四 三角函数狂刷13三角函数的概念及诱导公式1．顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在y 轴上的角α的集合是 A ．π{|2π,}2k k αα=+∈Z B ．π{|2π,}2k k αα=-∈Z C ．π{|π,}2k k αα=+∈ZD ．π{|,}2k k αα=∈Z 【答案】C【解析】顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边落在y 轴上的角的取值集合为π{|π,}2k k αα=+∈Z ，故选C ．2．与角6π-终边相同的角是A ．π3 B ．2π3 C ．5π6D ．11π6【答案】D【解析】任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和， 可得与角−π6终边相同的角是β=−π6+k ⋅2π，k ∈Z ，当k =1时，β=11π6，故选D ． 3．若1sin(π)2A +=-，则sin(6π)A -= A ．12B ．12-C ．3D 3 【答案】B【解析】∵1sin(π)2A +=-，∴1sin 2A -=-，∴1sin(6π)sin()sin 2A A A -=-=-=-， 故选B ．4．已知α是第三象限角，若3sin 2α=-，则tan α= A ．3B 3C ．33-D ．33【答案】B【解析】因为α是第三象限角，且3sin α=，所以1cos 2α=-，所以sin tan 3cos ααα== 故选B ．5．若(,)2απ∈π，4sin()5απ-=，则cos α= A ．35 B ．35- C ．45-D ．15【答案】B【解析】由诱导公式可得4sin()sin 5ααπ-==，∴3cos 5α=±， 又(,)2απ∈π，∴3cos 5α=-． 故选B ．6．已知tan 2α=，则sin 3cos 2sin cos αααα-=+A ．15-B ．15 C ．54-D ．54【答案】A【解析】因为tan 2α=，所以sin 3cos tan 32312sin cos 2tan 12215αααααα---===-++⨯+，故选A ．7．若sin cos 0θθ⋅<，tan 0sin θθ>，则角θ是 A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D 【解析】由tan 0sin θθ>，得10,cos 0cos θθ>>， 又sin cos 0θθ⋅<，所以sin 0θ<，所以θ为第四象限角， 故选D ．8．已知扇形OAB 的圆心角为8rad ，其面积是4 cm 2，则该扇形的周长是 A ．10 cm B ．4 cm C ．82D ．42【答案】A【解析】由题意得，设扇形的半径为r ，若扇形OAB 的圆心角为8rad ， 则根据扇形的面积公式可得2184,1,2S r r =⋅=∴=∴扇形的周长是21810r +⨯=， 故选A ．9．已知角α的终边上一点P 的坐标为22sin ,cos (33)ππ，则sin α= A ．12B ．12-C 3D ．3-【答案】B【解析】由题可得角α的终边上一点P 的坐标为31()2-，它到原点的距离为1r =， 由任意角的三角函数定义可知1sin 2y r α==-， 故选B ．10．下列说法正确的是A ．钝角是第二象限角B ．第二象限角比第一象限角大C ．大于90︒的角是钝角D ．165-︒是第二象限角【答案】A【解析】钝角的范围为(90,180)︒︒，钝角是第二象限角，故A 正确；200-︒是第二象限角，60︒是第一象限角，但20060-︒<︒，故B 错误；由钝角的范围为(90,180)︒︒可知C 错误；由于18016590-︒<-︒<-︒，所以165-︒是第三象限角，D 错误． 故选A ．11．在平面直角坐标系中，角α的始边与x 轴的正半轴重合，将角α的终边逆时针旋转23π得到角β，若1sin()63απ+=，则=βcosA ．322-B ．32 C ．32D ．31-【答案】D【解析】由题可得2()326βααπππ=+=++，所以cos cos[()]sin()266βααπππ=++=-+， 因为1sin()63απ+=，所以31cos -=β，故选D ．12．已知27cos()39θπ+=-，则sin()6θπ+=A ．13B ．79C ．13-D ．79-【答案】B【分析】由于2()()362θθπππ+-+=，因此由诱导公式可求解． 【解析】由题可得2227sin()sin[()]sin[()]cos()6322339θθθθππππππ+=+-=--+=-+=， 故选B ．【名师点睛】本题考查诱导公式的应用，三角函数化简求值时，第一步应观察已知角和未知角的关系，通过角的关系确定选用什么公式，千万不能盲目地想当然地选用公式，否则可能会人为地加大难度，甚至不能正确地求解． 13．cos750︒=______________．3【解析】3cos750cos(72030)cos(236030)cos302︒=︒+︒=⨯︒+︒=︒=． 【名师点睛】本题考查利用诱导公式和特殊角的三角函数化简求值，属基础题.利用诱导公式和特殊角的三角函数化简求值即可． 14．若1sin()25απ+=，则cos α=______________． 【答案】15【解析】因为sin()cos 2ααπ+=且1sin()25απ+=，所以cos α=15． 【名师点睛】本题主要考查诱导公式的应用，属于简单题．对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度． 15．已知点(1,3)P 在角α的终边上，则6sin 8cos 3sin 2cos αααα+=-______________．【答案】267【解析】因为点(1,3)P 在角α的终边上，所以tan 3α=，所以6sin 8cos 3sin 2cos αααα+=-6tan 8638263tan 23327αα+⨯+===-⨯-．16．若12sin()613απ-=，则cos()3απ+=______________．【答案】1213【解析】因为12sin()613απ-=，所以πππ12cos()sin()sin()323613αααπ+=--=-=．17．化简：1cos()sin()tan()22αααππ++-π+的结果为______________．【答案】2cos α【解析】由题可得1cos()sin()tan()1sin cos tan 22ααααααππ++-π+=-22sin 1sin cos 1sin cos cos αααααα=-=-=．18．已知π3π(,)24α∈，sin a α=，cos b α=，tan c α=，那么,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．a c b >>D ．c a b >>【答案】A【解析】此题可采用特值法，∵π3π(,)24α∈，故可取2π3α=， 此时3sin 2a α==，1cos 2b α==-，tan 3c α==a b c >>成立．故选A ．19．已知π2(0,π),cos()62αα∈+=，则tan2α＝ A 3B ．3-C 3D ．3-【答案】A【解析】ππ7π(0,π),(,)666αα∈∴+∈Q ， 由π2cos()62α+=可知ππ64α+=，则π12α=，所以π3tan2tan 6α== 故选A ．【名师点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．首先求得α的值，然后结合特殊角的三角函数值求解tan 2α的值即可． 20．已知直线l 过点(2,0)-且倾斜角为α，若l 与圆22(3)20x y -+=相切，则3πsin(2)2α-= A ．35 B ．35-C ．45D ．45-【答案】A【解析】设直线:tan (2)l y x α=+，因为l 与圆22(3)20x y -+=220,tan 21tan αα=∴=±+，因此2222223πcos sin 1tan 143sin(2)cos22cos sin 1tan 145αααααααα----=-=-=-=-=+++， 故选A ．21．已知π02α-<<，1sin cos 5αα+=，则221cos sin αα=- A ．75 B ．257C ．725D ．2425【答案】B 【解析】因为π02α-<<，所以cos 0,sin 0αα><，可得cos sin 0αα->， 因为22(sin cos )(cos sin )2αααα++-=， 所以22149(cos sin )2(sin cos )22525αααα-=-+=-=，即7cos sin 5αα-=， 22177cos sin 5525αα-=⨯=，所以221cos sin αα-的值为257． 故选B ． 【名师点睛】由π02α-<<，可得cos 0,sin 0αα><，由平方关系可得7cos sin 5αα-=，从而得22177cos sin 5525αα-=⨯=，进而可得结果．三角函数求值常见的有三类：（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．（3）“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角． 22．已知角α的终边经过点(2,)P m （0m ≠），若5sin 5m α=，则3πsin(2)2α-=A ．35- B ．35 C ．45D ．45-【答案】B【解析】由题意得222||24OP m m =+=+（O 为坐标原点），所以25sin 54m m α==+，解得21m =，即2211sin 55m α==，所以3πππsin(2)sin(22π)sin(2)cos 2222αααα-=+-=+=21312sin 1255α=-=-⨯=． 故选B ．23．已知a ∈R ，则“πcos()02α+>”是“α是第三象限角”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为πcos()02α+>，所以−sin 0,sin 0,ααα>∴<∴是第三、四象限和y 轴负半轴上的角．则α是第三、四象限和y 轴负半轴上的角不能推出α是第三象限角；反之，α是第三象限角一定能推出πcos()02α+>，所以“πcos()02α+>”是“α是第三象限角”的必要不充分条件． 故选B ．【名师点睛】先化简“πcos()02α+>”，再利用充要条件的定义判断． （1）本题主要考查充要条件的判断和诱导公式，考查三角函数的值的符号，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力．（2）判定充要条件常用的方法有定义法、集合法、转化法． 24．由射线4(0)3y x x =≥逆时针旋转到射线5(0)12y x x =-≤的位置所成角为θ，则cos θ= A ．1665- B ．1665±C ．5665-D ．5665±【答案】A【解析】设4(0)3y x x =≥的倾斜角为α，则43sin cos 55αα==，， 射线5(0)12y x x =-≤的倾斜角为β，512sin cos 1313ββ==-，， ∴3124516cos cos()cos cos +sin sin ()51351365θβααβαβ=-==⨯-+⨯=-． 故选A ．【名师点睛】本题主要考查了三角函数的定义及两角差的余弦函数公式，考查了逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．25．已知角α的终边经过点(,2)m m -，其中0m ≠，则sin cos αα+=A ．55-B ．55± C ．35-D ．35±【答案】B【解析】∵角α的终边经过点(,2)m m -，其中0m ≠， ∴0m >时，sin 55m α==cos 55m α==，∴5sin cos 5αα+=-； 0m <时，sin 55m α==-，cos 55m α==-，∴5sin cos 5αα+=． ∴5sin cos αα+=． 故选B ．【名师点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，解题关键注意分析m 取正还是取负，属于基础题．利用三角函数定义确定sin α与cos α的值，即可得到结果． 26．已知θ为第三象限角，π1tan()43θ-=，则sin cos θθ-= A ．35B ．5C ．355D ．55【答案】B【解析】由π1tan()43θ-=，得1+1ππ3tan tan[()]=214413θθ=-+=-， 由同角三角函数基本关系式，得22sin 2cos sin cos 1θθθθ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得221cos ,4sin 55θθ==．又因为θ为第三象限角，所以255sin θθ==5sin cos θθ-=． 故选B ．【名师点睛】先由两角和的正切公式求出tan θ，再利用同角三角函数基本关系式进行求解． （1）利用两角和差公式、二倍角公式进行三角恒等变形时，要优先考虑用已知角表示所求角，如：ππ(),2()()44θθααβαβ=-+=++-、2()()βαβαβ=+--；（2）利用同角三角函数基本关系式中的“22sin cos 1αα+=”求解时，要注意利用角的范围或所在象限进行确定符号．27．如果α是第三象限的角，那么3α必然不是下列哪个象限的角 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】α是第三象限的角，则3(2,2)2k k απ∈π+ππ+，k ∈Z ， 所以22(,)33332k k αππ∈π+π+，k ∈Z ； 所以3α可以是第一象限角、第三象限角或第四象限角． 故选B ． 28．函数sin |cos |tan |sin |cos |tan |x x xy x x x =++的值域是A ．{−1，0，1，3}B ．{−1，0，3}C ．{−1，3}D ．{−1，1}【答案】C【分析】因为角x 的终边不能落在坐标轴上，所以分别求出角x 终边在第一、第二、第三、第四象限时，根据三角函数的正负性，函数的表达式，进而求出函数的值域． 【解析】由题意可知：角x 的终边不能落在坐标轴上， 当角x 终边在第一象限时，y =sinx|sinx |+|cosx |cosx +tanx|tanx |=1+1+1=3； 当角x 终边在第二象限时，y =sinx |sinx |+|cosx |cosx +tanx|tanx |=1−1−1=−1； 当角x 终边在第三象限时，y =sinx |sinx |+|cosx |cosx +tanx |tanx |=−1−1+1=−1； 当角x 终边在第四象限时，y =sinx |sinx |+|cosx |cosx+tanx |tanx |=−1+1−1=−1，因此函数=sinx|sinx |+|cosx |cosx+tanx|tanx |的值域为{−1，3}，故选C ．29．已知3sin(),(,)52ααππ-=∈π，则sin2α=______________． 【答案】2425-【解析】依题意3sin(π)sin 5αα-==，由于(,)2απ∈π，所以24cos 1sin 5αα=--=-， 所以3424sin 22sin cos 2()5525ααα==⨯⨯-=-．30．若1sin 2cos x x +=，则1sin cos x x-=______________．【答案】12【解析】方法1：由题意知1sin 2cos xx+=，则sin 2cos 1x x =-，代入22sin cos 1x x +=， 解得4cos 5x =，所以3sin 5x =，所以311sin 154cos 25x x --==． 方法2：显然22221sin 1sin 1sin cos 1cos cos cos cos x x x xx x x x+--⋅===， 因为1sin 2cos x x +=，所以1sin 1cos 2x x -=．【名师点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的基本关系式，联立求得cos ,sin x x 的值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 31．已知直线2tan 10x y α++=的斜率为18，则3πcos2cos(2)2αα++=______________． 【答案】2317-【解析】∵直线2tan 10x y α++=的斜率为18，∴112tan 8α-=，即tan 4α=-． ∴223πcos 2cos(2)cos 2sin 2cos sin 2sin cos 2αααααααα++=+=-+ 222222cos sin 2sin cos 1tan 2tan 116823cos sin 1tan 11617ααααααααα-+-+--====-+++． 【名师点睛】由已知条件求出tan α的值，再利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得3πcos2cos(2)2αα++的值．应用三角公式解决问题的三个变换角度：（1）变角，目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”；（2）变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等；（3）变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等． 32．若4sin cos 3θθ-=，且3π(,π)4θ∈，则sin(π)cos(π)θθ---=______________． 【答案】23-【解析】由题意得416sin cos 12sin cos 39θθθθ-=⇒-=，于是72sin cos 9θθ=-， 由于3π(,π)4θ∈，()2sin(π)cos(π)sin cos sin cos θθθθθθ---=+=+12sin cos θθ=-+=23-． 【名师点睛】对条件两边平方可得sin cos θθ，sin(π)cos(π)sin cos θθθθ---=+，利用“三姊妹”关系即可得到结果．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二． 33．已知1sin cos 5x x +=(0≤x ＜π)，则tan x 的值等于______________． 【答案】43-【分析】先根据sin cos x x +的值和二者的平方关系联立求得cos x 的值，进而根据同角三角函数的基本关系求得sin x 的值，最后利用商数关系求得tan x 的值．【解析】由1sin cos 5x x +=，得1sin cos 5x x =-，代入22sin cos 1x x +=， 得(5cos 4)(5cos 3)0x x -+=，4cos 5x ∴=或3cos 5x =-，当4cos 5x =时，得3sin 5x =-，又0x ≤<πQ ，sin 0x ∴≥，舍去；当3cos 5x =-时，得4sin 5x =，∴4tan 3x =-．34．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若sin sin αβ=，则α与β的终边相同； ⑤若cos 0θ<，则θ是第二或第三象限的角．其中正确的命题是______________．（填序号） 【答案】③ 【解析】①43α=-π，则α为第二象限角；3βπ=，则β为第一象限角，此时αβ<，可知①错误； ②当三角形的一个内角为直角时，不属于象限角，可知②错误； ③由弧度角的定义可知，其大小与扇形半径无关，可知③正确； ④若3απ=，23βπ=，此时sin sin αβ=，但,αβ终边不同，可知④错误；⑤当θ=π时，cos 10θ=-<，此时θ不属于象限角，可知⑤错误． 综上，正确命题的序号为③．35．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15B ．55C 33D 255【答案】B【解析】2sin 2cos21αα=+Q ，24sin cos 2cos .(0,),cos 02αααααπ∴⋅=∈∴>Q ，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，5sin α∴=，故选B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 36．【2016年高考全国Ⅲ卷理数】若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= A ．6425B ．4825C ．1D ．1625【答案】A【解析】方法1：由tan α=sinαcosα=34,cos 2α+sin 2α=1,得{sinα=35cosα=45或{sinα=−35cosα=−45,则sin 2α=2sin αcos α=2425,则cos 2α+2sin 2α=1625+4825=6425．方法2：cos 2α+2sin 2α=2222cos 4sin cos 14tan 13649cos sin 1tan 25116ααααααα+++===+++．故选A ．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值； ②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．37．【2017年高考北京卷理数】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y轴对称．若1sin 3α=，则cos()αβ-=______________． 【答案】79-【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以π2π,k k αβ+=+∈Z ，那么1sin sin 3βα==，22cos cos 3αβ=-=（或22cos cos 3βα=-=）， 所以2227cos()cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-． 【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则π2π,k k αβ+=+∈Z ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2π,k k αβ+=∈Z ，若α与β的终边关于原点对称，则π2π,k k αβ-=+∈Z ．38．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=______________．【答案】−12【解析】因为sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，所以(1−sinα)2+(−cosα)2=1,∴sinα=12,cosβ=12， 因此sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=12×12−cos 2α=14−1+sin 2α=14−1+14=−12．。
高中数学三角函数的诱导公式微课PPT课件
02
诱导公式推导与理解
周期性及对称性质
周期性
三角函数具有周期性，即函数值 在一定周期内重复出现。正弦函 数和余弦函数的周期为$2pi$，正 切函数的周期为$pi$。
对称性质
正弦函数和余弦函数具有轴对称 和中心对称性。正弦函数关于原 点对称，余弦函数关于$y$轴对称 。正切函数具有周期性对称。
奇偶性质
本题主要考察三角方程与 不等式的求解方法。通过 诱导公式和同角三角函数 关系式，我们可以将方程 转化为更简单的形式进行 求解。
求不等式 sin^2x - 3sinx + 2 < 0 的解集。
本题主要考察三角函数不 等式的求解方法。通过诱 导公式和因式分解等方法 ，我们可以将不等式转化 为更简单的形式进行求解 。
弧度。
角度与弧度的转换公式
03
1度=π/180弧度，1弧度=180/π度。
任意角三角函数定义
正弦函数sinx
正切函数tanx
在直角三角形中，任意锐角的对边与 斜边的比值。
在直角三角形中，任意锐角的对边与 邻边的比值。
余弦函数cosx
在直角三角形中，任意锐角的邻边与 斜边的比值。
三角函数性质与图像
05
课堂小结与拓展延伸
总结本节课所学知识点和技能点
掌握了三角函数的基本概念和性质，包括正弦、余弦、正切等函数的定义域、值域 、周期性、奇偶性等；
学习了三角函数的诱导公式，包括和差化积、积化和差、倍角公式等，能够灵活运 用这些公式进行三角函数的化简和计算；
通过例题和练习，提高了分析问题和解决问题的能力，培养了数学思维和逻辑推理 能力。
强调诱导公式在解题中的重要性
诱导公式是三角函数中的重要内 容，它可以将复杂的三角函数式 化简为简单的形式，从而方便求
5.2.3诱导公式 2023-2024学年高一上学期数学湘教版 必修第一册
(1) 计 算 ： sin21° ＋ sin22° ＋ sin23° ＋ … ＋ sin289° ＝
________．
π
1
π
(2)已知sin α − ＝ ，求cos + α 的值．
3
答案：(1)
89
2
2
(2)见解析
6
变式探究 本例(2)中的条件不变，求cos
解析：cos
5π
6
− α ＝cos
π
π
sin
− α ＝ ________
cos α ， cos
2
π
2
sin α
− α ＝ ________
， sin
π
cos
α
－sin α
________，cos + α ＝________
2
要点二
诱导公式六
π
π
－
tan − α ＝________，tan
+ α ＝________．
tan α
tan α + 2kπ = ________，
要点二
诱导公式二
终边关系
图示
角－α与角α的终边关于
x轴
________对称
公式
－sin α
cos α
sin (－α)＝________，cos
(－α)＝________，
tan (－α)＝－tan α
要点三
诱导公式三
终边关系
图示
角π＋α与角α的终边关
(π－α)＝
－cos α
________，
－tan α
tan (π－α)＝________
三角函数诱导公式及记忆方法之欧阳音创编
三角函数诱导公式目录诱导公式的本质常用的诱导公式其他三角函数知识公式推导过程诱导公式的本质常用的诱导公式其他三角函数知识公式推导过程诱导公式的本质所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。
常用的诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ+α）=sinα k∈zcos（2kπ+α）=cosα k∈ztan（2kπ+α）=tanα k∈zcot（2kπ+α）=cotα k∈zsec（2kπ+α）=secα k∈zcsc（2kπ+α）=cscα k∈z公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π+α）=－sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）=tanαcot（π+α）=cotαsec(π+α)=-secαcsc(π+α)=-cscα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosαtan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotαsec(-α)=secαcsc(-α)=-cscα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotαsec(π-α)=-secαcsc(π-α)=cscα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）=－sinαcos（2π－α）=cosαtan（2π－α）=－tanαcot（2π－α）=－cotαsec(2π-α)=secαcsc(2π-α)=-cscα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsec(π/2+α)=-cscαcsc(π/2+α)=secαsin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanαsec(π/2-α)=cscαcsc(π/2-α)=secα推算公式：3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（3π/2+α）=－cosαcos（3π/2+α）=sinαtan（3π/2+α）=－cotαcot（3π/2+α）=－tanαsec(3π/2+α)=cscαcsc(3π/2+α)=-secαsin（3π/2－α）=－cosαcos（3π/2－α）=－sinαtan（3π/2－α）=cotαcot（3π/2－α）=tanαsec(3π/2-α)=-cscαcsc(3π/2-α)=-secα[1]诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。
2019年高考数学(文)考点一遍过 考点13 三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式(含解析)
2019年高考数学（文）考点一遍过考点13 三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式1．任意角的概念、弧度制 （1）了解任意角的概念.（2）了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 2．三角函数（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. （2）能利用单位圆中的三角函数线推导出2απ±，πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出sin ,cos ,tan y x y x y x ===的图象，了解三角函数的周期性.（3）理解同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1x x +=，sin tan cos xx x=.一、角的有关概念 1．定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2．分类（1）按旋转方向不同分为正角、负角、零角． （2）按终边位置不同分为象限角和轴线角．（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合·3{|}60,S k k ββα==+︒∈Z ．3．象限角与轴线角第一象限角的集合为π2π2π,2k k k αα⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 第二象限角的集合为π2π2ππ,2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 第三象限角的集合为3π2ππ2π,2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 第四象限角的集合为3π2π2π2π,.2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z 终边与x 轴非负半轴重合的角的集合为{}2π,k k αα=∈Z ； 终边与x 轴非正半轴重合的角的集合为{}2ππ,k k αα=+∈Z ； 终边与x 轴重合的角的集合为{}π,k k αα=∈Z ；终边与y 轴非负半轴重合的角的集合为π2π,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 终边与y 轴非正半轴重合的角的集合为π2π,2k k αα⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ； 终边与y 轴重合的角的集合为ππ,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 终边与坐标轴重合的角的集合为π,2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ． 二、弧度制1．1弧度的角把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 规定：,ll rα=是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零．2．弧度制用“弧度”做单位来度量角的单位制叫做弧度制．比值lr与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关． 3．弧度与角度的换算180π180πrad ,1rad =57.3,1=rad π180⎛⎫︒=︒≈︒︒ ⎪⎝⎭．4．弧长公式l r α=，其中α的单位是弧度，l 与r 的单位要统一.角度制下的弧长公式为：π180n rl =（其中n 为扇形圆心角的角度数）. 5．扇形的面积公式21122S lr r α==.角度制下的扇形面积公式为：2π360n r S =（其中n 为扇形圆心角的角度数）.三、任意角的三角函数 1．定义设α是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，点(),P x y 是角α的终边上任意一点，P 到原点的距离()0OP r r =>，那么角α的正弦、余弦、正切分别是sin ,cos ,tan y x y r r xααα===． 注意：正切函数tan y x α=的定义域是ππ,2k k αα⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，正弦函数和余弦函数的定义域都是R .2．三角函数值在各象限内的符号三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．三角函数线设角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x轴于M ．由三角函数的定义知，点P 的坐标为()cos ,sin αα，即()cos,s i n P αα，其中cos ,sin ,OM MP αα==单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则t a n AT α=．我们把有向线段,,OM MP AT 分别叫做α的余弦线、正弦线、正切线．各象限内的三角函数线如下：4．特殊角的三角函数值22222- 2- 补充：sin15cos 75,sin 75cos15,44︒=︒=︒=︒= tan152tan 752︒=-︒=四、同角三角函数的基本关系式 1．平方关系22sin cos 1αα+=．2．商的关系sin cos tan ααα=． 3．同角三角函数基本关系式的变形（1）平方关系的变形：2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；（2）商的关系的变形：sin sin tan cos ,cos tan αααααα=⋅=； （3）2222111tan 1,1cos sin tan αααα-=-=．五、三角函数的诱导公式考向一 三角函数的定义1．利用三角函数的定义求角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x 、纵坐标y 、该点到原点的距离r .若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．2．利用三角函数线解三角不等式的步骤：①确定区域的边界；②确定区域；③写出解集．3．已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标． 4．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况.典例1 已知角θ的终边上有一点P （m ），且sin θ=，求cos θ与tan θ的值.【名师点睛】任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P 的位置无关．若角α已经给出，则无论点P 选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的．1．已知角的终边经过点,其中,则等于A ．B ．C ．D ．考向二 象限角和终边相同的角的判断及表示方法1．已知θ所在的象限，求nθ或n θ（n ∈N *）所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式（含有k ）表示，然后两边同除以n 或乘以n ，再对k 进行讨论，得到nθ或n θ（n ∈N *）所在的象限．2．象限角的判定有两种方法：一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；二是先将此角化为k ·360°＋α（0°≤α<360°，k ∈Z ）的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角．3．由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解.典例2 已知sin325α=,4cos 25α=- ,试确定角α是第几象限的角.【名师点睛】角2α与α所在象限的对应关系： 若角α是第一象限角，则2α是第一象限角或第三象限角；若角α是第二象限角，则2α是第一象限角或第三象限角； 若角α是第三象限角，则2α是第二象限角或第四象限角； 若角α是第四象限角，则2α是第二象限角或第四象限角．2．若，tan 0sin θθ>，则角是 A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角考向三 同角三角函数基本关系式的应用1．利用22sin +cos 1αα=可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin cos tan ααα=可以实现角α的弦切互化． 2．sin ,cos αα的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin ,cos αα的齐次式，或含有22sin ,cos αα及sin cos αα的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“22sin +cos 1αα=”代换后转化为“切”后求解.典例3 已知，.（1）当时，求的值；（2）当时，求的值.【解析】（1）由已知得，所以，∴，又，∴，∴. （2）当时，.①方法1：，∴，∴， ∵，∴.② 由①②可得，，∴.方法2：，∴，∴，∴或，又，∴，∴，∴.3．已知角的始边与轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点，则s i n 2c o ss i n c o sαααα+=-__________．考向四 诱导公式的应用1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值． 2．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似πk α±的形式时，需要对k 的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负． 3．利用诱导公式化简三角函数式的思路： （1）分析结构特点，选择恰当公式； （2）利用公式化成单角三角函数； （3）整理得最简形式．利用诱导公式化简三角函数式的要求： （1）化简过程是恒等变形；（2）结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值． 4．巧用相关角的关系能简化解题的过程．常见的互余关系有π3α-与π6α+，π3α+与π6α-，π4α+与π4α-等； 常见的互补关系有π3θ+与2π3θ-，π4θ+与3π4θ-等.典例4 已知()2sin π3α-=-,且π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()tan 2πα-=A B ．C D ． 【答案】A【解析】∵()2sin π3α-=-，∴2sin 3α=-.∵π,02α⎛⎫∈-⎪⎝⎭，∴cos α=，则tan α=.∵()tan 2πtan αα-=-，∴()tan 2π5α-=.故选A ． 典例5 （1）化简：()()()()()()sin πcos 3πtan πtan 2πtan 4πsin 5πa ααααα------+；（2）化简：()()()()()()sin 540cos 360tan 540tan tan 900sin x x x x x x ︒-︒-⋅︒+⋅-⋅︒--.【解析】（1）()()()()()()()()()()sin πcos 3πtan πtan 2πsin cos tan tan tan 4πsin 5πtan sin a ααααααααααα-------=-+--=cos tan sin ααα==.（2）原式()()2sin cos tan tan cos sin tan sin x xx x x x x x =⋅-⋅=-⋅=---.4．已知角α的终边经过点()3,4P . （1）求()tan πα-的值；（2. 考向五 同角三角函数的基本关系式、诱导公式在三角形中的应用与三角形相结合时，诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：πA B C +=-,222π2A B C +=-，π2222A B C ++=等，于是可得in i (s s n )A B C =+，cos sin 22A B C+=等．典例6 在ABC △中，内角，，所对的边分别是，，，若，π3C =，，则______，________. 【答案】35，5．在ABC △中，sin cos 2A A +=，求的值．1．与终边相同的角为A ．B ．C ．D ．2．若角的顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是A ．B ．C ．D ．3．已知扇形面积为3π8，半径是l ，则扇形的圆心角是 A ．3π16 B ．3π8 C ．3π4D ．3π24．已知，且，则角是A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角5．若tan 0α>，则A ．sin 0α>B ．cos 0α>C ．sin 20α>D ．cos20α>6．若()()sin 3sin παβαβ+=-+，tan tan αβ= A ．2 B ．12 C ．3D ．137．在平面直角坐标系中，若角α，则()sin πα+= A．B ．12-C ．12D8A ．12B ．13C ．16D ．16-9．若，，则的值为 A ．B ．C ．D ．10．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则__________，__________．11．在平面直角坐标系中,点的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭,是第三象限内一点,,且3π4POQ ∠=,则点的横坐标为_________. 12．已知π(0)2αα<<的终边与单位圆交于点P ,点P 关于直线y x =对称后的点为M ,点M 关于y 轴对称后的点为N ,设角β的终边为射线ON.（1）β与α的关系为_________;（2）若1sin 3α=,则tan β=________. 13． 在ABC △sin()3sin()2A A π-=π-，且cos Acos （π－B ），则C 等于 ．14．化简：（1）；（2）()()()()()πsin 2πcos πcos 2sin πsin 3πcos παααααα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭-+--.15．已知.(1)求的值；(2)求()()()πsin π2cos 2sin cos παααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭-+-的值.16．已知向量2,sin θ=（）a 与1,cos θ=（）b 互相平行，其中θ∈(0,)2π.（1）求sin θ和cos θ的值； （2）若sin （θ－φ，0<φ<2π，求cos φ的值．1．【答案】B2．【答案】D 【解析】由，得，又，所以，所以为第四象限角，选D ．3．【答案】10【解析】根据角的终边过，利用三角函数的定义可以求得4tan 3α=， 所以有4102sin 2cos tan 2331041sin cos tan 1133αααααα+++====---，故答案是10.4．【解析】因为角α的终边经过点()3,4P ，设3x =，4y =，则5r ==，所以4sin 5y r α==，3cos 5x r α==，4tan 3y x α==. （1）()tan πtan αα-=-43=-；（2224sin 5α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1625=-.5．【解析】∵sin cos A A += ①，∴()21sin cos 2A A +=，即，∴．∵，∴，．∴． ∵()23sin cos 12sin cos 2A A A A -=-=，∴ ②．①+②，得sin A =． ①−②，得cos 4A -=．∴sin tan 2cos A A A ===-1．【答案】C【解析】120°角的终边位于第二象限，240°角的终边位于第三象限，很明显30°角与60°角终边不相同，而，故-300°的终边与60°的终边相同.故选C.2．【答案】D 【解析】由题意可得，则角的取值集合是.故选D.3．【答案】C【解析】设扇形的圆心角是α，则23π1182α=⨯，解得3π4α=，故选C ． 4．【答案】D 【解析】由可知，结合可得：，即，据此可得角是第四象限角.故选D.5．【答案】C【解析】由tan 0α>得α是第一、三象限角，若α是第三象限角，则A ，B 错；由sin 22sin cos ααα=知sin 20α>，C 正确；α取π3时，2211cos 22cos 12()1022αα=-=⨯-=-<，D 错． 6．【答案】A【解析】因为()()sin 3sin παβαβ+=-+，所以sin cos 2cos sin ,αβαβ=即tan 2tan αβ=，选A ． 7．【答案】B1 2，即12P⎛⎫⎪⎪⎝⎭，由三角函数的定义可得：11sin2α==，则()sinπα+故选B.8．【答案】D【解析】(sin3π+，即sin2cosαα=，)π4sinα--D．9．【答案】C【解析】由诱导公式得，两边平方得，则，所以，又因为，所以，所以，故选C．10．【答案】，0【解析】∵角的顶点与坐标原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边过点，11．【答案】10-【解析】设xOPα∠=,则34cos,sin55αα==,Q点的横坐标为3πcos4α⎛⎫+=⎪⎝⎭. 12．【答案】（1（2）-【解析】（1）由题意可得点P为单位圆上的点，并且以射线OP为终边的角的大小为α，所以(cos,sin),Pαα又因为P M，两点关于直线y x=对称，所以(sin,cos)Mαα．（2）βα=+π0,sin2α<<∴故sin tan cos βββ==-14．【解析】（1）；（2）()()()()()()()()()πsin 2πcos πcos sin cos sin 21sin πsin 3πcos πsin sin cos αααααααααααα⎛⎫+++ ⎪--⎝⎭==-+---- .15．【解析】(1)因为,所以.(2)()()()π4sin π2cos 3sin 2sin 3sin 251243sin cos πsin cos sin cos 55ααααααααααα⎛⎫---⨯⎪--⎝⎭====-+---+-. 16．【解析】（1）∵a 与b 互相平行，∴sin θ＝2cos θ，代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，可得cos θ＝5±， 又θ∈(0,)2π，∴cos θ＝5，∴sin θ＝5. （2）∵0<φ<2π，0<θ<2π，∴－2π<θ－φ<2π， 又sin （θ－φ）＝10，∴cos （θ－φ10，∴cosφ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cosθcos（θ－φ）＋sinθsin（θ－φ）.。
2019年高考数学(文)热点题型和提分秘籍专题13 同角三角函数的基本关系与诱导公式题型专练含解析
1.cos 的值是 ( ) A.-B.C.D.-【答案】C 【解析】cos=cos=cos =.2.已知α∈(0，π)，且sinα+cosα=，则sinα-cosα的值为 ( ) A.-B.-C.D.【答案】D3.设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数，若f(2015)=-1，那么f(2016)等于 ( ) A.-1B.0C.1D.2【答案】C【解析】因为f(2015)=asin(2015π+α)+bcos(2015π+β)=-asinα- bcosβ=-1，所以f(2016)=asin(2016π+α)+bcos(2016π+β)=asinα+ bcosβ=1. 4.若tanα=2，则的值是 ( ) A.-B.-C.D.【答案】A.【解析】由tanα=2，则==-.9． sin 2 040°＝( ) A ．－12B ．－32C ．12D ．32【答案】B【解析】 sin 2 040°＝sin(6×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin 120°＝－sin 60°＝－32. 10．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C ．π6D ．π3【答案】D【解析】∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.11．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2等于( ) A ．45B ．－45C ．35D ．－35【答案】B12．已知sin θ＋cos θ＝43⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为( ) A ．23 B ．－23C ．13D ．－13【答案】B【解析】 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴1＋2sin θcos θ＝169，∴2sin θcos θ＝79.又0＜θ＜π4，故sin θ－cos θ＝－θ－cos θ2＝－1－2sin θcos θ＝－23，故选B. 13．已知倾斜角为θ的直线与直线x －3y ＋1＝0垂直，则23sin 2θ－cos 2θ＝( ) A ．103B ．－103C ．1013D ．－1013【答案】C14．已知tan x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，则sin x ＝( ) A ．－1±52 B.3＋12C ．5－12D ．3－12【答案】C【解析】因为tan x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，所以tan x ＝cos x ，所以sin x ＝cos 2x ，sin 2x ＋sin x －1＝0，解得sin x ＝－1±52， 因为－1≤sin x ≤1，所以sin x ＝5－12. 15．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝________. 【答案】44．5【解析】因为sin(90°－α)＝cos α，所以当α＋β＝90°时，sin 2α＋sin 2β＝sin 2α＋cos 2α＝1， 设S ＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°， 则S ＝sin 289°＋sin 288°＋sin 287°＋…＋sin 21°两个式子相加得2S ＝1＋1＋1＋…＋1＝89，S ＝44.5.16．已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15，则tan α＝________.【答案】－4317．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α·1＋1tan 2α＝________.【答案】0 【解析】原式＝cos α1＋sin 2αcos 2α＋sin α1＋cos 2αsin 2α＝cos α1cos 2α＋sin α1sin 2α＝cos α⎝⎛⎭⎫1－cos α＋sin α1sin α＝0. 【答案】-24.在△ABC 中，若sin=-sincos=-cos，求这个三角形的内角.25.已知θ是三角形中的最小角，并且满足关于θ的方程cos2θ+2msinθ-2m-2=0有实数解，求实数m的取值范围.【解析】因为θ是三角形中的最小角，所以0<θ≤，0<sinθ≤，设t=sinθ，则t∈，所以cos2θ+2msinθ-2m-2=0等价于-t2+2mt-2m-1=0，即2m=，t∈;构造函数f=，t∈，求导数f′==<0，所以f在上是减函数，所以f∈，所以实数m的取值范围为.26．已知f (α)＝.(1)化简 f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α＝15， ∴sin α＝－15，7分又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，故f (α)＝265.12分。
2019年高考数学(文)热点题型和提分秘籍专题13同角三角函数的基本关系与诱导公式(教学案)含解析
1．.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α 正弦、余弦、正切的诱导公式热点题型一 三角函数的诱导公式 例1、（2018年全国卷Ⅱ）已知，则__________．【答案】【解析】，解方程得。
【变式探究】【2017北京】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，cos()αβ-=___________. 【答案】79-【变式探究】(1)计算：2sin ⎝⎛⎭⎫－316π＋cos12π＋tan 7π4＝________。
(2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝________。
(3)已知f (x )＝－x⎝⎛⎭⎫32π＋x －x⎝⎛⎭⎫112π－x ，则f ⎝⎛⎭⎫－21π4＝________。
【答案】（1）1（2）－23（3）－1【解析】(1)原式＝2sin ⎝⎛⎭⎫－6π＋56π＋1＋ tan ⎝⎛⎭⎫2π－π4 ＝2sin 56π＋1－tan π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π－π6＋1－1 ＝2sin π6＝1。
【答案】B热点题型三 两类公式在三角形中的应用例3．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角。
【提分秘籍】1．诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：A ＋B ＝π－C ，2A ＋2B ＝2π－2C ，A 2＋B 2＋C 2＝π2等，于是可得sin(A ＋B )＝sin C ，cos A ＋B 2＝sin C2等；2．求角时，通常是先求出该角的某一个合适的三角函数值，再结合其范围，确定该角的大小。
【举一反三】已知θ为△ABC 的一个内角，且sin θ＋cos θ＝m ，若m ∈(0，1)，则关于△ABC 的形状的判断，正确的是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．三种形状都有可能【解析】∵sinθ＋cosθ＝m，∴1＋2sinθcosθ＝m2，∵m∈(0，1)，∴2sinθcosθ＝m2－1＜0，∵0＜θ＜π，∴sinθ＞0，cosθ＜0，∴θ为钝角。
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cos 3π 2 2
__________．
π 9．已知 a R ，则 “cos
2
0 ”是 “ 是第三象限角 ”的
A ．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
10．已知
π 3π
,
， a sin ， b cos ， c tan ，那么 a,b, c 的大小关系是
24
A．a b c
4 ，则 cos
2sin 2 48
B．
25 16
D．
25
16．（ 2017 北京理）在平面直角坐标系 xOy 中，角 α与角 β均以 Ox 为始边，它们的终边关于
sin
1 ，则 cos(
3
) =___________.
17．（ 2018 新课标 Ⅱ理 ） 已知 sin α cos β 1， cosα sin β 0 ，则 sin(α β) __________．
B． b a c
C． a c b
11．由射线 y
16
A．
65 56
C．
65
4 x（ x 3
0 ）逆时针旋转到射线
D． c a b
y
5 x（ x
12
16
B．
65
56
D．
65
0 ）的位置所成角为
，则 cos
12．已知直线 l 过点 2,0 且倾斜角为
2
，若 l 与圆 x 3
y2
20 相切，则 sin 3π 2
2
C． |
π kπ , k Z
2
D． |
kπ ,k Z
2
4．已知角 的终边经过点 m, 2m ,其中 m 0 ,则 sin cos 等于
5
A．
5 3
C．
5
5．已知
0, π ,cos
5
B．
5 3
D．
5
π
2 ，则 tan2 ＝
62
3
A．
3 C． 3
3
B．
3 D． 3
1
π
6．已知
2
1
1
0 ， sin
cos
5 ，则 cos2 sin 2 的值为
7
A．
5
25
B．
7
7
C．
25
24
D．
25
7．已知扇形 OAB 的圆．心．角．为 8 rad ，其面积是 4 cm2,则该扇形的周．长．是
A ． 10 cm
B．4 cm
C． 8 2 cm
D． 4 2 cm
8．已知直线 x 2ytan
1 1 0 的斜率为 ，则 cos2
1． cos750 3
A．
2
1
B．
2
3
C．
2
2．若 sin cos
tan 0，
sin
A ．第一象限角
0 ，则角 是
1
D．
2
B．第二象限角
C．第三象限角 3．顶点为坐标原点，始边在
D．第四象限角
x 轴的非负半轴上，终边在 y 轴上的角
的集合是
A． |
π 2kπ , k Z
2
B． |
π 2kπ , k Z
2
3
A．
5 4
C．
5
ห้องสมุดไป่ตู้
3
B．
5 4
D．
5
2
13． 为第三象限角， tan
π 1 ，则 sin cos 43
3
A．
5
5
3 C． 5
5
1
B．
5
5
1 D． 5
5
4
14．若 sin cos
，且
3 π, π ，则 sin π
cos π
.
3
4
15．（ 2016 新课标 Ⅲ理）若 tan 64
A．
25
C． 1
3
2
y 轴对称 .若
3