高中数学三角函数公式大全 (1)
高中数学-三角函数公式汇总

高中数学-三角函数公式汇总以下是高中数学三角函数公式的汇总:一、任意角的三角函数:在角α的终边上任取一点P(x,y),记:r=x²+y²正弦:sinα=y/r余弦:cosα=x/r正切:tanα=y/x余切:cotα=x/y正割:secα=r/x余割:cscα=r/y注:我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数,如图,与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。
二、同角三角函数的基本关系式:倒数关系:sinα·cscα=1,cosα·secα=1,tanα·cotα=1.商数关系:tanα=sinα/cosα,cotα=cosα/sinα。
平方关系:sin²α+cos²α=1,1+tan²α=sec²α,1+cot²α=csc²α。
三、诱导公式:⑴ α+2kπ(k∈Z)、-α、π+α、π-α、2π-α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。
(口诀:函数名不变,符号看象限)⑵π/3+α、π/3-α、π-α、π+α的三角函数值,等于α的异名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。
(口诀:函数名改变,符号看象限)四、和角公式和差角公式:sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβsin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβcos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)五、二倍角公式:sin2α=2sinα·cosαcos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α…(∗)tan2α=2tanα/(1-tan²α)二倍角的余弦公式(∗)有以下常用变形:(规律:降幂扩角,升幂缩角)1+cos2α=2cos²α1-cos2α=2sin²α1+sin2α=(sinα+cosα)²1-sin2α=(sinα-cosα)²cos2α=(1+cos2α)/(1-cos2α)sin2α=(1-cos2α)/(1+cos2α)tanα=sin2α/(1+cos2α)1.根据公式,cos2α=sin2α=tan2α=1/(1+tan2α),tanα可以用半角的正切表示。
高中数学三角函数公式大全全解

高中数学三角函数公式大全全解三角函数公式1.正弦定理:$a/\sin A=b/\sin B=c/\sin C=2R$($R$为三角形外接圆半径)。
2.余弦定理:$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$。
$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$。
$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。
3.海伦公式:$S_{\triangle}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$。
其中$p=(a+b+c)/2$,$S_{\triangle}$为三角形面积。
4.诱导公式:奇变偶不变,符号看象限。
sin(-\alpha)=-\sin\alpha$,$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$,$\cos(-\alpha)=\cos\alpha$,$\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$,$\tan(-\alpha)=-\tan\alpha$,$\tan(\pi-\alpha)=\tan\alpha$,$\cot(-\alpha)=-\cot\alpha$,$\cot(\pi-\alpha)=-\cot\alpha$。
5.和差角公式:sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta $,$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$,$\tan(\alpha\pm\beta)=(\tan\alpha\pm\tan\beta)/(1\mp\tan\alpha\tan \beta)$。
6.二倍角公式:(含万能公式)sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta=2\tan\theta/(1+\tan^2\theta)$,$\cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=1-2\sin^2\theta= (1-\tan^2\theta)/(1+\tan^2\theta)$,$\tan 2\theta=2\tan\theta/(1-\tan^2\theta)$。
高中三角函数公式汇总与解析

高中三角函数公式汇总与解析【引言】三角函数是高中数学中的一大重点内容,掌握三角函数的公式是学好数学的基础。
本文将对高中三角函数的公式进行汇总与解析,以帮助读者更好地理解和运用这些公式。
【正文】一、角度与弧度的转换在三角函数中,角可以用度数表示,也可以用弧度表示。
两者之间的转换关系如下:1度=π/180弧度1弧度=180/π度二、基本三角函数公式1. 正弦函数(sin)①定义域:实数集R②值域:[-1,1]③周期性:T=2π④奇偶性:a. sin(-x) = -sin(x)b. sin(x+π) = -sin(x)2. 余弦函数(cos)①定义域:实数集R②值域:[-1,1]③周期性:T=2π④奇偶性:a. cos(-x) = cos(x)b. cos(x+π) = -cos(x)3. 正切函数(tan)①定义域:x≠(2k+1)π/2,其中k为整数②值域:实数集R③周期性:T=π④奇偶性:a. tan(-x) = -tan(x)b. tan(x+π) = tan(x)三、和差角公式1.正弦函数:sin(A±B) = sin(A)cos(B)±cos(A)sin(B) 2.余弦函数:cos(A±B) = cos(A)cos(B)∓sin(A)sin(B)tan(A±B) = (tan(A)±tan(B))/(1∓tan(A)tan(B))四、倍角公式1.正弦函数:sin(2A) = 2sin(A)cos(A)2.余弦函数:cos(2A) = cos²(A) - sin²(A) = 2cos²(A) - 1 = 1 - 2sin²(A) 3.正切函数:tan(2A) = (2tan(A))/(1 - tan²(A))五、半角公式1.正弦函数:sin(A/2) = ±√[(1-cos(A))/2]2.余弦函数:cos(A/2) = ±√[(1+cos(A))/2]3.正切函数:tan(A/2) = ±√[(1-cos(A))/(1+cos(A))]六、倒数公式1.正弦函数:csc(A) = 1/sin(A)sec(A) = 1/cos(A)3.正切函数:cot(A) = 1/tan(A)七、和角公式1.正弦函数:sin(A) + sin(B) = 2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)2.余弦函数:cos(A) + cos(B) = 2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)3.正切函数:tan(A) + tan(B) = (sin(A)+sin(B))/(cos(A)+cos(B))【结论】本文对高中三角函数的公式进行了汇总与解析,包括角度与弧度的转换、基本三角函数公式、和差角公式、倍角公式、半角公式、倒数公式和和角公式。
高中数学 三角函数

高中数学:三角函数一、概述三角函数是高中数学的一个重要组成部分,是解决许多数学问题的关键工具。
它涉及的角度、边长、面积等,都是几何和代数的核心元素。
通过学习三角函数,我们可以更好地理解图形的关系,掌握数学的基本概念。
二、三角函数的定义三角函数是以角度为自变量,角度对应的边长为因变量的函数。
常用的三角函数包括正弦函数(sine)、余弦函数(cosine)和正切函数(tangent)。
这些函数的定义如下:1、正弦函数:sine(θ) = y边长 / r (其中,θ是角度,r是从原点到点的距离)2、余弦函数:cosine(θ) = x边长 / r3、正切函数:tangent(θ) = y边长 / x边长三、三角函数的基本性质1、周期性:正弦函数和余弦函数都具有周期性,周期为 2π。
正切函数的周期性稍有不同,为π。
2、振幅:三角函数的振幅随着角度的变化而变化。
例如,当角度增加时,正弦函数的值也会增加。
3、相位:不同的三角函数具有不同的相位。
例如,正弦函数的相位落后余弦函数相位π/2。
4、奇偶性:正弦函数和正切函数是奇函数,余弦函数是偶函数。
5、导数:三角函数的导数与其自身函数有关。
例如,正弦函数的导数是余弦函数,余弦函数的导数是负的正弦函数。
四、三角函数的实际应用三角函数在现实生活中有着广泛的应用,包括但不限于以下几个方面:1、物理:在物理学中,三角函数被广泛应用于描述波动、振动、电磁场等物理现象。
例如,简谐振动可以用正弦或余弦函数来描述。
2、工程:在土木工程和机械工程中,三角函数被用于计算角度、长度等物理量。
例如,在桥梁设计、建筑设计等过程中,需要使用三角函数来计算最佳的角度和长度。
3、计算机科学:在计算机图形学中,三角函数被用于生成二维和三维图形。
例如,使用正弦和余弦函数可以生成平滑的渐变效果。
4、金融:在金融学中,三角函数被用于衍生品定价和风险管理。
例如,Black-Scholes定价模型就使用了正态分布(一种特殊的三角函数)。
高三数学三角函数公式

高三数学三角函数公式高三数学三角函数公式大全sinα=∠α的对边/斜边cosα=∠α的邻边/斜边tanα=∠α的对边/∠α的邻边cotα=∠α的邻边/∠α的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA?-SinA?=1-2SinA?=2CosA?-1tan2A=(2tanA)/(1-tanA?)(注:SinA?是sinA的平方sin2(A))三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina三角函数辅助角公式Asinα+Bcosα=(A?+B?)’(1/2)sin(α+t),其中sint=B/(A?+B?)’(1/2)cost=A/(A?+B?)’(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A?+B?)’(1/2)cos(α-t),tant=A/B 降幂公式sin?(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos?(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan?(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))三角函数推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos?α1-cos2α=2sin?α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)?=2sina(1-sin?a)+(1-2sin?a)sina=3sina-4sin?acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos?a-1)cosa-2(1-sin?a)cosa=4cos?a-3cosasin3a=3sina-4sin?a=4sina(3/4-sin?a)=4sina[(√3/2)?-sin?a]=4sina(sin?60°-sin?a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina__2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]__2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos?a-3cosa=4cosa(cos?a-3/4)=4cosa[cos?a-(√3/2)?]=4cosa(cos?a-cos?30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa__2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]__{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)三角函数半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin?(a/2)=(1-cos(a))/2cos?(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))三角函数三角和sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)三角函数两角和差cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)三角函数和差化积si nθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 三角函数积化和差sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2三角函数诱导公式sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(—a)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαsin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαsin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαsin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtanA=sinA/cosAtan(π/2+α)=-cotαtan(π/2-α)=cotαtan(π-α)=-tanαtan(π+α)=tanα诱导公式记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+tan’(α/2)]cosα=[1-tan’(α/2)]/1+tan’(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan’(α/2)]其它公式(1)(sinα)?+(cosα)?=1(2)1+(tanα)?=(secα)?(3)1+(cotα)?=(cscα)?证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)?,第二个除(cosα)?即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtan B)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA)?+(cosB)?+(cosC)?=1-2cosAcosBcosC(8)(sinA)?+(sinB)?+(sinC)?=2+2cosAcosBcosC(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π__2/n)+sin(α+2π__3/n)+……+sin[α+2π__( n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π__2/n)+cos(α+2π__3/n)+……+cos[α+2π__(n-1)/n]=0以及sin?(α)+sin?(α-2π/3)+sin?(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0高三数学学习技巧一、用好课本:侧重以下几个方面1.对数学概念重新认识,深刻理解其内涵与外延,区分容易混淆的概念。
高中数学三角函数常用公式

高中数学三角函数常用公式三角函数是高中数学中非常重要的内容,掌握了三角函数的常用公式,能够对解题提供很大的帮助。
下面是一些常用的三角函数公式。
1.基本公式:正弦函数(sin):sin(A+B) = sinA * cosB + cosA * sinBsin(A-B) = sinA * cosB - cosA * sinBsin2A = 2 * sinA * cosA余弦函数(cos):cos(A+B) = cosA * cosB - sinA * sinBcos(A-B) = cosA * cosB + sinA * sinBcos2A = cos^2A - sin^2A = 2cos^2A-1 = 1-2sin^2A正切函数(tan):tan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA * tanB)2.万能公式:sinA = 2tan(A/2) / (1 + tan^2(A/2))cosA = (1 - tan^2(A/2)) / (1 + tan^2(A/2))tanA = 2tan(A/2) / (1 - tan^2(A/2))3.诱导公式:s in(π/2 - A) = cosAcos(π/2 - A) = sinAtan(π/2 - A) = 1 / tanAcot(π/2 - A) = 1 / tanAsec(π/2 - A) = 1 / cosAcsc(π/2 - A) = 1 / sinA 4.任意角公式:sin(-A) = -sinAcos(-A) = cosAtan(-A) = -tanAtan(A + π) = tanAsin(π - A) = sinAcos(π - A) = -cosAsin(A + π) = -sinAcos(A + π) = -cosAsin(2π -A) = -sinAcos(2π - A) = cosAsin(A + 2π) = sinAcos(A + 2π) = cosA5.等差关系:sin(A + nπ) = sinAcos(A + nπ) = cosAtan(A + nπ) = tanA6.倍角公式:sin(2A) = 2sinAcosAcos(2A) = cos^2A - sin^2A = 2cos^2A - 1 = 1 - 2sin^2Atan(2A) = (2tanA) / (1 - tan^2A)7.半角公式:sin(A/2) = ±√((1 - cosA) / 2)cos(A/2) = ±√((1 + cosA) / 2)tan(A/2) = ±√((1 - cosA) / (1 + cosA))8.三角恒等式:sin^2A + cos^2A = 11 + tan^2A = sec^2A1 + cot^2A = csc^2A这些是高中数学中常用的三角函数公式,掌握了这些公式,能够在解题过程中准确、快速地计算三角函数的值,帮助解决许多复杂的问题。
高中数学常用的三角函数公式

高中数学常用的三角函数公式高中三角函数公式:倍角公式Sin2A=2SinA·CosA。
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1。
tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A))高中三角函数公式:半角公式sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα。
高中三角函数公式:两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)高中三角函数公式:三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)^3;cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA高中三角函数公式:和差化积sin(a)+sin(b) = 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] sin(a)-sin(b) = 2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] cos(a)+cos(b) = 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] cos(a)-cos(b) = -2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB高中三角函数公式:积化和差sin(a)sin(b) = -1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b) = 1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]sin(a)cos(b) = 1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]cos(a)sin(b) = 1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)]高中三角函数公式:诱导公式sin(-a) = -sin(a)cos(-a) = cos(a)sin(π/2-a) = cos(a)cos(π/2-a) = sin(a)sin(π/2+a) = cos(a)cos(π/2+a) = -sin(a)sin(π-a) = sin(a)cos(π-a) = -cos(a)sin(π+a) = -sin(a)cos(π+a) = -cos(a)tgA=tanA = sinA/cosA高中三角函数公式:万能公式sin(a) = [2tan(a/2)] / {1+[tan(a/2)]^2}cos(a) = {1-[tan(a/2)]^2} / {1+[tan(a/2)]^2}tan(a) = [2tan(a/2)]/{1-[tan(a/2)]^2}高中三角函数公式:其它公式a?sin(a)+b?cos(a) = [√(a^2+b^2)]*sin(a+c) [其中,tan(c)=b/a] a?sin(a)-b?cos(a) = [√(a^2+b^2)]*cos(a-c) [其中,tan(c)=a/b] 1+sin(a) = [sin(a/2)+cos(a/2)]^2;1-sin(a) = [sin(a/2)-cos(a/2)]^2;;高中三角函数公式:其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a)sec(a) = 1/cos(a)。
高中数学三角函数公式总表

⒔积化和差公式:
3
sin cos
1 sin( ) sin( ) cos sin 1 sin( ) sin( ) 2 2 1 1 cos cos cos( ) cos( ) sin sin cos( ) cos 2 2
tg tg 1 tg tg
② cos( ) cos cos sin sin ④ tg tg tg( )(1 tg tg )
2
⑤ tg ( )
tg tg tg tg tg tg 其中当 A+B+C=π 时,有: 1 tg tg tg tg tg tg
⒊ 余 弦 定 理 : a 2 =b 2 +c 2 -2bc cos A c 2 =a 2 +b 2 -2ab cos C
2 2 2 2
⒋S⊿= 1 a ha = 1 ab sin C = 1 bc sin A = 1 ac sin B = abc =2R 2 sin A sin B sin C
3tg tg 3 ③ tg 3 tg tg (60 ) tg (60 ) 1 3tg 2
⒓半角公式: (符号的选择由 所在的象限确定) ① sin
2
2
1 cos 2
1 cos 2
② sin 2
2
1 cos 2
③ cos
2 2
T
依点 x, y 作图 ⒏诱导公试 sin -
-
+
cos
tg
ctg - ctg - ctg + ctg - ctg + ctg
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
三角函数1. ①与α(0°≤α<360°)终边相同的角的集合(角α与角β的终边重合):{}Z k k ∈+⨯=,360|αββο②终边在x 轴上的角的集合: {}Z k k ∈⨯=,180|οββ ③终边在y 轴上的角的集合:{}Z k k ∈+⨯=,90180|οοββ ④终边在坐标轴上的角的集合:{}Z k k ∈⨯=,90|οββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合:{}Z k k ∈+⨯=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合:{}Z k k ∈-⨯=,45180|οοββ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系:βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称,则角α与角β的关系:βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系:βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系:οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系:360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式: 1rad =π180°≈57.30°=57°18ˊ. 1°=180π≈0.01745(rad )3、弧长公式:r l ⋅=||α. 扇形面积公式:211||22s lr r α==⋅扇形4、三角函数:设α是一个任意角,在α的终边上任取(异于原点的)一点P (x,y )P 与原点的距离为r ,则=αsin rx=αcos ; x y =αtan ; yx =αcot ; x r =αsec ;. αcsc 5、三角函数在各象限的符号:正切、余切余弦、正割正弦、余割6、三角函数线正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT.SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域8、同角三角函数的基本关系式:αααtan cos sin =αααcot sin cos =1cot tan =⋅αα 1sin csc =α⋅α 1cos sec =α⋅α1cos sin 22=+αα 1tan sec 22=-αα 1cot csc 22=-αα9、诱导公式:2k παα±把的三角函数化为的三角函数,概括为: “奇变偶不变,符号看象限”三角函数的公式:(一)基本关系公式组二 x x k x x k xx k x x k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππ公式组三x x x x xx x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=-公式组一sin x ·csc x =1tan x =xx cos sin sin 2x +cos 2x =1cos x ·sec x x =xx sin cos 1+tan 2x =sec 2x tan x ·cot x =1 1+cot 2x =csc 2x =1(3) 若 o<x<2,则sinx<x<tanx16. 几个重要结论:公式组四 x x x x xx x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ公式组五xx x x xx x x cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-ππππ公式组六xx x x xx x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=--=-=-ππππ(二)角与角之间的互换公式组一 公式组二 βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ αααcos sin 22sin =βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ ααα2tan 1tan 22tan -=βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 2cos 12sinαα-±= βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ 2cos 12cos αα+±=βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 公式组三 公式组四 公式组五2tan 12tan 2sin 2ααα+= 2tan 12tan 1cos 22ααα+-= ()()[]()()[]()()[]()()[]βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=-++=cos cos 21sin sin cos cos 21cos cos sin sin 21sin cos sin sin 21cos sin 2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=ααπsin )21cos(-=+ααπsin )21cos(=-ααπcos )21sin(=-ααπcot )21tan(=-2tan 12tan2tan 2ααα-=42675cos 15sin -==οο, ,3275cot 15tan -==οο,. 3215cot 75tan +==οο 42615cos 75sin +==οο2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos2cos cos βαβαβα-+=+2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-ααπcos )21sin(=+ααπcot )21tan(-=+注意:①x y sin -=与x y sin =的单调性正好相反;x y cos -=与x y cos =的单调性也同样相反.一般地,若)(x f y =在],[b a 上递增(减),则)(x f y -=在],[b a 上递减(增).②x y sin =与x y cos =的周期是π.③)sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y (0≠ω)的周期ωπ2=T .2tan xy =的周期为2π(πωπ2=⇒=T T ,如图,翻折无效).④)sin(ϕω+=x y 的对称轴方程是2ππ+=k x (Z k ∈),对称中心(0,πk );)cos(ϕω+=x y 的对称轴方程是πk x =(Z k ∈),对称中心(0,21ππ+k );)tan(ϕω+=x y 的对称中心(0,2πk ). x x y x y 2cos )2cos(2cos -=--=−−−→−=原点对称⑤当αtan ·,1tan =β)(2Z k k ∈+=+ππβα;αtan ·,1tan -=β)(2Z k k ∈+=-ππβα.⑥x y cos =与⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ππk x y 22sin 是同一函数,而)(ϕω+=x y 是偶函数,则)cos()21sin()(x k x x y ωππωϕω±=++=+=.⑦函数x y tan =在R 上为增函数.(×) [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域,x y tan =为增函数,同样也是错误的].⑧定义域关于原点对称是)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定义域关于原点对称(奇偶都要),二是满足奇偶性条件,偶函数:)()(x f x f =-,奇函数:)()(x f x f -=-)奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如:x y tan =是奇函数,)31tan(π+=x y 是非奇非偶.(定义域不关于原点对称)奇函数特有性质:若x ∈0的定义域,则)(x f 一定有0)0(=f .(x ∉0的定义域,则无此性质)⑨x y sin =不是周期函数;x y sin =为周期函数(π=T )x y cos =是周期函数(如图);x y cos =为周期函数(π=T ); 212cos +=x y 的周期为π(如图),并非所有周期函数都有最小正周期,例如:R k k x f x f y ∈+===),(5)(.⑩abb a b a y =+++=+=ϕϕαβαcos )sin(sin cos 22 有y b a ≥+22.三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.函数y =Asin (ωx +φ)的振幅|A|,周期2||T πω=,频率1||2f T ωπ==,相位;x ωϕ+初相ϕ(即当x =0时的相位).(当A >0,ω>0 时以上公式可去绝对值符号),由y =sinx 的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当0<|A|<1)到原来的|A|倍,得到y =Asinx 的图象,叫做振幅变换或叫沿y 轴的伸缩变换.(用y/A 替换y )由y =sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长(0<|ω|<1)或缩短(|ω|>1)到原来的1||ω倍,得到y =sin ω x 的图象,叫做周期变换或叫做沿x 轴的伸缩变换.(用ωx替换x)由y =sinx 的图象上所有的点向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平行移动|φ|个单位,得到y =sin (x +φ)的图象,叫做相位变换或叫做沿x 轴方向的平移.(用x +φ替换x)由y =sinx 的图象上所有的点向上(当b >0)或向下(当b <0)平行移动|b |个单位,得到y =sinx +b 的图象叫做沿y 轴方向的平移.(用y+(-b)替换y )由y =sinx 的图象利用图象变换作函数y =Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0)(x ∈R )的图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延x 轴量伸缩量的区别。
高中数学三角函数常见习题类型及解法1.三角函数恒等变形的基本策略。
(1)常值代换:特别是用“1”的代换,如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。
(2)项的分拆与角的配凑。
如分拆项:sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ;配凑角:α=(α+β)-β,β=2βα+-2βα-等。
(3)降次与升次。