练习题2-31到2-42高等数学 微积分 ppt视频教程
微积分讲解ppt课件
多元函数的表示 方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义 域
使多元函数有意义的自 变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合 。
20
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
22
06
微积分在实际问题中的应用
2024/1/25
23
在物理学中的应用
运动学
描述物体的位置、速度和加速度 之间的关系，通过微积分可以精 确地计算物体的运动轨迹和速度 变化。
力学
研究物体受力作用下的运动规律 ，微积分可用于求解牛顿第二定 律中的加速度和力的关系。
电磁学
分析电场和磁场的分布和变化规 律，微积分可用于求解麦克斯韦 方程组等电磁学基本方程。
2024/1/25
9
微分法则与运算技巧
微分的基本法则
包括和差微分法则、乘积 微分法则、商微分法则等 。
微分运算技巧
换元法、分部积分法、有 理化分母等，用于简化复 杂的微分运算。
隐函数与参数方程
对于无法直接求解的隐函 数和参数方程，可通过微 分法求解其导数。
微分的应用
在几何、物理、经济等领 域中的应用，如求曲线的 切线、求速度加速度、求 边际效应等。
全微分的定义
如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依赖 于Δx, Δy而仅与x,y有关，ρ=(Δx^2+Δy^2)^0.5，则称函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，AΔx+BΔy称为函数 z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分。
高等数学训练教程第二版课后练习题含答案
高等数学训练教程第二版课后练习题含答案简介“高等数学训练教程”是为大学高等数学教学补充而设计的辅导材料。
本教程第二版的课后习题数量更加丰富，难度也更加适合大学生群体。
同时，本教程还提供习题答案及解析，方便同学们自我检验和提高。
内容本教程分为10章，分别是：1.第一章：数列与级数2.第二章：函数极限与连续3.第三章：一元函数微分学4.第四章：一元函数积分学5.第五章：微积分基本公式与常微分方程6.第六章：重积分与曲线积分7.第七章：空间解析几何8.第八章：多元函数微分学9.第九章：矢量分析10.第十章：多元函数积分学每一章都包含了基本概念和定理的介绍，以及对应的例题和习题。
其中的习题涵盖了各个难度级别，并包含详细的解答，方便同学们查看。
使用方法本教程适合大学数学专业的学生和其他使用高等数学作为必修课的学生使用。
同学们可以按照自己所学的章节进行选择，这样对于课后习题的巩固与练习会很有帮助。
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由于本教程包含了大量的数学符号和公式，建议使用支持LaTeX语法的软件进行查看和编辑。
另外，同学们在查看习题答案和解析的时候，可以先自行完成习题，再对着答案进行比对和核对。
对比过程中可以思考和讨论题目的解法，从而提高数学的理解和应用能力。
其他说明本教程的课后习题涵盖了大量的高等数学知识点。
同学们可以根据自己的需求进行选择和使用，帮助自己更好地掌握这门学科。
同时，也欢迎同学们提出宝贵的意见和建议，我们会根据大家的反馈继续优化和完善本教程。
最后，希望同学们在使用本教程的过程中能够收获到实实在在的成效，为自己的学业和未来的发展打下坚实的数学基础。
微积分ppt课件
和趋势。
02
微积分在机器学习中的应用
利用微积分优化算法，提高机器学习的效率和准确性。
03
微积分在金融工程中的应用
研究微积分在金融衍生品定价、风险管理等领域的应用，推动金融工程
的发展。
THANKS
感谢观看
用微积分解决经济学问题
总结词
微积分在经济学中用于研究经济现象的变化规律和优 化资源配置。
详细描述
在经济学中，微积分被用于分析边际成本、边际收益、 边际效用等问题，以及研究经济增长、通货膨胀、供需 关系等经济现象的变化规律。此外，微积分还可以用于 优化生产和分配资源，提高经济效率。
06
微积分的未来发展与展望
微积分与其他学科的交叉研究
微积分与物理学的交叉
01
研究微积分在解决物理问题中的应用，如流体力学、电磁学等
领域的数学模型。
微积分与经济学的交叉
02
探讨微积分在经济学理论和应用方面的作用，如最优控制理论
、动态规划等。
微积分与计算机科学的交叉
03
研究微积分在算法设计、数据科学、人工智能等领域的应用。
微积分的未来发展方向
上的整体性质，如求面积、体积等。
微积分提供了研究函数和解决实际问题的有效工具， 是高等数学的重要基础。
微积分的发展历史
17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微 积分学，为微积分的发展奠定了基础。
19世纪，柯西、黎曼等数学家对微积分的概念和基 础进行了深入的研究和探讨，进一步完善了微积分理
论。
微积分的发展经历了漫长的过程，最早可以追 溯到古代数学家对面积、体积等问题的研究。
1 2
微积分的理论深化
进一步探索微积分的数学原理，发展新的理论和 方法。
大学微积分课件(PPT幻灯片版)pptx
高阶导数计算
高阶导数的计算一般采用归纳法 或莱布尼茨公式等方法进行求解。 需要注意的是，在计算过程中要 遵循求导法则和运算顺序。
应用举例
高阶导数在物理学、工程学等领 域有着广泛的应用。例如，在物 理学中，加速度是速度的一阶导 数，而速度是位移的一阶导数； 在工程学中，梁的挠度是荷载的 一阶导数等。
03 一元函数积分学
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点 $(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
求导法则与技巧总结
基本求导法则
包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导 数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
求导技巧
连续性与可微性关系
连续性
函数在某一点连续意味着函数在 该点有定义，且左右极限相等并 等于函数值。连续性是函数的基 本性质之一。
可微性
函数在某一点可微意味着函数在 该点的切线斜率存在，即函数在 该点有导数。可微性反映了函数 局部变化的快慢程度。
连续性与可微性关
系
连续不一定可微，但可微一定连 续。即函数的连续性是可微性的 必要条件，但不是充分条件。
历史发展
微积分起源于17世纪，由牛顿和莱布尼 茨独立发展。经过数百年的完善，已成 为现代数学的重要基础。
极限思想与运算规则
极限思想
极限是微积分的基本概念，表示函数在某一点或无穷远处的变 化趋势。通过极限思想，可以研究函数的局部和全局性质。
运算规则
极限的运算包括极限的四则运算、复合函数的极限、无穷小量 与无穷大量的比较等。这些规则为求解复杂函数的极限提供了 有效方法。
高等数学(微积分)ppt课件
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
高等数学(微积分)课件
高等数学(微积分)课件一、教学内容1. 定积分的定义：通过实际问题引入定积分的概念，理解定积分的意义及其表示方法。
2. 定积分的性质：掌握定积分的单调性、奇偶性、有界性等基本性质。
3. 定积分的计算方法：学习牛顿莱布尼茨公式，掌握定积分的计算技巧。
二、教学目标1. 理解定积分的概念，掌握定积分的表示方法。
2. 掌握定积分的性质，能够运用性质解决实际问题。
3. 学会使用牛顿莱布尼茨公式计算定积分，提高计算能力。
三、教学难点与重点1. 定积分的概念及表示方法。
2. 定积分的性质及其应用。
3. 牛顿莱布尼茨公式的运用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：笔记本、彩笔、三角板。
五、教学过程1. 实践情景引入：以实际问题为例，引导学生思考如何求解曲线下的面积。
2. 定积分的定义：讲解定积分的概念，通过图形直观展示定积分的意义。
3. 定积分的表示方法：介绍定积分的表示方法，如黎曼和、积分图像等。
4. 定积分的性质：讲解定积分的单调性、奇偶性、有界性等基本性质。
5. 例题讲解：运用定积分的性质解决实际问题，如计算曲线下的面积、求解函数的定积分等。
6. 随堂练习：让学生独立完成练习题，巩固定积分的概念和性质。
7. 牛顿莱布尼茨公式：讲解牛顿莱布尼茨公式的推导过程，引导学生理解公式的作用。
8. 定积分的计算方法：通过实例演示如何使用牛顿莱布尼茨公式计算定积分。
六、板书设计1. 定积分的定义。
2. 定积分的表示方法。
3. 定积分的性质：单调性、奇偶性、有界性。
4. 牛顿莱布尼茨公式。
5. 定积分的计算方法。
七、作业设计1. 题目：计算下列定积分：(1) ∫(0 to π) sinx dx(2) ∫(0 to 1) x^2 dx2. 答案：(1) cosx |_{0 to π} = cosπ (cos0) = 2(2) (1/3)x^3 |_{0 to 1} = (1/3) (0/3) = 1/3八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课通过实际问题引入定积分的概念，让学生理解定积分的意义及其表示方法。
2024版大学微积分课件(ppt版)
大学微积分课件(ppt 版)目录•微积分概述•极限与连续•导数与微分•积分学•微分方程•微积分在实际问题中的应用PART01微积分概述微积分的定义与发展微积分的定义微积分是研究函数的微分与积分的数学分支，微分研究函数在某一点的变化率，而积分则是研究函数在一定区间上的累积效应。
微积分的发展微积分起源于17世纪的物理学和几何学问题，经过牛顿、莱布尼兹等数学家的努力，逐渐发展成为一门独立的数学学科。
微积分的研究对象与意义研究对象微积分的研究对象是函数，包括一元函数和多元函数，主要研究函数的性质、图像、变化率以及函数间的相互关系等。
研究意义微积分在自然科学、工程技术、社会科学等领域有着广泛的应用，如求解物理问题、优化工程设计、分析经济数据等。
微积分的基本思想与方法基本思想微积分的基本思想是通过局部近似来研究函数的整体性质，即“以直代曲”、“以不变应万变”。
基本方法微积分的基本方法包括微分法和积分法。
微分法是通过求导数来研究函数的局部性质，如单调性、极值等；积分法则是通过求原函数来研究函数的整体性质，如面积、体积等。
PART02极限与连续极限的概念与性质01极限的定义：描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势。
02极限的性质：唯一性、局部有界性、保号性、四则运算法则。
03无穷小量与无穷大量：定义、性质及比较。
极限的运算法则与存在准则极限的四则运算法则加法、减法、乘法、除法。
极限存在准则夹逼准则、单调有界准则。
连续函数的概念与性质连续函数的定义函数在某一点连续的定义及性质。
间断点及其分类第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点）、第二类间断点。
连续函数的性质局部性质（局部有界性、局部保号性）、整体性质（有界性、最值定理、介值定理）。
连续函数的四则运算加法、减法、乘法、除法。
初等函数基本初等函数及其性质，初等函数的连续性。
复合函数的连续性复合函数连续性的判断及证明。
连续函数的运算与初等函数PART03导数与微分导数的概念与几何意义导数的定义导数的几何意义可导与连续的关系描述函数图像在某一点处的局部变化率。
《微积分入门》课件
隐函数求导法与全微分与微分近
2
掌握它们在数学和物理中的应用。
似
了解隐函数求导法、全微分和微分近似
的方法，能够应用于解决多元函数问题。
3
多元函数的积分及其应用
研究多元函数的积分和应用，掌握多元
函数积分的求解技巧。
麦克劳林展开与泰勒展开
4
深入了解麦克劳林展开和泰勒展开，了 解它们在数学和物理中的应用。
结语：微积分的学习方法与技 巧
线性化与近似计算
学习线性化与近似计算的方法，能够利用导数进 行近似计算。
导数的运算法则
掌握导数的运算法则，能够求解各种导数问题。
高阶导数及其应用
研究高阶导数的性质和应用，掌握高阶导数在数 学和物理中的重要性。
积分与微积分基本定理
积分的概念
了解积分的概念和意义，学习积分在微积分中的应 用。
不定积分与基本积分公式
学习微积分是一项具有挑战的任务，需要加强理论学习，并运用到实际问题 中。掌握好学习方法和技巧，能够事半功倍地掌握微积分知识。
微积分的应用前景与展望
微积分的应用范围广泛，几乎涉及到所有科学和工程领域。未来，微积分将继续发展，推动科技进步，改变我 们的生活。 **谢谢收听！**
极限的运算法则
2
积分中的重要性。
掌握极限运算法则，能够灵活应用于解
决各种数学问题。
3
连续的概念与判定方法
研究连续函数的概念和判定方法，了解
中值定理及其应用
4
连续性在数学中的意义。
深入了解中值定理的原理和应用，掌握 使用中值定理解决实际问题的方法。
导数与微分
导数的定义与性质
学习导数的定义与性质，理解导数在几何和物理 中的意义。
大学微积分课件(PPT版)
微分方程的解
满足微分方程的函数称为微分方程的解。
一阶微分方程
一阶线性微分方程
形如y'=f(x)y' = f(x)y'=f(x)y=f(x)的一阶微 分方程，可以通过分离变量法求解。
一阶非线性微分方程
形如y'=f(y/x)y' = f(y/x)y'=f(y/x)的一阶微 分方程，可以通过变量代换法求解。
定积分的计算
计算方法与技巧
定积分的计算是微积分中的重要技能。常用的计算方法包括换元法、分部积分法、牛顿-莱布尼兹公 式等。通过这些方法，可以将复杂的定积分转化为易于计算的形式。
反常积分
概念与计算方法
VS
反常积分分为无穷积分和瑕积分两种 类型。对于无穷积分，需要讨论其在 有限的区间上收敛的情况；对于瑕积 分，需要讨论其在某一点附近的收敛 情况。反常积分的计算方法与定积分 的计算方法类似，但需要注意收敛的 条件。
极限与连续性
极限的定义与性质
极限的定义
极限是描述函数在某点附近的变化趋势 的一种数学工具。对于函数$f(x)$，如果 当$x$趋近于$a$时，$f(x)$的值趋近于 某个确定的常数$L$，则称$L$为函数 $f(x)$在点$a$处的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性和 局部有界性等性质。这些性质有助于 我们更好地理解极限的概念和应用。
连续函数的图像
连续函数的图像是连续不断的曲线。在微积分中，我们经常需要研究连续函数的性质和 变化规律，以便更好地解决实际问题。
03
导数与微分
导数的定义与性质
要点一
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜 率。
《微积分第九版》课件
《微积分第九版》PPT课件
一份详细的微积分课件，适用于本专业的学生或有志于学习本领域知识的学 生，内容全面、易懂。
课件概述
介绍
《微积分第九版》是该领域学生的标准教材， 我们为你准备了一份详细的PPT课件。
课程目标
通过本课件，你将掌握微积分的基本概念和 计算技巧。
课程大纲
本课件包含微积分的重要概念，如导数和积 分，以及它们在现实世界中的应用。
曾经优秀学生的分享经验
了解学长学姐的经验和技巧，为自己的学习找到方向。
评估方法
课堂表现
在课堂上的积极回答问题和参与讨论是课堂表现 的重要组成部分。
期末考试
考试将涵盖所有学期的内容，以确认你在微积分 方面的掌握程度。
教学提示
1 密切关注学生反应
通过了解学生的需求和
2 尽可能提供示例演
示
反应，调整教学方式可
学会使用微积分求极值，寻找最大值与最小值
2
微积分的物理应用பைடு நூலகம்
微积分在牛顿物理学和其他自然科学研究中有着广泛的应用。
3
微积分和经济学
微积分已成为经济学中最重要的工具之一，被广泛用于金融和市场分析中。
学习资源
布置的书籍阅读
《微积分第九版》(作者：哈普曼)
必要的软件下载
Mathematica、Matlab、Derive等，都可以帮助你更好地学习微积分
重点章节
我们会重点讲解微积分的基础知识，以便各 位可以更轻松地掌握微积分的高级应用技巧。
微积分的基本概念
函数和极限
学习函数和极限的概念是理解微积分的基础。
导数和微分
掌握导数和微分的概念，以及它们在实际应用 中的作用。
积分
微积分基本公式ppt课件
温度与热量，熵与绝热过程，热力学第二定律
微积分在经济中的应用实例
01
总结词
边际分析，最优化问题，经济增长 模型
最优化问题
最大利润，最小成本，最优解
03
02
边际分析
边际成本，边际收益，边际利润
经济增长模型
索洛模型，哈罗德-多马模型，内生 增长模型
04
THANKS
感谢观看
微积分基本公式的应用实例
总结词
微积分基本公式在解决实际问题中有着广泛 的应用，例如求解变速直线运动的位移、求 解曲线的面积等。
详细描述
通过微积分基本公式，我们可以求解变速直 线运动的位移。例如，假设一个物体以速度 v(t)运动，那么物体在时间t到时间t+Δt之间 的位移就是∫(v(t)dt)，通过微积分基本公式 可以求得该物体的位移。此外，微积分基本 公式还可以用于求解曲线的面积，例如求解
要点二
高阶导数的几何意义
掌握高阶导数的计算方法，例如利用莱布尼茨公式计算二 阶、三阶等高阶导数。
理解高阶导数在几何上的意义，例如二阶导数表示曲线的 凹凸性，三阶导数表示曲线的拐点等。
05
定积分的计算
定积分的计算方法与技巧
积分公式
掌握积分公式是进行定积分计算的基础，包括 幂函数的积分公式、三角函数的积分公式等。
微积分基本公式
微积分基本公式的内容与证明
总结词
微积分基本公式是微积分学的基础，它描述 了函数在某一点处的导数与该函数在该点附 近的变化率之间的关系。
详细描述
微积分基本公式通常表示为∫(f'(x))dx = f(b) - f(a)，其中∫代表积分，f'(x)代表函数f 在点x处的导数，b和a分别代表积分的上限 和下限。这个公式在理解函数的积分和导数 之间关系上起着关键作用。
微积分课外习题参考答案名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
xn1 2 xn 2 2 2, 根据数学归纳法原理,xn 2, n 1,2, ,
(接上页p8.)
{ xn }为单调增加有界序列.
lim
n
p10.三.1. lim tan 3 x 3 . x0 sin 2 x 2
2.
lim x2 (1 cos 1 ) lim x2
x
x
x
1 2x2
1. 2
ln(1 sin2 x)
sin2 x
3. lim x0
x(e x 1)
lim x0
x2
1.
tan x sin x
4. lim x0
x3
| xn | M , n 1, 2, .
0,
lim
n
yn
0, N ,当n
N时,
|
yn
|
M
,从而,
当n N时,
|
xn
yn
||
xn
||
yn
|
, lim n
xn
yn
0.
p4.
4.证明: >0,由
lim
n
x2k
A, N 1 ,
当 k N1 ,即当 2k 2N1时,| x2k A | ;
同理,由
微积分课外习题参照答案
第一章 极限与连续
预备知识(1-2)
p1. 一.1. { x | x 3且x 0} .
2. [1,1],[2k ,(2k 1) ], k Z .
1
3.
x 1
1 e x1
x x
微积分第五版影印版)课后练习题含答案
微积分第五版影印版课后练习题含答案本文提供微积分第五版影印版课后练习题及其答案，方便读者进行练习和自我检验。
前言微积分是高等数学中最基础也是最重要的一门学科，在各个领域中都有广泛的应用。
本文提供微积分第五版影印版的课后练习题及其答案，希望读者通过练习，加深对微积分的理解，提高自己的能力。
课后习题第一章函数与极限1.1 函数的概念与性质1.已知函数f(x)=2x+1，求f(3)。
答案：$f(3)=2 \\times 3 +1=7$。
2.已知函数y=x2+1，求y(2)。
答案：y(2)=22+1=5。
3.已知函数f(x)=x3+3x，求f(−2)。
答案：$f(-2)=(-2)^3+3 \\times (-2)=-8-6=-14$。
…注：为了节约篇幅，本文仅列举几道习题及其答案。
第二章导数与微分2.1 导数的概念1.求函数y=x2在x=1的导数。
答案：y′=2x|x=1=2。
…第三章微分中值定理与导数的应用3.1 中值定理及其应用1.证明函数y=x2在区间[0,1]上满足罗尔定理的条件。
答案：由罗尔定理可得，若f(a)=f(b)，且f(x)在[a,b]上连续，f(x)在(a,b)内可导，那么必存在一点 $c\\in(a,b)$，使f′(c)=0。
在本题中，f(0)=0，f(1)=1，f(x)=x2在[0,1]上连续，f(x)在(0,1)内可导，于是满足罗尔定理的条件。
…第四章曲线的性质与应用4.1 曲率1.求函数y=x3在点(1,1)处的曲率半径。
答案：函数y=x3的导函数为y′=3x2，曲率公式为$R=\\frac{[1+(y')^2]^{3/2}}{|y''|}$。
在点(1,1)处，$y'=3\\times1^2=3$，y″=6x|x=1=6。
代入公式得$R=\\frac{[1+3^2]^{3/2}}{|6|}=\\frac{10\\sqrt{10}}{9}$。
…结语本文提供了微积分第五版影印版的课后习题及其答案，希望对读者有所帮助。
《微积分入门》课件
目录
• 微积分简介 • 极限与连续性 • 导数与微分 • 积分 • 微分方程
01
微积分简介
微积分的起源
01
微积分的起源可以追溯到古 代数学，如希腊数学家阿基 米德对面积和体积的研究。
02
微积分的发展在17世纪取得 了突破，以牛顿和莱布尼茨
的工作为基础。
03
微积分在18世纪和19世纪得 到了进一步的发展和完善， 成为现代数学的重要分支。
反常积分
反常积分的定义
反常积分又称为瑕积分，它是在一个区间上定义的，但与常规的定积分有所不同。反常 积分分为两种：一种是无穷区间上的反常积分，另一种是有限区间上无界函数的反常积
分。
反常积分的性质
反常积分也具有一些重要的性质，如可加性、区间可加性等。这些性质在处理一些特殊 函数或解决一些实际问题时非常有用。
微积分的应用
01
微积分在物理学、工程学、经济学、生物学等领域 有着广泛的应用。
02
微积分可以用来解决速度、加速度、功率、电流、 压力、密度等问题。
03
微积分在金融领域中可以用来计算股票价格、投资 回报率等。
微积分的基本概念
01
极限
极限是微积分的基本概念之一 ，它描述了函数在某一点的变
化趋势。
02
05
微分方程
微分方程的建立与求解
总结词
理解微分方程的建立过程，掌握求解微 分方程的基本方法。
VS
详细描述
微分方程是描述数学模型中变量之间变化 关系的工具，通过理解问题背景和数学模 型，可以建立微分方程。求解微分方程的 方法包括分离变量法、常数变异法、参数 变异法等，这些方法能够求解各种类型的 微分方程。
《高数微积分》课件
了解级数的定义和基本性质，包括常数
收敛与发散的判别法
2
项级数、幂级数等，掌握级数的收敛与 发散的判别法。
学会使用比较判别法、比值判别法等方
法判定级数收敛与发散，深入理解级数
的性质。
3
微积分基本定理推广
研究级数与函数的关系，探讨级数的一 致收敛性和各种求和方法，推广微积分 基本定理。
应用
应用微分中值定理解决实际问题，例如最 值、图像的性态分析等。
第四章：不定积分
不定积分概念及基本性 质
学习不定积分的定义和基本 性质，深入理解原函数和不 定积分的关系，掌握常见的 积分公式。
常用换元法
揭开换元法的神秘面纱，学 会选择合适的换元方式，并 熟练使用换元法求定积分。
常用分块法
掌握常用的分块法，如分段 函数积分法、齐次性原则等， 解决含有可分段函数的积分 问题。
《高数微积分》PPT课件
探索高数微积分的奥秘，从函数与极限、导数与微分，到定积分、级数等多 个章节，深入浅出地解释概念与性质，并给出丰富的应用示例。
第一章：函数与极限
函数概念及性质
掌握函数的定义与特性，理解函数图像与性态间的关系，为后续章节打下坚实基础。
极限概念及性质
深入研究极限的概念，包括数列极限与函数极限，探索极限的运算法则和极限的存在性。
连续性及分类
学习连续函数的定义、判定与性质，深入探讨不连续点、间断点的分类和特性。
第二章：导数与微分
导数概念及计算方法
从定义出发，探究导数的求解方 法，如极限法、微分法、隐函数 求导法等，理解导数表示的物理 含义。
导数基本性质
研究导数的基本性质，如可导与 连续的关系、导数的四则运算、 导数与函数图像的关系等。
高等数学微积分教学ppt(2)
本节内容 :
二、函数的极限
1、自变量趋于有限值时函数的极限
1).
时函数极限的定义
引例. 测量正方形面积.
面积为A )
边长为
(真值:
边长
面积
直接观测值
间接观测值
任给精度 ,
要求
确定直接观测值精度 :
定义1 . 设函数
在点
的某去心邻域内有定义 ,
当
时, 有
1.幂函数
2.指数函数
3.对数函数
4.三角函数
正弦函数
余弦函数
正切函数
余切函数
正割函数
余割函数
5.反三角函数
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.
四. 初等函数
由常数及基本初等函数
否则称为非初等函数 .
例如 ,
并可用一个式子表示的函数 ,
例6. 求
解:
利用定理 4 可知
说明 : y = 0 是
的渐近线 .
内容小结
1). 无穷小与无穷大的定义
2). 无穷小与函数极限的关系
Th1
3). 无穷小与无穷大的关系
Th3
4). 无穷小的运算法则
Th4
Th5
二、 函数的间断点
一、 函数连续性的定义
函数的连续性与间断点
第一章
可见 , 函数
分析基础
函数
极限
连续
— 研究对象
— 研究方法
— 研究桥梁
函数、极限与连续
第一章
二、函数
一、集合
第一节
函数
元素 a 属于集合 M , 记作
(2024年)《高数微积分》PPT课件
平面图形面积的计算
利用定积分求解由平面曲线围成的图形面积，了解不同图形的求解 方法。
极坐标下平面图形的面积
掌握极坐标下平面图形面积的求解方法，理解极坐标与直角坐标的 转换。
20
空间几何体的体积与表面积
2024/3/26
空间几何体体积的计算
通过三重积分求解空间几何体的体积，了解不同几何体的求解方 法。
2024/3/26
6
02
微分学基础
Chapter
2024/3/26
7
极限与连续
01
极限的概念
描述函数在某一点的 变化趋势，是微积分 的重要基础。
02
极限的性质
包括唯一性、有界性 、保号性等，用于推 导和证明其他微积分 定理。
03
连续的概念
函数在某一点的变化 是平稳的，没有跳跃 或间断。
04
连续的判定
通过极限来判断函数 在某一点是否连续。
2024/3/26
8
导数与微分
包括基本初等函数的导数、导数 的四则运算法则、复合函数的导 数等。
通过导数来计算函数在某一点的 微分。
导数的概念 导数的计算 微分的概念 微分的计算
描述函数在某一点的变化率，即 函数值随自变量变化的快慢程度 。
在自变量产生微小变化时，函数 值的变化量的线性部分。
2024/3/26
9
导数的应用
切线与法线
利用导数求解曲线在某一点的切 线和法线方程。
01
02
凹凸性与拐点
03
利用二阶导数判断函数的凹凸性 ，并求解函数的拐点。
04
2024/3/26
单调性与极值
《高等数学课件——微积分篇》
微积分是数学中最关键的学科之一。它的研究内容和方法在物理、化学、工 程学等领域都有广泛应用。通过本课件，您将掌握微积分的基础知识和应用 方法，培养解决实际问题的能力。
微积分的基本概念和方法
曲线下面积的计算方式
学习曲线下面积的计算方法， 从而深入理解导数的概念。
导数的定义与计算
反常积分和广义积分
反常积分的概念和判敛准则
掌握反常积分的定义和判敛准则，并能应用到实际问题中。
广义积分的概念和收敛性判定
学习广义积分的概念，以及判断其收敛性的方法和技巧。
高阶导数与广义积分的关系
学习高阶导数和广义积分的关系，并灵活运用到实际问题中。
多元函数的偏导数和全微分
偏导数与方向导数
学习偏导数和方向导数，以及 掌握求解全微分的方法。
母函数的引入和应用
学习母函数的定义和应用，如 何使用母函数来快速求解数列 中的元素。
微分中值定理和极值
1
罗尔中值定理
学习罗尔中值定理及其应用，了解如何判断函数的导数符号及图象的单调特性。
2
拉格朗日中值定理
学习拉格朗日中值定理及其应用，如何快速求解函数的值。
3
极值的概念和求解
学习极值的定义和求解方法，应用到实际问题中。
定积分的运算方法和性质
学习定积分的运算方法和性质，灵活应用到实际 问题中。
牛顿-莱布尼茨公式和换元积分法
1
牛顿-莱布尼茨公式
学习牛顿莱布尼茨公式的定义和应用，
换元积分法
2
并能解决含参变量的积分问题。
学习换元积分法的概念和计算方法，
并掌握其应用到不同类型的积分问题
中。
3
分部积分法和定积分的应用
《微积分》课件
微积分的历史背景
01
微积分的发展可以追溯到古代数 学，如希腊数学家阿基米德在求 面积和体积时已经有了积分学的 萌芽。
02
微积分的真正奠基人是牛顿和莱 布尼茨，他们分别独立地发展出 了微积分的基本理论，为后来的 数学发展奠定了基础。
《微积分》PPT课件
contents
目录
• 微积分的定义与历史 • 微积分的基本概念 • 微积分的应用 • 微积分的解题技巧 • 微积分的重点与难点解析 • 微积分的习题与答案解析
01
微积分的定义与历史
微积分的定义
微积分是研究函数、极限和连续性的 数学分支，通过微分和积分的方法来 研究函数的性质和变化规律。
极限的运算性质与法则
1 2
极限的运算性质
极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则 等。
极限的法则
极限的保号性、极限的局部有界性等。
3
注意事项
理解极限的运算法则和性质是解决极限问题的关 键，需要注意运算过程中的等价变换和放缩技巧 。
导数的几何意义与运算性质
导数的几何意义
切线的斜率、函数图像的变化率等。
习题一：极限的运算
$lim_{x to infty} frac{1}{x}$
判断下列叙述是否正 确，并说明理由
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x}$
习题一：极限的运算
$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$
$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x} = e$
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2—31 用叠加定理求各支路电压与电流
当4 V 电压源单独作用时：
A i 1'1= A i 1'2-= 0'=u 0'4=i
V '4u 6-= 1A '=3i 2V '-=5u
当2A 电流源单独作用时：
1A ''''==21i i 0.5V ''=u
A i 5.0''4= V .''''50u u 6== 0.5A ''-=3i 2.5V
''=5u 共同作用时：A i 21= 02=i 0.5V =u 0.5A =4i
3.5V
'-=6u 0.5A =3i 0.5V =5u 2—32 求R 4的电流ad i
2s u 单独作用 A 9
2='ad
i 2s i 单独作用 A 3
5-=''ad i 6s u 单独作用 A 9
4='''ad i ∴A 1943592-=+-='''+''+'=ad ad ad ad i i i i
2—33 实际电路的模型如图，
当R f = 50 k Ω 时 u = 30 V
当R f =100 k Ω 时 u = 50 V ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+50101001010030105010503333o
s o s R U R U 得 U s = 150 V R o = 200 k Ω
2—34
（1） U oc (ab)= -20 + 8 - 5×1 = -17 V
（2） 将网络除源（电压源代之以短路，电流源代之以开路）
Ω=++⨯+=19520
520510i R
（3） 将a 、b 间短路
V 19201160
19311151201511525510⨯==+++=cd U A 19
201152015)(⨯=++⨯ab i sc A 19
1715192551525192011)(-=⨯-=-⨯=ab i sc R i = Ω=--=1919
1717)()(ab i ab U sc oc 2—35 10250⨯+=
R R U R U I =
R = 100Ω U = 2.857 V I = 0.02857 A
R = 200Ω U = 4.444 V I = 0.0222 A
R = 300Ω U = 5.454 V I = 0.01818 A
2—36 将电阻R 去掉，求所剩二端网络的戴维南等效电路：
45
422211)(R R R U R R R U ab U s s oc ⨯+-⨯+= =
4.14.16.28033
5.172⨯+-⨯+
= 48 –28 = 20 V
Ω=+=+⨯++⨯=k R i 91.191.016
.24.16.24.135.135.1 mA 865.55
.19.120=+=+=R R U I i oc 2—37 V 304662
6426)(=⨯+⨯++⨯=ab U oc 网络除源后 Ω=+=742
6i R 305)87(1=++i
A 667.13
515251===
A i
2—38 将R 1支路断开，求所余二端网络的戴维南等效电路
R R R U R R R U ab U s s
oc ⨯⨯+
+⨯+=31322322)( = 313
222432
224
⨯+++ = 9 + 3 =12 V
网络除源后，c 、d 等电位，如图b 所示, Ω==10R R i
∴当 R 1 = R i 时，能获得最大功率： W 6.342max ==i
oc R U P 2—39 对R 1 V 59=
oc U Ω=5
4i R 1A =I 对 R 3 V 527=oc U Ω=5
4i R 3A =I 2—40 对1Ω ： V 32=oc u Ω=31i R A 21=bd i 对R ab = 2Ω： 0)(=ab u oc 0=ab i 对 R ac = 2Ω： V 8=ac u Ω=2i R A 2=ac i 2—41 将R 断开：0=i V 44)(=ab U oc
将网络除源如图b ，在a 、b 端口加电
压 'u ，端口电流为 'i
u i i u 5.010108.0'''++⨯=
= ''''2285.0108i i i i =⨯++ ∴ Ω==22''
i u R i
∴ 22W max ==i
2
oc
R 4U P
2—42 U oc = 5V R i = 1Ω 非： 1.12V
3.88A。