0111 第六章 线性方程组的数值解法

第六章 线性方程组的数值解法
主要内容： 主要内容： 1、引言 、 2、高斯消去法 、 3、向量范数和矩阵范数 、 4、解线性方程组的迭代法 、
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第一节 引言
（1）在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归结为解线性代数方程组。 ）在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归结为解线性代数方程组。 例如电学中的网络问题，船体数学放样中建立三次样条函数问题，用最小二 例如电学中的网络问题，船体数学放样中建立三次样条函数问题， 乘法求实验数据的曲线拟合问题，解非线性方程组问题， 乘法求实验数据的曲线拟合问题，解非线性方程组问题，用差分法或者有限 元法解常微分方程，偏微分方程边值问题等都导致求解线性方程组， 元法解常微分方程，偏微分方程边值问题等都导致求解线性方程组，而且后 面几种情况常常归结为求解大型线性方程组。 面几种情况常常归结为求解大型线性方程组。 （2）线性代数方面的计算方法就是研究求解线性方程组的一些数值解法与研究 ） 计算矩阵的特征值及特征向量的数值方法。 计算矩阵的特征值及特征向量的数值方法。
对于上百个未知量的方程组，次数运算量就更大了。 对于上百个未知量的方程组，次数运算量就更大了。因此克莱姆规则在理论 上尽管是完善的，但在实际计算中却没有什么实用价值。 上尽管是完善的，但在实际计算中却没有什么实用价值。本文我们将重点讨 论求解线形方程组的一种有效的数值方法。 论求解线形方程组的一种有效的数值方法。
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第二节 高斯消去法
具体步骤如下： 具体步骤如下： 第一步消元： 第一步消元：
− a i(11) 第1行 × (1 ) + 第 i 行 , i = 2 , L , n a11
上述消元过程除第一个方程不变以外, 个方程全消去了变量x 上述消元过程除第一个方程不变以外, 第2—第 n 个方程全消去了变量x1，而系 数和常数项全得到新值： 数和常数项全得到新值：
Gramer 法则： xi =
Di D
i = 1, 2,..., n ，其中 D = det( A) ≠ 0，
Di = det( Ai )， Ai 是 A 的第 i列用 b 代替所得。
（1）克莱姆法则在理论上有着重大意义，但在实际应用中存在很大的困难，其 克莱姆法则在理论上有着重大意义，但在实际应用中存在很大的困难， 计算量大。 计算量大。 （2）克莱姆法则的计算量 阶行列式。 ●如果方程组有唯一解，按克莱姆法则求解，必须计算n+1个n阶行列式。 如果方程组有唯一解，按克莱姆法则求解，必须计算 个 阶行列式 阶行列式包含有n!项 每一项含有n个因子 计算一个n阶 个因子， ●由行列式的定义，n阶行列式包含有 项，每一项含有 个因子，计算一个 阶 由行列式的定义， 阶行列式包含有 行列式就需要做(n-1)n!次乘法。 次乘法。 行列式就需要做 次乘法 阶行列式， 次乘法。 ●克莱姆法则共要计算n+1个n阶行列式，共需做 2-1)n!次乘法。 克莱姆法则共要计算 个 阶行列式 共需做(n 次乘法 还要做n次除法才能算出 ●此外,还要做 次除法才能算出 i(i=1,… n)。 此外 还要做 次除法才能算出x 。 ●因此，用克莱姆法求解就要做乘除法的次数： N=(n2-1)n!+n 因此，用克莱姆法求解就要做乘除法的次数：
(1 a11) 0 M 0
(1 1 a12) L a1(n) b1(1) ( 2) ( 2) ( 2) a22 L a2 n b2 M O M M ( (2 ( an2) L ann) bn2) 2
0 M
0
得到同解方程组： 得到同解方程组：
A3 x = b3
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第二节 高斯消去法
高斯消去法是一种古老的直接法，由它改进得到的选主元消去法， 高斯消去法是一种古老的直接法，由它改进得到的选主元消去法，是目前计算 机上最常用的求低阶稠密线性方程组的有效方法。其基本思想是通过消元将 机上最常用的求低阶稠密线性方程组的有效方法。 线性方程组的求解问题转化成三角形式方程组的求解问题。 线性方程组的求解问题转化成三角形式方程组的求解问题。 一、三角方程组及其解法 1、上三角形方程组 、
x1 + x2 + x3 = 6 4 x2 − x3 = 5 2 x1 − 2 x2 + x3 = 1 x +x +x =6 2 3 1 4 x 2 − x3 = 5 − 4 x 2 − x3 = − 1 1
x +x +x =6 2 3 1 4 x2 − x3 = 5 − 2 x3 = − 6
(1 a11) 0 0 M 0 (1 a12) (2 a22) (1 1 a13) L a1(n) b1(1) ( 2) ( 2) ( 2) a23 L a2n b2 (3 ( a33) L a33) b3(3) n M O M M ( 3) ( 3) ( 3) an3 L ann bn
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第一节 引言
即求解一个含10个未知量的方程组 （3）例如，当n=10(即求解一个含 个未知量的方程组 ，乘除法的运算次数共 ）例如， 即求解一个含 个未知量的方程组)， 为32659210次；当n=20时候，N=9.7073×1020；当=40，乘除法运算次数 次 时候， × ， 时候 可达3.18 × 49次。 ×10 可达 P113
(1) a11 0 0 M 0 (1) a12 (2) a22 (1) a13 L a1(1) n (2) (2) a23 L a2 n (3) (3) a33 L a3n
a11 a21 M a n1
a12
L a1n
a22 L a2 n M O M an 2 L ann
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第二节 高斯消去法
步消元： 第k步消元： 步消元
(1 a 11 )
( − a ikk ) 第 k行 × + 第 i 行 , i = k + 1, L , n (k ) a kk
பைடு நூலகம்
(1 a 12 ) (2 a 22 )
(1 a 13 ) (2 a 23 )
L M L M
j =i +1
个方程得到： ，带入第i个方程得到： 带入第 个方程得到
(bi − xi =
∑a
ai ,i
n
i, j
xj )
求解过程称为回代过程
i = n −1, n − 2,L,1
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第二节 高斯消去法
3、回代过程的计算量 、 （1）乘除法运算次数 ）
∑ (n − i + 1) = n(n + 1) / 2
a11x1 + a12x2 +......+ a1n xn = b1 a22x2 +......+ a2n xn = b2 ...... annxn = bn
xn −1 =
一般地， 一般地，假设已经求得
(bn −1 − an −1,n xn ) an −1,n −1
xn , xn −1 , xn − 2 ,L, xi +1
a11 a A = 21 L a n1
a12 L a1n a22 L a2 n = (a ) ij n× n L L L an 2 L ann x2 L xn ] , b = [b1 b2 L bn ]
T T
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x = [x
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第一节 引言
1、用克莱姆法则求解线性方程组 、
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第一节 引言
设线性方程组
简记 AX=b
a11 x1 + a12 x2 + ...... + a1n xn = b1 a x + a x + ...... + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 ...... an1 x1 + an 2 x2 + ...... + ann xn = bn
i =1
n
(bi − xi =
（2）加减法运算次数 ）
j =i +1
∑a
ai ,i
n
i, j
xj )
∑ (n − i) = n(n − 1) / 2
i =1
n
i = n − 1, n − 2, L ,1
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第二节 高斯消去法
二、高斯消去法 1、举例 、 例1用消元法解方程组 用消元法解方程组
第一步：-2 x（1）+(3)得 第一步： （ ） 得
L
1 a 1(n ) ( a 22 ) n
O
( a kkk + 1 ) M ( a nkk + 1 )
M
( a knk + 1 ) M (k a nn + 1 )
b1(1 ) (2) b2 M ( k +1) bk M ( k +1) bn
P116
得到同解方程组： 得到同解方程组：
Ux=b
则上方程组可以写成矩阵形式： 则上方程组可以写成矩阵形式：
当 det(U) ≠0时，即aii≠0时，方程组有惟一解。 时 时 方程组有惟一解。
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第二节 高斯消去法
2、方程求解过程如下： 、方程求解过程如下： 由最后一个方程可以得： 由最后一个方程可以得：
bn xn = an , n
带入倒数第二个方程得： 带入倒数第二个方程得：
(1 1 a12) L a1(n) (2 ( a22) L a22 ) n
M
O
M
( (2 an2) L ann) 2
b1(1) ( 2) b2 M ( bn2)
得到同解方程组： 得到同解方程组：
A2 x = b2