2020年全国高考数学文科新课标Ⅰ(解析)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(课标全国卷Ⅰ,解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（课标全国卷Ⅰ，解析版）【教师简评】2020年黑龙江、海南、宁夏、吉林高考数学试题从整体看，体现“总体稳定，深化能力”的特点，在保持2020年特点的同时，又力争创新与变化；试题不仅注意对基础知识的考查，更注重了对能力的考查。
从考生角度来说，试卷总体相对基础。
有较好的梯度，注重认知能力和数学运用能力的考查，稳中求新。
1. 忠实地遵循了《普通高中新课程标准教学要求》和2020年《考试说明》。
2. 题型稳定，突出对基本知识但考查，全卷没有一道偏题、怪题。
全卷结构、题型包括难度基本稳定。
填空题比较平和。
不需要太繁的计算，考生感觉顺手。
许多试题源于课本，略高于课本。
附加题部分，选做题对知识的考查单一，解决要求明确，学生容易入手。
3. 多题把关，有很好的区分度。
能有效区分不同能力层次的考生群体。
4. 深化能力立意。
知识与能力并重。
全卷在考查知识的同时，注重考查学生的数学基本能力。
许多试题实际上并不难，知识点熟悉，但需要考生自主综合知识，才能解决问题。
关注联系，有效考查数学思想方法，如函数与方程思想，分类讨论思想等。
5. 加大数学应用题考查力度，体现“学数学，用数学的基本思想。
”参考公式：样本数据12,L n x x x 的标准差 锥体体积公式s ==13V sh其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式V Sh = 2334,4S R V R ππ==其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合2,,4,|A x x x R B x x Z =≤∈=∈，则A B =I（A ）（0，2） （B ）[0，2] （C ）|0，2| （D ）|0，1，2| 【答案】D【命题意图】本试题主要考查集合的概念和基本运算中的交集问题。
2020年全国高考(新课标II卷)真题 文科数学试卷(+答案+全解全析)
23.已知函数 f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|. （1）当 a=2 时，求不等式 f(x)≥4的解集； （2）若 f(x)≥4，求 a 的取值范围.
绝密★启用前
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如 需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
4 平面 ABC 的距离为（ ）
3
A. 3
B.
2
C. 1
12.若 2x－2y<3−x－3−y，则（ ）
A. ln(y-x+1)>0
B. ln(y-x+1)<0
C. ln∣x-y∣>0
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
3
D.
2
D. ln∣x-y∣<0
13.若 sin x = − 2 ，则 cos 2x = __________． 3
P 为 AM 上一点．过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E，交 AC 于 F．
（1）证明：AA1//MN，且平面 A1AMN⊥平面 EB1C1F；
π （2）设 O 为△A1B1C1 的中心，若 AO=AB=6，AO//平面 EB1C1F，且∠MPN= 3 ，求四棱锥 B–EB1C1F 的体
2020年高考文科数学全国卷1试题解析(word版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷I）文科数学试题解析一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x|x2-3x-4≤0}，B={-4,1,3,5}，且A∩B=( )A．{-4,1} B．{1,5} C．{3,5} D．{1,3}解析：A={x|-1≤x≤4}，∴A∩B={1,3}，故选D2．若z=1+2i+i3，则|z|=( )A．0 B．1 C2D．2解析：z=1+i，∴|z2 C3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A．514B．512C．514D．512解析：设四棱锥的高为h，底面边长为2a，侧面三角形的高为m，依题h2=am，且h2+a2=m2，联立消去h得m2-am -a2=0，152 hm±∴=，舍去负号，故选C. 4．设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为( )A．15B．25C．12D．45解析：任取三点有：O-A-B,C,D，O-B-C,D，O-C-D，A-B-C,D，A-C-D，B-C-D，共有10种。
其中3点共线的有2种，故选A.5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：°C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x i. y i)(i=1,2,···,20)得到散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( )A ．y=a+bxB ．y=a+bx 2C ．y=a+be xD ．y=a+b ln x解析：根据散点图可排除A ．B ．C ．故选D.6．已知圆x 2+y 2-6x =0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：依题圆心为C (3,0)，半径r =3，过点A (1,2)的最短弦是垂直AC 的弦. 又AC 2，由勾股关系可得最短弦长=2，故选B. 7．设函数f (x )=cos(ωx +6π)在[-π,π]的图像大致如下图， 则f (x )的最小正周期为( ) A ．109πB ．76π C ．43π D ．32π 解析：依图49π-是(-π,0)的一个零点。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(全国卷1,参考版解析)
请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 （22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲
如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB=120°.以⊙O 为圆心，
OA 为半径作圆.
(I)证明：直线 AB 与 O 相切； (II)点 C,D 在⊙O 上，且 A,B,C,D 四点共圆，证明：AB∥CD.
1 （A） 3
1
1
5
（B） 2 （C） 3 （D） 6
【答案】A 【解析】 试题分析：将 4 中颜色的花种任选两种种在一个花坛中，余下 2 种种在另一个花坛，有 6 种种法，其中红
1 色和紫色不在一个花坛的种数有 2 种，故概率为 3 ，选 A.. （4）△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a 5 ， c 2 ， cos A 2 ，则 b=
283π，则它的表面积是
（A）17π （B）18π （C）20π （D）28π 【答案】A
（8）若 a>b>0，0<c<1，则 （A）logac<logbc （B）logca<logcb （C）ac<bc （D）ca>cb 【答案】B 【解析】
试题分析：对于选项
loga
A：
c
1gc lg a
,
logb
600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为
元。
【答案】 216000
二元一次不等式组①等价于
3x y 300,
150xx33yy
900, 600,
x 0,
y 0.
②
作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图），即可行域.
2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)
则 A∩B＝{1，3}，
故选：D．
【点评】本题考查交集及其运算，考查一元二次不等式的解法，是基础题．
2．（5 分）若 z＝1+2i+i3，则|z|＝（ ）
A．0
B．1
C．
D．2
【分析】根据复数的定义化简原式，并通过模长公式求解即可．
【解答】解：z＝1+2i+i3＝1+2i﹣i＝1+i，
∴|z|＝
＝．
第三次执行循环体后，S＝9，不满足退出循环的条件，n＝7；
第四次执行循环体后，S＝16，不满足退出循环的条件，n＝9；
第五次执行循环体后，S＝25，不满足退出循环的条件，n＝11；
第六次执行循环体后，S＝36，不满足退出循环的条件，n＝13；
第七次执行循环体后，S＝49，不满足退出循环的条件，n＝15；
D．23
10．（5 分）设{an}是等比数列，且 a1+a2+a3＝1，a2+a3+a4＝2，则 a6+a7+a8＝（ ）
A．12
B．24
C．30
D．32
第2页（共24页）
11．（5 分）设 F1，F2 是双曲线 C：x2﹣ ＝1 的两个焦点，O 为坐标原点，点 P 在 C 上且
|OP|＝2，则△PF1F2 的面积为（ ）
一项是符合题目要求的。
1．（5 分）已知集合 A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{﹣4，1，3，5}，则 A∩B＝（ ）
A．{﹣4，1}
B．{1，5}
C．{3，5}
D．{1，3}
【分析】求解一元二次不等式得到集合 A，再由交集运算得答案． 【解答】解：集合 A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}＝（﹣1，4），B＝{﹣4，1，3，5}，
2020年全国普通高等学校招生统一考试(新课标Ⅰ卷)文科数学+答题卡+答案+全解全析(2020.6.15)
线
封
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍
学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________
全国名校 2020 年高三 6 月大联考（新课标Ⅰ卷） 文科数学·答题卡
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
> 0,b > 0) 的左、右焦点，若直线 x
=c
与双曲线
C
的
两条渐近线分别交于点 M，N，且 ∠MF1N = 60° ，则双曲线 C
的离心率为__________．
16．石雕工艺承载着几千年的中国石雕文化，随着科技的发展，
机器雕刻产品越来越多．某石雕厂计划利用一个圆柱形的石 材（如图 1）雕刻制作一件工艺品（如图 2），该作品的上方
3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题
无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂
贴条形码区
缺考 此栏考生禁填
标记
18．（12 分）
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D]
π 12
个单位长度后所得函数的图象关于原点对称
D．函数
f
(x)
在区间
(π 3
,
5π ) 6
上单调递减
10．设各项均为正数的数列{an } 的前 n 项和为 Sn ，若数列{an } 满足 a1 = 2 ， anan+1 = 4Sn − 2(n ∈ N* ) ， 则
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文科试题(全国I卷)全解析(部分解析)
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修) 解析版本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第I 卷1至2页。
第Ⅱ卷3 至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =g g 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…一、选择题 (1)cos300︒=(A)32-(B)-12 (C)12(D) 32 1.C 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【解析】()1cos300cos 36060cos602︒=︒-︒=︒=(2)设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()U N M ⋂=ð A.{}1,3 B. {}1,5 C. {}3,5 D. {}4,52.C 【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识【解析】{}2,3,5U M =ð，{}1,3,5N =，则()U N M ⋂=ð{}1,3,5{}2,3,5⋂={}3,5(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)1（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =(A) 52 (B) 7 (C) 6 (D) 424.A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a ===g ，37897988()a a a a a a a ===g 10,所以132850a a =, 所以13336456465528()()(50)52a a a a a a a a a =====g(5)43(1)(1)x x --的展开式 2x 的系数是(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)35.A. 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.【解析】()134323422(1)(1)1464133x x x x x x x x x ⎛⎫-=-+---+- ⎪⎝⎭2x 的系数是 -12+6=-6(6)直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于(A)30° (B)45°(C)60° (D)90°（8）已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则12||||PF PF =g(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 88.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析1】.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PFPF +-()()2222121212121212222221cos60222PF PF PF PF PF PF F F PF PF PF PF +--+-⇒=⇒=12||||PF PF =g 4【解析2】由焦点三角形面积公式得：120220121260113cot 1cot 3sin 6022222F PF S b PF PF PF PF θ∆=====12||||PF PF =g 4（9）正方体ABCD -1111A B C D 中，1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为（A ）23 （B ）33 （C ）23（D ）63【解析2】设上下底面的中心分别为1,O O ；1O O 与平面AC 1D 所成角就是B 1B 与平面AC 1D 所成角，111136cos 1/2O O O OD OD ∠===（10）设123log 2,ln 2,5a b c -===则（A ）a b c <<（B ）b c a << (C) c a b << (D) c b a <<11.D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析1】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，21x +，2sin 1xα=+||||cos 2PA PB PA PB α•=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v=22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x x x -+，令PA PB y •=u u u v u u u v ，则4221x x y x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以2[(1)]41()0y y ∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥，解得32y ≤--322y ≥-+故min ()322PA PB •=-+u u u v u u u v.此时21x =-【解析2】设,0APB θθπ∠=<<，()()2cos 1/tan cos 2PA PB PA PB θθθ⎛⎫•== ⎪⎝⎭u u u v u u u v PABO2222221sin12sincos22212sin2sin sin22θθθθθθ⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=⋅-=⎪⎝⎭换元：2sin,012x xθ=<≤，()()112123223x xPA PB xx x--•==+-≥-u u u v u u u v（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为(A)233(B)433(C) 23 (D)83312.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为h,则有ABCD11222323V h h=⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB与CD的中点时,22max22123h=-=,故max433V=.第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。
2020年高考文科数学(1卷)：答案详细解析(最新)
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2020 年高考文科数学（全国 1 卷）答案详解及试题
（一）必考题：共 60 分
17.（12 分）（概率统计）
某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为 A,B,C，
D 四个等级，加工业务约定：对于 A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取
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2020 年高考文科数学（全国 1 卷）答案详解及试题
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 2x y 2 0
13（. 线性规划）若 x，y 满足约束条件 x y 1 0 ，则 z=x＋7y 的最大值为_____. y 1 0
【解析】由约束条件，作出可行域如图 A13 所示.
【答案】 y 2x
16. （数列）数列an 满足 an2 1n an 3n 1 ，前 16 项和为 540，则 a1 =____.
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2020 年高考文科数学（全国 1 卷）答案详解及试题
【解析】当 n 为偶数时，有 an2 an 3n 1，故
A. 1 16
B. 1 9
C. 1 8
D. 1 6
【解析】∵ a log3
4 log3 4a
2 ，∴ 4a
32
9 ，∴ 4a
1 4a
1. 9
【答案】B
9.（算法框图）执行右面的程序框图，则输出的 n
A. 17
B. 19
C. 21
D. 23
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精品解析：2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ)(解析版)
.
故答案为： .
【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
根据散点图的分布可选择合适的函数模型.
【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是 .
故选：D.
【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.
6.已知圆 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程： ，可得点A的坐标为： ，
据此可知目标函数的最大值为： .
故答案为：1．
【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
甲分厂产品等级的频数分布表
2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标I)(有详细解析)
2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标I）班级:___________姓名：___________得分：___________一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知合集A={x|x2−3x−4<0}，B={−4,1,3,5}，则A⋂B=A. {−4,1}B. {1,5}C. {3,5}D. {1,3}2.若z=1+2i+i3，则|z|=()A. 0B. 1C. √2D. 23.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A. √5−14B. √5−12C. √5+14D. √5+124.设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A. 15B. 25C. 12D. 455.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位： ∘C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据(x i,y i)(i=1,2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10 ∘C至40 ∘C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()A. y=a+bxB. y=a+bx2C. y=a+be xD. y=a+blnx6.已知圆x2+y2−6x=0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 47.设函数f(x)=cos (ωx+π6)在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为()A. 10π9B. 7π6C. 4π3D. 3π28.设alog34=2，则4−a=()A. 116B. 19C. 18D. 169.执行下面的程序框图，则输出的n=()A. 17B. 19C. 21D. 2310.设{a n}是等比数列，且a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a6+a7+a8=()A. 12B. 24C. 30D. 3211.设F1，F2是双曲线C:x2−y23=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|=2，则ΔPF1F2的面积为()A. 72B. 3 C. 52D. 212.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为▵ABC的外接圆.若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为()A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件{2x+y−2≤0x−y−1≥0y+1≥0，则z=x+7y的最大值为_____．14.设向量a⃗=(1,−1)，b⃗ =(m+1,2m−4)，若a⃗⊥b⃗ ，则m=______．15.曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为____．16.数列{a n}满足a n+2+(−1)n a n=3n−1，前16项和为540，则a1=____．三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级，加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元；对于D级品，厂家每件赔偿原料损失费50元，该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务，甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件，厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应该选哪个分厂承接加工业务？18.▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知B=150∘．(1)若a=√3c，b=2√7，求▵ABC的面积；(2)若sinA+√3sinC=√2，求C．219.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，▵ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC=90∘．(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；(2)设DO=√2，圆锥的侧面积为√3π，求三棱锥P−ABC的体积．20.已知函数f(x)=e x−a(x+2).(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．21.已知A，B分别为椭圆E:+=1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D，(1)求E的方程;(2)证明：直线CD过定点．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=cos k ty=sin k t,(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcos θ−16ρsin θ+ 3=0．(1)当k=1时，C1是什么曲线？(2)当k=4时，求C1与C2的公共点的直角坐标．23.[选修4—5：不等式选讲]已知函数f(x)=│3x+1│−2│x−1│．(1)画出y=f(x)的图像；(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集．答案和解析1.D解：由不等式x2−3x−4<0，解得−1<x<4，所以A∩B={1,3}，2.C解：z=1+2i−i=1+i，则|z|=√12+12=√2，3.C解：设正四棱锥的高为h，底面边长为a,侧面三角形底边上的高为ℎ′，则由题意可得{ℎ2=12aℎ′ℎ2=(ℎ′)2−(a2)2,故(ℎ′)2−(a2)2=12aℎ′，化简可得4(ℎ′a)2−2(ℎ′a)−1=0,ℎ′a>0，解得ℎ′a =√5+14．4.A解：如图，从5点中随机选取3个点，共有10种情况，AOB，AOD，BOC，DOC，ABC，ADC，DBC，DAB，AOC，BOD，其中三点共线的有两种情况：AOC和BOD，则p=210=15．5.D用光滑的曲线把图中各点连接起来，由图象的走向判断，此函数应该是对数函数类型的，故应该选用的函数模型为y=a+blnx．6.B解：由可得，则圆心，半径，已知定点，则当直线与OA垂直时，弦长最小，OA=√(3−1)2+(0−2)2=√8，弦长2√r2−OA2=2，7.C解：由图可知f(−4π9)=cos (−4π9ω+π6)=0，所以−4π9ω+π6=π2+kπ(k∈Z),化简可得ω=−3+9k4(k∈Z)，又因为T<2π<2T，即2π|ω|<2π<4π|ω|，所以1<|ω|<2，则当且仅当k=−1时，1<|ω|<2，所以|ω|=32，故最小正周期T=2π|ω|=4π3．8.B解：由alog34=log34a=2，可得4a=32=9，∴4−a=(4a)−1=9−1=1，99.C解：输入n=1，S=0，则S=S+n=1，S⩽100，n=n+2=3，S=S+n=1+3=4，S⩽100，n=n+2=5，S=S+n=1+3+5=9，S⩽100，n=n+2=7，S=S+n=1+3+5+7=16，S⩽100，n=n+2=9，根据等差数列求和可得，S=1+3+5+⋯+19=100⩽100，n=19+2=21，输出n=21．10.D解：∵a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2，∴q(a1+a2+a3)=2，所以q=2，∵a6+a7+a8=q5(a1+a2+a3)，所以a6+a7+a8=32，11.B解：由双曲线的标准方程可得a=1,b=√3，c=2，所以焦点坐标为F1(−2,0),F2(2,0)，因为|OP|=2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，∴|PF1|2+|PF2|2=16，∵||PF1|−|PF2||=2a=2，所以||PF1|−|PF2||2=|PF1|2+|PF2|2−2|PF1|⋅|PF2|=4，所以|PF1|⋅|PF2|=6，所以三角形PF1F2面积为12|PF1|⋅|PF2|=3，12.B解：由圆O1的面积为4π=πr2，故圆O1的半径r=2，∵AB=BC=AC=OO1，则三角形ABC是正三角形，由正弦定理：ABsin60∘=2r=4，得AB=OO1=2√3，由R2=r2+OO12，得球O的半径R=4，表面积为4πR2=64π，13.1解：根据约束条件画出可行域为：由z=x+7y得y=−17x+17z，平移直线y=−17x，要使z最大，则y=−17x+17z在y轴上的截距最大，由图可知经过点A(1,0)时截距最大，此时z=1，14.5解：∵a⃗⊥b⃗ ，所以a⃗⋅b⃗ =0，因为a⃗=(1,−1),b⃗ =(m+1,2m−4)，所以m+1−(2m−4)=0，故m=5．15.2x−y=0解：∵y=lnx+x+1，∴y′=1x+1设切点坐标为(x0,y0)，因为切线斜率为2，所以1x+1=2，故x0=1，此时，y0=ln1+2=2，所以切点坐标为(1,2)，∴y−2=2(x−1)所以切线方程为2x−y=0．16.7解：因为a n+2+(−1)n a n=3n−1，当n=2，6，10，14时，a2+a4=5，a6+a8=17，a10+a12=29，a14+a16=41因为前16项和为540，所以a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=540−(5+17+ 29+41)，所以a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=448，当n为奇数时，a n+2−a n=3n−1，所以a3−a1=2，a5−a3=8，a7−a5=14⋯a n+2−a n=3n−1，累加得an+2−a1=2+8+14+⋯3n−1=(2+3n−1)⋅n+122，∴a n+2=(3n+1)⋅(n+1)4+a1，∴a3=2+a1，a5=10+a1，a7=24+a1，a9=44+a1，a11=70+a1，a13=102+a1，a15=140+a1，因为a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=448，所以8a1+392=448，所以a1=7．17.解：(1)根据频数分布表可知甲、乙分厂加工出来的一件产品为A级品的频数分别为40，28，所以频率分别为40100=0.4，28100=0.28，用频率估计概率可得甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率分别为0.4和0.28．(2)甲分厂四个等级的频率分别为：0.4，0.2，0.2，0.2，故甲分厂的平均利润为：0.4×(90−25)+0.2×(50−25)+0.2×(20−25)+0.2×(−50−25)=15(元)，乙分厂四个等级的频率分别为：0.28，0.17，0.34，0.21，故乙分厂的平均利润为：0.28×(90−20)+0.17×(50−20)+0.34×(20−20)+0.21×(−50−20)=10(元)，因为甲分厂平均利润大于乙厂的平均利润，故选甲分厂承接加工业务．18.解：(1)由余弦定理得b2=a2+c2−2accosB，即28=3c2+c2−2√3c2cos150∘，解得c=2，所以a=2√3，所以S△ABC=12acsin B=12×2√3×2×12=√3．(2)因为A=180∘−B−C=30∘−C，所以sinA+√3sinC=sin(30∘−C)+√3sinC=12cosC+√32sinC=sin(30∘+C)=√22，因为A>0°，C>0°，所以0°<C<30°，所以30°<30°+C<60°，所以30°+C=45°，所以C=15°．19.解：(1)由已知条件得PA=PB=PC，因为∠APC=90°，所以PA⊥PC，所以AP2+PC2=AC2，又因为△ABC是等边三角形，所以AC=AB=BC，所以PA2+PB2=AB2，PB2+PC2=BC2，所以PB⊥PA，PB⊥PC，因为PA∩PC=P，所以PB⊥平面PAC，因为PB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC．(2)设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意得{2+r2=l2,πrl=√3π,解得l=√3,r=1，所以等边三角形ABC的边长为√3，从而PA=PB=PC=√62，所以PO=√32−1=√22，所以三棱锥P−ABC的体积V=13SΔABC⋅PO=13×12×√3×√3×√32×√22=√68．20.解：(1)当a=1时，f(x)=e x−(x+2)，则f′(x)=e x−1，令f′(x)>0，得x>0；令f′(x)<0，得x<0，从而f(x)在(−∞,0)单调递减；在(0,+∞)单调递增．(2)f(x)=e x−a(x+2)=0，显然x≠−2，所以a=e xx+2，令g(x)=e xx+2，问题转化为y=a与g(x)的图象有两个交点，所以g′(x)=e x(x+1)(x+2)2，当x<−2或−2<x<−1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x >−1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)的极小值为g(−1)=1e ，当x <−2时，g(x)<0，当x >−2时，g(x)>0，所以当a >1e 时，y =a 与g(x)的图象有两个交点， 所以a 的取值范围为(1e ,+∞)．21. 解：由题意A (−a,0),B (a,0),G (0,1),AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,1),GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,−1), AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2−1=8⇒a 2=9⇒a =3， ∴椭圆E 的方程为x 29+y 2=1．(2)由(1)知A (−3,0),B (3,0),P (6,m )，则直线PA 的方程为y =m 9(x +3)，联立{y =m 9(x +3)x 29+y 2=1⇒(9+m 2)x 2+6m 2x +9m 2−81=0,由韦达定理−3x C =9m 2−819+m 2⇒x C =−3m 2+279+m 2，代入直线PA 的方程y =m9(x +3)得，y C =6m9+m ，即C(−3m 2+279+m ,6m9+m )，直线PB的方程为y=m3(x−3)，联立{y=m3(x−3)x29+y2=1⇒(1+m2)x2−6m2x+9m2−9=0,由韦达定理3x D=9m2−91+m2⇒x D=3m2−31+m2，代入直线PA的方程y=m3(x−3)得，y D=−2m1+m2，即D(3m2−31+m2,−2m1+m2)，∴直线CD的斜率k CD=6m9+m2−−2m1+m2−3m2+279+m2−3m2−31+m2=4m3(3−m2)，∴直线CD的方程为y−−2m1+m2=4m3(3−m2)(x−3m2−31+m2)，整理得y=4m3(3−m2)(x−32)，∴直线CD过定点(32,0)．22.(1)当k=1时，曲线C1的参数方程为{x=costy=sint，化为直角坐标方程为x2+y2=1，表示以原点为圆心，半径为1的圆．(2)当k=4时，曲线C1的参数方程为{x=cos 4ty=sin4t，化为直角坐标方程为√x+√y=1，曲线C2化为直角坐标方程为4x−16y+3=0，联立{√x+√y=14x−16y+3=0，解得{x=14y=14,所以曲线C1与曲线C2的公共点的直角坐标为(14,14 )．23. (1)函数f(x)=|3x +1|−2|x −1|={x +3,x >15x −1,−13≤x ≤1−x −3,x <−13，图象如图所示：(2)函数f(x +1)的图象即将函数f(x)的图象向左平移一个单位所得，如图， 联立{y =−x −3y =5x +4可得交点横坐标为x =−76， 所以f(x)>f(x +1)的解集为{x|x <−76}．。
2020年全国高考数学文科试卷-(Ⅰ卷含答案解析)
2020年全国高考（Ⅰ卷）文科数学1.已知合集，，则（）A、B、C、D、2.若，则（）A、0B、1C、D、23. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A、B、C、D、4. 设O为正方形ABCD的中心，在O, A ,B, C, D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）A、B、C、D、5. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A 、B 、C 、D 、6. 已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A 、1B 、2C 、3D 、4 7. 设函数在的图像大致如下图，则的最小正周期为（）A 、B 、C 、D 、8. 设3log 42a =，则4a-= ( )A.116B.19C.18D.169.执行下面的程序框图，则输出的n = ( )A.17B.19C.21D.2310.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=( ) A.12B.24C.30D.3211.设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且||2OP =，则12PF F △的面积为( ) A.72B.3C.52D.212.已知,,A B C 为球O的球面上的三个点，1O 为ABC 的外接圆，若1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为( )A.64πB.48πC.36πD.32π二、填空题13.若,x y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则7z x y =+的最大值为____________.14.设向量(1,1),(1,24)m m =-=+-a b ，若a b ⊥，则m =____________.15.曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 16.数列{}n a 满足2(1)31n n n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a =_____________. 三、解答题17.(12分) 某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为,,,A B C D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?18. (12分)∆ABC的内角,,A B C的对边分别为,,a b c.已知150B=︒.(1)若,==，求∆ABC的面积；a b(2)若sinA C=，求C.219.(12分) 如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，90∠=︒．APC(1)证明：平面PAB ⊥平面PAC ； (2)设DO ，求三棱锥P ABC -的体积.20. (12分)已知函数()(2)x f x e a x =-+. (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性； (2)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 21. (12分) 已知,A B 分别为椭圆()222:11x E y a a+=>的左、右顶点，G为E的上顶点，8AG GB ⋅=，P为直线6x =上的动点，PA 与E的另一交点为C，PB 与E的另一交点为D ．(1)求E的方程；(2)证明：直线CD 过定点.22. (10分) [选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩(t为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=． (1)当1k =时，1C 是什么曲线？(2)当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．23. [选修4—5：不等式选讲] (10分) 已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．(1)画出()y f x =的图像； (2)求不等式()(1)f x f x >+的解集.2020年全国高考（Ⅰ卷）文科数学答案与解析1.D2.C3.C如图，设正四棱锥的高为h ，底面边长为a ，侧面三角形底边上的高为'h ，则依题意有：222212'()2'h ah a h h ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因此有221'()22'a h ah -=，化简得2'4()2()1'0h h a a --=，解得'h a . 4.A 5.D用光滑的曲线把图中各点连接起来，由图像的大致走向判断，此函数应该是对数函数类型的，故应该选用的函数模型为ln y a b x =+. 6.B 7.C由图知4π4ππ()cos()0996f ω-=-+=，所以4ππππ()962k k ω-+=+∈Z ，化简得39()4kk ω+=-∈Z ，又因为2π2T T <<，即2π4π2π||||ωω<<，所以1||2ω<<，当且仅当1k =-时1||2ω<<，所以32ω=，最小正周期2π4π||3T ω==.故选C. 8.B 9.C 10.D 11.B 12.A 13.1 14.5 15.y=2x 16.7 17.解： (1)由试加工产品等级的频数分布表知， 甲分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为400.4100=； 乙分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为280.28100=. (2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为65402520520752015100⨯+⨯-⨯-⨯=.由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为70283017034702110100⨯+⨯+⨯-⨯=.比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务. 18.解：(1)由题设及余弦定理得2222832cos150c c =+-⨯︒. 解得2c =-(舍去)，2c =，从而a =∆ABC 的面积为12sin1502⨯⨯︒(2)在∆ABC 中，18030A B C C =︒--=︒-，所以()()sin sin 30sin 30A C C C C +=-+=︒+︒.故()sin 30C ︒+=. 而030C ︒<<︒，所以3045C ︒+=︒，故15C =︒. 19.解：(1)由题设可知，PA PB PC ==.由于∆ABC 是正三角形，故可得∆PAC ≌∆PAB ，∆PAC ≌ ∆PBC. 又90APC ∠=︒，故90,90APB BPC ∠=︒∠=︒.从而,PB PA PB PC ⊥⊥，故PB ⊥平面PAC ，所以平面PAB ⊥平面PAC . (2)设圆锥的底面半径为r ，母线长为l .由题设可得222rl l r =-=.解得1,r l ==从而AB 由(1)可得222PA PB AB +=，故PA PB PC ===所以三棱锥P ABC -的体积为311113232PA PB PC ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⎝⎭.20.解： (1)当1a =时，()e 2x f x x =--，则1'()e x f x =-. 当0x <时，)'(0f x <；当0x >时，)'(0f x >. 所以()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增. (2))'(e x f x a =-.当0a ≤时，()'0f x >，所以()f x 在(),-∞+∞单调递增，故()f x 至多存在1个零点，不合题意. 当0a >时，由()'0f x =可得ln x a =，当(),ln x a ∈-∞时，()'0f x <；当()ln ,x a ∈+∞时，()'0f x >，所以()f x 在(),ln a -∞单调递减，在()ln ,a +∞单调递增，故当ln x a =时，()f x 取得量小值，最小值为()()ln 1ln f a a a =-+.()i 若10ea <≤，则(ln )0f a ≥，()f x 在(,)-∞+∞至多存在1个零点，不合题意.()ii 若1ea >，则(ln )0f a <.由于2(2)e 0f --=>，所以()f x 在(,ln )a -∞存在唯一零点.由(1)知，当2x >时，2e 20x -->，所以当4x >且()2ln 2x a >时，22()e e (2)x x f x a x =⋅-+ ()ln 2e2(2)2a x a x ⎛⎫>⋅+-+ ⎪⎝⎭2a =0>.故()f x 在(ln ,)a +∞存在唯一零点.从而()f x 在(,)-∞+∞有两个零点.综上，a 的取值范围是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.21.解: (1)由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -.则(1)(1)AG a GB a ==-,,,.由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =. 所以E 的方程为2219x y +=.(2)设()()1122,,,,(6,)C x y D x y P t .若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<.由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以()1139t y x =+. 直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以()2233t y x =-. 可得()()1221333y x y x -=+.由于222219x y +=，故()()2222339x x y +-=-，可得()()12122733y y x x =-++，即 ()()22121227(3)(3)0m y ym n y y n ++++++=.①将x my n =+代入2219x y +=得()2229290my mny n +++-=.所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=++.代入①式得()()()22222792(3)(3)90m n m n mn n m +--++++=. 解得3n =-(舍去)，32n =.故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭. 若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 综上，直线CD 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 22.解：(1)当1k =时，414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎨=⎩消去参数t 得221x y +=，故曲线1C 是圆心为坐标原点，半径为1的圆.(2)当4k =时，414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎨=⎩消去参数t 得1C1=, 2C 的直角坐标方程为41630x y -+=.由1,41630x y =-+=⎪⎩解得1,41.4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故1C 与2C 的公共点的直角坐标为11()44，. 23. .解：(1)由题设知13(),31()51(1)33(1).x x f x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪+>⎪⎪⎩，，，， ()y f x =的图像如图所示.(2) 函数()y f x =的图像向左平移1个单位长度后得到函数(1)y f x =+的图像.()y f x =的图像与(1)y f x =+的图像的交点坐标为711,66⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 由图像可知当且仅当76x <-时，()y f x =的图像在()1y f x =+的图像上方.故不等式()()1f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.。
2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标I)附答案
2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标I）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知合集，，则A. B. C. D.2.若，则( )A.0 B. 1 C. D. 23.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A. B. C. D.4.设O为正方形ABCD的中心，在O, A ,B, C, D中任取3点，则取到的3点共线的概率为( )A. B. C. D.5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据1,2, (20)得到下面的散点图：由此散点图，在10至40之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x的回归方程类型的是( )A.B. C. D.6.已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 47.设函数在的图像大致如下图，则的最小正周期为( )A. B. C. D.8.设，则=（）A. B. C. D.9.执行下面的程序框图，则输出的（）A. 17B. 19C. 21D. 2310.设是等比数列，且，，则（）A. 12B. 24C. 30D. 3211.设，是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且|| =2，则的面积为（）A. B. C. D.12.已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆. 若的面积为，，则球的表面积为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件，则z=x+7y的最大值为_____.14.设向量=(1,-1),=(m+1,2m-4)，若，则m=______.15.曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为____.16.数列满足，前16项和为540，则=____.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为A,B,C，D四个等级，加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元；对于D级品，厂家每件赔偿原料损失费50元，该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务，甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件，厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级A B C D频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级A B C D频数28173421（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应该选哪个分厂承接加工业务？18.的内角的对边分别为，已知.（1）若，，求的面积；（2）若，求.19.如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，.（1）证明：平面平面；（2）设,圆锥的侧面积为π，求三棱锥的体积.20.已知函数（1）当a=1时，讨论的单调性;（2）若有两个零点，求的取值范围.21.已知A,B分别为椭圆E:+=1(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点,=8,P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D,(1)求E的方程;(2)证明:直线CD过定点.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）当k=1时，是什么曲线？（2）当k=4时，求与的公共点的直角坐标.23.[选修4—5：不等式选讲]已知函数=│3+1│-2│-1│.（1）画出y=的图像；（2）求不等式>的解集.答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查集合的交集运算和解一元二次不等式，属于基础题．【解答】解：由不等式，解得，所以，故选D．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查复数的运算，求复数的模，属于基础题．【解答】解：，则，故选C．3.【答案】C【解析】【分析】根据题意列出的关系式，化简即可得到答案.本题考查了立体几何中的比例关系，属于基础题.【解析】如图，设正四棱锥的高为h,底面边长为侧面三角形底边上的高为,则由题意可得，故，化简可得解得.故答案选C.4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查概率的知识，属于基础题．【解答】解：如图，从5点中随机选取3个点，共有10种情况，其中三点共线的有两种情况：AOC和BOD，则．故选A．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数模型的应用，属于基础题.连接各点，判断图象的大致走向，可判断函数为对数模型.【解析】用光滑的曲线把图中各点连接起来，由图象的走向判断，此函数应该是对数函数类型的，故应该选用的函数模型为.故答案选D.6.【答案】B【解析】【分析】本题考查圆的方程、直线方程以及求弦长，属于较易题．【解答】解：由可得，则圆心，半径，已知定点，则当直线与OA垂直时，弦长最小，弦长，故选B．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了余弦函数的图象与性质，属于中档题.先利用得到，由，可得，由可得k的值，w的值可得，即可求解.【解析】解：由图可知，所以化简可得,又因为,即，所以，当且仅当时，所以,最小正周期.故答案选C.8.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查指对数的运算，属于基础题．【解答】解：由，可得，，故选B．9.【答案】C【解析】【分析】本题以程序框图为载体，考查了等差数列求和，属于中档题．【解答】解：输入n=1，S=0，则S=S+n=1，S⩽100，n=n+2=3，S=S+n=1+3=4，S⩽100，n=n+2=5，S=S+n=1+3+5=9，S⩽100，n=n+2=7，S=S+n=1+3+5+7=16，S⩽100，n=n+2=9，根据等差数列求和可得，S=1+3+5+⋯+19=100⩽100，n=19+2=21，输出n=21．故选C．10.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查等比数列的通项公式，属基础题.根据，结合等比数列的通项公式可求得等比数列的公比，因为，从而得到答案.【解答】解：∵，∴，所以，，所以，故选D11.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查双曲线的定义、双曲线的简单几何性质、圆的性质，属一般题.根据双曲线的标准方程得到其焦点坐标，结合,可确定点P在以为直径的圆上，得到,结合双曲线的定义可得的值，从而得到答案.【解答】解：由双曲线的标准方程可得，，所以焦点坐标为，因为，所以点P在以为直径的圆上，，，所以，所以，所以三角形面积为3，故选B.12.【答案】B【解析】【分析】本题考查球的结构与性质，球的表面积公式，属中档题.【解答】解：由圆O1的面积为，故圆O1的半径ρ=2，∵，则三角形ABC是正三角形，由正弦定理：，得，由，得球O的半径，表面积为，故答案为A.13.【答案】1【解析】【分析】本题考查利用线性规划求最值问题，属基础题.【解答】解：根据约束条件画出可行域为：由得，平移直线，要使z最大，则在y轴上的截距最大，由图可知经过点A(1,0)时截距最大，此时z=1，故答案为1.14.【答案】5【解析】【分析】本题主要考查平面向量垂直的充要条件，平面向量数量积的坐标运算，属基础题.由可得，再把两向量坐标代入运算可得答案.【解答】解：，所以，因为，所以，故.故答案为：515.【答案】【解析】【分析】本题主要考查导数的几何意义，属基础题.根据导数的几何意义确定切点坐标，再根据直线的点斜式得到切线方程.【解答】解：，设切点坐标为，因为切线斜率为2，所以，故，此时,，所以切点坐标为，所以切线方程为.故答案为：.16.【答案】7【解析】【分析】本题主要考查累加法求通项公式，等差数列的求和公式以及数列的递推关系，属较难题.对取偶数，再结合条件可求得前16项中所有奇数项的和，对取奇数时，利用累加法求得的值，用其表示出前16项和可得答案.【解答】解：因为，当=2，6，10，14时，，，，因为前16项和为540，所以，所以，当为奇数时，，所以，，，累加得，，，，，，，，，因为，所以，所以.故答案为7.17.【答案】解：（1）根据频数分布表可知甲、乙分厂加工出来的一件产品为A级品的频数分别为40，28，所以频率分别为，，用频率估计概率可得甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率分别为0.4和0.28.（2）甲分厂四个等级的频率分别为：0.4，0.2，0.2，0.2，故甲分厂的平均利润为：（元），乙分厂四个等级的频率分别为：0.28，0.17，0.34，0.21，故乙分厂的平均利润为：（元），因为甲分厂平均利润大于乙厂的平均利润，故选甲分厂承接加工业务.【解析】本题主要考查频率的算法，平均数的概念及其意义，属基础题.（1）根据图表信息可得甲乙分厂的频数，从而得到答案.（2）根据图表信息可得甲乙分厂的四个等级的频率，再根据平均数的定义求得答案，比较两厂的平均数得到最终答案即可.18.【答案】解：(1)由余弦定理得，即，解得c=2，所以，所以S△ABC=.(2)因为，所以，因为A>0°，C>0°，所以0°<C<30°，所以30°<30°+C<60°，所以30°+C=45°，所以C=15°.【解析】本题考查余弦定理，三角形面积公式的应用，三角恒等变换的应用，属于中档题.(1)由已知条件结合余弦定理可求得c，从而可根据三角形面积公式求解；(2)由两角差的正弦公式对已知式进行化简，再由辅助角公式根据C的范围求解即可.19.【答案】解：(1)由已知条件得PA＝PB＝PC，因为∠APC＝90°，所以PA⊥PC，所以AP2＋PC2=AC2，又因为△ABC是等边三角形，所以AC=AB=BC，所以PA2＋PB2=AB2，PB2＋PC2=BC2，所以PB⊥PA，PB⊥PC，因为PA∩PC=P，所以PB⊥平面PAC，因为PB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.(2)设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意得解得，所以等边三角形ABC的边长为，从而PA＝PB＝PC＝，所以，所以三棱锥P-ABC的体积V=.【解析】【解析】本题考查线面位置关系的判定，圆锥的侧面积公式，棱锥的体积公式的应用，考查空间想象能力与运算能力，属于中档题.(1)由题意证得PB⊥PA，PB⊥PC，从而得到PB⊥平面PAC，根据面面垂直的判定定理即可证明；(2)由圆锥的性质可求得底面半径与母线长，从而可求得△ABC的边长，从而可求得三棱锥P-ABC的高，从而可求得体积.20.【答案】解：(1)当a=1时，，则，令，得x＞0；令，得x＜0，从而f(x)在(－∞，0)单调递减；在(0，+∞)单调递增.(2)，显然x≠－2，所以，令，问题转化为y=a与g(x)的图象有两个交点，所以，当x＜－2或－2＜x＜－1时，，g(x)单调递减；当x＞－1时，，g(x)单调递增，所以g(x)的极小值为，当x＜－2时，g(x)＜0，当x＞－2时，g(x)＞0，所以当a＞时，y=a与g(x)的图象有两个交点，所以a的取值范围为.【解析】【解析】本题考查利用导数判断函数的单调性，利用导数研究函数的零点，有一定难度.(1)先求导，可直接得出函数的单调性；(2)先分离参数得，再构造函数，利用导数研究函数的性质，即可得出a的取值范围.21.【答案】解：由题意，∴椭圆E的方程为.（2）由（1）知，则直线PA的方程为，联立，由韦达定理，代入直线PA的方程得，，即，直线PB的方程为，联立，由韦达定理，代入直线PA的方程得，，即,∴直线CD的斜率，∴直线CD的方程为，整理得，∴直线CD过定点.【解析】本题考查直线于椭圆的位置关系，定点问题，属于较难题；（1）求出各点坐标，表示出向量；（2）求出C，D两点坐标，进而求出直线CD，即可证明.22.【答案】【答案】（1）当时，曲线的参数方程为，化为直角坐标方程为，表示以原点为圆心，半径为1的圆.（2）当时，曲线的参数方程为，化为直角坐标方程为，曲线化为直角坐标方程为，联立，解得，所以曲线与曲线的公共点的直角坐标为.【解析】本题考查简单曲线的参数方程、极坐标方程，参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化等知识，考查运算求解能力，难度一般.23.【答案】（1）函数，图象如图所示：（2）函数的图象即将函数的图象向左平移一个单位所得，如图，联立可得交点横坐标为，所以的解集为.【解析】本题考查解绝对值不等式，考查了运算求解能力及数形结合的思想，难度一般.。
2020年全国高考数学文科试卷-(Ⅰ卷含答案解析)
2020年全国高考（Ⅰ卷）文科数学1.已知合集，，则（）A、B 、C、D、2.若，则（）A、0B、1C、D、23. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A、B、C、D、4. 设O为正方形ABCD的中心，在O, A ,B, C, D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）A、B、C、D、5. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A、B、C、D、6. 已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A、1B、2C、3D、47. 设函数在的图像大致如下图，则的最小正周期为（）A、B、C、D、8. 设3log42a=，则4a-=( )A.116B.19C.18D.169.执行下面的程序框图，则输出的n=( )A.17B.19C.21D.2310.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=( ) A.12B.24C.30D.3211.设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且||2OP =，则12PF F △的面积为( ) A.72B.3C.52D.212.已知,,A B C 为球O的球面上的三个点，1O 为ABC的外接圆，若1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O的表面积为( )A.64πB.48πC.36πD.32π二、填空题13.若,x y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则7z x y =+的最大值为____________.14.设向量(1,1),(1,24)m m =-=+-a b ，若a b ⊥，则m =____________.15.曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 16.数列{}n a 满足2(1)31n n n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a =_____________. 三、解答题17.(12分) 某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为,,,A B C D 四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?18. (12分)∆ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知150B =︒. (1)若,a b =，求∆ABC 的面积； (2)若sin 2A C =，求C.19. (12分) 如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC 是底面的内接正三角形，P为DO 上一点，90APC ∠=︒．(1)证明：平面PAB ⊥平面PAC ； (2)设DO，求三棱锥P ABC -的体积.20. (12分)已知函数()(2)x f x e a x =-+. (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性； (2)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 21. (12分) 已知,A B 分别为椭圆()222:11x E y a a+=>的左、右顶点，G为E的上顶点，8AG GB ⋅=，P为直线6x =上的动点，PA 与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．(1)求E的方程；(2)证明：直线CD 过定点.22. (10分) [选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=． (1)当1k =时，1C 是什么曲线？(2)当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．23. [选修4—5：不等式选讲] (10分) 已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．(1)画出()y f x =的图像； (2)求不等式()(1)f x f x >+的解集.2020年全国高考（Ⅰ卷）文科数学答案与解析1.D2.C3.C如图，设正四棱锥的高为h ，底面边长为a ，侧面三角形底边上的高为'h ，则依题意有：222212'()2'h ah a h h ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因此有221'()22'a h ah -=，化简得2'4()2()1'0h h a a --=，解得'h a =. 4.A 5.D用光滑的曲线把图中各点连接起来，由图像的大致走向判断，此函数应该是对数函数类型的，故应该选用的函数模型为ln y a b x =+. 6.B 7.C 由图知4π4ππ()cos()0996f ω-=-+=，所以4ππππ()962k k ω-+=+∈Z ，化简得39()4k k ω+=-∈Z ，又因为2π2T T <<，即2π4π2π||||ωω<<，所以1||2ω<<，当且仅当1k =-时1||2ω<<，所以32ω=，最小正周期2π4π||3T ω==.故选C. 8.B 9.C 10.D 11.B 12.A 13.1 14.5 15.y=2x 16.7 17.解： (1)由试加工产品等级的频数分布表知， 甲分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为400.4100=； 乙分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为280.28100=.(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为65402520520752015100⨯+⨯-⨯-⨯=.由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为70283017034702110100⨯+⨯+⨯-⨯=.比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务. 18.解：(1)由题设及余弦定理得2222832cos150c c =+-⨯︒. 解得2c =-(舍去)，2c =，从而a =∆ABC 的面积为12sin1502⨯⨯︒(2)在∆ABC中，18030A B C C =︒--=︒-，所以()()sin sin 30sin 30A C C C C +=-+=︒+︒.故()sin 30C ︒+=. 而030C ︒<<︒，所以3045C ︒+=︒，故15C =︒. 19.解：(1)由题设可知，PA PB PC ==.由于∆ABC 是正三角形，故可得∆PAC ≌∆PAB ，∆PAC ≌ ∆PBC. 又90APC ∠=︒，故90,90APB BPC ∠=︒∠=︒.从而,PB PA PB PC ⊥⊥，故PB ⊥平面PAC ，所以平面PAB ⊥平面PAC . (2)设圆锥的底面半径为r ，母线长为l . 由题设可得222rl l r =-=.解得1,r l ==从而AB 由(1)可得222PA PB AB +=，故PA PB PC ===所以三棱锥P ABC -的体积为311113232PA PB PC ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⎝⎭.20.解： (1)当1a =时，()e 2x f x x =--，则1'()e x f x =-. 当0x <时，)'(0f x <；当0x >时，)'(0f x >. 所以()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增. (2))'(e x f x a =-.当0a ≤时，()'0f x >，所以()f x 在(),-∞+∞单调递增，故()f x 至多存在1个零点，不合题意. 当0a >时，由()'0f x =可得ln x a =，当(),ln x a ∈-∞时，()'0f x <；当()ln ,x a ∈+∞时，()'0f x >，所以()f x 在(),ln a -∞单调递减，在()ln ,a +∞单调递增，故当ln x a =时，()f x 取得量小值，最小值为()()ln 1ln f a a a =-+.()i 若10ea <≤，则(ln )0f a ≥，()f x 在(,)-∞+∞至多存在1个零点，不合题意.()ii 若1ea >，则(ln )0f a <.由于2(2)e 0f --=>，所以()f x 在(,ln )a -∞存在唯一零点.由(1)知，当2x >时，2e 20x -->，所以当4x >且()2ln 2x a >时，22()e e (2)x x f x a x =⋅-+ ()ln 2e2(2)2a x a x ⎛⎫>⋅+-+ ⎪⎝⎭2a =0>.故()f x 在(ln ,)a +∞存在唯一零点.从而()f x 在(,)-∞+∞有两个零点.综上，a 的取值范围是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.21.解: (1)由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -.则(1)(1)AG a GB a ==-,,,.由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =. 所以E 的方程为2219x y +=.(2)设()()1122,,,,(6,)C x y D x y P t .若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<.由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以()1139t y x =+. 直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以()2233t y x =-. 可得()()1221333y x y x -=+.由于222219x y +=，故()()2222339x x y +-=-，可得()()12122733y y x x =-++，即 ()()22121227(3)(3)0m y ym n y y n ++++++=.①将x my n =+代入2219x y +=得()2229290my mny n +++-=.所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=++.代入①式得()()()22222792(3)(3)90m n m n mn n m +--++++=. 解得3n =-(舍去)，32n =.故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭. 若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 综上，直线CD 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 22.解：(1)当1k =时，414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎨=⎩消去参数t 得221x y +=，故曲线1C 是圆心为坐标原点，半径为1的圆.(2)当4k =时，414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎨=⎩消去参数t 得1C1, 2C 的直角坐标方程为41630x y -+=.由1,41630x y =-+=⎪⎩解得1,41.4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故1C 与2C 的公共点的直角坐标为11()44，. 23. .解：(1)由题设知13(),31()51(1)33(1).x x f x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪+>⎪⎪⎩，，，，()y f x =的图像如图所示.(2) 函数()y f x =的图像向左平移1个单位长度后得到函数(1)y f x =+的图像.()y f x =的图像与(1)y f x =+的图像的交点坐标为711,66⎛⎫-- ⎪⎝⎭.由图像可知当且仅当76x <-时，()y f x =的图像在()1y f x =+的图像上方.故不等式()()1f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题文(全国卷1,含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共5页，满分150分。
考生注意：1 •答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2•回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3 •考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 .已知集合A= x|x2 , B= x|3 2x 0，则3A. AI B= X|X2B. AI B3C. AU B x|x -2D. AU B=R2.为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位：kg)分别为X1, X2，…,X n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是的中心成中心对称•在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是绝密★启用前A. X1 , X2,…，X n 的平均数B. X1,C. X1, X2,…，X n的最大值 D. X1,3 .下列各式的运算结果为纯虚数的是A. i(1+i) 2B. i2(1-i)C.X2,…，X n的标准差X2,…,X n的中位数(1+i) 2 D. i(1+i).正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形A . f (x)在(0,2 )单调递增 B. f(x)在(0,2 )单调递减中，直接AB 与平面MNQT 平行的是x 3y 3,7 .设x ，y 满足约束条件x y 1,则z =x +y 的最大值为 y 0,9.已知函数 f(x) lnx ln(2 x)，则A. 1B . nC. 1D. n4 8 24 5.已知F 是双曲线C ： x 2- 2M=1的右焦点， P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直， 点A 的坐标是(1,3).则厶APF3的面积为A1 f 1 c2 r 3A .B.C.-D.-32326 .如图，在下列四个正方体中, A B 为正方体的两个顶点, M N, Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体A . 0B . 1C. 2D. 38..函数ysi n2 x 1 cosxA- M的部分图像大致为C. y = f (x)的图像关于直线 x =1对称D. y =f(x)的图像关于点(1,0 )对称A. A >1000 和 n =n +1B . A >1000和 n =n +213. 已知向量 a = (- 1, 2), b = (m 1).若向量a +b 与a 垂直，则n= _______________ .21 14. 曲线y x —在点(1 , 2)处的切线方程为 ____________________________________ .X nn15 .已知 a (0,—)，tan a =2，则cos (一)= 。
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4.设 O 为正方形 ABCD 的中心，在 O，A，B，C，D 中任取 3 点，则取到的 3 点共线的概率为（ ）
A. 1 5
C. 1 2
B. 2 5
D. 4 5
【答案】A
【解析】
【分析】 公众号：踽jǔ踽学者
列出从 5 个点选 3 个点的所有情况，再列出 3 点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.
又因为 B = −4,1,3,5 ，所以 A B = 1,3 ，
故选：D.
【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交
运算，属于基础题目.
2.若 z = 1 + 2i + i3 ，则 |z | = （ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 2
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【详解】如图，从 O,A,B,C,D 5 个点中任取 3 个有
{O, A, B},{O, A,C},{O, A, D},{O, B,C}
{O, B, D},{O,C, D},{A, B,C},{A, B, D}
{A,C, D},{B,C, D} 共10 种不同取法，
3 点共线只有{A,O,C} 与{B,O, D} 共 2 种情况，
由古典概型的概率计算公式知，
取到 3 点共线的概率为 2 = 1 . 10 5
故选：A
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细心做题 理性思考
【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题. 5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x（单位：°C）的关系，在 20 个不同的温度条 件下进行种子发芽实验，由实验数据 (xi , yi )(i = 1, 2, , 20) 得到下面的散点图：
因此，最适合作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类型的是 y = a + b ln x .
故选：D. 【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.
6.已知圆 x2 + y2 − 6x = 0 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
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A. {−4,1}
B. {1,5}
C. {3,5}
D. {1,3}
【答案】D 【解析】 【分析】
首先解一元二次不等式求得集合 A，之后利用交集中元素的特征求得 A B ，得到结果.
【详解】由 x2 − 3x − 4 0 解得 −1 x 4 ，
所以 A = x | −1 x 4 ，
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根据弦长公式最小值为 2 9− | CP |2 = 2 9 − 8 = 2 .
故选：B. 【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.
7.设函数 f (x) = cos(x + π ) 在[−π,π] 的图像大致如下图，则 f(x)的最小正周期为（ ） 6
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A. 10π 9
细心做题 理性思考
绝密★启用前
2020 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上 无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 A = {x | x2 − 3x − 4 0}, B = {−4,1,3,5}，则 A B = （ ）
公众号：踽jǔ踽学者 由此散点图，在 10°C 至 40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类型
的是（ ）
A. y = a + bx
B. y = a + bx2
C. y = a + bex
D. y = a + b ln x
【答案】D 【解析】 【分析】 根据散点图的分布可选择合适的函数模型. 【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
C. 4π 3
【答案】C
【解析】
【分析】
B. 7π 6
D. 3π 2
由图可得：函数图象过点
−
4 9
细心做题 理性思考
A. 1Biblioteka B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据直线和圆心与点 (1, 2) 连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.
【详解】圆 x2 + y2 − 6x = 0 化为 (x − 3)2 + y2 = 9 ，所以圆心 C 坐标为 C(3, 0) ，半径为 3 ，
设 P(1, 2) ，当过点 P 的直线和直线 CP 垂直时，圆心到过点 P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，
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A. 5 −1 4
B. 5 −1 2
C. 5 +1 4
D. 5 +1 2
【答案】C
【解析】
【分析】
设 CD = a, PE = b ，利用 PO2 = 1 CD PE 得到关于 a,b 方程，解方程即可得到答案. 2
【 的 详解】如图，设CD = a,PE = b ，则 PO = PE2 −OE2 = b2 − a2 ， 4
由题意 PO2 = 1 ab ，即 b2 − a2 = 1 ab ，化简得 4( b )2 − 2 b −1 = 0 ，
2
42
a
a
解得 b = 1 + 5 （负值舍去）. a4
故选：C.
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细心做题 理性思考
【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.
【答案】C 【解析】 【分析】
细心做题 理性思考
先根据 i2 = −1将 z 化简，再根据向量 模的计算公式即可求出．
的 【详解】因为 z =1+2i + i3 =1+2i − i =1+ i ，所以 z = 12 +12 = 2 ．
故选：C． 【点睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用，属于容易题． 3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方 形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 （）