6-弯曲杆的强度计算

⑸ 在集中力偶作用处，左右截面上的剪力图不变，而 弯矩图出现突变，其突变值等于该集中力偶的力偶矩。
⒊ 内力图的规律
6.2.2 微分关系法(绘制内力图的第二种方法)
⒈ 剪力V、弯矩M与荷载集度q之间的微分关系
研究表明，平面弯曲梁某段上剪力、弯矩与荷载集度 之间具有下列微分关系：
dV ( x) q ( x) dx
工程中的弯曲
工程中常见的梁，其横截面往往有一根对称轴，如 图6-8所示。 这根对称轴与梁轴所组成的平面，称为纵向对称平 面，如图6-9所示。
⒉ 单跨静定梁的类型
⑴悬臂梁：梁的一端固定，另一端自由。
⑵简支梁：梁的一端为固定铰支座， 另一端为可动铰支座。
⑶外伸梁：简支梁的一端或两端伸出支座之外。
6.1.2 梁的弯曲内力 ─ 剪力和弯矩的计算 ⒈ 剪力和弯矩的概念
VAC Fb l VCB Fb F Fa l l
2
≤l
[例6-5] 作图示简支梁的剪力图和弯矩图。 AC段: x1 0 : M A 0 x1 a : M C Fab l RA Fb l
RB Fa l
CB段: x2 a : M C Fab l x2 l : M B 0 AC段: MAC RA x1 CB段: MCB RA x2
AC段: VAC RA CB段: VCB RA
AC段: MAC
CB段: MCB
0 ≤ x ≤ a a ≤ x ≤l R x 0 ≤ x ≤ a R x m a ≤ x
1 2 A 1 A 1 2
2
≤l
[例6-6] 作图示简支梁的剪力图和弯矩图。 AC段: x1 0 : M A 0 x1 a : M C ma l RA m l
校核: Y =RA RB F1 F
=35+25 30 30 0
计算无误！
RA =35kN , RB =25kN
[例6-2] 求图示简支梁截面1-1上的剪力和弯矩。 解：⑴求支座反力 ⑵求截面1-1的内力 由Y 0得：RA F1 V1 0 V1 35 30 5kN
V1 F RA 4 5 1kN
根据“下凸外力矩取正”计算弯矩：
M1 RA 1 F 2 5 1 4 2 3kN m
RA 5kN , RB 2kN
子情境6.2 单跨静定梁弯曲时的内力图绘制方法 6.2.1 内力方程法(绘制内力图的第一种方法) ⒈ 剪力方程和弯矩方程
⑴ 在方向向下的均布荷载作用的梁段，剪力图为一条 斜向右下方的直线，而弯矩图是一条向下凸的二次抛物线。 ⑵ 在剪力等于零的截面上弯矩有极值。 ⑶ 在无荷载作用的梁段，剪力图是一条平行于梁轴线 的直线。而弯矩图是斜直线，且当剪力为正值时，弯矩图 斜向右下方；当剪力为负值时，弯矩图斜向右上方。 ⑷ 在集中力作用处，左右截面上的剪力图发生突变， 其突变值等于该集中力的大小，突变方向与该集中力的方 向一致；而弯矩图出现转折，即出现尖点，尖点方向与该 集中力的方向一致。
F 5+ q 2 1 m RA 4=0
4 5+ 1.5 2 1 3 RA 4 5kN
由M B =0得：
由M A =0得：
RA
校核:
Y =RA RB F 2q RB 4 F 1 q 2 3 m 0 =5 2 4 2 1.5 0
M1 25 4 30 2 40kN m
RA =35kN , RB =25kN
⒋ 简便法计算内力
V Y左 或 V Y右
M M C左 或 M M C右
⑴ 剪力的规律：梁内任一截面上的剪力在数值上等于 该截面一侧所有外力在垂直于梁轴线方向上投影的代数和。 若以所求内力的截面形心作为转动点，外力使研究对 象产生顺时针方向转动趋势时，该外力的投影取正号；反 之，取负号。“顺转投影取正”。
⑵ 弯矩的规律：梁内任一截面上的弯矩在数值上等于 该截面一侧所有外力(包括力偶)对该截面形心力矩的代数 和。
若将所求内力的截面固定,外力矩使研究对象产生下凸 弯曲变形时(即上侧受压、下侧受拉)，该外力矩取正号； 反之，取负号。“下凸外力矩取正”。
[例6-3] 求图示外伸梁截面1-1上的剪力和弯矩。 解：⑴求支座反力
1.5 2 3 4 1 3
2kN
4
计算无误！
RA 5kN , RB 2kN
[例6-3] 求图示外伸梁截面1-1上的剪力和弯矩。 解：⑴求支座反力 ⑵求截面1-1的内力 由1-1截面左侧部分的外 力来计算内力, 根据“顺转投 影取正”计算剪力：
dM ( x) V ( x) dx
结论二：梁上任一横截面上的弯矩对x的一阶导数等 于该截面上的剪力，这一微分关系的几何意义是：弯矩图 上某点切线的斜率等于相应截面上的剪力。
6.2.2 微分关系法(绘制内力图的第二种方法)
⒈ 剪力V、弯矩M与荷载集度q之间的微分关系
研究表明，平面弯曲梁某段上剪力、弯矩与荷载集度 之间具有下列微分关系：

2
V 1 ql qx, M 1 qlx 1 qx2 2 2 2
0 ≤ x ≤ l
[例6-5] 作图示简支梁的剪力图和弯矩图。 解：⑴求支座反力
由M B =0得： F b RA l =0
RA Fb l
由M A =0得： RB l F a=0
V 1 ql qx, M 1 qlx 1 qx2 2 2 2
0 ≤ x ≤ l
[例6-4] 作图示简支梁的剪力图和弯矩图。 ⑶绘制剪力图 x 0 : VA 1 ql 2 x l : VB 1 ql 2 ⑶绘制弯矩图
x 0 : MA 0 x l : MB 0 x l : M C 1 ql l 1 q l 2 2 2 2 2 1 ql 2 8
RB m CB段: l x2 a : M C ma m mb l l x2 l : M B m l m 0 l
AC段: MAC RA x1
CB段: MCB RA x2
0 ≤ x ≤ a m a ≤ x
1
2
≤l
⒊ 内力图的规律
学习情境6
弯曲杆的强度计算
学习要点：梁弯曲变形的概念；梁截面的内 力—弯矩和剪力; 截面法求梁的内力；梁的内力图; 荷载集度、剪力和弯矩之间的微分关系及其在绘制 内力图上的应用；叠加法绘制弯矩图。
教学目标：理解梁平面弯曲的概念及其受力特 点、变形特点；会用截面法计算梁的内力；掌握画 梁内力图的基本方法及其规律；会用叠加法画弯矩 图；掌握正应力分布规律及横截面上任一点的正应 力计算公式；理解正应力强度条件；熟练对梁进行 正应力强度校核。
0 ≤ x ≤ a F x a a ≤ x
1 2
2
≤l
[例6-6] 作图示简支梁的剪力图和弯矩图。 解：⑴求支座反力
由M B =0得： m RA l =0
RA m l
由M A =0得： m RB l =0
RB m l ⑵列剪力方程和弯矩方程
V1
M1
求得V1为正值, 表示V1的实际方向与假设的方向相同; M1为负值, 表示M1的实际方向与假设的方向相反。所以, 按 梁内力符号规定, 1-1截面上的剪力为正、弯矩为负。
[例6-2] 求图示简支梁截面1-1上的剪力和弯矩。 解：⑴求支座反力
M B =0, F1 5+F2 2 RA 6=0 RA = 30 5 30 2 35kN 6 M A =0, RB 6 F1 1+F2 4=0 RB = 30 1 30 4 25kN 6
⑷ 建立平衡方程，解出内力。
[例6-1] 求图示悬臂梁截面1-1上的剪力和弯矩。 解：取截面1-1右侧部分为 研究对象, 并作其受力图。
由Y 0得：V1 qa F 0 V1 4 2 5 13kN
a M qa Fa 0 由M1 0得： 1 2 M1 4 2 1 5 2 18kN m
为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，可 以根据剪力方程和弯矩方程分别绘制剪力图和弯矩图。用 沿梁轴线的横坐标x表示梁横截面的位置，用纵坐标表示 相应横截面上的剪力或弯矩，在土建工程中，习惯上把正 的剪力画在x轴的上方，负剪力画在x轴的下方；而把弯矩 图画在梁的受拉一侧，即正弯矩画在x轴的下方，负弯矩 画在x轴的上方。
M
V RA 由Y 0得：RA V 0
V V
M
由M C 0得： RA a M 0 M RA a
根据作用与反作用力的关 系, 其与从左段求出的V和 M大小相等、方向相反。
⒉ 剪力和弯矩的正、负号规定
⒊ 用截面法计算指定截面上的剪力和弯矩的步骤 ⑴ 计算支座反力； ⑵ 用假设的截面在需求内力处将梁截成两段，取 其中任一段作为研究对象； ⑶ 画出研究对象的受力图(截面上的剪力V和弯矩M 先假设为正的方向)；
RB Fa l
⑵列剪力方程和弯矩方程 AC段: VAC RA 0 ≤ x1 ≤ a CB段: VCB RA F AC段: MAC RA x1 CB段: MCB RA x2
a ≤ x
1 2
2
≤l
0 ≤ x ≤ a F x a a ≤ x
d 2 M ( x) q( x) 2 dx
结论三：梁上任一横截面上的弯矩对x的二阶导数等 于截面处的分布荷载集度，这一微分关系的几何意义是： 弯矩图上某点的曲率等于相应截面处的分布荷载集度。