材料力学第6章-弯曲应力分析与强度计算_4209846
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材料力学第6章-弯曲应力
实心与非薄壁截面梁
a与c 点处－单向应力
单辉祖,材料力学教程
b 点处－纯剪切
32
薄壁截面梁
d
a 点处－纯剪切
c 与d 点处－单向应力
b 点处－ 与 联合作用
单辉祖,材料力学教程 33
梁的强度条件
梁的强度条件 弯曲正应力强度条件： 材料单向应力许用应力 max [ ] 弯曲切应力强度条件： 材料纯剪切许用应力 max [ ] 强度条件的应用 细长非薄壁梁 ( max max ) max [ ] 短而高梁、薄壁梁、 M 小 FS大的梁或梁段 max [ ] max [ ] 对一般薄壁梁，还应考虑 、 联合作用下的 强度问题（参见第 8 章中的强度理论） 单辉祖,材料力学教程
单辉祖,材料力学教程
28
例 3-2 已知梁段剪力FS，试分析铆钉的受力
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29
FS
F2 F1 2
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30
§4 梁的强度条件与合理强度设计
梁危险点处的应力状态 梁的强度条件
梁的合理强度设计
例题
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31
梁危险点处的应力状态
2 I z0 A y0 dA
A y0dA 0
Cy0z0－形心直角坐标系 Oyz －任意直角坐标系 二者平行
16
I z I z0 Aa2
同理得：
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I y I y0 Ab2
例 题
例 2-1 已知：F=15 kN, l=400 mm, b=120mm, d=20mm 试计算：截面 B-B 的最大拉应力t,max与压应力c,max
a与c 点处－单向应力
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b 点处－纯剪切
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薄壁截面梁
d
a 点处－纯剪切
c 与d 点处－单向应力
b 点处－ 与 联合作用
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梁的强度条件
梁的强度条件 弯曲正应力强度条件： 材料单向应力许用应力 max [ ] 弯曲切应力强度条件： 材料纯剪切许用应力 max [ ] 强度条件的应用 细长非薄壁梁 ( max max ) max [ ] 短而高梁、薄壁梁、 M 小 FS大的梁或梁段 max [ ] max [ ] 对一般薄壁梁，还应考虑 、 联合作用下的 强度问题（参见第 8 章中的强度理论） 单辉祖,材料力学教程
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例 3-2 已知梁段剪力FS，试分析铆钉的受力
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FS
F2 F1 2
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30
§4 梁的强度条件与合理强度设计
梁危险点处的应力状态 梁的强度条件
梁的合理强度设计
例题
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梁危险点处的应力状态
2 I z0 A y0 dA
A y0dA 0
Cy0z0－形心直角坐标系 Oyz －任意直角坐标系 二者平行
16
I z I z0 Aa2
同理得：
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I y I y0 Ab2
例 题
例 2-1 已知：F=15 kN, l=400 mm, b=120mm, d=20mm 试计算：截面 B-B 的最大拉应力t,max与压应力c,max
材料力学第6章-弯曲应力分析与强度计算_4209846
静矩、形心及其相互关系 (设x轴方向单位面积上的力为1个单位)
y
z
y
zC
dA
y
C
z
yC
O
O A
z
分力之矩之和
S y zdA
A
合力之矩
S y AzC
S z AyC
S z ydA
A
（联想中值定理）
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
静矩、形心及其相互关系
z
A dA
y
如果y、z轴通过图形形心C， 上述各式中的Sy＝Sz＝0
C
a O´
y1
z
b
I y1 I y b A 2 I z1 I z a A I y1z1 I yz abA
2
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
y z1
与应力分析相关的截面图形几何性质
例 题 10 y
dA
dr
已知：圆截面直径d 求：Iy， Iz， IP
解：取圆环微元面积
dA 2 π rdr
z
IP 1 I y I z r 2 dA 2 2 A 4 1 d π d 2 r 2 2 π r dr 0 2 64 πd 4 IP 2I y 32
A
iy
Iy A
——图形对 y 轴的惯性半径
iz
Iz A
——图形对 z 轴的惯性半径
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 y
z
I y z 2 dA
材料力学基本第六章 弯曲强度
(2)当梁的跨度与横截面高度的比值较大时(如l / h >5)，纯 弯曲正应力公式对横力弯曲仍然适用。
6.3.3. 梁的弯曲正应力公式的应用于推广
在横力弯曲情况下： 横截面上既有正应力，又有切应力 横截面将发生翘曲，不再保持为平面
精确的分析表明：
当 l 5 时(细长梁) h
可按纯弯曲梁的正应力公式计算横力弯曲梁的正应力
组合图形——由几个简单图形（如矩形、圆形等） 组成的平面图形
如：
1.静矩
n
Sx
yd A
ydA
A n
A1 An n
i 1
Ai
yd A
S xi Ai yCi A yC
i 1
i 1
n
n
S y S yi Ai xCi A xC
i 1
i 1
y
xC C yC
x O
2.形心
n
Ai xCi
6.5.3 梁的弯曲强度计算机举例 例、图5-15a所示为起重设备简图。已知起重量(包含电
葫芦自重)F=30 kN，跨长l=5m。梁AB由No.20a工字钢
制成，许用应力 [σ]=170MPa，[τ]=100MPa。试校核梁
M Ey 2 dA E y2dA EI z
A
A
I z
y 2 dA
A
是梁横截面对中性轴的惯性矩。
1 M
EI z
EIz反映了梁抵抗弯曲变形的能力，称为梁的抗弯刚度。
1 M
EI z
代入
σ E y ρ
σ My Iz
梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力计算公式。
说明：
(1)纯弯曲正应力公式。
30
取参考坐标系 xy
6.3.3. 梁的弯曲正应力公式的应用于推广
在横力弯曲情况下： 横截面上既有正应力，又有切应力 横截面将发生翘曲，不再保持为平面
精确的分析表明：
当 l 5 时(细长梁) h
可按纯弯曲梁的正应力公式计算横力弯曲梁的正应力
组合图形——由几个简单图形（如矩形、圆形等） 组成的平面图形
如：
1.静矩
n
Sx
yd A
ydA
A n
A1 An n
i 1
Ai
yd A
S xi Ai yCi A yC
i 1
i 1
n
n
S y S yi Ai xCi A xC
i 1
i 1
y
xC C yC
x O
2.形心
n
Ai xCi
6.5.3 梁的弯曲强度计算机举例 例、图5-15a所示为起重设备简图。已知起重量(包含电
葫芦自重)F=30 kN，跨长l=5m。梁AB由No.20a工字钢
制成，许用应力 [σ]=170MPa，[τ]=100MPa。试校核梁
M Ey 2 dA E y2dA EI z
A
A
I z
y 2 dA
A
是梁横截面对中性轴的惯性矩。
1 M
EI z
EIz反映了梁抵抗弯曲变形的能力，称为梁的抗弯刚度。
1 M
EI z
代入
σ E y ρ
σ My Iz
梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力计算公式。
说明：
(1)纯弯曲正应力公式。
30
取参考坐标系 xy
材料力学06(第六章 弯曲应力)分析
F / 4 2 103 mm 134 mm
30 MPa 5493104 mm4
F 24.6 kN
因此梁的强度由截面B上的最大拉应力控制
[F] 19.2 kN
§6-3 梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件
Ⅰ、梁横截面上的切应力
分离体的平衡
横截面上切应力 分布规律的假设
横截面上弯曲切 应力的计算公式
二.工字形截面梁 1、腹板上的切应力
h
d
y
d
O
y b
O
' A*
y dA
FS
S
* z
Izd
S
* z
bd
2
h
d
d 2
h 2
d
2
y2
腹板与翼缘交界处
max
min
FS Izd
bd
h d
max O
中性轴处
max
FS
S
* z,m
ax
Izd
y
min
FS
bd
h
d
d
h
d
2
I z d 2
160 MPa 148 MPa
2
Ⅲ 梁的正应力强度条件
max 材料的许用弯曲正应力
中性轴为横截面对称轴的等直梁
M max
Wz
拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁
为充分发挥材料的强度，最合理的设计为
t,max
M max yt,max Iz
[
t]
c,max
M max yc,max Iz
Myc,max Iz
典型截面的惯性矩与抗弯截面系数 ( d D)
b
第六章 弯曲应力
近似公式:
Q
hb
47
腹板切应力的近似公式
因为: (1)腹板切应力近似为均匀分布;
(2)腹板负担了绝大部分剪力。
近似公式:
Q
hb
翼缘的切应力
特点
(1) 除了有平行于剪力Q的切应力 分量外，还有与剪力Q垂直的 切应力分量；
(2) 切应力数值与腹板的切应力相比较小。 48
箱形薄壁梁
假设 : t //
My
Iz
总结
假设 平面假设，单向受力假设
综合考虑三方面
( y) y
结论
( y) E ( y)
dA0 ydA M
A
A
中性轴位置：中性轴过截面形心
❖ 中性层曲率：1 M （Iz －惯性矩）
EI z （EIz －截面弯曲刚度）
正应力公式： ( y) My
Iz
max
M Wz
（Wz －抗弯截面系数）
y2)
8
24
则，距中性层 y处的切应力公式为:
Q
[
B
(H
2
h2 )
b
h2 (
y 2 )]
Izb 8
24
切应力分布如图。
45
距中性层 y处的切应力公式为:
Q [ B (H 2 h2) b (h2 y2)]
Izb 8
24
切应力分布如图。
最大切应力发生在中性轴处
max
Q[ Izb
BH 2 8
由切应力互等定理，得
QS
* z
Izb
计算Sz*
可用公式
S
* z
A1
y1
S
* z
b( h 2
y) [y
材料力学 第六章 弯曲应力
8
⒋ 变形物理关系
E E
y
其中y 为横截面上求应力那点相对中性轴的坐标， 为 中性层变形后的曲率半径。欲求横截面上一点应力必须知道 中性轴的位置和中性层的曲率半径。 ⒌ 静力关系 横截面正应力满足如下关系： z
N dA 0
A
M y z dA 0
A
y
x dA
第六章
§6–1 概述
弯曲应力
§6–2 弯曲正应力 § 6– 3 弯曲剪应力 §6–4 梁的强度计算
§6–5 提高梁强度的主要措施
2
§ 6–1
一、平面弯曲 P1
概述
P2
纵向对称面
3
二、弯曲 图示梁 AB 段横截面上 C 只有弯矩，而无剪力，该段 梁的弯曲称为纯弯曲。 Q
a A
P
P B
a D
C A与BD 段横截面上即
5.73106 mm4
18
P=50kN
A
P=20kN
C
30
B D 0.3m 0.3m 0.2m 4kN.m － ○
C
y1 38.2m m z y2 71.8m m
110
⊕
5.5kN.m
I z 5.73106 mm4
D 截面下边受拉，上边受压；B 截面上边受拉，下边
受压。比较可知最大压应力在D 截面的上边缘，而最大拉
A
157.5
Q图
RB=30kN RD=10kN 10kN ⊕
－ ○ － ○
30
M图
20 72.5 20kN 10kN B 截面最大拉应力： Bl Iz 20kN.m 20 157.5 B 截面最大压应力： By － ○ Iz ⊕ 10 10kN.m C 截面最大拉应力： cl 157.5 Iz 10 C 截面最大压应力： Cy 72.5 Iz
⒋ 变形物理关系
E E
y
其中y 为横截面上求应力那点相对中性轴的坐标， 为 中性层变形后的曲率半径。欲求横截面上一点应力必须知道 中性轴的位置和中性层的曲率半径。 ⒌ 静力关系 横截面正应力满足如下关系： z
N dA 0
A
M y z dA 0
A
y
x dA
第六章
§6–1 概述
弯曲应力
§6–2 弯曲正应力 § 6– 3 弯曲剪应力 §6–4 梁的强度计算
§6–5 提高梁强度的主要措施
2
§ 6–1
一、平面弯曲 P1
概述
P2
纵向对称面
3
二、弯曲 图示梁 AB 段横截面上 C 只有弯矩，而无剪力，该段 梁的弯曲称为纯弯曲。 Q
a A
P
P B
a D
C A与BD 段横截面上即
5.73106 mm4
18
P=50kN
A
P=20kN
C
30
B D 0.3m 0.3m 0.2m 4kN.m － ○
C
y1 38.2m m z y2 71.8m m
110
⊕
5.5kN.m
I z 5.73106 mm4
D 截面下边受拉，上边受压；B 截面上边受拉，下边
受压。比较可知最大压应力在D 截面的上边缘，而最大拉
A
157.5
Q图
RB=30kN RD=10kN 10kN ⊕
－ ○ － ○
30
M图
20 72.5 20kN 10kN B 截面最大拉应力： Bl Iz 20kN.m 20 157.5 B 截面最大压应力： By － ○ Iz ⊕ 10 10kN.m C 截面最大拉应力： cl 157.5 Iz 10 C 截面最大压应力： Cy 72.5 Iz
材料力学第6章-弯曲应力
Chapter Six
Stresses in Bending
第六章 弯曲应力
1
背景材料
本章基本要求 6.1 弯曲正应力 6.2 弯曲切应力 6.3 梁的强度及破坏
6.4 组合变形的应力 本章内容小结
2
背 景
材
料
F
横梁横截面上的应力如 何计算？行车移动时，这种 应力如何变化？
3
汽车在轮轴上的支 承为什么设计为叠板弹 簧的形式？这种结构有 什么优点？
3M max b 44.7 mm 2[ ] 故取 b = 45 mm
27
例6.2 欲把直径为 d 的圆木锯成承受竖直方向荷载的矩 形截面梁，若要使梁具有最大的强度，矩形的高 h 和宽 b
应成什么比例？
d b h
分析
强度最大
荷载相同时应力水平最低
max
M max W
W 为最大
建立 W 函数关系并求其极值
A
A
dA
z dx
A
1) 第一式：
FN dA
A
A
E
y dA
E
A
y dA
E
Sz 0
x
S z 0 重要结论：中性轴必定过形心
2) 第二式：
E
E
y
E M y z dA y zdA I yz A A
mn ( y ) d
z
dx dx x
mn mn ( y )d d mn d
y
m
d
y
n'
n
m'
Stresses in Bending
第六章 弯曲应力
1
背景材料
本章基本要求 6.1 弯曲正应力 6.2 弯曲切应力 6.3 梁的强度及破坏
6.4 组合变形的应力 本章内容小结
2
背 景
材
料
F
横梁横截面上的应力如 何计算？行车移动时，这种 应力如何变化？
3
汽车在轮轴上的支 承为什么设计为叠板弹 簧的形式？这种结构有 什么优点？
3M max b 44.7 mm 2[ ] 故取 b = 45 mm
27
例6.2 欲把直径为 d 的圆木锯成承受竖直方向荷载的矩 形截面梁，若要使梁具有最大的强度，矩形的高 h 和宽 b
应成什么比例？
d b h
分析
强度最大
荷载相同时应力水平最低
max
M max W
W 为最大
建立 W 函数关系并求其极值
A
A
dA
z dx
A
1) 第一式：
FN dA
A
A
E
y dA
E
A
y dA
E
Sz 0
x
S z 0 重要结论：中性轴必定过形心
2) 第二式：
E
E
y
E M y z dA y zdA I yz A A
mn ( y ) d
z
dx dx x
mn mn ( y )d d mn d
y
m
d
y
n'
n
m'
材料力学第6章弯曲应力
图6.5
页 退出
材料力学
出版社 理工分社
例6.1如图6.6所示，矩形截面悬臂梁受集中力和集中力偶作用。试求Ⅰ—Ⅰ 截面和固定端Ⅱ—Ⅱ截面上A，B，C，D ４点处的正应力。
图6.6
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解矩形截面对中性轴的惯性矩为 对于Ⅰ—Ⅰ截面，弯矩MⅠ=20 kN·m，根据式(6.2)，各点正应力分别为
页 退出
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(1)变形几何关系 弯曲变形前和变形后的梁段分别表示于图6.4(a)和(b)。以梁横截面的对称 轴为y轴且向下为正(见图6.4(c))。以中性轴为z轴，但中性轴的位置尚待确 定。在中性轴尚未确定之前，x轴只能暂时认为是通过原点的横截面的法 线。根据弯曲平面假设，变形前相距为dx的两个横截面，变形后各自绕中性 轴相对旋转了一个角度dθ ，且仍然保持为平面。这就使得距中性层为y的纵 向纤维bb的长度变为
式中积分
是横截面对y轴和z轴的惯性积。由于y轴是横截面的对
称轴，必然有Iyz=0(见附录)。所以式(g)是自然满足的。 将式(b)代入式(e)，得
式中积分∫Ay2dA=Iz是横截面对z轴(中性轴)的惯性矩。于是式(h)改写为 式中 ——梁轴线变形后的曲率。
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式(6.1)表明，EIz越大，则曲率 越小，故EIz称为梁的抗弯刚度。从式 (6.1)和式(b)中消去 ，得
而对于变截面梁，虽然是等截面梁但中性轴不是横截面对称轴的梁，在计算 最大弯曲正应力时不能只注意弯矩数值最大的截面，应综合考虑My/Iz的值 (参看例6.5和例6.8)。
页 退出
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引用记号
材料力学第六章弯曲应力
但相应的最大弯矩值变为
Fl ql2
M max
4
8
375 kN m 13 kN m 388 kN m
而危险截面上的最大正应力变为
max
388103 N m 2342106 m3
165.7106
Pa
165.7
MPa
显然，梁的自重引起的最大正应力仅为
165.7 160 MPa 5.7 MPa
<2>. 相邻横向线mm和nn，在梁弯曲后仍为直线，只是
相对旋转了一个角度，且与弧线aa和bb保持正交。
根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和 nn是梁的横截面与侧表面的交线，可作出如下推论(假设)：
平面假设 梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面， 只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后 的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。
力的值max为
max
M ym a x Iz
M
Iz ymax
M Wz
式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数（对Z轴）
(section modulus in bending)，其单位为m3。
b
h d
o
z
o
z
y
y
中性轴 z 不是横截面的对称轴时(参见图c)，其横截面 上最大拉应力值和最大压应力值为
A
r
(b)
M z
y d A E
A
r
y2 d A EI z M
A
r
(c)
由于式(a)，(b)中的
E
r
不可能等于零，因而该两式要求：
1. 横截面对于中性轴 z 的静矩等于零，A y d A 0 ；显
材力06弯曲应力详解
M y
(sdA)z
A
Eyz
E
dA
A
yzdA EI yz 0
A
（Iyz＝0）
2020/9/29
材料力学 第六章 弯曲应力
10
M z
(sdA) y
A
Ey 2 dA E
A
y 2dA EI z M
A
1 Mz
EI z
… …(3)
由式（2）和（3）
s M y
x
Iz
...... (4)
2020/9/29
材料力学 第六章 弯曲应力
1
主要内容
§6–1 梁的纯弯曲 §6–2 纯弯曲时的正应力 §6–3 横力弯曲时的正应力 §6–4 弯曲切应力 §6–5 提高弯曲强度的措施
2020/9/29
材料力学 第六章 弯曲应力
2
§6–1 梁的纯弯曲
弯曲构件横截面上的（内力）应力
内力
剪力Q 弯矩M
剪应力t 正应力s
平面弯曲时横截面只有s
纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况)
平面弯曲时横截面既有s又有t
横力弯曲(横截面上既有Q又有M的情况)
例如：
P1
P2
纵向对称面
aP A
Q
Pa
纯弯曲(Pure Bending):
B 某段梁的内力只有弯矩
没有剪力时，该段梁的变 形称为纯弯曲。如AB段。 x
x M
F
B
D
1m
FBY=10.5KN
弯矩图 M
弯矩图
2.5KN· m
X
2020/9/29
4KN·m
材料力学 第六章 弯曲应力
15
B截面和C截面应力分布规律图
第六章扭转与弯曲的强度计算
第六章 扭转与弯曲的强度计算
圆轴扭转时的内力、 第一节 圆轴扭转时的内力、应力和强度计算 载荷特点： 载荷特点：受绕轴线方向力 偶作用（ 偶作用（力偶作用面平行于 横截面） 横截面） 变形特点：横截面绕轴线 变形特点： 转动 内力： 内力：作用面与横截面重 合的一个力偶，称为扭矩 扭矩T 合的一个力偶，称为扭矩
解：1)由外力偶矩的计算 1)由外力偶矩的计算 1) 公式求个轮的力偶矩：
M A = 9549 PA/n =9550x36/300 =1146 N.m M B =M C = 9549 PB/n = 350 N.m M D = 9549 PD/n = 446 N.m
2)分别求1 截面上的扭矩，即为BC,CA,AD 2)分别求1-1、2-2、3-3截面上的扭矩，即为BC,CA,AD 分别求 段轴的扭矩。 段轴的扭矩。
由
T1 + M B = 0 得:T1 = -M B =-350N.m 由 M B + M C + T2 =0
=-M B -M C =-700N.m 由 M D -T 3 = 0
得 :T 3
得 :T 2
= M D = 446N.m
T 446N.m x 350N.m 700N.m
3)画扭矩图： 3)画扭矩图： 画扭矩图
WP 0.2 D1
G实心轴 G空心轴
T 1.5 ×106 D1 = 3 =3 = 53.03mm 0.2τ max 0.2 × 50.3
A1 L D12 = = 2 A2 L D − d 2
53 2 = 2 = 3.21 2 90 − 85
第三节 弯曲内力
一、平面弯曲的概念 弯曲变形是指杆的轴线由 弯曲变形是指杆的轴线由 直线变成曲线。 直线变成曲线。 以弯曲变形为主的杆件称 为梁。 梁的受力特点是在轴线平面 梁的受力特点是在轴线平面 内受到力偶矩或垂直于轴线 方向的外力的作用。 方向的外力的作用。
圆轴扭转时的内力、 第一节 圆轴扭转时的内力、应力和强度计算 载荷特点： 载荷特点：受绕轴线方向力 偶作用（ 偶作用（力偶作用面平行于 横截面） 横截面） 变形特点：横截面绕轴线 变形特点： 转动 内力： 内力：作用面与横截面重 合的一个力偶，称为扭矩 扭矩T 合的一个力偶，称为扭矩
解：1)由外力偶矩的计算 1)由外力偶矩的计算 1) 公式求个轮的力偶矩：
M A = 9549 PA/n =9550x36/300 =1146 N.m M B =M C = 9549 PB/n = 350 N.m M D = 9549 PD/n = 446 N.m
2)分别求1 截面上的扭矩，即为BC,CA,AD 2)分别求1-1、2-2、3-3截面上的扭矩，即为BC,CA,AD 分别求 段轴的扭矩。 段轴的扭矩。
由
T1 + M B = 0 得:T1 = -M B =-350N.m 由 M B + M C + T2 =0
=-M B -M C =-700N.m 由 M D -T 3 = 0
得 :T 3
得 :T 2
= M D = 446N.m
T 446N.m x 350N.m 700N.m
3)画扭矩图： 3)画扭矩图： 画扭矩图
WP 0.2 D1
G实心轴 G空心轴
T 1.5 ×106 D1 = 3 =3 = 53.03mm 0.2τ max 0.2 × 50.3
A1 L D12 = = 2 A2 L D − d 2
53 2 = 2 = 3.21 2 90 − 85
第三节 弯曲内力
一、平面弯曲的概念 弯曲变形是指杆的轴线由 弯曲变形是指杆的轴线由 直线变成曲线。 直线变成曲线。 以弯曲变形为主的杆件称 为梁。 梁的受力特点是在轴线平面 梁的受力特点是在轴线平面 内受到力偶矩或垂直于轴线 方向的外力的作用。 方向的外力的作用。
材料力学第六章弯曲应力1
d c
M
b
d
（1）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平 面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转 动了一个角度。
（2）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维 之间无挤压。
凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长
根据变形的连续性可知， 梁弯曲时从其凹入一侧的 纵向线缩短区到其凸出一 侧的纵向线伸长区，中间 必有一层纵向无长度改变 的过渡层--------称为中
q
y1 y2
y
z
b
解：1）画弯矩图
| M |max 0.5ql2 3 kNm
№10槽钢
2）查型钢表：
M
y1
y2
y
b 4.8cm, I z 25.6cm4 , y1 1.52cm y2 4.8 1.52 3.28cm
3）求应力：
M 3000 1.52 178 MPa t max y1 6 25 .6 10 Iz
中间层与横截面的交线 －－中性轴
性层 。 梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转 动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。
4、线应变的变化规律：
A1 B1 AB AB
a
c
( y )d d d
A1 B1 OO1 OO1
y
y
...... (1)
Mycmax cmax Iz
几种简单截面的抗弯截面系数 b ⑴ 矩形截面
h
z
bh3 Iz 12 b3h Iy 12
⑵ 圆形截面
y d
Iz bh2 Wz h/2 6 Iy b2h Wy b/2 6
材料力学第六章弯曲应力
3l/8 H
CD
Bx
l/4 l/4
x
1 ql
8
1 ql2 32
x
D
知正应力、正应变最 大值发生在H截面。
应用下述关系求应力与内力
应力～变形 关系：
E y
max
E
ymax
内力～变形或内力～应力关系：
1 M
EI z
或
M maxW
Page 15
第六章 弯曲应力
2. 应力计算
max
E
ymax
D d 0.701m
22
ymax
d
2
1.0 103 m
Page 5
第六章 弯曲应力
二、 组合变形
杆件的一般变形通常可分解为拉压、 扭转与弯曲变形的两种或三种基本 变形的组合。
三、 梁横截面上的弯曲应力 弯曲正应力 M 弯曲切应力 FS
四、 对称弯曲 梁具有对称截面，且在 纵向对称面承受横向外 力（或外力的合力）时 的受力与变形形式。
对称截面
Page 7
第六章 弯曲应力
§6-2 弯曲正应力
一、实验观测与假设（动画） 1. 外部变形观测
•纵向线：成圆弧线,上方纵向线 缩短，下方伸长
•横向线：保持直线，与横线正交 •顶与底部纵、横线变形比：符合 单向受力泊松效应
2. 内部变形假设
•平面假设：变形后横截面保持平面，仍与纵线正交 •单向受力假设
A
S y
zdA
A
分别称为对坐标轴x和y的静矩 或一次矩。
静矩的量纲： L3
o
y
z
z
dA
CD
Bx
l/4 l/4
x
1 ql
8
1 ql2 32
x
D
知正应力、正应变最 大值发生在H截面。
应用下述关系求应力与内力
应力～变形 关系：
E y
max
E
ymax
内力～变形或内力～应力关系：
1 M
EI z
或
M maxW
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第六章 弯曲应力
2. 应力计算
max
E
ymax
D d 0.701m
22
ymax
d
2
1.0 103 m
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第六章 弯曲应力
二、 组合变形
杆件的一般变形通常可分解为拉压、 扭转与弯曲变形的两种或三种基本 变形的组合。
三、 梁横截面上的弯曲应力 弯曲正应力 M 弯曲切应力 FS
四、 对称弯曲 梁具有对称截面，且在 纵向对称面承受横向外 力（或外力的合力）时 的受力与变形形式。
对称截面
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第六章 弯曲应力
§6-2 弯曲正应力
一、实验观测与假设（动画） 1. 外部变形观测
•纵向线：成圆弧线,上方纵向线 缩短，下方伸长
•横向线：保持直线，与横线正交 •顶与底部纵、横线变形比：符合 单向受力泊松效应
2. 内部变形假设
•平面假设：变形后横截面保持平面，仍与纵线正交 •单向受力假设
A
S y
zdA
A
分别称为对坐标轴x和y的静矩 或一次矩。
静矩的量纲： L3
o
y
z
z
dA
材料力学课件第六章弯曲应力
第6章 弯曲应力
※ 梁的纯弯曲 ※ 纯弯曲时的正应力 ※ 横力弯曲时的正应力 ※ 弯曲切应力 ※ 提高弯曲强度的措施
第三章 扭 转
§6.1 梁的纯弯曲
横截面上同时存在弯矩和剪力
横力弯曲
横截面上只有弯矩并无剪力
纯弯曲
f1(M ) f2 (Q)
第三章 扭 转
aP P a
A
B
C
D
QP
x
P
a
2
h
2 4
2
b
a y
第三章 扭 转
附录 2. 惯性矩和惯性半径
一、惯性矩
z
定义：图形面积对某轴的二次矩
IzAy2dA , IyA z2dA
y
dA
z
工程中常把惯性矩表示为平面图形的
面积与某一长度平方的乘积, 即
O
y
Iz Az2i, IyAy2i
或
iy
Iy , A
iz
E E y
3. 静力学关系
M z
N A dA 0
(1 )
M yA zdA 0 (2 ) M zAy dA M (3 )
y z y
x
dA
E E y
第三章 扭 转
NxAdAAEρydA0
Sz 0
ydA 0
A
中性轴过形心
1、组合图形对某一轴的静矩等于组成它的各部分图形对同一 轴静矩的代数和，即：
n
n
Sz Aiyi , Sy Aizi
i1
i1
其中：Ai， yi， zi 分别代表第 i 个图形的面积和形心坐标， n为分割成的简单图形的个数。
※ 梁的纯弯曲 ※ 纯弯曲时的正应力 ※ 横力弯曲时的正应力 ※ 弯曲切应力 ※ 提高弯曲强度的措施
第三章 扭 转
§6.1 梁的纯弯曲
横截面上同时存在弯矩和剪力
横力弯曲
横截面上只有弯矩并无剪力
纯弯曲
f1(M ) f2 (Q)
第三章 扭 转
aP P a
A
B
C
D
QP
x
P
a
2
h
2 4
2
b
a y
第三章 扭 转
附录 2. 惯性矩和惯性半径
一、惯性矩
z
定义：图形面积对某轴的二次矩
IzAy2dA , IyA z2dA
y
dA
z
工程中常把惯性矩表示为平面图形的
面积与某一长度平方的乘积, 即
O
y
Iz Az2i, IyAy2i
或
iy
Iy , A
iz
E E y
3. 静力学关系
M z
N A dA 0
(1 )
M yA zdA 0 (2 ) M zAy dA M (3 )
y z y
x
dA
E E y
第三章 扭 转
NxAdAAEρydA0
Sz 0
ydA 0
A
中性轴过形心
1、组合图形对某一轴的静矩等于组成它的各部分图形对同一 轴静矩的代数和，即：
n
n
Sz Aiyi , Sy Aizi
i1
i1
其中：Ai， yi， zi 分别代表第 i 个图形的面积和形心坐标， n为分割成的简单图形的个数。
梁的弯曲应力和强度计算
20kN.m
M max
10kN.m
2、求最大正应力
s在smm正axax、负MWM弯Wmz矩amxza作x用10下200，6截2150面06 抗2 弯 1模9量.2相M同Pa
3、校核强度
smax 19.2MPa s 40MP 安全
弯曲正应力强度计算
六、综合计算题
6Q bh3线
t max
3Q 2bh
3Q 2A
Q
t
最大剪应力为平均剪应力的1.5倍
t tmax
2、工字型截面梁 （1）分工：
翼缘主要承担弯矩 腹板承担95％~97％的剪力
（2）公式： t QSZ*
bI Z
（3）规律： 剪应力沿腹板高度仍按抛物线变化。
h b
圆形：
z
D
空心圆截面：
外径为D，内径为d, d
D
WZ
IZ ymax
64
D4 d 4 D
D3 1 4
32
2
例题：图示一空心矩形截面悬臂梁受均布荷载作用。已知梁跨
l=1.2m，均布荷载集度q=20kN/m，横截面尺寸为H=12cm， B=6cm，h=8cm，b=3cm。试求此梁外壁和内壁最大正应力。
解：（1）作弯矩图，
求最大弯矩
M ql 2 201.22
max
2
2
14.4kN m
（2）计算截面的惯性矩
IZ
BH 3 12
bh3 12
736cm4
（3）计算应力
s 外max
M max IZ
H 2
14.4 106 736104
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M x IP
r max
r max
I P 2dA
A
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及强 度、刚度、稳定问题，都要涉及到与截面图形 的几何形状和尺寸有关的量。这些量统称为几 何量，包括形心、静矩、惯性矩、惯性半径、 极惯性矩、惯性积、主轴等。
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩与惯性积的移轴定理
2 I z1 I z 2aS z a A I y1z1 I yz aS y bS z abA I y1 I y 2bS y b 2 A
y z1
A
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
y z1
z
惯性矩与惯性积的移轴定理
I y 1 z1 d A
2 A
dA O a O´ b
I y 1 z b dA
2 A 2 A
I z1 y1 dA
2 A
y
y1
z
I y1z1 y1 z1dA
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
y
z
I y z 2 dA
A
A
——图形对 y 轴的惯性矩
I z y 2 dA ——图形对 z轴的惯性矩
dA
I yz yzd A ——图形对 y z 轴的惯性积
A
A
O
r
y
z
I P r 2 dA ——图形对 O 点的极惯性矩
α O
I y1 I z1
z1
I y 1 z1 d A
2 A
α z
I z1 y1 dA
2 A
Iz I y 2 Iz I y 2
Iz I y 2 Iz I y 2
cos2 I yz sin2 cos2 I yz sin2
I y1z1 y1 z1dA
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩与惯性积的转轴公式
y 已知： Iy，Iz，Iyz ,α O α z 求： Iy1，Iz1，Iy1z1
α
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
y
y
y1 zsin ycos z1 zcos ysin
y1 z
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
I y1 I z1
Iz I y 2 Iz I y 2
Iz I y 2 Iz I y 2
cos2 I yz sin2 cos2 I yz sin2
I y0 z0 yzdA 0
A
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形 几何性质
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第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
问题: 为什么要研究截面图形 的几何性质?
x const.
FN
dA F
A x
N
x dA FN
A
Mx
O
r
FN x A
y
I y0 z0 yzdA 0
A
α0 α0 O z
tan2 0
2 I yz Iy Iz
I y 0 I max I y I z 1 I z 0 I min 2 2
I
y
2 I z 4 I yz 2
可以证明，图形对于过一点不同坐标轴的惯性矩各不相同， 而对于主轴的惯性矩是这些惯性矩的极大值和极小值。
S y zdA
A
S y AzC
S z ydA
A
S z AyC
A
S yC z A
ydA A
zC
Sy A
zdA
A
A
已知静矩，可以确定图形的形心坐标 已知图形的形心坐标，可以确定静矩
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
y
zC
I y1z1
I y Iz 2
sin2 I yz cos2
tan2 0
2 I yz Iy Iz
I y 0 I max I y I z 1 I z 0 I min 2 2
I
y
2 I z 4 I yz 2
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
与应力分析相关的截面图形几何性质
静矩、形心及其相互关系
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
静矩、形心及其相互关系
y
z
S y zdA
A
——图形对于 y 轴的静矩
dA
y
O
z
S z ydA
A
——图形对于 z 轴的静矩
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
静矩、形心及其相互关系
对于组合图形
n
S z A1 y C1 A2 y C 2 An y Cn Ai y Ci i 1 n S y A1 z C1 A2 z C 2 An z Cn Ai z Ci i 1 n
A
I y1z1
I y Iz 2
sin2 I yz cos2
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
y
z
dA
y
O
I yz yzdA 0
A
z
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
z y
z y
dA
y z
y
O O
I yz yzdA 0
与应力分析相关的截面图形几何性质
例 题 10 y
dA
dr
已知：圆截面直径d 求：Iy， Iz， IP
解：取圆环微元面积
dA 2 π rdr
z
IP 1 I y I z r 2 dA 2 2 A 4 1 d π d 2 r 2 2 π r dr 0 2 64 πd 4 IP 2I y 32
z
A dA
y
如果y、z轴通过图形形心C， 上述各式中的Sy＝Sz＝0
C
a O´
y1
z
b
I y1 I y b A 2 I z1 I z a A I y1z1 I yz abA
2
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
y z1
A
I P r 2 dA
A
＞0
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径
y
z
I y z 2 dA
A
I z y 2 dA
A
dA
A
O
r
I P r 2 dA
A
y
z
IP I y I z
第6章 梁的应力分析与强度计算
A
y1=y＋a z1=z＋b
I z 1 y a dA
A
I y1z1 y a z b dA
2 I z1 I z 2aS z a A I y1z1 I yz aS y bS z abA I y1 I y 2bS y b 2 A
A
iy
Iy A
——图形对 y 轴的惯性半径
iz
Iz A
——图形对 z 轴的惯性半径
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 y
z
I y z 2 dA
A
＞0
dA
y
I z y 2 dA ＞ 0
A
O
z
I yz yzd A ＞ 0 或 ＜ 0
静矩、形心及其相互关系
Sz yC A
yC
A
ydA A
C
O z
zC
Sy A
zdA
A
A 如果轴通过图形形心，则图形对这一轴的静矩等于零。 如果图形对轴的静矩等于零，则这一轴通过图形形心。 图形形心与坐标系（观察者）无关。
A
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
静矩、形心及其相互关系 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 惯性矩与惯性积的移轴定理
惯性矩与惯性积的转轴的概念 主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩
组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩 的计算方法
第6章 梁的应力分析与强度计算
z
惯性矩与惯性积的移轴定理
A dA
y
O
a O´
y1
I y1 I y b 2 A 2 I z1 I z a A z I y1z1 I yz abA
b 因为面积及包含a2、b2的项恒为正，故自形心 轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。
a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，要 注意二者的正负号；二者同号时abA为正，异号时 为负。所以，移轴后惯性积有可能增加也可能减少。