材料力学——弯曲应力

弯曲正应力的分布规律
沿高度 沿宽度
3、静力学关系
dA FN 0
A
E y
Sz 0 中性轴过截面形心
M y z dA 0
A
M z y dA M
A 1M
EIZ
坐标轴是主轴
中性层的曲率计算公式 EIz 抗弯刚度
4、弯曲正应力计算公式
变形几何关系 y
物理关系 E
静力学关系
观察建筑用的预制板的特征，并给出合理解释
P
为什么开孔？孔开在何处？ 可以在任意位置随便开孔吗？ 为什么加钢筋？ 施工中如何安放？
你能解释一下托架开孔合理吗？托架会不会破坏？
伽利略 Galilei (1564-1642) 此结论是否正确？
回顾与比较
内力
应力公式及分布规律
均匀分布 F
A
线形分布 T
相对旋转一个角度后， 仍然与纵向弧线垂直。
（二）提出假设：
1、平面假设： 变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面； 横截面绕某一轴线发生了偏转。
瑞士科学家Jacob.贝努力 于1695年提出梁弯曲的平面假设
观察纵向纤维之间有无相互作用力
2、假设： 纵向纤维之间没有相互挤压， 各纵向纤维只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。
注意
（5）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压; 正应力的正 负号（拉或压）可根据弯矩的正负 及梁的变形状态来 确定。
（6）熟记矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式。
例：矩形截面简支梁承受均布载荷作用,如图所示
q=60KN/m
120
A
B
1m C
3m
180
30 K
z
1、C 截面上K点正应力
y
2、C 截面上最大正应力
公式推导
线应变的变化规律 与纤维到中性层的距离成正比。 从横截面上看： 点离开中性轴越远，该点的线应变越大。
2、物理关系
当σ<σP时
虎克定律
弯曲正应力的分布规律
E E y
a、与点到中性轴的距离成正比；
沿截面高度 线性分布；
y
z
b、沿截面宽度 均匀分布；
c、正弯矩作用下， 上压下拉；
d、危险点的位置， 离开中性轴最远处.
FBY
3、C 截面上K点正应力
弯矩 MC 901 6010.5 60kN m
公式
K
M C yK IZ
60103 60103 5.832 105
61.7MPa （压应力）
4、C 截面上最大正应力
Cmax
M C ymax IZ
60103 90103 5.832 105
92.55MPa
反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响
最大弯曲正应力计算公式
max
M
WZ
6、常见图形的惯性矩及抗弯截面系数：
z hb
d z
D dz
Iz
1 bh3, 12
Wz
1 bh2 6
Iz
d4,
64
Wz
32
d3
Iz
(D4
64
d4)
D4 (1 4 )
64
Wz
32
D3(1 4 )
现代梁分析理论与伽利略结论对比
3、全梁上最大正应力
4、已知E=200GPa，C 截面的曲率半径ρ
180
1、截面几何性质计算
120
z
确定形心的位置 确定形心主轴的位置
确定中性轴的位置
IZ
bh3 12
0.12 0.183 12
5.832105 m4
q=60KN/m
A
1m C
FAY
3m
120
30
K
z
180
y
2. 求支反力
B
FAy 90kN FBy 90kN
1M
EIZ
E y
正应力公式
My
IZ
1826年纳维在《材料力学》讲义中给出正确计算公式
弯曲正应力计算公式 弯曲正应力分布规律
My
IZ
适用范围：平面弯曲 比例极限内
5、横截面上最大弯曲正应力
max
Mym a x Iz
M I z / ymax
Wz
Iz ym a x
——截面的抗弯截面系数；。
科学家与时代同步 伽利略时代钢铁没有出现
但他开辟了理论与实践 计算构件的新途径。
是“实验力学”的奠基 人
观察建筑用的预制板的特征，并给出合理解释
P
一、横力弯曲
横力弯曲时的正应力
F
Fs
F
x
M x
FL
横截面上内力
剪力+弯矩
横截面上的应力 既有正应力， 又有切应力
横力弯曲时的横截面
横截面 不再保持为平面 且由于切应力的存在，也不能保证纵向纤维之间没有正应力
IZ
1、纯弯曲或细长梁的横力弯曲;
2、弹性变形阶段;
注意
（1）计算正应力时，必须清楚所求的是哪个截面上的应力， 从而确定该截面上的弯矩及该截面对中性轴的惯性矩；
（2）必须清楚所求的是该截面上哪一点的正应力， 并确定该点到中性轴的距离，以及该点处应力的符号
（3）特别பைடு நூலகம்意正应力沿高度呈线性分布；
（4）中性轴上正应力为零， 而在梁的上下边缘处分别是最大拉应力和最大压应力。
q=60KN/m
A
1m C
FAY
3m
5、全梁上最大正应力
B
FAy 90kN FBy 90kN
FBY
作内力图 危险截面
FS 90kN
x 90kN
M ql2 / 8 67.5kN m
观察纵向纤维的变化
在正弯矩的作用下， 偏上的纤维 缩短，
偏下的纤维 伸长。
凹入一侧纤维 缩短；
凸出一侧纤维伸长。
中性层
ΔL<0
ΔL>0
ΔL=0 既不伸长也不缩短
中性层 －－纤维长度不变
中性轴
各横截面绕 中性轴发生偏转。
（三）理论分析：
y
z
两直线间的距离
y的物理意义
纵向纤维到中性层的距离； 点到中性轴的距离。
IP
M
?
FA
FS
?
y
纯弯曲 纯弯曲时的正应力 横力弯曲时的正应力 强度条件
弯曲切应力 提高梁强度的措施
一、纯弯曲
纯弯曲
Fs
F
F
M
Fa
Fa
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力 －－纯弯曲
梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力 －－横力弯曲
纯弯曲
纯弯曲的内力 剪力Fs=0
1、变形几何关系 2、物理关系
二 横力弯曲正应力
纯弯曲正应力公式 My
IZ
弹性力学精确分析表明：
对于跨度 L 与横截面高度 h 之比 L / h > > 5的细长梁，
用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲正应力， 误差<<2%
满足工程中所需要的精度。
横力弯曲最大正应力
max
Mymax Iz
弯曲正应力公式适用范围
弯曲正应力公式 My
3、静力学关系
横截面上没有切应力 只有正应力。
弯曲正应力的 分布规律和计算公式
1、变形几何关系 （一）实验观察现象：
施加一对正弯矩，观察变形
观察到纵向线与横向线有何变化？
变化的是： 1、纵向线的长度 2、两横截面的夹角 3、横截面的宽度
纵向线 横向线
由直线
曲线 各纵向线的长度还相等吗？
由直线
直线 各横向线之间依然平行吗？