弯曲杆件正应力计算公式
弯矩与应力的关系公式
弯矩与应力的关系公式【实用版】目录1.弯矩与应力的基本概念2.弯矩与应力的关系公式推导3.弯矩与应力的关系在实际工程中的应用正文1.弯矩与应力的基本概念弯矩是描述杆件受力产生弯曲的物理量，它是力矩的一种表现形式。
在结构力学中，弯矩通常用 M 表示，单位为牛顿米（N·m）或千牛顿米（kN·m）。
应力是描述材料内部受力情况的物理量，它是单位面积上受到的力。
在结构力学中，应力通常用σ表示，单位为帕斯卡（Pa）或兆帕（MPa）。
2.弯矩与应力的关系公式推导弯矩与应力之间的关系可以通过杆件的弯曲变形来推导。
对于一个长为 L 的杆件，在受到弯矩 M 的作用下，会发生弯曲。
假设弯曲的角度为θ，则在弯曲部分的某一截面上，由于拉伸和压缩的应力分布不均匀，会产生一个应力σ。
根据力学原理，我们可以得出以下公式：M = EI * θσ = M / (π * r^3)其中，E 为材料的弹性模量，I 为截面的惯性矩，θ为弯曲角度，r 为截面上任意一点到中性轴的距离。
3.弯矩与应力的关系在实际工程中的应用在实际工程中，了解弯矩与应力的关系非常重要。
通过这一关系，可以分析结构的强度、刚度和稳定性。
在设计结构时，需要根据弯矩与应力的关系，选择合适的材料和截面形状，以保证结构在受力情况下不会发生破坏。
例如，对于桥梁结构，在车辆行驶过程中，梁体会受到不同方向和大小的弯矩作用。
为了保证桥梁的安全和稳定，需要根据弯矩与应力的关系，合理设计梁体的截面形状和材料，以承受这些弯矩。
总之，弯矩与应力的关系在结构力学中具有重要意义。
工程力学(杆件弯曲受力分析计算)
教学设计三杆件弯曲受力分析计算在学习绘制杆件弯曲受力分析图后，我们来学习一下杆件的弯曲受力分析计算，即我们杆件弯曲时在横截面上产生的弯曲正应力和弯曲剪应力的计算。
问题一，杆件弯曲横截面正应力计算问题梁在弯曲变形时，梁轴线方向截面纤维曲线，下部拉伸变长，上部压缩变短。
我们选取杆件的某段横截面，其截面上某处的微分段面积dA如图8.2所示。
由该截面的积分得到，截面为弯矩M大小为公式8.1。
（公式8.1）根据广义胡可定律得到公式8.2与弯曲应变几何条件分析公式8.3得到公式8.4。
（公式8.2）（公式8.3）（公式8.4）其中，ρ为梁弯曲的曲率半径。
将公式8.4和8.1合并得到公式8.5。
（公式8.5）分析公式8.5，其中：为截面绕Z轴的惯性矩。
公式8.5变形为8.6。
ρρρρρεyydxdx==-+=∆=dθdθdθdθy)dθ(⎰⋅=AyM dAσεσ⋅=EρεσyEE==⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=AA AyEyyEyM dAdAdA2ρρσZAIy=⎰dA2（公式8.6）将公式8.6与公式8.4合并，得到公式8.7（公式8.7）公式8.7为杆件弯曲截面上弯曲正应力一般计算公式。
如图8.2所示，y 为惯性轴到所计算应力位置的距离，分析公式我们发现当y 为0时，截面正应力为零，当y 等于截面高度一半时，截面正应力最大，说明在杆件中间有一条纤维线在受力弯曲时既不拉伸变长也不压缩变短，我们称这条纤维曲线为杆件的中性轴，此轴所在的水平层称为中性层，而在杆件截面上下边缘处，存在最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力，也就是极值问题的出现。
我们引入新的物理量W ，抗弯截面模量，它的计算式为8.8。
（公式8.8）公式8.7可以化简为极值公式8.9。
（公式8.9）例题分析讲解 【例1】图8.3所示，悬臂矩形截面杆件，截面O 1上有A 、B 、C 、D 点，求它们的弯曲正应力。
【解】计算悬臂梁的弯矩计算梁截面的惯性矩计算抗弯截面模量 计算各点的正应力yIW Z=m kN 6.488.130212⋅=⨯⨯=M 001067.0124.02.01233=⨯==bh I 00533.0124.02.0622=⨯==bh W Z WM Z =σZZ I E M ⋅=ρ1y I M ZZ=σ（拉）MPa 12.900533.06.48===Z Z a W M σ（压）m 9.12kN a d ⋅=-=σσ0b =σ（压）4.55MPa 0.1106700.06.48b c =⨯==y I M Z Z σ问题二，杆件弯曲横截面剪应力计算问题与弯曲正应力不同，在截面上各点的弯曲剪应力指向相同，不论是否在中性层的上侧还是下侧；在同一剪力段，同一层的各点剪应力大小相同。
工程力学常用公式
工程力学常用公式3、伸长率：* 1。
％断面收缩率： 字100%5、扭转切应力表达式：^，最大切应力：maxTP RW p ， d 44I P ”（1），W P d'(1 4)，强度校核： 16max TmaxW P[]6、单位扭转角：d—，刚度校核：maxTmax[]， 长度为1dx Gl pGI P的一段轴两截面之间的相对扭转角證，扭转外力偶的计算公式: Me 9549P（KWLn（r/m in ）8平面应力状态下斜截面应力的一般公式:最大切应力max -'' - ( x y )22，最大正应力方位2 Y 21、轴向拉压杆件截面正应力 牛，强度校核max2、轴向拉压杆件变形IFi Ni l i 4、胡克定律： E ，泊松比:，剪切胡克定律：G7、薄壁圆管的扭转切应力:T 2 R 29、 x yx ycos22 2 xsin 2-sin 2 x cos2平面应力状态三个主应力:II「（ x 2y）2X， ''' 01、100%tan2 0 2xx y10、第三和第四强度理论: r3 X 24 2， r4211、平面弯曲杆件正应力:M ，截面上下对称时，MW Z矩形的惯性矩表达式：I Z兽圆形的惯性矩表达式:I ZV(1 644)矩形的抗扭截面系数：W Z £圆形的抗扭截面系数:W Z 4)13、平面弯曲杆件横截面上的最大切应力:F s S max* zmaxbi z14、平面弯曲杆件的强度校核：（1）弯曲正应力tmax [t ]， cmaxc]（2）弯曲切应力max []（3）第三类危险点：第三和第四强度理论 16、（ 1）轴向载荷与横向载荷联合作用强度： ()FN M maxmax (min 丿15、平面弯曲杆件刚度校核：叠加法 严 [f]， max []（2）偏心拉伸（偏心压缩）:max ( min)A（3）弯扭变形杆件的强度计算:工程力学常用公式伸长率: F N ； A ；FA ；泊松比E 2(1 )，l bI 0l 0100%，断面收缩率:A o A b A 02、扭转: { M }N gm9549 {P}kW ,{ n} r/ min,W p max TW p，3、4、ddxTGIP，TloGI P弯曲:MdxEl应力状态:MET Z，MyIT，maxMy maxIlMW zd 2wdx2MEIM , xdx)dx CxEIx sin2i2cos 2；x y )22tg2 o拉压强度条件：max(F N)[\ 八/max L扭转强度条件：max(T)[]W p扭转刚度条件：(T)max []GI P梁的弯曲强度条件M maxmaxW.梁弯曲的刚度条件:V V max[]-欧拉公式：F c r -2EIl2，2Ecr 2柔度：-惯性半径:max(min][],maxi x y2max,max . [](丿max [],I zi'■ A。
弯曲杆件正应力计算公式课件
曲杆件的性能。
基于能量方法的正应力计算
01
基于能量方法的正应力计算的扩展
能量方法是分析结构的一种有效方法。通过能量方法，可以更准确地计
算正应力分布。
02
考虑材料弹性的影响
在能量方法中，可以考虑材料的弹性性质，从而更准确地计算应力分布
。
03
基于能量方法的复杂结构分析
对于复杂的结构，基于能量方法可以更有效地进行正应力计算和分析。
03
弯曲杆件正应力计算公式应用
简单弯曲杆件的正应力计算
01
02
03
定义简单弯曲杆件
一个具有均匀截面、承受 沿轴线方向作用的力的直 杆。
推导公式
基于弹性力学和材料力学 的知识，利用能量法或偏 微分方程求解。
公式应用
计算简单弯曲杆件的正应 力分布，包括截面应力和 跨中应力。
复杂弯曲杆件的正应力计算
数值模拟和实验研究
未来研究可以通过数值模拟和实 验研究来进一步验证和改进弯曲 杆件正应力计算公式的准确性和 适用范围。同时，也可以通过这 些方法来研究复杂加载条件下的 正应力分布和结构响应。
多学科交叉和工程应 用
未来的研究可以进一步拓展弯曲 杆件正应力计算公式在其他学科 中的应用，如生物力学、地质力 学等。同时，该公式在工程中的 应用也需要不断改进和创新，以 适应不断发展的工程需求。
3. 变形前各横截面为平面，变形后仍为 平面。
2. 忽略材料加工硬化和蠕变等影响。
弯曲的基本假设 1. 杆件为理想弹性体，无初应力存在。
弯曲的应变与应力
应变
杆件在弯矩作用下，任意截面上 的点沿着与轴线垂直的方向移动 ，导致截面发生翘曲变形。
应力
由于截面翘曲变形，导致截面上 各点存在应力。
机械基础——第三章第三节 杆件的应力及强度计算
二、杆件的强度计算 （一）拉伸与压缩的强度计算
1、拉伸与压缩杆件截面上的正应力
正应力用σ表示。 σ是希腊字母，英文sigma，汉语译音为“西格玛”。
FN A
σ —— 横截面上的正应力，MPa； FN —— 横截面上的轴力，N ；
A —— 横截面的面积，mm2。
2、强度计算
max
FN A
2 2 FN pA D d ) 1 p( 4 4
例3-4 某铣床工作台进给油缸如图所示，缸内工作油压p＝ 2MPa，油缸内径D＝75mm，活塞杆直径d＝18mm，已知活 塞杆材料的许用应力[σ]＝50MPa，试求校核活塞杆的强度。 解：（1）活塞的轴力：
2 2 FN pA D d ) 1 p( 4 4
拖车挂钩
例：如图所示，拖车挂钩靠销钉连接。已知挂钩部分的钢板厚度 δ＝8 mm，销钉材料的许用剪切应力[τ]＝60 MPa，许用挤压 应力[σiy]＝100 MPa， 拖力F＝15 KN。试设计销钉的直径d。
解：（1）按剪切强度计算：
销钉的横截面积 由剪切强度公式
FQ F FQ
例：如图所示，拖车挂钩靠销钉连接。已知挂钩部分的钢板厚度 δ＝8 mm，销钉材料的许用剪切应力[τ]＝60 MPa，许用挤压 应力[σiy]＝100 MPa， 拖力F＝15 KN。试设计销钉的直径d。
ρ——横截面上任一点距圆心和距离，单位mm；
的大小与截面形状和尺寸有关，单位mm4。
Ip——横截面的极惯性矩，它表示截面的几何性质，它
上式表明，横截面上任一点处切应力的大小，与该点到 圆心的距离ρ成正比。
由上式可知：圆心处的切应力为零，同一圆周上各点切应力 相等，在横截面边缘上，ρ达到最大值R，该处切应力最大：
杆件正应力怎么求计算公式
杆件正应力怎么求计算公式杆件正应力的计算公式。
在工程力学中，杆件正应力是指在杆件内部由外部加载引起的正向拉伸或压缩应力。
正应力的计算是工程设计中非常重要的一部分，它可以帮助工程师确定杆件是否能够承受外部加载，并且可以帮助工程师选择合适的材料和尺寸来设计结构。
杆件正应力的计算公式可以通过简单的力学原理推导得出。
在这篇文章中，我们将介绍杆件正应力的计算公式，并且讨论一些实际应用中的例子。
杆件正应力的计算公式可以表示为：σ = P / A。
其中，σ表示杆件的正应力，P 表示施加在杆件上的外部力，A 表示杆件的横截面积。
这个公式的推导可以通过简单的力学原理来进行。
当一个外部力 P 作用在杆件上时，杆件内部会产生一个与外部力方向相反的内部应力。
根据牛顿第三定律，这个内部应力的大小与外部力的大小相等，方向相反。
而杆件的横截面积 A 则可以用来表示内部应力的分布情况。
因此，杆件的正应力可以表示为外部力 P 与横截面积 A 的比值。
在实际应用中，杆件正应力的计算可以通过这个简单的公式来进行。
例如，当一个钢杆承受一个拉力时，我们可以通过测量钢杆的横截面积和外部拉力来计算钢杆的正应力。
这个计算可以帮助工程师确定钢杆是否能够承受这个拉力，并且可以帮助工程师选择合适的钢材来设计结构。
除了上面提到的简单拉力的情况，杆件正应力的计算公式也可以应用在其他复杂的情况中。
例如，在梁的设计中，梁的横截面积不是均匀的，因此我们可以通过积分的方法来计算梁的正应力分布。
这个计算可以帮助工程师确定梁在不同位置的正应力大小，并且可以帮助工程师选择合适的梁的尺寸和材料来设计结构。
除了简单的拉力和梁的设计，杆件正应力的计算公式也可以应用在其他工程结构的设计中。
例如，在桥梁的设计中，我们可以通过计算桥梁的正应力来确定桥梁的承载能力，并且可以帮助工程师选择合适的桥梁的尺寸和材料来设计结构。
总之，杆件正应力的计算公式是工程设计中非常重要的一部分。
通过这个简单的公式，工程师可以确定杆件是否能够承受外部加载，并且可以帮助工程师选择合适的材料和尺寸来设计结构。
弯曲杆件应力计算公式-精选文档
M m ax m ax W z
max
F Q S
* zmax
Iz b
2. 设计截面 圆截面： 矩形截面：
W M z max
4 3 I d 64 d z W z y d2 32 max 3 2 Iz bh12 bh W z y h2 6 max
2.切应力强度条件
对于等截面直梁，全梁的最大切应力发生在FQmax 所在截面的中性轴处。
max
F Q S
* zmax
当杆件出现以下情况之一时，必须校核切应 力强度，甚至由切应力强度条件来控制： （1）梁的跨度较小或荷载作用在支座附时。 （2）某些组合截面梁（如焊接的工字形钢板 梁），当腹板厚度与高度之比小于相应型钢的相 应比值时。 （3）木梁或玻璃等复合材料梁。
Iz b
3.主应力强度条件
当截面为三块矩形钢板 焊接而成的工字形：
a z b y
M
τmin
2 1 2 2
2
τmax τmin
2 3 2 2
2
二、强度计算
1. 强度校核
3. 确定许用荷载
M W max z
例1 下图所示木梁，已知[σ]=10MPa， [τ]=2MPa，b=140mm，h=210mm，校核梁 强度。 解
=4m
h
q=2kN/m
z
b
4kN FQ图 4kN
M图 4kN m ·
作FQ 和M 图
F 4KN Q max
M 4 KN m max
复习：
弯曲杆件正应力计算公式：
《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力
第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。
二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。
四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。
2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。
3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。
4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。
（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。
3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。
（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。
2、固定铰支座——有二个约束反力。
3、可动铰支座——有一个约束反力。
（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。
求：距A 端x 处截面上内力。
解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。
弯钢计算公式范文
弯钢计算公式范文弯钢计算是建筑工程中重要的一项工作，它涉及到对材料的力学性能和几何形状的综合分析，以确定弯曲强度和弯曲角度等参数。
在弯钢计算中，有一些基本公式和理论可以帮助我们进行准确的计算。
以下是一些常用的弯钢计算公式：1.弯曲应力的计算公式弯曲应力是指材料在受到外力作用下，由于受到弯曲而产生的应力。
对于弯曲应力的计算，我们可以使用如下公式：σ=(M·y)/I其中，σ为弯曲应力，M为弯矩，y为截面形心距（即受力点到截面内各点形心的距离），I为截面抵抗弯曲的惯性矩。
2.弯曲角度的计算公式弯曲角度是指材料在受到外力作用下，由于受到弯曲而产生的变形。
对于弯曲角度的计算，我们可以使用如下公式：θ=(L·100)/(π·R)其中，θ为弯曲角度，L为受力点到弯曲点的距离，R为曲率半径。
3.弯曲力矩的计算公式弯曲力矩是指作用于弯曲杆件上的力矩，它反映了弯曲杆件在弯曲过程中所受到的力的大小。
对于弯曲力矩的计算，我们可以使用如下公式：M=F·L其中，M为弯曲力矩，F为作用于杆件上的力，L为力作用点到弯曲点的距离。
4.安全弯曲半径的计算公式安全弯曲半径是指杆件在弯曲过程中不会产生塑性变形和破坏的最小曲率半径。
对于安全弯曲半径的计算，我们可以使用如下公式：R=(Ks·y)/σ其中，R为安全弯曲半径，Ks为安全系数（根据具体材料和工程要求确定），σ为弯曲应力，y为截面形心距。
5.弯曲挠度的计算公式弯曲挠度是指材料在弯曲过程中产生的变形量。
对于弯曲挠度的计算，我们可以使用如下公式：δ=(5·F·L^4)/(384·E·I)其中，δ为弯曲挠度，F为作用于杆件上的力，L为受力点到弯曲点的距离，E为材料的弹性模量，I为截面抵抗弯曲的惯性矩。
以上是弯钢计算中常用的一些公式，它们可以帮助我们准确地分析和计算弯曲杆件的性能和变形。
在实际应用中，我们还需要考虑材料的特性、结构的几何形状和工程要求等因素，以确保计算的准确性和可靠性。
弯曲应力(剪应力6月9日)(1)
[1 12
16
283
16
28
(14
13)2 ]
[1 12
8 103
18 10
(19
13)2 ]
26200cm4
Wz
Iz ym a x
26200 (28 13)
1748cm3
（3）正应力校核
max
M Wz
1.2 105 1748 106
1.0 1.04 1.12 1.57 2.30
（四）切应力强度条件
max
(
FQ Sz,max
I z
)max
[
]
对于等宽度截面， m ax发生在中性轴上；对于宽度变化的截面，
m ax不一定发生在中性轴上。
在进行梁的强度计算时，需注意以下问题： （1）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，剪应
S
* z
：y以外面积对中性轴的静矩
I z ：整个截面对中性轴的惯性矩
b：y处的宽度
c
yc
y
z h
b
对于矩形：
S* z
A*
yc
b(h 2
y) [ y
h 2
2
y
]
b (h2 24
y2)
弯曲应力/弯曲时的剪应力
而
Iz
1 bh3 12
6FQ bh3
( h2 4
y2)
力的强度条件是次要的。但对于较粗短的梁，当集中力较大 时，截面上的剪力较大而弯矩较小，或是薄壁截面梁时，也 需要较核剪应力强度。
材料力学--弯曲正应力及其强度条件
C
E
15 106 200 109
7.5 105
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
例21：图示木梁，已知下边缘纵向总伸
长为 10 mm，E=10GPa，求载荷P的大小。
P
300
A
C
B 200
2m
2m
解： AC
l/2
(x) dx
0
l/2 (x) d x l/2 M ( x) d x
1m
例20：简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面
的下边缘贴一应变片，已知材料的 E=200GPa，试问该应变片所测得的应变 值应为多大？
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
解：C截面的弯矩
ql2 MC 8 45kN m
C截面下边缘的应力 C
MC Wz
15MPa
应变值
P
y1
y2
Cz
解：
max
M max y1 Iz
[ ]
(1)
max
M max y2 Iz
[ ]
(2)
(1) 得： y1 [ ]
(2)
y2 [ ]
例16：图示外伸梁，受均布载荷作用，
材料的许用应力［σ］=160 MPa，校核 该梁的强度。
10 kN / m
2m
4m
200 100
10 kN / m
变形几何关系 从三方面考虑： 物理关系
静力学关系
1、变形几何关系
m
mn
m
aa
bb
mn
m
m
观察到以下变形现象: (1)aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长 (2)mm、nn变形后仍保持为直线，且仍与变为
第4章杆件横截面上的正应力分析
=12.7MPa(拉)
σ AB N AB 3.46 10 6 N 6.4 10 2 6 m AAB 540 10
3
= 6.4MPa(压)
第4章
杆件横截面上的正应力分析
30
y1
Ay A
i
i
200
z y1
30 170 170 2 30 170 (139 ) 12 2
3
85 30 85 y
40.3106 (mm)4 40.3106 m4
第4章
杆件横截面上的正应力分析
(2) 画弯矩图
q =10kN/m
A 2m P=20kN C 3m 20kNm 1m D
§4-2 梁的弯曲正应力
一、概述
第4章
杆件横截面上的正应力分析
一般平面弯曲时，梁的横截面上将有剪力和弯矩两个 内力分量。如果梁的横截面上只有弯矩一个内力分量， 这种平面弯曲称为纯弯曲。此时由于梁的横截面上只 有弯矩，因而便只有垂直于横截面的正应力。
c
c
c
c
第4章
杆件横截面上的正应力分析
在垂直梁轴线的横力作用下，梁横截面 上将同时产生剪力和弯矩。这时，梁的横截面 上不仅有正应力，还有剪应力。这种弯曲称为 横向弯曲。
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
解：先确定危险截面
故取b=43mm
第4章
杆件横截面上的正应力分析
例 求图示梁的最大拉应力和最大压应力。 q =10kN/m A B P=20kN C 1m D
正应力计算
正应力（compressive stress）是指在材料受力后变形过程中，垂直于应力方向的截面上的内力与该截面的面积之比。
计算正应力的方法取决于所采用的计算模型和材料性质。
首先，让我们了解一种常见的梁弯曲问题。
在梁弯曲问题中，假设梁受到垂直于梁的集中力作用，此时梁会发生弯曲变形。
对于这个问题，可以使用简单的材料力学公式来计算正应力。
根据胡克定律，梁的变形量与所受的正应力成反比，因此可以通过测量变形量来估计正应力的大小。
根据公式，正应力σ的计算公式为：σ=F/W，其中F为集中力，W为梁的横截面积。
在另一个更复杂的例子中，考虑一个长杆受到扭矩作用。
在这种情况下，杆件会围绕其中心线旋转，导致杆件上的每个点都受到切向和法向应力。
其中，切向应力是由扭矩引起的，而法向应力则是由重力或其他外力引起的。
为了计算正应力，需要使用更复杂的公式，其中涉及杆件长度、截面面积、材料弹性模量等因素。
除了上述的梁弯曲和长杆扭矩问题，还可以使用有限元分析（FEA）方法来计算正应力。
这种方法通过将物体分解成许多小的单元或“块”，并对每个单元进行建模和计算。
通过这种方法，可以模拟物体在各种载荷条件下的变形和应力分布，并得到精确的正应力结果。
总之，正应力的计算方法取决于所研究的物体和所施加的载荷条件。
在简单的情况下，可以使用简单的材料力学公式来计算正应力；而在更复杂的情况下，可以使用有限元分析方法来获得更精确的结果。
这些方法需要了解物体的结构和材料性质，并使用适当的公式或软件来进行分析和计算。
杆件横截面正应力计算公式
杆件横截面正应力计算公式在工程领域中，杆件的设计和计算是非常重要的。
杆件在受力作用下会产生正应力，而正应力的计算对于杆件的安全性和稳定性具有重要意义。
本文将介绍杆件横截面正应力的计算公式及其应用。
杆件横截面正应力计算公式如下：σ = P/A。
其中，σ为杆件横截面上的正应力，P为作用在杆件上的力，A为杆件的横截面积。
在实际工程中，杆件通常会受到拉伸、压缩、弯曲等不同形式的受力。
对于不同形式的受力，杆件横截面正应力的计算公式也会有所不同。
首先，我们来看一下杆件受拉伸力作用下的正应力计算。
当杆件受到拉伸力P 作用时，横截面上的正应力可以通过上述公式计算得到。
在这种情况下，横截面上的正应力与拉伸力P成正比，横截面积A越大，正应力σ越小，杆件的承载能力也就越大。
接下来，我们来看一下杆件受压缩力作用下的正应力计算。
当杆件受到压缩力P作用时，横截面上的正应力同样可以通过上述公式计算得到。
在这种情况下，横截面上的正应力也与压缩力P成正比，横截面积A越大，正应力σ越小，杆件的承载能力也就越大。
此外，杆件在受力作用下还会产生弯曲。
在弯曲情况下，杆件横截面上的正应力计算公式为：σ = Mc/I。
其中，σ为杆件横截面上的正应力，M为弯矩，c为横截面上的某一点到中性轴的距离，I为横截面的惯性矩。
在弯曲情况下，横截面上的正应力与弯矩M成正比，c越大，正应力σ越小，杆件的承载能力也就越大。
而横截面的惯性矩I则反映了杆件抵抗弯曲变形的能力，I越大，杆件的抗弯能力越强。
综上所述，杆件横截面正应力的计算公式为σ = P/A，对于不同形式的受力，计算公式也会有所不同。
在实际工程中，我们需要根据杆件受力情况选择合适的计算公式，并结合材料的力学性能参数进行计算，以保证杆件的安全性和稳定性。
同时，合理设计杆件的横截面形状和尺寸，也可以有效地提高杆件的承载能力和使用寿命。
希望本文对杆件横截面正应力的计算有所帮助，谢谢阅读！。
第六周 材料力学A_(弯曲变形的基本概念和分类, 正应力公式)
M ( x)
从梁中切出小分离体： x方向平衡： FN 2 FN 1 FS 0 M
y
M+dM
FN 2 dA
A1
A1
M dM ydA Iz
A1
dx FS
z b
y
假设： 横截面上各点切应力方向平行 于剪力的方向 横截面上切应力沿z方向均布
M dM 其中 S Sz z Iz M 同理 FN1 Sz
M=Fl/4
max
(5.7)
C
max
31
M=Fl/4
C
如T形、槽形截面等
32
2.弯曲切应力强度条件 梁弯曲时，横截面上切应力的危险点： 剪力最大截面的中性轴上（此处正应力恰好为零）， ——纯剪切应力状态 F
A F/2 (FS) F/2 F/2 C B
3.梁的弯曲强度计算 (1)一般的细长非薄壁梁（跨高比 l/h 较大），可只 校核正应力强度条件（此时切应力强度条件多自动 满足）。 F h
h 1 h b h2 矩形截面： Sz ( y) b ( y) ( y ( y)) ( y2 ) 2 2 2 2 4
max
max
min
H
M
( y )
FS h 2 ( y2 ) 2I z 4
FS h2 3 F 3 S 3 bh 4 2 A 2 2 12
z
M
y
ymax2 z ymax1
max
Wz1
M
应分别计算 max max
Iz ymax1
由梁所受外力(已知载荷) 图,求得各截面上的弯矩)
截面正应力计算公式
截面正应力计算公式
1. 基本概念。
- 对于轴向拉压杆件，其横截面上的正应力计算公式为σ=(F_N)/(A)。
其中σ表示正应力，F_N为轴力（拉力为正，压力为负），A为横截面面积。
- 在计算轴力F_N时，通常采用截面法。
即假想地用一截面将杆件截开，研究其中一部分的受力平衡，从而确定轴力的大小和方向。
2. 梁弯曲时的正应力。
- 对于纯弯曲梁（梁的横截面上只有弯矩而无剪力的情况），其正应力计算公式为σ=(My)/(I_z)。
- 这里M为横截面上的弯矩，y为所求应力点到中性轴的距离，I_z为横截面对中性轴z的惯性矩。
- 对于横力弯曲（梁的横截面上既有弯矩又有剪力的情况），当梁的跨度l与横截面高度h之比l/h>5时，纯弯曲正应力公式σ=(My)/(I_z)仍可近似使用。
3. 组合变形下的正应力。
- 当杆件发生组合变形（如拉压与弯曲的组合、扭转与弯曲的组合等）时，可分别计算每种基本变形产生的正应力，然后根据叠加原理求出组合变形下的正应力。
- 例如对于拉压与弯曲组合变形的杆件，横截面上某点的正应力
σ=σ_N+σ_M，其中σ_N = (F_N)/(A)（拉压正应力），σ_M=(My)/(I_z)（弯曲正应力）。
弯曲杆件正应力计算公式
切应力强度满足。 切应力强度满足
练习： 练习：
一简支梁如下图示。 例2. 一简支梁如下图示。梁由两根工字钢组 成，[σ]=170MPa，选择工字钢的型号。 ，选择工字钢的型号。 解
10KN 50KN A C 4m 2m D 4m B
z
RA = 26 KN
R B = 34 KN
M max = 136 KN ⋅ m
M A ⋅ y2 8 ×106 × 200 = = = 16MPa 8 Iz 1×10
M B ⋅ y1 12 × 106 ×100 = = = 12MPa 8 Iz 1× 10
100 (y1)
（2）.强度条件
产生最大弯矩的截面称为危险截面， 产生最大弯矩的截面称为危险截面，危险 截面上产生最大应力的点称为危险点。 截面上产生最大应力的点称为危险点。 M max ⋅ ymax M max σ max = = ≤ [σ ] IZ Wz 对于脆性材料 + M ⋅ ymax + + σ max = ≤ [σ ] Iz − M ⋅ ymax − − σ max = ≤ [σ ] Iz 式中各量计算均用绝对值。 式中各量计算均用绝对值
M max = I z ymax
σ max
M = Wz
则
W 愈大， 就愈小，梁便不容易破坏。 下， z 愈大 σ max就愈小，梁便不容易破坏。可见
，抗弯截面系数反映截面抵抗弯曲破坏的能力。 抗弯截面系数反映截面抵抗弯曲破坏的能力 （2） 脆性材料杆件和中性轴不在对称轴的 截面， 截面，最大拉应力和最大压应力不一定发生 在同一截面，所以，最大正应力公式表示为 在同一截面，所以，最大正应力公式表示
1. 强度校核
σ max
M max = ≤ [σ ] Wz
横力弯曲时的正应力计算公式课件
问题二：如何处理复杂的边界条件？
边界条件的处理是难点
在实际工程中，常常会遇到各种复杂的边界条件，如固定、自由、简支、固定+简支等。这些边界条件会对正应力的计算产 生影响。因此，在应用计算公式时，需要充分考虑这些边界条件，并对其进行适当的处理。例如，对于固定+简支的边界条件 ，可以通过引入修正系数来处理。
横力弯曲时的正应力 计算公式课件
• 引言 • 横力弯曲的基础知识 • 横力弯曲的正应力计算公式 • 横力弯曲的正应力计算公式实例
解析 • 公式应用中的常见问题及解决方
案 • 总结与展望
目录
01
引言
主题介绍
主题背景
横力弯曲是工程中常见的受力形 式，正应力计算是分析其受力情 况的关键。
主题意义
掌握横力弯曲时的正应力计算公 式有助于正确分析结构的承载能 力和优化设计。
计算公式的推导
公式推导基于材料力学和弹性力学的基本原理，通过分析横 力弯曲时梁的受力情况和变形形态，推导出正应力的计算公 式。
公式推导过程中涉及到的基本概念包括应力和应变、胡克定 律、弯曲力矩等，通过数学推导和物理分析，得出正应力与 弯矩、剪力和梁的几何参数之间的关系。
计算公式的应用场景
01
该计算公式适用于计算横力弯曲 时梁的正应力，广泛应用于工程 实践中的结构分析和设计。
学习目标
理解横力弯曲的基本 概念和受力特点。
能够运用公式解决实 际工程中的问题。
掌握正应力的计算方 法和公式。
02
横力弯曲的基础知识
横力弯曲的定义
横力弯曲
是指物体在受到与轴线垂直的横向力 的作用下发生的弯曲变形。
定义解释
当一个物体在受到与它的轴线垂直的 力的作用时，这个力会使物体发生弯 曲变形，这个变形就是横力弯曲。
如何计算物体的弯曲应力和应变？
如何计算物体的弯曲应力和应变？
要计算物体的弯曲应力和应变，首先需要了解一些基本概念和公式。
以下是一些可能有用的信息：
1. 弯曲应力：当物体受到外力作用时，它会在力的方向上产生弯曲。
这种弯曲会导致物体内部产生应力，称为弯曲应力。
弯曲应力的大小取决于外力的大小、物体的截面尺寸和材料性质等因素。
计算弯曲应力的公式为：σ= F/A，其中σ为弯曲应力，F为作用在物体上的外力，A为物体的截面面积。
2. 应变：当物体受到外力作用时，它会在力的方向上产生变形。
这种变形会导致物体内部产生应变。
应变的大小取决于外力的大小、物体的尺寸和材料性质等因素。
计算应变的公式为：ε= ΔL/L，其中ε为应变，ΔL为物体的变形量，L为物体原来的长度。
在实际应用中，为了更准确地计算弯曲应力和应变，需要考虑更多的因素，例如物体的形状、材料性质、温度等。
同时，还需要进行实验测试和有限元分析等方法来验证计算结果的准确性。
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抗弯截面系数。 抗弯截面系数 相同的情况 式中 Wz ——抗弯截面系数。在M相同的情况
σ
+ max
σ
− max
M y = Iz − M 2 ymax = Iz
+ 1 max
σymax M z y max σ max 图8-30
悬臂梁受力如下图所示， 例8.12 悬臂梁受力如下图所示，已知 8 4 I z = 1×10 mm o 试求梁的最大拉应力。
切应力强度满足。 切应力强度满足
练习： 练习：
一简支梁如下图示。 例2. 一简支梁如下图示。梁由两根工字钢组 成，[σ]=170MPa，选择工字钢的型号。 ，选择工字钢的型号。 解
10KN 50KN A C 4m 2m D 4m B
z
RA = 26 KN
R B = 34 KN
M max = 136 KN ⋅ m
1. 强度校核
σ max
M max = ≤ [σ ] Wz
τ max =
FQ ⋅ S
* z max
Iz ⋅b
≤ [τ ]
2. 设计截面
Wz ≥ M
圆截面： 圆截面： 矩形截面： 矩形截面：
max
Iz πd 4 64 π ⋅ d 3 Wz = = = ymax d 2 32 Iz bh 3 12 bh 2 Wz = = = ymax h2 6
复习： 复习：
弯曲杆件正应力计算公式： 弯曲杆件正应力计算公式：
M σ= y I
弯曲切应力计算公式： 弯曲切应力计算公式：
τ=
FQ ⋅ S z Iz ⋅b
∗
第五节 弯曲杆件的强度计算
一、强度条件 1. 正应力强度条件 （1） 横截面上的最大正应力 ） 对整个等截面杆件来说， 对整个等截面杆件来说，最大正应力发生 在弯矩最大的截面上， 在弯矩最大的截面上，其值为
200 (y2) 22kN （a） A 2m B 1m C 12kN
解：画M图。 图
z
8KN m · M图
M B = 12 KN ⋅ m, M A = 8 KN ⋅ m
A截面最大拉应力 截面最大拉应力
12kN m ·
a
c
+ σ max
B截面最大拉应力 截面最大拉应力
b A截面 d B截面
+ σ max
σ max
M max = ⋅ y max Iz
将此式改写为 令
Байду номын сангаас
σ max
Iz Wz = ymax
M max = I z ymax
σ max
M = Wz
则
W 愈大， 就愈小，梁便不容易破坏。 下， z 愈大 σ max就愈小，梁便不容易破坏。可见
，抗弯截面系数反映截面抵抗弯曲破坏的能力。 抗弯截面系数反映截面抵抗弯曲破坏的能力 （2） 脆性材料杆件和中性轴不在对称轴的 截面， 截面，最大拉应力和最大压应力不一定发生 在同一截面，所以，最大正应力公式表示为 在同一截面，所以，最大正应力公式表示
M max ≤ [σ ]⋅ Wz
[σ ]
3. 确定许用荷载
=4m
4kN F Q图 4kN
h
下图所示木梁，已知[σ]=10MPa， 例1 下图所示木梁，已知 ， [τ]=2MPa，b=140mm，h=210mm，校核梁 ， ， ， 强度。 强度。 q=2kN/m 解 z
b
M图 4kN m ·
作 FQ 和 M图
FQ max = 4 KN
M max = 4 KN ⋅ m
（2）校核正应力强度 ）
σ max
M max 4 ×106 = = = 3.88MPa < [σ ] 1 Wz × 140 × 210 2 6
正应力强度满足。 正应力强度满足
3FQ max 2A
（3） 校核切应力强度
τ max =
3 × 4 ×103 = 0.20 MPa < [τ ] = 2 ×140 × 210
M max 136 ×106 Wz ≥ = = 400cm3 2[σ ] 2 ×170
3.主应力强度条件 主应力强度条件
当截面为三块矩形钢板 焊接而成的工字形： 焊接而成的工字形
M a b y z τ max τ min τ min
σ σ1 = + +τ 2 ≤ σ + 2 2
2
σ
[ ]
[ ]
σ σ 3 = − +τ 2 ≤ σ − 2 2
2
σ
二、强度计算
2.切应力强度条件 2.切应力强度条件
对于等截面直梁，全梁的最大切应力发生在 对于等截面直梁，全梁的最大切应力发生在FQmax 所在截面的中性轴处。 所在截面的中性轴处。
τ max =
FQ ⋅ S z* max Iz ⋅b
≤ [τ ]
当杆件出现以下情况之一时， 当杆件出现以下情况之一时，必须校核切应 力强度，甚至由切应力强度条件来控制： 力强度，甚至由切应力强度条件来控制： 梁的跨度较小或荷载作用在支座附时。 （1）梁的跨度较小或荷载作用在支座附时。 某些组合截面梁（ （2）某些组合截面梁（如焊接的工字形钢板 ），当腹板厚度与高度之比小于相应型钢的相 梁），当腹板厚度与高度之比小于相应型钢的相 应比值时。 应比值时。 木梁或玻璃等复合材料梁。 （3）木梁或玻璃等复合材料梁。
M A ⋅ y2 8 ×106 × 200 = = = 16MPa 8 Iz 1×10
M B ⋅ y1 12 × 106 ×100 = = = 12MPa 8 Iz 1× 10
100 (y1)
（2）.强度条件
产生最大弯矩的截面称为危险截面， 产生最大弯矩的截面称为危险截面，危险 截面上产生最大应力的点称为危险点。 截面上产生最大应力的点称为危险点。 M max ⋅ ymax M max σ max = = ≤ [σ ] IZ Wz 对于脆性材料 + M ⋅ ymax + + σ max = ≤ [σ ] Iz − M ⋅ ymax − − σ max = ≤ [σ ] Iz 式中各量计算均用绝对值。 式中各量计算均用绝对值