弯曲杆件应力计算公式
工程力学(杆件弯曲受力分析计算)
教学设计三杆件弯曲受力分析计算在学习绘制杆件弯曲受力分析图后，我们来学习一下杆件的弯曲受力分析计算，即我们杆件弯曲时在横截面上产生的弯曲正应力和弯曲剪应力的计算。
问题一，杆件弯曲横截面正应力计算问题梁在弯曲变形时，梁轴线方向截面纤维曲线，下部拉伸变长，上部压缩变短。
我们选取杆件的某段横截面，其截面上某处的微分段面积dA如图8.2所示。
由该截面的积分得到，截面为弯矩M大小为公式8.1。
（公式8.1）根据广义胡可定律得到公式8.2与弯曲应变几何条件分析公式8.3得到公式8.4。
（公式8.2）（公式8.3）（公式8.4）其中，ρ为梁弯曲的曲率半径。
将公式8.4和8.1合并得到公式8.5。
（公式8.5）分析公式8.5，其中：为截面绕Z轴的惯性矩。
公式8.5变形为8.6。
ρρρρρεyydxdx==-+=∆=dθdθdθdθy)dθ(⎰⋅=AyM dAσεσ⋅=EρεσyEE==⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=AA AyEyyEyM dAdAdA2ρρσZAIy=⎰dA2（公式8.6）将公式8.6与公式8.4合并，得到公式8.7（公式8.7）公式8.7为杆件弯曲截面上弯曲正应力一般计算公式。
如图8.2所示，y 为惯性轴到所计算应力位置的距离，分析公式我们发现当y 为0时，截面正应力为零，当y 等于截面高度一半时，截面正应力最大，说明在杆件中间有一条纤维线在受力弯曲时既不拉伸变长也不压缩变短，我们称这条纤维曲线为杆件的中性轴，此轴所在的水平层称为中性层，而在杆件截面上下边缘处，存在最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力，也就是极值问题的出现。
我们引入新的物理量W ，抗弯截面模量，它的计算式为8.8。
（公式8.8）公式8.7可以化简为极值公式8.9。
（公式8.9）例题分析讲解 【例1】图8.3所示，悬臂矩形截面杆件，截面O 1上有A 、B 、C 、D 点，求它们的弯曲正应力。
【解】计算悬臂梁的弯矩计算梁截面的惯性矩计算抗弯截面模量 计算各点的正应力yIW Z=m kN 6.488.130212⋅=⨯⨯=M 001067.0124.02.01233=⨯==bh I 00533.0124.02.0622=⨯==bh W Z WM Z =σZZ I E M ⋅=ρ1y I M ZZ=σ（拉）MPa 12.900533.06.48===Z Z a W M σ（压）m 9.12kN a d ⋅=-=σσ0b =σ（压）4.55MPa 0.1106700.06.48b c =⨯==y I M Z Z σ问题二，杆件弯曲横截面剪应力计算问题与弯曲正应力不同，在截面上各点的弯曲剪应力指向相同，不论是否在中性层的上侧还是下侧；在同一剪力段，同一层的各点剪应力大小相同。
工程力学常用公式
工程力学常用公式3、伸长率：* 1。
％断面收缩率： 字100%5、扭转切应力表达式：^，最大切应力：maxTP RW p ， d 44I P ”（1），W P d'(1 4)，强度校核： 16max TmaxW P[]6、单位扭转角：d—，刚度校核：maxTmax[]， 长度为1dx Gl pGI P的一段轴两截面之间的相对扭转角證，扭转外力偶的计算公式: Me 9549P（KWLn（r/m in ）8平面应力状态下斜截面应力的一般公式:最大切应力max -'' - ( x y )22，最大正应力方位2 Y 21、轴向拉压杆件截面正应力 牛，强度校核max2、轴向拉压杆件变形IFi Ni l i 4、胡克定律： E ，泊松比:，剪切胡克定律：G7、薄壁圆管的扭转切应力:T 2 R 29、 x yx ycos22 2 xsin 2-sin 2 x cos2平面应力状态三个主应力:II「（ x 2y）2X， ''' 01、100%tan2 0 2xx y10、第三和第四强度理论: r3 X 24 2， r4211、平面弯曲杆件正应力:M ，截面上下对称时，MW Z矩形的惯性矩表达式：I Z兽圆形的惯性矩表达式:I ZV(1 644)矩形的抗扭截面系数：W Z £圆形的抗扭截面系数:W Z 4)13、平面弯曲杆件横截面上的最大切应力:F s S max* zmaxbi z14、平面弯曲杆件的强度校核：（1）弯曲正应力tmax [t ]， cmaxc]（2）弯曲切应力max []（3）第三类危险点：第三和第四强度理论 16、（ 1）轴向载荷与横向载荷联合作用强度： ()FN M maxmax (min 丿15、平面弯曲杆件刚度校核：叠加法 严 [f]， max []（2）偏心拉伸（偏心压缩）:max ( min)A（3）弯扭变形杆件的强度计算:工程力学常用公式伸长率: F N ； A ；FA ；泊松比E 2(1 )，l bI 0l 0100%，断面收缩率:A o A b A 02、扭转: { M }N gm9549 {P}kW ,{ n} r/ min,W p max TW p，3、4、ddxTGIP，TloGI P弯曲:MdxEl应力状态:MET Z，MyIT，maxMy maxIlMW zd 2wdx2MEIM , xdx)dx CxEIx sin2i2cos 2；x y )22tg2 o拉压强度条件：max(F N)[\ 八/max L扭转强度条件：max(T)[]W p扭转刚度条件：(T)max []GI P梁的弯曲强度条件M maxmaxW.梁弯曲的刚度条件:V V max[]-欧拉公式：F c r -2EIl2，2Ecr 2柔度：-惯性半径:max(min][],maxi x y2max,max . [](丿max [],I zi'■ A。
弯曲杆件应力计算公式
M y Iz M 2 ymax max Iz
max
yymax
1 max
σymax M z
y max
σ max 图8-30
例8.12 悬臂梁受力如下图所示，已知 8 4 I z 110 mm 试求梁的最大拉应力。
200 (y2)
22kN A 2m B 1m C 12kN
复习：
弯曲杆件正应力计算公式：
M y I
弯曲切应力计算公式：
FQ S z Iz b
第五节 弯曲杆件的强度计算
一、强度条件 1. 正应力强度条件 （1） 横截面上的最大正应力 对整个等截面杆件来说，最大正应力发生 在弯矩最大的截面上，其值为
max
M max y max Iz
练习：
例2. 一简支梁如下图示。梁由两根工字钢组 成，[σ]=170MPa，选择工字钢的型号。
解
10KN 50KN A C D 2m B
4m
4m
z
RA 26KN
RB 34KN
M max 136KN m
M max 136106 Wz 400cm3 2 2 170
2.切应力强度条件
对于等截面直梁，全梁的最大切应力发生在FQmax 所在截面的中性轴处。
max
FQ S
* z max
当杆件出现以下情况之一时，必须校核切应 力强度，甚至由切应力强度条件来控制： （1）梁的跨度较小或荷载作用在支座附时。 （2）某些组合截面梁（如焊接的工字形钢板 梁），当腹板厚度与高度之比小于相应型钢的相 应比值时。 （3）木梁或玻璃等复合材料梁。
拉伸(压缩)与弯曲的组合变形
受力特点：
作用在杆件上的外力既有轴向拉( 压 )力,还有横向力
变形特点：
杆件将发生拉伸 （压缩 ）与弯曲组合变形
示例1 F1 产生弯曲变形
F2
F1
F2
F2 产生拉伸变形
示例2
Fy 产生弯曲变形 Fx 产生拉伸变形
Fy
F
Fx
以上图悬臂梁为例，说明拉（压）与弯曲组合时的 正应力及其强度计算。
160.96 MPa [] 170 MPa
练习：校核横梁AB的强度
25a号工字钢
1、外力分析（求支座反力）
FBC
B
30
F
A FAx
FAy
30
M A (F ) 0 24 2 FBC sin 30 4 0 FBC 24kN
Fy 0 Fx 0
FBC sin 30 F FAy 0 FAy 12kN
+
=
N
M
FN A
M Iz
y
4、强度条件
（1）危险截面： 根据内力图确定 综合可知，固定端最危险。
（2）危险点：根据截面的应力分布确定 在截面的最上边缘。
固定端横截面最上边缘的应力
max
FN A
M max Wz
≤[ ]
强度条件
4、强度条件
max
FN A
M max Wz
≤[ ]
当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时， 应分别建立杆件的抗拉和抗压强度条件.
FBC cos 30 FAx 0
FAx 12 3kN
2、内力分析
24
B
30
24
A 12 3 12
B
A
FBCy
材料力学 杆件的变形计算
例题4-2: 已知：l = 54 mm ，di = 15.3 mm，E＝200 GPa， ν = 0.3，拧紧后，△l ＝0.04 mm。 试求：(a) 螺栓横截面上的正应力 σ (b) 螺栓的横向变形△d
解：1) 求横截面正应力 ：
ε=
∆l 0.04 = = 7.41×10-4 l 54
l = 54 mm ，di = 15.3 mm， E＝200 GPa， ν = 0.3， △l ＝0.04 mm
∆ac = a ′c′ − ac
∆ac ε′ = ac
二、拉压杆的弹性定律 1、等内力拉压杆的弹性定律 P P
PL NL dL = = EA EA
PL dL ∝ A
2、变内力拉压杆的弹性定律
N（x） N(x)
x dx dx 内力在n段中分别为常量时 内力在 段中分别为常量时
※“EA”称为杆的抗拉压刚度。 ※“ ”称为杆的抗拉压刚度。
C1
C点总位移： 点总位移：
∆C = ∆C y + ∆C x = 1.47mm
2 2
C0
Cx
(此问题若用圆弧精确求解) 此问题若用圆弧精确求解)
∆C x = 0.278mm ∆C y = 1.44mm
第二节 圆轴的扭转变形及相对扭转角
为 dx 的两个相邻截面之间有相对转角dϕ 的两个相邻截面之间有相对转角d
800 π × 0.04 4 80 ×109 32 = 0.03978rad / m
综合两段， 综合两段，最大单位扭转角应在BC 段 为 0.03978 rad/m
例4-5 图示一等直圆杆， 图示一等直圆杆，已知 d =40mm a =400mm G =80GPa, ϕ DB=1O , 求 : 1) 最大切应力 2）ϕ AC
弯曲杆件应力计算公式-精选文档
M m ax m ax W z
max
F Q S
* zmax
Iz b
2. 设计截面 圆截面： 矩形截面：
W M z max
4 3 I d 64 d z W z y d2 32 max 3 2 Iz bh12 bh W z y h2 6 max
2.切应力强度条件
对于等截面直梁，全梁的最大切应力发生在FQmax 所在截面的中性轴处。
max
F Q S
* zmax
当杆件出现以下情况之一时，必须校核切应 力强度，甚至由切应力强度条件来控制： （1）梁的跨度较小或荷载作用在支座附时。 （2）某些组合截面梁（如焊接的工字形钢板 梁），当腹板厚度与高度之比小于相应型钢的相 应比值时。 （3）木梁或玻璃等复合材料梁。
Iz b
3.主应力强度条件
当截面为三块矩形钢板 焊接而成的工字形：
a z b y
M
τmin
2 1 2 2
2
τmax τmin
2 3 2 2
2
二、强度计算
1. 强度校核
3. 确定许用荷载
M W max z
例1 下图所示木梁，已知[σ]=10MPa， [τ]=2MPa，b=140mm，h=210mm，校核梁 强度。 解
=4m
h
q=2kN/m
z
b
4kN FQ图 4kN
M图 4kN m ·
作FQ 和M 图
F 4KN Q max
M 4 KN m max
复习：
弯曲杆件正应力计算公式：
挠度原始计算公式
挠度原始计算公式
凡是以弯曲变形为主的杆件统称为梁。
当梁弯曲时，其内部也会产生抵抗弯曲的内力。
根据材料形状的不同，其抵抗变形的内力也不同。
直梁（轴线是直线且横截面都相等的梁）的最大弯曲应力计算公式：σmax=Mωmax / W
式中：σmax——最大弯曲应力（MPa）；
Mωmax——梁的最大弯矩（N*mm);
W——抗弯截面系数（mm³）。
抗弯截面系数w（也叫抗弯截面模量），是表示与横截面形状和尺寸有关的抵抗弯曲变形能力的一个几何量。
W大，则σmax小，说明抵抗弯曲的能力强；w小，则σmax大，说明抵抗弯曲的能力差。
w的计算公式：
方形和矩形的W=bh² / 6 ;
圆形（圆钢）的W=πd³ / 32≈0.1d³
工字钢W=1 /6H[BH³-(B-b)h³] 。
也可从钢材手册上直接查到钢材的W值。
《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力
第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。
二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。
四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。
2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。
3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。
4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。
（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。
3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。
（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。
2、固定铰支座——有二个约束反力。
3、可动铰支座——有一个约束反力。
（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。
求：距A 端x 处截面上内力。
解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。
杆件横截面上的应力
F
F:横截面上的轴力 A：横截面的面积
拉压杆斜截面上的应力
横截面----是指垂直杆轴线方向的截面； 斜截面----是指任意方位的截面。
F
F
F
①全应力：
②正应力：
③切应力：
1） α=00时， σmax＝σ 2）α＝450时， τmax=σ/2
试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上正 应力.已知横截面面积A=2×103mm2
在上下边缘处：
y = 0，
b
h
max
图示矩形截面简支梁受均布荷载作用，分别求最大剪力所在的截面上a,b,c三点处的切应力。 作出剪力图 各点处的切应力
矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。 求σmax , τmax 。
二、工字形截面梁的切应力
横截面上的切应力(95--97)％由腹板承担,而翼缘仅承担了(3--5) ％,且翼缘上的切应力情况又比较复杂.为了满足实际工程中计算和设计的需要仅分析腹板上的切应力.
主应力及最大切应力
①切应力等于零的截面称为主平面 由主平面定义，令tα =0
可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。
②令
得：
即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。
③主应力大小：
④由s１、s３、0按代数值大小排序得出：s1≥0≥s3
极值切应力：
①令：
②
可求出两个相差90o 的a1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。
C
A
B
40
yc
FS
_
+
M
0.25
0.5
+
_
平面应力状态的应力分析 主应力
一、公式推导：
材料力学的基本计算公式-材料力学弯曲公式
材料力学的基本计算公式外力偶矩计算公式（P功率，n转速）1.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式2.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横截面轴力F N，横截面面积A，拉应力为正）3.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a 从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正）4.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1）5.纵向线应变和横向线应变6.泊松比7.胡克定律8.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式?9.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式10.轴向拉压杆的强度计算公式11.许用应力，脆性材料，塑性材料12.延伸率13.截面收缩率14.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ）15.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式16.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆（b）空心圆17.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求点到圆心距离r）18.圆截面周边各点处最大切应力计算公式19.扭转截面系数，（a）实心圆（b）空心圆20.薄壁圆管（壁厚δ≤R0 /10 ，R0为圆管的平均半径）扭转切应力计算公式21.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关系式22.同一材料制成的圆轴各段的扭矩不同或各段的直径不同（如阶梯轴）时或23.等直圆轴强度条件24.塑性材料；脆性材料25.扭转圆轴的刚度条件? 或26.受压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式,27.平面应力状态下斜截面应力的一般公式,28.平面应力状态的三个主应力, ,29.主平面方位的计算公式30.面最大切应力31.受扭圆轴表面某点的三个主应力，，32.三向应力状态最大与最小正应力,33.三向应力状态最大切应力34.广义胡克定律35.四种强度理论的相当应力36.一种常见的应力状态的强度条件，37.组合图形的形心坐标计算公式，38.任意截面图形对一点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和的关系式39.截面图形对轴z和轴y的惯性半径? ,40.平行移轴公式（形心轴z c与平行轴z1的距离为a，图形面积为A）41.纯弯曲梁的正应力计算公式42.横力弯曲最大正应力计算公式43.矩形、圆形、空心圆形的弯曲截面系数?，，44.几种常见截面的最大弯曲切应力计算公式（为中性轴一侧的横截面对中性轴z的静矩，b为横截面在中性轴处的宽度）45.矩形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处46.工字形截面梁腹板上的弯曲切应力近似公式47.轧制工字钢梁最大弯曲切应力计算公式48.圆形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处49.圆环形薄壁截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处50.弯曲正应力强度条件51.几种常见截面梁的弯曲切应力强度条件52.弯曲梁危险点上既有正应力σ又有切应力τ作用时的强度条件或，53.梁的挠曲线近似微分方程54.梁的转角方程55.梁的挠曲线方程?56.轴向荷载与横向均布荷载联合作用时杆件截面底部边缘和顶部边缘处的正应力计算公式57.偏心拉伸（压缩）58.弯扭组合变形时圆截面杆按第三和第四强度理论建立的强度条件表达式，59.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时，合成弯矩为60.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时强度计算公式61.62.弯拉扭或弯压扭组合作用时强度计算公式63.剪切实用计算的强度条件64.挤压实用计算的强度条件65.等截面细长压杆在四种杆端约束情况下的临界力计算公式66.压杆的约束条件：（a）两端铰支μ=l（b）一端固定、一端自由μ=2（c）一端固定、一端铰支μ=0.7（d）两端固定μ=0.567.压杆的长细比或柔度计算公式，68.细长压杆临界应力的欧拉公式69.欧拉公式的适用围70.压杆稳定性计算的安全系数法71.压杆稳定性计算的折减系数法72.关系需查表求得。
材料力学的基本计算公式-材料力学弯曲公式
1.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式2•轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式Cr=杆件横截面轴力刊，横截面面积仏拉应力为正）3. 轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a从X轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正）4. 纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距1,拉伸后试样标距11；拉伸前试样直径d,拉伸后试样直径dl）M = I l-I M = d l-d5. 纵向线应变和横向线应变6.泊松比外力偶KI N血矩计箕公式（P功率，n转速）T a = P a Sinaf= CrCDSafailIa= —siπ2α2Cr= EE7.胡克定律17∙&受多个力作用的杆件纵向变形计算公式？9・承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式14.剪切胡克定律（切变模量G 9切应变g ） T=G^ 15. 拉压弹性模量E 泊松比"和切变模量G 之间关系T 9所求点到11. 许用应力H=⅞脆性材料血=还，塑性材料氐=还12.延伸率 L -I 5- 1X100%110.轴向拉压杆的强度计算公式13. 截面收缩率A A-A IΨ= X100%圆截面对 心的极惯性矩（a ）实心圆（b ）空心轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩32T18.圆截面周边各点处最大切应力计算公式19・ 扭转截面系数Wrr=≠, （a ）实心圆Wl=^（b ）空心圆I 鲁（I F20.薄壁圆管（壁厚δ ≤ R o /10 , R o 为圆管的平均半21.圆轴扭转角炉与扭矩7；杆长人 扭转刚度GHP 的关径不同（如阶梯轴）时23.等直圆轴强度条件24.塑性材料E = (WA)I 叫脆性材料I T l = (°∙8 ~ Io )I er lGi I TT26. 受压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计径）扭转切应力计算公式T ~2τ^δTL 系式"瓯22同一材料制成的圆轴各段的扭矩不同或各段的直扭转圆轴的刚度条件？乳≤l^lZ 或27. 平面应力状态下斜截面应力的一般公式Cr K + 6 6 —VCre =—2 —+—2 —c∏s2a-τx≡m2α28. 平面应力状态的三个主应力tan2α⅞ =-―啦-29・主平面方位的计算公式∏30.31. 受扭圆轴表面某点的三个主应力°ι=r, 5 =0,三向应力状态最大与最小正应力H=巧，¾⅛ =σ⅛33.三向应力状态最大切应力宁34.广义胡克定律El =丘冋一叭円+如】¾ =—IOi-V(σ⅛+σi)l¾ = jlσr3-v(o1+σ2)j面最大切应力35.四种强度理论的相当应力40. 平行移轴公式（形心轴ZC与平行轴ZI的距离为a, 图形面积为M）4 =亿+^4_ My41. 纯弯曲梁的正应力计算公式σ~42. 横力弯曲最大正应力计算公式50.弯曲正应力强度条件^rIiaX43.矩形、圆形、空心圆形的弯曲截面系数?44.中性轴一侧的横截面对中性轴Z 的静矩，b 为横截面在45. 矩形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处46.工字形截面梁腹板上的弯曲切应力近似公式47. 轧制工字钢梁最大弯曲切应力计算公式49.圆环形薄璧截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴几种常见截面的最大弯曲切应力计算公式（Ema X 为51. 几种常见截面梁的弯曲切应力强度条件52. 弯曲梁危险点上既有正应力o又有切应力τ作用时的强度条件% =3十卅或% = 3山 M㈣,[σj = o⅛ ItlSd2w_ M(X)53. 梁的挠曲线近似微分方程^r = -^a_ J■厂54. 梁的转角方程^⅛dx+cι55.梁的挠曲线方程？窖W+金556.轴向荷载与横向均布荷载联合作用时杆件截面底部边缘和顶部边缘处的正应力计算公式偏心拉伸(压缩).-⅛,÷.M≡.σι∣ιaxGuin .58.建立的强度条件表达式幻嗚何TF如^4 = ^λ⅛2+0.75Γ2≤[σ]59二圆截面杆横截面上有两个弯矩叫和MZ同时作用时,合成弯矩为M =何硕60.圆截面杆横截面上有两个弯矩％和MZ 同时作用时—¼2 +0.75Γ2 = — +ΛfJ +0.75Γ2 ≤[<τj62.弯拉扭或弯压扭组合作用时强度计算公式F63. 剪切实用计算的强度条件FHX ⅝ r164. 挤压实用计算的强度条件％卞一%65.等截面细长压杆在四种杆端约束情况下的临界力66.压杆的约束条件：(a)两端较支U=I(b) 一端固定、一端自由μ=2 67. 压杆的长细比或柔度计算公式" 68. 细长压杆临界应力的欧拉公式% =^~λ> λt =兀69.欧拉公式的适用围61.Ii = ----- = --- 王70. 压杆稳定性计算的安全系数法% F l71. 压杆稳定性计算的折减系数法Cr=⅞≤<I^CΓ172. …关系需查表求得。
弯曲杆件正应力计算公式课件
03
弯曲杆件正应力计算公式应用
简单弯曲杆件的正应力计算
01
02
03
定义简单弯曲杆件
一个具有均匀截面、承受 沿轴线方向作用的力的直 杆。
推导公式
基于弹性力学和材料力学 的知识，利用能量法或偏 微分方程求解。
公式应用
计算简单弯曲杆件的正应 力分布，包括截面应力和 跨中应力。
复杂弯曲杆件的正应力计算
存在不均匀分布的载荷。
公式应用
需要使用更复杂的公式来计算正应 力，例如能量法、有限元法等。
实际应用
例如，汽车、飞机等交通工具中的 车架、机翼等部件在受到多个方向 的力时，会发生复杂弯曲变形。
考虑材料非线性的弯曲杆件实例分析
材料非线性
材料的力学性质并非是线性的， 而是随着应力的增加而逐渐改变。
公式应用
多学科交叉和工程应 用
未来的研究可以进一步拓展弯曲 杆件正应力计算公式在其他学科 中的应用，如生物力学、地质力 学等。同时，该公式在工程中的 应用也需要不断改进和创新，以 适应不断发展的工程需求。
考虑非线性效应和损 伤破坏
未来的研究可以考虑弯曲杆件在 强载和冲击条件下的非线性效应 以及损伤破坏问题。对于这些复 杂问题，需要采用更为精细的分 析方法和数值模拟技术来预测结 构的性能和行为。
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弯曲杆件正应力计算公式课 件
• 杆件弯曲基本理论 • 弯曲杆件正应力计算公式推导 • 弯曲杆件正应力计算公式应用 • 弯曲杆件正应力计算公式的扩展与改进 • 弯曲杆件正应力计算实例分析 • 总结与展望
01
杆件弯曲基本理论
弯曲的概念与基本假 设
弯曲的概念：当杆件承受垂直于其轴线 的力或力矩时，杆件将发生弯曲变形。
材料力学--弯曲正应力及其强度条件
C
E
15 106 200 109
7.5 105
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
例21：图示木梁，已知下边缘纵向总伸
长为 10 mm，E=10GPa，求载荷P的大小。
P
300
A
C
B 200
2m
2m
解： AC
l/2
(x) dx
0
l/2 (x) d x l/2 M ( x) d x
1m
例20：简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面
的下边缘贴一应变片，已知材料的 E=200GPa，试问该应变片所测得的应变 值应为多大？
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
解：C截面的弯矩
ql2 MC 8 45kN m
C截面下边缘的应力 C
MC Wz
15MPa
应变值
P
y1
y2
Cz
解：
max
M max y1 Iz
[ ]
(1)
max
M max y2 Iz
[ ]
(2)
(1) 得： y1 [ ]
(2)
y2 [ ]
例16：图示外伸梁，受均布载荷作用，
材料的许用应力［σ］=160 MPa，校核 该梁的强度。
10 kN / m
2m
4m
200 100
10 kN / m
变形几何关系 从三方面考虑： 物理关系
静力学关系
1、变形几何关系
m
mn
m
aa
bb
mn
m
m
观察到以下变形现象: (1)aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长 (2)mm、nn变形后仍保持为直线，且仍与变为
工程力学杆件的应力
1.变形几何关系
观察到下列现象:
(1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离没有 变化
(2)纵向线仍近似为直线, 但都倾斜了同一角度γ
（3）表面方格变为菱形。
31
• 平面假设： • 变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它
像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。
g
32
g
g
d
g dx rd
• 梁的平面假设：
梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并 仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一 轴旋转了一个角度。
46
• 单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤 压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压 的状态。
由平面假设得到的推论：
梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下 面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既 不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向 纤维层称为中性层。
86.6 MPa
17
二 圣维南原理
当作用在杆端的轴向外力，沿横截面 非均匀分布时，外力作用点附近各截面的 应力，也是非均匀分布的。但圣维南原理 指出，力作用于杆端的分布方式，只影响 杆端局部范围的应力分布，影响区的轴向 范围约离杆端1~2个杆的横向尺寸。
此原理已为大量试验与计算所证实。
用与外力系静力等效的合力代替原力系， 除在原力系作用区域内有明显差别外，在 离外力作用区域稍远处，上述代替影响非 常微小，可以略而不计。
所以，在梁的横截面上一般既有 正应力，又有 剪应力
43
弯曲切应力：梁弯曲时横截面上的切应力 弯曲正应力：梁弯曲时横截面上的正应力 基本变形：拉压；扭转；弯曲 组合变形：
对称弯曲：梁至少有一个纵向对称面，且外力作用在对称面 内，此时变形对称于纵向对称面，在这种情况下的变形形式 称为对称弯曲。
材料力学的基本计算公式-材料力学弯曲公式
创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*材料力学的基本计算公式外力偶矩计算公式（P功率，n转速）1.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式2.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横截面轴力F N，横截面面积A，拉应力为正）3.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a 从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正）4.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1）5.纵向线应变和横向线应变6.泊松比7.胡克定律8.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式?9.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式10.轴向拉压杆的强度计算公式11.许用应力，脆性材料，塑性材料12.延伸率13.截面收缩率14.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ）15.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式16.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆（b）空心圆17.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求点到圆心距离r）18.圆截面周边各点处最大切应力计算公式19.扭转截面系数，（a）实心圆（b）空心圆20.薄壁圆管（壁厚δ≤ R0 /10 ，R0为圆管的平均半径）扭转切应力计算公式21.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关系式22.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同（如阶梯轴）时或23.等直圆轴强度条件24.塑性材料；脆性材料25.扭转圆轴的刚度条件? 或26.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式,27.平面应力状态下斜截面应力的一般公式,28.平面应力状态的三个主应力,,29.主平面方位的计算公式30.面内最大切应力31.受扭圆轴表面某点的三个主应力，，32.三向应力状态最大与最小正应力 ,33.三向应力状态最大切应力34.广义胡克定律35.四种强度理论的相当应力36.一种常见的应力状态的强度条件，37.组合图形的形心坐标计算公式，38.任意截面图形对一点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和的关系式39.截面图形对轴z和轴y的惯性半径? ,40.平行移轴公式（形心轴z c与平行轴z1的距离为a，图形面积为A）41.纯弯曲梁的正应力计算公式42.横力弯曲最大正应力计算公式43.矩形、圆形、空心圆形的弯曲截面系数?，，44.几种常见截面的最大弯曲切应力计算公式（为中性轴一侧的横截面对中性轴z的静矩，b为横截面在中性轴处的宽度）45.矩形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处46.工字形截面梁腹板上的弯曲切应力近似公式47.轧制工字钢梁最大弯曲切应力计算公式48.圆形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处49.圆环形薄壁截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处50.弯曲正应力强度条件51.几种常见截面梁的弯曲切应力强度条件52.弯曲梁危险点上既有正应力σ又有切应力τ作用时的强度条件或，53.梁的挠曲线近似微分方程54.创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*55.梁的转角方程56.梁的挠曲线方程?57.轴向荷载与横向均布荷载联合作用时杆件截面底部边缘和顶部边缘处的正应力计算公式58.偏心拉伸（压缩）59.弯扭组合变形时圆截面杆按第三和第四强度理论建立的强度条件表达式，60.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时，合成弯矩为61.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时强度计算公式62.63.弯拉扭或弯压扭组合作用时强度计算公式64.剪切实用计算的强度条件65.挤压实用计算的强度条件66.等截面细长压杆在四种杆端约束情况下的临界力计算公式67.压杆的约束条件：（a）两端铰支μ=l（b）一端固定、一端自由μ=2（c）一端固定、一端铰支μ=0.7（d）两端固定μ=0.568.压杆的长细比或柔度计算公式，69.细长压杆临界应力的欧拉公式70.欧拉公式的适用范围71.压杆稳定性计算的安全系数法72.压杆稳定性计算的折减系数法73.关系需查表求得创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*。
几个常用计算
几个常用计算锅炉王世宏参考《材料力学》《汽水管道设计手册》一、吊盘受力核算1、核算吊盘受力：根据拉应力公式：【σ】≥F/（200-80）×20 得出最大拉力F；根据剪应力公式：【τ】≥F/（100-40）×20×2 得出最大拉力F；2、核算吊盘焊缝处受力：根据直角焊缝受拉受压或受剪强度计算公式【τ】t≥F/0.7×20 ×（200-10）×2因考虑焊缝两端未融合得出L =（200-10）得出最大拉力F；3、核算穿过吊盘轴销的挤压应力：（轴销、吊盘孔要经过机加工；且轴销与吊盘孔尽量最大紧密配合）根据挤压应力公式：【σjy】≥F/（π75/2）×20 得出最大拉力F；根据以上公式选取最小F值如果核算其中一项最大拉力小于吊物重量，侧选取较厚钢板或采用直径较大的轴销，更改后再次核算各项拉力。
【σ】、【τ】、【τ】t、【σjy】（金属应力表中可查其值）二、小直径管道支吊架间距计算由于小直径管道只提供系统图，在施工中自由布置走向与装配支吊架时可参考以下公式。
根据管道的力学性能容许挠度和容许抗弯计算出小直径管道两相邻支吊架的最大间距可参考以下公式：(只适应于水平管道)1、核算管道刚度，根据汽水手册要求图示管道最大挠度允许值为2.62mm根据简支梁均布载荷刚度计算公式：【f】=5qL4/384EI （只适应于简支梁均布载荷）允许挠度【f】=2.62mm ；单位长度钢管的重量q ，单位为K g /mm；允许最大挠度为2.62q可根据密度计算公式得出也可根据经验公式计算出q=（D-δ）δ/40。
D——管道外径单位mm；δ——管道壁厚单位mm；得出值q单位为K g /m，可换算成K g /mm。
E——管道在设计温度下的弹性模数K g /mm2；管道截面惯性矩I=π（D4-d4）/64;D——管道外径单位mm；d——管道内径单位mm；得出I值单位为mm 4。
应变和应力的计算公式
应变和应力的计算公式嘿，咱今儿来聊聊应变和应力的计算公式。
先来说说啥是应变和应力。
这俩家伙在物理学和工程学里可重要着呢！应变啊，简单说就是物体在受到外力作用时发生的形状变化程度。
比如说，你拉一根橡皮筋，它被拉长了，这拉长的程度跟原来长度的比值就是应变。
应力呢，则是物体内部为了抵抗外力产生的内力分布情况。
那应变的计算公式是啥呢？应变通常用ε 表示。
对于线应变，如果一个杆件原来的长度是 L₀，受力后长度变成了 L，那线应变ε 就等于（L - L₀）/ L₀。
这就好比一根铅笔，你用力掰它，它变长或者变短的那部分和原来长度的比例就是线应变。
再讲讲应力。
应力一般用σ 表示。
假如一个杆件受到一个拉力 F，横截面积是 A，那正应力σ 就等于 F / A 。
就像拔河的时候，绳子内部承受的力和绳子横截面积的比值就是应力。
我给您说个我曾经遇到的事儿。
有一回，我在工厂里看到师傅们在检测一批金属材料。
他们拿着各种仪器测量，嘴里还念叨着应变和应力的数值。
我好奇地凑过去，师傅看我一脸懵，就拿起一块材料给我比划。
他说：“你看啊，这材料被拉伸的时候，长度变了，咱们就得用应变公式算算变了多少。
然后根据受力大小和面积，用应力公式看看材料能不能承受得住。
”我当时似懂非懂地点点头，心里琢磨着这可真不简单。
回到这计算公式，应变和应力在实际生活中的应用那可太广泛了。
比如说造桥，工程师得精确计算桥梁在各种车辆通行时的应变和应力，确保桥不会因为受力过大而垮掉。
还有制造飞机的零部件，那要求更是严格，一点点的误差都可能导致严重后果。
在材料科学研究中，应变和应力的计算也是关键。
通过对不同材料进行实验，得到应变和应力的数据，就能判断材料的性能好坏，找到更适合的材料来满足各种需求。
总之，应变和应力的计算公式虽然看起来有点复杂，但搞清楚了它们，对于解决很多实际问题那可是大有用处。
咱可不能小瞧了这几个公式，它们背后可是有着大大的学问和实际价值呢！。
材料力学的基本计算公式-材料力学弯曲公式
资料力学的基本计算公式之巴公井开创作外力偶矩计算公式（P功率，n转速）1.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式2.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横截面轴力FN，横截面面积A，拉应力为正）3.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a 从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正）4.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1）5.纵向线应变和横向线应变6.泊松比7.胡克定律8.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式?9.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式10.轴向拉压杆的强度计算公式11.许用应力，脆性资料，塑性资料12.延伸率13.截面收缩率14.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ）15.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式16.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆（b）空心圆17.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求点到圆心距离r ）18.圆截面周边各点处最大切应力计算公式19.扭转截面系数，（a）实心圆（b）空心圆20.薄壁圆管（壁厚δ≤ R0 /10 ，R0 为圆管的平均半径）扭转切应力计算公式21.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GHp的关系式22.同一资料制成的圆轴各段内的扭矩分歧或各段的直径分歧（如阶梯轴）时或23.等直圆轴强度条件24.塑性资料；脆性资料25.扭转圆轴的刚度条件? 或26.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式,27.平面应力状态下斜截面应力的一般公式,28.平面应力状态的三个主应力, ,29.主平面方位的计算公式30.面内最大切应力31.受扭圆轴概况某点的三个主应力，，32.三向应力状态最大与最小正应力 ,33.三向应力状态最大切应力34.广义胡克定律35.四种强度理论的相当应力36.一种罕见的应力状态的强度条件，37.组合图形的形心坐标计算公式，38.任意截面图形对一点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和的关系式39.截面图形对轴z和轴y的惯性半径? ,40.平行移轴公式（形心轴zc与平行轴z1的距离为a，图形面积为A）41.纯弯曲梁的正应力计算公式42.横力弯曲最大正应力计算公式43.矩形、圆形、空心圆形的弯曲截面系数?，，44.几种罕见截面的最大弯曲切应力计算公式（为中性轴一侧的横截面对中性轴z的静矩，b为横截面在中性轴处的宽度）45.矩形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处46.工字形截面梁腹板上的弯曲切应力近似公式47.轧制工字钢梁最大弯曲切应力计算公式48.圆形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处49.圆环形薄壁截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处50.弯曲正应力强度条件51.几种罕见截面梁的弯曲切应力强度条件52.弯曲梁危险点上既有正应力σ又有切应力τ作用时的强度条件或，53.梁的挠曲线近似微分方程54.梁的转角方程55.梁的挠曲线方程?56.轴向荷载与横向均布荷载联合作用时杆件截面底部边沿和顶部边沿处的正应力计算公式57.偏心拉伸（压缩）58.弯扭组合变形时圆截面杆按第三和第四强度理论建立的强度条件表达式，59.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时，合成弯矩为60.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时强度计算公式61.弯拉扭或弯压扭组合作用时强度计算公式62.剪切实用计算的强度条件63.挤压实用计算的强度条件64.等截面细长压杆在四种杆端约束情况下的临界力计算公式65.压杆的约束条件：（a）两端铰支μ=l（b）一端固定、一端自由μ=2（c）一端固定、一端铰支μ=0.7（d）两端固定μ=0.566.压杆的长细比或柔度计算公式，67.细长压杆临界应力的欧拉公式68.欧拉公式的适用范围69.压杆稳定性计算的平安系数法70.压杆稳定性计算的折减系数法71.关系需查表求得。
悬臂梁弯曲应力计算公式
悬臂梁弯曲应力计算公式
悬臂梁的弯曲应力计算公式如下：
σ= M*y/I
其中，σ是悬臂梁在弯曲时产生的应力，M是悬臂梁所受的弯矩，y是悬臂梁截面上某点到中性轴的距离，I是悬臂梁截面的惯性矩。
弯曲应力是指在弯曲载荷下产生的应力，通常用于分析杆件或梁的强度。
悬臂梁是一种结构形式，它的一端固定，另一端悬挂着负载，因此在受到负载时会发生弯曲变形。
弯曲应力的大小取决于悬臂梁的截面形状、弯曲距离、材料的弹性模量等因素。
悬臂梁的惯性矩是指它的截面对于弯曲产生的惯性阻力，是悬臂梁抵抗弯曲变形的重要参数。
惯性矩的大小取决于悬臂梁截面形状、材料的弹性模量等因素。
在实际工程中，通常需要通过计算弯曲应力来判断悬臂梁的强度是否足够，从而确定是否需要进行加强或改进设计。
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将此式改写为 令
max
Iz Wz ymax
M max I z ymax
max
M Wz
则
max就愈小，梁便不容易破坏。可见 Wz 愈大， 下，
，抗弯截面系数反映截面抵抗弯曲破坏的能力。
式中 Wz ——抗弯截面系数。在M相同的情况
（2） 脆性材料杆件和中性轴不在对称轴的 截面，最大拉应力和最大压应力不一定发生 在同一截面，所以，最大正应力公式表示为
M max 4 10 6 3.88 MPa 1 Wz 140 210 2 6
正应力强度满足。
3FQ max 2A
（3） 校核切应力强度
max
3 4 10 3 0.20 MPa 2 140 210
切应力强度满足。
练习：
例2. 一简支梁如下图示。梁由两根工字钢组 成，[σ]=170MPa，选择工字钢的型号。
3.主应力强度条件
当截面为三块矩形钢板 焊接而成的工字形：
M a b y z
τmin
1 2 2 2
2
τmax τmin
3 2 2 2
2
二、强度计算
1. 强度校核
max
M max Wz
100 (y1)
（a）
C
z
·m 8KN M图
M B 12 KN m, M A 8KN m
A截面最大拉应力
12kN m ·
a
c
max
M A y2 8 10 6 200 16 MPa 8 Iz 110
B截面最大拉应力
b A截面 d B截面
max
M B y1 12 10 6 100 12 MPa 8 Iz 110
（2）.强度条件
产生最大弯矩的截面称为危险截面，危险 截面上产生最大应力的点称为危险点。 M max ymax M max max IZ Wz 对于脆性材料 M y max max Iz M y max max Iz 式中各量计算均用绝对值。
yymax
max
max
M y Iz M 2 ymax Iz
1 max
σymax M z
y max
σ max 图8-30
200 (y2)
例8.12 悬臂梁受力如下图所示，已知 8 4 I z 110 mm 试求梁的最大拉应力。 解：画M图。 22kN
A 2m B 1m 12kN
2.切应力强度条件
对于等截面直梁，全梁的最大切应力发生在FQmax 所在截面的中性轴处。
max
* FQ S z max
Iz b
当杆件出现以下情况之一时，必须校核切应 力强度，甚至由切应力强度条件来控制： （1）梁的跨度较小或荷载作用在支座附时。 （2）某些组合截面梁（如焊接的工字形钢板 梁），当腹板厚度与高度之比小于相应型钢的相 应比值时。 （3）木梁或玻璃等复合材料梁。
复习：
弯曲杆件正应力计算公式：
M y I
弯曲切应力计算公式：
FQ S z Iz b
第五节 弯曲杆件的强度计算
一、强度条件 1. 正应力强度条件 （1） 横截面上的最大正应力 对整个等截面杆件来说，最大正应力发生 在弯矩最大的截面上，其值为
max
M max y max Iz
max
FQ S
* z max
Iz b
2. 设计截面
Wz M max
圆截面： 矩形截面：
Iz d 4 64 d 3 Wz ymax d 2 32 Iz bh3 12 bh2 Wz ymax h2 6
M max Wz
3. 确定许用荷载
=4m
4kN FQ 图 4kN
h
例1 下图所示木梁，已知[σ]=10MPa， [τ]=2MPa，b=140mm，h=210mm，校核梁 强度。 q=2kN/m 解 z
b
M图 4kN m ·
作 FQ 和 M图
FQ max 4 KN
M max 4 KN m
（2）校核正应力强度
max
解
10KN 50KN A C D 2m B
4m
4m
z
RA 26 KN
RB 34 KN
M max 136 KN m
M max 136 10 6 Wz 400 cm3 2 2 170