2021年贵州省高考数学重难点热点复习：数列

2021年贵州省高考数学重难点热点复习：数列
1．已知等比数列{a n }是递减数列，a 1a 4=
132，a 2+a 3=38
． （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）若b n ＝﹣（n +1）log 2a n ，求数列{1b n }的前n 项和T n ．
【解答】解：（1）等比数列{a n }是递减数列，设公比为q ，
a 1a 4=132，a 2+a 3=38，可得a 2a 3=132，
解得a 2=14，a 3=18，满足a 2＞a 3，
解得a 1＝q =12，则a n ＝（12）n ； （2）b n ＝﹣（n +1）log 2a n ＝﹣（n +1）•（﹣n ）＝n （n +1），
1
b n =1n(n+1)=1n −1n+1
， 可得前n 项和T n ＝1−12+12−13+⋯+1n −1n+1=1−1n+1=n n+1．
2．已知{a n }是公差为1的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2=12
，a n b n +1+b n +1＝nb n ．
（1）求数列{b n }的通项公式；
（2）设c n ＝b n b n +1，求数列{c n }的前n 项和S n ．
【解答】解：（1）由题意，可知a 1b 2+b 2＝b 1，
即12a 1+12=1，解得a 1＝1． 又∵数列{a n }是公差为1的等差数列，
∴a n ＝1+n ﹣1＝n ．
∴a n b n +1+b n +1＝（n +1）b n +1＝nb n ，
∴数列{nb n }是常数数列，即nb n ＝1•b 1＝1，
∴b n =1n ，n ∈N *．
（2）由（1）知，c n ＝b n b n +1=1n(n+1)=1n −1n+1，
故S n ＝c 1+c 2+…+c n
＝1−12+12−13+⋯+1n −1n+1
＝1−1n+1
=n n+1
． 3．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝m ，a n +1＝S n +1（n ∈N *）．
（1）求实数m 的值和数列{a n }的通项公式；
（2）设b n ={a n (n 为奇数)log 2a n (n 为偶数)
(n ∈N ∗)，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ． 【解答】解：（1）a 2＝S 1+1＝a 1+1＝m +1，
由a n +1＝S n +1得a n ＝S n ﹣1+1（n ≥2），
相减可得a n +1﹣a n ＝a n （n ≥2）即a n +1＝2a n （n ≥2）．
又{a n }是等比数列，则公比q ＝2，
则a 2＝2a 1即m +1＝2m ，可得m ＝1，
故a n =2n−1(n ∈N ∗)．
（2）由b n ={a n (n 为奇数)log 2a n (n 为偶数)，得b n ={2n−1(n 为奇数)n −1(n 为偶数)
(n ∈N ∗)． 则T 2n ＝（b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1）+（b 2+b 4+b 6+…+b 2n ）
＝（20+22+24+…+22n ﹣
2）+[1+3+5+…+（2n ﹣1）] =1−4n 1−4−+12
n （1+2n ﹣1） =4n −13+n 2．
4．设数列{a n }前n 项和为S n 且2a 1＝a 2＝2，等差数列{b n }满足b 1＝1，b 2+b 5＝b 8且b 2S n +1+b 5S n
﹣1＝b 8S n （n ≥2，n ∈N *）．
（1）求{a n }和{b n }的通项公式；
（2）求数列{a n b n }的前n 项和T n ．
【解答】解：（1）设公差为d 的等差数列{b n }满足b 1＝1，b 2+b 5＝b 8， 则b 1+d +b 1+4d ＝b 1+7d ，解得d =12，
所以b n =1+12(n −1)=12(n +1)．
数列{a n }前n 项和为S n 且2a 1＝a 2＝2，且b 2S n +1+b 5S n ﹣1＝b 8S n ，
整理得32
S n+1+3S n−1=92S n ， 即32（S n +1﹣S n ）＝3（S n ﹣S n ﹣1），n ≥2，。