复变函数第3章
复变函数第3章
§3.1 复变函数积分的概念
主要内容
一 积分的定义 二 可积的条件及计算法 三 积分的性质
要求： 要求：
理解复变函数积分的概念， 理解复变函数积分的概念，掌握计算方法及性质
§3.1 复变函数积分的概念
一 积分的概念
1 有向曲线： 有向曲线： 为平面上给定的一条光滑( 设 C为平面上给定的一条光滑 ( 按段光滑 ) 曲线 . 如果选 为平面上给定的一条光滑 按段光滑) 曲线. 的两个可能方向中的一个作为正方向， 定C的两个可能方向中的一个作为正方向，那么我们就把 的两个可能方向中的一个作为正方向 C理解为带有方向的曲线，称为有向曲线 理解为带有方向的曲线， 理解为带有方向的曲线 称为有向曲线
k =1
n
+ i ∑ [v (ξ k ,η k )∆x k + u(ξ k ,η k )∆y k ]
k =1
n
§3.1 复变函数积分的概念
二 积分存在的条件及计算法
1 积分存在的条件 是连续函数C是光滑曲线 若f(z)是连续函数 是光滑曲线,则积分∫ f (z)dz一定存在 是连续函数 是光滑曲线, C 【证】∑ f (ζ k ) ⋅∆z k = ∑ [u(ξ k ,η k )∆x k − v (ξ k ,η k )∆y k ]
udx − vdy + i ∫ vdx + udy
C
C
udx + ivdx + iudy − vdy
§3.1 复变函数积分的概念
二 积分存在的条件及计算法
2 积分计算法 设连续函数f(z)= u(x,y)+iv(x,y)，光滑曲线 的方程为 设连续函数 ，光滑曲线C的方程为
z = z(t) = x(t) + i y(t), α ≤ t ≤ β
复变函数第3章
z 1 2 所以
z 1 2 2 2 f ( z) 2, z 1 2 由估值不等式有
z 1 C z 1 dz 8 .
3.1.3 复变函数的积分的计算问题
定理3.1 设C为光滑曲线， 若 f z ux, y ivx, y
沿曲线C连续,则 f ( z )沿C可积,且
1 1 f ( z) ＝ 1. Re z 1＋3t
而L之长为3，故
dz L Re z 3.
例4
计算积分
其中积分路径为
C
z dz
2
(1) 连接0到1+i的直线段 (2) 连接0到1的直线段及连接1到1+i的直 线段所成的折线. 解 方程为 (1) 连接0到1+i的直线段的参数
z (1 i)t (0 t 1).
y
B
那么B到A就是曲线L的负向,
记为 L .
o
A
x
关于曲线方向的说明: 在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作 为起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方 向总是指从起点到终点的方向. 简单闭曲线正向的定义: 简单闭曲线L的正向是 P 指当曲线上的点P顺此方向 前进时, 邻近P点的曲线的 o 内部始终位于P点的左方. 与之相反的方向就是曲线的负方向.
0 0 1 1
1
1
1 tdt i dt i. 0 0 2
(此例说明:积分路径不同, 积分结果可能不 同)
作业:P45.T1;T3.
1. 柯西积分定理 2. 复合闭路定理 3. 解析函数的原函数
由定理3.1,复积分可转化为实二元函数 的第二型曲线积分.那么,复积分在什么情况 下与路径无关? 1 2 比较 f ( z ) z , f ( z ) Re z , f ( z ) za 可能与被积函数的解析性及解析区域有关
复变函数 第三章 复变函数的积分
{ u [ x ( t ), y ( t )] i [ v [ x ( t ), y ( t )]]}( x ' ( t ) iy ' ( t )) dt
i v x t,y () t) xt ' () u (()() x ty t) yt ' () } d t {(()
f[ z ( t)] z '( t) dt fz ( ) d z f [ z ( t ) ] zt ' ( ) d t
C
（ 3 . 6 ）
用（3.6）式计算复变函数的积分,是从积分路径的 参数方程着手,称为参数方程法.
例3.1 计算 z d z ,C : 从原点到点 3 4 i 的直线 . C y x3 t, 0t 1 , 解 直线方程为 A y 4 t ,
C C
u ( x , y ) d x v ( x , y ) d y iv ( x , y ) d x u ( x , y ) d y
C C
C
f ( z )d z
结 论 1 ： 当是 fz () 连 续 函 数 , C 是 光 滑 曲 线 时 ， () d z 一 定 存 在 。 fz 结 论 2 ： () d z 可 以 通 过 两 个 二 元 实 函 数 的 fz
k k
证明 令 z x iy x x x y y y k k k k k k 1 k k k 1
n
k n k k k k k k
n
u (k, x v(k, y k) k k) k
k 1 k 1 n n
k 1 n
《复变函数》第三章 复变函数的积分
y
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C zn1
1 A
2
z1
z2
k zk zk 1
o
x
4
n
n
作和式 Sn f ( k ) (zk zk1 ) f ( k ) zk ,
k 1
k 1
这里 zk zk zk1, sk zk1zk的长度,
记 m1kaxn{sk }, 当n 无限增加且 0 时,
如果不论对C 的分法及 k 的取法如何, Sn 有唯
情况二 : 若 C 包围 点,
由上节例4可知, c (z )ndz 0.
31
四、小结与思考
通过本课学习, 重点掌握柯西－古萨基本定 理:
并注意定理成立的条件.
32
思考题
应用柯西–古萨定理应注意什么?
33
思考题答案
(1) 注意定理的条件“单连通域”.
反例: f (z) 1 在圆环域 1 z 3内;
线的限制, 必须记作 f (z)dz.
C
放映结束，按Esc退出.
24
第二节 柯西－古萨基本定理
一、问题的提出 二、基本定理 三、典型例题 四、小结与思考
一、问题的提出
观察上节例1, 被积函数 f (z) z 在复平面内处处解析,
此时积分与路线无关. 观察上节例4, 被积函数当 n 0时为 1 ,
根据本章第一节例4可知,
1 dz 2i.
z 2 z 1
由此希望将基本定理推广到多连域中.
38
二、复合闭路定理
1. 闭路变形原理 设函数 f (z) 在多连通域内解析,
C 及 C1 为 D内的任意两条简 单闭曲线(正向为逆时针方向), A A
复变函数课件-第三章复变函数的积分解读
1、复变函数积分的定义
设在复平面 C 上有一条连接 z 0 及 Z 两点的简单曲 线 C 。设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 是在 C 上的连续函数。其中 u(x,y)及v(x,y)是f(z)的实部及虚部。 把曲线C用分点 z0 , z1 , z2 ..., zn 1 , zn Z
C
f ( z )dz 0 f ( z )dz f ( z )dz 0 f ( z )dz f ( z )dz
C1 C2 C1 C2
b
a
C1
结论2: 周线C : f ( z )dz 0 C 函数f(z)的积分与路径无关,
目的
研究复积分与路径的无关性:
k
zk
C
z1
z0
复变函数的积分
分实部与虚部，有 n 1
[u (
k 1
k
k
, k ) iv( k , k )][( xk 1 xk ) i ( yk 1 yk )]
n 1
或者
u (
k 1 n 1 k 1
n 1
, k )( xk 1 xk ) v( k , k )( yk 1 yk )
max{| zk 1 zk | ( xk 1 xk ) ( yk 1 yk )
2 2
0 | k 0,1,2,..., n 1} 0
时，上面的四个式子分别有极限：
u( x, y)dx, v( x, y)dy, v( x, y)dx, u( x, y)dy,
C f ( z)dz C f ( z)dz, （4） 积分是在相反的方向上取的。
复变函数积分的性质：
复变函数第三章
x
§4 原函数与不定积分
定理一 若函数 f(z) 在单连通区域 B 内解析，则
积分 ∫ f ( z)dz 与连接起点和终点的路线 C 无关.
20
求I =
∫ Γ f (z)dz 型积分的步骤：
一、判断 f ( z)是否解析；
二、若 f ( z)在曲线Γ 内解析且连续到边界，则 I = 0.
三、若 f ( z)在曲线 Γ 内有奇点 z1 ,L, zn ,则作分 别以 z1,L, zn 为心的小圆周 C1,L, Cn , 且这些小 圆周位于曲线Γ 内部，由复合闭路定理可得：
) f ( z)dz
) f ( z)dz
= ( + − ) f ( z)dz ∫ ∫
C C1
dz 例 计算 ∫Γ (z − z0 )n+1 ，其中Γ 为包含 z0 的任意一条简单 闭曲线，n 为整数.
y
Γ
z0
r
C
解：作一条以 z0 为心，以 r 为半径 x O 的圆周 C，C 含于 Γ 内部. 1 由函数 在除 z = z0 外解析，以及复合 n +1 ( z − z0 ) 闭路定理可得， n=0 dz dz 2π i, Γ (z − z0 )n+1 =C (z − z0 )n+1 = 0, n ≠ 0, n ∈Z ∫ ∫
解：C 的方程： z = z0 + reiθ , 0 ≤ θ ≤ 2π ,
z
z − z0 = reiθ
z0 r
x
θ
O
2π 2π dz ireiθ i i 2π −inθ C (z − z0 )n+1 = ∫0 rn+1ei(n+1)θ dθ = ∫0 rneinθ dθ = rn ∫0 e dθ ∫
复变函数ppt第三章
移向得
∫C0 f ( z)dz = ∫C1 f ( z)dz + ∫C2 f ( z)dz + L+ ∫Cn f ( z)dz
完
27
例3 设C为一简单闭光滑曲线, a∈C.计算积分 ∫ C
page47
dz . z−a
参考解答 a
C
r
a
C
Cr
(1)
(2)
完
28
dz 例4 计算积分 ∫ C 2 . 积分按逆时针方向,沿曲线 逆 z −z C进行,C是包含单位圆周|z|=1的任意一条光
31
定理3 定理3 设w=f(z) 在单连通区域D内解析,则由
F(z) = ∫ f (ξ )dξ
z0
z
z ∈ D (Th3-1)
定义的函数F(z)在D内解析,且
F ′( z ) = f ( z )
参考证明
完
32
牛顿－莱布尼兹公式
定理4 定理4 设w=f(z) 在单连通区域 单连通区域D内解析, Φ ( z )是f(z) 单连通区域 的任一原函数,那么
都含在C0内部,这n+1条曲线围成了一个多连通区域 多连通区域 D,D的边界 ∂D 称为复闭路 复闭路. 复闭路 左手法则定正向: 左手法则定正向 沿着D的边界走, 区域D的点总在 左手边.
C0
C3
C2 C1
∴当C0取逆时针, C1 , C2 ,L , Cn都取顺时针.
24
∂D = C 0 + C1 + C 2 +
第三章 复变函数的积分 复变函数
引言 复变函数积分的概念 柯西—古萨定理 柯西 古萨定理 柯西积分公式、 柯西积分公式、 解析函数的高阶导数公式 解析函数与调和函数的关系
《复变函数》第3章
§1 复变函数积分的概念
一、定义 1. 有向曲线: C : z z (t ) x(t ) iy(t ) 选定正方向: 起点 终点 C + 简单闭曲线正方向: P 沿正向前进, 曲线 内部在左方. 2. 复变函数的积分:(P70定义)
f ( z )dz
c
2014-10-20
( n ) k 1
复 变 函 数（第四版）
第三章 复变函数的积分
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 复变函数积分的概念 柯西－古萨(Cauchy-Goursat)基本定理 基本定理的推广－复合闭路定理 原函数与不定积分 柯西积分公式 解析函数的高阶导数 解析函数与调和函数的关系
《复变函数》(第四版) 第1 页
2014-10-20
2014-10-20 《复变函数》(第四版) 第16页
条件放宽, C 为解析域 D 的边界. f (z)在D C D上连续 , 则 c f ( z )dz 0 例: 对任意 C .
c z
2
dz 0
c e dz 0 c sin z dz 0
2014-10-20 《复变函数》(第四版) 第17页
dz ire d i 2 dz ire c 0 n1 i ( n1) d n 1 ( z z0 ) r e i 2 i 0 n in d n r r e
2014-10-20 《复变函数》(第四版)
i
2 0
e in d
第7 页
( 接上页例 )
i [v( k ,k )xk u( k ,k )yk ] .
k 1
《复变函数》(第四版) 第3 页
n
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复变函数第三章学习方法导学
第三章 复变函数的积分复变函数的积分（以下简称为复积分）是研究解析函数的重要工具之一．用这种工具我们可以证明解析函数的许多重要性质．例如，解析函数导数的连续性，解析函数的无穷可微性等，表面看起来只与微分学有关的命题，都可用复积分这一工具得到比较好地解决．另外，对解析函数，我们完全可以通过函数的连续性，再结合函数的适当积分特征（积分与路径无关）来加以刻画，从而使对解析函数研究摆脱以往过份依赖实、虚部二元实函数，受数学分析知识的限制这种尴尬的境地，为解析函数的研究开辟了新的途径和新的思路（实际上，解析函数的许多进一步研究，正是在有了积分定义法之后，才得以进一步深入）．一．学习的基本要求1．能正确地理解复变函数积分的定义，掌握复积分与实、虚部二元实函数所产生的两个第二型曲线积分的关系，从而理解为什么复积分虽具有形式上的一元性，但实质上是与多元函数的第二型线积分联系在一起的，具有第二型线积分的特点． 复积分与实积分的具体关系如下：函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+定义在平面有向光滑或逐段光滑曲线C 上，则()Cf z dz ⎰存在⇔(,)(,)Cu x y dx v x y dy -⎰和(,)(,)Cv x y dx u x y dy +⎰都存在．此时还有()(,)(,)(,)(,)CCCf z dz u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy =-+⋅+⎰⎰⎰．2．熟练掌握复积分的若干基本性质以及基本性质的应用（比如：利用积分的估值性，估计复积分的模，证明一些与积分有关的极限问题等）．参数方程法3．熟练掌握复积分计算的两种基本方法——参数方程法 ，并牛顿－莱布尼兹公式能用这两种方法熟练计算复积分．●熟记复积分的参数方程计算公式：记积分路径C 的参数方程为()z z t =，0t t T ≤≤，其中00()z z t =，()Z z T =()f z 在积分路径C 上连续，则()d [()]()d T Ct f z z f z t z t t '=⋅⎰⎰其中右边定积分上、下限要根据曲线C 的方向确定．另外能正确写出连接两点1z 和2z 的直线段12z z 的参数方程 121()z z z z t =+-，01t ≤≤．圆周0z z ρ-=的参数方程0i z z e θρ=+，02θπ≤≤或πθπ-≤≤．●熟记复积分的牛顿－莱布尼兹公式：设函数()f z 在区域D 内连续，0z ，Z D ∈，C 是区域D 内从0z 到Z 的任意积分路径，若()f z 在区域D 内存在原函数()F z （即()()F z f z =，z D ∈），则 00()d ()d ()()()Z Zz z Cf z z f z z F z F Z F z ∆===-⎰⎰．这里注意的是：当()F z 为某多值函数的单值解析分支函数时，()F Z 的值一般不能随便取，要根据0()F z 的值以及z 沿C 从0z 连续变到Z 来确定．4．掌握并熟悉几个典型积分：① 若C 是平面上的一条围线，a C ∉，则112,10()0nCa C n a C n a C n Z i dz z a π=≠∈⎧⎪=⎨-⎪⎩⎰当在的内部，且当在的内部，且当在的外部，，， ．② 若C 是平面上以a 为心，R 为半径的一段圆弧，其参数方程为：i z a R e θ=+⋅， （1202θθθπ≤≤≤≤），方向是θ从1θ到2θ（即θ增加的方向或逆时针方向），则2121(1)(1)111(),11(),()(1)i n i n nCn n n i dz e e z a n R θθθθ---=≠⋅-⎧⎪=⎨⋅--⎪-⎩⎰当当 ． 特别，当C 为整个圆周z a R -=时，此时02θπ≤≤，112,10,()n Cn n i dz z a π=≠⎧=⎨-⎩⎰当当 ． ③0d Cz Z z =-⎰，2201d ()2C z z Z z =-⎰，其中C 为从0z 到Z 的任意简单曲线．特别当0z 与Z 重合（0Z z =），即C 为简单闭曲线时，d 0Cz =⎰，d 0Cz z =⎰．④ 要学会善于利用积分曲线的方程，对被积函数进行简化，例如当积分曲线为圆周2z R =时，可利用22R z z z ==⋅对被积函数进行简化等．5．了解并熟悉柯西（积分）定理的各种形式，理解各种形式的条件和结论的含义，理解为什么积分与路径无关能成为解析函数的积分特征，并能熟练掌握运用各种形式的柯西（积分）定理计算复积分的方法（理解柯西定理在计算积分中所起的作用）．初步掌握利用复积分来解决某些定积分问题的方法，理会这种方法的基本思路（即先选择适当的复积分，通过复积分的方法计算出积分的值，然后再利用参数方程法将复积分转化为实积分，通过比较实部和虚部，达到解决实积分的目的）．初步掌握利用柯西定理来解决解析函数的原函数的存在性问题．且是该解析函数在单连通区域内的原函数．（课本上的定理3.2及其变形的形式定理3.2＂）原函数（此时，我们称这样的原函数为解析函数的局部原函数），即多连通区域内的解析函数一定存在局部的原函数．附：定理3.2＂ 若函数()f z 在单连通区域D 内连续，且积分与路径无关，0z D ∈为取定的一点，则区域D 定义的变上限函数0()()d Z z F z f ξξ=⎰在D 解析，且为()f z 在D 内的原函数，即()()F z f z '=，z D ∈．6．能正确地理解柯西（积分）公式的含义，掌握其证明的方法及其如下统一形式：设D 为有界区域，C 为其边界，若()f z 在D 解析，在闭区域D D C =+上连续（即()f z 可以连续到C 上），则(),1()d 20,C f z zD f i z z D D Cξξπξ∈⎧⎪=⎨-∉=+⎪⎩⎰其中1()d 2C f i zξξπξ-⎰也称为柯西型积分． 并能熟练地应用柯西（积分）公式或其统一形式来计算复积分或某些其它的值（如()f z 在某一点的导数值等）．7．熟练掌握解析函数的高阶导数公式，并能熟练地运用高阶导数公式来计算复积分或证明某些定积分问题（如：220(21)!!cos d 2(2)!!n n n πθθπ-=⋅⎰等）．8．掌握解析函数的无穷可微性、复积分的柯西不等式、关于整函数的刘维尔定理及其刘维尔定理的简单应用（如：证明某些整函数为常函数，证明代数学基本定理等）．9．掌握莫勒拉定理以及解析函数的积分定义法．10．归纳复积分()Cf z dz ⎰的常用计算方法：当C 是非封闭简单曲线时，主要有下面的方法：① 利用C 的参数方程，将复积分()Cf z dz ⎰化为关于参数的定积分；② 补充适当积分路径与原积分路径合成封闭曲线，再用柯西定理或柯西公式以及参数方程法．此时要求补充的积分路径尽可能简单，以便在补充的积分路径上的复积分计算起来比较容易；③ 利用复积分的牛顿—莱布尼兹公式．当C 是简单闭曲线时，主要有下面的方法： ① 利用C 的参数方程，将复积分()Cf z dz ⎰化为关于参数的定积分；② 利用柯西定理或柯西（积分）公式或高阶导数的积分公式． ③ 利用课本第3章习题三的第16或17题．11．单连通区域内积分与路径无关的两种说法：设D 是单连通区域，函数()f z 定义在D 上，则下面的两种说法是等价的①对于D 内任意两点0z ，1z ，以及D 内任意一条以0z 为起点，1z 为终点的简单曲线C ，总有()Cf z dz ⎰的值只与0z 和1z 有关，而与D 内从0z 到1z 的简单曲线C 无关（即积分与路径无关）．②对于D 内任意的简单闭曲线C ，总有()0Cf z dz =⎰．二．问题研究－柯西型积分的几个问题设C 是复平面上的一条有向简单曲线，函数()f z 在C 上连续，通常我们把下面的积分1()()2C f F z d i zζζπζ=-⎰，z C ∉（即z C D ∆∈-=） 称为柯西（Cauchy ）型积分．1．柯西型积分在点集D 上的解析性显然，当C 是非封闭简单曲线时，D C =-是一个多连通区域；当C 是简单闭曲线时，D C =-是由一个单连通区域（即C 的内部）和一个多连通区域（即C 的外部）构成．问题１： 设C 是复平面上的一条有向简单曲线，函数()f z 在C 上连续，则1()()2C f F z d i zζζπζ=-⎰在C D ∆-=的每一个区域内解析，并且()1!()()2()n n C n f F z d i z ζζπζ+=-⎰（z D C ∈=-），{0,1,2,}n ∈规定：若函数()f z 在∞的某去心邻域内解析，且lim ()z f z →∞存在，则称()f z 在∞解析，此时()lim ()z f f z ∆→∞∞=．问题２： 若C 是简单闭曲线，则在上面的问题１中，lim ()z F z →∞有何特点，()F z 能否在∞解析？问题３： 若C 是简单闭曲线，()f z 在C 上连续，且()f z 在C 内部还解析，则问题１与柯西公式有何联系？2．柯西型积分的边值问题－奇异积分设a C ∈，若01()lim2r C r f d i aζζπζ→-⎰存在，其中{}r C C C a r ζζ=-⋂-<则定义01()()lim2r C r f F a d i aζζπζ∆→=-⎰称为柯西型积分()F z 在z a =处的值．其中()f ζ在C 上连续． 问题４： （１）讨论01()lim2r C r f d i aζζπζ→-⎰的存在性；（２）讨论01()lim2r C r f d i a ζζπζ→-⎰与01()lim 2r L r f d i aζζπζ→-⎰的关系， 其中r L 是与曲线{}C a r ζζ⋂-<具有相同起点和终点的适当圆弧：a r ζ-=．（３）若C 是简单闭曲线，()f z 在C 上连续，且()f z 在C 内部还解析，a C ∈，计算1()?2C f d i aζζπζ=-⎰，并由此写出全平面上统一的柯西公式．。
复变函数-第3章
切矢不为零
并且在[a,b]上, x′(t ), y′(t ) 存在连续且不同时为零, 则称 γ 为 光滑曲线; 若 z (a) = z (b), z ′(a) = z ′(b), 则称 γ 为光滑闭曲线.
光滑弧
光滑闭曲线
(3) 若 f (z ) 和 g (z ) 沿 γ 可积, 则
∫γ [ f ( z ) ± g ( z )]dz = ∫γ f ( z )dz ± ∫γ g ( z )dz.
定理 3.1.3
连续
可积
有界
设 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) 在逐段光滑曲线 Γ 上连续, 则
其中, l (Γ) = ∫ ds, ds =| dz |= (dx) 2 + (dy ) 2 . 特别,
∫
Γ
f ( z )dz ≤ max | f ( z ) | ⋅l (Γ).
z∈Γ
证明: (1) 设
z k = xk + iyk , Δxk = xk − xk −1 , Δyk = yk − yk −1 , ck = ξ k + iη k ,
0
∫
r3
′ z dz = ∫ z3 (t ) z3 (t )dt = ∫ [−t (1 − i )]2 [−1 − i ]dt
2 0 2 −2 −2
0
= −(1 + i )(1 − i )
2
∫
0
−2
t 2 dt = −(1 + i )(1 − i ) 2 8 . 3
r3
∫
Γ
z 2 dz = ∫ z 2 dz + ∫ z 2 dz + ∫ z 2 dz = 1 (16 + 32i ). 3
第三章复变函数积分
G
例3.8
计算积分
G
ez dz,
z
其中G 由正向圆周
y
z 2 和负向圆周 z 1 组成.
C1
解 显然C1和C2围成一 ez
个圆环域. 函数 f ( z ) z
C2 o1
2x
在此圆环域及其边界上解析, 并且圆环域的边界
构成复合闭路, 所以根据
如果C是闭曲线，经常记作 C f(z)dz.
当C是实轴上的区间 a , b , 方向从a到b, 并且
f ( z ) 为实值函数，那么这个积分就是定积分.
3.1.2 积分存在的条件及积分性质
定理3-1 设C是分段光滑(或可求长)的有向
曲线， f( z ) u ( x ,y ) i v ( x ,y )在C上连续，则
例3.7
计算积分
G
2 z
z
2
1 z
d
z
,
其中G为包含圆周
z 1 在内的任意分段光滑正向简单闭曲线.
解 显然函数 2z 1
f (z) z2 z 在复平面有两个奇点0和1, 并且G 包含了这两个奇点.
y
•
o1
•
x
G
在G内作两个互不包含也互不相交的正向
圆周C1和C2, 使得C1只包含奇点0,
奇点1.
li m 0(zz0)zz0.
例3.2
计算积分
C
(z
1 z0 )n1
dz
(n是整数),
其中C是圆周: zz0r(r0)
y
的正向. 解 积分路径的参数方程为
z
z0 r
z z 0 rie( 0 2 π ), o
x
C
(z1z0)n1dz
复变函数课件第3章基本定理的推广复合闭路定理
辅助函数定义
为了简化证明过程，引入一个与 被证明的函数有关的辅助函数。 辅助函数通常具有一些特殊的性 质，如易于计算或具有已知的积 分值。
辅助函数的性质
描述辅助函数的基本性质，如连 续性、可积性等。这些性质将在 后续的证明步骤中起到关键作用。
辅助函数的构造方
法
介绍如何根据被证明的函数构造 合适的辅助函数，以及这种构造 方法的理论依据。
利用高维微分几何和复分析的知识进行证 明。
05
复合闭路定理的应用举例
应用举例一：求解复积分
总结词
利用复合闭路定理，可以将复杂的复积分问题转化为一系列简单路径上的积分问 题，从而简化计算。
详细描述
在求解复积分时，我们常常遇到积分路径复杂或难以直接计算的情况。复合闭路 定理为我们提供了一种有效的工具，通过将积分路径分解为一系列简单路径，我 们可以将复杂问题转化为简单问题，从而方便地求解复积分。
证明
利用柯西定理和多连通域的性质进行证明。
推广形式二：更一般的边界条件
总结词
更一般的边界条件下的复合闭路定理
详细描述
当函数的边界条件不再是解析时，复合闭路定理仍然可以 推广。例如，当函数在边界上满足某种导数条件时，可以 通过积分公式进行推广。
公式
如果 $f(z)$ 在区域 $D$ 上满足一定的导数条件，则复合 闭路定理仍然成立。
多连通域的复合闭路定理
详细描述
当函数定义在多连通域上时，复合闭路定理依然成立。在多连通域中， 函数沿着闭路的积分可以通过减去所有边界上的积分来计算。
公式
如果 $f(z)$ 在多连通域 $D$ 上解析，且 $gamma$ 是 $D$ 内的闭 路，则 $int_{gamma} f(z) dz = 0$。
复变函数：第3章复变函数的积分
因此
dz
c zz0 n1
2i,n0,
0,n0,
例 0）3到计（算1，cz d1z）的的值线，段其：中xt,Cy 为t沿,0从t（1 ;0，
解 :
c zd z0 1 t it1id t0 12 td 1 t;
例 0）4到计（算1， c1zd）z 的的值线，段其与中从（C1为，沿0从）（到0（，1，
处处解析，C 为内 D 的任何一条正向简单闭曲
线,它的内部完全含于 D,z 0 为 C 内的任一点,那
末
fz021 ic
fz
dz zz0
(3.4.1)
公式(3.4.1)称为柯西积分公式.通过这个公式
就可以把一个函数在C 内部任何一点的值,用
它在边界上的值来表示.
例10计算
1
sinzdz
2i z 4 z
处解析，那末函数 Fz必为内的解析函数,并
且 Fzfz
原函数的概念
下面，我们再来讨论解析函数积分的计算。首 先引入原函数的概念：
结论：f z 的任何两个原函数相差一个常数。
利用原函数的这个关系，我们可以推得与牛 顿—莱布尼兹公式类似的解析函数积分的计算 公式。
定理三 如果函数 f z在单连域内处处解析，Gz为 f z
的一个原函数，
那末
z
z0
fzd zG zG z0
这里 z 0 , z 为区域B 內的两点。
例 5 计算 isin2zdz i
解：
i sin2zdz
i
ii1 c 22 o zd s z 1 2 z 1 2 s2 iz n iii 1 2 s2 iin
例
6
计算
1
0 z sinzdz
第三章-复变函数
（即 x 3t, y 4t 0 t 1）
•z 3 4i
C
Czdz
1
0
t
3
4i
3
4i
dt
1 t3 4i2dt 0
1 3 4i 2
2
7 12i 2
Czdz x iydx iy C xdx ydy iC ydx xdy
又
全
都
在C
的
0
内
部.
在C
的
0
内
部
同
时
又
在C
1
,
C
2
,
,Cn外部的点集构成一个
有 界 的 多 连 通 区 域D,以 C0 , C1 , C 2 , C n为 它 的 域D的 边 界 是 一 条 复 周 线
C
C0
C
1
C
2
C
n
积分一般与积分路经有关！
2020/2/29
9
例4
计
算
C
z
dz z0
，
n1
其
中C为
以z
为
0
中
心
，
r为 半 径 的 正 向 圆 周 ，n为 整 数.
解 C : z z0 r即z z0 re i， : 0 2
C
dz z z0 n1
C（C为任意常数）13
定理3.4 设函数 f z在单连通域D内解析，则 G(z) 是f z在
D内的一个原函数，则
z1 z0
f
z dz
复变函数第3章
0
0
F ( z z ) F ( z ) 即 lim f ( z ) 也就是F'(z)=f(z) z 0 z
定义3.2 若在区域D内，(z)的导数等于f(z)， 则称(z)为f(z)在D内的原函数或不定积分. 变上限函数 F ( z ) f ( )d 为f(z)的一个原函数.
1 2 1
(2) C = C1 + C2 C1的参数方程为：z = t, t 从0到1; C2的参数方程为：z=1+it, t 从0到1.
C
z 2 dz z 2 dz z 2 dz
C1 1 C2
x t dt (1 it ) d(1 it ) 0 0 3
2 z 例3.1 分别沿下列路径计算积分 C dz 和来自CIm zdz :
(1) C为从原点(0,0)到(1,1)的直线段； (2) C为从原点(0,0)到(1,0)再到(1,1)的直线段. 解：(1) C的参数方程为：z=(1+i)t, t从0到1.
C
z dz [(1 i )t ]2 d((1 i )t )
例 证明： |z 1|2
z 1 dz 8 . z 1
证：由积分不等式，有
| z 1| 2
z 1 z 1 dz ds | z 1| 2 z 1 z 1 | ( z 1) 2 | ds | z 1| 2 2 | z 1| 2 ds | z 1| 2 2 22 ds | z 1| 2 2 2
2 1 2 3 1
3 1
0
(1 t 2 i2t )idt
0
1
3 1 t 2 i 2 (1 i ) (t it 2 )i . 3 3 3 3 0
复变函数第3章
1
3 1 t 2 i 2 (1 i ) (t it 2 )i . 3 3 3 3 0
C
Im( z )dz Im( z )dz Im( z )dz
C1 1 C2
i 0dt td(1+ it ) i tdt . 0 0 0 2
| z 1| 2
ds 2 4 8 .
13
§2 柯西积分定理（柯西-古萨定理）
1.柯西-古萨定理 （积分方法二） 定理3.3（柯西-古萨定理） 若函数 f(z)是单连通域D 内的解析函数，C是D内任一周线，则
C
f ( z )dz 0.
定理3.4（柯西-古萨定理推广） 若函数 f(z)是单连通 域D内的解析函数，C是D内任一闭曲线，则
F ( z) f ( )d ,
z0 z
称F(z)为定义在区域D内的积分上限函数或变上 限函数.
18
定理3.6 若函数f(z)在单连通域D内解析，则函数F(z) 必在D内解析，且有F '(z)=f(z). 证明：设 z, z +z D， z F ( z z ) F ( z ) 1 z z f ( z) f ( )d f ( )d f ( z ) z0 z z z0 1 z z 1 z z f ( )d f ( z )d 与路径无关 z z z z z z 1 f(z)连续，则任意 [ f ( ) f ( z )]d z z >0, 存在 >0,使 1 得当|-z|<时， | z | . | z | 有|f() –f(z)|<.
C
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz 0.
复变函数第三章(第五讲)
§3-2 Cauchy积分基本定理 积分基本定理 1. Cauchy积分基本定理 积分基本定理 2. 复合闭路定理
原函数、不定积分、 3. 原函数、不定积分、路径无关
1. Cauchy 积分基本定理
Cauchy 积分基本定理 积分基本定理(1825年) 年
在单连通区域D内解析 则对D内 内解析, 定理 3.2.1 设 f 在单连通区域 内解析 则对 内 任一条有向闭曲线C, 任一条有向闭曲线
且 ∫ f ( z )dz＝∫ udx − vdy + i ∫ vdx + udy。
证明
设λ = max{| ∆z j |},
0≤ j ≤ n
= lim ∑ u( ρ j ,σ j ) + iv( ρ j ,σ j ) (∆x j + i∆y j )
λ →0 j =1
n
[ = lim ∑ [u( ρ , σ
α
β
∴∫ f (z)dz = ∫ f [z(t )]z'(t )dt。
C
β
α
例 1 计算积分
∫z
Ck
2
dz , k = 1 , 2 ; 其中
(1) C1 是从原点到 1 + i 3 的有向直线段 的有向直线段； (2) C2 是从原点到 再到 1 + i 3 的有向折线段； 是从原点到1再到 的有向折线段； 曲线C 的参数表示： 解 (1) 曲线 1 的参数表示：
∫
C
f ( z)dz = ∫
C1 +C2
f ( z)dz = ∫ f (z)dz + ∫ f ( z)dz;
C1 C2
( 5 ) 积分不等式： 设 C的长度为 L, 函数 f ( z )在 C上 积分不等式： 满足 f ( z ) ≤ M , 则
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2 1
i
1
y
1 i
y x2
o
1
x
14
(3) 积分路径由两段直线段构成 x轴上直线段的参数方程为 z ( t ) t (0 t 1),
于是 Re z t , dz dt ,
1到1+i直线段的参数方程为 z ( t ) 1 it (0 t 1),
c
( z ) n d z 0.
( 2)当 n 为负整数但不等于 1 时,
( z )n 在除点 的整个 z 平面上解析,
情况一 : 若 C 不包围 点,
24
( z ) 在 C 围成的区域内解析 ,
n
由柯西－古萨定理,
c
( z )n dz 0;
情况二 : 若 C 包围 点,
1 k n
如果不论对 C 的分法及 k 的取法如何 , Sn 有唯 一极限, 那么称这极限值为 记为
f ( k ) zk . C f ( z )dz lim n k 1
n
函数 f ( z ) 沿曲线 C 的积分,
y
A
1 2
z1 z2
k z k zk 1
C z n 1
18
三、积分的性质
复积分与实变函数的定积分有类似的性质.
(1) f ( z )dz
C C C
f ( z )dz;
( 2) kf ( z )dz k f ( z )dz; ( k为常数)
C
( 3) [ f ( z ) g( z )]dz f ( z )dz g( z )dz;
C
x 3t , 0 t 1, 解 直线方程为 y 4t , 在 C 上, z ( 3 4i )t , dz ( 3 4i )dt ,
C zdz 0 (3 4i ) tdt (3 4i ) 0 tdt
2 2
1
1
( 3 4i ) 2 . 2
第三章 复变函数的积分
第一节 复变函数积分的概念 第二节 柯西-古萨基本定理 第三节 复合闭路定理
第四节 原函数与不定积分 第五节 柯西积分公式 第六节 解析函数的高阶导数
1
第一节 复变函数积分的概念
一、积分的定义 二、积分存在的条件及其计算法
三、积分的性质
2
一、积分的定义
1.有向曲线: 设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑) 曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作 为正方向(或正向), 那么我们就把C理解为带 有方向的曲线, 称为有向曲线. 如果A到B作为曲线C的正向,
于是 Re z 1, dz idt ,
y
i
C
Re zdz tdt 1 idt
0 0
1
1
1 i
y x2
1 i. 2
o
1
x
15
例3 计算 z dz , 其中 C 为 : 圆周 z 2.
C
解 积分路径的参数方程为
z 2e
i
(0 2π ),
y
B
那么B到A就是曲线C的负向, 记为 C .
o
A
x
3
关于曲线方向的说明: 在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作 为起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方 向总是指从起点到终点的方向. 简单闭曲线正向的定义:
y
简单闭曲线C的正向 P 是指当曲线上的点P顺此方 向前进时, 邻近P点的曲线 o 的内部始终位于P点的左方. 与之相反的方向就是曲线的负方向.
y
A
1 2
z1 z2
k z k zk 1
C z n 1
B
o
x
5
作和式 Sn f ( k ) ( zk zk 1 ) f ( k ) zk ,
k 1 k 1
n
n
这里 zk zk zk 1 , sk zk 1 zk的长度,
记 max{sk }, 当 n 无限增加且 0 时,
zi
0 1 1 dz 2i i . 2 1zi
2
27
第三节 基本定理的推广
复合闭路定理
一、复合闭路定理 二、典型例题
28
一、复合闭路定理
设 C 为 多连通域 D 内的一条简单闭曲线 , C1 , C 2 , , C n 是在 C 内部的简单闭曲线 , 它们 互不包含也互不相交, 并且以 C , C1 , C 2 , , C n 为边界的区域全含于 D,
C
(1)从原点到点1 i 的直线段; (2) 抛物线 y x 2 上从原点到点1 i 的弧段; (3) 从原点沿 x 轴到点1 再到 1 i 的折线.
解 (1) 积分路径的参数方程为
z ( t ) t it (0 t 1),
y
i
于是 Re z t , dz (1 i )dt ,
y
z
0 z
o
r
x
C
1 i 2π n 1 dz n 0 (cos n i sin n )d 0; ( z z0 ) r
2i , 1 所以 n1 dz ( z z0 ) 0, z z0 r
n 0, n 0.
重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.
B 内与 C 上解析, 即在闭区域 B B C 上解析,
那末
c
f ( z )dz 0.
(2) 如果曲线 C 是区域 B 的边界, 函数 f ( z ) 在
B 内解析, 在闭区域 B B C 上连续, 那末
定理仍成立.
22
二、典型例题
例1 计算积分
解
z 1
1 dz . 2z 3
P P P
x
4
2.积分的定义:
设函数 w f ( z ) 定义在区域 D 内, C 为区域 D 内起点为 A 终点为 B的一条光滑的有向曲线 , 把曲线 C 任意分成 n 个弧段, 设分点为 A z0 , z1 , , zk 1 , zk ,, zn B ,
在每个弧段 zk 1 zk ( k 1,2,, n) 上任意取一点 k ,
B
o
x
6
关于定义的说明:
(1) 如果 C 是闭曲线, 那么沿此闭曲线的积分 记为 f ( z )dz .
C
( 2) 如果 C 是 x 轴上的区间a x b, 而 f ( z ) u( x ), 这个积分定义就是一元 实变函数 定积分的定义.
7
二、积分存在的条件及其计算法
1. 存在的条件
C C C
估 值 (4) 设曲线 C 的长度为 L, 函数 f ( z ) 在 C 上满足 不 等 f ( z ) M , 那末 f ( z )dz f ( z ) ds ML. 式 C C
19
第二节 柯西－古萨基本定理
一、基本定理
二、典型例题
20
一、基本定理
柯西－古萨基本定理
由上节例4可知,
c
( z ) n dz 2i.
25
例3 计算积分 解
zi
1 dz . 2 1 z ( z 1)
2
1 1 1 1 1 , 2 z ( z 1) z 2 z i z i
1 1 1 因为 和 都在 z i 上解析, z zi 2
z
解
积分路径的参数方程为
0 z
o
r
z z0 re i
(0 2π ),
x
C
2π 1 ire i n 1 dz 0 n1 i ( n1) d ( z z0 ) r e i 2π in n e d , r 0
17
当 n 0 时, 1 2π C ( z z0 )n1 dz i 0 d 2i; 当 n 0 时,
C
C1
又因为
C zdz C ( x iy )(dx idy )
11
C zdz C xdx ydy i C ydx xdy
这两个积分都与路线C 无关
所以不论 C 是怎样从原点连接到点3 4i 的 曲线,
( 3 4i ) 2 C zdz 2 .
12
例2 计算 Re zdz , 其中 C 为 :
2π 0
dz 2ie d
i
C
z dz 2 2ie i d ( 因为 z 2 )
4i (cos i sin )d
0
2π
0.
16
1 dz , C 为以 z0 为中心, r 为半 例4 求 n 1 C (z z ) 0 y 径的正向圆周 , n 为整数.
C f ( z )dz
f [ z( t )]z( t )dt
9
2. 积分的计算法
如果 C 是由 C1 , C2 , , C n 等光滑曲线依次 相互连接所组成的按段 光滑曲线, 则
f ( z )dz f ( z )dz .
1 函数 在 z 1内解析, 2z 3
根据柯西－古萨定理, 有
z 1
1 dz 0. 2z 3
23
例2 证明 ( z )n dz 0 ( n 1), 其中 C 是
c
任意闭曲线.
证 (1)当 n 为正整数时, ( z )n 在 z 平面上解析,
由柯西－古萨定理,
i {v[ x ( t ), y( t )] x( t ) u[ x ( t ), y( t )] y( t )}dt