高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.3 导数的综合应用 文 北师大版
2021版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.4.3导数的存在性问题练习理北师大版
导数的存在性问题中心考点·精确研析考点一对于函数零点或方程的根的存在性问题【典例】 1.(2020 ·泰安模拟 ) 若函数 f(x)=ax 32存在独一的零点00则实数 a 的取值范围是- x +1x , 且 x >0,()A. B.(-,0)C.(0,)D.2.(2020 ·深圳模拟 ) 已知函数f(x)=若方程[f(x)]2=a恰有两个不一样的实数根x1,x 2, 则x1 +x2的最大值是 ________________ . 【解题导思】序号联想解题1由存在独一的零点x0, 且 x0>0, 想到分别变量 a 建立新函数由 [f(x)]2=a 恰有两个不一样的实数根, 想到 f(x)=, 数形联合求12,x ,x2建立函数 .【分析】 1. 选 A. 由函数 f(x)=ax3-x2+1 存在独一的零点x0, 且 x0>0 等价于 a=有独一正根,即函数 y=g(x)=的图像与直线y=a 在 y 轴右边有 1 个交点 ,又 y=g(x) 为奇函数且g′(x)=,则 y=g(x) 在 (- ∞,-),(,+ ∞) 上为减函数, 在(-,0),(0,) 上为增函数 , 则知足题意时y=g(x)的图像与直线y=a 的地点关系以下图,即实数 a 的取值范围是a<-.2. 作出 f(x)的函数图像以下图, 由 [f(x)]2=a,可得f(x)=, 所以>1, 即a>1, 不如设 x1<x2, 则 2==, 令=t(t>1),则x1=-,x 2=ln t,所以x1 +x2=ln t-, 令 g(t)=ln t-, 则 g′(t)=, 所以当 1<t<8时,g ′(t)>0,g(t)在(1,8)上递加;当t>8时,g′(t)<0,g(t)在(8,+∞)上递减; 所以当 t=8 时 ,g(t)获得最大值 g(8)=ln 8-2=3ln 2-2.答案 :3ln 2-2题 1 条件改为f(x)=ax3-3x2+1,其余条件不变,若f(x)存在独一的零点x0, 且 x0>0, 则 a 的取值范围为________________ .【分析】当a=0 时 , 不切合题意 .2a≠ 0 时,f ′(x)=3ax-6x,令 f ′(x)=0, 得 x1=0,x 2= . 若 a>0,由图像知f(x) 有负数零点 , 不切合题意 .若 a<0, 由图像联合f(0)=1>0知,此时必有f>0,即 a×- 3×+1>0, 化简得 a2>4, 又 a<0, 所以 a<-2.答案 :(-∞,-2)导数法研究函数零点的存在性问题的策略(1)基本依照 : 函数零点的存在性定理 .(2)注意点 : 函数零点的存在性定理是函数存在零点的充足不用要条件.(3)基本方法 : 导数法剖析函数的单一性、极值、区间端点函数值, 画出函数的草图 , 数形联合求参数的值 .(4)常有技巧 : 将已知等式适合变形 , 转变为有益于用导数法研究性质的形式.已知函数f(x)=x+e x-a, g(x)=ln(x+2)-4ea-x, 此中 e 为自然对数的底数使 f(x00建立 ,, 若存在 x)-g(x)=3则实数 a 的值为 ()A.ln 2B.ln 2-1C.-ln2D.-ln 2-1【分析】选 D.f(x)-g(x)=x+e x-a -ln(x+2)+4e a-x , 令 y=x- ln(x+2),y ′=1-=, 故 y=x-ln(x+2)在 (-2,-1)上是减函数 ,(- 1,+ ∞) 上是增函数 , 故当 x=-1 时,y 有最小值 -1-0=-1,而 e x-a +4e a-x≥ 4( 当且仅当 e x-a =4e a-x , 即x=a+ln 2 时 , 等号建立 );故 f(x)-g(x)≥3( 当且仅当等号同时建即刻, 等号建立 ); 故 a+ln 2=-1,即 a=-1-ln 2.考点二对于函数极值、最值的存在性问题2的极值点 .【典例】 (2019 ·大连模拟 ) 已知 x=1 是函数 f(x)=ax + -xln x(1)务实数 a 的值 .(2) 求证 : 函数 f(x) 存在独一的极小值点x0, 且 0<f(x 0)<.( 参照数据 :ln 2≈ 0.69,16e5<74,此中e为自然对数的底数)【解题导思】(1) 务实数 a 的值由f′(1)=0求a,并用极值的定义查验(2) 函数 f(x)存在独一的极小值点联合(1)剖析函数f(x) 的单一性 , 利用零点存在性定理确立极小值点x0所在x0, 且 0<f(x 0)<区间 , 计算 f(x 0) 的取值范围【分析】 (1) 由于 f ′(x)=2ax - -ln x,且x=1是极值点,所以f′(1)=2a -=0,所以 a= . 此时 f ′(x)= - -ln x ,设 g(x)=f ′(x) , 则 g′(x)= - =.则当 0<x<2 时,g ′(x)<0,g(x)为减函数.又 g(1)=0,g(2)=-ln 2<0,所以当 0<x<1 时 ,g(x)>0 ,f(x)为增函数;当 1<x<2 时,g(x)<0 ,f(x)为减函数.所以 x=1 为 f(x)的极大值点,切合题意.(2) 当 x>2 时,g ′(x)>0,g(x)为增函数, 且 g(4)= -2ln 2>0 ,g(2)<0,所以存在 x ∈ (2,4),g(x)=0. 当 2<x<x0时 ,g(x)<0 ,f(x)为减函数 ; 当 4>x>x时 ,g(x)>0 ,f(x)为增函数 ,00所以函数 f(x)存在独一的极小值点 x0.又 g545? 5<4ln , 所以 g<0, 所以= -ln, 已知 16e <7, 可得 e <<x <4 , 且知足 - -lnx0 =0.所以 f(x 0)=+ -x 0ln x 0=-+x 0∈.导数法研究函数极值、最值存在性问题的原则(1)弄清用导数法求函数 ( 不含参数 ) 的极值、最值的一般步骤 , 及重点步骤要注意的问题 .(2)在某区间上函数存在极值点 , 即方程 f ′(x)=0 必定有根 , 但方程有根 , 其实不必定是极值点 , 还要判断函数(3)在某区间上函数存在最值 , 往常假定存在最值 , 依据题目条件求出后建立方程 , 解出参数的值并进行检验 .(2019 ·抚顺模拟 ) 已知函数f(x)=ln x-ax-3(a≠ 0).(1)议论函数 f(x) 的单一性 .(2)若函数 f(x) 有最大值 M,且 M>a-5, 务实数 a 的取值范围 .【分析】 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),由已知得 f ′(x)= -a,当 a<0 时,f ′(x)>0,所以 ,f(x)在(0,+∞)内单一递加, 无减区间 ;当 a>0 时 , 令 f ′(x)=0, 得 x= ,所以当 x∈时f′(x)>0,f(x)单一递加;当 x∈时f′(x)<0,f(x)单一递减.(2) 由 (1) 知, 当 a<0 时 ,f(x)在(0,+∞)内单一递加, 无最大值 , 当 a>0 时 , 函数 f(x)在x=获得最大值,即 f(x)max=f=ln-4=-ln a-4,所以有 -ln a-4>a-5,得ln a+a-1<0,设 g(a)=ln a+a-1,则g′(a)=+1>0, 所以 g(a) 在(0,+ ∞) 内单一递加,又 g(1)=0, 所以 g(a)<g(1), 得 0<a<1,故实数 a 的取值范围是 (0,1).考点三对于不等式的存在性问题【典例】 1. 已知 f(x)=ln x- + ,g(x)=-x2-2ax+4,若对? x1∈(0,2],? x2∈[1,2],使得f(x1)≥ g(x2)建立,A. B.C. D.【解题导思】序号联想解题由对 ? x1∈ (0,2], ? x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2)建立,想到f(x1)min≥g(x 2) min【分析】选 A. 由于 f(x)=ln x-+,x ∈ (0,2],所以 f ′(x)= - -=,令 f ′(x)=0, 解得 x=1 或 x=3( 舍 ),进而 0<x<1,f ′(x)<0;1<x<2,f′(x)>0;所以当 x=1 时 ,f(x)取最小值,为,所以 ? x∈ [1,2],使得≥ -x2-2ax+4建立,所以a≥, 由于 y=- +在[1,2]上单一递减 , 所以 y=- +的最小值为-+ =- , 所以 a≥ -.2. 已知函数f(x)=ax-e x(a∈R),g(x)=.(1)求函数 f(x) 的单一区间 .(2)? x0∈(0,+ ∞), 使不等式 f(x) ≤ g(x)-e x建立 , 求 a 的取值范围 .【解题导思】序号题目拆解(1) 函数 f(x) 的单一区间求f′(x),依照f′(x)=0解的状况,分类议论(2) ? x0∈(0,+ ∞), 使不等对不等式适合变形, 转变为求函数最值问题式 f(x) ≤ g(x)-e x建立当 a≤ 0 时,f′(x)<0,f(x)在 R 上单一递减 ;当 a>0 时 , 令 f ′(x)=0得 x=ln a.由 f ′(x)>0得 f(x)的单一递加区间为 (- ∞,ln a);由 f ′(x)<0得 f(x)的单一递减区间为 (ln a,+ ∞).综上 , 当 a≤ 0 时 ,f(x)的单一减区间为R; 当 a>0 时 ,f(x)的单一增区间为 (- ∞,ln a);单一减区间为 (ln a,+ ∞).(2) 由于 ? x0∈(0,+ ∞),使不等式 f(x)≤g(x)-e x,所以 ax≤, 即 a≤.设 h(x)=, 则问题转变为 a≤,由 h′(x)=, 令 h′(x)=0, 则 x=.当 x 在区间 (0,+ ∞) 内变化时 ,h ′(x),h(x) 的变化状况以下表:x(0,)(,+ ∞)h′(x)+0-h(x)↗极大值↘由上表可知 , 当 x=时,函数h(x)有极大值,即最大值为. 所以 a≤.1.不等式存在性问题的求解策略“恒建立”与“存在性” 问题的求解是“互补”关系 , 即 f(x)≥ g(a)对于x∈ D恒建立,应求f(x)的最小值;若存在 x∈D, 使得 f(x) ≥ g(a) 建立 , 应求 f(x)的最大值.在详细问题中终究是求最大值仍是最小值, 能够先联想“恒建立”是求最大值仍是最小值, 这样也就能够解决相应的“存在性”问题是求最大值仍是最小值.特别需要关注等号能否建立, 免得细节犯错 .2. 两个常用结论(1) ? x∈ I, 使得 f(x)>g(x)建立? [f(x)-g(x)]max>0(x∈I).(2020 ·西安模拟 ) 已知函数f(x)=x3+x 2+ax.(1) 若函数 f(x)在区间[1,+∞)上单一递加, 务实数 a 的最小值 .(2)若函数 g(x)=, 对 ? x ∈, ? x ∈, 使 f ′(x) ≤ g(x ) 建立 , 务实数 a 的取值范围 .1212【分析】 (1)由题设知 f ′(x)=x2+2x+a≥0 在[1,+∞) 上恒建立 ,即 a≥ -(x+1)2+1 在[1,+∞) 上恒建立 ,而函数 y=-(x+1)+1 在[1,+∞) 单一递减 , 则 y =-3,所以 a≥ -3,所以 a 的最小值为 -3.2max(2)1∈, ?2∈, 使 f ′(x12) 建立”等价于“当x∈max “对 ? x x) ≤ g(x时,f ′(x)≤g(x) max” .22在上单一递加 ,由于 f ′(x)=x +2x+a=(x+1)+a-1所以 f ′(x) max=f ′(2)=8+a.而 g′(x)=, 由 g′(x)>0, 得 x<1,由 g′(x)<0, 得 x>1,所以 g(x) 在 (- ∞,1) 上单一递加 , 在(1,+ ∞) 上单一递减.所以当 x∈时,g(x)max=g(1)=.由 8+a≤ , 得 a≤ -8,所以实数 a 的取值范围为.。
全国通用2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2.3导数与函数的综合应用课件文北师大版
当 x 变化时，f(x)与 f′(x)的变化情况如下：
x
(－∞，－2) －2 －2，－23 －23 －23，＋∞
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
c
c－3227
所以，当 c>0 且 c－3227<0，存在 x1∈(－4，－2)，x2∈－2，－23， x3∈－23，0，使得 f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝0.由 f(x)的单调性知，当且仅 当 c∈0，3227时， 函数 f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c 有三个不同零点．
解 (1)因为 x＝5 时，y＝11，所以a2＋10＝11，a＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量为 y＝x－2 3＋10(x－6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f(x)＝(x－3)x－2 3＋10x－62 ＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6. 从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)·(x－6)，
(2)因 V(r)＝5π(300r－4r3)(0<r<5 3)， 故 V′(r)＝π5(300－12r2)， 故 V′(r)＝0，解得 r＝5 或－5(因 r＝－5 不在定义域内，舍去)． 当 r∈(0,5)时，V′(r)>0，故 V(r)在(0,5)上为增函数； 当 r∈(5,5 3)时，V′(r)<0，故 V(r)在(5,5 3)上为减函数． 由此可知，V(r)在 r＝5 处取得最大值，此时 h＝8. 所以当 r＝5，h＝8 时，该蓄水池的体积最大.
于是，当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x) ＋
北师大版版高考数学一轮复习函数导数及其应用导数的应用导数与函数的综合问题最值教学案理解析版
利用导数解决不等式的有关问题►考法１证明不等式【例１】（２0１8·郑州二模）已知函数f（x）＝ln x—２ax＋１（a∈R）．（１）讨论函数g（x）＝x２＋f（x）的单调性；（２）若a＝错误!，证明：|f（x）—１|＞错误!＋错误!.[解] （１）由题意知函数y＝g（x）的定义域为（0，＋∞），g（x）＝x２＋ln x—２ax＋１，则g′（x）＝错误!＋２x—２a＝错误!（x＞0），记h（x）＝２x２—２ax＋１，１当a≤0时，因为x＞0，所以h（x）＞0，故函数g（x）在（0，＋∞）上递增；２当0＜a≤错误!时，因为Δ＝４（a２—２）≤0，所以h（x）≥0，故函数g（x）在（0，＋∞）上递增；３当a＞错误!时，由g′（x）＜0，解得x∈错误!，所以函数g（x）在区间错误!上递减，同理可得函数g（x）在区间错误!，错误!上递增．（２）证明：当a＝错误!时，设H（x）＝f（x）—１＝ln x—x，故H′（x）＝错误!，故H′（x）＜0，得x＞１，由H′（x）＞0，得0＜x＜１，所以H（x）m ax＝f（１）—１＝—１，所以|H（x）|min＝１．设G（x）＝错误!＋错误!，则G′（x）＝错误!，由G′（x）＜0，得x＞e，由G′（x）＞0，得0＜x＜e，故G（x）m ax＝G（e）＝错误!＋错误!＜１，所以G（x）m ax＜|H（x）|min，所以|f（x）—１|＞错误!＋错误!.►考法２由不等式恒（能）成立求参数的范围【例２】已知函数f（x）＝错误!.（１）如果当x≥１时，不等式f（x）≥错误!恒成立，求实数k的取值范围；（２）若存在x0∈[１，e]，使不等式f（x0）≥错误!成立，求实数k的取值范围．[解] （１）当x≥１时，k≤错误!恒成立，令g（x）＝错误!（x≥１），则g′（x）＝错误!＝错误!.再令h（x）＝x—ln x（x≥１），则h′（x）＝１—错误!≥0，所以h（x）≥h（１）＝１，所以g′（x）＞0，所以g（x）为增函数，所以g（x）≥g（１）＝２，故k≤２，即实数k的取值范围是（—∞，２]．（２）当x∈[１，e]时，k≤错误!有解，令g（x）＝错误!（x∈[１，e]），由（１）题知，g（x）为增函数，所以g（x）m ax＝g（e）＝２＋错误!，所以k≤２＋错误!，即实数k的取值范围是错误!.[规律方法] １．利用导数证明含“x”不等式方法，即证明：f x＞g x.,法一：移项，f x—g x＞0，构造函数F x＝f x—g x，转化证明F x min＞0，利用导数研究F x 单调性，用上定义域的端点值.,法二：转化证明：f x min＞g x m ax.,法三：先对所求证不等式进行变形，分组或整合，再用法一或法二.２．利用导数解决不等式的恒成立问题的策略,１首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参数不等式，从而求出参数的取值范围.,２也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.３２（１）如果存在x１，x２∈[0,２]使得g（x１）—g（x２）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；（２）如果对于任意的s，t∈错误!，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．[解] （１）存在x１，x２∈[0,２]使得g（x１）—g（x２）≥M成立，等价于[g（x１）—g（x２）]m ax≥M.由g（x）＝x３—x２—３，得g′（x）＝３x２—２x＝３x错误!.令g′（x）＞0得x＜0，或x＞错误!，令g′（x）＜0得0＜x＜错误!，又x∈[0,２]，所以g（x）在区间错误!上递减，在区间错误!上递增，所以g（x）min＝g错误!＝—错误!，又g（0）＝—３，g（２）＝１，所以g（x）m ax＝g（２）＝１．故[g（x１）—g（x２）]m ax＝g（x）m ax—g（x）min＝错误!≥M，则满足条件的最大整数M＝４．（２）对于任意的s，t∈错误!，都有f（s）≥g（t）成立，等价于在区间错误!上，函数f（x）min≥g （x）m ax，由（１）可知在区间错误!上，g（x）的最大值为g（２）＝１．在区间错误!上，f（x）＝错误!＋x ln x≥１恒成立等价于a≥x—x２ln x恒成立．设h（x）＝x—x２ln x，h′（x）＝１—２x ln x—x，令m（x）＝x ln x，由m′（x）＝ln x＋１＞0得x＞错误!.即m（x）＝x ln x在错误!上是增函数，可知h′（x）在区间错误!上是减函数，又h′（１）＝0，所以当１＜x＜２时，h′（x）＜0；当错误!＜x＜１时，h′（x）＞0．即函数h（x）＝x—x２ln x在区间错误!上递增，在区间（１,２）上递减，所以h（x）m ax＝h（１）＝１，所以a≥１，即实数a的取值范围是[１，＋∞）．利用导数解决函数的零点问题►考法１判断、证明或讨论函数零点的个数【例３】设f（x）＝错误!x２—m ln x，g（x）＝x２—（m＋１）x.当m≥0时，讨论函数f（x）与g（x）图像的交点个数．[解] 令F（x）＝f（x）—g（x）＝—错误!x２＋（m＋１）x—m ln x，x＞0，问题等价于求函数F（x）的零点个数．当m＝0时，F（x）＝—错误!x２＋x，x＞0，有唯一零点；当m≠0时，F′（x）＝—错误!，当m＝１时，F′（x）≤0，函数F（x）为减函数，注意到F（１）＝错误!＞0，F（４）＝—ln ４＜0，所以F（x）有唯一零点．当m＞１时，0＜x＜１或x＞m时，F′（x）＜0；１＜x＜m时，F′（x）＞0，所以函数F（x）在（0,１）和（m，＋∞）上递减，在（１，m）上递增，注意到F（１）＝m＋错误!＞0，F（２m＋２）＝—m ln（２m＋２）＜0，所以F（x）有唯一零点．当0＜m＜１时，0＜x＜m或x＞１时，F′（x）＜0；m＜x＜１时，F′（x）＞0，所以函数F（x）在（0，m）和（１，＋∞）上递减，在（m,１）上递增，易得ln m＜0，所以F（m）＝错误!（m＋２—２ln m）＞0，而F（２m＋２）＝—m ln（２m＋２）＜0，所以F （x）有唯一零点．综上，函数F（x）有唯一零点，即两函数图像有一个交点．►考法２已知函数的零点个数求参数的范围【例４】已知函数f（x）＝２ln x—x２＋ax（a∈R）．（１）当a＝２时，求f（x）的图像在x＝１处的切线方程；（２）若函数g（x）＝f（x）—ax＋m在错误!上有两个零点，求实数m的取值范围．[解] （１）当a＝２时，f（x）＝２ln x—x２＋２x，则f′（x）＝错误!—２x＋２，切点坐标为（１,１），切线的斜率k＝f′（１）＝２，则函数f（x）的图像在x＝１处的切线方程为y—１＝２（x—１），即y＝２x—１．（２）g（x）＝f（x）—ax＋m＝２ln x—x２＋m，则g′（x）＝错误!—２x＝错误!，∵x∈错误!，∴由g′（x）＝0，得x＝１．当错误!≤x＜１时，g′（x）＞0，函数g（x）递增，当１＜x≤e时，g′（x）＜0，函数g（x）递减，故当x＝１时，函数g（x）取得极大值g（１）＝m—１，又g错误!＝m—２—错误!，g（e）＝m＋２—e２，∴g（x）＝f（x）—ax＋m在错误!上有两个零点需满足条件错误!解得１＜m≤２＋错误!.故实数m的取值范围是错误!.►考法３与函数零点有关的证明问题【例５】（２0１9·武汉模拟）已知a为实数，函数f（x）＝e x—２—ax.（１）讨论函数f（x）的单调性；（２）若函数f（x）有两个不同的零点x１，x２（x１＜x２），（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）证明：x１＋x２＞２．[解] （１）f′（x）＝e x—２—a.当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上递增．当a＞0时，由f′（x）＝e x—２—a＝0，得x＝２＋ln a.若x＞２＋ln a，则f′（x）＞0，函数f（x）在（２＋ln a，＋∞）上递增；若x＜２＋ln a，则f′（x）＜0，函数f（x）在（—∞，２＋ln a）上递减．（２）（ⅰ）由（１）知，当a≤0时，f（x）在R上递增，没有两个不同的零点．当a＞0时，f（x）在x＝２＋ln a处取得极小值，所以f（２＋ln a）＝e ln a—a（２＋ln a）＜0，得a＞错误!，所以a的取值范围为错误!.（ⅱ）由e x—２—ax＝0，得x—２＝ln（ax）＝ln a＋ln x，即x—２—ln x＝ln a.所以x１—２—ln x１＝x２—２—ln x２＝ln a.令g（x）＝x—２—ln x（x＞0），则g′（x）＝１—错误!.当x＞１时，g′（x）＞0；当0＜x＜１时，g′（x）＜0．所以g（x）在（0,１）上递减，在（１，＋∞）上递增，所以0＜x１＜１＜x２.要证x１＋x２＞２，只需证x２＞２—x１＞１．因为g（x）在（１，＋∞）上递增，所以只需证g（x２）＞g（２—x１）．因为g（x１）＝g（x２），所以只需证g（x１）＞g（２—x１），即证g（x１）—g（２—x１）＞0．令h（x）＝g（x）—g（２—x）＝x—２—ln x—[２—x—２—ln（２—x）]＝２x—２—ln x＋ln （２—x），则h′（x）＝２—错误!.因为错误!＋错误!＝错误![x＋（２—x）]错误!≥２，当且仅当x＝１时等号成立，所以当0＜x＜１时，h′（x）＜0，即h（x）在（0,１）上递减，所以h（x）＞h（１）＝0，即g（x１）—g（２—x１）＞0，所以x１＋x２＞２得证．[规律方法] 利用导数研究方程根的方法１研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等.２根据题目要求，画出函数图像的走势规律，标明函数极最值的位置.３可以通过数形结合的思想去分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.（１）求f（x）的单调区间和极值；（２）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（１，错误!]上仅有一个零点．[解] （１）由f（x）＝错误!—k ln x（k＞0），得x＞0且f′（x）＝x—错误!＝错误!.由f′（x）＝0，解得x＝错误!（负值舍去）．f（x）与f′（x）在区间（0，＋∞）上的变化情况如下表：x（0，错误!）错误!（错误!，＋∞）f′（x）—0＋f（x）↘错误!↗f（x）在x＝错误!处取得极小值f（错误!）＝错误!.（２）证明：由（１）知，f（x）在区间（0，＋∞）上的最小值为f（错误!）＝错误!.因为f（x）存在零点，所以错误!≤0，从而k≥e，当k＝e时，f（x）在区间（１，错误!）上递减，且f（错误!）＝0，所以x＝错误!是f（x）在区间（１，错误!]上的唯一零点．当k＞e时，f（x）在区间（0，错误!）上递减，且f（１）＝错误!＞0，f（错误!）＝错误!＜0，所以f（x）在区间（１，错误!]上仅有一个零点．综上可知，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（１，错误!]上仅有一个零点．１．（２0１8·全国卷Ⅱ）已知函数f（x）＝e x—ax２.（１）若a＝１，证明：当x≥0时，f（x）≥１；（２）若f（x）在（0，＋∞）只有一个零点，求a.[解] （１）证明：当a＝１时，f（x）≥１等价于（x２＋１）e—x—１≤0．设函数g（x）＝（x２＋１）e—x—１，则g′（x）＝—（x２—２x＋１）e—x＝—（x—１）２e—x.当x≠１时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，＋∞）递减．而g（0）＝0，故当x≥0时，g（x）≤0，即f（x）≥１．（２）设函数h（x）＝１—ax２e—x.f（x）在（0，＋∞）只有一个零点当且仅当h（x）在（0，＋∞）只有一个零点．（ⅰ）当a≤0时，h（x）＞0，h（x）没有零点；（ⅱ）当a＞0时，h′（x）＝ax（x—２）e—x.当x∈（0,２）时，h′（x）＜0；当x∈（２，＋∞）时，h′（x）＞0．所以h（x）在（0,２）递减，在（２，＋∞）递增．故h（２）＝１—错误!是h（x）在（0，＋∞）的最小值．１若h（２）＞0，即a＜错误!，h（x）在（0，＋∞）没有零点；２若h（２）＝0，即a＝错误!，h（x）在（0，＋∞）只有一个零点；３若h（２）＜0，即a＞错误!，由于h（0）＝１，所以h（x）在（0,２）有一个零点．由（１）知，当x＞0时，e x＞x２，所以h（４a）＝１—错误!＝１—错误!＞１—错误!＝１—错误!＞0，故h（x）在（２,４a）有一个零点．因此h（x）在（0，＋∞）有两个零点．综上，f（x）在（0，＋∞）只有一个零点时，a＝错误!.２．（２0１7·全国卷Ⅲ）已知函数f（x）＝x—１—a ln x.（１）若f（x）≥0，求a的值；（２）设m为整数，且对于任意正整数n，错误!错误!·…·错误!＜m，求m的最小值．[解] （１）f（x）的定义域为（0，＋∞），１若a≤0，因为f错误!＝—错误!＋a ln ２＜0，所以不满足题意．２若a>0，由f′（x）＝１—错误!＝错误!知，当x∈（0，a）时，f′（x）<0；当x∈（a，＋∞）时，f′（x）>0．所以f（x）在（0，a）递减，在（a，＋∞）递增．故x＝a是f（x）在（0，＋∞）的唯一最小值点．因为f（１）＝0，所以当且仅当a＝１时，f（x）≥0，故a＝１．（２）由（１）知当x∈（１，＋∞）时，x—１—ln x>0．令x＝１＋错误!，得ln错误!＜错误!，从而ln错误!＋ln错误!＋…＋ln错误!＜错误!＋错误!＋…＋错误!＝１—错误!＜１．故错误!错误!·…·错误!＜e.而错误!错误!错误!＞２，所以m的最小值为３．。
北师大版版高考数学一轮复习第三章导数及其应用定积分与微积分基本定理教学案理
一、知识梳理１．定积分的概念在错误!f（x）d x中，a，b分别叫作积分下限与积分上限，区间[a，b]叫作积分区间，f（x）叫作被积函数，x叫作积分变量，f（x）d x叫作被积式．２．定积分的性质（１）错误!kf（x）d x＝k错误!f（x）d x（k为常数）；（２）错误![f１（x）±f２（x）]d x＝错误!f１（x）d x±错误!f２（x）d x；（３）错误!f（x）d x＝错误!f（x）d x＋错误!f（x）d x（其中a<c<b）．３．微积分基本定理一般地，如果f（x）是区间[a，b]上的连续函数，且F′（x）＝f（x），那么错误!f（x）d x＝F（b）—F（a），这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿莱布尼茨公式．其中F（x）叫作f（x）的一个原函数．为了方便，常把F（b）—F（a）记作F（x）错误!，即错误!f（x）d x＝F（x）错误!＝F（b）—F （a）．常用结论１．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．２．若函数f（x）在闭区间[—a，a]上连续，则有（１）若f（x）为偶函数，则错误!f（x）d x＝２错误!f（x）d x.（２）若f（x）为奇函数，则错误!f（x）d x＝0．二、教材衍化１．设f（x）＝错误!则错误!f（x）d x的值是（）Ａ．错误!x２d xＢ．错误!２x d xＣ．错误!x２d x＋错误!２x d xＤ．错误!２x d x＋错误!x２d x解析：选Ｄ．由分段函数的定义及定积分运算性质，得错误!f（x）d x＝错误!２x d x＋错误!x２d x.故选Ｄ．２．错误!错误!d x＝________．解析：错误!错误!d x＝ln（x—１）|错误!＝ln e—ln １＝１．答案：１３．若错误!（sin x—a cos x）d x＝２，则实数a等于________．解析：由题意知（—cos x—a sin x）错误!＝１—a＝２，a＝—１．答案：—１４．汽车以v＝（３t＋２）m/s作变速直线运动时，在第１s至第２s间的１s内经过的位移是________m.解析：s＝错误!（３t＋２）d t＝错误!错误!１＝错误!×４＋４—错误!＝１0—错误!＝错误!（m）．答案：错误!一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）设函数y＝f（x）在区间[a，b]上连续，则错误!f（x）d x＝错误!f（t）d t.（）（２）若f（x）是偶函数，则错误!f（x）d x＝２错误!f（x）d x.（）（３）若f（x）是奇函数，则错误!f（x）d x＝0．（）（４）曲线y＝x２与直线y＝x所围成的区域面积是错误!（x２—x）d x.（）答案：（１）√（２）√（３）√（４）×二、易错纠偏错误!错误!（１）误解积分变量致误；（２）不会利用定积分的几何意义求定积分；（３）f（x），g（x）的图象与直线x＝a，x＝b所围成的曲边图形的面积的表达式不清致错．１．定积分错误!（t２＋１）d x＝________．解析：错误!（t２＋１）d x＝（t２＋１）x|错误!＝２（t２＋１）＋（t２＋１）＝３t２＋３．答案：３t２＋３２．错误!错误!d x＝________解析：错误!错误!d x表示以原点为圆心，错误!为半径的错误!圆的面积，故错误!错误!d x＝错误!π×（错误!）２＝错误!.答案：错误!３．如图，函数y＝—x２＋２x＋１与y＝１相交形成一个闭合图形（图中的阴影部分），则该闭合图形的面积是________．解析：由错误!得x１＝0，x２＝２．所以S＝错误!（—x２＋２x＋１—１）d x＝错误!（—x２＋２x）d x＝错误!错误!＝—错误!＋４＝错误!.答案：错误![学生用书P５３]定积分的计算（多维探究）角度一利用微积分基本定理求定积分计算下列定积分：（１）错误!错误!d x；（２）错误!cos x d x；（３）错误!错误!d x.【解】（１）因为（ln x）′＝错误!，所以错误!错误!d x＝２错误!错误!d x＝２ln x错误!＝２（ln ２—ln １）＝２ln ２．（２）因为（sin x）′＝cos x，所以错误!cos x d x＝sin x错误!＝sin π—sin 0＝0．（３）因为（x２）′＝２x，错误!′＝—错误!，所以错误!错误!d x＝错误!２x d x＋错误!错误!d x＝x２错误!＋错误!错误!＝错误!.角度二利用定积分的几何意义求定积分计算下列定积分：（１）错误!错误!d x；（２）错误!（３x３＋４sin x）d x.【解】（１）根据定积分的几何意义，可知错误!错误!d x表示的是圆（x—１）２＋y２＝１的面积的错误!（如图中阴影部分）．故错误!错误!d x＝错误!.（２）设y＝f（x）＝３x３＋４sin x，则f（—x）＝３（—x）３＋４sin（—x）＝—（３x３＋４sin x）＝—f（x），所以f（x）＝３x３＋４sin x在[—５，５]上是奇函数．所以错误!（３x３＋４sin x）d x＝—错误!（３x３＋４sin x）d x.所以错误!（３x３＋４sin x）d x＝错误!（３x３＋４sin x）d x＋错误!（３x３＋４sin x）d x＝0．错误!计算定积分的解题步骤（１）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差．（２）把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分．（３）分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．（４）利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．[提醒] 当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形的面积易求时，可利用定积分的几何意义求定积分．１．错误!e|x|d x的值为（）Ａ．２Ｂ．２eＣ．２e—２Ｄ．２e＋２解析：选Ｃ．错误!e|x|d x＝错误!e—x d x＋错误!e x d x＝—e—x错误!＋e x错误!＝[—e0—（—e）]＋（e—e0）＝—１＋e＋e—１＝２e—２，故选Ｃ．２．错误!错误!d x＝________．解析：错误!错误!d x＝错误!错误!d x＋错误!错误!x d x，错误!错误!x d x＝错误!，错误!错误!d x表示四分之一单位圆的面积，为错误!，所以结果是错误!.答案：错误!利用定积分求平面图形的面积（师生共研）（一题多解）求由抛物线y２＝２x与直线y＝x—４围成的平面图形的面积．【解】如图所示，解方程组错误!得两交点的坐标分别为（２，—２），（8，４）．法一：选取横坐标x为积分变量，则图中阴影部分的面积S可看作两部分面积之和，即S＝２错误!错误!d x＋错误!（错误!—x＋４）d x＝１8．法二：选取纵坐标y为积分变量，则图中阴影部分的面积S＝错误!错误!d y＝１8．错误!设阴影部分的面积为S，则对如图所示的四种情况分别有：（１）S＝错误!f（x）d x.（２）S＝—错误!f（x）d x.（３）S＝错误!f（x）d x—错误!f（x）d x.（４）S＝错误!f（x）d x—错误!g（x）d x＝错误![f（x）—g（x）]d x.１．已知曲线C：y＝x２＋２x在点（0，0）处的切线为l，则由C，l以及直线x＝１围成的区域的面积等于________．解析：因为y′＝２x＋２，所以曲线C：y＝x２＋２x在点（0，0）处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝２，所以切线方程为y＝２x，所以由C，l以及直线x＝１围成的区域如图中阴影部分所示，其面积S＝错误!（x ２＋２x—２x）d x＝错误!x２d x＝错误!错误!＝错误!.答案：错误!２．已知函数f（x）＝—x３＋ax２＋bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为错误!，则a的值为________．解析：f′（x）＝—３x２＋２ax＋b，因为f′（0）＝0，所以b＝0，所以f（x）＝—x３＋ax２，令f （x）＝0，得x＝0或x＝a（a＜0）．S阴影＝—错误!（—x３＋ax２）d x＝错误!a４＝错误!，所以a＝—１．答案：—１定积分在物理中的应用（师生共研）（１）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v（t）＝7—３t＋错误!（t的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）Ａ．１＋２５ln ５B．8＋２５ln 错误!Ｃ．４＋２５ln ５D．４＋５0ln ２（２）一物体在力F（x）＝错误!（单位：N）的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝４（单位：m）处，则力F（x）做的功为________J.【解析】（１）令v（t）＝0得，３t２—４t—３２＝0，解得t＝４错误!.汽车的刹车距离是错误!错误!d t＝[7t—错误!t２＋２５ln（t＋１）]错误!＝４＋２５ln ５．（２）由题意知，力F（x）所做的功为W＝错误!F（x）d x＝错误!５d x＋错误!（３x＋４）d x＝５×２＋错误!错误!＝１0＋错误!＝３6（J）．【答案】（１）C （２）３6错误!定积分在物理中的两个应用（１）求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v＝v（t），那么从时刻t＝a 到t＝b所经过的路程s＝错误!v（t）d t.（２）变力做功，一物体在变力F（x）的作用下，沿着与F（x）相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F（x）所做的功是W＝错误!F（x）d x.１．物体A以v＝３t２＋１（m/s）的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方５m处，同时以v＝１0t（m/s）的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t （s）为（）Ａ．３B．４Ｃ．５D．6解析：选Ｃ．因为物体A在t秒内行驶的路程为错误!（３t２＋１）d t，物体B在t秒内行驶的路程为错误!１0t d t，因为（t３＋t—５t２）′＝３t２＋１—１0t，所以错误!（３t２＋１—１0t）d t＝（t３＋t—５t２）错误!＝t３＋t—５t２＝５，整理得（t—５）（t２＋１）＝0，解得t＝５．２．设变力F（x）作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝１运动到x＝１0，已知F（x）＝x２＋１且方向和x轴正向相同，则变力F（x）对质点M所做的功为________J（x的单位：m；力的单位：N）．解析：变力F（x）＝x２＋１使质点M沿x轴正向从x＝１运动到x＝１0所做的功为W＝错误!F（x）d x＝错误!（x２＋１）d x，因为错误!′＝x２＋１，所以原式＝３４２（J）．答案：３４２[学生用书P２7４（单独成册）][基础题组练]１．定积分错误!（３x＋e x）d x的值为（）Ａ．e＋１Ｂ．eＣ．e—错误!Ｄ．e＋错误!解析：选Ｄ．错误!（３x＋e x）d x＝错误!错误!＝错误!＋e—１＝错误!＋e.２．若f（x）＝错误!f（f（１））＝１，则a的值为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．—１Ｄ．—２解析：选Ａ．因为f（１）＝lg １＝0，f（0）＝错误!３t２d t＝t３错误!＝a３，所以由f（f（１））＝１得a３＝１，所以a＝１．３．若f（x）＝x２＋２错误!f（x）d x，则错误!f（x）d x＝（）Ａ．—１Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．１解析：选Ｂ．因为f（x）＝x２＋２错误!f（x）d x，所以错误!f（x）d x＝错误!|错误!＝错误!＋２错误!f（x）d x，所以错误!f（x）d x＝—错误!.４．设f（x）＝错误!则错误!f（x）d x的值为（）Ａ．错误!＋错误!Ｂ．错误!＋３Ｃ．错误!＋错误!Ｄ．错误!＋３解析：选Ａ．错误!f（x）d x＝错误!错误!d x＋错误!（x２—１）d x＝错误!π×１２＋错误!错误!＝错误!＋错误!，故选Ａ．５．由曲线y＝x２和曲线y＝错误!围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．由错误!解得错误!或错误!所以阴影部分的面积为错误!（错误!—x２）d x＝错误!.故选Ａ．6．定积分错误!（x２＋sin x）d x＝________．解析：错误!（x２＋sin x）d x＝错误!x２d x＋错误!sin x d x＝２错误!x２d x＝２·错误!错误!＝错误!.答案：错误!7．错误!（x２tan x＋x３＋１）d x＝________．解析：因为x２tan x＋x３是奇函数．所以错误!（x２tan x＋x３＋１）d x＝错误!１d x＝x|错误!＝２．答案：２8．一物体受到与它运动方向相反的力：F（x）＝错误!e x＋x的作用，则它从x＝0运动到x＝１时F （x）所做的功等于________．解析：由题意知W＝—错误!错误!d x＝—错误!错误!＝—错误!—错误!.答案：—错误!—错误!9．求下列定积分：（１）错误!错误!d x；（２）错误!（cos x＋e x）d x.解：（１）错误!错误!d x＝错误!x d x—错误!x２d x＋错误!错误!d x＝错误!错误!—错误!错误!＋ln x错误!＝错误!—错误!＋ln ２＝ln ２—错误!.（２）错误!（cos x＋e x）d x＝错误!cos x d x＋错误!e x d x＝sin x错误!＋e x错误!＝１—错误!.１0．已知函数f（x）＝x３—x２＋x＋１，求其在点（１，２）处的切线与函数g（x）＝x２围成的图形的面积．解：因为（１，２）为曲线f（x）＝x３—x２＋x＋１上的点，设过点（１，２）处的切线的斜率为k，则k＝f′（１）＝（３x２—２x＋１）|x＝１＝２，所以过点（１，２）处的切线方程为y—２＝２（x—１），即y＝２x.y＝２x与函数g（x）＝x２围成的图形如图中阴影部分所示，由错误!可得交点A（２，４），O（0，0），故y＝２x与函数g（x）＝x２围成的图形的面积S＝错误!（２x—x２）d x＝错误!错误!＝４—错误!＝错误!.[综合题组练]１．由曲线xy＝１，直线y＝x，x＝３所围成的封闭平面图形的面积为（）Ａ．错误!Ｂ．４—ln ３Ｃ．４＋ln ３Ｄ．２—ln ３解析：选Ｂ．画出平面图形，根据图形确定积分的上、下限及被积函数．由曲线xy＝１，直线y＝x，x＝３所围成的封闭的平面图形如图所示：由错误!得错误!或错误!由错误!得错误!故阴影部分的面积为错误!错误!d x＝错误!错误!＝４—ln ３．２．设函数f（x）＝ax２＋c（a≠0），若错误!f（x）d x＝f（x0），0≤x0≤１，则x0的值为________．解析：错误!f（x）d x＝错误!（ax２＋c）d x＝错误!错误!＝错误!a＋c＝f（x0）＝ax错误!＋c，所以x错误!＝错误!，x0＝±错误!.又因为0≤x0≤１，所以x0＝错误!.答案：错误!３．错误!（错误!＋e x—１）d x＝________．解析：错误!（错误!＋e x—１）d x＝错误!错误!d x＋错误!（e x—１）d x.因为错误!错误!d x表示单位圆的上半部分的面积，所以错误!错误!d x＝错误!.而错误!（e x—１）d x＝（e x—x）错误!＝（e１—１）—（e—１＋１）＝e—错误!—２，所以错误!（错误!＋e x—１）d x＝错误!＋e—错误!—２．答案：错误!＋e—错误!—２４．若函数f（x）在R上可导，f（x）＝x３＋x２f′（１），则错误!f（x）d x＝________．解析：因为f（x）＝x３＋x２f′（１），所以f′（x）＝３x２＋２xf′（１）．所以f′（１）＝３＋２f′（１），解得f′（１）＝—３．所以f（x）＝x３—３x２.故错误!f（x）d x＝错误!（x３—３x２）d x＝错误!错误!＝—４．答案：—４５．如图，在曲线C：y＝x２，x∈[0，１]上取点P（t，t２），过点P作x轴的平行线l.曲线C与直线x＝0，x＝１及直线l围成的图形包括两部分，面积分别记为S１，S２.当S１＝S２时，求t的值．解：根据题意，直线l的方程是y＝t２，且0＜t＜１．结合题图，得交点坐标分别是A（0，0），P（t，t２），B（１，１）．所以S１＝错误!（t２—x２）d x＝错误!错误!＝t３—错误!t３＝错误!t３，0＜t＜１．S２＝错误!（x２—t２）d x＝错误!错误!＝错误!—错误!＝错误!t３—t２＋错误!，0＜t＜１．由S１＝S２，得错误!t３＝错误!t３—t２＋错误!，所以t２＝错误!.又0＜t＜１，所以t＝错误!.所以当S１＝S２时，t＝错误!.。
高三数学一轮总复习 32导数的应用课件 北师大版
函数f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝xlnx.
(1)求函数f(x)的解析式； (2)当x≠0时，求函数f(x)的极值． [分析] (1)令x<0知－x>0，代入可求．
(2)求x>0的极值，由奇函数性质便可求得x<0的极值．
[解析]
(1)设x<0，则－x>0，
则f(－x)＝－xln(－x)，又因为f(x)为奇函数， 所以得到f(x)＝xln(－x)， 又当x＝0时，f(x)＝0， xlnx，x>0 则f(x)＝0，x＝0 xln－x，x<0
2．函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， ①如果在x0附近的左侧 f′(x)>0 ，右侧 f′(x)<0 f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧 f′(x)<0 ，右侧 f′(x)>0 f(x0)是极小值． ，那么 ，那么
(2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)； ②求方程 f′(x)＝0 的根； 的根左右两侧值的符号．如
f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)． 当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0； 当x∈(－1,0)时，f′(x)<0； 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0. 所以f(x)在(－∞，－1)和(0，＋∞)上单调递增，在(－1， 0)上单调递减． 故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(0，＋∞)，单调 递减区间为(－1,0)．
又f(1)＝－1， ∴a＋b＋c＝－1③ 1 3 由①②③解得a＝2，b＝0，c＝－2. 1 3 3 (2)由(1)知f(x)＝ x － x， 2 2 3 2 3 3 ∴f′(x)＝2x －2＝2(x－1)(x＋1)， 当x>1或x<－1时，f′(x)>0，
【北师大版】高三数学一轮复习：3-3导数的综合应用
第三章 第三节
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解析：f′(x)＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)， 令f′(x)＝0，∴x＝1. 又f(0)＝0，f(4)＝e44，f(1)＝e－1＝1e， ∴f(1)为最大值．
答案：B
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4．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量
x(单位：万件)的函数关系式为y＝－
1 3
x3＋81x－234，则使
该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．13万件
B．11万件
C．9万件
D．7万件
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解析：y′＝－x2＋81，令y′＝0解得x＝9(－9舍去)． 当0<x<9时，y′>0； 当x>9时，y′<0，则当x＝9时，y取得最大值．
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自主回顾·打基础 突破考点·速通关
解题技巧·提素能 课时作业
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自主回顾·打基础01
夯实基础·厚积薄发
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1．生活中的优化问题 生活中常遇到求利润最大，用料最省、效率最高等一 些实际问题，这些问题通常称为优化问题．
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2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
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高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第2讲 导数在研究函数中的应用课件 理 北师大版
考点一 利用导数研究函数的单调性 【例 1】 设函数 f(x)＝aln x＋xx－ ＋11，其中 a 为常数.
(1)若 a＝0，求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)讨论函数 f(x)的单调性. 解 (1)由题意知 a＝0 时，f(x)＝xx－ ＋11，x∈(0，＋∞).
此时 f′(x)＝（x＋21）2.可得 f′(1)＝12，又 f(1)＝0，所以曲线 y＝ f(x)在(1，f(1))处的切线方程为 x－2y－1＝0.
A.(－∞，－2]
B.(－∞，－1]
C.[2，＋∞)
D.[1，＋∞)
解析 依题意得 f′(x)＝k－1x≥0 在(1，＋∞)上恒成立，
即 k≥1x在(1，＋∞)上恒成立，
∵x＞1，∴0＜1x＜1，∴k≥1，故选 D. 答案 D
4.函数y＝2x3－2x2在区间[－1，2]上的最大值是________. 解析 y′＝6x2－4x，令 y′＝0，得 x＝0 或 x＝23.
2.(2016·咸阳调研)如图是f(x)的导函数f′(x)的图像， 则f(x)的极小值3
D.4
解析 由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其左右两侧导数
符号为左负右正. 答案 A
3.(2014·新课标全国Ⅱ卷)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，
＋∞)上单调递增，则k的取值范围是( )
则 x1＝－（a＋1）a ＋
2a＋1，x2＝－（a＋1）a －
2a＋1 .
由 x1＝a＋1－－a2a＋1＝
a2＋2a＋1－ －a
2a＋1＞0，
所以 x∈(0，x1)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数 f(x)单调递减； x∈(x1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数 f(x)单调递增； x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数 f(x)单调递减. 综上可得： 当 a≥0 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当 a≤－12时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
(全国通用)高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2.3 导数与函数的综合应用课时作业 文 北
（全国通用）2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2.3 导数与函数的综合应用课时作业文北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用）2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2.3 导数与函数的综合应用课时作业文北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第3课时导数与函数的综合应用基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、选择题1．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元,已知总营业收入R与年产量x的年关系是R＝R（x)＝错误!则总利润最大时，年产量是（）A．100 B．150C．200 D．300解析由题意得，总成本函数为C＝C（x）＝20 000＋100 x,总利润P（x）＝错误!又P′（x)＝错误!令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，总利润P(x)最大．答案D2．设f（x）是定义在R上的奇函数,且f(2）＝0,当x〉0时，有错误!〈0恒成立，则不等式x2f（x）>0的解集是( ）A．（－2，0)∪（2,＋∞）B．(－2，0）∪（0，2）C．(－∞，－2）∪（2,＋∞）D．(－∞，－2)∪（0，2)解析x〉0时错误!′〈0，∴φ（x)＝错误!在(0，＋∞)为减函数，又φ（2）＝0,∴当且仅当0<x<2时，φ(x)〉0，此时x2f（x)>0。
又f（x）为奇函数，∴h（x）＝x2f(x）也为奇函数．故x2f（x）〉0的解集为(－∞，－2)∪（0，2)．答案D3．若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈［－2,2]恒成立，则m的取值范围是（）A．（－∞，7] B．（－∞，－20]C．（－∞，0］D．[－12,7］解析令f（x）＝x3－3x2－9x＋2，则f′（x）＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝3(舍去)．∵f（－1）＝7，f(－2)＝0，f（2）＝－20，∴f(x）的最小值为f(2）＝－20，故m≤－20.答案B4．(2017·景德镇联考）已知函数f（x）的定义域为[－1，4］,部分对应值如下表：x－10234f(x)12020f(x）的导函数y－a的零点的个数为（）A．1 B．2C．3 D．4解析根据导函数图像，知2是函数的极小值点，函数y＝f(x）的大致图像如图所示．由于f（0)＝f(3）＝2，1<a〈2，所以y＝f(x）－a的零点个数为4.答案D5．(2014·全国Ⅰ卷)已知函数f(x）＝ax3－3x2＋1，若f(x）存在唯一的零点x0，且x0〉0，则a的取值范围是（）A．(2，＋∞）B．(1,＋∞)C．(－∞，－2) D．（－∞，－1）解析a＝0时，不符合题意，a≠0时,f′(x）＝3ax2－6x.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝错误!.若a>0,则由图像知f（x)有负数零点，不符合题意．则a<0，由图像结合f(0）＝1〉0知，此时必有f错误!>0，即a×错误!－3×错误!＋1>0，化简得a2〉4.又a〈0，所以a〈－2.答案C二、填空题6．某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间有关系y＝错误!x3－错误!x2－40x(x>0）,为使耗电量最小,则速度应定为________．解析由y′＝x2－39x－40＝0，得x＝－1或x＝40,由于0<x〈40时，y′〈0;x〉40时，y′>0。
北师大版高考数学一轮复习统考第3章导数及其应用第1讲导数的概念及运算课件
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PART ONE
基础知识整合
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பைடு நூலகம்
1．导数的概念
(1)f(x)在 x＝x0 处的导数就是 f(x)在 x＝x0 处的□01 __瞬__时__变__化__率____，记
作：y′|x＝x0 或 f′(x0)，即 f′(x0)＝lim Δx→0
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1．f′(x0)与 x0 的值有关，不同的 x0，其导数值一般也不同． 2．f′(x0)不一定为 0，但[f(x0)]′一定为 0． 3．可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周 期函数的导数还是周期函数． 4．函数 y＝f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负 号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲 线在这点处的切线越“陡”．
解析
5.(2019·天津十二中学联考二)已知函数 f(x)＝ex(2－ln x)，则 f′(1)＝
___e_____.
解析 －1)＝e.
∵f(x)＝ex(2－ln
x)，∴f′(x)＝ex2－ln
x－1x，则
f′(1)＝e(2－ln
1
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解析
6．(2019·郑州模拟)直线 x－2y＋m＝0 与曲线 y＝ x相切，则切点的坐 标为______(1_,_1_)___．
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解析 答案
4 ．(2019·全国卷 Ⅰ) 曲线 y＝3(x2 ＋x)ex 在 点(0,0) 处的切线 方程 为 ____y_＝__3_x____．
解析 ∵y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝ex(3x2＋9x＋3)，∴斜率 k＝e0×3 ＝3，∴切线方程为 y＝3x．
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第3讲 导数的综合应用课件 理 北师大版
5.若 f(x)＝lnxx，0＜a＜b＜e，则 f(a)，f(b)的大小关系为________. 解析 由题意可知，f′(x)＝1－xl2n x，当 x∈(0，e)时，1－xl2n x ＞0，即 f′(x)＞0，∴f(x)在(0，e)上为增函数，又∵0＜a＜b＜e， ∴f(a)＜f(b). 答案 f(a)＜f(b)
第3讲 导数的综合应用
最新考纲 1.利用导数研究函数的单调性、极(最)值， 并会解决与之有关的方程(不等式)问题；2.会利用导数 解决某些简单的实际问题.
知识梳理
1.生活中的优化问题 通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为__优__化___ 问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只 有一个极值点，那么该点也是最值点.
解 (1)因为蓄水池侧面的总成本为 100·2πrh＝200πrh 元，底 面的总成本为 160πr2 元. 所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元. 又根据题意得 200πrh＋160πr2＝12 000π， 所以 h＝51r(300－4r2)， 从而 V(r)＝πr2h＝π5 (300r－4r3). 因 r>0，又由 h>0 可得 0＜r<5 3， 故函数 V(r)的定义域为(0，5 3).
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解 (×) (2)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图像与x轴最多有3个交点， 最少有一个交点( √ ) (3)函数F(x)＝f(x)－g(x)的最小值大于0，则f(x)＞g(x)(√ ) (4)“存在x∈(a，b)，使f(x)≥a”的含义是“任意x∈(a，b)， 使f(x)≥a”(× )
高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 第3课时 导数与函数的综合问题教师用书
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第3课时导数与函数的综合问题题型一导数与不等式有关的问题命题点1 解不等式例1 设f（x）是定义在R上的奇函数，f（2)＝0，当x>0时，有错误!〈0恒成立，则不等式x2f（x)〉0的解集是( )A．(－2，0)∪（2，＋∞)B．(－2,0）∪（0,2)C．（－∞，－2)∪（2，＋∞）D．(－∞，－2）∪（0,2）答案D解析∵当x〉0时，错误!′〈0，∴φ（x）＝错误!为减函数,又φ（2）＝0，∴当且仅当0<x<2时，φ(x）〉0，此时x2f（x)〉0。
又f（x)为奇函数，∴h（x)＝x2f(x)也为奇函数．故x2f(x)〉0的解集为（－∞，－2）∪（0，2）．命题点2 证明不等式例2 （2016·全国丙卷）设函数f（x)＝ln x－x＋1。
（1）讨论f（x)的单调性;(2)证明：当x∈（1，＋∞）时，1〈错误!<x；（1)解由题设,f（x）的定义域为(0，＋∞），f′（x)＝错误!－1，令f′(x）＝0，解得x ＝1.当0<x〈1时，f′（x)>0,f（x）是增加的;当x〉1时，f′(x）〈0，f(x）是减少的．（2)证明由(1）知,f(x）在x＝1处取得最大值，最大值为f（1）＝0。
【走向高考】高考数学一轮总复习(目标导航+自主导学+典例讲解)第三章 导数及其应用课件 北师大版
准确掌握 f(x)取得极值的充要条件
定义域 D 上的可导函数 f(x)在 x0 处取得极值的充要条件 是 f ′(x0)＝0，并且 f ′(x)在 x0 两侧异号． 若函数 y＝f(x)在 x＝x0 处取得极大值或极小值， 则称 x0 为函数 y＝f(x)的极值点．已知 a，b 是实数，1 和－1 是函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx 的两个极值点． (1)求 a 和 b 的值； (2)设函数 g(x)的导函数 g′(x)＝f(x)＋2， 求 g(x)的极值点．
[规范解答]
(1)由题设知 f ′(x)＝3x2＋2ax＋b，
且 f ′(－1)＝3－2a＋b＝0，f ′(1)＝3＋3a＋b＝0， 解得 a＝0，b＝－3. (2)由(1)知 f(x)＝x3－3x.因为 f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所 以 g′(x)＝0 的根为 x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数 g(x)的极 值点只可能是 1 或－2. 当 x<－2 时，g′(x)<0；当－2<x<1 时，g′(x)>0，故－2 是 g(x)的极值点． 当－2<x<1 或 x>1 时， g′(x)>0， 故 1 不是 g(x)的极值点． 所以 g(x)的极值点为－2.
清晰理解导数的定义
从三个方面理解导数的定义： 1．函数 f(x)在某一点 x0 处的导数： fx0＋Δx－fx0 f ′(x0)＝ lim . Δx Δx→0
2．函数 f(x)在开区间(a，b)内的导数：如果函数 f(x)在开 区间(a，b)内可导，对于开区间(a，b)内的每一个 x0，都对应 着一个导数 f ′(x0)，这样 f(x)在开区间(a，b)内构成一个新的 函数，这一新的函数叫作 f(x)在开区间(a，b)内的导函数． fx＋Δx－fx Δy 记作 f ′(x)＝y′＝ lim Δx＝ lim ， 导函数 Δx Δx→0 Δx→0 也简称为导数．
全国通用高考数学一轮复习第三章导数及其应用第2讲导数的应用第1课时利用导数研究函数的单调性课件理北师大
【训练 1】 已知函数 f(x)＝4x＋ax－ln x－32，其中 a∈R，且曲 线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线 y＝12x. (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间.
解 (1)对 f(x)求导得 f′(x)＝14－xa2－1x， 由 f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线 y＝12x 知 f′(1)＝－34 －a＝－2，解得 a＝54. (2)由(1)知 f(x)＝4x＋45x－ln x－32，(x>0). 则 f′(x)＝x2－44xx2－5.令 f′(x)＝0，解得 x＝－1 或 x＝5. 但－1∉(0，＋∞)，舍去. 当 x∈(0，5)时，f′(x)<0；当 x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0. ∴f(x)的增区间为(5，＋∞)，减区间为(0，5).
规律方法 利用单调性求参数的两类热点问题的处理方法 (1)函数f(x)在区间D上存在递增(减)区间. 方法一：转化为“f′(x)>0(<0)在区间D上有解”； 方法二：转化为“存在区间D的一个子区间使f′(x)>0(<0)成 立”. (2)函数f(x)在区间D上递增(减). 方法一：转化为“f′(x)≥0(≤0)在区间D上恒成立”问题； 方法二：转化为“区间D是函数f(x)的单调递增(减)区间的子 集”.
易错警示 对于①：处理函数单调性问题时，应先求函数 的定义域； 对于②：h(x)在(0，＋∞)上存在递减区间，应等价于h′(x)<0 在(0，＋∞)上有解，易误认为“等价于h′(x)≤0在(0，＋∞) 上有解”，多带一个“＝”之所以不正确，是因为“h′(x)≤0在 (0，＋∞)上有解即为h′(x)<0在(0，＋∞)上有解，或h′(x)＝0 在(0，＋∞)上有解”，后者显然不正确； 对于③：h(x)在[1，4]上单调递减，应等价于h′(x)≤0在[1， 4]上恒成立，易误认为“等价于h′(x)<0在[1，4]上恒成立”.
高考数学一轮复习 第3章 导数及其应用 第1节 导数的概念及运算教学案 理 北师大版-北师大版高三全
第3章 导数及其应用全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本章内容在高考中一般是“一大一小〞． 2．考查内容(1)导数的几何意义一般在选择题或填空题中考查，有时与函数的性质相结合出现在压轴小题中．(2)解答题一般都是两问的题目，第一问考查曲线的切线方程、函数的单调区间、函数的极值点等，属于基础问题．第二问利用导数证明不等式，单调区间或极值求参数的取值范围，函数的零点等问题． 3．备考策略(1)熟练掌握导数的运算公式，重点研究导数的几何意义、导数与函数的单调性、导数与极(最)值、导数与不等式、导数与函数的零点等问题． (2)加强数形结合、分类讨论等数学思想的应用.第一节 导数的概念及运算[最新考纲] 1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.2.能根据导数定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 的导数.3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法那么求简单函数的导数．能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数．1．导数与导函数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率为函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，用f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝lim x 1→x 0f x 1－f x 0x 1－x 0＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.(2)导函数如果一个函数f (x )在区间(a ，b )上的每一点x 处都有导数，导数值记为f ′(x )：f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx，那么f ′(x )是关于x 的函数，称f ′(x )为f (x )的导函数，通常也简称为导数．2．导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．3．基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a (a ＞0)f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x4．导数的运算法那么(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)．5．复合函数的导数复合函数y ＝f (φ(x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝φ(x )的导数间的关系为y x ′＝[f (φ(x ))]′＝f ′(u )·φ′(x )．[常用结论]1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )．3．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡〞．一、思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( ) (2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( )(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )(4)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．( )[答案] (1)×(2)×(3)×(4)×二、教材改编1．函数y＝x cos x－sin x的导数为( )A．x sin x B．－x sin xC．x cos x D．－x cos xB[y′ ＝x′cos x＋x(cos x)′－(sin x)′＝cos x－x sin x－cos x＝－x sin x．] 2．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )A．－9 B．－3C．9 D．15C[因为y＝x3＋11，所以y′＝3x2，所以y′|x＝1＝3，所以曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线方程为y－12＝3(x－1)．令x＝0，得y＝9.应选C.]3．函数y＝f(x)的图像如图，那么导函数f′(x)的大致图像为( )A B C DB[由导数的几何意义可知，f′(x)为常数，且f′(x)＜0.]4．在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，那么运动员的速度v＝________m/s，加速度a＝________m/s2.－9.8t＋6.5 －9.8 [v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8.]考点1 导数的计算(1)求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法那么求导数．(2)在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法那么，记准公式，避免运算错误．函数解析式求函数的导数求以下各函数的导数：(1)y ＝x 2x ；(2)y ＝tan x ； (3)y ＝2sin 2x2－1.[解] (1)先变形：y ＝2x 32，再求导：y ′＝(2x 32)′＝322x 12.(2)先变形：y ＝sin xcos x，再求导：y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝sin x ′·cos x －sin x ·cos x ′cos 2x ＝1cos 2x .(3)先变形：y ＝－cos x ，再求导：y ′＝－(cos x )′＝－(－sin x )＝sin x .[逆向问题] f (x )＝x (2 017＋ln x )，假设f ′(x 0)＝2 018，那么x 0＝________. 1 [因为f (x )＝x (2 017＋ln x )，所以f ′(x )＝2 017＋ln x ＋1＝2 018＋ln x ， 又f ′(x 0)＝2 018，所以2 018＋ln x 0＝2 018，所以x 0＝1.]求导之前先对函数进行化简减少运算量．如本例(1)(3)． 抽象函数求导f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，那么f ′(0)＝________.－4 [∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)， ∴f ′(1)＝－2，∴f ′(0)＝2f ′(1)＝2×(－2)＝－4.]赋值法是求解此类问题的关键，求解时先视f ′(1)为常数，然后借助导数运算法那么计算f ′(x )，最后分别令x ＝1，x ＝0代入f ′(x )求解即可．1.函数f (x )＝e xln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，那么f ′(1)的值为________．e [由题意得f ′(x )＝e x ln x ＋e x·1x，那么f ′(1)＝e.]2．函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，那么f ′(2)＝________.－94 [因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x ，所以f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12＝3f ′(2)＋92，所以f ′(2)＝－94.]3．求以下函数的导数 (1)y ＝3x e x－2x＋e ； (2)y ＝ln x x 2＋1；(3)y ＝ln 2x －12x ＋1.[解] (1)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x e x ln 3＋3x e x－2xln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x －2xln 2. (2)y ′＝ln x ′x 2＋1－ln xx 2＋1′x 2＋12＝1xx 2＋1－2x ln xx 2＋12＝x 2＋1－2x 2ln x x x 2＋12.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2x －12x ＋1′＝[ln(2x －1)－ln(2x ＋1)]′＝[ln(2x －1)]′－[ln(2x ＋1)]′ ＝12x －1·(2x －1)′－12x ＋1·(2x ＋1)′ ＝22x －1－22x ＋1＝44x 2－1. 考点2 导数的几何意义导数几何意义的应用类型及求解思路(1)切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)．(2)假设求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f x 1，y 0－y 1＝f ′x 1x 0－x 1求解即可．(3)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．求切线方程(1)(2019·全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0,0)处的切线方程为________．(2)函数f (x )＝x ln x ，假设直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，那么直线l 的方程为________．(1)3x －y ＝0 (2)x －y －1＝0 [(1)∵y ′＝3(x 2＋3x ＋1)e x，∴曲线在点(0,0)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝3，∴曲线在点(0,0)处的切线方程为y ＝3x .(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ， ∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝1＋ln x 0x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.](1)求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标，在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范围；(2)注意曲线过某点的切线和曲线在某点处的切线的区别．如本例(1)是“在点(0,0)〞，本例(2)是“过点(0，－1)〞，要注意二者的区别．求切点坐标(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，那么点A 的坐标是________．(e,1) [设A (x 0，y 0)，由y ′＝1x ，得k ＝1x 0，所以在点A 处的切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)．因为切线经过点(－e ，－1)， 所以－1－ln x 0＝1x 0(－e －x 0)．所以ln x 0＝ex 0，令g (x )＝ln x －ex(x ＞0)，那么g ′(x )＝1x ＋ex2，那么g ′(x )＞0，∴g (x )在(0，＋∞)上为增函数． 又g (e)＝0，∴ln x ＝ex有唯一解x ＝e.∴x 0＝e.∴点A 的坐标为(e,1)．]f ′(x )＝k (k 为切线斜率)的解即为切点的横坐标，抓住切点既在曲线上也在切线上，是求解此类问题的关键．求参数的值(1)(2019·全国卷Ⅲ)曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x＋b ，那么( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1(2)f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图像都相切，与f (x )图像的切点为(1，f (1))，那么m ＝________.(1)D (2)－2 [(1)∵y ′＝a e x ＋ln x ＋1，∴y ′|x ＝1＝a e ＋1，∴2＝a e ＋1，∴a ＝e－1.∴切点为(1,1)，将(1,1)代入y ＝2x ＋b ，得1＝2＋b ， ∴b ＝－1，应选D. (2)∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率k ＝f ′(1)＝1.又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图像的切点为(x 0，y 0)，那么有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0，∴m ＝－2.]切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程，同时注意曲线上点的横坐标的取值范围．导数与函数图像(1)函数y ＝f (x )的图像是以下四个图像之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图像如下图，那么该函数的图像是( )A BC D(2)y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，那么g ′(3)＝________.(1)B (2)0 [(1)由y ＝f ′(x )的图像是先上升后下降可知，函数y ＝f (x )图像的切线的斜率先增大后减小，应选B.(2)由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题图可知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.]函数图像在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图像在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出图像升降的快慢．1.曲线f (x )＝exx －1在x ＝0处的切线方程为________．2x ＋y ＋1＝0 [根据题意可知切点坐标为(0，－1)，f ′(x )＝x －1ex′－e xx －1′x －12＝x －2e xx －12，故切线的斜率k ＝f ′(0)＝0－2e0－12＝－2， 那么直线的方程为y －(－1)＝－2(x －0)， 即2x ＋y ＋1＝0.]2．(2019·大同模拟)f (x )＝x 2，那么曲线y ＝f (x )过点P (－1,0)的切线方程是________．y ＝0或4x ＋y ＋4＝0 [设切点坐标为(x 0，x 20)，∵f ′(x )＝2x ，∴切线方程为y －0＝2x 0(x ＋1)， ∴x 20＝2x 0(x 0＋1)， 解得x 0＝0或x 0＝－2，∴所求切线方程为y ＝0或y ＝－4(x ＋1)， 即y ＝0或4x ＋y ＋4＝0.]3．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，那么2a ＋b ＝________. 1 [由题意知，y ＝x 3＋ax ＋b 的导数y ′＝3x 2＋a ， 那么⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得k ＝2，a ＝－1，b ＝3，∴2a ＋b ＝1.]。
北师大版版高考数学一轮复习第三章导数及其应用导数的应用导数与函数的单调性教学案理
一、知识梳理１．函数的单调性在（a，b）内函数f（x）可导，f′（x）在（a，b）任意子区间内都不恒等于0．f′（x）≥0⇔f（x）在（a，b）上为增函数．f′（x）≤0⇔f（x）在（a，b）上为减函数．２．函数的极值函数y＝f（x）在点x＝a的函数值f（a）比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′（a）＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′（x）<0，右侧f′（x）>0，则点a叫作函数y＝f（x）的极小值点，f（a）叫作函数y＝f（x）的极小值．函数y＝f（x）在点x＝b的函数值f（b）比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′（b）＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′（x）>0，右侧f′（x）<0，则点b叫作函数y＝f（x）的极大值点，f（b）叫作函数y＝f（x）的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．３．函数的最值（１）在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．（２）若函数f（x）在[a，b]上是增加的，则f（a）为函数的最小值，f（b）为函数的最大值；若函数f（x）在[a，b]上是减少的，则f（a）为函数的最大值，f（b）为函数的最小值．（３）设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，求f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：１求函数y＝f（x）在（a，b）内的极值；２将函数y＝f（x）的各极值与端点处的函数值f（a），f（b）做比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．常用结论１．在某区间内f′（x）>0（f′（x）<0）是函数f（x）在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件．２．可导函数f（x）在（a，b）上是增（减）函数的充要条件是对任意的x∈（a，b），都有f′（x）≥0（f′（x）≤0）且f′（x）在（a，b）上的任何子区间内都不恒为零．３．对于可导函数f（x），f′（x0）＝0是函数f（x）在x＝x0处有极值的必要不充分条件．二、教材衍化１．如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图像，则下面判断正确的是（）Ａ．在区间（—２，１）上f（x）是增函数Ｂ．在区间（１，３）上f（x）是减函数Ｃ．在区间（４，５）上f（x）是增函数Ｄ．当x＝２时，f（x）取到极小值解析：选Ｃ．在（４，５）上f′（x）>0恒成立，所以f（x）是增函数．２．设函数f（x）＝错误!＋ln x，则（）Ａ．x＝错误!为f（x）的极大值点Ｂ．x＝错误!为f（x）的极小值点Ｃ．x＝２为f（x）的极大值点Ｄ．x＝２为f（x）的极小值点解析：选Ｄ．f′（x）＝—错误!＋错误!＝错误!（x>0），当0<x<２时，f′（x）<0，当x>２时，f′（x）>0，所以x＝２为f（x）的极小值点．３．函数y＝x＋２cos x在区间错误!上的最大值是________．解析：因为y′＝１—２sin x，所以当x∈错误!时，y′>0；当x∈错误!时，y′<0．所以当x＝错误!时，y max＝错误!＋错误!.答案：错误!＋错误!一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）若函数f（x）在（a，b）内是增加的，那么一定有f′（x）>0．（）（２）如果函数f（x）在某个区间内恒有f′（x）＝0，则f（x）在此区间内没有单调性．（）（３）函数的极大值不一定比极小值大．（）（４）对可导函数f（x），f′（x0）＝0是x0点为极值点的充要条件．（）（５）函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．（）答案：（１）×（２）√（３）√（４）×（５）√二、易错纠偏错误!错误!（１）原函数与导函数的关系不清致误；（２）极值点存在的条件不清致误；（３）忽视函数的定义域．１．函数f（x）的定义域为R，导函数f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）（）Ａ．无极大值点、有四个极小值点B．有三个极大值点、一个极小值点Ｃ．有两个极大值点、两个极小值点Ｄ．有四个极大值点、无极小值点解析：选Ｃ．导函数的图象与x轴的四个交点都是极值点，第一个与第三个是极大值点，第二个与第四个是极小值点．２．设a∈R，若函数y＝e x＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．解析：因为y＝e x＋ax，所以y′＝e x＋a.因为函数y＝e x＋ax有大于零的极值点，所以方程y′＝e x＋a＝0有大于零的解，因为当x>0时，—e x<—１，所以a＝—e x<—１．答案：（—∞，—１）３．函数f（x）＝x—ln x的减区间为________．解析：由f′（x）＝１—错误!<0，得错误!>１，即x<１，又x>0，所以函数f（x）的减区间为（0，１）．答案：（0，１）第１课时导数与函数的单调性不含参数函数的单调性（自主练透）１．函数y＝４x２＋错误!的增区间为（）Ａ．（0，＋∞）Ｂ．错误!Ｃ．（—∞，—１）Ｄ．错误!解析：选Ｂ．由y＝４x２＋错误!，得y′＝8x—错误!，令y′>0，即8x—错误!>0，解得x>错误!，所以函数y＝４x２＋错误!的增区间为错误!.故选Ｂ．２．已知函数f（x）＝x ln x，则f（x）（）Ａ．在（0，＋∞）上是增加的B．在（0，＋∞）上是减少的Ｃ．在错误!上是增加的D．在错误!上是减少的解析：选Ｄ．因为函数f（x）＝x ln x，定义域为（0，＋∞），所以f′（x）＝ln x＋１（x>0），当f′（x）>0时，解得x>错误!，即函数的增区间为错误!；当f′（x）<0时，解得0<x<错误!，即函数的减区间为错误!，故选Ｄ．３．已知定义在区间（—π，π）上的函数f（x）＝x sin x＋cos x，则f（x）的增区间是________．解析：f′（x）＝sin x＋x cos x—sin x＝x cos x，令f′（x）＝x cos x>0，则其在区间（—π，π）上的解集为错误!和错误!，即f（x）的增区间为错误!和错误!.答案：错误!和错误!错误!求函数单调区间的步骤（１）确定函数f（x）的定义域．（２）求f′（x）．（３）在定义域内解不等式f′（x）>0，得增区间．（４）在定义域内解不等式f′（x）<0，得减区间．[提醒] 求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错．含参数函数的单调性（师生共研）已知f（x）＝a（x—ln x）＋错误!，a＞0．讨论f（x）的单调性．【解】f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝a—错误!—错误!＋错误!＝错误!＝错误!错误!错误!.（１）当0<a<２时，错误!>１，当x∈（0，１）或x∈错误!时，f′（x）>0，f（x）是增加的，当x∈错误!时，f′（x）<0，f（x）是减少的．（２）当a＝２时，错误!＝１，在x∈（0，＋∞）内，f′（x）≥0，f（x）是增加的．（３）当a>２时，0<错误!<１，当x∈错误!或x∈（１，＋∞）时，f′（x）>0，f（x）是增加的，当x∈错误!时，f′（x）<0，f（x）是减少的．综上所述，当0<a<２时，f（x）在（0，１）内是增加的，在错误!内是减少的，在错误!内是增加的；当a＝２时，f（x）在（0，＋∞）内是增加的；当a>２时，f（x）在错误!内是增加的，在错误!内是减少的，在（１，＋∞）内是增加的．错误!解决含参数函数的单调性问题应注意的２点（１）研究含参数函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．（２）划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．已知函数f（x）＝ln（e x＋１）—ax（a>0），讨论函数y＝f（x）的单调区间．解：f′（x）＝错误!—a＝１—错误!—a.１当a≥１时，f′（x）<0恒成立，所以当a∈[１，＋∞）时，函数y＝f（x）在R上是减少的．２当0<a<１时，由f′（x）>0，得（１—a）（e x＋１）>１，即e x>—１＋错误!，解得x>ln 错误!，由f′（x）<0，得（１—a）（e x＋１）<１，即e x<—１＋错误!，解得x<ln 错误!.所以当a∈（0，１）时，函数y＝f（x）在错误!上是增加的，在错误!上是减少的．综上，当a∈[１，＋∞）时，f（x）在R上是减少的；当a∈（0，１）时，f（x）在错误!上是增加的，在错误!上是减少的．函数单调性的应用（多维探究）角度一比较大小或解不等式（１）函数f（x）的定义域为R，f（—１）＝２，对任意x∈R，f′（x）＞２，则f（x）＞２x＋４的解集为（）Ａ．（—１，１）Ｂ．（—１，＋∞）Ｃ．（—∞，—１）Ｄ．（—∞，＋∞）（２）已知定义在错误!上的函数f（x）的导函数为f′（x），且对于任意的x∈错误!，都有f′（x）sin x<f（x）cos x，则（）Ａ．错误!f错误!>错误!f错误!Ｂ．f错误!>f（１）Ｃ．错误!f错误!<f错误!Ｄ．错误!f错误!<f错误!【解析】（１）由f（x）＞２x＋４，得f（x）—２x—４＞0，设F（x）＝f（x）—２x—４，则F′（x）＝f′（x）—２，因为f′（x）＞２，所以F′（x）＞0在R上恒成立，所以F（x）在R上是增加的，而F（—１）＝f（—１）—２×（—１）—４＝２＋２—４＝0，故不等式f（x）—２x—４＞0等价于F （x）＞F（—１），所以x＞—１，故选Ｂ．（２）令g（x）＝错误!，则g′（x）＝错误!，由已知得g′（x）<0在错误!上恒成立，所以g（x）在错误!上是减少的，所以g错误!>g错误!，即错误!>错误!，所以错误!f错误!>错误!f错误!.【答案】（１）B （２）A角度二已知函数的单调性求参数已知函数f（x）＝ln x—错误!ax２—２x（a≠0）．（１）若函数f（x）存在减区间，求a的取值范围；（２）若函数f（x）在[１，４]上是减少的，求a的取值范围．【解】（１）f（x）＝ln x—错误!ax２—２x，x∈（0，＋∞），所以f′（x）＝错误!—ax—２，由于f（x）在（0，＋∞）上存在减区间，所以当x∈（0，＋∞）时，错误!—ax—２＜0有解．即a＞错误!—错误!有解，设G（x）＝错误!—错误!，所以只要a＞G（x）min即可．而G（x）＝错误!错误!—１，所以G（x）min＝—１．所以a＞—１．（２）由f（x）在[１，４]上是减少的，当x∈[１，４]时，f′（x）＝错误!—ax—２≤0恒成立，即a≥错误!—错误!恒成立．所以a≥G（x）max，而G（x）＝错误!错误!—１，因为x∈[１，４]，所以错误!∈错误!，所以G（x）max＝—错误!（此时x＝４），所以a≥—错误!，即a的取值范围是错误!.【迁移探究１】（变问法）若函数f（x）在[１，４]上是增加的，求a的取值范围．解：由f（x）在[１，４]上是增加的，当x∈[１，４]时，f′（x）≥0恒成立，所以当x∈[１，４]时，a≤错误!—错误!恒成立，又当x∈[１，４]时，错误!错误!＝—１（此时x＝１），所以a≤—１，即a的取值范围是（—∞，—１]．【迁移探究２】（变问法）若函数f（x）在[１，４]上存在减区间，求a的取值范围．解：f（x）在[１，４]上存在减区间，则f′（x）＜0在[１，４]上有解，所以当x∈[１，４]时，a＞错误!—错误!有解，又当x∈[１，４]时，错误!错误!＝—１，所以a＞—１，即a的取值范围是（—１，＋∞）．【迁移探究３】（变条件）若函数f（x）在[１，４]上不单调，求a的取值范围．解：因为f（x）在[１，４]上不单调，所以f′（x）＝0在（１，４）上有解，即a＝错误!—错误!有解，令m（x）＝错误!—错误!，x∈（１，４），则—１<m（x）<—错误!，所以实数a的取值范围为错误!.错误!（１）利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．（２）利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路１由函数在区间[a，b]上是增加（减少）的可知f′（x）≥0（f′（x）≤0）在区间[a，b]上恒成立列出不等式；２利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；３对等号单独检验，检验参数的取值能否使f′（x）在整个区间恒等于0，若f′（x）恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f′（x）＝0，则参数可取这个值．[提醒] f（x）为增函数的充要条件是对任意的x∈（a，b）都有f′（x）≥0且在（a，b）内的任意一个非空子区间上f′（x）≠0．应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．１．设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f′（x），g′（x）为其导函数，当x＜0时，f′（x）·g（x）＋f（x）·g′（x）＞0且g（—３）＝0，则不等式f（x）·g（x）＜0的解集是（）Ａ．（—３，0）∪（３，＋∞）Ｂ．（—３，0）∪（0，３）Ｃ．（—∞，—３）∪（３，＋∞）Ｄ．（—∞，—３）∪（0，３）解析：选Ｄ．令h（x）＝f（x）g（x），当x＜0时，h′（x）＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）＞0，则h（x）在（—∞，0）上是增加的，又f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以h（x）为奇函数，所以h（x）在（0，＋∞）上是增加的．又由g（—３）＝0，可得h（—３）＝—h（３）＝0，所以x＜—３或0＜x＜３时h（x）＜0，故选Ｄ．２．已知函数f（x）＝错误!—２x２＋ln x在区间[１，２]上为单调函数，求a的取值范围．解：f′（x）＝错误!—４x＋错误!，若函数f（x）在区间[１，２]上为单调函数，即f′（x）＝错误!—４x＋错误!≥0或f′（x）＝错误!—４x＋错误!≤0，即错误!—４x＋错误!≥0或错误!—４x＋错误!≤0在[１，２]上恒成立，即错误!≥４x—错误!或错误!≤４x—错误!.令h（x）＝４x—错误!，因为函数h（x）在[１，２]上是增加的，所以错误!≥h（２）或错误!≤h（１），即错误!≥错误!或错误!≤３，解得a<0或0<a≤错误!或a≥１．构造函数、比较大小此类涉及已知f（x）与f′（x）的一些关系式，比较有关函数式大小的问题，可通过构造新的函数，创造条件，从而利用单调性求解．一、x与f（x）的组合函数若函数f（x）的定义域为R，且满足f（２）＝２，f′（x）>１，则不等式f（x）—x>0的解集为________．【解析】令g（x）＝f（x）—x，所以g′（x）＝f′（x）—１．由题意知g′（x）>0，所以g（x）为增函数．因为g（２）＝f（２）—２＝0，所以g（x）>0的解集为（２，＋∞）．【答案】（２，＋∞）二、e x与f（x）的组合函数已知f（x）（x∈R）有导函数，且对任意的x∈R，f′（x）>f（x），n∈N＋，则有（）Ａ．e n f（—n）<f（0），f（n）>e n f（0）Ｂ．e n f（—n）<f（0），f（n）<e n f（0）Ｃ．e n f（—n）>f（0），f（n）>e n f（0）Ｄ．e n f（—n）>f（0），f（n）<e n f（0）【解析】设g（x）＝错误!，则g′（x）＝错误!＝错误!>0，g（x）为R上的增函数，故g（—n）<g（0）<g（n），即错误!<错误!<错误!，即e n f（—n）<f（0），f（n）>e n f（0）．故选Ａ．【答案】A设a>0，b>0，e是自然对数的底数，则（）Ａ．若e a＋２a＝e b＋３b，则a>bＢ．若e a＋２a＝e b＋３b，则a<bＣ．若e a—２a＝e b—３b，则a>bＤ．若e a—２a＝e b—３b，则a<b【解析】因为a>0，b>0，所以e a＋２a＝e b＋３b＝e b＋２b＋b>e b＋２b.对于函数y＝e x＋２x （x>0），因为y′＝e x＋２>0，所以y＝e x＋２x在（0，＋∞）上是增加的，因而a>b成立．故选Ａ．【答案】A[基础题组练]１．已知定义在R上的函数f（x），其导函数f′（x）的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是（）Ａ．f（b）>f（c）>f（d）Ｂ．f（b）>f（a）>f（e）Ｃ．f（c）>f（b）>f（a）Ｄ．f（c）>f（e）>f（d）解析：选Ｃ．由题意得，当x∈（—∞，c）时，f′（x）>0，所以函数f（x）在（—∞，c）上是增函数，因为a<b<c，所以f（c）>f（b）>f（a），故选Ｃ．２．（２0２0·江西红色七校第一次联考）若函数f（x）＝２x３—３mx２＋6x在区间（１，＋∞）上为增函数，则实数m的取值范围是（）Ａ．（—∞，１] B．（—∞，１）C．（—∞，２] D．（—∞，２）解析：选Ｃ．f′（x）＝6x２—6mx＋6，由已知条件知x∈（１，＋∞）时，f′（x）≥0恒成立．设g （x）＝6x２—6mx＋6，则g（x）≥0在（１，＋∞）上恒成立．当Δ＝３6（m２—４）≤0，即—２≤m≤２时，满足g（x）≥0在（１，＋∞）上恒成立；当Δ＝３6（m２—４）>0，即m<—２或m>２时，则需错误!解得m≤２，所以m<—２．综上得m≤２，所以实数m的取值范围是（—∞，２]．３．已知f（x）＝错误!，则（）Ａ．f（２）>f（e）>f（３）B．f（３）>f（e）>f（２）Ｃ．f（３）>f（２）>f（e）D．f（e）>f（３）>f（２）解析：选Ｄ．f（x）的定义域是（0，＋∞），f′（x）＝错误!，令f′（x）＝0，得x＝e.所以当x∈（0，e）时，f′（x）>0，f（x）是增加的，当x∈（e，＋∞）时，f′（x）<0，f（x）是减少的，故当x＝e时，f（x）max＝f（e）＝错误!，而f（２）＝错误!＝错误!，f（３）＝错误!＝错误!，所以f（e）>f（３）>f（２），故选D.４．设函数f（x）＝错误!x２—9ln x在区间[a—１，a＋１]上是减少的，则实数a的取值范围是（）Ａ．（１，２] B．（４，＋∞）Ｃ．（—∞，２）D．（0，３]解析：选Ａ．因为f（x）＝错误!x２—9ln x，所以f′（x）＝x—错误!（x>0），由x—错误!≤0，得0<x≤３，所以f（x）在（0，３]上是减函数，则[a—１，a＋１]⊆（0，３]，所以a—１>0且a＋１≤３，解得１<a≤２．５．（２0２0·江西上饶第二次模拟）对任意x∈R，函数y＝f（x）的导数都存在，若f（x）＋f′（x）>0恒成立，且a>0，则下列说法正确的是（）Ａ．f（a）<f（0）B．f（a）>f（0）Ｃ．e a·f（a）<f（0）D．e a·f（a）>f（0）解析：选Ｄ．设g（x）＝e x·f（x），则g′（x）＝e x[f（x）＋f′（x）]>0，所以g（x）为R上的增函数，因为a>0，所以g（a）>g（0），即e a·f（a）>f（0），故选Ｄ．6．函数f（x）＝错误!＋错误!—ln x的减区间是________．解析：因为f（x）＝错误!＋错误!—ln x，所以函数的定义域为（0，＋∞），且f′（x）＝错误!—错误!—错误!＝错误!，令f′（x）＜0，解得0＜x＜５，所以函数f（x）的减区间为（0，５）．答案：（0，５）7．若函数f（x）＝ax３＋３x２—x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知f′（x）＝３ax２＋6x—１，由函数f（x）恰好有三个单调区间，得f′（x）有两个不相等的零点，所以３ax２＋6x—１＝0需满足a≠0，且Δ＝３6＋１２a>0，解得a>—３，所以实数a的取值范围是（—３，0）∪（0，＋∞）．答案：（—３，0）∪（0，＋∞）8．已知函数f（x）＝ln x＋２x，若f（x２＋２）<f（３x），则实数x的取值范围是________．解析：由题可得函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝错误!＋２x ln ２，所以在定义域内f′（x）>0，函数是增函数，所以由f（x２＋２）<f（３x）得x２＋２<３x，所以１<x<２．答案：（１，２）9．已知函数f（x）＝错误!（k为常数，e是自然对数的底数），曲线y＝f（x）在点（１，f（１））处的切线与x轴平行．（１）求k的值；（２）求f（x）的单调区间．解：（１）由题意得f′（x）＝错误!，又因为f′（１）＝错误!＝0，故k＝１．（２）由（１）知，f′（x）＝错误!，设h（x）＝错误!—ln x—１（x>0），则h′（x）＝—错误!—错误!<0，即h（x）在（0，＋∞）上是减函数．由h（１）＝0知，当0<x<１时，h（x）>0，从而f′（x）>0；当x>１时，h（x）<0，从而f′（x）<0．综上可知，f（x）的增区间是（0，１），减区间是（１，＋∞）．１0．已知函数f（x）＝x３—ax—１．（１）若f（x）在R上为增函数，求实数a的取值范围；（２）若函数f（x）在（—１，１）上为减函数，求实数a的取值范围；（３）若函数f（x）的减区间为（—１，１），求实数a的值；（４）若函数f（x）在区间（—１，１）上不单调，求实数a的取值范围．解：（１）因为f（x）在（—∞，＋∞）上是增函数，所以f′（x）＝３x２—a≥0在（—∞，＋∞）上恒成立，即a≤３x２对x∈R恒成立．因为３x２≥0，所以只需a≤0．又因为a＝0时，f′（x）＝３x２≥0，f（x）＝x３—１在R上是增函数，所以a≤0，即实数a的取值范围为（—∞，0]．（２）由题意知f′（x）＝３x２—a≤0在（—１，１）上恒成立，所以a≥３x２在（—１，１）上恒成立，因为当—１<x<１时，３x２<３，所以a≥３，所以a的取值范围为[３，＋∞）．（３）由题意知f′（x）＝３x２—a，则f（x）的减区间为错误!，又f（x）的减区间为（—１，１），所以错误!＝１，解得a＝３．（４）由题意知f′（x）＝３x２—a，当a≤0时，f′（x）≥0，此时f（x）在（—∞，＋∞）上为增函数，不合题意，故a>0．令f′（x）＝0，解得x＝±错误!.因为f（x）在区间（—１，１）上不单调，所以f′（x）＝0在（—１，１）上有解，需0<错误!<１，得0<a<３，所以实数a的取值范围为（0，３）．[综合题组练]１．设f（x），g（x）是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′（x）g（x）—f（x）g′（x）<0，则当a<x<b时，有（）Ａ．f（x）g（x）>f（b）g（b）Ｂ．f（x）g（a）>f（a）g（x）Ｃ．f（x）g（b）>f（b）g（x）Ｄ．f（x）g（x）>f（a）g（a）解析：选Ｃ．令F（x）＝错误!，则F′（x）＝错误!<0，所以F（x）在R上是减少的．又a<x<b，所以错误!>错误!>错误!.又f（x）>0，g（x）>0，所以f（x）g（b）>f（b）g（x）．２．（２0２0·西安模拟）定义在R上的连续函数f（x）满足f（x）＋f（—x）＝x２，且x<0时，f′（x）<x恒成立，则不等式f（x）—f（１—x）≥x—错误!的解集为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．（—∞，0）解析：选Ａ．令g（x）＝f（x）—错误!x２，则g（x）＋g（—x）＝0⇒g（x）为奇函数，又x<0时，g′（x）＝f′（x）—x<0⇒g（x）在（—∞，0）上单调递减，则g（x）在（—∞，＋∞）上是减少的，由f（x）—f（１—x）≥x—错误!知f（x）—错误!x２≥f（１—x）—错误!（１—x）２，即g（x）≥g（１—x），从而x≤１—x⇒x≤错误!，所以所求不等式的解集为错误!.故选Ａ．３．已知函数f（x）＝—错误!x２＋４x—３ln x在区间[t，t＋１]上不单调，则t的取值范围是________．解析：由题意知f′（x）＝—x＋４—错误!＝—错误!，由f′（x）＝0，得函数f（x）的两个极值点为１和３，则只要这两个极值点有一个在区间（t，t＋１）内，函数f（x）在区间[t，t＋１]上就不单调，由t<１<t＋１或t<３<t＋１，得0<t<１或２<t<３．答案：（0，１）∪（２，３）４．函数f（x）是定义在（0，＋∞）上的可导函数，f′（x）为其导函数，若xf′（x）＋f（x）＝e x （x—２）且f（３）＝0，则不等式f（x）＜0的解集为________．解析：令g（x）＝xf（x），x∈（0，＋∞），则g′（x）＝xf′（x）＋f（x）＝e x（x—２），可知当x∈（0，２）时，g（x）＝xf（x）是减函数，当x∈（２，＋∞）时，g（x）＝xf（x）是增函数. 又f（３）＝0，所以g（３）＝３f（３）＝0．在（0，＋∞）上，不等式f（x）＜0的解集就是xf（x）＜0的解集，又g（0）＝0，所以f（x）＜0的解集是（0，３）．答案：（0，３）５．设函数f（x）＝a ln x＋错误!，其中a为常数．（１）若a＝0，求曲线y＝f（x）在点（１，f（１））处的切线方程；（２）讨论函数f（x）的单调性．解：（１）由题意知当a＝0时，f（x）＝错误!，x∈（0，＋∞），此时f′（x）＝错误!，可得f′（１）＝错误!，又f（１）＝0，所以曲线y＝f（x）在（１，f（１））处的切线方程为x—２y—１＝0．（２）函数f（x）的定义域为（0，＋∞）．f′（x）＝错误!＋错误!＝错误!.当a≥0时，f′（x）>0，函数f（x）在（0，＋∞）上是增加的；当a<0时，令g（x）＝ax２＋（２a＋２）x＋a，Δ＝（２a＋２）２—４a２＝４（２a＋１）．１当a＝—错误!时，Δ＝0，f′（x）＝错误!≤0，函数f（x）在（0，＋∞）上是减少的．２当a<—错误!时，Δ<0，g（x）<0，f′（x）<0，函数f（x）在（0，＋∞）上是减少的．３当—错误!<a<0时，Δ>0，设x１，x２（x１<x２）是函数g（x）的两个零点，则x１＝错误!，x２＝错误!.由于x１＝错误!＝错误!>0，所以当x∈（0，x１）时，g（x）<0，f′（x）<0，函数f（x）是减少的，当x∈（x１，x２）时，g （x）>0，f′（x）>0，函数f（x）是增加的，当x∈（x２，＋∞）时，g（x）<0，f′（x）<0，函数f（x）是减少的．综上可得：当a≥0时，函数f（x）在（0，＋∞）上是增加的；当a≤—错误!时，函数f（x）在（0，＋∞）上是减少的；当—错误!<a<0时，f（x）在错误!，错误!上是减少的，在错误!上是增加的．6．已知函数f（x）＝a ln x—ax—３（a∈R）．（１）求函数f（x）的单调区间；（２）若函数y＝f（x）的图像在点（２，f（２））处的切线的倾斜角为４５°，对于任意的t∈[１，２]，函数g（x）＝x３＋x２·错误!在区间（t，３）上总不是单调函数，求m的取值范围．解：（１）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且f′（x）＝错误!，当a>0时，f（x）的增区间为（0，１），减区间为（１，＋∞）；当a<0时，f（x）的增区间为（１，＋∞），减区间为（0，１）；当a＝0时，f（x）为常函数．（２）由（１）及题意得f′（２）＝—错误!＝１，即a＝—２，所以f（x）＝—２ln x＋２x—３，f′（x）＝错误!.所以g（x）＝x３＋错误!x２—２x，所以g′（x）＝３x２＋（m＋４）x—２．因为g（x）在区间（t，３）上总不是单调函数，即g′（x）在区间（t，３）上有变号零点．由于g′（0）＝—２，所以错误!当g′（t）<0时，即３t２＋（m＋４）t—２<0对任意t∈[１，２]恒成立，由于g′（0）<0，故只要g′（１）<0且g′（２）<0，即m<—５且m<—9，即m<—9；由g′（３）>0，即m>—错误!.所以—错误!<m<—9．即实数m的取值范围是错误!.。