2.3向量的坐标表示和空间向量基本定理 第1课时 课件(北师大版选修2-1)
最新高中数学北师大版选修2-1第二章3.3 《空间向量运算的坐标表示》ppt课件
4．已知a＝(1，－5,6)，b＝(0,6,5)，则a与b ( )
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向
D．平行且反向
解析：a·b＝0－30＋30＝0，∴a⊥b.
答案：A
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5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，F是DC的中点，求证： AD⊥D1F.
证明：建立空间直角坐标系如图，不妨设 正方体的棱长为 1，则有 D(0,0,0)，A(1,0,0)， D1(0,0,1)，F0，12，0. ∴ AD＝(－1,0,0)， D1F ＝0，12，－1. ∴ AD·D1F ＝(－1,0,0)·0，12，－1＝0. ∴AD⊥D1F.
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[一点通] 空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运 算类似，两个向量的加、减、数乘运算就是向量的横坐标、 纵坐标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算；空间两个向 量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．
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1．已知a＝(1,0，－1)，b＝(1，－2,2)，c＝(－2,3，－1)，
那么向量a－b＋2c等于
2．利用空间向量的坐标可以解决向量的模、夹 角、向量的平行与垂直等问题．
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[例1] 已知a＝(3,5，－4)，b＝(2,2,8)，求2a＋3b,3a－2b， a·b.
[思路点拨] 空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的 加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对应坐标 乘积的和．
[精解详析] 2a＋3b＝(6,10，－8)＋(6,6,24)＝(12,16,16)， 3a－2b＝(9,15，－12)－(4,4,16)＝(5,11，－28)， a·b＝3×2＋5×2－4×8＝－16.
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由 a∥b⇔1－1 x2＝－x3x＝x1＋－1x⇔1x1－＋－x1x2＝＝－－33，
高中数学第二章向量的坐标表示和空间向量基本定理3.13.2空间向量基本定理课件北师大版选修2_1
[练一练] 2．已知 ABCD-A′B′C′D′是棱长为 2 的正方体，E、F 分别是 BB′、B′D′的 中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则点 E 的坐标为__________，点 F 的坐标为 ________．
解析：由正方体的性质可知，EB⊥平面 ABCD，如图，取 BD 中点 G，连接 FG，则 FG⊥平面 ABCD，则 E、F 的横纵坐标分 别为点 B、G 的横纵坐标，E、F 的竖坐标分别为 BE、GF.又正 方体的棱长为 2，故 BE＝1，GF＝2.因此点 E 的坐标为(2,2,1)， 点 F 的坐标为(1,1,2)．
[想一想] 1．与坐标轴或坐标平面垂直的向量的坐标有何特点？ 提示：xOy 平面上的点的坐标为(x，y,0)，xOz 平面上的点的坐标为(x,0，z)，yOz 平面 上的点的坐标为(0，y，z)，x 轴上的点的坐标为(x,0,0)，y 轴上的点的坐标为(0，y,0)， z 轴上的点的坐标为(0,0，z)．另外还要注意向量O→P的坐标与点 P 的坐标相同．
③A，B，M，N 是空间四点，若B→A，B→M，B→N不能构成空间的一个基底，则 A，B，
M，N 四点共面；
④已知{a，b，c}是空间的一个基底，若 m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．
其中正确命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显 然②正确．③中由B→A，B→M，B→N不能构成空间的一个基底，知B→A，B→M，B→N共面．又 B→A，B→M，B→N过相同点 B，知 A，B，M，N 四点共面．下面证明①④正确：①假设 d 与 a，b 共面，则存在实数 λ，μ，使得 d＝λa＋μb，∵d 与 c 共线，c≠0，∴存在实数 k，使得 d＝kc.∵d≠0，∴k≠0，从而 c＝kλa＋μkb，∴c 与 a，b 共面，与条件矛盾，∴ d 与 a，b 不共面．同理可证④也是正确的．于是①②③④四个命题都正确，故选 D. 答案：D
高中数学第二章空间向量与立体几何2.3向量的坐标表示和空间向量基本定理(1)课件北师大版选修2_1
π 0, 2
,则 a· b0> 0;
一
二
思考辨析
【做一做2】 已知a=(1,0,-1),b=(1, 3,0),则向量a在向量b上的投 影为 .
解析:向量a在向量b上的投影为
������· ������ 12 +3+0 1 答案: 2
=
1 (1,0,- 1)· (1, 2
1 3,0)= . 2
一
二
一
二
思考辨析
【做一做1】如图,建立空间直角坐标系,在棱长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点,则 ������������与������������ 的坐标分别为 , .
解析:由已知得,点 E 0,0, 因此������������ =
1 1 1 , ,- , ������������ 2 2 2 1 1 1 1 , ,1,0, 2 2 2 2
1 2
,F
=
1 1 , ,0 2 2 1 1,0, . 2
,C(0,1,0),G 1,1,
1 2Leabharlann .答案:一
二
思考辨析
二、投影
一
二
思考辨析
名师点拨a· b0=|a|cos<a,b>是一个可正可负的实数,它的符号代 表向量a与b的方向相对关系,大小代表在b上投影的长度.
(1)若<a,b>∈
π (2)若<a,b>= ,则 a· b0=0; 2 π (3)若<a,b>∈ ,π ,则 a· b0< 0. 2
探究一
探究二
思维辨析
向量的坐标表示 【例1】 如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=3,AD=4,AA'=6. (1)写出点C'的坐标,给出 ������������'关于i,j,k的分解式(其中i,j,k分别为x 轴、y轴、z轴正方向上的单位向量);
高中数学第二章空间向量与立体几何2.3向量的坐标表示和空间向量基本定理(2)课件北师大版选修2_1
学 习 目 标 思 维 1.理解 空间向量基本定理及 其意义. 2.掌握 在简单问题中选用空 间三个不共面的向量作为 基底表示其他向量. 3.能体会 从平面到空间的过 程,进一步培养对空间图形 的想象能力.
脉 络
空间向量基本定理
名师点拨理解空间向量基本定理应注意: (1)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底,同时 一个基底是一个向量组,而不是单指一个向量. (2)由于0可视为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量 共面,所以三个向量不共面就隐含着它们都不是0. (3)空间向量基本定理说明,用空间不共面的三个已知向量a,b,c可 以线性表示空间的任意一个向量,而且表示的结果是唯一的.
2e1-e2+3e3=p(e1+2e2-e3)+q(-3e1+e2+2e3)+z(e1+e2-e3) =(p-3q+z)e1+(2p+q+z)e2+(-p+2q-z)e3, ∵e1,e2,e3为空间的一个基底, ������ = 17, ������-3������ + ������ = 2, ∴ 2������ + ������ + ������ = -1, 解得 ������ = -5, ������ = -30, -������ + 2������-������ = 3,
答案
思维辨析
用基底表示向量 【例 2】如图,在四面体 O-ABC 中,G,H 分别是△ABC,△OBC 的重 心,设������������=a,������������ =b,������������=c,试用向量 a,b,c 表示向量������������和������������.
2019北师大版高中数学选修2-1课件：2.3 向量的坐标表示和空间向量基本定理
底,则a,b,c共面;
成基底的向量必须不
②若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构 共面;②为真命题;③为
成空间的一个基底,则a,b共线; ③若a,b是两个不共线的向量,而
假命题,a,b不共线,当 c=λa+
c=λa+μb(λ,μ∈R且λμ≠0),则{a,b,c}构成空间的 μb时,a,b,c共面.故只有
一个基底.
①②为真命题.
A.0 B.1 C.2 D.3
备课素材
[小结]
知识
方法
易错
1.标准正交基与空间
1.对向量在标准正交基下的坐
1.类比平面向量的坐标与分解
向量的坐标．
标找不准确．
来理解．
2．空间向量的基本
2．不能选择适当的基底，而造
2．类比平面向量的基本定理
定理
成计算繁琐
下节课预习问题：
1．空间向量坐标的线性运算法则是什么？
备课素材
1．对空间向量基本定理的理解 (1)空间向量基本定理与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量， 从而分解结果中也多了一项，其解决问题的思路和步骤基本相同． (2)空间任意三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，同时一个基底是一个向 量组，而不是单指一个向量． (3)空间向量基本定理说明，用空间不共面的三个向量e1，e2，e3可以线性表示空间 的任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．空间向量基本定理是将空间几何研究 进行数量化的基础，它使空间的结果变得简单明了，整个空间被三个不共面的基本 向量所确定，空间的点或向量与三维实数组{x，y，z}之间具有一一对应的关系．
2．怎样用坐标表示空间向量数量积及其性质？
)，D→C＝A→B＝(0，1，0)．
高中数学 空间向量运算的坐标表示参考课件 北师大版选修21
a // b a b a1 b1,a2 b2 ,a3 b3 ( R) ; a b a b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0 ;
第六页，共21页。
二、距离与夹角
1.距离(jùlí)公式 （1）向量(xiàngliàng)的长度 （模）公式
间直角坐标系 O x中yz的坐标，记
作在空a 间(直a1角, a坐2 ,标a3系)． O xyz中，对空间
任一点 ，存A在唯一的有序实数
组 (x, y, z) ，使 OA xi y j zk ，有
序实数组 (x, y, z叫)作向量 O在A空间
直角坐标系 O x中yz的坐标，
记作 标，
叫zA竖(x坐, y标, z．)，x叫横坐标，
则 E(1 , 1 , 1 ) ， F ( 1 , 1 , 1)
2
22
所以 EF ( 1 , 1 , 1 ) ， 2 22
又 A1(1 , 0 , 1) ， D(0 , 0 , 0) ，
所以 所以
DA1 EF
(1 , 0 DA1
, 1) ( 1
2
,
1 2
,
1 2
)
(1
,
0
,
1)
0
，
因此 EF DA1 ，即 EF DA1
B
OM
1 2
(OA
OB)
1 2
(3 ,
3 ,1)1 ,0,52,
3 2
,
3
,
O
∴点 M的坐标是
2
,
3 2
,
3.
d A,B (1 3)2 (0 3)2 (5 1)2 29 .
第十一页，共21页。
2019-2020高中北师版数学选修2-1 第2章 §3 3.3 空间向量运算的坐标表示课件PPT
§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理 3.3 空间向量运算的坐标表示
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学习目标：1.掌握空间向量线性运算及数量积的坐标表示．(重 点) 2.能够利用空间向量的坐标运算求空间向量的长度与夹角．(难 点)
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自主预习 探新知
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1．空间向量的坐标运算
设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， ①a＋b＝ (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) ， ②a－b＝ (a1－b1，a2－b2，a3－b3) ， ③λa＝ (λa1，λa2，λa3) ， ④a·b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 .
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2．空间向量的平行、垂直及模、夹角 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 ①a∥b⇔a＝λb⇔ a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 ②a⊥b⇔a·b＝0⇔ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 ； ③|a|＝ a·a＝____a_21_＋__a_22＋__a_23____； ④cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝ a21＋a1ab221＋＋aa232b2b＋21＋a3bb223＋b23.
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1.(变条件)若将本例(2)条件“若ka＋b与ka－2b互相垂直”改为
“若ka＋b与ka－2b互相平行”，求k的值．
[解] 由ka＋b与ka－2b互相平行，得
ka＋b＝λ(ka－2b)，即(k－1，k，2)＝λ(k＋2，k，－4)，
k－1＝λ（k＋2），
所以k＝λk，
解得k＝0.
2＝－4λ，
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[解] (1)因为B→C＝(－2，－1，2)，且c∥B→C， 所以设c＝λB→C＝(－2λ，－λ，2λ)， 得|c|＝ （－2λ）2＋（－λ）2＋（2λ）2＝3|λ|＝3，解得λ＝±1. 即c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)．
高中数学课件-2.3向量的坐标表示和空间向量基本定理
(1)判断M→A，M→B，M→C三个向量是否共面． (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内．
第二章 2.3 第1课时
[解析] (1)由已知，得O→A＋O→B＋O→C＝3O→M， ∴O→A－O→M＝(O→M－O→B)＋(O→M－O→C)． ∴M→A＝B→M＋C→M＝－M→B－M→C. ∴向量M→A，M→B，M→C共面． (2)由(1)向量M→A，M→B，M→C共面，三个向量的基线又过同 一点 M， ∴四点 M，A，B，C 共面． ∴点 M 在平面 ABC 内．
①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}， ④{x，y，a＋b＋c}， 其中可以作为空间的基底的向量组有________个． [答案] 3 [解析] ②③④都可以作为空间的一组基底，对于①，x＝ a＋b，显然a，b，x共面，故{a，b，x}不能作为空间的一个基 底．
第二章 2.3 第1课时
A．13a＋13b＋13c
B．12a＋12b＋12c
C．a＋b＋c
D．3a＋3b＋3c
[答案] A
第二章 2.3 第1课时
[解析] 如图，取 AB 的中点 M，连结 CM，则必过 G 点， 则C→M＝12(C→A＋C→B)＝12[(O→A－O→C)＋(O→B－O→C)]＝12a＋12b－c.
C→G＝23C→M＝13a＋13b－23c， 所以O→G＝O→C＋C→G＝13a＋13b＋13c.
5．基底 (1)空间中不共面的三个向量e1、e2、e3叫作这个空间的一 个___基__底_____． (2)空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个 __基__底____． (3)如果作为空间的一个基底的三个基向量两两互相垂直， 那么这个基底叫作__正__交__基__底__．
向量的坐标表示和空间向量的基本定理-北师大版高中数学选修2-1ppt课件
a (a1,a2,a3)( R )
a b a1b1a2b2a3b3
a//b a 1b 1 ,a 2b 2 ,a 3b 3 ( R )
ab a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 0 . ( a ,b 都 不 是 零 向 量 )
（2）当
时，
反向；
ABBA,求向量 CA在BC上的投.影 上的分向量。
=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
解：设
1 是1 的中点，则
1
(4)基底给定时,分解形式唯一.
解:(2)向量 CA在BC上的投影为 P=(x,y,z)其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 1
解:OQ OM MQ 1 OA 1 MN 1 OA 1 (ON OM） 23 23
1 OA 1 (ON 1 OA)
O
23 2
1 OA 1 1 (OB OC)
M
3 32
1 OA 1 OB 1 OC 36 6
Q
A
P
C
B
N
空间向量运算 的坐标表示
空间直角坐标系 z
从空间某一个定点O引三条
我 们 把 aix,ajy,akz分 别 称 为 向 量 a 在 x轴 ,y轴 ,z轴 正 方 向 上 的 投 影 . 向量的坐标等于 标它轴在正坐方向上. 的
一般地,若b0为b的单位向量, 称ab0 | a | cos a,b 为向量a在向量b上的投影.
例2.如图,已知单位正方体 ABCD-A1B1C1D1,求
D1F1
z
A1B1 ，求
4
B
E
1 与 D F 1 所成的角的余弦值.
北师大版高中数学选修2-1教案：2.3 向量的坐标表示和空间向量基本定理
2.3 向量的坐标表示和空间向量基本定理1．了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量线性运算及数量积的坐标表示．(重点) 2．掌握空间向量的标准正交分解及其坐标表示，会求向量的坐标．(重点)3．理解空间中的任何一个向量都可以用三个不共面的向量来表示，能够在具体问题中适当地选取基底．能够利用空间向量的坐标运算求空间向量的长度与夹角。
(难点) 知识点一 空间向量的标准正交分解与坐标表示在给定的空间直角坐标系中，i ，j ，k 分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向上的单位向量，对于空间任意向量a ，存在唯一一组三元有序实数(x ，y ，z )，使得a ＝x i ＋y j ＋z k .我们把a ＝x i ＋y j ＋z k 叫作a 的标准正交分解，把i ，j ，k 叫作标准正交基．(x ，y ，z )叫作空间向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y ，z )，a ＝(x ，y ，z )叫作向量a 的坐标表示．在空间直角坐标系中，点P 的坐标为(x ，y ，z )，向量OP →的坐标也是(x ，y ，z )． 知识点二 投影(1)一般地，若b 0为b 的单位向量，称a ·b 0＝|a |cos 〈a ，b 〉为向量a 在向量b 上的投影．如图所示，向量a 在向量b 上的投影为OM ＝|a |cos 〈a ，b 〉．(2)向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影．知识点三 空间向量基本定理(1)如果向量e 1、e 2、e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1、λ2、λ3，使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3.(2)空间中不共面的三个向量e 1、e 2、e 3叫作这个空间的一个基底，a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3表示向量a 关于基底e 1、e 2、e 3的分解，e 1、e 2、e 3都叫作基向量．(3)当向量e 1、e 2、e 3两两垂直时，就得到这个向量的一个正交分解，当e 1＝i ，e 2＝j ，e 3＝k 时，a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3叫作a 的标准正交分解． 知识点四 空间向量运算的坐标表示 1．空间向量运算的坐标表示设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则：(1)a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2，z 1＋z 2)，即，空间两个向量和的坐标等于它们对应坐标的和． (2)a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2，z 1－z 2)，即，空间两个向量差的坐标等于它们对应坐标的差． (3)λa ＝(λx 1，λy 1，λz 1)(λ∈R )，即，实数与空间向量数乘的坐标等于实数与向量对应坐标的乘积．(4)设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2.即，空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．2．空间向量的坐标与起点和终点坐标的关系：若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．知识点五 空间向量平行、垂直、长度、夹角的表示 设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则(1)若b ≠0，则a ∥b ⇔a ＝λ b ⇔x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，z 1＝λz 2(λ∈R )； (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0. |a |＝a 2＝x 21＋y 21＋z 21.cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21x 22＋y 22＋z 22.(a ≠0，b ≠0)考点一 空间向量的坐标表示例1 (1)设i ，j ，k 分别是x ，y ，z 轴正方向上的单位向量，若a ＝(3,7，－2)则a 关于i ，j ，k 的分解式为________．(2)设{i ，j ，k }是空间向量的一个单位的正交基底，a ＝2i －4j ＋5k ，b ＝i ＋2j －3k ，则向量a ，b 的坐标分别是________．(3)已知在如图233所示的棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，B 1C 1的中点，若以{AB →，AD →，AA 1→}为基底，则向量AE →的坐标为________，向量AF →的坐标为________，向量AC 1→的坐标为________．【名师指津】1．建立空间直角坐标系需根据图形性质，寻找三条两两垂直的直线．建系时，通常建立右手直角坐标系．2．空间向量的坐标与其在标准正交基下的线性表示的关系是a ＝x i ＋y j ＋z k ⇔a ＝(x ，y ，z )考点二 空间向量的投影例2如图 所示，已知单位正方体ABCD A ′B ′C ′D ′，(1)求向量CA ′→在CD →上的投影； (2)求向量CA ′→在DC →上的投影．【名师指津】求向量a 在向量b 上的投影，通常有两种方法：1．利用投影的计算公式求，a 在b 上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉，亦为a ·b|b |. 2．利用投影的几何意义求，如图，a 在b 上的投影为有向线段OM 的数量，正方向为向量b 的方向．例3.如图 ，四棱锥P OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E ，F 分别是PC 和PB 的中点，试用a ，b ，c 表示BF →，BE →，AE →，EF →.【名师指津】对于基底e 1，e 2，e 3除了知道它们不共面外，还应明确：(1)用基底表示向量，要表示彻底，结果中只能含有e 1，e 2，e 3不能含有其他形式的向量； (2)用e 1，e 2，e 3表示向量，需要根据三角形法则，及平行四边形法则，结合相等向量的代换，向量的运算进行变形，化简；(3)基底一旦确定，所有向量的表示就唯一确定了．练习1..如图236，空间四边形OABC 中，G ，H 分别是△ABC ，△OBC 的重心，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量OG →和GH →.考点三 空间向量的坐标运算例3(1)已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(1,2，－1)，则a ＋b ＝________， 2a －b ________. (2)(2016·南宁高二检测)已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值为________．(3)已知a ＝(1,0，－1)，b ＝(1，－2,2)，c ＝(－2,3，－1)，则a －b ＋2c ＝________. 考点四 数量积的坐标运算例4已知a ＝(3,5，－4)，b ＝(2,1,8)， 求(1)a ·b ；(2)(2a －b )·(3a ＋b )． 【名师指津】空间向量数量积即将对应坐标乘积的求和，牢记运算公式是正确计算的关键． 练习1本例条件不变，求(a ＋b )·(a －b )．考点五 利用坐标运算解决长度和夹角问题例5已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)，求以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积． 【名师指津】1．空间中的距离和夹角问题可转化为向量的模与夹角问题求解．这体现了向量的工具作用．引入坐标运算，可使解题过程程序化． 2．平行四边形面积的计算公式：S ▱ABCD ＝|AB →||AC →|2－AB →·AC→2.练习2．已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)． (1)求cos ∠BAC ；(2)求△ABC 中BC 边上中线的长度． 考点六 坐标形式下的平行与垂直问题例6已知空间三点A (－2,0,2)、B (－1,1,2)、C (－3,0,4)．设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)设|c |＝3，c ∥BC →，求c ； (2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k .【名师指津】向量平行与垂直问题主要有以下两种类型：一是判断平行与垂直；一是利用平行与垂直求参数或其他问题．解决这种问题时要注意：①适当引入参数参与运算；②建立关于参数的方程；③准确运算．练习3．设a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．(1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k ；(2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k . 课堂练习1．在以下3个命题中，真命题的个数是( )①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面；②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线； ③若a ，b 是两个不共线向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则a ，b ，c 构成空间的一个基底．A ．0B ．1C ．2D ．32．若向量a 、b 、c 是空间的一个基底，向量m ＝a ＋b ，n ＝a －b ，那么可以与m 、n 构成空间的另一个基底的向量是( )A ．aB ．bC ．cD ．2a3．O ，A ， B ，C 为空间四边形的四个顶点，点M ，N 分别是边OA ，BC 的中点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示向量MN →为( )A.12(c ＋b －a ) B ．12(a ＋b －c ) C.12(a －b ＋c ) D ．12(a ＋b ＋c )4．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(0，－1,4)，则a ＋b ＝________.3b ＝________，a ·b ＝________. 5．已知a ＝(5,3,1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，t ，－25且a 与b 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．。
2-3-3空间向量运算的坐标表示课件(北师大版选修2-1)
11 → → → 37 AC＝OC－OA＝－10，1，10.
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题型三 【例3】
长度、夹角问题
(12分)如图，直三棱柱ABCA1B1C1，底面△ABC中，
CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别为A1A、 A1B1的中点． (1)求BM的长； → → (2)求cos〈BA1，CB1〉的值； (3)求证：A1B⊥C1N. 审题指导 建立适当的直角坐标系，用坐标形式表示向量，套 用数量积、夹角、长度公式即可．
→ 由已知可得：AB ＝(4，5，－1)－(2，－1，2)＝(2，6，－
→ 3)，AC＝(－2，2，3)－(2，－1，2)＝(－4，3，1)． 1 → 1 → → (1) OP ＝ 2 ( AB － AC )＝ 2 [(2，6，－3)－(－4，3，1)]＝
3 3 3， ，－2，所以P点的坐标为3， ，－2； 2 2
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题型二 坐标形式下平行与垂直条件的应用 【例2】 设a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5)． (1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k的值； (2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k的值． [思路探索] 利用空间向量平行和垂直的充要条件的坐标表达
形式求解本题．
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自学导引 1．空间向量的直角坐标运算律 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 (1)a＋b＝ (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)； (2)a－b＝ (a1－b1，a2－b2，a3－b3)； (3)λa＝ (λa1，λa2，λa3) (4)a· b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 (λ∈R)； ； ；
《2.3 向量的坐标表示和空间向量基本定理(2)》课件-优质公开课-北师大选修2-1精品
xyz.设 A(a,0,0)，S(0,0，b)，则 B(a，a,0)，C(0，
a,0)，E(a，a2，0)，F(0，a2，b2)，G(0,0，b2)，E→F
＝(－a,0，b2)，A→G＝(－a,0，b2)，B→C＝(－a,0,0)．
(1)|E→F|＝
－a2＋02＋b42＝
4a2＋b2 2.
(2)cos〈A→G，B→C〉＝|A→A→GG|··B|→B→CC|＝
λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)．
• 2．空间向量坐标的确定
• 在空间直角坐标系中，已知点A(x1，y1，z1)， B(x2，y2，z2)，则＝ _____(x_2－__x1_，_y_2－_y_1，__z2_－_z_1)_____，即一个向量 在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向 量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐 标．
• 3．运用空间向量解决立体几何问题，先要考 察原图形是否方便建立直角坐标系，将问题 中涉及的点、线(向量)、面(向量的线性组合) 用坐标表示，如果容易表示则先建系，将点 用坐标表示出来，然后，利用垂直、平行、 共面的条件通过向量运算推证有关结论，利 用向量的模、向量夹角的计算公式来求线段 长度及角，最后将计算的结果转化为几何结 论；当图形中的点不方便用坐标表示时，可 直接设出向量的基底，将各条件、结论中涉 及的向量表示为基底的线性组合，再运用向 量线性运算及数量积运算的规则进行推理、 计算最后转化为相应几何结论．
• a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋ (－1)×(－1)＋(－2)×4＝0＋1－8＝－7.
• [点评] 空间向量的加、减、数乘、数量积运 算是今后利用向量知识解决立体几何知识的 基础，必须熟练掌握，并且能够灵活地应 用．
高中数学第二章空间向量与立体几何2-3向量的坐标表示和空间向量基本定理教学案北师大版选修2_1
高中数学第二章空间向量与立体几何2-3向量的坐标表示和空间向量基本定理教学案北师大版选修2_13．1 & 3.2 空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理空间向量的标准正交分解与坐标表示学生小李参加某大学自主招生考试，在一楼咨询处小李得知：面试地点由此向东10 m，后向南15 m，然后乘5号电梯到位于6楼的2号学术报告厅参加面试．设e1是向东的单位向量，e2是向南的单位向量，e3是向上的单位向量．问题1：e1，e2，e3有什么关系？提示：两两垂直．问题2：假定每层楼高为3 m，请把面试地点用向量p表示．提示：p＝10e1＋15e2＋15e3.标准正交基与向量坐标(1)标准正交基：在给定的空间直角坐标系中，x轴、y轴、z轴正方向的单位向量i，j，k叫作标准正交基．(2)标准正交分解：设i，j，k为标准正交基，对空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得a＝xi＋yj＋zk，叫作a的标准正交分解．(3)向量的坐标表示：在a的标准正交分解中三元有序实数(x，y，z)叫作空间向量a 的坐标，a＝(x，y，z)叫作向量a的坐标表示．(4)向量坐标与投影：①i，j，k为标准正交基，a＝xi＋yj＋zk，那么a·i＝x，a·j ＝y，a·k＝z.把x，y，z分别称为向量a在x轴、y轴、z轴正方向上的投影．②向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影．③一般地，若b0为b的单位向量，则称a·b0＝|a|cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影.空间向量基本定理问题1：什么情况下，向量a，b，c可以作为一个基底？提示：它们不共面时．问题2：若a，b，c是基底，则空间任一向量v都可以由a，b，c表示吗？提示：可以．如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3.其中e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底．a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3表示向量a关于基底e1，e2，e3的分解．空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量a，b，c。
高中数学课件-2.3向量的坐标表示和空间向量基本定理 第2课时 课件(北师大版选修2-1)
＝(－a,0，b2)，A→G＝(－a,0，b2)，B→C＝(－a,0,0)．
ห้องสมุดไป่ตู้
(1)|E→F|＝
－a2＋02＋b42＝
4a2＋b2 2.
(2)cos〈A→G，B→C〉＝|A→A→GG|··B|→B→CC|＝
a2a＋2 b42·a＝
2a 4a2＋b2.
第二章 2.3 第2课时
[点评] 此类问题考查了空间向量的运算，考查了转化与 化归的思想．值得注意的是：①要建立合适的坐标系，使运算 简便；②要在运算时别出错．
第二章 2.3 第2课时
重点难点点拨
第二章 2.3 第2课时
本节重点：空间向量的坐标运算，空间向量平行和垂直、 夹角、长度的坐标计算公式．
本节难点：空间向量平行、垂直的条件及两个向量的夹 角、向量长度的坐标计算公式．
第二章 2.3 第2课时
知能自主梳理
第二章 2.3 第2课时
1．空间向量坐标运算的法则 若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 a＋b＝_(x_1_＋__x_2_，__y1_＋__y_2_，__z_1＋__z_2_) _ ； a－b＝(_x_1_－__x_2，__y_1_－__y_2，__z_1_－__z_2)__ ； λa＝_____(λ_x_1_，__λ_y_1，__λ_z_1_)(_λ_∈__R_)_ ； 空间向量平行的坐标表示为a∥b(b≠0)⇔x1＝λx2，y1＝λy2， z1＝λz2(λ∈R)．
第二章 2.3 第2课时
综合应用 已知 a＝(－1,2 5，2)，b＝(1,0，－2)，c＝a＋tb， 并且实数 t 满足关于 x 的方程 x2－2tx＋2t2－7t＋12＝0 有实根． (1)当|c|取最小值时，求 t 的值； (2)在(1)的情况下，求向量 b 与 c 的夹角．
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第二章 2.3 第1课时
→ → → → 1 → [解析] (1)AE＝AD＋DE＝AD＋2DD′ 1 → 1 → ＝AD＋2AA′＝(0,1，2)， 1 → → → → 1→ AG＝AB＋BG＝AB＋2AD＝(1，2，0)， → → → → → → 1→ AF＝AA′＋A′D′＋D′F＝AA′＋AD＋2AB 1 ＝(2，1,1)．
第二章
2.3
第1课时
学习方法指导
第二章
2.3
第1课时
1．用空间三个不共面的已知向量a，b，c可以线性表示出
空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的． 2 ．空间任意三个不共面的向量都可以作为表示空间向量 的一个基底． 3．由于0可看作是与任意一个非零向量共线，与任意两个
非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含它们都不是0.
第二章
2.3
第1课时
知能自主梳理
第二章
2.3
第1课时
1 ．在给定的空间直角坐标系中， i ， j ， k 分别为 x 轴， y
轴，z轴正方向上的单位向量，对于空间任意向量a，存在唯一
一组三元有序实数(x，y，z)，使得a＝xi＋yj＋zk.我们把a＝xi＋ yj＋zk叫作a的标准正交分解，把i，j，k叫作标准正交基． (x，y，z) 叫作空间向量a的坐标，记作a＝_________ (x，y，z) ，a __________ (x，y，z) 叫作向量a的坐标表示． ＝____________
第1课时
→ → → → 设 a、b、c 不共面，过点 O 作OA＝a，OB＝b，OC＝c，OP ＝p；过点 P 作直线 PP′平行于 OC，交平面 OAB 于点 P′； 在平面 OAB 内，过点 P′作直线 P′A′∥OB，P′B′∥OA， 分别与直线 OA，OB 相交于点 A′，B′.于是存在三个实数 x， → → → → → → y，z，使OA′＝xOA＝xa，OB′＝yOB＝yb，P′P＝zOC＝zc， → → → → → → → OP＝OA′＋OB′＋P′P＝xOA＋yOB＋zOC. ∴p＝xa＋yb＋zc.
任一向量在坐标轴正方向上的投影就是此向量相应坐标．
第二章
2.3
第1课时
4．空间向量基本定理 如果向量e1、e2、e3是空间三个不共面的向量，a是空间任 一 向 量 ， 那 么 存 在 唯 一 一 组 实 数 λ1 ， λ2 ， λ3 ， 使 得 a ＝ λ1e1＋λ2e2＋λ3e3 _____________________.
要明确：一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中 的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
第二章
2.3
第1课时
4．用基底中的基向量表示向量(即向量的分解)，关键是结
合图形，运用三角形法则、平行四边形法则及多边形法则，逐 步把待求向量转化为基向量的“代数和”． 5．空间向量基本定理的证明
第二章
2.3
第二章
2.3
第1课时
→ → → (2)EF＝AF－AE → → 1→ → 1 → ＝(AA′＋AD＋2AB)－(AD＋2AA′) 1 → 1→ 1 1 ＝2AA′＋2AB＝(2，0，2)， → → → → 1→ → 1 → EG＝AG－AE＝(AB＋2AD)－(AD＋2AA′) 1 1 → 1→ 1 → ＝AB－2AD－2AA′＝(1，－2，－2)， → → → → 1→ → DG＝AG－AD＝AB＋2AD－AD 1 → 1→ ＝AB－2AD＝(1，－2，0)．
知能目标解读
第二章
2.3
第1课时
1 ．了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正
交分解及其坐标表示．
2 ．会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表 示其他向量． 3．会求某一空间向量在一平面上的投影．
第二章
2.3
第1课时
重点难点点拨
第二章
2.3
第1课时
本节重点：空间向量基本定理． 本节难点：基底概念的理解和用基底表示空间任一向量．
第二章
空间向量与立体几何
第二章
2.3
第1课时
第二章
2．3 向量的坐标表示和空间向量基本定理
第1课时
空间向量的标准正交分解与坐标 表示及空间向量基本定理
第二章
2.3
第1课时
1
知能目标解读
5
思路方法技巧
2
重点难点点拨
6
பைடு நூலகம்
探索拓研创新
3
知能自主梳理
8
课堂巩固训练
4
学习方法指导
9
课后强化作业
第二章
2.3
第1课时
→ ( x ， y ， z ) 在空间直角坐标系中，点 P 的坐标为__________，向量OP
(x，y，z) ． 的坐标也是__________
第二章
2.3
第1课时
2．向量坐标的求法 若向量a不在任何一个坐标平面内，把a的起点移到坐标原 点，以a为对角线，以x轴，y轴，z轴为棱，作长方体．长方体 坐标的绝对值 ．与平面向量一样，向量起点 各棱长就是相应______________ 在原点时，终点坐标就是向量坐标． 3．向量a在向量b上的投影 |a|cos〈a，b〉为 一般地，若b0 为b 的单位向量，称a·b0 ＝____________ 向量a在向量b上的投影．
第二章
2.3
第1课时
5．基底
(1) 空间中不共面的三个向量 e1 、 e2 、 e3 叫作这个空间的一 基底 个__________ ． (2) 空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个 基底 ． ________
(3)如果作为空间的一个基底的三个基向量两两互相垂直，
那么这个基底叫作__________ 正交基底 ．
第二章
2.3
第1课时
思路方法技巧
第二章
2.3
第1课时
空间向量的坐标表示
棱长为 1 的正方体 ABCD －A′B′C′D′中，E、F、G 分别为棱 → → DD′、 D′C′、 BC 的中点， 以{AB， AD， → AA′}为基底，求下列向量的坐标．
→ → → → → → (1)AE，AG，AF；(2)EF，EG，DG.
第二章
2.3
第1课时
6．特殊向量的坐标表示
若向量a平行x轴，则a＝(x,0,0)． 若向量a平行y轴，则a＝(0，y,0)． 若向量a平行z轴，则a＝(0,0，z)． 若向量a平行xOy平面，则a＝(x，y,0)．
若向量a平行yOz平面，则a＝(0，y，z)．
若向量a平行zOx平面，则a＝(x,0，z)．