第五章 静电场边值问题的解法

V V 1 2 1 2 S 1 2 1 2
9
(续) 续
而
∇ ⋅ Z = (Φ 1 − Φ 2 )(∇ ⋅ D1 − ∇ ⋅ D2 ) + (∇Φ 1 − ∇Φ 2 ) ⋅ ( D1 − D2 )
由于 ∇ ⋅ D1 = ∇ ⋅ D2 − E2 ) ⋅ ( D1 − D2 )
∞ ∞
Example：例 5.4(Page. 126) ： 解：写出四个边界条件 y=0, ϕ = 0 ; y=0, ϕ = 0
∑ q Φ ′ = ∑ q′Φ
i =1 i i i =1 i
m
m
i
证明：取一包围所有导体的闭合曲面，在这个曲面内又有各导 包围所有导体的闭合曲面 所有导体 曲面， 这个曲面 曲面内 证明： 表面构成 闭合曲面 它们之间 体积为 。 这个空间 构成的 曲面， 之间的 空间内 体表面构成的闭合曲面，它们之间的体积为 V。在这个空间内， 令ψ
2
解法 ： 单位点电荷在无界空间内产生的电位函数 由
1 Φ ( r , r ′) = 4πε 0 r − r ′ 可知上式在无界空间的解为
1 G0 ( r , r′) = ε 0Φ ( r , r′) = 4π r − r′
3
一、格林函数(Cont’d) 格林函数
解法 ：以点电荷所在点建立球坐标系，令 的空间， R = r − r ′ ，则在 R ≠ 0 的空间，格林函数满足拉普 拉斯方程： 拉斯方程：
若对应的常数为零， 若对应的常数为零，则解的形式应为线性函数
f ( x ) = A1 x + A2
15
Example 1：求如图长方形体积内的电位函数。 长方形体积 函数。 ： 如图长方形体积内 电位函数 边界条件 条件除了 电位不为 边界条件除了 z=c 面电位不为 其他各方面表面电位都为 表面电位 零外， 其他各方面表面电位都为 表面上给定的电位函 零，z=c 表面上给定的电位函 Φ = U ( x , y) 数为 U(x,y)。 。 对于边界条件要求 边界条件 解： 对于边界条件要求 x=0,a 平面上电位为 可知即是 平面上电位为零可知即是 要求 f(x)在 x=0,a 的平面 在 为零。 上为零。考察 f(x)的三种 的 形式： 平面上 排除了 形式：当要求 x=0 的平面上 f(x)=0 时，即排除了 指数函数形式； 函数形式 平面上 指数函数形式；当要求 x=a 的平面上 f(x)=0 时， 排除了双曲函数形式。因此， 函数形式 排除了双曲函数形式。因此，只有 f(x)为三角函 为三角函 形式时 满足边界条件的要求， 边界条件 数形式时才能满足边界条件的要求，即： 16
2 x 2 y 2 z
14
若对应的常数为实数，则解的形式应为三角函数 若对应的常数为实数，
f ( x ) = A1 sin( k x x ) + A2 cos( k x x )
若对应的常数为虚数， 若对应的常数为虚数，则解的形式应为指数函数 或双曲函数
f ( x ) = A1 exp(α x x ) + A2 exp( −α x x ) f ( x ) = A1 sinh(α x x ) + A2 cosh(α x x ) 式中 k x = iα x
∞ ∞ 2
2 1/ 2
z
nπ m π U ( x , y ) = ∑ ∑ C nm sin x sin y a b n =1 m =1 4 a b nπ m π C nm = ∫0 ∫0 U ( x, y) sin a x sin b y dxdy 18 ab
2 2
6
格林互易定理：如果当 导体上 电荷为 格林互易定理：如果当 m 个导体上的电荷为 q1，q2，…qm 时， 互易定理 它们的 电势等于 导体上 电荷为 它们 的 电势 等于 Φ1 ， Φ2 ， …， Φm ； 当 导体 上 的 电荷 为 q’1 ， ， q’2，…q’m 时，它们的电势等于Φ’1，Φ’2，…，Φ’m，则有 它们的电势等于 ，
处的边界条件， 同样为了满足 y=0,b 处的边界条件，g(y)解的形式为 解的形式为
mπ 其中 k y = b
mπ g ( y) = ∑ Bm sin( y) b m =1
∞
m = 1,2,3,⋯
17
对于 kz 则应满足
nπ m π k z = ± i ( k + k ) = ± i + = ± iα z a b 才能满 考察 h(z)的几种解的形式，只有 h(z)=sinh(αzz)的形式才能满 的几种解 形式， α 的形式才能 电位在 为零的边界条件 因此，电位函数 条件。 函数解 足电位在 z=0 面上为零的边界条件。因此，电位函数解的形 式为
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上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数， 上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数， 则有
d f ( x) 2 = −k x f ( x ) 2 dx 2 d g ( y) 2 = − k y g ( y) 2 dy d h( z ) 2 = − k z h( z ) 2 dz
其中
2
2
k +k +k =0
据δ函数的性质，有： 函数的性质， 的性质
C1 1 2 ⋅ 4πR0 = −1 ⇒ C1 = − 2 R0 4π
1 因此格林函数为 因此格林函数为 G0 ( r , r ′) = 4π r − r′
5
二、格林定理
格林第一恒等式
2
证明： 证明：令 A = φ∇ψ ，则
∂ψ ∫V (φ∇ ψ + ∇φ ⋅ ∇ψ )dV = ∫S φ ∂n dS
11
§5.3 分离变量法
一、基本前提 边界面与坐标系的坐标面一致；或分段地 边界面与坐标系的坐标面一致； 与坐标面一致 待求偏微分方程的解可以表示为三个函数 的乘积且每一个函数分别仅是一个坐标的 函数
Φ( x, y, z ) = f ( x ) g ( y)h( z ) Φ( r ,ϕ , z ) = f ( r ) g (ϕ )h( z ) Φ( r ,θ ,ϕ ) = f ( r ) g (θ )h(ϕ )
而
m
∫
最后有 最后有
Si
σ i′dS i = qi′
m
∫
m i
Si
σ i dS i = q
∑ q Φ ′ = ∑ q′Φ
i =1 i i =1 i
i
8
§5.2 唯一性定理
唯一性定理： 唯一性定理： 在每一类边界条件下， 在每一类边界条件下，泊松方程和拉普拉斯方程 的解都是唯一的。 的解都是唯一的。
Chapter V. 静电场边值问题的解法
☺分离变量法 ☺镜像法 ☺有限差分法
§5.1 格林函数
一、格林函数
引入广义函数―― 的电荷密度， 引入广义函数――δ函数描述单位点电荷的电荷密度，即：
0 ρ (r ) = δ (r − r ′) = ∞
r ≠ r′ r = r′
0 ∫τ ρ (r )dτ =∫τδ (r − r′)dτ = 1 产生的电位满足泊松方程： 则单位点电荷产生的电位满足泊松方程：
1 d 2 d ∇ G ( r , r′) = 2 R G0 ( r , r′) = 0 R dR dR
2
上式通解为： 其边界在 R → ∞ 及 R = 0 处。上式通解为：
C1 G0 ( r , r ′) = − + C2 R
应用 R → ∞ 时的边界条件可得 C2＝0。 。
在边界面上边界条件相同， 在边界面上边界条件相同，则无论 边界条件相同 第一类边界条件： 第一类边界条件： Φ 1
S
= Φ2 S ；
S
第二类边界条件： n ⋅ D1 第二类边界条件： 都有
= n ⋅ D2
S
∫ (E − E ) ⋅ (D − D )dτ = 0
V 1 2 1 2
⇒ E1 = E2
两个解相同，则解唯一，静电场唯一。 两个解相同，则解唯一，静电场唯一。
r ≠ r′ r = r′
∇ Φ = − δ ( r − r′) ε 0
2
或∇
2
(ε 0Φ) = −δ ( r − r′)
2
一、格林函数(Cont’d) 格林函数
定义格林函数 定义格林函数 G ( r , r ′) = ε 0 Φ ( r , r ′) ， 则其满足方程 为：
∇ G ( r , r ′) = −δ ( r − r ′)
证明：设存在两个解 Φ 1 和 Φ 2 ， 则 E1 证明 ：
= −∇Φ 1 ，
E 2 = −∇ Φ 2 ， D1 = εE1 ， D2 = εE 2 。 构造函数
Z = (Φ 1 − Φ 2 )( D1 − D2 ) ，对其求散度并积分，则 对其求散度并积分，
∫ ∇ ⋅ Zdτ = ∫ ∇ ⋅ [(Φ − Φ )( D − D )]dτ = ∫ (Φ − Φ )( D − D ) ⋅ dS
f ( x ) = A sin( k x x )
且
nπ kx = a
本征值与本征函数； 本征值与本征函数； 般情况下， 般情况下，f(x)的最一般解为 的最一般解为
n = 1,2,3,⋯
2π
若令 k x =
∞
λ
，则有 nλ
= 2a ； 一
nπ f ( x ) = ∑ An sin( x) a n =1
4
一、格林函数(Cont’d) 格林函数
作一包围 R = 0 点的小球τ，将方程两边乘以 dτ并积 分，
∫τ∇ G ( r , r ′)dτ = ∫τ∇ ⋅ ∇G ( r , r ′)dτ
2 0 0
C1 = ∫ ∇G0 ( r , r ′) ⋅ dS = ∫ 2 er ⋅ dS = − ∫ δ ( r − r ′)dτ S S R τ