关于幂级数在自然数列中的应用
浅谈幂级数在计算中的应用
当 f(x)的原函数不能用初等函数的有限形式表示出来时，
计算 f(x)的定积分就遇到了困难。现在，我们可以利用幂级数
展开式取有限项的办法近似计算这些定积分的值。具体计算
时，要求被积函数能够展成收敛的幂级数，且积分区间必须在
幂级数的收敛域之内，然后利用幂级数的逐项积分性质来计算
所求定积分的值。
例 1 证明
[关键词]绘画材料 媒介剂 变化
西方绘画——油画，真正意义上的 产生至今不过 500 年的历史，而此前欧 洲曾经历过古代胶彩画、蜡彩画、镶嵌 画、湿壁画、干壁画、坦培拉绘画以及坦 培拉与油画混合技法的漫长历史变迁， 直到 16 世纪以后，现代意义的油画才逐 步发展成熟，并作为西方主要画种统领 画坛直至 20 世纪。油画从某种意义上 来说也是材料技法的演变史，由于结合 剂的改变，绘画经历了从蜡画、镶嵌画、 干壁画、湿壁画、坦培拉绘画到油画的历 史变迁。
辽宁对外经贸学院 李玉萍
[摘 要]西方绘画经历了从蜡画、镶嵌画、干壁画、湿壁画、坦培拉绘画到油画的历史变迁，而绘画材料、颜料、媒介剂的变化 则促进了油画的发展。十五世纪欧洲北方画派的奠基人凡·爱克创造的绘画媒介剂“布鲁日光油”促成坦培拉绘画正式向油画 过渡，法国当代超写实主义画家克劳德·伊维尔创造的玛蒂树脂，则是古典油画技法不可缺少的重要材料。
· 283 ·
能够把一个复杂的性质以及一些不容易把握的函数表达成形
式最简单、性质最好的级数形式，所以用它解题往往思路清晰、
条理清楚。
一、幂级数在近似计算中的应用
我们通过 的近似计算来研究利用幂级数进行近似计算的
方法。 可用 arcsin x 的幂级数展开式取 x=1 近似计算，也可
用 arctan x 的幂级数展开式取 近似计算，我们不妨用前者
级数理论及其在初等数学中的应用正文
级数理论及其在初等数学中的应用级数理论是大学数学分析这门课程中的一部分，也是在许多相关数学分支与自然科学领域和生产实际中有着十分重要应用的基础知识。
如果能将级数知识的各部分内容有机的整合，领会知识的背景和作用，不仅能延伸到后续的其他内容或课程中，提高数学思维能力和数学方法的应用能力，还能从更深处解决初等数学中的部分问题。
1 级数理论部分1.1 级数的基本概念定义1（级数定义） 给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连结起来的表达式++++n u u u 21 （1）称为数项级数或无穷级数，简称级数，记为∑∞=1n n u ，其中n u 称为数项（1）的通项．数项级数（1）的前n 项之和，记为∑==nk k n u S 1，称之为（1）的前n 项部分和，简称为部分和．定义2 （级数收敛、发散定义） 若级数（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞→lim ），则称级数（1）收敛，并称S 为（1）的和，记为∑∞==1n n u S ．若{}n S 是发散数列，则称级数（1）发散．1.2 级数理论的知识体系级数理论包括常数项级数和函数项级数两大部分知识. 1.2.1常数项级数包括：概念、性质、收敛性判别法、绝对收敛与条件收敛。
其中在收敛性判别法中，根据常数项级数的不同类型又有相应的不同的判别方法。
详见附录1《常数项级数收敛性判别法》。
1.2.2 函数项级数.包括：概念、收敛域、一致收敛、幂级数、傅里叶级数。
下面重点谈一下幂级数及其收敛域。
因为基本初等函数在一定范围内都可展成幂级数，幂级数有许多方便的运算性质，在研究初等函数方面成为一个很有力的工具。
利用幂级数的展开式来表示函数，利用幂级数和函数.的分析性质等，常常能解决许多初等数学中的疑难问题。
1.2.2.1 幂级数的定义：形如()∑∞=-1n nnx x a 的函数项级数称为幂级数，通过变换可化为∑∞=1n nnxa1.2.2.2 幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域定理1（阿贝尔引理）对幂级数∑∞=1n n n x a ，若它在点00≠x 收敛，则对满足不等式0x x <的任何x ，幂级数∑∞=1n nn x a 亦收敛且绝对收敛；若∑∞=1n n n x a 在点00≠x 发散，则对满足不等式0x x >的任何x 都发散．由此易得幂级数∑∞=1n n n x a 的收敛域是以原点为中心的区间，若以R 2表示区间的长度，称R 为收敛半径，称()R R ,-为收敛区间，而收敛域可能包括收敛区间的端点．1.2.2.3幂级数的收敛半径R 的求法定理2 若ρ=∞→n n n a lim ，则当（1）+∞<<ρ0时，ρ1=R ；（2）0=ρ时，+∞=R ； （3）∞=ρ时，0=R ．注 当n n n a ∞→lim 不存在时，可以上极限代之，结论不变． 定理3 若ρ=+∞→nn n a a 1lim，则当（1）+∞<<ρ0时，ρ1=R ；（2）0=ρ时，+∞=R ； （3）∞=ρ时，0=R ． 注 我们知道：若ρ=+∞→nn n a a 1lim，则ρ=∞→n n n a lim ．这样，从理论上讲，定理2是定理1的特例，但在实际应用中各有优势，当函数项级数的系数为n 次幂的形式，常用定理18；若系数含有阶乘或连乘积的形式，则常用定理2 ．若定理上极限代之，结论仍然成立． 1.2.2.4 幂级数的性质1中的极限不存在，则可用定理4 若∑∞=1n n n x a 的收敛半径0>R ，则它在()R R ,-内任一闭区间都一致收敛且绝对收敛；若∑∞=1n nn R a 收敛，则∑∞=1n n n x a 在[]R ,0一致收敛．定理5 若幂级数∑∞=1n n n x a 的收敛半径0>R ，则其和函数在()R R ,-内连续、可积、可微，且有任意n 阶导数，并满足逐项可积和逐项求导法则．注 幂级数与其诱导级数（逐项求导或求积）具有相同的收敛半径，但其收敛域有可能变化，即收敛区间端点的收敛性可能发生变化． 1.2.2.5函数的幂级数展开1 泰勒级数若f 在()0x U 存在任意阶导数，称幂级数()()()()()() +-++-'+n n x x n x f x x x f x f 00000!为函数()x f 在0x 的泰勒级数．注（1）泰勒级数未必收敛；（2）泰勒级数即使收敛，亦未必收敛于()x f ．如()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-0,00,21x x e x f x 在0=x 点．2 收敛定理定理6 设f 在点0x 具有任意阶导数，那么f 在()0x U 内等于它的泰勒级数的和函数的充分必要条件是：)(0x U x ∈∀，()0lim =∞→x R n n ．这里()x R n 是f 在0x 的泰勒公式余项．定理7 若函数f 在()0x U 存在任意阶导数，且0>∃M ，有()()M x f n ≤， ,2,1=n ，()0x U x ∈，则()()()()∑∞=-=000!n n n x x n x f x f ． 若函数()x f 在0x 的泰勒级数收敛于()x f ，则称泰勒级数为f 在0x 的泰勒展开式或幂级数展开式，也称f 在0x 可展为幂级数或泰勒级数．当00=x 时的泰勒级数又称为马克劳林级数．3 初等函数的幂级数展开式（1）∑∞==0!n n xn x e ，R x ∈；（2）()()∑∞=----=1121!121sin n n n n x x ，R x ∈；（3）()()∑∞=-=02!21cos n nnn x x ，R x ∈；（4）()()∑∞=--=+1111ln n n n nx x ，]1,1(-∈x ；（5）()()()∑∞=+--+=+1!1111n n x n n x αααα，当1-≤α时，()1,1-∈x ；当01<<-α时，]1,1(-∈x ；当0>α时，]1,1[-∈x ；（6）∑∞==-011n n x x ，1<x ；（7）()∑∞=-=+0111n n nx x ，1<x ．2 级数理论在初等数学中的应用2.1 采用幂级数定义三角函数三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。
关于幂级数在自然数列中的应用
R3 ( x) =
1 ( n + 2) ( n + 1) n2 ( n - 1) ( n - 2) ( n2 + 5) xn- 3
n= 0 7!
由 ( 16)式得
R3 ( x) =
a2 b2 c2 xn- 3
n= 0 a+ b+ c= n
比较 ( 22), ( 23)式的 xn- 3的系数得
a2 b2 c2 =
2 定理的证明
定理 1的证明
设 G ( x ) = tn xn ( t为自然数 )
( 1)
n= 0 n!
由 ( 1)式得 G ( x ) =
tn xn = etx
n= 0n!
则 有 Gs ( x ) = etsx = ( ts)n xn
( 2)
n= 0 n!
20
王永兴, 等 : 关于幂级数在自然数列中的应用
作者简介: 王永兴 ( 1966 ), 男, 陕西华县人, 渭南师范学院数学系讲师, 西安电子 科技大学博士研究生, 从事密码 学研
究.
1 引言与主要结论
在文 [ 1 ]中, 美国数论专家 F. Sm arandache提出了初等数论及集合论中 105个未解决的问题让大家研
究, 其中有 5个问题是关于自然数数列的性质问题. 文 [ 2] , [ 3] 是对自然数数列均值的研究, 作者在本文中
根据幂级数乘法, 由 ( 1)式得,
Gs ( x) =
tk1 tk 2
n= 0 k1+ k2+ + k s= n k1! k2!
tks xn =
tn
ks!
n= 0 k 1+ k 2+ + k s= n k1! k2!
幂级数的定义及其收敛性分析
幂级数的定义及其收敛性分析幂级数是数学中重要的一类级数，它在各个数学分支中有着广泛的应用。
本文将介绍幂级数的定义，并对其收敛性进行分析。
一、幂级数的定义幂级数是指形如∑(an*x^n)的级数，其中an为系数，x为变量，n为指数。
其中，an可以是实数也可以是复数，x可以是实数或复数。
幂级数的一般形式为：∑(an*x^n) = a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + ... + an*x^n + ...二、幂级数的收敛性分析对于幂级数的收敛性，我们需要分析其收敛域。
收敛域是指幂级数在哪些点上收敛，以及在哪些点上发散。
1. 收敛半径收敛域的核心是收敛半径，记作R。
幂级数在收敛半径范围内收敛，在其外发散。
收敛半径的计算可以使用伯努利、根值或比值法等。
2. 收敛域类型根据收敛半径的值，幂级数的收敛域可以分为三种类型：a) 当R=0时，幂级数在x=0处收敛；b) 当0<R<∞时，幂级数在(x-R, x+R)范围内收敛；c) 当R=∞时，幂级数在整个定义域内收敛。
3. 边界收敛如果幂级数在某个或某些边界点上收敛，但在该边界范围内不一定绝对收敛，只是条件收敛。
这种情况称为边界收敛。
三、幂级数的应用幂级数在数学中有着广泛的应用，下面简要介绍几个常见的应用领域：1. 函数展开幂级数可以用来展开各种函数，使其在某个特定区间上变为幂级数形式。
利用这种展开，我们可以方便地对函数进行近似计算，提高计算的精度和效率。
2. 微分方程幂级数可以用来解微分方程。
通过将微分方程变换成幂级数形式，再求解该幂级数，可以得到微分方程的解析解。
3. 物理应用幂级数在物理学中有着广泛的应用。
例如，波函数展开、场变量展开等都可以利用幂级数进行表示和计算。
四、结论幂级数作为一种重要的数学工具，在数学和物理学中有着广泛的应用。
本文介绍了幂级数的定义，讨论了幂级数的收敛性及其应用领域。
通过对幂级数的研究，可以深入理解其在数学和自然科学中的重要作用。
幂级数的应用
[10]赵瑜.浅谈幂级数在计算中的应用.
[11]屈红文.幂级数在积分中的应有[J].科技信息2009(28).
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4.学科研究法；
5.经验总结法.
六、研究手段
通过中国知识网、中国期刊网、中国数字化期刊和万方网搜索引擎了解相关知识内容，阅读相关的参考书、报纸以及从图书管查阅相关资料，在指导老师的帮助下近一步深入研究。
七、课题的进度安排
为了有准备有计划的完成毕业论文，需要安排一个毕业论文进度计划。按照进度计划来安排时间，并及时的完成毕业论文工作。
吕梁学院毕业论文（设计）开题报告
（学生用表）
课题
幂级数的应用
系别
数学系
专业
数学与应用数学
学科
数学
学生
韩红霞
指导教师
张润玲
一、研究课题的来源及意义
幂级数是函数级数的一种特殊情形，也是数学分析中非常重要的内容，不论在数学方面还是其它的学科中都有广泛的应用。基本初等函数以及函数在一定的范围都可以展成幂级数的形式，通过幂级数所具有的性质对其函数的研究和应用，将成为研究函数的一种有效手段，同时给问题的解决带来一些方便。
幂函数在实际问题中的应用
幂函数在实际问题中的应用幂函数是数学中重要的函数之一，它的形式可以表示为y = ax^b，其中a和b是任意实数，x是变量。
幂函数在实际问题中广泛应用，涵盖了许多领域，如物理学、经济学和生物学等。
本文将探讨幂函数在实际问题中的应用，并以几个实际案例来说明。
一、物理学领域在物理学中，幂函数常常用于描述与物理量相关的关系。
例如，牛顿的万有引力定律可以用幂函数来表示，即引力的大小与两个物体质量的乘积成正比，与两个物体之间的距离的平方成反比。
这可以写成F = G * (m1 * m2)/r^2，其中F是引力的大小，m1和m2是两个物体的质量，r是两个物体之间的距离，G是一个常量。
另一个例子是电阻与电流关系的描述。
欧姆定律指出，电阻与电流之间存在线性关系，可以表示为V = IR，其中V是电压，I是电流，R 是电阻。
然而，当电流与电压的关系不是线性的时候，可以使用幂函数来描述这种关系。
二、经济学领域在经济学中，幂函数常常用于描述市场供需模型和市场竞争模型。
供需模型中，价格和数量之间的关系常常通过幂函数来表示。
供需曲线的形式为q = ap^b，其中p是价格，q是数量，a和b是常量。
这个幂函数描述了市场上的供需关系：价格上涨，供应量下降，需求量增加。
市场竞争模型中，幂函数可以用于描述企业的市场份额和市场规模之间的关系。
一个常用的模型是康托尔模型，其中企业的市场份额与企业数量的幂函数相关。
这个模型可以用来研究市场竞争对企业份额分配的影响。
三、生物学领域在生物学领域，幂函数常常用于描述生物体的增长和生物多样性。
例如，生物体的体积与质量之间的关系通常是一个幂函数。
随着生物体体积的增加，其质量也会相应增加。
这可以用来研究动物的生长和发育过程。
此外，幂函数还可以用来描述生物多样性的分布。
经验研究表明，物种丰度与物种的体积或质量之间存在幂函数关系。
这意味着在一个生态系统中，少数物种的丰度非常高，而大多数物种的丰度较低。
结论幂函数在实际问题中具有广泛的应用，涵盖了物理学、经济学和生物学等多个领域。
幂级数及其在近似计算中的应用解读
1 x 1
x
2 n 1 x3 x5 x n x ( 1 ) sin x 2、 3! 5! (2n 1)!
x2 xn 3、 e 1 x 2! n!
x
x
2 4 2n x x x n 4、cos x 1 (1) x 2! 4! (2n)! n 1 x2 x3 x (1) n 1 x 1 5、 ln(1 x) x 2 3 n 1
部分和数列
2， 3， 时，得到一个新的数列 当 n 依次取 1，
s1 u1
s2 u1 u 2
s3 u1 u2 u3
……
……． un 数列 sn 称为级数 的部分和数列． n 1
sn u1 u2 u3
un
第一节 幂级数及其在近似计算中的应用
第一节 幂级数及其在近似计算中的应用
0.5
0.55
0.45
0.5
0.45
0.4
0.4
0.35
0.35
0.3
0.3
0.25
0.25
0.2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
图1
0.2
0.15
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
图2
n n 0
n
n 0
幂级数的收敛区间 幂级数 a n x n 的收敛半径为 R lim n
函数幂级数的展开和应用
函数幂级数的展开和应用我们称形如200102000()()()()nn nn n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-++-+∑的级数为幂级数，它是一类最简单的函数项级数.从某种意义上说，它也可以看作是多项式函数的延伸.幂级数在理论和实际上都有很多应用，特别在应用它表示函数方面，又由于函数幂级数的逐项求导和逐项可积等好的运算性质，为函数的研究和应用提供了便利的条件.1 函数幂级数展开的条件函数()f x 可以在点0x x =作幂级数展开，是指存在0x x =，使得在（r x r x +-00,）上，00()()n n n f x a x x ∞==-∑ （1） 其中()f x 是此幂级数的和函数.根据幂级数的逐项可积性，若函数()f x 能表示成幂级数()nnn a x x ∞=-∑且其收敛半径0r >，则函数()f x 在区间(,)r r -上有任意阶导数，且1'1()()n nn f x na x x -∞==-∑，'01()f x a = ，，()()00()()!,!n n n f x fx n a n ==因此自然会提出下述问题，是否每一个在区间(,)r r -上有任意阶导数的函数()f x 一定能在区间上展成形如()nnn a x x ∞=-∑的幂级数呢？回答是不一定的.例1 在),(+∞-∞上具有任意阶导数的函数21()0x e f x -⎧⎪=⎨⎪⎩ 00x x ≠=，易验证当0x ≠时，21'32()x f x e x -= ， 2211''4664()x x f x e e x x--=-+ ，一般来说，有21()1()()n x n fx P e x -= （0x ≠），其中1()n P x 是关于1x的某个多项式.令21t x =，易得21201lim lim 0mx m t x t te x e-→→+∞==.由此可知21()()0001lim ()lim ()lim ()0n n x n x x x fx f x P e x-+-→→→=== ),2,1,0( =n ，又因为()f x 在0x =处连续，所以有'(0)0f =.类似逐次可推得()(0)0n f = ),3,2( =n 所以()f x 在0x =的幂级数为200002!!nx x n +⨯+++显然它在),(+∞-∞上收敛，且其和函数()0s x =. 但是，()f x 只在0x =处为零值.0x ∀≠，都有 ()()f x s x ≠.上述例子告诉我们：具有任意阶导数的函数，其幂级数（泰勒级数）并不是都收敛于函数本身.那么具备什么条件的函数()f x ，它的幂级数（泰勒级数）才能收敛于()f x 本身呢？定理1 设()f x 在点0x x =具有任意阶导数，那么()f x 在区间00(,)x r x r -+内等于它的泰勒级数的和函数的充分必要条件是：对一切满足不等式0x x r -<的x ，都有lim ()0n n R x →∞=.这里()n R x 是()f x 在0x 的泰勒公式余项.应用定理1 判别一个函数是否可以展成泰勒级数常常是不方便的，我们有如下充分条件： 定理2 设()f x 在00(,)x r x r -+内有任意阶导数,若存在0M >，使得00(,)x x r x r ∀∈-+，及 ,2,1,0=∀n ， 有 ()()n n f x M ≤ (2) 则 ()000()()()!n n n f x f x x x n ∞==-∑(3) 证明 由条件(2)得，00(,)x x r x r ∀∈-+有()0()()0!!n n n nf M r x x n n ξ-≤→ ()n →∞ 即得所证. 若()f x 在0x 这一邻域内可以展开成泰勒级数，即+-++-+-+=n n x x n x f x x x f x x x f x f x f )(!)()(!2)())(()()(00)(200''00'0（4） 则（4）的右边为()f x 在0x x =处的泰勒展开式，或称幂级数展开式.在实际应用中，主要讨论函数在00x =处的展开式，这时（4）式可以写作+++++=nn x n f x f x f f x f !)0(!2)0()0()0()()(2'''，称为麦克劳林级数，简称幂级数.2 函数幂级数的展开一般说来，可以将一个函数展成幂级数的方法分为直接展开法和间接展开法，下面就这两种方法做一一介绍.2.1 直接展开法这种方法也可以称其为余项估算法.设()f x 在0x x =处任意次可导，记()000()()()()!k nk n k f x R x f x x x k ==--∑()k N +∈，若()000()()()!n n n f x f x x x n ∞==-∑，只需0()x U x ∀∈，有lim ()0n n R x →∞=.当00x =时，()n R x 的各种表达式：()()n n R x x ο= （佩亚诺型余项）；(1)1()()(1)!n n n f R x x n ξ++=+，ξ在0与x 之间 （拉格朗日型余项）；(1)01()()()!x n n n R x x t f t dt n +=-⎰（积分型余项）； (1)1()()(1)!n n n n f x R x x n θθ++=-，01θ≤≤（柯西型余项）；佩亚诺型余项只是定性的描述了余项的性态不利于具体估算误差，所以我们常用其它三种余项形式.用直接展开法可得[1](5457)P -：201111!1!2!!n xnn x e x x x n n ∞===+++++∑ ，(,)x ∈-∞+∞;213210(1)11sin (1)(21)!3!(21)!n n nn n x x x x x n n ∞++=-==-++-+++∑ ，(,)x ∈-∞+∞;2220(1)11cos 1(1)(2)!2!(2)!n n nn n x x x x n n ∞=-==-++-+∑ ，(,)x ∈-∞+∞;12311(1)111ln(1)(1)23n n n nn x x x x x x n n-∞-=-+==-+-+-+∑ ，(1,1]x ∈-;2(1)(1)(1)(1)12!!nn x x x x n ααααααα---++=+++++，(1,1)x ∈-;arctan x =3521210(1)(1)213521n n n nn x x x x x n n +∞+=-=-+-+-+++∑ ，[1,1]x ∈-;211(21)!!arcsin (2)!!21n n n x x x n n +∞=-=++∑ ，[1,1]x ∈-;例2 求函数23()3247f x x x x =+-+在1x =处的幂级数展开式.解 由于'21(1)8,(1)(2821)15,x f f x x ===-+=''1(1)(842)34x f x ==-+=，'''()(1)42,,(1)0n f f ==，（3n >），从而总有 lim ()0n n R x →∞=（其中(1)1()(),(1)!n n n f R x x n ξ++=+ξ在0与x 之间），所以23233442()815(1)(1)(1)815(1)17(1)7(1)2!3!f x x x x x x x =+-+-+-=+-+-+- 例3 求2()sin f x x =的幂级数展式.解 由于'''00(0)0,(0)(sin 2)0,(0)(2cos 2)2,x x f f x f x ======='''(4)00(0)(4sin 2)0,()(8cos 2)8x x f x f x x ===-==-=-,,(21)(2)121(0)0,(0)(1)2,n n n n f f ---==- ，因此2122412282sin (1)(,)2!4!(2)!n n nx x x x n --=-++-+-∞+∞;x ∀，级数的拉格朗日余项2212()(21)!n n n R x x n +≤+,显然有lim ()0n n R x →∞=. 所以上述展式成立.2.2 间接展开法上面讨论的几个函数展开都是采用直接展开法.一般说来，求函数的各阶导数比较麻烦，尤其要检验余项是否趋向于零，往往不是一件容易的事.因此，在可能的情况下，我们总是尽可能不用直接方法，而采用间接方法把已给函数展成幂级数，所谓间接展开法指的是，利用已知的函数展开式作为出发点，把给定函数展开成幂级数.由于函数展成幂级数的唯一性，用这种方法展开的结果应与直接方法展开的结果完全一致.在实际的练习中，将初等函数展开为幂级数，要用到多种方法，现将其常用的方法归结如下： 2.2.1通过变形，利用已知的展开式例4 将下列函数展成x 的幂级数.1）241()(1)(1)(1)f x x x x =+++ 解 241()(1)(1)(1)f x x x x =+++811x x -==- 8898810(1)1n n n n x x x x x x x ∞+=-=-+-++-+∑ ,(11)x -<<.2）3()sin x x ϕ=解 2121300313(1)1(1)(3)sin sin sin 3444(21)!4(21)!n n n n n n x x x x x n n ++∞∞==--=-=-++∑∑34=2210(1)(13)(21)!nn n n x n ∞+=--+∑ , (,)x ∈-∞+∞. 例5 设0x >，求证：㏑x =2[ ++-++-++-53)11(51)11(3111x x x x x x ] 证明 令11x t x -=+即11tx t+=-，从而 121111ln ln ln(1)ln(1)(1)(1)1n n n n n n t t t x t t t n n ∞∞--==+==+--=----∑∑ 1211211111[(1)(1)][(1)(1)]()1nn n n n n n n t x n n x ∞∞----==-=---=---+∑∑ 35111112[()()]13151x x x x x x ---=++++++例6 求函数2()(1)(1)xf x x x =--的麦克劳林展式. 解 设222(1)(1)(1)(1)11(1)x x A B C x x x x x x x ==++--+-+--得111,,,442A B C =-=-=又221(1)(1)(1)n n x n x x ∞-==-=+-∑，01(1)1n n n x x ∞==-+∑，011nn x x ∞==-∑ （11x -<<） 所以20011(1)11(1)((1))()(1)(1)2222n n n nn n x n x n x x x ∞∞==+---=+-=+--∑∑，（11x -<<） 2.2.2 利用逐项积分或逐项微分法 例7 求2()xt F x e dt -=⎰的幂级数展开式.解 将2x -代替xe 展式中的x ，得+-+++-=-nn x x n x x e242!)1(!21!1112，()x -∞<<+∞.再逐项求积分就得到()F x 在（,-∞+∞）展开式2357210111(1)()1!32!53!7!21n n xt x x x x F x e dt x n n +--==-+-++++⎰ .例8 试求22()arctan2xf x x =-的幂级数展开式. 解 2''22000221()()(arctan )(1)221()2xxx t t f x f x dt dt dt t t ===+-+⎰⎰⎰ =2400(1)(1)()24nxn n t t dt ∞=+-∑⎰ (t < 2222222234500[1()()()()](1)()222222n xx nn t t t t tt dt dt ⎡⎤∞⎢⎥⎣⎦==+--++-=-∑⎰⎰2120(1)2(21)n n n n x n⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦==-+∑，(t <当x =2122011111(1)(1))2(21)21357911n n nnn n n n ⎡⎤⎡⎤+∞∞⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦==-=-=+--++-++∑∑001111111(1)()()2((1)(1))3579114143n nn n n n ∞∞==⎤=+-+++-=-+-⎥++⎦∑∑可见x=x =22()arctan2xf x x=-在x =所以上面展式在⎡⎣上成立.2.2.3 利用待定系数法 例9 求2sin 12cos x x xαα-+ (1)x <的幂级数展式. 解 设2sin 12cos n n n x a x x x αα∞==-+∑,则20sin (12cos )nn n x x x a x αα∞==-+∑232323012301201(2cos )(2cos )(2cos )a a x a x a x a x a x a x a x a x ααα=++++---++++比较等式两边同次幂的系数，得0120,sin ,sin 2,,sin n a a a a n ααα====，这里用到三角恒等式sin(1)2sin cos sin(1)n n n αααα+=⋅-- (2,3,)n =，所以 原式= ++++nx n x x αααsin 2sin sin 22.2.4 利用级数的运算（加，减，乘，复合） 例10 求2()ln (1)f x x =-的幂级数展开式.解 由于10ln(1)1n n x x n +∞=-=-+∑在[1,1)-上内闭一致收敛，故[1,1)-上可用级数乘法2321111111111()()23121321n n x x f x x x n n n n ∞+=⎡⎤=----=++++⎢⎥--⎣⎦∑ =()()111111111()()(1)11nn n n n k n k k n k x x k n k n k n k ∞∞++====++-⎡⎤⎣⎦=+-++-∑∑∑∑ 111111111112111n n n n n k n k x x n n k k n k ∞∞++====⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎢⎥++-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑ 1111121231n n x n n +∞=⎛⎫=++++ ⎪+⎝⎭∑ 上面的展式在[1,1)-内成立.例11 求()()111x f x x e =+按x 的幂的展开式至三次项.解 ()()111x f x x e=+()()111111ln 11nn n x x x nxee∞-=--+-∑== (1)x <= +-+-43232x x x e23232323111()()()23422346234x x x x x x x x x =+-+-++-+-++-+-+)11(,167241121132<<-+-+-=x x x x 2.2.5 其它方法举例例 12 求函数()sin xf x e x =的麦克劳林级数的前四项. 解23521111111sin (1)((1))1!2!!3!5!(21)!x nnn e x x x x x x x x n n +=+++++-+++-++233441111()()3!2!3!3!x x x x x x =++-++-++ 2313x x x =+++3 幂级数的应用3.1 计算积分 例13 计算积分120ln 1xdx x -⎰ 解 11112222220000ln 1ln ln ln 111x x x x dx xdx xdx xdx x x x -+==+---⎰⎰⎰⎰ 因为10ln 1xdx =-⎰，及2221ln ln 1nn x x x x x ∞==-∑，故 原式=12101ln n n x xdx ∞=-+∑⎰. 又知级数21ln nn xx ∞=∑虽然在(0，1]上不一致收敛，但仍可在(0，1]上逐项积分①，因此原式12011ln nn x xdx ∞==-+∑⎰()()2211112121n n n n ∞∞===--=-++∑∑()()22220111111()2212n n n n n n ∞∞∞====-+++∑∑∑2222221111126248n n nnπππ∞∞===-+=-+=-∑∑ 例14 计算22cos(sin )x x d πθπ⎰解 因()()21(sin )cos sin 11(2)!k kk x x k θθ∞==+-∑ ()()221sin 112!k k kk x k θ∞==+-∑ ， (,)x ∈-∞+∞故2222222001122(1)(1)cos(sin )sin 12(2)!(!)2k k k k kk k k xx x d d k k πππθθθθππ∞∞==⎡⎤--=+=+⎢⎥⎣⎦∑∑⎰⎰ 3.2 证明不等式幂级数是表达函数的重要工具，因此也可应用于证明函数不等式. 例15 证明不等式222,(,)x x x e e e x -+≤∈-∞+∞ 证明 因2022(2)!n xxn x e echx n ∞-=+==∑,222022(2)!!x nn x e n ∞==∑,而22(2)!(2)!!n n x x n n ≤,故222,xx xe e e -+≤ 例16 确定λ的值，使得22,(,)x x x e e e x λ-+≤∈-∞+∞解1）若上述不等式成立，则有222220001110()()2!2!2!2!x x n n n n n x n nn n n n n n n e e x x x x e n n n n λλλλ-∞∞∞∞====+≤-=-=-=-∑∑∑∑ 两端除以2x ，再令0x =，可得12λ≥.2）若12λ≥ ，则有22222002(2)!2!x x x n nx n n n e e x x e e n n λ-∞∞==+===≤∑∑3.3 近似计算幂级数常常用于近似计算. 例17 求下列各值的近似值： （1）e ，使误差小于0.001；解 在xe 的展开式中令1x =，得111112!3!!e n =++++++ 若取上述级数的前(1)n +项作为e 的近似值，即设111112!3!!e n ≈+++++则误差11(1)!(2)!n R n n =++++ 111[1](1)!2(2)(3)n n n n =+++++++2111111[1]1(1)!1(1)(1)!!11n n n n n nn <+++==++++-+ 所以要使0.001n R <，只要!1000n n >，可算出当6n =时就满足要求.因而可取前七位即可，即11111 2.7182!3!6!e ≈+++++= （2）6π，使误差小于0.001；解 在arcsin x 的展开式中令12x =，得3521111131(21)!!1622322452(2)!!(21)2n n n n π+⨯-≈+++++⨯⨯⨯+若取前(1)n +项作为6π的近似值，误差2325(21)!!1(23)!!1(22)!!(23)2(24)!!(25)2n n n n n R n n n n ++++=++++++2324(21)!!111(1)(22)!!(23)222n n n n ++<+++++234(21)!!13(22)!!(23)2n n n n ++=++要使0.001n R <，只要使上式右端小于0.001即可，不难算出当2n =时即满足要求，因而取前三项即可，即45111310.52362322452π⨯≈++=⨯⨯⨯ 3.4 应用幂级数性质求下列级数的和 例18()11!n nn ∞=+∑ 分析 ()11!n n n ∞=+∑是幂级数()111!n n nx n ∞+=+∑的和函数在1x =处的值.解 设()()111!n n nf x x n ∞+==+∑ ()x -∞<<+∞， 则()1110'()1!(1)!!n n nx n n n x x x f x x x xe n n n -∞∞∞=======--∑∑∑ ()x -∞<<+∞，所以0()(0)'()1xxtxxf x f f t dt te dt xe e =+==-+⎰⎰，从而()1(1)11!n nf n ∞===+∑.3.5 利用函数的幂级数展开式求下列不定式极限 例19 21lim ln 1x x x x →∞⎡⎤⎛⎫-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦解 因为23311111ln 123o x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以 原式223311111111lim lim 23232x x x x x x x x x x x x οο→∞→∞⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--++=-+-+=⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎩⎭ 例20 3arcsin limsin x x x x→∞-解 因为()()331arcsin ,sin 6x x x o x x x o x =++=+，所以原式=()()()()()333333311166lim lim 6x x x x x o x x o x x o x x o x →∞→∞⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭==-++ 3.6 求幂级数的和函数例21 +++++++12531253n x x x x n 解 设2121n n x n μ+=+，因21lim n x nu x u +→∞=，故原级数的收敛半径1R =，又当1x =±时，原级数可化为0121n n ∞=⎛⎫± ⎪+⎝⎭∑发散，从而得收敛域为(1,1)-. 设()()21021n n x S x n +∞==+∑ ()()1,1x ∈-，在()1,1x ∈-内逐项求导，得()2201'1nn S x x x ∞===-∑， 故和函数()()()2011'0ln 121xxdt xS x S t dt S t x +==+=--⎰⎰ ()1,1x ∈-. 例22 求幂级数()()211nn n x n n ∞=--∑的和函数. 解 易知原级数的收敛域为[1,1]-.记()()21()1nn n F x x n n ∞=-=-∑，则()()()()()1222111'()()'()'111nnnn nn n n n F x x x x n n n n n ∞∞∞-===---===---∑∑∑，()()()()21122222111''()()'()'1111nnn n n n n n n n F x xxnxx n n x ∞∞∞∞----====--===-==--+∑∑∑∑故()001'()''()ln 11xxF x F t dt dt x t ===++⎰⎰， ()()()0()'()ln 11ln 1xxF x F t dt t dt x x x ==+=++-⎰⎰，所以()()()()211ln 11n n x x x x n n ∞=-=++--∑ ,(1,1)-.注释： ① 求证级数21ln nn xx ∞=∑虽然在(0,1]上不一致收敛，但仍可以在(0,1]上逐项积分证 1当1x =时级数通项()211ln |0nn x u x x ===．当01x <<，21nn xlnx ∞=∑为等比级数，所以和22ln ()10x x S x x⎧⎪=-⎨⎪⎩， 011x x <<= 时，可见211(10)lim ln(1(1))(1).(1)(1)2x x S x S x x -→-=--=≠+- 故 该级数非一致收敛（根据和函数连续定理）.2（证明能逐项积分）因22222221ln ()ln ln ,11n kn n k n x x x R x x x x x x x +∞=+===⋅--∑其中220ln lim 1x x xx +→-及221ln lim 1x x x x -→-都有有限极限，且22ln 1x x x -在(0,1)内连续，所以22ln 1x x x -在(0,1)内有界，即0M ∃>，使得22ln ||1x xM x ≤-，故 2|()|n n R x M x ≤⋅, 11120|()||()|0().21n n n MR x dx R x dx M x dx n n ≤≤=→→∞+⎰⎰⎰ 此即表明1lim ()0.n n R x dx →∞=⎰级数可以逐项取积分.。
幂级数的应用
幂级数的应用
幂级数在许多领域中具有广泛的应用，以下列举几个常见的应用：
1. 函数逼近：幂级数可以用来逼近许多函数，从而简化函数的计算和分析。
例如，泰勒级数可以逼近任意光滑函数，因此可以用于求解微积分和微分方程。
2. 数值计算：幂级数可以用于计算各种复杂函数的数值解，如三角函数、指数函数、自然对数等等。
这些函数的计算可以通过幂级数展开进行近似计算，从而减少计算的复杂度。
3. 物理应用：幂级数在物理学中也有诸多应用，例如量子力学中描述物质波动的薛定谔方程等均可以转化为幂级数的形式进行计算。
4. 建模：幂级数也可以用来建立数学模型，并对模型的参数进行优化。
例如，广泛应用于机器学习和深度学习中的神经网络模型就可以使用幂级数作为关键数学工具。
5. 统计学：幂级数还可以用于建立的概率模型，如泊松分布、正态分布等。
这些模型可以拟合真实世界中的数据，并用于预测和决策。
函数幂级数的展开与应用文献综述
---------------------------------------------------------------范文最新推荐------------------------------------------------------ 函数幂级数的展开与应用+文献综述摘要：函数幂级数的展开与应用能解决许多疑难问题.首先本介绍了函数幂级数的一些基本知识，如函数幂级数收敛半径的确定的、幂级数的性质等等.其次，介绍了函数能展成幂级数的条件及几种不同的方法及展开形式.最后探究函数幂级数在近似计算、计算定积分、三角级数的求和、和线性递归数列等数学问题中的应用关键词：幂级数；收敛半径；近似计算；线性递归数列11057Analyses the Application of the Power Series ExpansionsAbstract：Expand the function and application of power series can solve many difficult problems.Firstly, we introduce some basic knowledge of the power series of1 / 6unctions,such as determining the function of the radius of convergence of power series,the nature of power series, etc.Secondly, it introduces function can be developed into a power series of conditions and in several different ways, and expanded form.Finally,explore the functions iin power series approximation to calculate the definite integral,summation of trigonometric series math problems,and linear recursive sequences, such as the application.Key words：Power Series;Convergence Radius;Approximate Calculation ;Linear Recurrent Sequence目录摘要1引言2---------------------------------------------------------------范文最新推荐------------------------------------------------------ 1.准备知识31.1幂级数的基本知识31.2幂级数的性质42函数幂级数展开42.1函数幂级数的展开方法53函数幂级数的应用103.1近似计算103.2计算定积分113.3求数项级数的和12本文主要从函数幂级数基本知识着手，首先介绍函3 / 6数幂级数展开的基本知识，如函数幂级数收敛半径的确定的、幂级数的性质等等.其次，介绍了函数能展成幂级数的条件及几种不同的方法及展开形式.最后探究函数幂级数在近似计算、计算定积分、三角级数的求和、和线性递归数列等数学问题中的应用.1准备知识1.1幂级数的基本知识定义1.1.1(1)的函数项级数称为实系数幂级数。
幂级数在函数领域的应用
幂级数在函数领域的应用赵青波（三门峡职业技术学院公共教学部，河南三门峡472000）摘要:幂级数是数学领域中的一种基础知识，同时也是数学计算中的一种重要“工具”，其在函数领域中有着较为广泛的应用，如在复变函数等领域中。
幂级数在函数领域中的应用决定了其在函数计算等过程中的重要性，一般来说，运用幂级数求函数的高阶导数、求数值级数的和、应用在近似计算中、应用在微分方程的解法、。
在数学解题过程中，通过把握幂级数在函数应用中的关键点，也能够起到事半功倍的作用，本论文通过分析幂级数在函数中具体应用的基础上，阐述幂级数在函数中应用的关键点，以此来多方位的展示出幂级数的在函数中的应用。
关键词：幂级数；函数；应用引言幂级数在函数中的应用是数学计算中解决函数问题的一种有效思路，同时也能够为函数类型题的计算提供一种“捷径”，通过对幂级数的性质进行分析，能够观察到，幂级数与函数之间存在着关联性，这也是幂级数作为函数解题“工具”的基础。
如幂级数是函数函数项级数中最基本的一类，在幂级数的收敛域上与函数之间存在的明确的关联性，在收敛域上函数项级数的和是x的函数，称为函数项级数的和函数。
本文通过对幂级数概念与性质的阐述，结合具体的解题思路，对幂级数与函数的应用进行分析。
一、幂级数概述幂级数是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。
以幂级数常见的三个性质为例，以下进行阐述。
1.∑an xn在|x|＜R内绝对收敛，在|x|＞R内发散，其中R称n=a为收敛半径，此时再根据Hadamard公式进行相应计算。
2.如果函数S（x）是收敛域（-a,a）上的连续函数，则S（x）在x=a 左连续。
3.在收敛半径（-a,a）的范围内，幂级数可以任意次逐项求导或者求和，并且产生的新的幂级数的收敛半径不变。
二、幂级数在函数中的具体应用（一）利用幂级数求函数的高阶导数在常规数学计算中，将幂级数运用到求函数的高阶导数中，不仅能够降低计算的复杂性，也能够提高计算结果的准确性。
幂级数的典型应用毕业论文预览
幂级数的典型应用毕业论文预览Last revision on 21 December 2020本科毕业论文题目:幂级数的典型应用院系：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学姓名：罗云云学号：指导教师：管毅教师职称：讲师填写日期：2013年 5月 2日摘要幂级数是一类形式简单的函数项级数,应用非常广泛.在一些运算中，很难用初等数学的方法进行计算.这时,可以借助幂级数的性质、展开式等把复杂的问题简单化.本文通过归纳的方法,从幂级数的定义出发,接着给出幂级数的收敛域、重要定理及幂级数的展开式,总结了幂级数的四点应用:第一,在近似计算中的应用;第二,在不等式证明中的应用;第三,在微分方程中的应用;第四,在行列式计算中的应用.关键词:幂级数;微分方程;不等式AbstractPower Series is a kind of series of functions with a simple format; its application is very broad. In some operations, it is difficult to use the method of elementary mathematics to calculate. At this time, some complex problems can be simplified by using the quality and expansion of power series. Based on the inductive methods, starting from the definition of power series, and then give the convergence domain of the power series, important theorem and power series expansion to summarize the four applications of the power series: first, in the application of approximate calculation; Second, in the application of inequality proof; Third, in the application of differential equations; Last, in the application of the determinant calculation.Keywords: Power series; Differential equations; Inequality目录摘要 (I)Abstract ......................................................... I I 第一章前言. (1)第二章幂级数的基本知识 (2)第一节定义 (2)第二节和函数 (2)第三节幂级数收敛域 (4)第四节函数的幂级数展开 (5)一、函数的泰勒展开式 (5)二、常见函数的麦克劳林展开式 (6)第三章幂级数的应用 (7)第一节在近似计算中的应用 (7)第二节在不等式证明中的应用 (7)第三节在微分方程中的应用 (9)第四节在行列式计算中的应用 (11)致谢 (14)参考文献 (15)第一章前言级数是高等数学体系的重要组成部分,它是在生产实践和科学实验的推动下逐步形成和发展起来的.中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年就创立了“割圆术”,其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆,从而求得圆的面积.这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法,即无限多个数的累加问题.印度的马德哈瓦在14世纪就提出了函数展开成无穷级数的概念,他首先提出了幂级数的概念,并对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究.同时,他开始探究无穷级数的敛散性方法.到了19世纪，高斯、欧拉、柯西分别得出了各种判别级数敛散性的方法,使得级数理论全面发展起来.中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀,清代数学家董佑诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对初等函数的幂级数展开进行了深入的研究.而今,级数的理论已经发展得相当丰富和完整,级数既可以用来表示函数、研究函数的性质,也可以作为进行数值计算的一种工具.它在自然科学、工程技术等方面都有广泛的作用.幂级数是一类形式简单的函数项级数,应用非常广泛.在一些运算中,很难用初等数学的方法进行计算.这时,可以借助幂级数的性质、展开式等把复杂的问题简单化.本文通过归纳的方法,从幂级数的定义出发,接着给出幂级数的收敛域、重要定理及幂级数的展开式,总结了幂级数的四点应用:第一,在近似计算中的应用;第二,在不等式证明中的应用;第三,在微分方程中的应用;第四,在行列式计算中的应用.第二章幂级数的基本知识第一节定义在函数级数中有一类结构简单、应用广泛的特殊的函数级数∑∞=0n n a (y -a )n =0a +1a (y -a )+2a (y -a )2+ n a +(y -a )n + ,称为幂级数，其中0a ，1a ， ，n a ， 都是常数，称为幂级数的系数.特别地，当y -a =x ，上述幂级数就化为最简单形式的幂级数 n n n x a ∑∞=0=0a +x a 1+22x a +n n x a + .第二节 和函数设nn n x a ∑∞=0的收敛半径为R (R >0),()x S =n n n x a ∑∞=0为和函数，则有以下定理成立：定理[]81 若幂级数0nn n a x ∞=∑与'101()n n n n n n a x na x ∞∞-===∑∑的收敛半径分别是正数1r 与2r , 则12r r =.证明 首先证明12r r ≤.001:0x x r ∀<<,1011:x x x r ∃<<.已知级数10n n n a x ∞=∑收敛.n N +∀∈,有 n n nn n x a x x x n x na 1101=-, 已知极限001lim 0nn x n x x →∞= ,从而数列 001nx n x x ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭有界,即 0,M n N +∃>∀∈,有001.nx n M x x ≤于是, 10n n na x - 1n n M a x ≤.根据比较判别法，级数101-∞=∑n n n x na 绝对收敛，即12r r ≤.其次证明,21r r ≥.2000:r x x <<∀,2101:r x x x <<∃.已知级数∑∞=-111n n n x na 收敛.∈∀n +N ,有111100--=n n n nn x na x x n x x a .已知极限0lim 110=-∞→n n x xn x ，所以数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-1100n x xn x 有界，即 ,,0+∈∀>∃N n M 有M x xn x n ≤-110.于是, 110-≤n n nn x na M x a .根据比较判别法，级数n n n x a 00∑∞=绝对收敛，即12r r ≥.综上所证,12r r =.定理[]82 若幂级数0n n n a x ∞=∑的收敛半径0r >, 则(,)x r r ∀∈-,它的和函数()x S 由0到x可积,且可逐项积分,即()xxnn n S t dt a t dt ∞==∑⎰⎰101+∞=∑+=n n n x n a .证明 (,)x r r ∀∈-,0η∃>,使[](),,x r r ηη∈-⊂-.已知幂级数内闭一致收敛.和函数()x S 由0到x 可积, 且可逐项积分,即dt t a dt t S nn xn x∑⎰⎰∞==0)(101+∞=∑+=n n n x n a .根据定理1,此幂级数的收敛半径也是r .定理[]83 若幂级数0n n n a x ∞=∑的收敛半径0r >,则它的和函数()x S 在区间(),r r -可导,且可逐项微分,即(,)x r r ∀∈-,有()=x S '(n n n x a ∑∞=0)'=10-∞=∑n n n x na .证明 根据定理1,幂级数10n n n na x ∞-=∑的收敛半径也是r .(,)x r r ∀∈-,0,η∃>使[](),,x r r ηη∈-⊂-.已知幂级数内闭一致收敛.和函数()x S 在x 可导,从而和函数()x S 在区间(),r r -可导,且可逐项微分,即(,)x r r ∀∈-,有()=x S '(n n n x a ∑∞=0)'=10-∞=∑n n n x na .第三节 幂级数收敛域已知幂级数+++=∑∞=22100x a x a a x a n n n ++n n x a . ()1现在讨论幂级数()1的收敛问题，显然幂级数()1在0=x 处总是收敛的，我们有以下定理：定理4 若幂级数()1在()000≠=x x x 收敛，则对满足不等式0x x <的任何x ，幂级数()1收敛而且绝对收敛；幂级数()1在()000≠=x x x 时发散，则对满足不等式0x x >的任何x ，幂级数()1发散.证明 设幂级数nn n x a 00∑∞=收敛，从而数列{}n n x a 0收敛于零且有界.即存在某正数M ，使得()⋅⋅⋅=<,2,1,00n M x a nn .另一方面对任意一个满足不等式0x x <的x ，设10<=x xr ，则 nnn n n nn n n n Mr x x x a x x x a x a <=⋅=0000. 由于级数∑∞=0n n Mr 收敛，故幂级数()1当0x x <时绝对收敛.现在证明定理的第二部分.设幂级数()1在0x x =是发散，如果存在某一个1x ，它满足不等式0x x >，且使级数∑∞=01n n n x a 收敛，则由定理的第一部分知道，幂级数()1应在0x x =时绝对收敛.这与假设矛盾，所以对一切满足不等式0x x >的1x 幂级数()1都发散.则可知道幂级数()1的收敛域是以原点为中心的区间，若以R 2表示区间的长度，则称R 为幂级数的收敛半径.事实上，它就是使得幂级数()1收敛的那些收敛点的绝对值的上确界，所以：当0=R 时，幂级数()1仅在0=x 处收敛； 当+∞=R 时，幂级数()1在()+∞∞-,上收敛；当+∞<<R 0时，幂级数()1在()+∞∞-,内收敛；至于R x ±=，幂级数()1可能收敛也可能发散.我们称()+∞∞-,为幂级数的()1收敛区间.第四节 函数的幂级数展开一、函数的泰勒展开式定义[]71 若函数()x f 在点0x 存在n 阶导数,则有这里()()nx x o 0-为佩亚诺型余项,称()2为()x f 在点0x 的泰勒公式.当00=x 时,()2式变成()()()()()()nn x n f x f x f f x f !0!20"!1002'++++= ()n x o +,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义[]72 若函数()x f 在点0x 的某领域内为存在直至1+n 阶的连续导数,则()()()()()()()()()n n x x n x f x x x f x x x f x f x f 0020000'0!!2"!1-++-+-+= ()x R n + ()3 这里()x R n 为拉格朗日余项()()()()()()101!1++-+=n n n x x n f x R ξ,其中ξ在x 与0x 之间,称()3为()x f 在点0x 的泰勒公式.当00=x 时,(3)式变成()()()()()()nn x n f x f x f f x f !0!20"!1002'++++= ()x R n +,称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.二、常见函数的麦克劳林展开式1.()n nxx o n x x x e +++++=!!2!112 ;2.()()()12123!121!3sin ++++-++-=n n nx o n x x x x ; 3.()()()n nn x o n xx x 222!21!21cos +-++-= ; 4.()()()n nn x o nxx x x x +-+-+-=+-1321321ln ; 5.()()n n nx o x x x x x+-++-+-=+111132 . 第三章 幂级数的应用第一节 在近似计算中的应用[]1当()x f 的原函数不能用初等函数表示出来,计算()x f 的定积分就遇到了困难.现在,我们可以利用幂级数展开式取有限项的办法近似计算这些定积分的值.具体计算时,要求被积函数能够展成收敛的幂级数,且积分区间必须在幂级数的收敛域内,然后利用幂级数的逐项积分性质来计算定积分的值.例3.1.1[]2 计算定积分dx x ⎰+5.00411的近似值，要求误差不超过0001.0. 解：()[]dx x x x x x n n ⎰⎰+-++-+-=+5.00412845.0041111 +⋅-⋅+⋅-=1395211312191215121,上式右端为一交错级数,有 4134310000009.021131-<≈⋅=≤u r ， 故取前3项作为定积分的值,并在计算时取五位小数,可得4940.0219121512111955.004≈⋅+⋅-≈+⎰dx x .例3.1.2[]3 计算积分dx xx⎰10sin 的近似值，精确到410-.解:()() ++-++-+-=!121!7!5!31sin 2642n x x x x x x n n, ∴ dx x x ⎰10sin ()()() +++-+⋅+⋅+⋅-=!12121!771!551!3311n n n,因为第四项的绝对值41030001!771-<<⋅, 取前三项作为定积分的近似值，得9461.0!551!3311sin 10≈⋅+⋅-≈⎰dx x x . 第二节 在不等式证明中的应用在一些不等式的证明中，用初等数学方法往往很难证明，但是利用幂级数展开式能巧妙地将问题化难为易.例3.2.1 证明当0>x 时，()x x x cos 2sin 3+<. 证明: 由三角函数的幂级数展开式易知!53!23!5!33sin 35353x x x x x x x +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<，0>x()=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+>+x x x x x x !6!4!212cos 2642 !6!4!23753x x x x -+-，0>x要 !53!6!4575x x x >-，即2!61!53!41x >-, 则12!6!52!6!53!412=⨯⎪⎭⎫⎝⎛=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-<x ,所以,当120<<x 时，不等式成立.又x x sin cos 2>+,()x x sin 912cos 2>+, ()x cocx sin 3122>+， 所以,当12>x 时,不等式成立.综上所证，当0>x 时,不等式成立.例3.2.2 证明不等式222x x x e e e ≤+-，()∞∞-∈,x .证明: ∵ ++++++=n x x n x x x e !1!31!21132∑∞==0!n nn x ()+∞∞-∈,x .()!10n x nnn ∑∞=-= ()+∞∞-∈,x .∴()∑∞=-=+02!22n nxx n x e e ，()∑∞==022!!2222n n x n x e ， 由于 ()()!!2!222n x n x nn ≤， 所以就可以得到222x x x e e e ≤+-.第三节 在微分方程中的应用有些微分方程的解不能用初等函数或积分来表示,此时常常用幂级数求出它的解.[]5如果所求方程 满足初始条件00y yx x ==的特解,其中函数()x f 是()0x x -、()0y y -的多项式,那么可以设所求特解可展开为0x x -的幂级数:()()() +-++-+-++=nn x x a x x a x x a x a y y 030320210, ()5其中 ,,,,21n a a a 是待定的系数.把()5带入()4, 便得一个恒等式,比较所得恒等式两端0x x -的同次幂的系数,就可定出常数 ,,,,21n a a a ,以这些常数为系数的级数()5在其收敛区间内就是方程()4满足初始条件00y yx x ==的特解.[]6如果方程()()0'"=++y x Q y x P y 中的()x P 与()x Q 可在()R R +-,内展成x 的幂级数,那么在()R R +-,内方程()()0'"=++y x Q y x P y 必有形如 的解.例3.3.1[]3 求2y x dxdy+=满足0|0==x y 的特解. 解: 0=x ，0=y ，设 将()x y 、()x y '代入原方程得即 () +++++=4212232122122x a a a x a a x a x . 根据恒等式两端x 的同次幂的系数，得01=a ，212=a ，03=a ，04=a ，2015=a ， 所以，原式的解为：() ++=5220121x x x y . 例3.2.2[]4 求方程0'"=--y xy y 的解.解：设微分方程的解是处处收敛的幂级数，即 ()n n n x a x y ∑∞==0.求微分方程的解，实质上就是求级数n n n x a ∑∞=0的未定系数0a ，1a ，2a ， .逐项微分两次，即()10'-∞=∑=n n n xa n x y ，()()201"-∞=-=∑n n n x a n n x y .代入方程之中，有()201-∞=-∑n n n xa n n -1-∞=∑n n n xa n x -nn n xa ∑∞=00=,即 ()()-+++∞=∑nn n x a n n 20121-∞=∑n n n xa n x -00=∑∞=nn n xa ,()()()[]011202=+-++∑∞=+n n n n x a n a n n .22+=+n a a nn ，0=n ，1，2， . 由递推公式有202a a =,313a a =,804aa =,1515a a =, ,202a a =,804a a =, ,k k k aa 2!02=,1=k ,2,3, ,313a a =,1515aa =, ,()!!12112+=+k a a k ,1=k ,2,3, ,所以，原方程的解为：()()∑∑∞=+∞=++=0121020!!122!n n n n n n x a n x a x y ，其中0a 、1a 是任意常数.第四节 在行列式计算中的应用若一个行列式可看作X 的函数（一般是x 的n 次多项式）,记作()x f ,按泰勒公式在某处0x 展开,用这一方法可求得一些行列式的值.还可以利用幂级数的变换计算行列式,当利用幂级数的变换计算行列式时,往往要找到行列式序列的递推关系式,设出与行列式序列对应的幂级数,根据递推关系出现的具体情况,对假设出的幂级数进行恰当运算,最后求出幂级数,通过比较幂级数的系数可得到n 阶行列式n D 的值.例3.4.1 求n 阶行列式xz z z y x z zyy x zy y y x D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= . 解: 记D x f n =)(,按泰勒公式在z 处展开：n n n n n n n z x n z f z x z f z x z f z f x f )(!)()(!2)()(!1)()()()(2'''-+-+-+= , ()6易知1)(000000000000--=-----=k k y z z y z y y z y y z y y z y yz D 阶. ()7由()7得,n k y z z z f k k ,,2,1,)()(1 =-=-时都成立. 对行列式求导,有))((1)(),(2)(,),()1()(),()(1'11'22'11'x x f x f x f x f x f n x f x nf x f n n n n ===-==--- .于是)(x f n 在z x =处的各阶导数为：21'')()(|)()(--=-===n n z x n n y z nz z nf z f z f ;3'1'''')()1()(|)()(--=--===n n z x n n y z z n n z nf z f z f ; z n n z f n n f z f z x n n n n 2)1()(2)1(|)(111 -=-===--;12)1()()(⋅-= n n z f n n , 把以上各导数代入()6式中,有 若y z =,有])1([)()(1y n x y x x f n n -+-=-,若y z ≠,有yz z x y y x z x f nn n ----=)()()(.例3.4.2 计算行列式1111100000111000011110001110000111000011------=n D .解: 当1=n 时,11=D ;当2=n 时,22=D ;当2>n 时,将n D 按第一列展开，即得 21--+=n n n D D D ,此行列式序列1D ,2D ,3D , 是着名的斐波那契数列,开始两项为1,2,以后各项均为前两项之和,即1，2，3，5，8，13，21，34，55， .数列的构造规则可表示为差分方程 初始值条件为 11=D ,22=D .设 () ++++=n n x D x D x D x F 221, ()9 分别用x -，2x -乘以()9式得：() -----=-+13221n n x D x D x D x xF , ()10 由()9()()1110++可得：()()()() +--++-+=----n n n n x D D D x D D x D x x x F 21212121,由()8可知： ()1111222---=--+=x x x x x x x F , 解方程21x x --0=，得2511+-=x ，2512--=x ；所以有 121-=x x ，512-=-x x ,()()n n n n n x x x x x ∑∞=++---=1121112 . ()12由()8和()12的系数可得：()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=---=++++11121112251251511n n nn n nn x x x xD . 致谢踉踉跄跄的折腾了两三个月,论文得以成形,基本上达到了预期的效果,但由于能力和时间的关系,总是觉得有很多不敬人意之处.在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍,同学和老师的热情帮助下逐一克服了.尤其是要深深地感谢我的论文指导老师---管毅老师,他给了我无私的指导和帮助,他严肃的科学态度,严谨的治学态度,精益求精的工作作风,深深地感染着、激励着我,同时在思想上和生活上给我以无微不至的关怀,在此谨向管老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意.其次还要感谢我的室友和论文小组的同学们,在我论文的撰写和排版工作上,给了我很多的建议和帮助,正是由于有了你们的帮助,本文才得以那么快完成,在此一并表示由衷的感谢.最后由于本人学术水平有限,所以论文难免有不足之处,恳请各位老师和学友加以批评指正.参考文献[1]刘玉琏.数学分析讲义[M].第二版，北京: 高等教育出版社，. [2]沈京一，张晓曦.高等数学[M ].北京：科学出版社，2007. [3]张淑辉.幂级数的应用[J].太原教育学院学报,2005,23(2):95-97. [4]文丽，吴大良.高等数学[M].北京：北京大学出版社，1999.[5]上海财经大学应用数学系主编.高等数学[M].上海：上海财经大学出版社，2003.[6]王伟珠.函数的幂级数展开式的应用[J].赤峰学院学报（自然科学版),2012,8(9):4-6.[7]周海兵,张欣星.幂级数在高等数学中的应用[J].高等函授学报（自然科学版）,2006,19(4):24-26.[8]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M ].北京：高等教育出版社，1983.范文一：历时将近两个月的时间终于将这篇论文写完，在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，都在同学和老师的帮助下度过了。
幂级数的性质与应用
幂级数的性质与应用一、幂级数的定义与性质幂级数是数学分析中一种重要的级数形式，它是一系列幂函数的和。
幂级数可表示为：$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-a)^n$$其中，$a_n$是常数系数，$a$是幂级数的中心。
幂级数具有以下性质：1. 收敛域性质：幂级数可能在某个特定区间内收敛或发散。
如果幂级数在$x=a$处收敛，那么它在该收敛区间内的任意点$x$也收敛，这被称为收敛半径。
收敛区间可能为开区间、闭区间或半开半闭区间。
2. 系数唯一性：一个幂级数在给定收敛区间内的每个点上的函数值都是唯一确定的。
也就是说，若两个幂级数在某个收敛区间内完全相同，则它们的各项系数必须一一对应相等。
3. 绝对收敛性：如果幂级数在其收敛区间内的所有点上都收敛，且收敛绝对值级数$\sum_{n=0}^{\infty} |a_n(x-a)^n|$也收敛，则称该幂级数为绝对收敛。
4. 幂级数和的可积性：如果幂级数在收敛区间内每个点上都可积（即广义积分存在），则称该幂级数是可积的。
5. 导函数与积分的性质：幂级数在其收敛区间内可导和可积。
幂级数的导函数和积分具有以下性质：- 给定一个幂级数$f(x)$，则$f'(x)$的系数$a'_n = n\cdot a_n$，$f''(x)$的系数$a''_n = n(n-1)\cdot a_n$，以此类推。
- 给定一个幂级数$f(x)$，则$f(x)$的积分$\int f(x)dx$的系数$b_n= \frac{a_n}{n+1}$。
二、幂级数的应用幂级数广泛应用于多个数学和物理学领域，以下介绍其中几个重要的应用：1. 函数逼近：通过适当选择幂级数中心和系数，可以用幂级数来逼近和展开各种函数。
例如，泰勒级数是一种特殊的幂级数，可以用来逼近函数在某个点的近似值。
在实际计算中，我们可以利用幂级数展开，将复杂函数转化为简单的多项式计算。
幂级数展开的应用
幂级数展开的应用幂级数展开在数学中具有广泛的应用。
它通过将函数表示为无限项的和的形式，可以用来近似计算复杂的函数，求解微分方程，以及在其他领域中进行数值计算。
本文将介绍幂级数展开的基本概念和一些常见的应用。
首先，我们来回顾一下幂级数的定义。
对于给定的函数f(x)，它的幂级数展开形式为：f(x) = a0 + a1(x - c) + a2(x - c)^2 + a3(x - c)^3 + ...这里的a0, a1, a2等是幂级数的系数，c是展开点（也称为幂级数的中心点）。
幂级数可以表示为无穷级数的形式，其中每一项都是基于前一项的。
幂级数的应用之一是在函数逼近和近似计算中。
对于某些复杂的函数，我们可能很难求解其精确值。
但是，通过使用幂级数展开，我们可以将函数表示为一个无限项的和，并通过截断无穷级数来得到近似值。
使用所有项计算将得到函数的精确值，但通常我们只需要前几项来获得一个足够准确的结果。
举个例子，考虑近似计算sin(x)的值。
我们可以使用泰勒级数展开sin(x)：sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...在展开点c=0附近，我们只需要前几项就可以得到较为准确的结果。
例如，使用前5项展开，我们可以得到：sin(x) ≈ x - (x^3)/3! + (x^5)/5!这种近似方法在许多实际问题中非常有用，特别是在涉及复杂函数的计算时。
通过选择合适的展开点和适当的项数，我们可以根据需要平衡计算的准确性和效率。
幂级数展开还可以用于求解微分方程。
微分方程描述了自然界中许多现象的变化规律。
然而，解析求解微分方程可能非常困难，甚至不可能得到精确解。
在这种情况下，我们可以使用幂级数展开来近似求解微分方程。
考虑一个简单的一阶线性常微分方程：dy/dx + p(x)y = q(x)其中p(x)和q(x)是已知的函数。
我们可以将未知函数y(x)表示为幂级数展开的形式：y(x) = a0 + a1(x - c) + a2(x - c)^2 + a3(x - c)^3 + ...将幂级数展开代入微分方程中，并比较等次项的系数，我们可以计算出展开点c附近的系数a0, a1, a2等。
幂函数与数列函数的综合应用
幂函数与数列函数的综合应用1. 引言幂函数和数列函数是数学中常见且重要的概念。
它们在各个领域中的应用广泛，包括物理学、经济学和工程学等。
本文将探讨幂函数和数列函数的综合应用，并通过具体例子来说明其在实际问题中的重要性和作用。
2. 幂函数的应用幂函数是指形如f(x) = ax^n的函数，其中a为常数，n为实数。
在实际问题中，幂函数常被用于描述一些与指数增长有关的现象。
例子：人口增长问题假设一个国家的人口数量每年以2%的速度增长，且2000年初的人口为1000万。
我们可以用幂函数来描述该国家的人口增长情况。
设f(x)为x年时该国家的人口数量，其中x为年数。
根据题意可知，f(x) = 1000 * (1 + 0.02)^x。
通过计算，我们可以得到不同年份的人口数量，进而分析人口增长的趋势和规律。
3. 数列函数的应用数列函数是指由一系列有序的数所构成的函数。
在实际问题中，数列函数常被用于描述一些序列和排列的规律与特性。
例子：斐波那契数列斐波那契数列是一个经典的数列，其前两项为1，1，后续的每一项都是前两项的和。
斐波那契数列在自然界和人文领域中都有广泛的应用。
我们可以通过数列函数来定义斐波那契数列。
设f(n)为第n个斐波那契数，其中n为正整数。
根据规律可知，f(n) = f(n-1) + f(n-2)，其中f(1) = 1，f(2) = 1。
通过计算，我们可以得到斐波那契数列的前几项：1，1，2，3，5，8，13......斐波那契数列的规律和特性在数学和计算机科学中有重要的应用。
4. 幂函数和数列函数常常在实际问题中相互结合，共同发挥作用，解决复杂的实际问题。
例子：金融领域的利息计算在金融领域中，利息的计算是一个常见且重要的问题。
假设我们将一笔本金p投资到一个年利率为r的银行账户中，按照复利计算，每年的利息将累计到本金中，并继续产生利息。
我们可以将利息计算问题抽象成一个数列函数的应用。
设f(n)为第n年时的本金，其中f(1) = p。
幂级数和函数的两种应用(一)
幂级数和函数的两种应用(一)幂级数的定义及性质•幂级数的定义•幂级数的收敛与发散•幂级数求和的两个方法幂级数的应用一：泰勒级数•泰勒级数的定义及性质•应用实例：泰勒展开式求导幂级数的应用二：傅里叶级数•傅里叶级数的定义及性质•应用实例：傅里叶级数在信号处理中的应用函数的收敛性及连续性•数列极限与函数极限的关系•函数的连续性及导数与连续性的关系函数的应用一：最大最小值定理•最大值定理的定义及定理证明•应用实例：极值问题的解决函数的应用二：牛顿迭代法•牛顿迭代法的定义及原理•应用实例：解决非线性方程组的问题总结本文阐述了幂级数和函数的基本概念、性质和应用，介绍了泰勒级数和傅里叶级数的应用，探讨了函数的收敛性及连续性、最大最小值定理和牛顿迭代法等应用。
通过本文的阐述，读者可以了解到这些概念和应用在数学、工程和自然科学中的基础作用和实际应用，更好地扩展数学应用领域。
幂级数的定义及性质幂级数的定义幂级数是指一类形如f (x )=∑a n ∞n=0x n 的函数，其中x 为自变量，a n 为实数系数。
幂级数的收敛与发散当自变量x 取不同的值时，幂级数f (x )可能会收敛或发散。
幂级数收敛的条件是当x 取某一范围内的值时，无论n 取何值，级数a n x n 都是收敛的。
反之，如果当x 取某一范围内的值时，级数a n x n 都是发散的，那么f (x )就是发散的。
幂级数求和的两个方法对于幂级数，我们可以采用两种方法进行求和：逐项求和法和求导法。
• 逐项求和法：将级数展开后，逐一计算每一项的和。
这种方法的优点是简单易行，但当级数收敛速度较慢时，这种方法消耗的时间较多。
• 求导法：对幂级数进行求导，得到一个新的幂级数，再对新的幂级数求导，重复此过程直至求得幂级数的积分。
这种方法的优点是计算速度快，但对幂级数的求导需要一定的技巧和熟悉度。
幂级数的应用一：泰勒级数泰勒级数的定义及性质泰勒级数是一种幂级数，与幂级数的区别在于其系数a n 具有一定的规律性。
幂级数及其应用
1 ． L ak +1x k +1 ak x k
（2）当 L = 0 时，对于任何 x ≠ 0 ，都有
k →∞
∞
lim
= L x = 0⋅ x = 0 < 1，
于是，幂级数 ∑ ak x 对于任何 x 都收敛．所以，其收敛半径 R = +∞ ．
k =0
k
（3）当 L = +∞ 时，对于任何 x ≠ 0 ，都有
∑x
k =0
∞
k
= 1 + x + x2 + L + xn + L
（13.1.3）
它的部分和函数列为
S n ( x) = ∑ x k =
k =0
n
1 − x n +1 ， n = 0,1, 2,L 1− x
容易知道，当且仅当 −1 < x < 1 时，部分和函数列 {S n ( x)} 收敛，极限值为 S ( x) =
k =0
特别令 x0 = 0 ， （13.1.1）式变为
k 2 k ∑ ak x = a0 + a1 x +a2 x + L + ak x + L ∞
k =0
（13.1.2）
…，ak ， …都是实常数， 称之为幂级数的系数． 通过简单的变换 x − x0 = t ， 其中 a0 ，a1 ，a2 ， 可以将幂级数的一般形式 （13.1.1） 化为形如 （13.1.2） 的幂级数． 因此， 下面只就形式 （13.1.2） 的幂级数进行讨论． 例 1 在（13.1.2）中，如果令所有系数都为 1，则得到下面的几何级数（等比级数）
-|b|
-R - |a|
幂函数在生活中的应用
幂函数在生活中的应用例1：按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数。
如果存入本金1000元，每期利率为2.25％，试计算5期后的本利和是多少？（精确到0.01元）解析：复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息。
已知本金是a元，一期后的本利和为；二期后的本利和为；三期后的本利和为；……x期后的本利和为。
将a＝1000元，r＝2.25％，x＝5代入上式得：（计算器算出）答：复利函数式为，5期后得本利和为1117.68元。
点评：在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原产值为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值或总产量y，就可以用公式表示，解决平均增长率问题，就需要用这个函数式。
例2：设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系是，其中c, k是常数，测得某地某天海平面的大气压强为1.01×105 Pa，1000 m高空的大气压强为0.90×105 Pa，求600 m 高空的大气压强？（保留3个有效数字）解析：由题意，得：，由①得：c ＝ 1.01×105，代入②，得：，利用计算器得；1000k＝－0.115，所以k＝－1.15×10－4，从而函数关系是。
再将x＝600代入上述函数式得，利用计算器得：y≈9.42×104答：在600 m高空得大气压强约为9.42×104 Pa。
点评：本题主要考察求函数解析式，再由解析式求函数值，某些计算必须借助计算器才能完成。
例3：20世纪30年代，查尔斯·里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大。
这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）。
例谈幂级数的应用毕业论文
毕业论文例谈幂级数的应用DISCUSSION ON APPLICATION OF POWER SERIES BY EXAMPLES摘要幂级数是一类形式简单却应用广泛的函数项级数，由于其本身具有很多便于运算的性质，因此是一个解决函数方面诸多问题的利器。
利用幂级数的分析性质，通常可以使形式进行转化，使复杂问题得以化简。
本文通过归纳和举例，从幂级数的定义出发，对幂级数的重要性质进行总结性证明，举例分析幂级数在各种计算中的应用，包括利用幂级数求极限、求导数、求积分、求解微分方程、证明不等式，结合实例阐述幂级数在应用中的方法与技巧。
本文还举例介绍了如何应用复数范围内的双边幂级数求解复积分和某些实积分。
进一步地，本文对于代数学中的形式幂级数进行了初步说明。
关键词：幂级数；函数；应用ABSTRACTPower series is a kind of series of functions with simple form and extensive application, which can be used to solve many problems powerfully in terms of the function because of its calculated properties. By the analysis properties of power series, many problems usually can be transformed their form such that the complex problem can be simplified. With the beginning of the definition of power series , this paper summarizes the proofs of important properties of power series. Furthermore, all sorts of computing applications with power series are illustrated, including calculating limit, seeking derivative, computing integration, solving differential equations, and inequalities proving, which are elaborated with examples of power series methods and techniques in the application. This paper also describes an example of how to compute complex integration and some real integration by means of bilateral power series within the scope of complex. At last, a preliminary description of formal power series is given in algebra.Key word：Power Series; function; application目录1 前言 (6)1.1 背景和意义 (6)1.2 本文研究的主要内容 (2)2 幂级数相关的基本知识 (3)2.1 幂级数的定义 (3)2.2 幂级数相关定理及推论 (3)2.3 留数的基础知识 (10)3 幂级数在近似计算与级数求和中的应用 (13)3.1 计算常数e的问题 (13)3.2 幂级数在计算级数和中的应用 (14)4 幂级数在求极限、求导、积分运算中的应用 (16)4.1 幂级数在求极限中的应用 (16)4.2 幂级数在求导中的应用 (17)4.3 幂级数在积分运算中的应用 (17)5 幂级数在求解微分方程中的应用 (20)5.1 求解常微分方程 (20)5.2 求解偏微分方程 (20)5.3 实际问题中的微分方程的解 (21)6 幂级数在证明不等式中的应用 (24)7 代数学中的形式幂级数 (25)7.1 斜幂指数诣Armendariz环 (25)7.2 多项式环 (26)结论 (28)参考文献 (29)致谢 (2)1 前言1.1 背景和意义说到幂级数的来历，肯定要提到最基础的级数的来源。
幂级数的应用
第六节 幂级数的应用内容分布图示★ 函数值的近似计算★ 例1 ★ 例2 ★ 计算定积分★ 例3 ★ 例4 ★ 求常数项级数的和★ 例5 ★ 例6★ 欧拉公式★ 内容小结★ 课堂练习 ★ 习题11-6★ 返回内容要点：一、函数值的近似计算：级数的主要应用之一是利用它来进行数值计算. 在函数的幂级数展开式中，取前面有限项，就可得到函数的近似公式，这对于计算复杂函数的函数值是非常方便的，可以把函数近似表为x 的多项式，而多项式的计算只需用到四则运算，非常简便.二、 计算定积分：许多函数, 如xx x e x ln 1,sin ,2-等，其原函数不能用初等函数表示，但若被积函数在积分区间上能展开成幂级数，则可通过幂级数展开式的逐项积分，用积分后的级数近似计算所给定积分.三、求常数项级数的和：在本章的前三节中，我们已经熟悉了常数项级数的求和的几种常用方法，包括利用定义和已知公式直接求和、对所给数拆项重新组合后再求和、利用推导得到的递推公式求和等方法. 这里，我们再介绍一种借助幂级数的和函数来求常数项级数的和的方法，即所谓的阿贝尔方法，其基本步骤如下： （1）对所给数项级数,0∑∞=n n a 构造幂级数∑∞=0n n n x a ；（2）利用幂级数的运算性质，求出∑∞=0n n n x a 的和函数)(x s ；（3）所求数项级数).(lim 10x s a x n n -→∞==∑ 三、 欧拉公式例题选讲：函数值的近似计算例1（讲义例1）利用!3sin 3x x x -≈求ο9sin 的近似值，并估计误差. 例2（讲义例2）计算5240的近似值, 要求误差不超过0.0001.例3 计算dx x x⎰10sin 的近似值，精确到104-.例4（讲义例4）计算定积分⎰-2/1022dx e x π的近似值，要求误差不超过0.0001（取56419.0/1≈π）. 求常数项级数的和例5（讲义例5）求级数∑∞=-1212n n n 的和. 例6（讲义例6）求级数∑∞=122!n n n n 的和.计算定积分例3（讲义例3）求不定积分⎰dx x x sin .课堂练习1.计算e 的近似值, 使其误差不超过.105-2.利用幂级数展开式, 求极限 .sin arcsin lim 30xx x x -→ 3.求常数项级数Λ+-+-7151311的和.欧拉(Euler ，1707~1783)欧拉，瑞士数学家及自然科学家。
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( 21)
6 = 8 ( n + 4 ) ( n + 3 ) ( n + 2 ) ( n + 1 ) n ( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n - 3 ) xn- 3 !! n= 0 结合 ( 18), ( 19), ( 20), ( 21 ) 得 ∀ R 3 ( x ) = ! 1 ( n + 2 ) ( n + 1 ) n2 ( n - 1) ( n - 2) ( n2 + 5 ) xn- 3 ! n= 0 7 由 ( 16 )式得
基金项目 : 国家自然科学基金项目 ( 10271093); 渭南师范学院基金项目 ( 04YK S014) 作者简介 : 王永兴 ( 1966 究.
1 引言与主要结论
在文 [ 1 ] 中, 美国数论专家 F. Sm arandache 提出了初等数论及集合论中 105 个未解决的问题让大家研 究 , 其中有 5 个问题是关于自然数数列的性质问题 . 文 [ 2] , [ 3] 是对自然数数列均值的研究, 作者在本文中 利用幂级数方法研究自然数数列, 发现自然数数列的乘积和规律, 分别给出自然数数列的一次二项、 一次 三项、 二次三项、 二次三项乘积和的代数表达式 , 得出了一些重要恒等式 . 定理 1 设 k 1, k2 , , k s, n 为自然数 , s 为大于 1 的自然数 , 则有 1 sn = ! k s! n! k 1+ k2+ + k s = n k 1! k 2! 1 = 2n a! b! n! a+ b = n 定理 2 设 k 1, k2 , , k s, n 为自然数 , s 为大于 1 的自然数 , 则有 1 ! ( ( n + s - 1 ) ( n + 1) n ( n - s) ( n - s + 1 ) ) k 1 k2 ks = ! ( 2 s 1) k 1+ k 2+ + k s = n 推论 2 a, b, n 为自然数, 则有 ! ab = 1 ( n + 1 ) n( n - 1) 3 ! a+ b = n 推论 3 设 a, b, c, n 为自然数 , 则有 ! abc = 1 ( n + 2) ( n + 1 ) n( n - 1 ) ( n - 2 ) 5! a+ b+ c= n 1 定理 3 a, b, n 为自然数, 则有 ! a2 b2 = 30 ( n2 + 1) ( n + 1 ) n( n - 1 ) a+ b = n 定理 4 a, b, c, n 为自然数 , 则 1 2 2 2 2 2 ! a b c = 7! ( n + 2 ) ( n + 1 ) n ( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n + 5 ) a+ b+ c= n 推论 1 设 a, b, n 为自然数, 则有
( 17) ( 18)
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!
∀
( 20)
n- 3
( n + 2 ) ( n + 1 ) n( n - 1) ( n - 2) ( n - 3 ) ( n - 4 ) ( n - 5 )x
n= 0
∀ 6x = 6 ! n ( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n - 3 ) ( n - 4 ) ( n - 5 ) ( n - 6 ) ( n - 7) x n- 7 9 8 ! n= 0 ( 1- x)
[ 责任编辑
牛怀岗 ]
On Application of P ow er Series in N atural Sequences
W ANG Yong xing, YANG Q ian li
( D epa rt m en t ofM athe m atics , W e inan T eache rs Co llege , 714000 W e inan, China) Abstrac t : So m e properties of natural sequences are found by us ing po w er ser ies, hence , som e algebra ic identities are inferred and proved. K ey word s : natura l sequences ; pow er ser ies ; iden tity
a+ b = n
比较 ( 14), ( 15) 式的 xn - 2 的系数得 于是完成了定理 3 的证明. 定理 4 的证明
2005 年第 5 期
渭南师范学院学报
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设 R(x ) =
n= 0
!nx
2
∀
n- 1
( 16) R (x) = ! n2 xn - 1 = n= 0
∀
1+ x , ( 1- x ) 3 ( 1+ x ) 3 1 2x 3 6x R 3 (x ) = + 9 = 6 + ( 1- x ) ( 1- x ) ( 1- x ) 9 ( 1- x ) 9 由文 [ 4 ] 的幂级数性质, 可以推出得 ∀ 1 1! ( n + 2) ( n + 1 ) n( n - 1 ) ( n - 2 ) x n - 3, 6 = 5 ! n = 0 ( 1- x ) ∀ 2x 3 = 2 ! n- 5 ! n = 0 n( n - 1 ) ( n - 2) ( n - 3 ) ( n - 4 ) ( n - 5 ) ( n - 6 ) ( n - 7 )x ( 1- x ) 9 8 由文 [ 4 ] 与 ( 16) 式得 2 = 8 !
Hale Waihona Puke 由文 [ 4 ] 与 ( 5 ) 式得 ∀ 1 1 Ps ( x ) = = ! n ( n 1) ( n 2 ) ( n 3) 2s ( 2 s 1 )! n = 2s 1 ( 1- x ) 根据幂级数乘法 , 由 ( 4) 又得 P s ( x ) =
n= s
( 6) ( 7)
!
∀
k 1+ k 2+
2005 年 9 月 第 20 卷 第 5 期
渭南师范学 院学报 Journal o fW e inan T eache rs Co llege
Sept . 2005 Vo. l 20 N o . 5
关于幂级数在自然数列中的应用
王永兴, 杨倩丽
( 渭南师范学院 数学系 , 陕西 渭南 714000) 摘 要 : 利用幂级数方法发现了自然数数列的乘积和规 律 , 分别给出 自然数 数列的 一次二 项、 一 次三项、 二次 二项、 二
2 2 2 xn- 3 ! abc % ∃ a+ b+ c= n 比较 ( 22), ( 23) 式的 xn - 3 的系数得 1 ( n + 2) ( n + 1 ) n2 ( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n2 + 5) a2 b2 c2 = 7 ! ! a+ b+ c = n 于是完成了定理 4 的证明.
n= 1
!nx
2
∀
n- 1
=
( 9) ( 10)
( 11) ( 12)
∀ 1 = 1 ! n( n - 1) ( n - 2) ( n - 3 ) ( n - 4 )x n- 5 6 5 ! n= 3 (1- x ) 由 ( 12 )式得 ∀ 4x = 4 ! n( n - 1) ( n - 2) ( n - 3 ) ( n - 4 )x n- 4 6 5 ! n= 3 (1- x ) 结合 ( 10), ( 11), ( 13) 得 ∀ ∀ 1 4 n- 3 n- 4 Q 2 (x ) = 3 n ( n 1 ) ( n 2 )x + ! ! ! n= 3 5 ! n= 3 n ( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n - 3 ) ( n - 4 ) x ∀ ∀ = 1 ! ( n + 1 ) n ( n - 1 )x n- 2 + 4 ! ( n + 2 ) ( n + 1) n ( n - 1 ) ( n - 2 ) xn- 2 3 ! n= 2 5 ! n= 2
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王永兴 , 等 : 关于幂级数在自然数列中的应用
第 20 卷
根据幂级数乘法 , 由 ( 1) 式得 , tn xn k s! n= 0 n= 0 k 1+ k 2+ + k s = n k 1! k2 ! k1+ k2 + + k s = n n tn 比较 ( 2 ), ( 3 ) 式中 x n 系数得 ! = ( ts ) k 1 + k 2+ + k s = n k1 ! k2 ! k s! n! n 1 所以 ! = s . 于是完成了定理 1的证明 . k 1 + k 2 + + k s = n k 1! k 2! ks! n! 定理 2 的证明 Gs ( x ) =
次三项乘积和的代数 恒等式 , 并给出了证明 . 关键词 : 自然数数列 ; 幂级 数 ; 恒等式 中图分类号 : O 156. 4 收稿日期 : 2005 03 07 ), 男 , 陕西华县人 , 渭南师范学院数学系讲师 , 西安电子 科技大学博士研究生 , 从事密码 学研 文献标识码 : A 文章编号 : 1009- 5128( 2005) 05 0019 03
!
∀
!
tk1 tk 2 k1! k 2!
tk s x n = k s!
!
∀
!
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设 P ( x ) = n! nx n - 1 , = 1 即 P ( x ) = n! nx n - 1 = = 0