数学概念,命题的教学方案.ppt

外延是指 A、B、C三点的集合。 注：（1）数学概念的内涵和外延是在一定的数学科学
体系中来认识的。例如，角的概念在平面几何中和 在平面三角中的内涵和外延均不同。 （2）概念的内涵和外延是发展的
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➢ 概念间的关系（概念外延间的同异关系） ➢ 1、相容关系
（1）同一关系（全同关系或重合关系） A(B)
念融会贯通，组成一个整体。
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如“一次函数”的概念 给出名称、定义、符号：函数 y kx b,其中k,b R 特例：y kx, y x, y b, y 0 等 把一次函数与函数概念、一次多项式概念等作 比较 用肯定、否定例证让学生辨认：
y x 1, y x, y x b, y x2, y 0, y 1 ay x 3(a 0)
一般采用描述法和抽象化法或用直观说明或指 明对象的方法来明确。 “针尖刺木板”的痕迹引入“点”、用“拉紧 的绳”或“小孔中射入的光线”来引入“直线” 的方法是直观说明法，“1，2，3，···叫做自 然数”是指明对象法。
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（2）对于用概念的形成来学习的概念
一般可通过观察实例，启发学生抽象出本质属性， 师生共同进行讨论，最后再准确定义。
中学数学基础知识的教学
一 数学概念及其教学 二 数学命题及其教学 三 数学推理、证明及其教学
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一 数学概念及其教学
数学概念概述 数学概念学习的心理分析 数学概念教学的基本要求和教法 探讨
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数学概念概述
➢数学概念的意义
数量关系和空 间形式
反映数学对象本质属性的思维形式叫做“数 学概念”。
“属性”与“本质属性” ；概念及其名称 和符号
外延完全重合，内涵可以不同。 例如：数0是扩大的自然数集中最小的数，又是正数 与负数的分界数，在数的运算中它又是两个相等数 的差等； 等腰三角形底边上的高线、中线以及顶角的平分线 的外延都是同一条线段，而内涵也各不相同。 注：研究概念间的同一关系，可以对概念所反映的对 象得到较深刻、较全面的认识。另外，在推理证明中 具有全同关系的概念可以互相代换，使得论证简明。
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➢ 概念同化的阶段
（1）揭示概念的关键属性，给出定义、名称和符号； （2）对概念进行特殊的分类，讨论这个概念所包含
的各种特例，突出概念的本质特征； （3）使新概念与已有认知结构中的有关观念建立联
系，把新观念纳入到已有概念体系中，同化新概念； （4）用肯定例证和否定例证让学生辨认，使新概念
与已有认知结构中的相关概念分化； （5）把新概念纳入到相应的概念体系中，使有关概
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教学过程中要注意： （1）同化方式学习概念，实际上是用演绎方
式来理解和掌握概念。因为它是从抽象定义 出发来学习的，所以应注意及时利用实例， 使抽象概念获得具体例证的支持； （2）学习中必须经过概念分类这一步，使学 生从外延角度进一步对概念进行理解； （3）在引入概念的同时，要求学生掌握一定 的智力动作，以防止出现知道概念的定义而 不知如何将它用于解题的情况；
iv）分类不应越级
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概念的划分和分类
（3）二分法 二分法是一种常用的分类方法，是把一个概 念的外延中具有某个属性的对象作为一类， 把不具有这个属性的对象作为另一类．换言 之，是把属概念分成两个矛盾的种概念．
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数学概念学习的心理分析
➢ 概念学习的基本形式
1.概念的形成 概念形成就是让学生从大量同类事物的不同例证中 独立发现同类事物的本质属性，从而形成概念。因 此，数学概念的形成实质上是抽象出数学对象的共 同本质特征的过程。可概括如下：
（1）辨别各种刺激模式，通过比较，在知觉水平上 进行分析、辨认，根据事物的外部特征进行概括。
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（2）分化出各种刺激模式的属性。 （3）抽象出各个刺激模式的共同属性。 （4）在特定的情境中检验假设，确认关键属性。 （5）概括，形成概念。 （6）把新概念的共同关键属性推广到同类事物中
去。 （7）用习惯的形式符号表示新概念。
例：
A
B （1）整数和整数
（2）等腰三角形和直角三角形
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（4）不相容关系（全异关系）
如果两个概念的外延间没有任何一部分重合 的关系，那么这两个概念具有全异关系，这 种关系又叫做“拳异关系”或“排斥关系”。
全异关系又分为反对关系和矛盾关系。
AB
A B AB C
反对关系
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AB
A B AB C
矛盾关系
（3）对于用概念的同化来学习的概念
（a）用属加种差定义的概念 新概念是已知概念的特例，新概念可以从认知结构 中原有的具有较高概括性的概念中繁衍出来。
（b）由概念的推广引入的概念 讲清三点：推广的目的和意义； 推广的合理性； 推广后更加广泛的含义。
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（c）采用对比方法引入新概念 当新概念与认知结构中已有概念不能产生从 属关系，但与已有的旧概念有相似之处时可 采用此法。 关键是讲清不同之处，防止概念的负迁移。
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2.概念的同化 概念同化的学习形式是利用学生认知结构中的原有 概念，以定义的方式直接向学生揭示概念的本质属 性。 由奥苏伯尔的有意义接受学习理论可知，要使学生 有意义地同化新概念，必须： 第一，新概念具有逻辑意义；第二，学生的认知结 构中具备同化新概念的适当知识；第三，学生积极 主动地使这种具有潜在意义的新概念与他认知结构 中的有关观念发生相互作用，改造旧知识，使新概 念与已有认知结构中的相关知识进一步分化和融会 贯通。
➢数学概念产生和发展的途径
（1）从现实模型直接得来； （2）经过多级抽象概括得来； （3）从数学内部需要产生出来；
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➢ 概念的内涵和外延
概念的内涵亦称内包，指概念所反映的对象的特有 属性、本质属性。 概念的外延亦称外包，指概念所反映的对象的总和。 例：“△ABC的顶点”
内涵是指点的性质和其中任一点同在这个三角形 两边之上这个性质；
概念的定义和原始概念
把概念的内涵用语言表达出来，就是给概念下定义。
➢ 原始概念
点、线、面、空间、集合、元素、对应等。
➢ 数学中常用的几种定义方式
（1）属概念加种差的定义方式 四边形+两组对边分别平行=平行四边形
（2）发生定义方式 在平面上，射线绕它的端点旋转所成的图形叫做
角。
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（3）揭示外延的定义方式 整数和分数统称为有理数。
（4）约定式定义 我们规定“ a0 1(a 0) ” 。
(5)关系定义：有的种差是被定义概念所反 映的对象与另一对象之间关系，或它与另 一对象对第三者的关系。如：偶数就是被 2整除的整数。
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➢下定义的基本要求
（1）定义应当相称 无理数：有理数开不尽的方根。× 平行线：两条不相交的直线。 ×
（2）定义不能恶性循环（直线垂直和直角） （3）定义一般不用否定形式
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（4）为学生及时提供应用概念进行推理、论 证的机会，在应用中强化概念，以防止由于 没有经历概念形成的原始过程而出现的概念 加工不充分、理解不深刻的情况；
（5）一定要将所学概念纳入到已有认知结构 中，形成概念系统。
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概念教学的基本要求和教法探讨
➢概念的引入——概念的明确——概念的系统化
——概念的运用 1、概念的引入 （1）原始概念
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（2）从属关系
如果甲概念的外延 A真包含乙概念的外延B，如
下图所示，那么，这两个概念具有从属关系。 其中，外延较大的那个概念叫做属概念，外延 较小的那个概念叫做种概念。这两个概念的外
延 A和 B 的关系可以写成 A B
B
注：内涵和外延的反比关系
A
正方形内涵 矩形内涵平行四边形内涵 四边形内涵
例如，A到B的“映射”的概念、教师有必要通过具体 例子说明：i）映射是两个集合A、B之间的一个对应 法则；ii）A可以等于B；iii）A中每一个元素有象； iv）象唯一；v）B中的元素不一定有原象；vi）B中 的元素有原象时未必唯一．
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2、概念的明确 （2）表示概念的名称或符号的正确使用； （3）抓住掌握概念的关键；
正方形外延矩形外延 平行四边形外延
四边形外延
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（3）交叉关系
如果两个概念的外延有且只有部分重合， 那么这两个概念具有交叉关系或者叫做部分 重合关系，如下图。用集合符号表示概念的 交叉关系，可设两个概念的外延分别是集合 和集合A ，如B果 是A非 B空集合而且不 是 A或，B 那么这两个概念具有交叉关系。
不是有理数的数是无理数。 × （4）定义应当简明
两组对边平行的平面四边形是平行四边形。 四个角都是直角的平行四边形叫做矩形。 （5）定义一般不用比喻说法
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概念的划分和分类
把一个属概念分为若干个不相容种概念的逻辑 方法叫做概念的划分。
概念的分类是划分的特殊形式，是根据概念所 反映对象的本质属性或特征所进行的划分。 概念分类的要求： i）所分成的种概念之间应是全异关系， ii）分类应是相称的． iii）每次分类都应按照同一个根据进行．
（4）举出肯定例证和否定例证； （5）充分揭示概念的内涵；
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3、概念的系统化 数学是一门演绎科学，中学数学基本上也是一
个演绎体系，数学根据概念和定理的互相联系 而构成数学知识体系，掌握概念体系是掌握整 个演绎理论的必要条件．因此，在数学教学中， 不仅应当掌握单个概念，而且还应当掌握每个 具体课题乃至整个数学课程的完整的概念体 系．
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“函数”概念的形成过程：
1、观察实例，写出变量间的关系表达式： （1）以每小时80千米的速度匀速行使的汽车，所驶
过的路程和时间 （2）由某一天气温变化的曲线所揭示的气温和时刻 （3）用表格给出的某水库的贮水量与水深。 2、找出上例中两变量之间关系的共同本质 3、辨别正反例，找出本质属性（一一对应） 4、概括出函数定义 5、练习巩固成形