一元一次不等式知识点总结
“一元一次不等式知识点
“一元一次不等式知识点王竞进小颖准备用21元钱买笔和笔记本.已知每支笔3元,每本笔记本2元,她买了4本笔记本,那么她最多还可以买几支笔?怎么解答这类问题呢?在这个问题中,隐含着买笔和笔记本所花的钱与准备的钱之间具有不相等的数量关系.与方程类似,不等式是刻画现实世界中量与量之间不等关系的有效模型.一元一次不等式是表示不等关系的最基本的工具,是学习其他相关数学知识的工具.学习时,应关注以下几个方面:一、正确理解基本概念1.不等式解与不等式解集的概念能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.如:x=3.5、5、6、10.2等大于3的实数都是不等式x-3>0的解;x=-1、0、2、3、3.5、-5、-6等小于4的实数都是x-4<0的解.一个含有未知数的不等式的解的全体叫做不等式的解集.因此,不等式的解集包含了不等式的所有解,解集中的任何一个数都是不等式的一个解.例1下列说法中正确的是().A.x=2是不等式x+2>3的解B.x=2是不等式x+2>3的唯一解C.x=2不是不等式x+2>3的解D.x=2是不等式x+2>3的解集【解答】A.【点评】弄清不等式的解及解集的区别,是解本题的关键.不等式的解可以有无数个,一般是某个范围内的所有数.不等式中的未知数取解集中的任何一个值时,不等式都成立;不等式中的未知数取解集外的任何一个值时,不等式都不成立.2.一元一次不等式的概念只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1,系数不等于0的不等式,叫做一元一次不等式.这个不等式必须同时满足3个条件:(1)只含有一个未知数;(2)含未知数的式子是整式;(3)未知数的次数是1.这3个条件缺一不可.如:2x-(4x+1)>3、5y+2≤3(y-1),都是不等式,而x2-3x+2<0、y+■<2都不同时满足上述的3个条件.反过来,如果(a-1)x+3>0是关于x的一元一次不等式,则a必须具备的条件是a-1≠0,即a≠1.3.一元一次不等式组的概念小明要制作一个长方形的相片框架,这个框架的长为25cm,面积不小于500cm2,试确定这个长方形宽的长度范围.在这个问题中具有两个不等关系:长方形的相片框架的长总大于宽,其面积不小于500,因而可以得到两个不等式:x<25、25x≥500,再联立这两个不等式,记作x<25,25x≥500,从而组成一个关于x的不等式组.像这样,由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组.根据概念,可以知道组成一个不等式组的条件有(1)含有同一个未知数,(2)几个不等式是一次不等式.如:2x-4<6,5(x-2)+3>-3x+1,2x+1<3(3-x),■(x-1)-1>x+■都是一元一次不等式组,而x2-4x<5,4(x-1)-3>-2x+1,■-13(x-1)都不是一元一次不等式组.4.不等式组的解集概念我们知道一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解的集合,简称为这个不等式的解集,那么一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,就称为这个一元一次不等式组的解集.如x<3,x<1中两个不等式解集的公共部分为x<1,则其解集为x<1;x>3,x>1中两个不等式解集的公共部分为x>3,则其解集为x>3;x<3,x>1中两个不等式解集的公共部分为1x>3,x<1中两个不等式解集的公共部分不存在,则其解集为无解.我们可以用一句口诀来概括其中的规律:同大取大,同小取小;大小小大取中间,大大小小便无解.二、了解不等式解集的表示方法1.用不等式表示一般地,一个含有未知数的不等式有无数个解,它的解为某个范围,这个范围可以用一个具体的、简单的不等式来表示.如:不等式x+3>-1的解集为x>-4;不等式2x+1<3的解集为x<1.2.用数轴来表示用数轴可以直观地表示出一个不等式的解集.表示时,必须注意不等式的类型.小于a则在数轴上表示a的点的左边,大于a则在数轴上表示a的点的右边,且表示a的点处是一个空心;如果是“小于或等于a”或“大于或等于a”时,则表示a的点处应该是一个实心.例3在数轴上表示下列不等式的解集:(1)x<3;(2)x≥3.【解答】(1)在数轴上表示x<3为:;(2)在数轴上表示x≥3为:.【点评】在数轴上表示不等式时,首先在数轴上找到表示不等号右边数的点,再根据“小于向左画、大于向右画、无等号画空心、有等号画实心”用相应的线在数轴上表示出不等式的解集.三、理解不等式的性质,掌握一元一次不等式的解法不等式的性质有两个.不等式的性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变;不等式的性质2:不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.其中特别要注意的是:在不等式的两边都乘(或除以)同一个负数时,不等号的方向必须改变.和一元一次方程的解法类似,解一元一次不等式的基本步骤是:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)系数化为1.逐步将不等式转化为x>a(x≥a)或xx>四、掌握解一元一次不等式组的一般步骤解一元一次不等式组的一般步骤大致为:先分别求得不等式组中各个不等式的解集,再求出这几个不等式解集的公共部分,从而确定不等式组的解集.如:解不等式2x-4<6,5(x-2)+3>-3x+1,先分别求得不等式2x-4<6的解集为x<5,不等式5(x-2)+3>-3x+1的解集为x>1,再把它们在如图所示的数轴上表示出来,因此,这个不等式组的解集为1五、正确理解题意,找出不等关系,列出一元一次不等式,解决实际问题和列一元一次方程解决实际问题类似,在解答具有不等关系的实际问题时,往往先列出不等关系,再用含有未知数的代数式分别表示相关数量,再根据不等关系列出一元一次不等式,进而解出不等式,写出答案.例4某单位共有36位工作人员,为改善办公设备,提高工作效率.单位准备为每位工作人员配备一台手提电脑.现有A、B两种型号的手提电脑供选择.根据预算,共需资金145000元.购买一台A型电脑和两台B型电脑共需资金11840元;购买两台A型电脑和一台B型电脑共需资金12040元.(1)购买一台A型电脑和一台B型电脑所需的资金分别是多少元?(2)问该单位最多能购买A型电脑多少台?【分析】本题中第(2)题,隐含着一个不等量关系:购买A、B两种型号的手提电脑的费用和≤总资金.因此,可以建立关于所购买商品的价格为未知数的不等式解决问题.【解答】(1)设A型电脑x台,B型电脑y台,根据题意,列方程组,得:x+2y=11840,2x+y=12040.解得:x=4080,y=3880.答:购买一台A型电脑和一台B型电脑所需的资金分别是4080元和3880元.(2)设该单位能购买A型电脑a台,根据题意,得:4080x+3880(36-a)≤145000,解得a≤26.6.所以该单位最多能购买A型电脑26台.【点评】本题能够融二元一次方程组与一元一次不等式的应用于一体,考查同学们分析问题、解决问题的能力.解答这类问题的关键是理解题意,找到题目的等量关系和不等量关系分别列出方程组和不等式组求解.对于问题中出现的“至少”、“至多”、“不少于”等等,往往隐含着不等关系,需要建立不等式进行解答.。
一元一次不等式组的知识点及其经典习题讲解
一元一次不等式组的知识点及其经典习题讲解知识点一:一元一次不等式组由含有同一未知数的几个一元一次不等式组合在一起,叫做一元一次不等式组。
如:,。
要点诠释:在理解一元一次不等式组的定义时,应注意两点:(1)不等式组里不等式的个数并未规定,只要不是一个,两个、三个、四个等都行;(2)在同一不等式组中的未知数必须是同一个,不能在这个不等式中是这个未知数,而在另一个不等式中是另一个未知数。
知识点二:一元一次不等式组的解集组成一元一次不等式组的几个不等式的解集的公共部分叫做一元一次不等式组的解集.(1)求几个一元一次不等式的解集的公共部分,通常是利用数轴来确定的,公共部分是指数轴上被各个不等式解集的区域都覆盖的部分。
(2)用数轴表示由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集,一般可分为以下四种情况:知识点三:一元一次不等式组的解法求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组。
解一元一次不等式组的一般步骤为:(1)分别解不等式组中的每一个不等式;(2)将每一个不等式的解集在数轴上表示出来,找出它们的公共部分;(3)根据找出的公共部分写出这个一元一次不等式组的解集(若没有公共部分,说明这个不等式组无解).要点诠释:用数轴表示不等式组的解集时,要时刻牢记:大于向右画,小于向左画,有等号画实心圆点,无等号画空心圆圈。
知识点四:利用不等式或不等式组解决实际问题列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似,即(1)审:认真审题,分清已知量、未知量;(2)设:设出适当的未知数;(3)找:找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字,如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义;(4)列:根据题中的不等关系,列出不等式或不等式组;(5)解:解出所列的不等式或不等式组的解集;(6)答:检验是否符合题意,写出答案。
要点诠释:在以上步骤中,审题是基础,是根据不等关系列出不等式的关键,而根据题意找出不等关系又是解题的难点,特别要注意结合实际意义对一元一次不等式或不等式组的解进行合理取舍,这是初学者易错的地方。
一元一次不等式知识点小结
一元一次不等式知识点小结在求解一元一次不等式时,可以利用以下几个知识点:1.加减法原则:一元一次不等式可以通过加减法原则进行变形。
当不等式的两边同时加或减一个相同的数时,不等号方向仍保持不变。
2.乘除法原则:一元一次不等式可以通过乘除法原则进行变形。
当不等式的两边同时乘以或除以一个正数时,不等号方向不变;当不等式的两边同时乘以或除以一个负数时,不等号方向改变。
3.移项:当一元一次不等式中含有多个项时,可以通过移项将含有变量的项移到一边,将不含变量的项移到另一边。
4.正负号:当一元一次不等式中乘以或除以一个负数时,需要注意不等号方向的改变。
如果乘以或除以一个负数后,不等式的两边都是正数,那么不等号方向不变;如果乘以或除以一个负数后,不等式的两边同时变成负数,那么不等号方向改变。
5.绝对值:当一元一次不等式中含有绝对值时,需要考虑绝对值的正负情况进行讨论。
当绝对值大于0时,可以去掉绝对值符号;当绝对值小于0时,绝对值为正数。
6.比较大小:在求解一元一次不等式时,有时需要进行大小比较。
可以通过移项、加减法原则等方法进行比较。
7.判断解集:在求解一元一次不等式后,需要判断解集的范围。
可以通过画数轴、取样本点等方法进行判断。
需要注意的事项:1.乘法原则的使用时要谨慎,需要进行正负号的判断。
2.当不等号两边存在分数时,要特别注意分母的正负情况,可以通过乘以分母的方式去分母。
3.结果的表达要准确,是大于、小于还是大于等于、小于等于都要根据实际情况进行判断。
4.在求解一元一次不等式时,可以图像法、数值法等辅助工具进行验证。
通过掌握以上知识点,我们可以较为轻松地求解一元一次不等式,并得出正确的解集。
同时,在实际生活中,我们也可以应用这些知识点解决一些实际问题,例如在购买商品时,判断价格是否合适等。
一元一次不等式知识点及典型例题
一元一次不等式知识点及典型例题宿州市第二初级中学 陆连荣个整式,不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以或者除以一个正数,不等号方向不变。
一元一次不等式④不等式的两边都乘以或除以同一个负数,不等号方向相反。
考点一、不等式的概念 (3 分)7、不等式的解集:1、不等式:用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式。
①能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。
2、不等式的解集:对于一个含有未知数的不等式,任何一个适合这个不等式的未知数的值, ②一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。
都叫做这个不等式的解。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
3、对于一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合,简称这 知识点与典型基础例题个不等式的解集。
一 不等式的概念:4、求不等式的解集的过程,叫做解不等式。
例 判断下列各式是否是一元一次不等式?5、用数轴表示不等式的方法 考点二、不等式基本性质 (3~5 分)-x≥5 2x-y<02x 34x 5x22 x531、不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。
二 不等式的解 :2、不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。
三 不等式的解集:3、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
例 判断下列说法是否正确,为什么?4、说明:①在一元一次不等式中,不像等式那样,等号是不变的,是随着加或乘的运算改 X=2 是不等式 x+3<2 的解。
X=2 是不等式 3x<7 的解。
变。
②如果不等式乘以 0,那么不等号改为等号所以在题目中,要求出乘以的数,那么不等式 3x<7 的解是 x<2。
X=3 是不等式 3x≥9 的解就要看看题中是否出现一元一次不等式,如果出现了,那么不等式乘以的数就不等为 0,四 一元一次不等式:否则不等式不成立;例 判断下列各式是否是一元一次不等式考点三、一元一次不等式 (6--8 分) 1、一元一次不等式的概念:一般地,不等式中只含有一个未知数,未知数的次数是 1,且-x<5 2x-y<02x 3x22 x5≥3x不等式的两边都是整式,这样的不等式叫做一元一次不等式。
一元一次不等式的总结归纳
一元一次不等式的总结归纳一元一次不等式是数学中的重要概念,它在方程不等式解集的求解中起着重要的作用。
在本文中,我将对一元一次不等式的基本概念、性质和解法进行总结归纳。
一、基本概念一元一次不等式是指只含有一个未知数,并且该未知数的最高次数为1的不等式。
一元一次不等式的一般形式为ax + b < 0(或>,≤,≥),其中a和b为实数,且a≠0。
二、性质1. 无论如何调换不等号的方向,不等式仍然成立。
例如,若a < b,则b > a。
2. 两边同时加(减)一个相同的数,不等式仍然成立。
例如,若a > b,则a + c > b + c。
3. 两边同时乘(除)一个正数,不等式方向不变;两边同时乘(除)一个负数,不等式方向反向。
例如,若a > b,则ac > bc;若a > b且c < 0,则ac < bc。
4. 若一个一元一次不等式的解集是(-∞,x)(或(x,+∞),[x,+∞)),那么这个不等式的解集可以表示为x < k(或k < x,k ≤ x)的形式。
5. 若一个一元一次不等式的解集是[x1,x2],那么这个不等式的解集可以表示为x1 ≤ x ≤ x2的形式。
三、解法对于一元一次不等式,我们可以依据性质2和性质3来进行解法,即通过对不等式进行相加、相减、相乘、相除的操作,将未知数的系数化为1,最终求解出未知数的范围。
以一个具体的例子来说明解法:将不等式3x - 5 > 2x + 4进行求解。
首先,我们可以将未知数的系数化为1,通过减去2x以及加上5,将不等式转化为x > 9。
因此,这个不等式的解集为(x,+∞),即x的取值范围大于9。
四、示例问题1. 求解不等式2x - 7 ≤ 5x + 3。
解:将未知数的系数化为1,通过减去2x以及加上7,将不等式转化为-5x ≤ 10。
接着,将不等式两边同时除以-5,并注意不等号的反向,得到x ≥ -2。
一元一次不等式
一元一次不等式一元一次不等式是初中数学中的一个重要概念。
它是一种用来描述数之间大小关系的数学式子,由一个未知数和一个或多个常数构成。
本文将从基本概念、求解方法和应用场景三个方面介绍一元一次不等式的相关知识。
1. 基本概念一元一次不等式是指由一个未知数和一个或多个常数构成的不等式。
一元一次不等式的一般形式为Ax + B > 0(或< 0),其中A和B为实数,且A ≠ 0。
在求解一元一次不等式时,需要注意以下几个基本规则:- 若A > 0,则不等式两端同时乘以正数(或正数的等价形式)不改变不等式的方向。
- 若A < 0,则不等式两端同时乘以负数(或负数的等价形式)会改变不等式的方向。
- 不等式两端同时加(或减)同一个数值,不等式的方向不变。
2. 求解方法对于一元一次不等式的求解,我们可以采用图像法、试值法或代数法等不同方法。
2.1 图像法图像法是一种直观的方法,通过绘制函数图像来确定不等式的解。
对于一元一次不等式Ax + B > 0(或< 0),我们可以绘制出函数y = Ax + B 的图像,并根据图像在数轴上的位置来确定不等式的解集。
2.2 试值法试值法是一种简单有效的方法,在不等式两边选择一些特定的数值进行代入,然后判断不等式的成立情况。
通过不断尝试,最终找到满足不等式的解集。
2.3 代数法代数法是一种更为精确的方法,它基于等价变形和性质运算对不等式进行求解。
通过将一元一次不等式进行等价变形,将未知数的系数化为1,从而得到不等式的解集。
3. 应用场景一元一次不等式在实际问题中有着广泛的应用。
以下是两个常见的应用场景:3.1 财务管理在财务管理中,一元一次不等式可以用来描述投资、贷款或收入等方面的问题。
例如,假设一个人每月的收入为x元,他将其中的40%用于生活费,那么可以通过不等式0.4x > 1000 来计算他每月的最低收入。
3.2 生产与销售在生产与销售中,一元一次不等式可以用来描述成本、销售量和利润等关系。
一元一次不等式考点整理
七、解不等式组 解析:分别解出两个不等式,解集利用数轴或口诀得出。 难度:简单-较难 22、解不等式组
5 x 1 3( x 1) 1 3 x 1 7 x 2 2
1
3 2x 2x 3 1 2 2 x 1 2 4 2
23、
代数式 1-m 的值大于-1,又不大于 3,则 m 的取值范围是(
)
A. 1 m 3
B. 3 m 1
C. 2 m 2
D. 2 m 2
x 2 x. 0 的解集是( 24、不等式组 x 1
)
A.x 1
B.x 0
C.0 x 1
D. 2 a 2 b - 2x 0
2x 1 3
3x 4 2(5x-9)≤x+3(4-2x). 6
四、不等式的整数解问题 解析:得出不等式解集,利用数轴可直观看出来。 难度:简单 11、不等式 4( x 2) 2(3x 5) 的非负整数解的个数为( (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 )
12、3X≤12 的自然数解有个
a b 3 3
)
D、-a>-b
3、若 m n ,则下列不等式中成立的是(
2 2 (A) m a n b (B) ma nb (C) m a na (D) a m a n
4、若 a b ,则下列不等式中正确的是() A、 3 a 3 b B、 a b 0 C、 a
-2-1 0 1 2 3 4
(B) (D)
-2-1 0 1 2 3 4
-2-1 0 1 2 3 4
-2-1 0 1 2 3 4
20、
一元一次不等式知识点及典型例题
一元一次不等式考点一、不等式的概念 (3分)1、不等式:用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式。
2、不等式的解集:对于一个含有未知数的不等式,任何一个适合这个不等式的未知数的值,都叫做这个不等式的解。
3、对于一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集。
4、求不等式的解集的过程,叫做解不等式。
5、用数轴表示不等式的方法考点二、不等式基本性质 (3~5分)1、不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。
3、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
4、说明:①在一元一次不等式中,不像等式那样,等号是不变的,是随着加或乘的运算改变。
②如果不等式乘以0,那么不等号改为等号所以在题目中,要求出乘以的数,那么就要看看题中是否出现一元一次不等式,如果出现了,那么不等式乘以的数就不等为0,否则不等式不成立; 考点三、一元一次不等式 (6--8分)1、一元一次不等式的概念:一般地,不等式中只含有一个未知数,未知数的次数是1,且不等式的两边都是整式,这样的不等式叫做一元一次不等式。
2、解一元一次不等式的一般步骤:(1)去分母(2)去括号(3)移项(4)合并同类项(5)将x 项的系数化为1 考点四、一元一次不等式组 (8分)1、一元一次不等式组的概念:几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组。
2、几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
3、求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组。
4、当任何数x 都不能使不等式同时成立,我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
5、一元一次不等式组的解法(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,即这个不等式组的解集。
6、不等式与不等式组不等式:①用符号〉,=,〈号连接的式子叫不等式。
一元一次不等式专题
不等式专题【知识要点】1. 一元一次不等式的概念不等号的两边都是整式,而且只含有一个未知数,未知数的最高次数是一次,这样的不等式叫做一元一次不等式. 2. 不等式的解与解集能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解;不等式所有解的集合叫做不等式的解集.解不等式的实质是求不等式的解集. 3. 解一元一次不等式的步骤:略 4. 一元一次不等式组的概念一般地,由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式,叫做一元一次不等式组. 5. 不等式组的解集的概念组成不等式组的各个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集.当它们没有公共部分时,称这个不等式组无解. 6. 一元一次不等式的应用应用一元一次不等式可以刻画和解决很多实际生活中的有关不等关系的问题,解题关键是找出不等关系,列出不等式. 【温馨提示】1. 在用数轴表示不等式的解集时,“<”或“>”用空心点,“≤”或“≥”用实心点.2. 把不等式中的任何一项的符号改变后,从不等号的一边移到另一边,所得到的不等式仍成立。
即在解不等式时,移项法则同样适用.3. 可以按下面的口诀识记不等式组解的求法:同大取大,同小取小,不大不小中间找,大大小小解为空. 【方法技巧】解不等式就是利用不等式的基本性质,对不等式进行变形,最终化为“x a >”(或“x a ≥”,“x a <”(或“x a ≤”)的形式.不等式组的整数解的求法:先求出两个不等式的解集的公共部分,再找出符合条件的整数.专题一 天平问题1. 设a 、b 、c 表示三种不同物体的质量,用天平称两次,情况如图所示,则这三种物体的质量从小到大排序正确的是( )A .c <b <aB .b <c <aC .c <a <bD .b <a <c2. 如图,a ,b ,c 三种物体的质量从大到小的关系是__________.专题二 方程(组)与不等式联姻3. 若关于的二元一次方程组3133x y ax y +=+⎧⎨+=⎩的解满足x+y <2,则a 的取值范围为()A .a <4B .a >4C .a <-4D .a >-44. 关于x 的方程mx-1=2x 的解为正实数,则m 的取值范围是( ) A .m ≥2 B .m ≤2 C .m >2 D .m <25. 关于x ,y 的方程组131x y m x y m +=+⎧⎨-=-⎩的解满足x >y ,求m 的最小整数值.专题三 一元一次不等式组的解6. 若不等式组33x x x m <⎧⎪>-⎨⎪>⎩无解,则m 的取值范围是( )A.m≤-3B.m≥3C.-3<m <3D.m≤-3或m≥3 7. 填空:(1)若a >b ,⎩⎨⎧>>b x a x ,的解集为________. (2)若a >b ,⎩⎨⎧<<bx a x ,的解集为________.(3)若a >b ,⎩⎨⎧><b x a x ,的解集为_______.(4)若a >b ,⎩⎨⎧<>b x a x ,的解集为___________.8. 若不等式组2346a x a x -<<+⎧⎨<<⎩的解集是4<x <a+3,则a 的取值范围是______________.专题四 利用不等式组解题9. 若|a+2|·|a-3|=-(a+2)(a-3),则a 的取值范围是_____________.10.已知a=43x +,b=34x +,且a >3>b ,请探求x 的取值范围.11.已知关于x,y 的方程组682131x y a x y a -=-⎧⎨-=-⎩的解为正数,求a 的取值范围.巩固练习1.解下列不等式(组):(1) 5x +3<3(2+x ); (2) x +12≥3(x -1)-4;(3)⎩⎪⎨⎪⎧x +1≥2,①3(x +1)>x +5;② (4)⎩⎪⎨⎪⎧x -3(x -2)≥4,①1+2x 3>x -1;② (5) ⎩⎪⎨⎪⎧5x -2>3(x +1),①12x -1≤7-32x.②2.解不等式2x -1>3x -12,并把它的解集在数轴上表示出来.3.解不等式x3<1-x -36,并求出它的非负整数解.4.解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x -4≥3(x -2),①x +113-1>-x.②并把它的解在数轴上表示出来.5.x 取哪些整数值时,不等式5x +2>3(x -1)与12x ≤2-32x 都成立?6.某国有企业在“一带一路”的战略合作中,向东南亚销售A 、B 两种外贸产品共6万吨.已知A 种外贸产品每吨800元,B 种外贸产品每吨400元.若A 、B 两种外贸产品销售额不低于3 200万元,则至少销售A 产品多少万吨?7.已知购买一个足球和一个篮球共需130元,购买2个足球和一个篮球共需180元.(1)求每个足球和每个篮球的售价;(2)如果某校计划购买这两种球共54个,总费用不超过4 000元,问最多可买多少个篮球?8.蔬菜经营户老王近两天经营的是青菜和西兰花.(1)昨天的青菜和西兰花的进价和售价如下表,老王用600元批发青菜和西兰花共200市斤,当天售完后老王一共能赚多少钱?(2)今天因进价不变,老王仍用600元批发青菜和西兰花共200市斤,但在运输中青菜损坏了10%,而西兰花没有损坏仍按昨天的售价销售,要想当天售完后所赚的钱不少于昨天所赚的钱,请你帮老王计算,应怎样给青菜定售价?(精确到0.1元)9.解关于x 的不等式:1)1(->-m x m10.甲从一个鱼摊上买了三条鱼,平均每条a 元,又从另一个鱼摊上买了两条鱼,平均每条b 元,后来他又以每条2ba +元的价格把鱼全部卖给了乙,结果发现赔了钱,原因是( ) A .a >b B .a <b C .a =b D .与a 和b 的大小无关 11.已知x <a 的解集中的最大整数为3,则a 的取值范围是______________ 12.若5>m ,试用m 表示出不等式x m x m +->-1)5(的解集 .13若不等式组⎩⎨⎧->-≥+2210x x a x 有解,则a 的取值范围是14.已知ab =4,若-2≤b ≤-1,则a 的取值范围是________17.已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧-=++=+134123p y x p y x 的解满足y x >,求p 的取值范围.18.如果不等式⎩⎨⎧<->-mx x x )1(312的解集是x <2,那么m 的取值范围是( )A .m =2B .m >2C .m <2D .m ≥2 19.若关于x 的不等式组⎩⎨⎧<-<--xa x x x 234)2(3无解,则a 的取值范围是 ( )A .a <1B .a ≤lC .1D .a ≥120.某城市的一种出租车起步价是7元(即在3km 以内的都付7元车费),超过3km 后,每增加1km 加价1.2元(不足1km 按1km 计算),现某人付了14.2元车费,求这人乘的最大路程是( ) A .10km B .9 km C .8km D .7 km。
一元一次不等式知识点及典型例题
一元一次不等式知识点及典型例题一元一次不等式的定义一元一次不等式是指只有一个未知数,并且该未知数只有一次的不等式。
一元一次不等式的一般形式为ax + b > c,其中a、b、c是常数,x是未知数。
一元一次不等式的解集一元一次不等式的解集可以是一个区间,也可以是一个点。
解集的表示方法有三种:1.集合表示法:用大括号{}将所有解组成一个集合,例如{x | x > 3}表示所有大于 3 的实数构成的集合。
2.区间表示法:用方括号[]或圆括号()表示解集的开始和结束,方括号表示包含开始或结束的解,圆括号则表示不包含开始或结束的解。
例如(3, +∞)表示大于 3 的实数构成的区间。
3.图示表示法:用数轴上的线段表示解集。
例如,解集{x | x > 3}可以表示为一个起点为 3 且向右延伸的线段。
不等式的性质不等式和等式有许多相似的性质,例如:1.传递性:如果不等式a > b和b > c成立,则不等式a > c也成立。
2.乘法性:如果不等式a > b成立,并且c是正数,则不等式ac > bc也成立。
如果c是负数,则不等式的方向改变,即不等式ac < bc也成立。
3.加法性:如果不等式a > b成立,并且c是任意实数,则不等式a + c > b + c也成立。
解一元一次不等式的方法解一元一次不等式的基本步骤如下:1.将不等式转化为标准形式:将不等式的对立面转化为标准形式,即将不等号方向统一,将常数项移到等号右边。
2.去括号:如果有括号,可以使用分配律或去括号规则去除括号。
3.合并同类项:将同类项合并,化简表达式。
4.移项:将未知数项移到等号右边,常数项移到等号左边,使得方程只有一个未知数项。
5.通过运算求解:通过计算得到未知数的解。
6.确定解集:根据不等式的类型,确定解集的表示方法。
典型例题以下是一些典型的一元一次不等式例题,并给出了详细解题步骤和解集表示:例题1求解不等式3x + 5 < 7的解集。
(完整版)一元一次不等式知识点总结
一元一次不等式知识点一:不等式的概念1. 不等式:用“<”(或“≤”),“>”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子,叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.要点诠释:(1)不等号的类型:①“≠”读作“不等于”,它说明两个量之间的关系是不等的,但不能明确两个量谁大谁小;②“>”读作“大于”,它表示左边的数比右边的数大;③“<”读作“小于”,它表示左边的数比右边的数小;④“≥”读作“大于或等于”,它表示左边的数不小于右边的数;⑤“≤”读作“小于或等于”,它表示左边的数不大于右边的数;(2) 等式与不等式的关系:等式与不等式都用来表示现实世界中的数量关系,等式表示相等关系,不等式表示不等关系,但不论是等式还是不等式,都是同类量比较所得的关系,不是同类量不能比较。
(3) 要正确用不等式表示两个量的不等关系,就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。
2.不等式的解:能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。
要点诠释:由不等式的解的定义可以知道,当对不等式中的未知数取一个数,若该数使不等式成立,则这个数就是不等式的一个解,我们可以和方程的解进行对比理解,要判断一个数是否为不等式的解,可将此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断。
3.不等式的解集:一般地,一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。
求不等式的解集的过程叫做解不等式。
如:不等式x-4<1的解集是x<5. 不等式的解集与不等式的解的区别:解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.二者的关系是:解集包括解,所有的解组成了解集。
要点诠释:不等式的解集必须符合两个条件:(1)解集中的每一个数值都能使不等式成立;(2)能够使不等式成立的所有的数值都在解集中。
知识点二:不等式的基本性质基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变。
一元一次不等式知识点及典型例题
一元一次不等式 考点一、不等式的概念 1、不等式:用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式。
例 判断如下各式是否是一元一次不等式? word-x≥5 2x-y<02x 34x 5x22 x532、不等式的解集:对于一个含有未知数的不等式,任何一个适合这个不等式的未知数二 不等式的解 :的值,都叫做这个不等式的解。
三 不等式的解集:3、对于一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合,简 例 判断如下说法是否正确,为什么?称这个不等式的解集。
X=2 是不等式 x+3<2 的解。
X=2 是不等式 3x<7 的解。
不等式 3x<7 的4、求不等式的解集的过程,叫做解不等式。
解是 x<2。
X=3 是不等式 3x≥9 的解5、用数轴表示不等式的方法四 一元一次不等式:考点二、不等式根本性质例 判断如下各式是否是一元一次不等式1、不等式两边都加上〔或减去〕同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以〔或除以〕同一个正数,不等号的方向不变。
-x<5 2x-y<02x 3x22 x 5 ≥3x3、不等式两边都乘以〔或除以〕同一个负数,不等号的方向改变。
例 五.不等式的根本性质问题4、说明:①在一元一次不等式中,不像等式那样,等号是不变的,是随着加或乘的运 例 1 指出如下各题中不等式的变形依据算改变。
②如果不等式乘以 0,那么不等号改为等号所以在题目中,要求出乘以的 数,那么就要看看题中是否出现一元一次不等式,如果出现了,那么不等式乘以的1〕由 3a>2 得 a> 2 32) 由 3+7>0 得 a>-7数就不等为 0,否如此不等式不成立; 考点三、一元一次不等式3〕由-5a<1 得 a>- 1 54)由 4a>3a+1 得 a>11、一元一次不等式的概念:一般地,不等式中只含有一个未知数,未知数的次数是 1, 例 2 用>〞或<〞填空,并说明理由且不等式的两边都是整式,这样的不等式叫做一元一次不等式。
一元一次不等式(组)知识总结及经典例题分析
二、一元一次不等式的解法:解一元一次不等式,要根据不等式的性质,将不等式逐步化为x a <(x a >或 )x a x a ³£或或的形式,其一般步骤为:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)系数化为1。
说明:解一元一次不等式和解一元一次方程类似.不同的是:一元一次不等式两边同乘以(或除以或除以))同一个负数时,不等号的方向必须改变,这是解不等式时最容易出错的地方.负数时,不等号的方向必须改变,这是解不等式时最容易出错的地方.例如:131321£---x x 解不等式: 解:去分母,得解:去分母,得 6)13(2)13£---x x ((不要漏乘!每一项都得乘) 去括号,得去括号,得去括号,得 62633£+--x x (注意符号,不要漏乘!)移移 项,得项,得项,得 23663-+£-x x (移项,每一项要变号;但符号不改变) 合并同类项,得合并同类项,得合并同类项,得 73£-x (计算要正确)系数化为系数化为1, 得 37-³x (同除负,不等号方向要改变,分子分母别颠倒了)三、一元一次不等式组含有同一个未知数的含有同一个未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组,叫做一元一次不等式组。
一元一次不等式所组成的不等式组,叫做一元一次不等式组。
说明:判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件:判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件:①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式,且未知数相同;①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式,且未知数相同;②不等式组中不等式的个数至少是2个,也就是说,可以是2个、个、33个、个、44个或更多.个或更多.四、一元一次不等式组的解集一元一次不等式组中,几个不等式解集的公共部分.叫做这个一元一次不等式组的解集.一元一次不等式组中,几个不等式解集的公共部分.叫做这个一元一次不等式组的解集.一元一次不等式组中,几个不等式解集的公共部分.叫做这个一元一次不等式组的解集.一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定.一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定.五、不等式组解集的确定方法,可以归纳为以下四种类型(b a <) a a a a x <ax >a x ≤a x ≥a 一元一次不等式和不等式组【知识要点】一、一元一次不等式1. 一元一次不等式定义:含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
一元一次不等式知识点
一元一次不等式知识点1. 一元一次不等式的定义一元一次不等式是指包含一个未知数,且未知数的最高次数为一的不等式。
其一般形式为 ax + b > c 或 ax + b < c,其中 a, b, c 是实数,a ≠ 0。
2. 基本性质一元一次不等式具有以下基本性质:- 不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变。
- 不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。
- 不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
- 0 特殊性:0 不小于任何负数,不大于任何正数。
3. 解一元一次不等式的步骤- 移项:将含有未知数的项移到不等号的一边,常数项移到另一边。
- 合并同类项:将含有未知数的项系数化为1,同时将常数项相加减。
- 求解:根据系数化为1后的不等式,直接求出解集。
4. 特殊注意事项- 当系数化为1时,如果系数的分母为负数,需要改变不等号的方向。
- 解一元一次不等式时,需要注意不等式两边的运算顺序和运算规则。
5. 常见题型及解法- 直接求解:直接根据一元一次不等式的解法步骤求解。
- 应用题:将实际问题转化为一元一次不等式,然后求解。
- 系统求解:多个一元一次不等式组成的不等式组,需要找到满足所有不等式的解集。
6. 不等式组的解集- 同大取大:两个不等式都是大于号,取较大的那个数。
- 同小取小:两个不等式都是小于号,取较小的那个数。
- 大大小小中间找:一个不等式是大于号,另一个是小于号,取中间的数。
- 无解:一个不等式要求大于某个数,另一个要求小于同一个数,这种情况下无解。
7. 练习题- 解不等式 2x - 3 > 5,并表示在数轴上。
- 一个数的两倍减去5不小于10,求这个数的取值范围。
- 有两个房间,第一个房间的温度比第二个房间的温度高至少5度,如果第二个房间的温度是18度,求第一个房间的温度范围。
8. 总结一元一次不等式是初中数学的重要知识点,掌握其性质和解法对于解决实际问题和进一步学习数学都具有重要意义。
一元一次不等式知识点复习
第9章一元一次不等式(组)知识点一、不等式的概念及其性质1.不等式的概念:用不等号表示不等关系的式子,常用的不等号有:>、<、≥、≤,≠.2.不等式的基本性质不等式的性质1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.用式子可表示为:如果a>b,那么________________不等式的性质2:不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.用式子可表示为:如果a>b,c>0,那么_________________不等式的性质3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.用式子可表示为:如果a>b,c<0,那么_________________知识点二、不等式的解和解集、数轴表示1. 不等式的解和不等式的解集:_______都叫做这个不等式的解.________________为解集;2.用数轴表示不等式的解集用数轴表示不等式应该记住以下规律:①不等号大于向右画,小于向左画;②有等号画实点,无等号画空心点.通常有如下四种情况:_________ ________ ________ _________知识点三、一元一次不等式概念及其解法1.一元一次不等式的概念:_________________________________叫做一元一次不等式.2. 一元一次不等式的解法:利用不等式得性质,_________这个过程叫做解一元一次不等式.解一元一次不等式得一般步骤:①去_________(根据不等式基本性质2或3);②去_________(整式运算法则);③____________(根据不等式基本性质1);④______________(根据合并同类项法则);⑤______________(根据不等式性质2或3).知识点四、一元一次不等式组概念、解集及其解法1.一元一次不等式组:_________________________就组成了一个一元一次不等式组.2.一元一次不等式组解集的概念及解法:_______________________叫做一元一次不等式组的解集.我们___________________________________叫做解不等式组.3. 解一元一次不等式组的方法和步骤:(1)分别求出这个不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分(这些不等式的解集在数轴上表示出来的重合部分).即求出了这个不等式组的解集.由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集,可归纳如下表所示四种情况: 知识点五、列不等式(组)解应用题的一般步骤(1)弄清题意和题中的数量关系,用字母表示未知数.(2)找出能表示题目全部含义的一个(多个)不等关系(不等关系的给出一般以 “少于”、“不超过”、“怎么办可获得最大利润”等词语作为标志). (3)根据这个不等关系列出所需要的代数式,从而列出不等式. (4)解这个不等式(组),求出解集. (5)写出符合实际意义的解.典型例题解析例1. 若x>y ,则下列式子中错误的是( ) A.33->-y x B.33yx > C.33+>+y x D.y x 33->- 例2. 不等式1-x > 0的解集在数轴上表示正确的是 ( )例3.一个关于x 的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图,则该不等式组的解集是 A .1x > B . 1x ≥ C . 3x > D . 3x ≥例4. 一元一次不等式组⎩⎨⎧≤-+05x 01x 2>的解集中,整数解的个数是( )A .4B .5C .6D .7 例5.若关于x 的一元一次不等式组10,x x a -<⎧⎨->⎩无解,则a 的取值范围是( )A .a ≥1B .a >1C .a ≤-1D .a <-1例6. 当x 时,分式2211x x -+的值为负. 例7. 已知实数x 、y 满足2x -3y =4,并且x≥-1,y <2,现有k =x -y ,则k 的取值范围是 .例8.解不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧≥+->+xx x x3312312并判断x例9. 甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致,每张办公桌800元,每张椅子80元.甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案,甲厂家:买一张桌子送三张椅子;乙厂家:桌子和椅子全部按原价8折优惠.现某公司要购买3张办公桌和若干张椅子,若购买的椅子数为x 张(x≥9).(1)分别用含x 的式子表示甲、乙两个厂家购买桌椅所需的金额; (2)购买的椅子至少多少张时,到乙厂家购买更划算?例10. 某汽车专卖店销售A ,B 两种型号的新能源汽车,上周售出1辆A 型车和3辆B 型车,销售额为96万元,本周已售出2辆A 型车和1辆B 型车,销售额为62万元。
初二数学一元一次不等式知识点及经典例题
一元一次不等式重点:不等式的性质和一元一次不等式的解法。
难点:一元一次不等式的解法和一元一次不等式解决在现实情景下的实际问题。
知识点一:不等式的概念1. 不等式:用“<”(或“≤”),“>”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子,叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.要点诠释:(1)不等号的类型:①“≠”读作“不等于”,它说明两个量之间的关系是不等的,但不能明确两个量谁大谁小;②“>”读作“大于”,它表示左边的数比右边的数大;③“<”读作“小于”,它表示左边的数比右边的数小;④“≥”读作“大于或等于”,它表示左边的数不小于右边的数;⑤“≤”读作“小于或等于”,它表示左边的数不大于右边的数;(2) 等式与不等式的关系:等式与不等式都用来表示现实世界中的数量关系,等式表示相等关系,不等式表示不等关系,但不论是等式还是不等式,都是同类量比较所得的关系,不是同类量不能比较。
(3) 要正确用不等式表示两个量的不等关系,就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。
知识点二:不等式的基本性质基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变。
符号语言表示为:如果,那么。
基本性质2:不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。
符号语言表示为:如果,并且,那么(或)。
基本性质3:不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
符号语言表示为:如果,并且,那么(或)要点诠释:(1)不等式的基本性质1的学习与等式的性质的学习类似,可对比等式的性质掌握;(2)要理解不等式的基本性质1中的“同一个整式”的含义不仅包括相同的数,还有相同的单项式或多项式;(3)“不等号的方向不变”,指的是如果原来是“>”,那么变化后仍是“>”;如果原来是“≤”,那么变化后仍是“≤”;“不等号的方向改变”指的是如果原来是“>”,那么变化后将成为“<”;如果原来是“≤”,那么变化后将成为“≥”;(4)运用不等式的性质对不等式进行变形时,要特别注意性质3,在乘(除)同一个数时,必须先弄清这个数是正数还是负数,如果是负数,要记住不等号的方向一定要改变。
初一数学一元一次不等式知识点
初一数学一元一次不等式知识点初一数学一元一次不等式知识点一.一元一次不等式的解法:一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似,其步骤为:1.去分母;2.去括号;3.移项;4.合并同类项;5.系数化为1。
二.不等式的基本性质:1.不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变;2.不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;3.不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
三.不等式的解:能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。
四.不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。
五.解不等式的依据不等式的基本性质:性质1:不等式两边加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变,性质2:不等式两边乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,性质3:不等式两边乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,常见考法(1)考查一元一次不等式的解法;(2)考查不等式的性质。
误区提醒忽略不等号变向问题。
【典型例题】(2010年铁岭加速度辅导学校)在四川抗震救灾中,某抢险地段需实行爆破。
操作人员点燃导火线后,要在炸药爆炸前跑到400米以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度是1.2厘米/秒,操作人员跑步的速度是5米/秒。
为了保证操作人员的安全,导火线的长度要超过( )A.66厘米B.76厘米C.86厘米D.96厘米初中数学重点知识点归纳有理数乘法的运算律1、乘法的交换律:ab=ba;2、乘法的结合律:(ab)c=a(bc);3、乘法的分配律:a(b+c)=ab+ac单项式只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。
注意:单项式是由系数、字母、字母的指数构成的。
多项式1、几个单项式的和叫做多项式。
其中每个单项式叫做这个多项式的项。
多项式中不含字母的项叫做常数项。
多项式中次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数。
2、同类项所有字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
一元一次不等式和一元一次不等式组知识梳理
第一讲《一元一次不等式和一元一次不等式组》知识梳理一、知识梳理:1.概念:不等式:用不等号连接起来的式子,叫做不等式。
不等式的解:使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。
不等式的解集:一个含有未知数的不等式的解的全体,叫做不等式的解集。
解不等式:求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程,叫做解不等式。
解不等式组:求不等式组解集的过程,叫做解不等式组.一元一次不等式:左右两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1的不等式叫做一元一次不等式.一元一次不等式组:关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式. 一元一次不等式组的解集:一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集.2.不等式基本性质:(1)基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变。
(用字母表示:若b a >,则c b c a ±>±;若b a <,则c b c a ±<±)(2)基本性质2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。
(用字母表示:若0,>>c b a ,则bc ac >,或c b c a >;若0,><c b a ,则bc ac <,或cb c a <) (3)基本性质3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
(用字母表示:若0,<>c b a ,则bc ac <,或cb c a <;若0,<<c b a ,则bc ac >,或c b c a >) 3.一元一次不等式的解法:与一元一次方程的解法类似。
一般步骤如下:(1)去分母(注意每一项都要乘以各分母的最小公倍数,不要漏乘;如分子是多项式的,去掉分母要加括号)(2)去括号(括号前是负号,去掉括号时里面的每一项都要变号)(3)移项(移项要变号)(4)合并同类项(5)未知数的系数化为1(当两边同时乘以(或除以)一个负数时,要改变不等号的方向)4.一元一次不等式组的解法:(1)分别求出每个不等式的解集。
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一元一次不等式(组 )
考点一、不等式的概念(3分)
1、不等式:用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式。
2、不等式的解集:对于一个含有未知数的不等式,任何一个适合这个不等式的
未知数的值,都叫做这个不等式的解。
3、对于一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集
合,简称这个不等式的解集。
4、求不等式的解集的过程,叫做解不等式。
5、用数轴表示不等式的方法
考点二、不等式基本性质(3~5分)
1、不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。
3、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
4、说明:①在一元一次不等式中,不像等式那样,等号是不变的,是随着加或
乘的运算改变。
②如果不等式乘以0,那么不等号改为等号所以在题目中,要求出乘以的数,那么就要看看题中是否出现一元一次不等式,如果出现了,那么不等式乘以的数就不等为0,否则不等式不成立;
考点三、一元一次不等式(6--8分)
1、一元一次不等式的概念:一般地,不等式中只含有一个未知数,未知数的次
数是1,且不等式的两边都是整式,这样的不等式叫做一元一次不等式。
2、解一元一次不等式的一般步骤:(1)去分母(2)去括号(3)移项(4)合并
同类项(5)将x项的系数化为1
考点四、一元一次不等式组(8分)
1、一元一次不等式组的概念:几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一
元一次不等式组。
2、几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它们所组成的一元一次不等式
组的解集。
3、求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组。
4、当任何数x都不能使不等式同时成立,我们就说这个不等式组无解或其解为
空集。
5、一元一次不等式组的解法
(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集
(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,即这个不等式组的解集。
6、不等式与不等式组
不等式:①用符号〉,=,〈号连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式,不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以或者除以一个正数,不等号方向不变。
④不等式的两边都乘以或除以同一个负数,不等号方向相反。
7、不等式的解集:
①能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
8、常见题型
一、选择题
在平面直角坐标系中,若点P(m-3,m+1)在第二象限,则m的取值范围为( )
A.-1<m<3 B.m>3 C.m<-1D.m>-1答案:A
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则实数的取值范围是()A. B. C. D.答案:D
四个小朋友玩跷跷板,他们的体重分别为P、Q、R、S,如图3所示,则他们的体重大小关系是( D )
A、 B、 C、 D、
把不等式组的解集表示在数轴上正确的是()
答案:C
不等式的解集是()
A.B.C.D.答案:C
若不等式组有实数解,则实数的取值范围是()
A.B.C.D.答案:A
若,则的大小关系为()
A.B.C. D.不能确定答案:A
不等式—x—5≤0的解集在数轴上表示正确的是()
答案:B
不等式<的正整数解有( )
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个答案:C
把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上,如图所示,则这个不等式组可能是()A.B.C.D.
答案:B
不等式组,的解集是()
A. B. C. D.无解答案:C
不等式组的解集在数轴上可表示为()
A B C D
答案:D
实数在数轴上对应的点如图所示,则,,的大小关系正确的是()
A.B.C. D.
答案:D
如图,a、b、c分别表示苹果、梨、桃子的质量.同类水果质量相等,则下列关系正确的是()
A.a>c>b B.b>a>c C.a>b>c D.c>a>b
答案:C
不等式组的解集在数轴上表示正确的是()
答案:C
把不等式组的解集表示在数轴上,正确的为图3中的()
A. B. C. D.答案:B
用表示三种不同的物体,现放在天平上比较两次,情况如图所示,那么这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为()
答案:A
不等式组的解集在数轴上可表示为()
答案:A
在数轴上表示不等式组的解集,正确的是()
答案:A 二、填空题
已知3x+4≤6+2(x-2),则的最小值等于________. 答案:1
如图,已知函数和的图象交点为,则不等式的解集为.
答案:
不等式组的解集为.答案:
不等式组的整数解的个数为.答案:4
6.已知关于的不等式组的整数解共有3个,则的取值范围是.
答案:
9.不等式组的解集是.答案:
10.直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于的不等式的解集为.
答案:<-1
13.已知不等式组的解集为-1<x<2,则(m+n)2008=__________.答案:1
三、简答题
解不等式组
解:解不等式(1),得.解不等式(2),得.
原不等式组的解是.
解不等式组并写出该不等式组的最大整数解.
解:解不等式x+1>0,得x>-1 解不等式x≤,得x≤2 ∴不等式得解集为-1<x≤2 ∴该不等式组的最大整数解是2
若不等式组的整数解是关于x的方程的根,求a 的值。
解:解不等式得,则整数解x=-2代入方程得a=4。
解方程。
由绝对值的几何意义知,该方程表示求在数轴上与1和-2的距离之和为5的点对应的x的值。
在数轴上,1和-2的距离为3,满足方程的x对应点在1的右边或-2的左边,若x对应点在1的右边,由图(17)可以看出x=2;同理,若x对应点在-2的左边,可得x=-3,故原方程的解是x=2或x=-3
参考阅读材料,解答下列问题:
(1)方程的解为
(2)解不等式≥9;
(3)若≤a对任意的x都成立,求a的取值范围
解:(1)1或.(2)和的距离为7,
因此,满足不等式的解对应的点3与的两侧.
当在3的右边时,如图(2),易知.
当在的左边时,如图(2),
易知.原不等式的解为或
(3)原问题转化为:大于或等于最大值.
当时,,
当,随的增大而减小,
当时,,即的最大值为7.
故.
解不等式组并把解集表示在下面的数轴上.
解:的解集是:
的解集是:
所以原不等式的解集是:………………………………………(3分)
解集表示如图…………………………………………………………………(5分)
解不等式组
解:
由不等式(1)得:<5
由不等式(2)得:≥3
所以:5>x≥3
解不等式组:并判断是否满足该不等式组.解:原不等式组的解集是:,满足该不等式组.
解不等式组,并把解集在数轴上表示出来.
解:解不等式①,得x<2, …………………………………………………2分
解不等式②,得x≥-1. ………………………………………………4分
所以,不等式组的解集是-1≤x<2. ……………………………………5分
不等式组的解集在数轴上表示如下:
解不等式组,并把解集在数轴上表示出来.
解:解①得x>-2……4分
解②得x<3……5分
所以,这个不等式组的解集是-2<x<3……6分
解集在数轴上表示正确.……7分
解不等式组:,并将其解集在数轴上表示出来.
解:由得,
不等式组的解集为-5<x≤2.解集在数轴上表示略.
解不等式,并把它的解集在数轴上表示出来.
解:去括号,得.移项,得.合并,得.系数化为1,得.不等式的解集在数轴上表示:
解不等式组,并将解集在数轴上表示出来.
[解]由①得,由②得,
原不等式组的解集是.
在数轴上表示为:
解不等式组
解:由①,得;
由②,得.
原不等式组的解集为.
解不等式:2(x+)-1≤-x+9
解:2x+1-1≤-x+9
2x+x≤9
3x≤9
x≤3
解不等式3x-2<7,将解集在数轴上表示出来,并写出它的正整数解.
解:3x-2<7
3x<7+2
3x<9
x<3
解不等式组
解:由,得
由,得
所以,不等式组的解集是
解不等式组
解:由①式得:,
由②式得:,
∴原不等式组的解集为.
解不等式组,并写出它的所有整数解.
解:
解不等式组并求出所有整数解的和.解:解不等式①,得,
解不等式②,得.
原不等式组的解集是.
则原不等式组的整数解是.
所有整数解的和是:
解不等式组:
解:由①得,
由②得,
不等式组的解集为
解不等式组
解:解不等式(1),得
解不等式(2),得
∴原不等式无解
解不等式组:,并把它的解集在数轴上表示出来。
解:解不等式,得
解不等式,得
所以,不等式组的解集为
在数轴上表
示为:。