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江苏省海安中学、南京外国语学校、金陵中学2016届高三第四次模拟考试数学试题 含答案扫描版

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江苏省海安高级中学

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江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学2010届高三调研测试（数学） （必试部分）注意事项：1.本试卷总分160分，考试用时120分钟。

2.答题前，考生务必将班级、姓名、学号写在答卷纸的密封线内。

选择题答案填涂在答题卡．．．．．．．．．．．对应的题号下，主观题答案写在答卷纸上对应的题号下空格内的横线上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

考试结束后，上交答题卡和答卷纸。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应．．位置上．．．. 1.设复数z 满足()(1)1i i i z ++=-（i 是虚数单位），则复数z 的模z =___▲____.2.已知tan 2α=，则sin()cos()sin()cos()παπααα++-=-+-___▲_____.3.抛物线y 2= 8x 的焦点到双曲线x 212 – y 24= 1的渐近线的距离为___▲___.4.阅读下列算法语句: Read S ←1For I from 1 to 5 step 2 S ←S+I End forPrint S End输出的结果是 ▲ ． 5.设集合11{33},{0}3x x A xB x x-=<<=<，则A B =____▲_______. 6.设等比数列{a n }的公比q = 12，前n 项和为S n ，则 S 4a 4= ____▲_______.7.在区间[5,5]-内随机地取出一个数a ，则恰好使1是关于x 的不等式2220x ax a +-<的一个解的概率大小为__▲_____. 8.已知向量()3,1-b =，2=a ，则2-a b 的最大值为 ▲ ．9.已知A (2,4)，B (–1,2)，C (1,0)，点P (x ,y )在△ABC 内部及边界上运动，则z = x – y 的最大值与最小值的和为___▲___10.设,b c 表示两条直线，,αβ表示两个平面，现给出下列命题： ① 若,//b c αα⊂，则//b c ； ② 若,//b b c α⊂，则//c α； ③ 若//,c ααβ⊥，则c β⊥； ④ 若//,c c αβ⊥，则αβ⊥． 其中正确的命题是___▲______．（写出所有正确命题的序号）11.设函数22,0,()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若关于x 的方程2()()0f x af x -=恰有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围为___▲_____.12.函数()()g xy f x =在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得()()ln ln y g x f x =，两边求导数()()()()()ln f x y g x f x g x y f x '''=+，于是()()g xy f x '=()()()()()ln f x g x f x g x f x '⎡⎤'+⎢⎥⎢⎥⎣⎦．运用此方法可以探求得知()10x y x x =>的一个单调增区间为____▲_____．13.已知椭圆22134x y +=的上焦点为F ，直线10x y ++=和10x y +-=与椭圆相交于点A ，B ，C ，D ，则AF BF CF DF +++= ▲ ．14.已知定义在R 上的函数()f x 满足()12f =，()1f x '<，则不等式()221f x x <+的解集为_▲__．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15.（本小题满分14分）如图，点B 在以PA 为直径的圆周上，点C 在线段AB 上，已知1525,3,7PA PB PC ===，设,APB APC αβ∠=∠=，,αβ均为锐角. （1）求β；（2）求两条向量,AC PC的数量积AC PC ⋅ 的值.16. （本小题满分14分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE //AB ，△ACD 是正三角形，AD = DE = 2AB ，且F 是CD 的中点. ⑴求证：AF //平面BCE ；⑵求证：平面BCE ⊥平面CDE .17．（本大题满分14分）2010年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行，对每天在各时间段进入园区和离开园区的人数（以百人．．为计数单位）作了一个模拟预测．为了方便起见，以10分钟为一个计算单位，上午9点10分作为第一个计数人数的时间，即1n =；9点20分作为第二个计数人数的时间，即2n =；依此类推 ，把一天内从上午9点到晚上24点分成了90个计数单位.第n 个时刻进入园区的人数()f n 和时间n （n *∈N ）满足以下关系： ()()()()()24123612436325363216377207390n n n f n n n n -≤≤⎧⎪⎪⎪⋅≤≤=⎨⎪-+≤≤⎪≤≤⎪⎩，n *∈NPA CBA B C D E F第n 个时刻离开园区的人数()g n 和时间()n n *∈N 满足以下关系：()()()()012451202572,507390n g n n n n n *≤≤⎧⎪=-≤≤∈⎨⎪≤≤⎩N .（1）试计算在当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客多少百人？（提示：123 1.1取，结果仅保留整数） （2）问：当天什么时刻世博园区内游客总人数最多？18.（本小题满分16分）设圆221:106320C xy x y +--+=，动圆222:22(8)4120 C x y ax a y a +---++=，（1）求证：圆1C 、圆2C 相交于两个定点；（2）设点P 是椭圆2214x y +=上的点，过点P 作圆1C 的一条切线，切点为1T ，过点P 作圆2C 的一条切线，切点为2T ，问：是否存在点P ，使无穷多个圆2C ，满足12PT PT =？如果存在，求出所有这样的点P ；如果不存在，说明理由.19. （本小题满分16分）已知数列{a n }的通项公式为a n = 2⨯3n + 23n – 1(n ∈N *).⑴求数列{a n }的最大项；⑵设b n = a n + pa n – 2，试确定实常数p ，使得{b n }为等比数列；⑶设*,,,Nm n p m n p ∈<<，问：数列{a n }中是否存在三项m a ，n a ，p a ，使数列m a ，n a ，p a 是等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由.20．（本大题满分16分）已知函数()()||20,1x xf x a a a a=+>≠， （1）若1a >，且关于x 的方程()f x m =有两个不同的正数解，求实数m 的取值范围； （2）设函数()()[),2,g x f x x =-∈-+∞，()g x 满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a 无关.试求a 的取值范围．数学（加试部分）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．，每小题l0分，共计20分．请在答题卡．．．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.选修4 – 1几何证明选讲如图，△ABC 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线相交于点E , ∠BAC 的平分线与BC 交于点D . 求证：ED 2= EB ·EC .B ．矩阵与变换已知矩阵2143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，4131-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，求满足=AX B 的二阶矩阵X ．C.选修4 – 4 参数方程与极坐标若两条曲线的极坐标方程分别为ρ = 1与ρ = 2cos( + p3),它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.D.选修4 – 5 不等式证明选讲设a ,b ,c 为正实数,求证:a 3 + b 3 + c 3+ 1abc≥2 3.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. （本小题满分10分）如图，在四棱锥P – ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD . ⑴求PA 的长；⑵求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值.23．（本小题满分10分）用,,,a b c d 四个不同字母组成一个含1+n *)(N n ∈个字母的字符串，要求由a 开始，相邻两个字母不同. 例如1=n 时，排出的字符串是,,ab ac ad ；2=n 时排出的字符串是,,,,,,,,aba abc abd aca acb acd ada adb adc ，……， 如图所示.记这含1+n 个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是a 的字符串的种数为n a .（1）试用数学归纳法证明：*33(1)(,1)4N n nn a n n +-=∈≥； （2）现从,,,a b c d 四个字母组成的含*1(,2)N n n n +∈≥个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串，字符串最后一个的字母恰好是a 的概率为P ，求证：2193P ≤≤.B C EDA P BC DA M ab c d n=1abcd n=2ac d a b d a b c参考答案及评分标准题号 1 2 3 4 5答案 2 3 1 10 {}11x x -<<题号 6 7 8 9 10 答案 15 0.7 6 –2 ④题号 111213 14答案{}01a a <≤()0,e 8()(),11,-∞-+∞15.解（1）：因为点B 在以PA 为直径的圆周上，所以90ABP ∠=，所以34cos ,sin 55PB PA αα===.所以4tan 3α=，………………………………………2分372cos cos()101527PB CPB PC αβ∠=-===，2sin()10αβ-=， 所以1tan()7αβ-=，………………………………………………………………4分 tan tan()tan tan[()]11tan tan()ααββααβααβ--=--==+-，…………………………6分又(0,)2πβ∈，所以4πβ=.………………………………………………………8分（2）2()AC PC PC PA PC PC PA PC ⋅=-⋅=-⋅…………………………11分2152152275()577249=-⨯⨯=-……………………………………………14分16. ⑴解:取CE 中点P ，连结FP ,BP ,因为F 为CD 的中点,所以FP //DE ,且FP = 12DE , …2分又AB //DE ,且AB =12DE ,所以AB //FP ,且AB = FP ,所以四边形ABPF 为平行四边形,所以AF //BP . ……………4分 又因为AF ⊂/平面BCE ,BP ⊂平面BCE , 所以AF //平面BCE . …7分 （该逻辑段缺1个条件扣1分）⑵因为△ACD 为正三角形,所以AF ⊥CD . 因为AB ⊥平面ACD ,DE //AB ,所以DE ⊥平面ACD , 又AF ⊂平面ACD ,所以DE ⊥AF . …………………9分 又AF ⊥CD ，CD ∩DE = D ，所以AF ⊥平面CDE .又BP //AF ，所以BP ⊥平面CDE . ……………………………12分 又因为BP ⊂平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面CDE . ………………………………………14分ABCDEFP17． 解：（1）当024n ≤≤且n *∈N 时，()36f n =，当3625≤≤n 且n *∈N 时，2412()363n f n -=⋅所以[]36(1)(2)(3)(24)S f f f f =+++++ …[])36()26()25(f f f ++++=36×24+36×()1212121233131⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦=864+792=1656；…………………………2分另一方面，已经离开的游客总人数是：12(25)(26)(36)T g g g =+++ 12=×5121152⨯+⨯390=；………………………4分 所以361216563901266SS T =-=-=（百人）故当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客1266百人. ……………6分 （2）当0)()(≥-n g n f 时园内游客人数递增；当0)()(<-n g n f 时园内游客人数递减. (i)当241≤≤n 时，园区人数越来越多，人数不是最多的时间；………………………8分 (ii)当3625≤≤n 时，令512036n -≤，得出31≤n ，即当3125≤≤n 时，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；……………10分 (iii)当3632≤≤n 时，24123635120n n -⋅>-，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；……………………………………………………………………………12分 (Ⅳ)当7237≤≤n 时， 令32165120n n -+=-时，42n =， 即在下午4点整时，园区人数达到最多.此后离开人数越来越多，故园区内人数最多的时间是下午4点整. ……………………14分 答：（1）当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客1266百人；（2）在下午4点整时，园区人数达到最多. 18.解（1）将方程2222(8)4120 xy ax a y a +---++=化为221612(224)0x y y x y a +-++-++=，令22161202240x y y x y ⎧+-+=⎨-++=⎩得42x y =⎧⎨=⎩或64x y =⎧⎨=⎩，所以圆2C 过定点(4,2)和(6,4)，……………4分 将42x y =⎧⎨=⎩代入22106320x y x y +--+=，左边=1644012320+--+==右边，故点(4,2)在圆1C 上，同理可得点(6,4)也在圆1C 上，所以圆1C 、圆2C 相交于两个定点(4,2)和(6,4)；……………6分（2）设00(,)P x y ，则221000010632PT x y x y =+--+，…………………………8分222000022(8)412 PT x y ax a y a =+---++， …………………………………10分12PT PT =即00001063222(8)412x y ax a y a --+=---++，整理得00(2)(5)0x y a ---=（*）………………………………………………12分存在无穷多个圆2C ，满足12PT PT =的充要条件为0022002014x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩有解，解此方程组得0020x y =⎧⎨=⎩或006545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，………………………………………………………………………………14分故存在点P ，使无穷多个圆2C ，满足12PT PT =，点P 的坐标为64(2,0)(,)55或-.………………16分19. 解 ⑴由题意a n = 2 + 43n – 1,随着n 的增大而减小,所以{a n }中的最大项为a 1 = 4.…4分⑵b n = 2 + 43n – 1 + p43n – 1 = (2 + p )(3n – 1) + 44 = (2 + p )3n + (2 – p )4，若{b n }为等比数列，则b 2n +1 – b n b n +2= 0(n ∈N * )所以 [(2 + p )3n +1 + ( 2 – p )]2 – [{2 + p )3n + (2 – p )][(2 + p )3n +2 + (2 – p )] = 0(n ∈N *)，化简得(4 – p 2)(2·3n +1 – 3n +2 – 3n ) = 0即– (4 – p 2)·3n ·4 = 0,解得p = ±2. ………………………7分反之,当p = 2时,b n = 3n ,{b n }是等比数列;当p = – 2时,b n = 1,{b n }也是等比数列.所以,当且仅当p = ±2时{b n }为等比数列. ………………………………………………………………10分 ⑶因为4231m m a =+-，4231n n a =+-，4231pp a =+-，若存在三项m a ，n a ，p a ，使数列ma ，n a ，p a 是等差数列，则2n m p a a a =+，所以42(2)31n +-=4231m +-4231p ++-，……………12分 化简得3(2331)1323n p n p m p m n m ----⨯--=+-⨯（*），因为*,,,N m n p m n p ∈<<，所以1p m p n -≥-+，1p m n m -≥-+，所以13333p mpnp n--+-≥=⨯，13333p m n m n m --+-≥=⨯，（*）的左边3(23331)3(31)0np n p n n p n ---≤⨯-⨯-=--<，右边13323130n mn m n m ---≥+⨯-⨯=+>，所以（*）式不可能成立，故数列{a n }中不存在三项m a ，n a ，p a ，使数列m a ，n a ，p a 是等差数列.………16分 20．解：(1)令xa t =，0x >，因为1a >，所以1t >，所以关于x 的方程()f x m =有两个不同的正数解等价于关于t 的方程2t m t+=有相异的且均大于1的两根，即 关于t 的方程220t mt -+=有相异的且均大于1的两根，………………………………2分所以2280,1,2120m m m ⎧∆=->⎪⎪>⎨⎪⎪-+>⎩，…………………………………………………………………4分解得223m <<，故实数m 的取值范围为区间(22,3).……………………………6分(2)||()2,[2,)x x g x a a x =+∈-+∞ ①当1a >时，a )0x ≥时，1x a ≥，()3x g x a =，所以 ()[3,)g x ∈+∞，b )20x -≤<时，211xa a≤<()2x x g x a a -=+，所以 ()221'()ln 2ln ln x x x xa g x a a a a a a--=-+=……8分ⅰ当2112a >即412a <<时，对(2,0)x ∀∈-，'()0g x >，所以 ()g x 在[2,0)-上递增， 所以 222()[,3)g x a a ∈+，综合a ) b )()g x 有最小值为222a a +与a 有关，不符合……10分 ⅱ当2112a ≤即42a ≥时，由'()0g x =得1log 22a x =-，且当12log 22a x -<<-时，'()0g x <，当1log 202a x -<<时，'()0g x >，所以 ()g x 在1[2,log 2]2a --上递减，在1[log 2,0]2a -上递增，所以min 1()log 22a g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭22，综合a ) b ) ()g x 有最小值为22与a 无关，符合要求．………12分②当01a <<时，a ) 0x ≥时，01x a <≤，()3x g x a =，所以 ()(0,3]g x ∈b ) 20x -≤<时，211x a a<≤，()2x x g x a a -=+， 所以 ()221'()ln 2ln ln x x x xa g x a a a a a a --=-+=0<，()g x 在[2,0)-上递减，所以 222()(3,]g x a a ∈+，综合a ) b ) ()g x 有最大值为222a a +与a 有关，不符合………14分 综上所述，实数a 的取值范围是42a ≥．………………………………………………16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．，每小题l0分，共计20分．请在答题．．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.选修4 – 1几何证明选讲证明: 因为EA 是圆的切线,AC 为过切点A 的弦,所以 ∠CAE = ∠CBA .又因为AD 是∠BAC 的平分线,所以∠BAD = ∠CAD 所以∠DAE = ∠DAC + ∠EAC = ∠BAD + ∠CBA = ∠ADE所以,△EAD 是等腰三角形,所以EA = ED . ……………………………………………………6分 又EA 2= EC ·EB ,所以ED 2 = EB ·EC . ……………………………………………………………………………4分 B ．矩阵与变换：解：由题意得1312221-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A ，…………………………………………………5分 =AXB ，1319411222312151-⎡⎤⎡⎤--⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦-⎣⎦⎣⎦X A B ………………………………………10分 C.选修4 – 4 参数方程与极坐标若两条曲线的极坐标方程分别为ρ = 1与ρ = 2cos( +3),它们相交于A ,B 两点,求线段AB 的长.解 首先将两曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,得x 2 + y 2 = 1与x 2 + y 2– x + 3y = 0……………………………………………………6分解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2 + y 2= 1x 2 + y 2– x + 3y = 0 得两交点坐标(1,0),(–12, – 32) 所以,线段AB 的长为(1 + 12)2 + (0 + 32)2= 3即AB = 3.………………………………………………………………………………10分D.选修4 – 5 不等式证明选讲 设a ,b ,c 为正实数,求证:a 3+ b 3+ c 3+1abc≥2 3.证明 因为a ,b ,c 为正实数,所以a 3+ b 3+ c 3≥33a 3b 3c 3= 3abc >0…………………5分 又3abc +1abc≥23abc ·1abc= 2 3.所以a 3+ b 3+ c 3+ 1abc≥23.……………………………………………10分BC ED A【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答题．．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.解 如图,以A 为坐标原点,AB ,AD ,AP 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则A (0,0,0),B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,1,0),P (0,0,a ).因为M 是PC 中点,所以M 点的坐标为(12,12,a 2)，所以AM → = (12,12,a 2)，BD →=(–1,1,0)，BP →= ( – 1,0,a ).⑴因为AM →⊥平面PBD ,所以AM →·BD → = AM →·BP →= 0.即– 12 + a 22 = 0,所以a = 1,即PA = 1. ………………………………………4分⑵由AD → = (0,1,0),M → = (12,12,12),可求得平面AMD 的一个法向量n = ( – 1,0,1).又CP → = ( – 1,–1,1).所以cos<n , CP →> = n ·CP →|n |·|CP →| = 22·3 = 63.所以,PC 与平面AMD 所成角的正弦值为63.……………………………10分 23．解（1）：证明： （ⅰ）当1n =时，因为10a =，33(1)04+-=，所以等式正确. （ⅱ）假设n k =时，等式正确，即*33(1)(,1)4N k kk a k k +-=∈≥， 那么，1n k =+时，因为11133(1)4333(1)33(1)33444k k k k k k k kkk k a a ++++-⋅---+-=-=-==， 这说明1n k =+时等式仍正确.据（ⅰ），（ⅱ）可知，*33(1)(,1)4N n nn a n n +-=∈≥正确. …………………5分 （2）易知133(1)13(1)[1]4343n n nn nP +--=⋅=+， ①当n 为奇数（3n ≥）时，13(1)43n P =-，因为327n ≥，所以132(1)4279P ≥-=，又131(1)434n P =-<，所以2194P ≤<；②当n 为偶数（2n ≥）时，13(1)43n P =+，因为39n≥，所以131(1)493P ≤+=，又131(1)434n P =+>，所以1143P <≤.综上所述，2193P ≤≤.……………………10分PB CDAMxyz。

江苏省南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟考试数学试题(解析版)

江苏省南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟考试数学试题(解析版)

南京金陵中学、江苏省海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟考试一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1.设全集U ＝{}5Nx x x *<∈，，集合A ＝{1，2}，B ＝{2，4}，则∁U (A ⋃B)＝_______． 【答案】｛3｝【解析】【分析】先求集合U 和A ⋃B ，再由补集运算即可.【详解】集合U ＝{}5N x x x *<∈，＝{}1,2,3,4，且A ＝{1，2}，B ＝{2，4}，得A ⋃B ＝{1，2，4}，所以∁U (A ⋃B)＝｛3｝故答案为：｛3｝【点睛】本题考查了集合的补集运算，属于基础题.2.复数i 2i z =-+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点在第_______象限． 【答案】三【解析】【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简复数z ，求出复数z 在复平面内对应点的坐标即可．【详解】复数i 2i z =-+＝i(2i)12555i --=--，所以z 在复平面内对应的点的坐标为12(,)55--.在第三象限.故答案为：三【点睛】本题考查了复数代数形式的运算及其几何意义，属于基础题.3.将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和大于10的概率为_______． 【答案】112【解析】【分析】先写出所有的基本事件个数36个，利用列举法写出满足题意的有3个，由此能求出满足题意的概率．【详解】所有的基本事件可能如下：共有36种，点数之和大于10的有（5,6），（6,5），（6,6），共3种，所求概率为：P＝31 3612.故答案为：1 12【点睛】本题考查古典概型概率的求法、考查运算求解能力，是基础题．4.对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为次品．则样本中次品件数为_______．【答案】200【解析】【分析】由频率分布直方图可知，算出次品所占的比例乘以样本容量即可得出结果．【详解】根据频率分布直方图可知，样本中次品的频率为：1－（0.05＋0.0625＋0.0375）×5＝0.25，所以，样本中次品的件数为：0.25×800＝200 故答案为：200【点睛】本题主要考查频率分布直方图的读图能力，注意纵坐标意义．属于简单题型.5.在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22y px =的焦点恰好是双曲线22184x y -=的右焦点，则该抛物线的准线方程为_______．【答案】x =-【解析】【分析】先求出双曲线的右焦点，由题意得抛物线的焦点，进而求出抛物线的准线方程.【详解】双曲线22184x y -=中，2a b ==,c =0）， 因为抛物线22y px =的焦点恰好是双曲线22184x y -=的右焦点，所以抛物线的焦点为（0），即抛物线的准线方程为：x =-.故答案为：x =-【点睛】本题考查了双曲线和抛物线的焦点坐标等几何性质，属于基础题.6.如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为_______．【答案】8【解析】【分析】根据程序框图，写出每次运行结果，利用循环结构计算并输出b 的值．【详解】第1步：a ＞10不成立，a ＝a ＋b ＝2，b ＝a －b ＝1；第2步：a ＞10不成立，a ＝a ＋b ＝3，b ＝a －b ＝2；第3步：a ＞10不成立，a ＝a ＋b ＝5，b ＝a －b ＝3；第4步：a ＞10不成立，a ＝a ＋b ＝8，b ＝a －b ＝5；第5步：a ＞10不成立，a ＝a ＋b ＝13，b ＝a －b ＝8；第6步：a ＞10成立，退出循环，输出b ＝8.故答案为：8【点睛】本题考查循环结构的程序框图，对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律，属于基础题．7.已知α∈(0，π)，552cos =α，则tan()2πα+＝_______． 【答案】－2【解析】【分析】由题意得sin α=.【详解】由α∈(0，π)，且552cos =α，得sin α=所以tan()2πα+＝sin()cos 2sin cos()2πααπαα+=-+＝5- 2. 故答案为：-2【点睛】本题考查了同角三角函数关系及诱导公式的应用，属于基础题.8.函数y =_______． 【答案】(1,2]-【解析】【分析】 由201x x -≥+解得21≤<-x ，即可得函数的定义域. 【详解】依题意，得：201x x -≥+，等价于：(2)(1)010x x x -+≥⎧⎨+≠⎩，即(2)(1)010x x x -+≤⎧⎨+≠⎩， 得21≤<-x ，所以定义域为：(1,2]-故答案为：(1,2]-【点睛】本题考查函数的定义域，分式不等式的解法，属于基础题.9.设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14760a a a ++=，25851a a a ++=，若对任意n N *∈，都有n S ≤k S 成立，则正整数k 的值为_______．【答案】10【解析】【分析】设等差数列公差为d ，结合已知条件得d ＝－3和1a ＝29，进而得n S =236122n n -+　，对任意n N *∈，都有n S ≤k S 成立，求n S 最大值时n 的值即可得k 的值.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，设公差为d ，14760a a a ++=，25851a a a ++=，两式相减， 得：3d ＝－9，所以，d ＝－3，由等差中项得14743=60a a a a ++=，即14=320a a d +=，解得：1a ＝29， 所以，(1)29(3)2n n n S n -=+⨯-＝236122n n -+　， 当n ＝616时，n S 取得最大值，但n 是正整数，所以，当n ＝10时，n S 取得最大值， 对任意n N *∈，都有n S ≤k S 成立，显然k ＝10.故答案为：10【点睛】本题考查了等差数列的性质，前n 项和的最大项，数列与函数的结合，属于中档题.10.如图，该几何体由底面半径相同的圆柱与圆锥两部分组成，且圆柱的高与底面半径相等．若圆柱与圆锥的侧面积相等，则圆锥与圆柱的高之比为_______．【答案】3【解析】【分析】设圆柱和圆锥的底面半径为R ，圆锥的母线长为L ，由圆柱与圆锥侧面积相等得L ＝2R ，进而得圆锥的高3R ，即可求出结果.【详解】设圆柱和圆锥的底面半径为R ，则圆柱的高1h ＝R ，圆锥的母线长为L ，因为圆柱与圆锥的侧面积相等， 所以，1222R R R L ππ⨯=⨯⨯，解得：L ＝2R ，得圆锥的高为2h ＝3R ，=故答案为：3【点睛】本题考查了圆柱与圆锥侧面积的求法，属于基础题.11.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过M(1，3)，N(4，2)，P(1，﹣7)三点，且直线l ：x ＋ay ﹣1＝0(a ∈R)是圆C 的一条对称轴，过点A(﹣6，a ) 作圆C 的一条切线，切点为B ，则线段AB 的长度为_______． 【答案】72【解析】【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由题意得直线l ：x+ay ﹣1＝0经过圆心，求得a 的值，可得点A 的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得线段AB 的长度．【详解】设圆C 方程为：220x y Dx Ey F ++++=，圆C 经过M(1，3)，N(4，2)，P(1，﹣7)三点， 所以，有1030204205070D E F D E F D E F +++=⎧⎪+++=⎨⎪+-+=⎩，解得：2420D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以，圆C 方程为：0204222=-+-+y x y x ，即圆C 方程为：22(1)(2)25x y -++=，圆心为C （1，－2），R ＝5，因为直线l ：x ＋ay ﹣1＝0(a ∈R)是圆C 的一条对称轴，所以直线l ：x+ay ﹣1＝0经过圆心，得1210a --=，解得：a ＝0，所以点A （－6,0），｜AC=，切线长｜AB==故答案为：72【点睛】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于中档题．12.已知实数a ，b ∈(0，2)，且满足2244242a b a b b --=--，则a ＋b 的值为_______． 【答案】2【解析】【分析】 由2244242a b a b b --=--，且a ，b ∈(0，2)，化简为：2222(2)2a b a b -+=-+，设()22x f x x =+，则()f x 在()0,2上递增，由()()2f a f b =-，得a ＋b 的值. 【详解】由2244242a b a b b --=--，化简为：22222(2)a b a b -+=+-，即2222(2)2a b a b -+=-+， 设()22x f x x =+，则()f x 在()0,2上递增，因为a ，b ∈(0，2)，所以2-b ∈(0，2)，且()()2f a f b =-，所以2a b =-，即2a b +=.故答案为：2【点睛】本题考查了等式的化简，构造函数，利用函数的单调性求值的问题，属于中档题.13.已知菱形ABCD 中，对角线AC ＝3，BD ＝1，P 是AD 边上的动点（包括端点），则PB PC ⋅的取值范围为_______．【答案】13[,]22【解析】【分析】 由AC⊥BD 得，以对角线BD ，AC 为x 轴、y 轴建立直角坐标系，设P （x ，y ），102x ≤≤.由AP AD 可得41022y x +-=，代入13,,22PB PC x y x y ⎛⎫⎛⎫⋅=----- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23442x x =-+，根据二次函数的性质可求取值范围.【详解】由AC⊥BD 得，以对角线BD ，AC 分别为x 轴、y 轴建立如图所示的直角坐标系，∵AC＝3，BD ＝1，∴10,,,0,0,222A B C ⎛⎫⎛⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11,0,,222D AD ⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵P 是AD 边上的动点，设P （x ，y ），102x ≤≤，,2AP x y ⎛=+ ⎝⎭，∵1,02AP AD y ∴=，∵,31PC x,y PB x,y 2⎛⎫⎛⎫=--=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴13,,22PB PC x y x y ⎛⎫⎛⎫⋅=----- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2221344222x x y y x x =+-+=-+ 根据二次函数的性质可知，当x ＝12时，最小值为12.当x ＝0时，最大值为23. 所以，PB PC ⋅的取值范围为13[,]22故答案为：13[,]22【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标表示的应用，二次函数性质的应用，属于中档题.14.在38-ABC 中，若cos 2A ＋cos 2B ＋cos 2C ＜1，sinB ＝2，则(tan 2A ﹣2)sin2C 的最小值为_______．【答案】5 【解析】【分析】由sinB ，得B ＝43π或4π，按B ＝43π或4π分类讨论，由二倍角的余弦公式化简，利用均值不等式求最值即可. 【详解】在38-ABC 中，由sinB＝2，所以B ＝43π或4π，得cos 2B ＝12， 当B ＝43π，则C ＝4A π-，所以，cos 2A ＋cos 2C ＜12，即cos 2A ＋cos 2（4A π-）＜12， 化简得：21sin 2cos 02A A +<，因为04A π<<，所以sin2A ＞0，即21sin 2cos 02A A +<不成立. 当B ＝4π，则C ＝34A π-，3sin 2sin(2)cos 22C A A π=-=- (tan 2A ﹣2)sin2C ＝222sin 2cos (cos 2)cos A A A A -⨯-＝2213cos (cos 2)cos A A A -⨯- ＝13cos 2(cos 2)1+cos2A A A --⨯-＝2cos 23cos 21+cos2A A A+ ＝225(1cos 2)3(1cos 2)1+cos2A A A-+++ ＝23(1cos 2)51+cos2A A++-55≥= 当23(1cos 2)1+cos2A A =+，即cos 213A =-时取等号故答案为：5【点睛】本题考查了同角三角函数关系和二倍角的余弦公式的应用，也考查了均值不等式求最值和分类讨论思想，属于中档题.二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.已知函数()2sin ?cos 3f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）若02x π≤≤，求函数()f x 的值域；（2）设ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若A 为锐角且()2,3f A b c ===，求()cos A B -的值．【答案】（1）0,12⎡+⎢⎣⎦；（2． 【解析】试题分析：（1）由函数形式知，用两角和的正弦公式展开，用二倍角公式降幂，再用两角和的正弦公式化函数为一个三角函数，求出正弦号后面整个角的取值范围，结合正弦函数可得值域；（2）由（1）的解析式可求得角3A π=，由余弦定理可求得边a ，由正弦定理可求得B sin ，利用两角差的余弦公式可得cos()A B -．试题解析：（1）()()2sin cos sin cos f x x x x x x x ==+1sin 2cos 2sin 222232x x x π⎛⎫=++=++⎪⎝⎭由02x π≤≤得，42333x πππ≤+≤，sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭．∴0sin 21322x π⎛⎫≤++≤+ ⎪⎝⎭，即函数()f x 的值域为0,12⎡+⎢⎣⎦．（2）由()sin 23f A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭sin 203A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又由02A π<<，∴42333A πππ<+<，∴2,33A A πππ+==． 在ABC ∆中，由余弦定理2222cos 7a b c bc A =+-=，得7=a ，由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin b A B a ==，∵b a <，∴B A <，∴cos 7B =，∴()1cos cos cos sin sin 2A B A B A B -=+==考点：两角和与差的正弦公式，二倍角公式，正弦定理与余弦定理．16.如图，在三棱锥P—ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB＝BC，PA⊥PC．点E，F，O分别为线段PA，PB，AC的中点，点G是线段CO的中点．（1）求证：FG∥平面EBO；（2）求证：PA⊥BE．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）连AF交BE于Q，连QO．由线段长度间的关系证明FG∥QO，进而证得FG∥平面EBO．（2）先证明BO⊥面PAC，可得BO⊥PA．由OE∥PC，PC⊥PA 可得OE⊥PA，从而证得PA⊥平面EBO，即可证出结论.【详解】（1）连AF交BE于Q，连QO．因为E、F、O分别为边PA、PB、PC的中点，所以AOOG＝2．又Q是△PAB的重心．于是AGGF＝2＝AOOG，所以FG∥QO．因为FG⊄平面EBO，QO⊂平面EBO，所以FG∥平面EBO．（2）由AB＝BC，得△ACB为等腰三角形，因为O为边AC的中点，所以BO⊥AC，因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，BO⊂平面ABC，所以BO⊥面PAC．因为PA⊂平面PAC，故BO⊥PA．在△PAC内，O，E为所在边中点，故OE∥PC，且PA⊥PC，∴OE⊥PA，又BO∩OE＝O，所以PA⊥平面EBO，EB⊂平面EBO，所以PA⊥BE.【点睛】本题考查证明线线垂直，线面垂直，线面平行的判定定理，证明FG∥QO 是线面平行的关键点，属于中档题．17.已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0，其短轴长为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，A 为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝21-，,AD DP AE λ==EQ μ（λ，μ为非零实数），求λ2+μ2的值．【答案】（1）2212x y +=；（2）1 【解析】 【分析】（1）由题意可得b ＝1，运用离心率公式和a ，b ，c 的关系，可得a ，b ，进而得到椭圆方程；（2）求得A 的坐标，设P （x 1，y 1），D （x 0，y 0），运用向量共线坐标表示，结合条件求得P 的坐标，代入椭圆方程，可得λ2＝22112k +，同理得μ2＝21212k 12k +，即可得λ2+μ2的值．【详解】（1）因为短轴长2b ＝2，所以b ＝1，又离心率e＝c a =a 2﹣b 2＝c 2， 解得a，c ＝1，则椭圆C 的方程为22x +y 2＝1；（2）由（1）可得点 A，0），设P （x 1，y 1），D （x 0，y 0），则y 1＝k 1x 1，y 0＝k 2x 0， 由AD DP λ=可得x 0λ（x 1﹣x 0），y 0＝λ（y 1﹣y 0），即有x 0＝1101,1x y y λλλλ+=+，k 1x 1＝y 1＝1λλ+y 0＝1λλ+k 2x 0＝k 2（x 1﹣λ）， 两边同乘以k 1，可得k 12x 1＝k 1k 2（x 1）＝﹣12（x 1）， 解得x 1＝()()112211,1212y k k k λλ=++，将P （x 1，y 1）代入椭圆方程可得λ2＝22112k +， 由AE EQ μ=可得μ2＝2122212k 11212k k =++，可得λ2+μ2＝1．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和基本量的关系，考查直线方程和向量共线的坐标表示，以及化简整理的运算能力，属于中档题．18.为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路MON 进行分流，已知穿城公路MON 自西向东到达城市中心O 后转向ON 方向，已知∠MON＝34π，现准备修建一条城市高架道路L ，L 在MO 上设一出入口A ，在ON 上设一出口B ，假设高架道路L 在AB 部分为直线段，且要求市中心O 与AB 的距离为10km ． （1）求两站点A ，B 之间的距离；（2）公路MO 段上距离市中心O 30km 处有一古建筑群C ，为保护古建筑群，设立一个以C 为圆心，5km 为半径的圆形保护区．因考虑未来道路AB 的扩建，则如何在古建筑群和市中心O 之间设计出入口A ，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区？【答案】（1）1)；（2）20OA << 【解析】 【分析】（1）过O 作直线OE⊥AB 于E ，则OE ＝10，设∠EOA＝α，可求∠EOB＝34π﹣α，（42ππα<<），可得AE＝10tan α，BE ＝10tan （34π﹣α），可求AB ＝310sin43cos cos 4ππαα⎛⎫- ⎪⎝⎭，又312c o sc o s s i n (24)424a παα⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭42ππα<<，可得cos max32cos 44παα⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，可求两出入口之间距离的最小值为201）．（2）设切点为F ，以O 为坐标原点，以CO 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，设直线AB 的方程为y ＝kx+t （k ＞0），可求t ＝20k ，或t ＝60k ，可求A （﹣20，0），此时OA ＝20，又由（1）可知当4πα=时，OA ＝，综上即可得解．【详解】（1）过O 作直线OE⊥AB 于E ，则OE＝10，设∠EO A ＝α，则∠EOB＝34π﹣α，（42ππα<<），故AE ＝10tan α，BE ＝10tan （34π﹣α）， AB ＝10tan α+10tan （34π﹣α）＝10（3sin sin 43cos cos 4πααπαα⎛⎫- ⎪⎝⎭+⎛⎫- ⎪⎝⎭）＝310sin43cos cos 4ππαα⎛⎫- ⎪⎝⎭，又cos 3cos 4παα⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭＝cos αcos αsin α）＝1sin 2a 244π⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 由42ππα<<，可得：2α﹣3,444πππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故cos max32cos 44παα⎛⎫⋅-=⎪⎝⎭，当且仅当2α﹣42ππ=，即α＝38π时取等号，此时，AB 有最小值为201），即两出入口之间距离最小值为201）．（2）由题意可知直线AB 是以O 为圆心，10为半径的圆O 的切线，根据题意，直线AB 与圆C 要相离，其临界位置为直线AB 与圆C 相切，设切点为F ，此时直线AB 为圆C 与圆O 的公切线，因为，出入口A 在古建筑群和市中心O 之间， 如图所示，以O 为坐标原点，以CO 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ， 由CF ＝5，OE ＝10，因为圆O 的方程为x 2+y 2＝100，圆C 的方程为（x+30）2+y 2＝25，设直线AB 的方程为y ＝kx+t （k ＞0），则：105==，所以两式相除可得：|||30|t k t -+＝2，所以t ＝20k ，或t ＝60k ，所以，此时A （﹣20，0）或A （﹣60，0）（舍去），此时OA ＝20， 又由（1）可知当4πα=时，OA ＝，综上，OA 20)∈． 即设计出入口A 离市中心O 的距离在km 到20km 之间时，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区．【点睛】本题主要考查了三角函数模型在解决实际问题中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．19.已知各项均为正整数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：S n ﹣1+ka n ＝ta n 2﹣1，n≥2，n∈N *（其中k ，t 为常数）． （1）若k ＝12，t ＝14，数列{a n }是等差数列，求a 1的值； （2）若数列{a n }是等比数列，求证：k ＜t ． 【答案】（1）a 1＝（2）见解析【解析】 【分析】 （1）由k ＝12，t ＝14，可得2111124n n n S a a -+=-（n≥2），设等差数列{a n }的公差为d ，分别令n ＝2，n ＝3，利用等差数列的性质即可得出．（2）令公比为q ＞0，则a n+1＝a n q ，利用递推关系可得1＝（q ﹣1）[ta n （q+1）﹣k]，易知q≠1，从而可得t ＝0，从而证明．【详解】（1）∵k＝12，t ＝14，∴2111124n n n S a a -+=-（n≥2），设等差数列{a n }的公差为d ，令n ＝2，则212211a a a 124+=-，令n ＝3，则2123311124a a a a ++=-，两式相减可得：()()()2332321124a a a a a a +=+-，∵a n ＞0，∴a 3﹣a 2＝2＝d ．由212211124a a a +=-，且d ＝2，化为2112a a -﹣4＝0，a 1＞0．解得a 1＝（2）∵S n ﹣1+ka n ＝ta n 2﹣1①，n≥2，n∈N *，所以S n +ka n+1＝2n 1ta +﹣1②， ②-①得a n +ka n+1﹣ka n ＝2n 1ta +﹣2n ta ，∴a n ＝（a n+1﹣a n ）[t （a n+1+a n ）﹣k]， 令公比为q ＞0，则a n+1＝a n q ，∴（q ﹣1）k+1＝ta n （q 2﹣1）， ∴1＝（q ﹣1）[ta n （q+1）﹣k]；∵对任意n≥2，n∈N *， 1＝（q ﹣1）[ta n （q+1）﹣k]成立；∴q≠1，∴a n 不是一个常数； ∴t＝0，∴S n ﹣1+ka n ＝﹣1，且{a n }是各项均为正整数的数列，∴k＜0， 故k ＜t ．【点睛】本题考查了等差数列与递推数列的通项公式及其性质、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.已知函数f （x ）＝ax 2﹣bx+lnx ，（a ，b∈R ）． （1）若a ＝1，b ＝3，求函数f （x ）的单调增区间；（2）若b ＝0时，不等式f （x ）≤0在[1，+∞）上恒成立，求实数a 取值范围； （3）当a ＝1，b ＞92时，记函数f （x ）的导函数f '（x ）的两个零点是x 1和x 2（x 1＜x 2），求证：f （x 1）﹣f （x 2）＞6316﹣3ln2．【答案】（1）f （x ）在（0，12），（1，+∞）递增；（2）a≤﹣e21；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为a≤﹣2ln x x 在区间[1，+∞）恒成立，令h （x ）＝﹣2ln x x，根据函数的单调性求出a 的范围即可；（3）由题意得x 1，x 2（x 1＜x 2）是方程2x 2﹣bx+1＝0的两个根，记g （x ）＝2x 2﹣bx+1，根据函数的单调性证明即可．【详解】（1）由题意得：x ＞0，a ＝1，b ＝3时，f （x ）＝x 2﹣3x+lnx ，1(21)(1)()23x x f x x x x '--=-+=，令f '（x ）＞0，解得：0＜x ＜12或x ＞1， 故f （x ）在（0，12），（1，+∞）递增；（2）b ＝0时，f （x ）＝ax 2+lnx ，不等式f （x ）≤0在[1，+∞）恒成立， 即a≤﹣2ln x x 在区间[1，+∞）恒成立，令h （x ）＝﹣2ln x x ，则32ln x 1h (x)x '-=，令h '（x ）＞0，解得：x h '（x ）＜0，解得：1＜x故f （x ）在（1h （x ）min ＝h e21， 故a≤﹣e21； （3）a ＝1时，f （x ）＝x 2﹣bx+lnx ，221()x bx f x x'-+=，（x ＞0），由题意得x 1，x 2（x 1＜x 2）是方程2x 2﹣bx+1＝0的两个根，记g （x ）＝2x 2﹣bx+1，则21291190,,02442g b g b b b⎛⎫⎛⎫⎛⎫=>>∴=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，g （2）＝9﹣2b ＜0， ∴x 1∈（b 1，14），x 2∈（2，+∞），且f （x ）在[x 1，x 2]递减， 故f （x 1）﹣f （x 2）＞f （14）﹣f （2）＝763416b -﹣3ln2， ∵b＞92，∴f（x 1）﹣f （x 2）＞796363312421616n ⨯--=﹣3ln2．【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题．21.已知直线l ：x ＋y ＝1在矩阵A ＝ 0 1m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线l '：x ﹣y ＝1，求矩阵A ． 【答案】1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】设直线l ：x+y ＝1上任意一点M （x ，y ）在矩阵A 的变换作用下，变换为点M '（x '，y '），根据矩阵A 列出x 与x '，y 与y '的关系式，再由M '（x '，y '）在直线l '上，求出m 与n 的值，即可确定出矩阵A ． 【详解】设直线l ：x+y ＝1上任意一点M （x ，y ）在矩阵A 的变换作用下，变换为点M '（x '，y '），由[x y '']＝[0m n 1][x y ]＝[mx ny y +]，得x mx nyy y =+⎧⎨=''⎩，又点M '（x '，y '）在l '：x ﹣y ＝1上，∴x '﹣y '＝1，即（mx+ny ）﹣y ＝1，依题意m 1n 11=⎧⎨-=⎩，解得：m 1n 2=⎧⎨=⎩，则矩阵A ＝[1021]．【点睛】本题考查了特殊的矩形变换，找出M 在矩阵A 的变换作用下点M '两点的坐标关系是解本题的关键，属于基础题．22.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数)．（1）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； （2）已知A(﹣2，0)，B(0，2)，圆C 上任意一点M(x ，y )，求△ABM 面积的最大值． 【答案】（1）021sin 8cos 62=++-θρθρρ；（2）229+ ． 【解析】 【分析】（1）圆C 的参数方程为3242x cos y sin θθ=+⎧⎨=-+⎩ ，通过三角函数的平方关系消去参数θ，得到普通方程，通过x＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得到圆C 的极坐标方程．（2）先求出点M （x ，y ）到直线AB ：x ﹣y+2＝0的距离，表示出△ABM 的面积，通过两角和的正弦函数，结合绝对值的几何意义，求解△ABM 面积的最大值． 【详解】（1）圆的参数方程为3242x cos y sin θθ=+⎧⎨=-+⎩（为参数），所以普通方程为（x ﹣3）2+（y +4）2＝4，圆的极坐标方程：ρ2﹣6ρcos θ+8ρsin θ+21＝0.（2）因为点M （x ，y ）在圆的参数方程为3242x cos y sin θθ=+⎧⎨=-+⎩（为参数）上，则点M 到直线AB ：x ﹣y+2＝0的距离为，的面积，当sin 14πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，面积的最大值为【点睛】本题主要考查极坐标与参数方程和平面直角坐标方程的互化、点到直线的距离，属于中档题．23.设R x y z ，，∈，且满足：222++z 1x y =，23x y z ++=，求证：x y z ++=【答案】详见解析 【解析】试题分析：根据题中所给条件：222x +y +z 1=，23x y z ++=，结合柯西不等式可得出：222222214(23)(123)(x +y +z )14x y z =++≤++=，由此可推出：123x y z==，即可得出三者的关系：3,2z x y x ==，问题即可求解．222222214(23)(123)(x +y +z )14x y z =++≤++=，∴123x y z==，∴3,2z x y x ==，又23x y z ++=∴x y z ===，∴7x y z ++=分 考点：不等式的证明24.一个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地依次取出3只球．（1）求甲三次都取得白球的概率；（2）求甲总得分ξ的分布列和数学期望．【答案】（1）27125；（2）536 【解析】【分析】（1）本题为有放回的取球问题，可看作独立重复试验，求出概率即可；（2）ξ的所有可能取值为6，7，8，分别求其概率即可，利用期望公式求解即可． 【详解】（1）由题意得，甲每次都取得白球的概率为35，所以甲三次都取得白球的概率为33275125⎛⎫= ⎪⎝⎭； （2）甲总得分情况有6,7,8,9四种可能，记ξ为甲总得分． 3327(6)5125P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()2132354755125P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()2232336855125P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 328(9)5125P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭甲总得分ξ的期望275436836()67891251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查独立重复事件的概率、离散型随机变量的分布列和期望等知识，属于基础题．25.已知数列{a n }中，11a 3=，当n≥2时，其前n 项和S n 满足2n n n 2S a 2S 1=-， （1）求S n 的表达式及2lim n n na S →∞的值； （2）求数列{a n }的通项公式；【答案】（1）121n S n =+，2lim 2n n n a S →∞=-；（2）21(1)32(2)14n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩【解析】【分析】（1）利用a n 和S n 的关系，代入变形可得．然后再用极限法则求解．（2）由（1）并利用a n 和S n 的关系，可解．【详解】（1）()2111121122221n n n n n n n n n n n S a S S S S S S n S S S ----=-=⇒-=⇒-=≥- 所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列．则121n S n =+，222lim lim 2212lim 1n n n n n n n a S S S →∞→∞→∞===---． （2）当n≥2时，12112212141n n n a S S n n n --=-=-=+--，综上，21(1)32(2)14n n a n n⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩． 【点睛】本题考查数列极限的综合知识，其中注意a n 和S n 的关系，也考查了数列通项求法，属于基础题.。

海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2016届高三第四次模拟考试数学试卷

海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2016届高三第四次模拟考试数学试卷
又CD切半圆O于点D，所以∠DAC＝∠BDC＝30°．
因为∠ABD＝60°，故∠C＝30°＝∠BDC．所以DB＝BC＝ ．
在△OBD中，DE＝ DB＝ ．…10分
D．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)
22．(本小题满分10分)
假定某篮球运动员每次投篮命中率均为p(0＜p＜1)．现有3次投篮机会，并规定连续两次投篮均
不中即终止投篮．已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完3次投篮机会的概率是 ．
（1）求p的值；
（2）设该运动员投篮命中次数为，求的概率分布及数学期望E()．
23．(本小题满分10分)
（2）求出数列{bn}的通项公式；
（3）问：数列{an}的每一项能否均为整数？若能，求出k的所有可能值；若不能，请说明理由．
江苏省海安中学、南京外国语学校、金陵中学
2016届高三第四次模拟考试
数学试卷
2016.05
数学Ⅱ(附加题)
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
从而点 在椭圆 上，…………………4分
根据椭圆定义知， .…………………6分
（2）设 ， ，
由 得， ，…………………8分
由 得， ，…………………10分

2016年5月2016届高三第四次全国大联考(新课标Ⅲ卷)理数卷(解析版)

2016年5月2016届高三第四次全国大联考(新课标Ⅲ卷)理数卷(解析版)

【学易大联考】2016年第四次全国大联考统考【新课标Ⅲ卷】理科数学试卷第I 卷（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数12z =-，则21z z +在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D【命题意图】本题考查复数的基本运算及其几何意义，意在考查学生的基本运算能力和对基础知识的掌握程度.2．设全集U R =,集合{}2|760A x x x =--≥, {}|lg(2)(4)B x y x x ==+-,则()U B A = ð（ ） A ．[4,6) B ．]9,4( C ．[1,2] D ．[2,1]- 【答案】D【命题意图】本题主要考查集合的基本运算，涉及一元二次不等式的求解、对数函数定义域的求法,意在考查学生的基本运算能力.【解析】由2760(1)(7)071x x x x x --≥⇒-+≤⇒-≤≤，即{}|71A x x =-≤≤，又由(2)(4)02x x x +->⇒<-或4x >，即{|2B x x =<-或4}x >, 从而U B ð{}|24x x =-≤≤,故()U B A = ð{}|21x x -≤≤，选D ．3．在6与316中间插入n 个数，组成各项和为18916的等比数列，则此数列的项数为（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【答案】C【命题意图】本题考查等比数列的通项公式及前n 项和公式的应用，意在考查学生的计算能力和对基本公式的熟练应用能力.4．已知圆C ：)0(4)2()(22<=-+-a y a x 及直线03:=+-y x l ，若直线l 被圆C 截得的弦长为32，则a 的值为（ ）A ．12--B ．2-C ．13--D ．3-【答案】A【命题意图】本题主要考查直线与圆的位置关系，可利用半径、半弦长及弦心距三者之间的关系进行求解，意在考查数形结合思想的应用.【解析】由于圆C 的半径为2，弦长为32，因此，弦心距为1)3(222=-=d ，即圆心到直线的距离为12|32|=+-a ，解得21±-=a ，又因为0<a ，所以=a 12--，选A5．执行如图所示的程序框图，若输入的2,2a n ==，则输出的q 的值为（ ） A ．24 B ． 25 C ．26 D ． 27 【答案】A【命题意图】本题考查程序框图的阅读、理解与应用，意在考查学生的识图、读图能力.【解析】运行程序，依次可得：0,0,1,2,p q i i ===≤成立；2,2,20,2p q a i ====，2,i 成立≤；22,24,200,3p q a i ====，2,i 不成立≤，跳出循环体，此时输出24q =.选A ．6．已知角ϕ的终边经过点P （-4，3），函数f （x ）=sin(ωx +ϕ)（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，则f (π4)的值为（ ） A ．35 B ．45 C ．35- D ．45-【答案】D【命题意图】本题主要考查三角函数的定义，三角函数的图象与性质，诱导公式等，意在考查学生的运算求解能力和对基础知识的综合运用能力.【解析】由题意得，53sin =ϕ，4cos 5φ=-，由函数)(x f 的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，可得函数)(x f 的周期π2π2T =?，又2πT ω=，所以2=ω，所以ππ4()sin()cos 425f φφ=+==-.选D ．7．设12F F 、是椭圆22221x y a b+=的两个焦点，P 是椭圆上的点，1:2||:||21=PF PF ，且12PF F △为直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）A 或B 或CD 或 【答案】C【命题意图】本题考查椭圆方程中基本量之间的关系，意在考查学生的转化变形能力和对分类讨论思想的熟练应用能力.8．△ABC 中，点D 在BC 上，∠A ＝60°，若1()4||||AB AC AD k AC AB AB AC λ=+=+，且4AB =，则AD 的长为（ ）A B ． C ． D ． 【答案】C【命题意图】本题考查单位向量的应用，向量共线的性质，向量的加法等基础知识与基本技能的应用，意在考查学生的转化与化归能力及对一些常用结论的熟知程度. 【解析】由于点D 在BC 上，即D 、B 、C 三点共线，所以13144λλ+=⇒=. 由3344||||AB k k AB AB AB =⇒=，又4AB =，即4AB = ，所以3k =. 所以3()||||AB ACAD AB AC =+， 所以222||9[()2()()()]=||||||||AB AB AC ACAD AB AB AC AC =+⋅+2291+211cos 60+127（）⨯⨯⨯⨯= ||AD ⇒=.9．已知一几何体的三视图如图所示，其中，正视图与侧视图完全一样，根据图中的数据，该几何体的表面积为（ ）A B ． C ．4 D ．6【答案】B【命题意图】本题考查三视图与直观图的转化，几何体的表面积，意在考查学生将三视图转化为直观图的转化能力、计算能力及空间想象能力.10．若n xx )3(3+的展开式中存在常数项，则正整数n 的最小值及相应的常数项分别为（ ）A ．6,280B ．6,270C ．5,280D ．5,270 【答案】D【命题意图】本题考查二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力及对公式的理解和掌握程度.【解析】由二项展开式的通项公式得3561C C 3n rr n rr r rr nn T x --+=⋅=⋅⋅，令0653=-r n ，即r n 53=，因为*n ÎN ，所以最小的正整数5=n ，此时3=r ，所以相应的常数项为335C 3270?.选D ．11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =且21()(1)n n n a n a a n n -=---，则下列四个结论：①1n n a a +>； ②(1)2n n n S ->； ③{}n n a -是增数列； ④{}(1)n n a +是等差数列，其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【命题意图】本题主要考查数列的基本运算，数列中的有关概念，意在考查学生综合分析问题、解决问题的能力.【解析】将21()(1)n n n a n a a n n -=---的两边同除以(1)n n -，得1(1)11n n n a na n n -+-=-，又1211a=，所以数列(1)n n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列. 所以2(1)1n n n a n n a n n +=⇒=+， 因为2221(1)31021(2)(1)n n n n n n a a n n n n ++++-=-=>++++，所以1n n a a +>，①正确； 因为221111n n n a n n n -=>=-++，所以[0(1)](1)22n n n n n S +-->=，②正确；由22111n n n n na n a n n n n =⇒-=-=+++，所以易得数列{}n n a -为增数列，③正确； 由22(1)1n n n a n a n n =⇒+=+，显然{}(1)n n a +不是等差数列，故④不正确.综上可知，选C ．12．设函数()f x =若曲线e 1e 1sin 22y x -+=+上存在点00(,)x y 使得00(())f f y y =成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ． 2[0,e e 1]-+ B ． 2[0,e e 1]+- C ． 2[0,e e 1]-- D ． 2[0,e e 1]++ 【答案】C【命题意图】本题主要考查函数与导数的综合问题，意在考查学生的转化与化归能力、运算求解能力以及利用所学知识综合分析问题、解决问题的能力.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每小题5分，满分20分.将答案填在答题纸上）13. 定义在R 上的函数()f x 满足22,0()(1)(2),0x x x f x f x f x x ⎧-≤=⎨--->⎩，则(2016)f 的值为 .【答案】1-【命题意图】本题考查分段函数求值，函数的周期性等知识，意在考查学生对递推式子和函数周期性的应用能力，以及对抽象函数的理解程度.【解析】当0x >时，由)2()1()(---=x f x f x f ，得(+1)()(1)f x f x f x =--，两式相加得(+1)(2)f x f x =--，所以(+3)()f x f x =-，所以()(+6)f x f x =，故20(2016)(6336)(0)021f f f =⨯==-=-.14．已知乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，现要派5名参加比赛，3名主力队员一定参加且安排在第一、三、五位置，其余7名队员中选2名安排在第二、四位置，则不同的出场安排有 种. 【答案】252【命题意图】本题主要考查排列、组合的应用，意在考查学生的阅读理解能力和分析问题、解决问题的能力.【解析】先安排3名主力队员在第一、三、五位置，有33A 种方法，再从7名队员中选2名放在第二、四位置上，有27A 种方法，所以不同的出场安排有3237A A 252=种.15．若,x y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤+≤1222y x y x xy ，则32z x y =+的最大值为 .【答案】72【命题意图】本题考查线性规划的基本应用，意在考查学生的作图能力和数形结合思想.16． 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的半焦距为c ，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线24y cx =2（e 为双曲线的离心率），则e 的值为 .【解析】由题意，得抛物线的准线为x c =-，它正好经过双曲线的左焦点，所以准线被双曲线截得的弦长为22b a ，所以222b a =，即2b a =，所以e ==，整理，得422990e e -+=，解得e =或e =1的直线与双曲线的右支交于两点，所以2b a =<1，所以e =． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,，且ABC △的面积S 满足2()()S c a b c a b =-++-.（1）求cos C ；（2）若2c =，2cos b a C =，求边长b .【命题意图】本题考查余弦定理、三角形的面积公式等，意在考查学生的灵活变形能力和对基本公式的掌握程度.18．（本小题满分12分）如图，90BCD?o ，⊥==AB CD BC ,1平面BCD ，60ADB ?o ，F E ,分别是AD AC ,上的动点，且AE AFAC AD=. （1）若平面BEF 与平面BCD 的交线为l ，求证：//EF l ；（2）当平面⊥BEF 平面ACD 时，求平面BEF 与平面BCD 所成的二面角的余弦值.【命题意图】本题考查线面平行、垂直的判定定理与性质定理，空间向量求解二面角等，意在考查学生的空间想象能力和对基本定理的掌握程度.【解析】（1）由CD EF ADAFAC AE //⇒=， ……………（2分） 又EF ⊄平面BCD ，CD ⊂平面BCD ,所以EF ∥平面BCD , 又EF ⊂平面BEF ，且平面BCD 平面BEF l =,故EF l ∥. ……………（4分）（2）因为AB ^平面BCD ，所以AB DC ^，又BC DC ⊥，所以⊥DC 平面ABC ， 所以DC BE ^，又EF CD ∥，所以EF BE ⊥.若平面⊥BEF 平面ACD ，则⊥BE 平面ACD ，所以BE AC ^，由1==CD BC 且90BCD ?o 2=⇒BD ，又60ADB?o ，所以6=AB . ……………（6分）以B 为坐标原点，,BD BA 所在的直线分别为,y z 轴，以过点B 且垂直于BD 的直线为x 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),A B C ，设(,,)E a a b ，则(,,),(,,BE a a b AC AE a a b ===-,由,aBE ACAC AEb可得∥⎧+-==⎪⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪⎩==⎪⎩，即E所以可得F，所以BE BF，==……………（8分）设平面BEF的一个法向量为(,,)x y z=m，则0000x yBE zBF zy z+=⎧⋅=++=⎪⇒⇒⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩=mm，取z=，得1,1x y=-=-，所以(1,1,=--m，……………（10分）易知平面BCD的一个法向量为(0,0,1)=n，设平面BEF与平面BCD所成的二面角为θ，则cosθ==，结合图形可知平面BEF与平面BCD.……………（12分）19．（本小题满分12分）某班n名同学的数学小测验成绩的频率分布直方图如图所示，其中,,a b c成等差数列，且分数在[90,100]的有6人.（1）求n的值；（2）若分数在[40,50)的人数是分数在[50,60)的人数的13，现从不及格的人中任意选取3人进行谈话，记分数在50分以下的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.【命题意图】本题考查频率分布直方图的应用，离散型随机变量的分布列和数学期望的求解，意在考查整体运算的基本思想，以及学生的阅读理解能力、运算求解能力.（2）由（1）及题意可得0.020.00510.0153a c a c a c +=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩， ……………（6分） 所以分数在[40,50)的有0.0051060=3⨯⨯（人），分数在[50,60)的有0.0151060=9⨯⨯（人），即不及格的有12人.现从中任选3人，记分数在50分以下的人数为X ，则X 的所有可能取值分别为：0,1,2,3，30219393331212C C C C 2127(0),(1),C 55C 55P X P X ======12039393331212C C C C 271(2),(3)C 220C 220P X P X ======.所以，X 的分布列如下表：………………（10分）故X 的数学期为21272713012355552202204EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………（12分） 20．（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，上、下顶点分别是12,B B C 、是12B F 的中点，且11122B F B F ⋅= ，112CF B F ⊥.（1）求椭圆的标准方程；（2）点,M N 是椭圆上的两个动点，过,M N 两点的切线交于点P ，当0PM PN ⋅=时，求点P 的轨迹方程.【命题意图】本题考查椭圆的标准方程及简单的几何性质，直线与椭圆的位置关系等，意在考查学生的基本运算能力及对常用技巧的灵活应用能力.（2）设点()00,y x P ，①当PM x ⊥轴或PM x ∥轴时，对应PN x ∥轴或PN x ⊥轴，可知点(P ±或点(2,P ±. ……………（6分）②当PM 与x 轴不垂直且不平行时，设直线PM 的斜率为k ，则0k ≠，且直线PN 的斜率为1k-，所以直线PM 的方程为00()y y k x x -=-，与22143x y +=联立,得00222220000()(34)8()4()120143y y k x x k x k y kx x y kx x y -=-⎧⎪⇒++-+--=⎨+=⎪⎩，因为直线与椭圆相切，所以=∆0，即222200004()(34)[()3]0k y kx k y kx --+--=，即2220000(4)230x k x y k y --+-=，所以k 是方程2220000(4)230x x x y x y --+-=的一个根， ……………（9分） 同理1k-是方程2220000(4)230x x x y x y --+-=的另一个根，2220002031()74y k x y k x -⋅-=⇒+=-，其中02x ≠±，所以点P 的轨迹方程为227x y +=（2x ≠±），因为点(P ±或点(2,P ±均满足上式.综上可知，点P 的轨迹方程为227x y +=． ……………（12分） 21．（本小题满分12分）已知函数22()(1)ln(1)f x m x n x =+-+.（1）若函数21()()2g x f x nx =-在区间[2,4]上单调递增，且,m n 均为正数，求mn 的取值范围；（2）若函数()f x 的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为2(1)y n x n =-+，设2()h x x x b =++，若函数()()f x h x ≥在区间]2,0[上恒成立，求实数b 的取值范围.【命题意图】本题考查导数在函数中的应用，恒成立问题的转化与求解等，意在考查学生的转化与化归能力、运算求解能力以及利用所学知识综合分析问题、解决问题的能力.【解析】（1）由题意可知222211()()=(1)ln(1)22g x f x nx m x n x nx =-+-+-，则2()2(1)1ng x m x nx x'=+--+， 因为函数21()()2g x f x nx =-在区间[2,4]上单调递增，所以()0g x '≥恒成立， …………（2分） 即221112(1)01(1)2(1)2n m m x nx x n x x +--≥⇒≥-++++在区间[2,4]上恒成立，即max 2111[](1)2(1)2m n x x ≥-+++. 由11124513x x ≤≤⇒≤≤+，令1=1t x +， 则221111111=()(1)2(1)22253t t t x x -+-+≤≤++的最大值为49. 故m n 的取值范围为4[,)9+∞. ……………（5分）即实数b 的取值范围为(,22ln 2]-∞-. .……………（12分）请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分.22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，直线ΡQ 与O 相切于点A ，AB 是O 的弦，PAB ∠的平分线AC 交O 于点C ，连接CB 并延长与直线PQ 相交于点Q ，若6AQ =，5AC =．（1）求证：22QC QA BC QC -=⋅； （2）求弦AB 的长．【命题意图】本题主要考查切割线定理，弦切角定理，相似三角形的证明等，意在考查学生的识图能力、运算能力、逻辑推理能力以及对基本定理的掌握程度.【解析】（1）因为PQ 与O 相切于点A ，所以由切割线定理可得： 22()=QA QB QC QC BC QC QC BC QC =⋅=-⋅-⋅，所以22QC QA BC QC -=⋅． …………（5分） （2）因为PQ 与O 相切于点A ，所以PAC CBA ∠=∠．因为PAC BAC ∠=∠，所以BAC CBA ∠=∠，所以5AC BC ==，又6AQ =，22QC QA BC QC -=⋅，所以9QC =（负值不合题意，舍去）．由QAB ACQ ∠=∠，AQB CQA ∠=∠易知QAB QCA △∽△，所以AB QAAC QC=，即659AB =，所以103AB =，即弦AB 的长为103． ………………（10分）23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 与椭圆C 的极坐标方程分别为cos 2sin 0θθ+=，2224cos 4sin ρθθ=+.（1）求直线与椭圆的直角坐标方程；（2）若点Q 是椭圆C 上的动点，求点Q 到直线l 的距离的最大值.【命题意图】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，普通方程与参数方程的互化，点到直线的距离的最大值问题等，意在考查学生的转化与化归能力、运算求解能力. 【解析】（1）由cos 2sin 0cos 2sin 020x y θθρθρθ+=⇒+=⇒+=，即直线l 的直角坐标方程为20x y +=. .……………（2分） 又由2222222224cos 4sin 444cos 4sin x y ρρθρθθθ=⇒+=⇒+=+ 22+=14x y ⇒，即椭圆C 的直角坐标方程为22+=14x y . .……………（4分）24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知不等式|21||1|2x x --+<的解集为{|}x a x b <<.（1）求,a b 的值；（2）已知x y z >>，求证：存在实数k ，使32()4()a b kx y y z x z-+≥---恒成立，并求k 的最大值. 【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的求解，不等式恒成立问题等，意在考查学生的化归与转化能力.【解析】（1）（i ）当1x <-时，不等式可转化为(21)[(1)]2x x ----+<，得0x >，此时无解； （ii ）当112x -≤≤时，不等式可转化为(21)(1)2x x ---+<，得23x >-，此时，不等式的解集为：2132x -<≤； （iii ）当12x >时，不等式可转化为21(1)2x x --+<，得4x <，此时，不等式的解集为：142x <<. 由（i ）、（ii ）、（iii ）得不等式的解集为2{|4}3x x -<<，比较即得2,43a b =-=. .……………（5分）：。

2019届江苏省南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校高三第四次模拟考试数学试题(解析版)

2019届江苏省南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校高三第四次模拟考试数学试题(解析版)

2019届南京金陵中学、江苏省海安高级中学、南京外国语学校高三第四次模拟考试一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1.设全集U ＝{}5Nx x x *<∈，，集合A ＝{1，2}，B ＝{2，4}，则∁U (A ⋃B)＝_______． 【答案】｛3｝【解析】【分析】先求集合U 和A ⋃B ，再由补集运算即可.【详解】集合U ＝{}5N x x x *<∈，＝{}1,2,3,4，且A ＝{1，2}，B ＝{2，4}，得A ⋃B ＝{1，2，4}，所以∁U (A ⋃B)＝｛3｝故答案为：｛3｝ 【点睛】本题考查了集合的补集运算，属于基础题.2.复数i 2i z =-+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点在第_______象限． 【答案】三【解析】【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简复数z ，求出复数z 在复平面内对应点的坐标即可． 【详解】复数i 2i z =-+＝i(2i)12555i --=--，所以z 在复平面内对应的点的坐标为12(,)55--.在第三象限.故答案为：三【点睛】本题考查了复数代数形式的运算及其几何意义，属于基础题.3.将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和大于10的概率为_______．【答案】1 12【解析】【分析】先写出所有的基本事件个数36个，利用列举法写出满足题意的有3个，由此能求出满足题意的概率．【详解】所有的基本事件可能如下：共有36种，点数之和大于10的有（5,6），（6,5），（6,6），共3种，所求概率为：P＝31 3612.故答案为：1 12【点睛】本题考查古典概型概率的求法、考查运算求解能力，是基础题．4.对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为次品．则样本中次品件数为_______．【答案】200【解析】【分析】由频率分布直方图可知，算出次品所占的比例乘以样本容量即可得出结果．【详解】根据频率分布直方图可知，样本中次品的频率为：1－（0.05＋0.0625＋0.0375）×5＝0.25， 所以，样本中次品的件数为：0.25×800＝200 故答案为：200【点睛】本题主要考查频率分布直方图的读图能力，注意纵坐标意义．属于简单题型.5.在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22y px =的焦点恰好是双曲线22184x y -=的右焦点，则该抛物线的准线方程为_______．【答案】x =-【解析】【分析】先求出双曲线的右焦点，由题意得抛物线的焦点，进而求出抛物线的准线方程.【详解】双曲线22184x y -=中，2a b ==,c =0）， 因为抛物线22y px =的焦点恰好是双曲线22184x y -=的右焦点，所以抛物线的焦点为（0），即抛物线的准线方程为：x =-.故答案为：x =-【点睛】本题考查了双曲线和抛物线的焦点坐标等几何性质，属于基础题.6.如图是一个算法流程图，则输出的b的值为_______．【答案】8【解析】【分析】根据程序框图，写出每次运行结果，利用循环结构计算并输出b的值．【详解】第1步：a＞10不成立，a＝a＋b＝2，b＝a－b＝1；第2步：a＞10不成立，a＝a＋b＝3，b＝a－b＝2；第3步：a＞10不成立，a＝a＋b＝5，b＝a－b＝3；第4步：a＞10不成立，a＝a＋b＝8，b＝a－b＝5；第5步：a＞10不成立，a＝a＋b＝13，b＝a－b＝8；第6步：a ＞10成立，退出循环，输出b ＝8.故答案为：8【点睛】本题考查循环结构的程序框图，对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律，属于基础题．7.已知α∈(0，π)，cos α=，则tan()2πα+＝_______． 【答案】－2【解析】【分析】由题意得sin α=5，再利用同角三角函数关系及诱导公式计算即可. 【详解】由α∈(0，π)，且cos 5α=，得sin α=5， 所以tan()2πα+＝sin()cos 2sin cos()2πααπαα+=-+＝ 2. 故答案为：-2【点睛】本题考查了同角三角函数关系及诱导公式的应用，属于基础题.8.函数y =_______． 【答案】(1,2]-【解析】【分析】 由201x x -≥+解得12x -<≤，即可得函数的定义域. 【详解】依题意，得：201x x -≥+，等价于：(2)(1)010x x x -+≥⎧⎨+≠⎩，即(2)(1)010x x x -+≤⎧⎨+≠⎩， 得12x -<≤，所以定义域：(1,2]-故答案为：(1,2]-【点睛】本题考查函数的定义域，分式不等式的解法，属于基础题.9.设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14760a a a ++=，25851a a a ++=，若对任意n N *∈，都有n S ≤k S 成立，则正整数k 的值为_______．【答案】10【解析】【分析】设等差数列公差为d ，结合已知条件得d ＝－3和1a ＝29，进而得n S =236122n n -+　，对任意n N *∈，都有n S ≤k S 成立，求n S 最大值时n 的值即可得k 的值.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，设公差为d ，14760a a a ++=，25851a a a ++=，两式相减， 得：3d ＝－9，所以，d ＝－3，由等差中项得14743=60a a a a ++=，即14=320a a d +=，解得：1a ＝29， 所以，(1)29(3)2n n n S n -=+⨯-＝236122n n -+　， 当n ＝616时，n S 取得最大值，但n 是正整数，所以，当n ＝10时，n S 取得最大值， 对任意n N *∈，都有n S ≤k S 成立，显然k ＝10.故答案为：10 【点睛】本题考查了等差数列的性质，前n 项和的最大项，数列与函数的结合，属于中档题.10.如图，该几何体由底面半径相同的圆柱与圆锥两部分组成，且圆柱的高与底面半径相等．若圆柱与圆锥的侧面积相等，则圆锥与圆柱的高之比为_______．【解析】【分析】设圆柱和圆锥的底面半径为R ，圆锥的母线长为L ，由圆柱与圆锥侧面积相等得L ＝2R ，进而得圆锥的高，即可求出结果.【详解】设圆柱和圆锥的底面半径为R ，则圆柱的高1h ＝R ，圆锥的母线长为L ，因为圆柱与圆锥的侧面积相等，所以，1222R R R L ππ⨯=⨯⨯，解得：L ＝2R ，得圆锥的高为2h ，=【点睛】本题考查了圆柱与圆锥侧面积的求法，属于基础题.11.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过M(1，3)，N(4，2)，P(1，﹣7)三点，且直线l ：x ＋ay ﹣1＝0(a R ∆R)是圆C 的一条对称轴，过点A(﹣6，a ) 作圆C 的一条切线，切点为B ，则线段AB 的长度为_______．【答案】【解析】【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由题意得直线l ：x+ay ﹣1＝0经过圆心，求得a 的值，可得点A 的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得线段AB 的长度．【详解】设圆C 方程为：220x y Dx Ey F ++++=，圆C 经过M(1，3)，N(4，2)，P(1，﹣7)三点，所以，有1030204205070D E F D E F D E F +++=⎧⎪+++=⎨⎪+-+=⎩，解得：2420D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以，圆C 方程为：2224200x y x y +-+-=，即圆C 方程为：22(1)(2)25x y -++=，圆心为C （1，－2），R ＝5，因为直线l ：x ＋ay ﹣1＝0(a R ∆R)是圆C 的一条对称轴，所以直线l ：x+ay ﹣1＝0经过圆心， 得1210a --=，解得：a ＝0，所以点A （－6,0），｜AC=， 切线长｜AB==故答案：【点睛】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于中档题．12.已知实数a ，b R ∆(0，2)，且满足2244242a b a b b --=--，则a ＋b 的值为_______． 【答案】2【解析】【分析】 由2244242a b a b b --=--，且a ，b R ∆(0，2)，化简为：2222(2)2a b a b -+=-+，设()22x f x x =+，则()f x 在()0,2上递增，由()()2f a f b =-，得a ＋b 的值.【详解】由2244242a b a b b --=--，化简为：22222(2)a b a b -+=+-，即2222(2)2a b a b -+=-+， 设()22x f x x =+，则()f x 在()0,2上递增，因为a ，b R ∆(0，2)，所以2-b R ∆(0，2)，且()()2f a f b =-，所以2a b =-，即2a b +=.故答案为：2【点睛】本题考查了等式的化简，构造函数，利用函数的单调性求值的问题，属于中档题.13.已知菱形ABCD 中，对角线AC ，BD ＝1，P 是AD 边上的动点（包括端点），则PB PC ⋅的取值范围为_______． 【答案】13[,]22【解析】【分析】由AC⊥BD 得，以对角线BD ，AC 为x 轴、y 轴建立直角坐标系，设P （x ，y ），102x ≤≤.由AP AD 可得41022y x +-=，代入13,,22PB PC x y x y ⎛⎫⎛⎫⋅=----- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23442x x =-+，根据二次函数的性质可求取值范围.【详解】由AC⊥BD 得，以对角线BD ，AC 分别为x 轴、y ，BD ＝1，∴10,,,0,0,222A B C ⎛⎫⎛⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11,0,,222D AD ⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵P 是AD 边上的动点，设P （x ，y ），102x ≤≤，,2AP x y ⎛=+ ⎝⎭，∵1,2402AP AD y x ∴+-=，∵,31PC x,y PB x,y 22⎛⎫⎛⎫=--=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴13,,2PB PC x y x y ⎛⎫⎛⎫⋅=----- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222134422x x y y x x =++=-+根据二次函数的性质可知，当x ＝12时，最小值为12.当x ＝0时，最大值为32. 所以，PB PC ⋅的取值范围为13[,]22故答案为：13[,]22【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标表示的应用，二次函数性质的应用，属于中档题.14.在∆ABC 中，若cos 2A ＋cos 2B ＋cos 2C ＜1，sinB ，则(tan 2A ﹣2)sin2C 的最小值为_______．【答案】5【解析】【分析】由sinB ，得B ＝34π或4π，按B ＝34π或4π分类讨论，由二倍角的余弦公式化简，利用均值不等式求最值即可.【详解】在∆ABC 中，由sinB ＝2，所以B ＝34π或4π，得cos 2B ＝12， 当B ＝34π，则C ＝4A π-，所以，cos 2A ＋cos 2C ＜12，即cos 2A ＋cos 2（4A π-）＜12， 化简得：21sin 2cos 02A A +<，因为04A π<<，所以sin2A ＞0，即21sin 2cos 02A A +<不成立. 当B ＝4π，则C ＝34A π-，3sin 2sin(2)cos 22C A A π=-=-(tan 2A ﹣2)sin2C ＝222sin 2cos (cos 2)cos A A A A -⨯-＝2213cos (cos 2)cos A A A -⨯- ＝13cos 2(cos 2)1+cos2A A A --⨯-＝2cos 23cos 21+cos2A A A+ ＝225(1cos 2)3(1cos 2)1+cos2A A A-+++ ＝23(1cos 2)51+cos2A A++-55≥= 当23(1cos 2)1+cos2A A =+，即cos 213A =-时取等号故答案为：5【点睛】本题考查了同角三角函数关系和二倍角的余弦公式的应用，也考查了均值不等式求最值和分类讨论思想，属于中档题.二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.已知函数()2sin ?cos 3f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）若02x π≤≤，求函数()f x 的值域；（2）设ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若A 为锐角且()2,3f A b c ===，求()cos A B -的值．【答案】（1）0,12⎡+⎢⎣⎦；（2【解析】试题分析：（1）由函数形式知，用两角和的正弦公式展开，用二倍角公式降幂，再用两角和的正弦公式化函数为一个三角函数，求出正弦号后面整个角的取值范围，结合正弦函数可得值域；（2）由（1）的解析式可求得角3A π=，由余弦定理可求得边a ，由正弦定理可求得sin B ，利用两角差的余弦公式可得cos()A B -．试题解析：（1）()()2sin cos sin cos f x x x x x x x ==1sin 22sin 223x x x π⎛⎫==++ ⎪⎝⎭由02x π≤≤得，42333x πππ≤+≤，sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭．∴0sin 21322x π⎛⎫≤++≤+ ⎪⎝⎭，即函数()f x 的值域为0,1⎡+⎢⎣⎦．（2）由()sin 2322f A A π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭sin 203A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又由02A π<<，∴42333A πππ<+<，∴2,33A A πππ+==．在ABC ∆中，由余弦定理2222cos 7a b c bc A =+-=，得a =由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin b A B a ==，∵b a <，∴B A <，∴cos B =∴()1cos cos cos sin sin 272714A B A B A B -=+=⨯+= 考点：两角和与差的正弦公式，二倍角公式，正弦定理与余弦定理．16.如图，在三棱锥P —ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，AB ＝BC ，PA ⊥PC ．点E ，F ，O 分别为线段PA ，PB ，AC 的中点，点G 是线段CO 的中点．（1）求证：FG ∥平面EBO ；（2）求证：PA ⊥BE ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）连AF交BE于Q，连QO．由线段长度间的关系证明FG∥QO，进而证得FG∥平面EBO．（2）先证明BO⊥面PAC，可得BO⊥PA．由OE∥PC，PC⊥PA 可得OE⊥PA，从而证得PA⊥平面EBO，即可证出结论.【详解】（1）连AF交BE于Q，连QO．因为E、F、O分别为边PA、PB、PC的中点，所以AOOG＝2．又Q是△PAB的重心．于是AGGF＝2＝AOOG，所以FG∥QO．因为FG⊄平面EBO，QO⊂平面EBO，所以FG∥平面EBO．（2）由AB＝BC，得△ACB为等腰三角形，因为O为边AC的中点，所以BO⊥AC，因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，BO⊂平面ABC，所以BO⊥面PAC．因为PA⊂平面PAC，故BO⊥PA．在△PAC内，O，E为所在边的中点，故OE∥PC，且PA⊥PC，∴OE⊥PA，又BO∩OE＝O，所以PA⊥平面EBO，EB⊂平面EBO，所以PA⊥BE.【点睛】本题考查证明线线垂直，线面垂直，线面平行的判定定理，证明FG∥QO是线面平行的关键点，属于中档题．17.已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0，其短轴长为2． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，A 为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝12-，,AD DP AE λ==EQ μ（λ，μ为非零实数），求λ2+μ2的值．【答案】（1）2212x y +=；（2）1 【解析】【分析】（1）由题意可得b ＝1，运用离心率公式和a ，b ，c 的关系，可得a ，b ，进而得到椭圆方程；（2）求得A 的坐标，设P （x 1，y 1），D （x 0，y 0），运用向量共线坐标表示，结合条件求得P 的坐标，代入椭圆方程，可得λ2＝22112k +，同理得μ2＝21212k 12k +，即可得λ2+μ2的值． 【详解】（1）因为短轴长2b ＝2，所以b ＝1，又离心率e＝c a =a 2﹣b 2＝c 2， 解得a，c ＝1，则椭圆C 的方程为22x +y 2＝1； （2）由（1）可得点 A，0），设P （x 1，y 1），D （x 0，y 0），则y 1＝k 1x 1，y 0＝k 2x 0，由AD DP λ=可得x 0λ（x 3B x 、﹣x 0），y 0＝λ（y 1﹣y 0），即有x 0＝1101,1x y y λλλλ+=+，k 1x 1＝y 1＝1λλ+y 0＝1λλ+k 2x 0＝k 2（x 1﹣λ），两边同乘以k 1，可得k 12x 1＝k 1k 2（x 1﹣λ）＝﹣12（x 1﹣λ）， 解得x 111111212y k k =++，将P （x 1，y 1）代入椭圆方程可得λ2＝22112k +， 由AE EQ μ=可得μ2＝2122212k 11212k k =++，可得λ2+μ2＝1． 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和基本量的关系，考查直线方程和向量共线的坐标表示，以及化简整理的运算能力，属于中档题．18.为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路MON 进行分流，已知穿城公路MON 自西向东到达城市中心O 后转向ON 方向，已知∠MON＝34π，现准备修建一条城市高架道路L ，L 在MO 上设一出入口A ，在ON 上设一出口B ，假设高架道路L 在AB 部分为直线段，且要求市中心O 与AB 的距离为10km ．（1）求两站点A ，B 之间的距离；（2）公路MO 段上距离市中心O 30km 处有一古建筑群C ，为保护古建筑群，设立一个以C 为圆心，5km 为半径的圆形保护区．因考虑未来道路AB 的扩建，则如何在古建筑群和市中心O 之间设计出入口A ，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区？【答案】（1）1)；（2）20OA <<【解析】【分析】（1）过O 作直线OE⊥AB 于E ，则OE ＝10，设∠EOA＝α，可求∠EOB＝34π﹣α，（42ππα<<），可得AE ＝10tan α，BE ＝10tan （34π﹣α），可求AB ＝310sin 43cos cos 4ππαα⎛⎫- ⎪⎝⎭，又31cos cos sin(24)42a παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭42ππα<<，可得cos max 3cos 4παα⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，可求两出入口之间距离的最小值为201）．（2）设切点为F ，以O 为坐标原点，以CO 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，设直线AB 的方程为y ＝kx+t （k ＞0），可求t ＝20k ，或t ＝60k ，可求A （﹣20，0），此时OA ＝20，又由（1）可知当4πα=时，OA ＝，综上即可得解．【详解】（1）过O 作直线OE⊥AB 于E ，则OE ＝10，设∠EO A ＝α，则∠EOB＝34π﹣α，（42ππα<<）， 故AE ＝10tan α，BE ＝10tan （34π﹣α）， AB ＝10tan α+10tan （34π﹣α）＝10（3sin sin 43cos cos 4πααπαα⎛⎫- ⎪⎝⎭+⎛⎫- ⎪⎝⎭）＝310sin 43cos cos 4ππαα⎛⎫- ⎪⎝⎭， 又cos 3cos 4παα⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭＝cos αcos αsin α）＝1sin 2a 244π⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 由42ππα<<，可得：2α﹣3,444πππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故cos max32cos 44παα⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，当且仅当2α﹣42ππ=，即α＝38π时取等号， 此时，AB 有最小值为201），即两出入口之间距离的最小值为201）．（2）由题意可知直线AB 是以O 为圆心，10为半径的圆O 的切线，根据题意，直线AB 与圆C 要相离，其临界位置为直线AB 与圆C 相切，设切点为F ，此时直线AB 为圆C 与圆O 的公切线，因为，出入口A 在古建筑群和市中心O 之间， 如图所示，以O 为坐标原点，以CO 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，由CF ＝5，OE ＝10，因为圆O 的方程为x 2+y 2＝100，圆C 的方程为（x+30）2+y 2＝25，设直线AB 的方程为y ＝kx+t （k ＞0），则：105==，所以两式相除可得：|||30|t k t -+＝2，所以t ＝20k ，或t ＝60k ， 所以，此时A （﹣20，0）或A （﹣60，0）（舍去），此时OA ＝20，又由（1）可知当4πα=时，OA ＝，综上，OA 20)∈． 即设计出入口A 离市中心O 的距离在km 到20km 之间时，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区．【点睛】本题主要考查了三角函数模型在解决实际问题中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．19.已知各项均为正整数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：S n ﹣1+ka n ＝ta n 2﹣1，n≥2，n∈N *（其中k ，t 为常数）．（1）若k ＝12，t ＝14，数列{a n }是等差数列，求a 1的值； （2）若数列{a n }是等比数列，求证：k ＜t ．【答案】（1）a 1＝（2）见解析【解析】【分析】（1）由k ＝12，t ＝14，可得2111124n n n S a a -+=-（n≥2），设等差数列{a n }的公差为d ，分别令n ＝2，n ＝3，利用等差数列的性质即可得出．（2）令公比为q ＞0，则a n+1＝a n q ，利用递推关系可得1＝（q ﹣1）[ta n （q+1）﹣k]，易知q≠1，从而可得t ＝0，从而证明．【详解】（1）∵k＝12，t ＝14，∴2111124n n n S a a -+=-（n≥2），设等差数列{a n }的公差为d ， 令n ＝2，则212211a a a 124+=-，令n ＝3，则2123311124a a a a ++=-， 两式相减可得：()()()2332321124a a a a a a +=+-，∵a n ＞0，∴a 3﹣a 2＝2＝d ． 由212211124a a a +=-，且d ＝2，化为2112a a -﹣4＝0，a 1＞0．解得a 1＝（2）∵S n ﹣1+ka n ＝ta n 2﹣1①，n≥2，n∈N *，所以S n +ka n+1＝2n 1ta +﹣1②， ②-①得a n +ka n+1﹣ka n ＝2n 1ta +﹣2n ta ，∴a n ＝（a n+1﹣a n ）[t （a n+1+a n ）﹣k]，令公比为q ＞0，则a n+1＝a n q ，∴（q ﹣1）k+1＝ta n （q 2﹣1），∴1＝（q ﹣1）[ta n （q+1）﹣k]；∵对任意n≥2，n∈N *，1＝（q ﹣1）[ta n （q+1）﹣k]成立；∴q≠1，∴a n 不是一个常数；∴t＝0，∴S n ﹣1+ka n ＝﹣1，且{a n }是各项均为正整数的数列，∴k＜0，故k ＜t ．【点睛】本题考查了等差数列与递推数列的通项公式及其性质、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.已知函数f （x ）＝ax 2﹣bx+lnx ，（a ，b∈R ）． （1）若a ＝1，b ＝3，求函数f （x ）的单调增区间；（2）若b ＝0时，不等式f （x ）≤0在[1，+∞）上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当a ＝1，b ＞92时，记函数f （x ）的导函数f '（x ）的两个零点是x 1和x 2（x 1＜x 2），求证：f （x 1）﹣f （x 2）＞6316﹣3ln2． 【答案】（1）f （x ）（0，12），（1，+∞）递增；（2）a≤﹣12e ；（3）见解析 【解析】【分析】 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为a≤﹣2ln x x 在区间[1，+∞）恒成立，令h （x ）＝﹣2ln x x，根据函数的单调性求出a 的范围即可； （3）由题意得x 1，x 2（x 1＜x 2）是方程2x 2﹣bx+1＝0的两个根，记g （x ）＝2x 2﹣bx+1，根据函数的单调性证明即可．【详解】（1）由题意得：x ＞0，a ＝1，b ＝3时，f （x ）＝x 2﹣3x+lnx ， 1(21)(1)()23x x f x x x x '--=-+=，令f '（x ）＞0，解得：0＜x ＜12或x ＞1， 故f （x ）在（0，12），（1，+∞）递增； （2）b ＝0时，f （x ）＝ax 2+lnx ，不等式f （x ）≤0在[1，+∞）恒成立，即a≤﹣2ln x x 在区间[1，+∞）恒成立，令h （x ）＝﹣2ln x x ，则32ln x 1h (x)x '-=，令h '（x ）＞0，解得：x h '（x ）＜0，解得：1＜x故f （x ）在（1h （x ）min ＝h 12e ， 故a≤﹣12e； （3）a ＝1时，f （x ）＝x 2﹣bx+lnx ，221()x bx f x x '-+=，（x ＞0）， 由题意得x 1，x 2（x 1＜x 2）是方程2x 2﹣bx+1＝0的两个根，记g （x ）＝2x 2﹣bx+1，则21291190,,02442g b g b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=>>∴=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，g （2）＝9﹣2b ＜0， ∴x 1∈（1b ，14），x 2∈（2，+∞），且f （x ）在[x 1，x 2]递减， 故f （x 1）﹣f （x 2）＞f （14）﹣f （2）＝763416b -﹣3ln2， ∵b＞92，∴f（x 1）﹣f （x 2）＞796363312421616n ⨯--=﹣3ln2． 【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题．21.已知直线l ：x ＋y ＝1在矩阵A ＝ 0 1m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线l '：x ﹣y ＝1，求矩阵A ．【答案】1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】 设直线l ：x +y ＝1上任意一点M （x ，y ）在矩阵A 的变换作用下，变换为点(,)M x y '''，根据矩阵A 列出x 与x '，y 与y '的关系式，再由(,)M x y '''在直线l '上，求出m 与n 的值，即可确定出矩阵A ．【详解】设直线l ：x+y ＝1上任意一点M （x ，y ）在矩阵A 的变换作用下，变换为点(,)M x y '''，由x y '⎡⎤⎢⎥'⎣⎦＝01m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ＝mx ny y ⎡+⎤⎢⎥⎣⎦，得x mx ny y y =+⎧⎨=''⎩， 又点(,)M x y '''在l '：x ﹣y ＝1上，∴=1x y '-'，即（mx +ny ）﹣y ＝1，依题意111m n =⎧⎨-=⎩，解得：12m n =⎧⎨=⎩，则矩阵A ＝1201⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查了特殊的矩形变换，找出M 在矩阵A 的变换作用下点M '两点的坐标关系是解本题的关键，属于基础题．22.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数)． （1）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程；（2）已知A(﹣2，0)，B(0，2)，圆C 上任意一点M(x ，y )，求△ABM 面积的最大值．【答案】（1）26cos 8sin 210ρρθρθ-++=；（2）9+．【解析】【分析】（1）圆C 的参数方程为3242x cos y sin θθ=+⎧⎨=-+⎩，通过三角函数的平方关系消去参数θ，得到普通方程，通过x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得到圆C 的极坐标方程．（2）先求出点M （x ，y ）到直线AB ：x ﹣y+2＝0的距离，表示出△ABM 的面积，通过两角和的正弦函数，结合绝对值的几何意义，求解△ABM 面积的最大值．【详解】（1）圆的参数方程为3242x cos y sin θθ=+⎧⎨=-+⎩（为参数），所以普通方程为（x ﹣3）2+（y +4）2＝4， 圆的极坐标方程：ρ2﹣6ρcos θ+8ρsin θ+21＝0.（2）因为点M （x ，y ）在圆的参数方程为3242x cos y sin θθ=+⎧⎨=-+⎩（为参数）上，则点M 到直线AB ：x ﹣y+2＝0的距离为， 的面积，当sin 14πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 时，面积的最大值为【点睛】本题主要考查极坐标与参数方程和平面直角坐标方程的互化、点到直线的距离，属于中档题．23.设R x y z ，，∈，且满足：222++z 1x y =，23x y z ++=x y z ++=【答案】详见解析【解析】试题分析：根据题中所给条件：222x +y +z 1=，23x y z ++=，结合柯西不等式可得出：222222214(23)(123)(x +y +z )14x y z =++≤++=，由此可推出：123x y z ==，即可得出三者的关系：3,2z x y x ==，问题即可求解． 222222214(23)(123)(x +y +z )14x y z =++≤++=，∴123x y z ==，∴3,2z x y x ==，又23x y z ++=∴x y z ===，∴7x y z ++=分 考点：不等式的证明24.一个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地依次取出3只球．（1）求甲三次都取得白球的概率；（2）求甲总得分ξ的分布列和数学期望．【答案】（1）27125；（2）365 【解析】【分析】（1）本题为有放回的取球问题，可看作独立重复试验，求出概率即可；（2）ξ的所有可能取值为6，7，8，分别求其概率即可，利用期望公式求解即可． 【详解】（1）由题意得，甲每次都取得白球的概率为35，所以甲三次都取得白球的概率为33275125⎛⎫= ⎪⎝⎭； （2）甲总得分情况有6,7,8,9四种可能，记ξ为甲总得分． 3327(6)5125P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()2132354755125P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()2232336855125P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 328(9)5125P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭甲总得分ξ的期望 275436836()67891251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查独立重复事件的概率、离散型随机变量的分布列和期望等知识，属于基础题．25.已知数列{a n }中，11a 3=，当n≥2时，其前n 项和S n 满足2n n n 2S a 2S 1=-， （1）求S n 的表达式及2lim n n n a S →∞的值； （2）求数列{a n }的通项公式；【答案】（1）121n S n =+，2lim 2n n n a S →∞=-；（2）21(1)32(2)14n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩【解析】【分析】（1）利用a n 和S n 的关系，代入变形可得．然后再用极限法则求解．（2）由（1）并利用a n 和S n 的关系，可解．【详解】（1）()2111121122221n n n n n n n n n n n S a S S S S S S n S S S ----=-=⇒-=⇒-=≥- 所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列．则121n S n =+，222lim lim 2212lim 1n n n n n n n a S S S →∞→∞→∞===---． （2）当n≥2时，12112212141n n n a S S n n n --=-=-=+--，综上，21(1)32(2)14n n a n n⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩． 【点睛】本题考查数列极限的综合知识，其中注意a n 和S n 的关系，也考查了数列通项求法，属于基础题.。

江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2015届高三第四次模拟考试数学试题(含详细答案)

江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2015届高三第四次模拟考试数学试题(含详细答案)

C, D 为 14. 在平面直角坐标系 xoy 中， 设 A, B 为函数 f ( x) 1 x 2 的图象与 x 轴的两个交点，
函数 f ( x ) 的图象上的两个动点，且 C , D 在 x 轴上方（不含 x 轴） ，则 AC BD 的取值范围为 ▲ .
uuu r uuu r
二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．请在答题卡指定区域 内作答. 解答时应写出文字说 ．．．．．．． 明、证明过程或演算步骤． 15． （本小题满分 14 分）
S0 For i From 1 To 10 Step 1 1 S S i(i 1) End For Pr int S

3
] 上单调递
, ] 单调递减，则 w 的值为 ▲ . 3 2 7. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 ， 若 双 曲 线
1 / 1 1(a 0, b 0) 的离心率为 10 ，则双曲线 C 的渐近线方程为 a 2 b2
江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学 2015 届高三第 四次模拟考试数学试题 Ⅰ
注 意 事 项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页， 包含填空题(第 1 题～第 14 题)、 解答题(第 15 题～第 20 题)两部分。 本试卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交 回。 2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写 在试卷及答题纸上。 3.作答时必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位 置作答一律无效。 4.如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。 参考公式： 棱柱的体积公式： V Sh , 其中 S 是棱柱的底面积， h 是高. 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案直接填写在答题卡相应位 ．．．．．． 置上 ． ．． 1.已知集合 A {1,0,2}, B {x x 2n 1, n Z}, 则 A B ▲ .

江苏省省2016届高三第四次模拟(5月)考试数学试题

江苏省省2016届高三第四次模拟(5月)考试数学试题

省姜堰二中高三年级第四次模拟考试数学 试 题 2016.5命题：高三数学组(考试时间：120分钟 总分：160分)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．． 1、已知集合}02|{2≤--=x x x A ，集合}31|{≤<=x x B ，则B ⋃A = 2、已知i 为虚数单位，复数ii z ++=122，则复数z 的模为 3、命题“∃x ≥0，使x (x ＋3)≥0”的否定是 4、下列程序： 1←SFor I From 1 to 10 Step 3 I S S S ⨯+← End ForPrint S输出的结果S 是5、在圆x 2+y 2=4所围成的区域内随机取一个点P (x ，y )，则| x |+ y ≤ 0的概率为6、底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为 ．7、函数3sin 32cos 6)(2-+=x xx f ωω(0>ω)在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点， 且△ABC 为正三角形，则ω=8、已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-+≤+-0103013x y x y x ，则tan ∠AOB 的最大值等于 9、0,0>≥y x ，2≤+y x ，则yx y x +++2124最小值10、已知sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是11、设点P 为双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）上一点，1F ，2F 分别是左右焦点，I 是△12PF F 的内心，若△1I P F ，△2I P F ，△12IF F 的面积1S ，2S ，3S 满足1232()S S S -=，则双曲线的离心率为12、已知函数||)(a x x x f -=，]3,2[1∈∀x ，]3,2[2∈∀x 21x x ≠， 恒有2)()()2(2121x f x f x x f +>+，则实数a 的取值范围 13、已知点O 为△ABC 的垂心，032=++OC OB OA ， 则角A=14、设各项均为正整数的无穷等差数列{a n }，满足a 54=4028，且存在正整数k ，使a 1，a 54，a k成等比数列，则公差d 的所有可能取值之和为二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤． 15、（本小题满分14分）如图，三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱．．．．，14BC CC ==,D 是11A C 中点. （Ⅰ）求证：1A B ∥平面1B CD ； （Ⅱ）求点B 到平面1B CD 的距离.16、（本小题满分14分）已知ABC ∆中，21,,3AC ABC BAC x π=∠=∠=，记()f x AB BC =⋅． （1）求()f x 解析式及定义域； （2）设()6()1g x m f x =⋅+ (0,)3x π∈，是否存在实数m ，使函数()g x 的值域为3(1,]2？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由． 17、（本小题满分14分）如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域O AB 内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量2θ（02θπ<<），其中半径较大的花坛⊙P 内切于该扇形，半径较小的花坛⊙Q 与⊙P 外切，且与OA 、OB 相切．（1）求半径较大的花坛⊙P 的半径（用θ表示）； （2）求半径较小的花坛⊙Q 的半径的最大值．AB1AC1C D 1B18、（本小题满分16分）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上顶点A (0，2)，右焦点F (1，0)，设椭圆上任一点到点Q(0,6)的距离为d ．（1）求d 的最大值；（2）过点F 的直线交椭圆于点S ，T 两点，P 为直线l 上一动点,l 为椭圆的右准线．①若PF ⊥ST ，求证：直线OP 平分线段ST ；②设直线PS ，PF ，PT 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，求证：k 1，k 2，k 3成等差数列．19、（本小题满分16分） 已知函数0,0|,|)(ln )(><--+=c a c x c x x a x f(1)当41,43=-=c a 时，求函数)(x f 的单调区间； (2)当12+=a c 时，若41)(≥x f 对任意),(+∞∈c x 恒成立，求实数 a 的取值范围;(3)设函数)(x f 的图像在两点P ))(,(11x f x ，Q ))(,(22x f x 处的切线分别为l 1,l 2，若21ax -=，c x =2，且l 1⊥l 2，求实数c 的最小值.20、（本小题满分16分）已知有穷数列}{n a 各项均不相等，将}{n a 的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列}{n P ，称}{n P 为}{n a 的“序数列”，例如数列：1a ，2a ，3a 满足1a >3a >2a ，则其序数列}{n P 为1，3，2．(1)求证：有穷数列}{n a 的序数列}{n P 为等差数列的充要条件是有穷数列}{n a 为单调数列；(2)若项数不少于5项的有穷数列}{n b ，}{n c 的通项公式分别是)()53(*N n n b n n ∈⋅=，)(*2N n tn n c n ∈+-=，且}{n b 的序数列与}{n c 的序数列相同，求实数t 的取值范围；(3)若有穷数列}{n d 满足1d =1，)()21(||*1N n d d n n n ∈=-+，且}{12-n d 的序数列单调减，}{2n d 的序数列单调递增，求数列}{n d 的通项公式．省姜堰二中高三年级第四次模拟考试数学试题附加题 2016.5注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21、A ．【选修4－1：几何证明选讲】（本小题满分10分） 如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点D ，AC ⊥CD ，DE ⊥AB ，C 、E 为垂足，连接,AD BD . 若4AC =，3DE =，求BD 的长.B ．【选修4－2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10021,2001N M ，试求曲线x y sin =在矩阵1()MN -变换下的函数解析式.C ．【选修4－4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）已知直线l ：cos sin x t my t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）恒经过椭圆C ：⎩⎨⎧==ϕϕsin cos 2y x （ϕ为参数）的右焦点F ．（1）求m 的值；（2）当4πα=时直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求FB FA ⋅的值．D ．【选修4－5：不等式选讲】（本小题满分10分）ABDEOC·已知正实数,,a b c 满足231a b c ++=，求证：24627111a b c ++≥.22、 (本小题满分10分)自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200（1）估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数之和．求随机变量ξ的分布列及数学期望．23、(本小题满分10分)在数列{}n a 中，11a t =-，其中0t >且1t ≠，且满足关系式：11(1)(1),()n n n n n a a t a t n N ++++-=-∈.(1)猜出数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明之；(2)求证：1n n a a +>，()n N +∈.省姜堰二中高三年级第四次模拟考试数学附加题 2016.5注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．【选修4－1：几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点DAC ⊥CD ，DE ⊥AB ，C 、E 为垂足，连接,AD BD . 若4AC =，3DE =，求BD 的长. B ．【选修4－2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10021,2001N M ，试求曲线x y sin =在矩阵1()MN -变换下的函数解析式.C ．【选修4－4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）已知直线l ：cos sin x t m y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）恒经过椭圆C ：⎩⎨⎧==ϕϕsin cos 2y x （ϕ为参数）的右焦点F ．（1）求m 的值；（2）当4πα=时直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求FB FA ⋅的值．D ．【选修4－5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知正实数,,a b c 满足231a b c ++=，求证：24627111a b c++≥.ABDEOC·22、 (本小题满分10分)自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200（1）估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数之和．求随机变量ξ的分布列及数学期望．23、(本小题满分10分)在数列{}n a 中，11a t =-，其中0t >且1t ≠，且满足关系式：11(1)(1),()n n n n n a a t a t n N ++++-=-∈.(1)猜出数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明之；(2)求证：1n n a a +>，()n N +∈.高三数学四模参考答案1、[-1,3]2、23、∀x ≥0，使x (x ＋3)<04、8805、41 6、4+45 7、4π 8、0.75 9、1.5 10、54- 11、2 12、a 3≥ 13、4π14、33915（Ⅰ）连结1BC ，交1B C 于O ，连DO .在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BB C C 为平行四边形，则1BO OC =,又D 是11A C 中点，∴1DO A B ∥，而DO ⊂平面1B CD ，1A B ⊄平面1B CD ，∴1A B ∥平面1B CD . ……………6分（Ⅱ）设点C 到平面111A B C 的距离是h，则11111==33C B CD B C D V S h -△，1=4h CC =由（Ⅰ）知：1BO OC =，所以B 到平面1B CD 的距离与1C 到平面1B CD 的距离相等. ∵1CC ⊥平面111A B C ，1B D ⊂平面111A B C ，∴11CC B D ⊥， ∵ABC △是等边三角形，D 是11A C 中点，∴111A C B D ⊥，又1111=CC AC C ，1CC ⊂平面11AA C C ，11AC ⊂平面11AA C C ，∴1B D ⊥平面11AA C C ，∴1B D C D ⊥，由计算得：1B D CD =1B CD S ∆设1C 到平面1B CD 的距离为h '，由1111=C B C D C B CD V V --114=3B CD S h h ''⇒=△以B 到平面1B CD……………14分 15. 解：（1）由正弦定理有：12sin sin sin()33BC ABx x ππ==-；…………………………2分 ∴1sin 2sin 3BC x π=，sin()32sin3x AB ππ-=…………………………………………4分 ∴41()sin sin()332f x AB BC x x π=∙=⋅-⋅21sin )sin 32x x x =- 11sin(2)(0)3663x x ππ=+-<<……………………………………… 6分 （2）()6()1g x mf x =+=2sin(2)1(0)63m x m x ππ+-+<<假设存在实数m 符合题意，(0,)3x π∈∴512sin(2)(,1]66662x x ππππ<+<+∈，则 ……………………9分 当0m >时， ()2sin(2)16g x m x m π=+-+的值域为(1,1]m +又()g x 的值域为3(1,]2，解得 12m = ………………11分当0m <时，()2sin(2)16g x m x m π=+-+ 的值域为[1,1)m +又∵()g x 的值域为3(1,]2解得m 无解………………………13分∴存在实数12m =，使函数)(x f 的值域恰为3(1,]2……………14分17解：(1)设⊙P 切OA 于M ，连PM ，⊙Q 切OA 于N ，连QN ，记⊙P 、⊙Q 的半径分别为r P 、r Q ． ∵⊙P 与⊙O 内切，∴|OP |＝80－r P ， ∴r Psin θ＋r P ＝80，………4分∴r P ＝80·sin θ1＋sin θ (0＜θ＜π2) ………6分(2)∵|PQ |＝r P ＋r Q ∴|OP |－|OQ |＝r P sin θ－r Qsin θ＝r P ＋r Q∴r Q ＝80·sin θ(1－sin θ)1＋sin θ (0＜θ＜π2) ………10分法一：令t ＝1＋sin θ∈(1,2)，∴r Q ＝80·(t －1)(2－t )t 2＝80⎝⎛⎭⎫－1－2t 2＋3t令m ＝1t ∈（12,1)，r Q ＝80(－2m 2＋3m －1) ∴m ＝34时，有最大值10．………13分 注意：换元不写范围扣1分 法二：∵2sin θ(1－sin θ)≤2sin θ＋(1－sin θ)2＝1＋sin θ2 ∴sin θ(1－sin θ)≤(1＋sin θ)28∴r Q≤10．此时sin θ＝13………14分 注意：不指出取等号的条件扣1分法三：令t ＝sin θ∈(0,1)，r Q ＝80(t －t 2)(1＋t )2，∴r Q '＝80(1－3t )(1＋t )3令r Q '＝0得：t ＝13，【列表略】故t ＝13时，⊙Q 的半径的最大值为10．………13分 注意：不列表扣1分答：⊙Q 的半径的最大值为10．………14分 注意：应用题不写答扣1分18(1)由题意知b ＝2，c ＝1，则a ＝5，所以椭圆方程为x 25＋y 24＝1．d=8 ………5分（2）①当ST 斜率不存在时，由PF ⊥ST ，得P 为直线l 与x 轴的交点，此时线段ST 被直线OP 平分；当ST 斜率为0时，不合题意；当ST 斜率存在时，设直线ST 方程为y ＝k (x —1)，联立直线与椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x —1) x 25＋y 24＝1，消去y ，得(4＋5k 2)x 2—10k 2x ＋5k 2—20＝0．设S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－20 4＋5k 2，且△＞0．设线段ST 中点为(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝5k 24＋5k 2，y 0＝ k (x 0—1)＝－4k 4＋5k 2，所以ST 中点为(5k 2 4＋5k 2，－4k 4＋5k2)．因为PF ⊥ST ，所以直线PF 方程为y ＝－1k (x —1)，所以点P 坐标为(5，—4k )，则直线OP 方程为y ＝－ 45k x ，而y 0＝－ 45k x 0，即(x 0，y 0)在直线OP 上，即直线OP 平分线段ST ．综上，直线OP 平分线段ST ．………10分（2）当ST 斜率不存在时，易得S (1，455)，T (1，－455)．设P (5，t )，则k 1＝t －4554，k 2＝t 4，k 3＝t ＋4554，则k 1＋k 3＝t —4554＋t ＋4554＝t2＝2k 2，即k 1，k 2，k 3成等差数列． 当ST 斜率存在时，设直线ST 方程为y ＝k (x —1)（同第（1）问）．设P (5，t )，则k 1＝t —y 15—x 1＝t —k (x 1—1)5—x 1＝k ＋t —4k 5—x 1，k 2＝t 4，k 3＝t —y 25—x 2＝t —k (x 2—1)5—x 2＝k ＋t —4k 5—x 2，则k 1＋k 3＝k ＋t —4k5—x 1＋k＋t —4k 5—x 2＝2k ＋(t —4k )(10—x 1—x 2)(5—x 1)( 5—x 2)＝2k ＋(t —4k )[10—(x 1＋x 2)]25—5(x 1＋x 2)＋x 1x 2．由（1）知x 1＋x 2＝10k 2 4＋5k 2，x 1x 2＝5k 2—204＋5k 2，代入上式得k 1＋k 3＝2k ＋(t —4k )[10— 10k 24＋5k 2]25—510k 2 4＋5k 2＋5k 2—20 4＋5k 2＝2k ＋(t —4k )(40＋40k 2)80＋80k 2＝2k＋t —4k 2＝t 2，又k 2＝t 4，所以k 1＋k 3＝2k 2，即k 1，k 2，k 3成等差数列．………6分综上：k 1，k 2，k 3成等差数列．【说明】考查直线与椭圆的位置关系，解析几何中的恒成立问题及分类讨论思想．19、函数⎪⎩⎪⎨⎧<<--≥-+=,0,)(ln ,,)(ln )(22c x c x x a c x c x x a x f 求导得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<++-≥+-=c x x a cx x c x xacx x x f 0,22,,22)('22(1)当43-=a ，41=c 时，⎝⎛<<-+-≥--=410,4328,41,4328)('22x x x x x x x x x f若0<x<14 ，则04328)('2<-+-=x x x x f 恒成立，所以f(x)在(0，14 )上单调递减若x ≥14 ，则xx x x f 4)34)(12()('-+=，令f'(x)=0，解得x=34 或x=- 12 (舍去)当14 ≤x<34 时，f'(x)<0，f(x)在[14 ，34]上单调递减；当x>34 时，f'(x)>0，f(x)在(34，+∞)上单调递增综合，函数f(x)的单调减区间是(0，34 )，单调增区间是(34，+∞)(2)当x>c ，c=a 2 +1时， xa x x x f )2)(1()('--=，而c=a2 +1<1所以当c<x<1时，f'(x)<0，f(x)在(c ，1)上单调递减；当x>1时，f'(x)>0，f(x)在(1，+∞)上单调递增 所以函数f(x)在(c ，+∞)上的最小值为f(1)=a24 ，所以a 24 ≥14 恒成立，解得a ≤-1或a ≥1(舍去)又由c=a2+1>0，得a>-2，所以实数a 的取值范围是(-2，-1] (3)由l 1⊥l 2知， )(')2('c f a f -=-1，而f'(c)=ac ，则a c a f -=-)2('，若c a ≥-2，则c aa ac a a f 2222)2(2)2('-=-+---=-，所以-2c=-c a ，解得a=12 ，不合题意 故2a -<c ，则222)2(2)2('aaa c a a f -+-+--=-=--8a +2c=-c a ，整理理，128+-=a a a c ，由c>0，得a<- 12 ，令-8a =t ，则a=- t 28 ，t>2，所以821482322-=+-⋅-=t t t tt c ，设g(t)=8223-t t ，则g'(t)=2222)82()12(2--t t t 当2<t<2 3 时，g'(t)<0，g(t)在(2，2 3 )上单调递减； 当t>2 3 时，g'(t)>0，g(t)在(2 3 ，+∞)上单调递增所以函数g(t)的最小值为g(2 3 )=3 3 2 ，故实数c 的最小值为3 3220．(1)充分性：当数列{a n }为单调数列时，即a 1>a 2>…>a n-1>a n ，或a 1<a 2<…<a m-1<a m ，所以其序数列{p m }为1，2，…，n-1，n ，或n ，n-1，…，2，1，均为等差数列 必要性：当列{a m }的序数列为等差数列时，其序数列{p m }必为1，2，…，n-1，n ，或n ，n-1，…，2，1，所以有a 1>a 2>…>a n-1>a n ，或a 1<a 2<…<a n-1<a n ，所以数列{a n }为单调数列综上，有穷数列{a m }的序数列{p m }为等差数列的充要条件是有穷数列{a m }为单调数列(2)由题意得，b n+1-b n =(35 )n ·3-2n5 ，当n=1时，易得b 2>b 1，当n ≥2时，b n+1<b n ，又b 1=35 ，b 3=3×（35 ）3，b 4=4×(35 )4，b 4<b 1<b 3，即b 2>b 3>b 1>b 4>…>b n ，故数列{b n }的序数列为2，3，1，4，…，n ，则数列{c n }的序数列 所以对于数列{c n }有2<t 2 <52，解得4<t<5(3)因为{d 2n +1}的序数列单调递减，所以{d 2n-1}是递增数列，故d 2n+1-d 2n-1>0，于是(d 2n+1-d 2n )+(d 2n -d 2n-1)>0，又(12 )2n <(12 )2n-1，所以|d 2n+1-d 2n |<|d 2n -d 2n-1|，从而d 2n -d 2n-1>0，d 2n -d 2n-1=(12 )2n-1=1222)1(--n n，因为{d 2n }的序数列单调递增，所以{d 2n }是递减数列，同理可得d 2n+1-d 2n <0，故d 2n+1-d 2n =-(12 )2n =n n 2122)1(+-，由①②得d n+1-d n =nn 2)1(1+- 所以d n =d 1+(d 2-d 1)+(d 3-d 2)+…+(d n -d n-1)=1+122)1(2121--+++n n=1+211)21(1211+--⋅-n=12)1(3134--⋅+n n， 即数列{d n }的通项公式为d n =12)1(3134--⋅+n n(n *N ∈)21.B 解：MN =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦=10202⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 由逆矩阵公式得， 1()MN -=20102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦……4分 即在矩阵MN 变换下11022022x x x x y y y y ⎡⎡⎤⎤'⎡⎡⎡⎤⎤⎤⎢⎢⎥⎥→==⎢⎢⎢⎥⎥⎥⎢⎢⎥⎥'⎦⎦⎦⎣⎣⎣⎢⎣⎦⎦⎣， ……6分 1,22x x y y ''==， ……8分代入得：1sin 22y x ''=，即曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式为2sin 2y x =． ……10分 C （1）m=1 ……4分 (2)32……10分解：（1）由表中信息可知，当产假为14当产假为16（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A ，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选 法共有2510C =（种），其和不低于32周的选法有（14，18）、（15，17）、（15，18）、（16，17）、（16，18）、（17，18），共6种，②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．因而ξ的分布列为所以()290.1300.1310.2320.2330.2340.1350.132E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=23．（1）解：由原递推式得到11(1)1n n n n n t a a a t ++-=+-22121(1)1(1)12t a a t a t -==-+-3233232221(1)(1)(1)1231)3(1)2t t t a t a a t t -⋅---===+-- 猜想得到1n n t a n -=…………（2分）下面用数学归纳法证明1n n t a n -= 10当n=1时 a 1=t —1 满足条件20假设当n=k 时，1k k t a k -=则1111(1)(1)k k k k k t t a t t k k++--+-=- ∴1111k k k t a k k ++--⋅= ∴1111k k t a k ++-=+, 即当n=k+1时，原命题也成立。

江苏省南京市金陵中学、江苏省海安高级中学、南京外国语学校2017届高三数学第四次模拟考试试题(含解析)

江苏省南京市金陵中学、江苏省海安高级中学、南京外国语学校2017届高三数学第四次模拟考试试题(含解析)

2016-2017年江苏省南京市金陵中学、江苏省海安高级中学、南京外国语学校高三第四次模拟考试数学一、填空题：共14题1．已知集合，集合，则 . A ={x |―1<x ≤1}B ={―1,1,3}A ∩B =【答案】{1}【解析】本题主要考查集合的基本运算.因为，，所以. A ={x |―1<x ≤1}B ={―1,1,3}A ∩B ={1}2．若复数 (为虚数单位)，则的实部是 .z =―i1+2i i z 【答案】―25【解析】本题主要考查复数的四则运算与复数的实部与虚部.因为，所以的实部是z =―i1+2i =―i(1―2i)5=―2―i5z ―253．函数的定义域为 .f (x )=1―lg x 【答案】(0,10]【解析】本题主要考查函数的定义域、对数函数. 由题意可得,即,所以, 1―lg x ≥0lg x ≤10<x ≤10所以函数的定义域为f (x )=1―lg x (0,10]a4．根据如图所示的程序语言，输出的值为 .【答案】21【解析】本题主要考查While 语句.运行程序：a=1,i=2;a=3,i=4;a=7,i=6;a=13,i=8;a=21,i=8,此时，不满足条件，循环结束，输出a=21.5．采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人进行问卷调查.将这1 000人随机编号为1,2,…,1 000,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若抽到的50人中,编号落入区间[1,400]的人做问卷A,编号落入区间[401,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C,则做问卷C的人数为 .【答案】A【解析】采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人进行问卷调查,分50组,每组20人,在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8,以后每组各抽取一个号码,间隔为20,所以第二组抽取28号,第三组抽取48号,…….做问卷A的有20人,做问卷B的有18人,所以做问卷C的有12人,选择A.6．从1,2,3,4,5这五个数中一次随机取两个数，则取出的两个数的和为奇数的概率为.5【解析】本题主要考查古典概型.从1,2,3,4,5这五个数中一次随机取两个数，有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5), 共有10个不同的结果，其中取出的两个数的和为奇数的取法有(1,2),(1,4),(2,3), (2,5),(3,4),(4,5), 共有6个不同的结果，所以所求事件的概率P= 610=35.7．在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则该双曲线的两条xoy x 22―y 2m =1(m >0)62渐近线方程是 .【答案】y =±22x 【解析】本题主要考查双曲线的性质，由双曲线的性质求出m 的值，即可得出双曲线的渐近线方程.由双曲线的方程与离心率可知,则m =1，2+m 2=32所以双曲线的渐近线方程为y =±22x8．在平面直角坐标系中，将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，xoy y =sin2x π12g (x )则的值为 .g (π12)2【解析】本题主要考查三角函数的图象变换与求值，由题意求出的解析式，即可求值.g (x )由题意可得,g (x )=sin (2x +π6)则g (π12)=sin (2×π12+π6)=329．若实数满足，则的最小值是 .x,y {2x ―y ≤2x ―y ≥―1x +y ≥1 z =2x +y 【答案】1【解析】本题主要考查线性规划问题，考查了数形结合思想与逻辑推理能力.作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，由目标函数z 与直线在y 轴上的截z =2x +y 距之间的关系可知，当直线过点时，目标函数取得最小值1.z =2x +y z =2x +y10．已知正六边形ABCDEF 的边长为1，则的值为 .AF •BD2【解析】本题主要考查平面向量的数量积,正六边形的性质.易知AE//BD,且AE=BD =,且3,则. ∠EAF =30°AF •BD =|AF |•|BD |cos∠EAF =3211．在等差数列中，已知，，若，则正整数的值{a n }a 4+a 7+a 10=15∑14i =4a i =77a k =13k 为 . 【答案】15【解析】本题主要考查等差数列的通项公式与前n 项和公式.设公差为d ,则,,求解可得a 4+a 7+a 10=3a 1+18d =15∑14i =4a i =11a 1+88d =77,则,所以,则k =15. a 1=―1,d =1a n =n ―2a k =k ―2=1312．在平面直角坐标系中，已知圆心分别为的三个圆半径相xoy A (14,92),B (17,76),C (19,84)同，直线过点B,且位于同侧的三个圆各部分的面积之和等于另一侧三个圆各部分的面积之l l 和，则直线的斜率的取值集合为 .l 【答案】{―24,85}【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系,点到直线的距离.因为直线l 过点B ,所以圆B 的面积被平分,因此圆A,C 位于l 同侧的面积之和等于另一侧的两个圆各部分之和,易知A,B,C 三点不共线,所以A,C 两点在直线l 的两侧,且到直线l 的距离相等,显然直线l 的斜率存在,设为k ,则直线l 的方程为,则kx ―y ―17k +76=0,则,所以则直线的斜率的取值集合为|14k ―92―17k +76|1+k2=|19k ―84―17k +76|1+k2k =―24或85l{―24,85}13．设函数，若存在实数，使得函数恰有2个零点，则实数f (x )={x 3,x ≤ax 2,x >a b y =f (x )―bx a 的取值范围为 . 【答案】(―∞,0)∪(0,1)【解析】本题主要考查函数的解析式,图象与性质,零点,考查了转化思想与数形结合思想. 显然x=0是的一个零点;y =f (x )―bx 当时,令得, x ≠0y =f (x )―bx =0b =f (x )x令,则存在唯一一个解.g(x)=f (x )x={x 2,x ≤ax,x >a b =g(x)当a<0时,作出函数的图象,如图所示,g(x)显然当当a<b<a 2且时,存在唯一一个解,符合题意; b ≠0b =g(x)当a >0时,作出函数的图象,如图所示,g(x)若要使存在唯一一个解,则a>a 2,即0<a <1, b =g(x)同理,当a =0时,显然有零解或两解,不符合题意. b =g(x)综上,a 的取值范围是. (―∞,0)∪(0,1)14．设，函数，且，，a >0,b >0f (x )=x ln x,g (x )=―a +x ln b ∃x ∈[a +b 4,3a +b5]f (x )≤g (x )则的取值范围是 . ba 【答案】[e ,7)【解析】本题主要考查导数与函数的性质,考查了存在问题与转化思想,逻辑推理能力与计算能力.由可化为,f (x )≤g (x )x ln xb +a ≤0令,,ℎ(x )=x ln xb +a,x ∈[a +b 4,3a +b5]ℎ(x )=ln xb +1x >be 由可得,由可得,ℎ(x )>0x >be ℎ(x )<00<x <be 由题意可得,则,a +b4<3a +b 5ba∈(0,7)若,即时,因此在上是减函数, a +b 4≤b e b a ∈(3e5―e ,7)ℎ(x )[a +b 4,3a +b5]所以的最小值为,对恒成立, ℎ(x )ℎ(3a +b 5)=3a +b 5ln 3a +b 5b +a ≤0(3e5―e ,7)若,即,a +b 4<b e <3a +b 5b a ∈(e 4―e ,3e5―e )可得的最小值为,则,即有,ℎ(x )ℎ(be)=b e ln 1e +a ≤0b a ≥e b a ∈[e,3e5―e )若,即,a +b 4≥b e b a ≤e4―e 可得在上是增函数, ℎ(x )[a +b 4,3a +b5]所以的最小值为,ℎ(x )ℎ(a +b 4)=a +b 4ln a +b 4b+a ≤0令,即恒成立.t =b a ∈(0,e4―e )p (t )=ln1+t 4t+41+t ≤0因为,所以函数在上是减函数,p (t )=―5t +1t(1+t )2<0p (t )(0,e4―e )故存在无数个实数使得,t ∈(0,e4―e )p (t )>0如取t =1,,与恒成立矛盾,此时不成立.p (1)=ln 12+2>0p (t )≤0综上所述,的取值范围是 ba [e,7)二、解答题：共11题15．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知.sin C2=104(1)求的值；cos(C +π6)(2)若△ABC 的面积为，且，求的值.3154sin 2A +sin 2B =1316sin 2C c 【答案】(1)因为，所以，sin C 2=104cos C =1―2sin 2C2=1―2×(104)2=―14在△ABC 中，，sin C =1―cos 2C =1―(―14)2=154所以；cos(C +π6)=cos C cos π6―sin C sin π6=―14×32―154×12=―3+158(2)因为，sin 2A +sin 2B =1316sin 2C 由正弦定理得：所以； asin A =bsin B =csin C a 2+b 2=1316c 2由余弦定理得， c 2=a 2+b 2―2ab cos C 即，所以，a 2+b 2=c 2+12ab =1316c 2ab =38c 2由，所以，S △ABC =12ab sin C =12ab ×154=3154ab =6所以.c =4【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理,三角形的面积公式,简单的三角恒等式,考查了转化思想与计算能力.(1)利用二倍角公式求出,,再利用两角和与差公式公式求解cos C sin C 即可;(2)结合(1),利用三角形的面积公式求出,利用正弦定理可得,结合ab =6a 2+b 2=1316c 2余弦定理求解即可.16．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，AC,BD 相交于点O ，EF //AB,EF =AB,12平面BCF ⊥平面ABCD ，BF =CF,G 为BC 的中点，求证：(1)OG //平面ABE ； (2)AC ⊥平面BD E.【答案】（1）∵四边形ABCD 是菱形，AC∩BD=O，∴点O 是BD 的中点， ∵点G 为BC 的中点∴OG ∥AB ，又∵OG 平面ABEF ，AB ⊂平面ABEF ，∴直线OG ∥平面AB E.⊄（2）连接OE,FG ,∵BF=CF ，点G 为BC 的中点，∴FG ⊥BC ，∵平面BCF ⊥平面ABCD ，平面BCF∩平面ABCD=BC ，FG ⊂平面BCF ，FG ⊥BC ∴FG ⊥平面ABCD ， ∵AC ⊂平面ABCD ∴FG ⊥AC ，∵OG ∥AB ，OG=AB ，EF//AB, EF =AB 1212∴OG ∥EF ，OG=EF ，∴四边形EFGO 为平行四边形，∴FG ∥EO ， ∵FG ⊥AC ，FG ∥EO ，∴AC ⊥EO ， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥DO ，∵AC ⊥EO ，AC ⊥DO ，EO∩DO=O，EO 、DO 在平面ODE 内， ∴AC ⊥平面ODE 即AC ⊥平面BD E.【解析】本题主要考查线面与面面平行与垂直的判定与性质,考查了空间想象能力与逻辑推理能力.(1)证明OG ∥AB,则易得结论;(2)利用面面垂直的性质定理可得FG ⊥平面ABCD ，再证明四边形EFGO 为平行四边形，可得AC ⊥EO,易知AC ⊥DO,则结论易得.17．如图，等腰直角三角形区域ABC 中，百米，现准备画出一块三∠ACB =900,BC =AC =1角形区域CDE ，其中D,E 均在斜边AB 上，且，记三角形CDE 的面积为S .∠DCE =450(1)①设，试用表示S ; ∠BCE =θθ②设，试用表示S ； AD =x x (2)求S 的最大值.【答案】(1)①以CB 为轴正方向，CA 为轴正方向建立平面直角坐标系，x y 则，，，CE :y =(tan θ)•x CD :y =(tan(θ+π4))•x 0≤θ<π4，联立解得：，， AB :y =―x +1E (11+tan θ,tan θ1+tan θ)D (1―tan θ2,1+tan θ2)所以， S (θ)=12•d •|DE |=1+tan 2θ4(1+tan θ)当时，，满足， θ=π4S △CDE =14S (θ)=1+tan 2θ4(1+tan θ)所以，；S (θ)=1+tan 2θ4(1+tan θ)0≤θ≤π4②如图，以AB 为斜边另作等腰直角三角形AOB ，延长CD 交AO 于F,延长CE 交BO 于G ，设，，，∠ACF =α∠BCG =βAF =m,BG =n 所以，同理，tan α=m =AFAC =AFBC =ADDC =x2―x tan β=n =2―x ―DE x +DE由，代入化简，，tan(α+β)=m +n 1―mn=1DE =x 2―2x +12―x0≤x ≤22所以；S (x )=12×22•DE =2x 2―2x +24(2―x),0≤x ≤22(2)令，，所以，t =2―x 22≤t ≤2S(x)=24(t +1t ―2)≥2―12当且仅当，即时取到等号.t =1x =2―1答：三角形CDE 面积的最大值.2―12百米2【解析】本题主要考查函数的解析式,任意角的三角函数,两角和与差公式,基本不等式,考查了转化思想与逻辑推理能力.(1) ①以CB 为轴正方向，CA 为轴正方向建立平面直角坐标x y 系,求出AB,CD,CE 的直线方程,进而求出点D,E 的坐标,则易得结论;(2) ②如图，以AB 为斜边另作等腰直角三角形AOB ，设，，，∠ACF =α∠BCG =βAF =m,BG =n 求出，同理,由,化简求出DE ,tan α=m =x2―x tan β=n =2―x ―DE x +DEtan(α+β)=m +n1―mn =1则可得结论;(2) 令，,则利用基本不等式求t =2―x 22≤t ≤2S(x)=24(t +1t ―2)解即可.18．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，焦距为2. xoy C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)12(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆C 相交于A,B 两点，且； l :y =kx +m (k,m ∈R )k OA k OB =―34①求证：△AOB 的面积为定值；②椭圆C 上是否存在一点P,使得四边形OAPB 为平行四边形？若存在，求出点P 的横坐标的取值范围，若不存在，说明理由.【答案】(1)由题意：，所以，则，{2c =2e =c a =12{c =1a =2b 2=a 2―c 2=3椭圆C 的方程为.x 24+y 23=1(2)①由，消去，化简得：，{x 24+y 23=1y =kx +my (3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2―12=0设，则，，A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)x 1+x 2=―8km 3+4k 2x 1x 2=4m 2―123+4k 2故，y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=3m 2―12k 23+4k 2因为，所以，k OA •k OB =y 1y 2x 1x 2=―342m 2=3+4k 2所以，，|AB |=1+k2(x 1+x 2)2―4x 1x 2=24(1+k 2)3+4k 2d =|m |1+k 2所以为定值.S =12|AB |•d=12×24(1+k 2)3+4k 2•|m |1+k 2=12×24m 23+4k 2=3②若存在椭圆上的点，使得OAPB 为平行四边形，则，P OP =OA +OB 设，则，又因为， P (x 0,y 0){x 0=x 1+x 2=―8km3+4k 2y 0=y 1+y 2=6m 3+4k 2x 024+y 023=1即，得，16k 2m 2(3+4k 2)2+12m 2(3+4k 2)2=14m 2=3+4k 2又因为，矛盾;2m 2=3+4k 2故椭圆上不存在点P ，使得OAPB 为平行四边形.【解析】本题主要考查椭圆的方程与性质,直线的方程与斜率,弦长公式与点到直线的距离公式,考查了方程思想与逻辑推理能力.(1) 由题意：,求解易得结论;(2) ①联立直线{2c =2e =c a =12与椭圆方程,由韦达定理,结合条件可,由弦长公式与点到直线k OA k OB =―34得2m 2=3+4k 2的距离公式,即可得出S 的表达式,化简求解即可; ②若存在椭圆上的点，使得OAPB 为平行P 四边形，则，设，则,结合椭圆方程,化简可得OP =OA +OB P (x 0,y 0){x 0=x 1+x 2=―8km3+4k 2y 0=y 1+y 2=6m 3+4k 2 结论.19．设定义在R 上的函数. f (x )=e x ―ax (a ∈R )(1)求函数的单调区间；f (x )(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围；x 0∈[1,+∞)f (x 0)<e ―a a (3)定义：如果实数满足，那么称比更接近，对于(2)中的及，s,t,y |s ―t |≤|t ―r |s t r a x ≥1问和哪个更接近？并说明理由.ex e x ―1ln x【答案】(1)由题设知，，f '(x )=e x ―a ①当时，恒成立，上单调递增；a ≤0f '(x )>0f (x )在R ②当时，，得，当时，单调递减，当a >0f '(x )=0x =ln a x ∈(―∞,ln a )f '(x )<0f (x )时，单调递增；x ∈(ln a,+∞)f '(x )>0f (x )综上：当时，上单调递增；当时，在单调递减，在a ≤0f (x )在R a >0f (x )(―∞,ln a )(ln a,+∞)单调递增；(2)由(1)知当时，在单调递增，所以恒成立，舍； a ≤e f (x )[1,+∞)f (x )≥f (1)=e ―a 当时，在单调递减，在单调递增，所以满足，a >e f (x )[1,ln a )(ln a,+∞)f (ln a )<f (i )=e ―a 综上：实数的取值范围；a a >e (3)令，，p (x )=ex ―ln x q (x )=e x ―1++a ―ln x x ≥1，单调递减，p '(x )=―ex 2―1x <0p (x )故当时，；当时，；1≤x ≤e p (x )≥p (e)=0x >e p (x )<0，，在单调递增， q '(x )=e x ―1―1x q ''(x )=e x ―1+1x 2>0q '(x )[1,+∞)故，则在单调递增，； q '(x )≥q '(t )=0q (x )[1,+∞)q (x )≥q (1)=a +1>0①当时，令，1≤x ≤e m (x )=|p (x )|―|q (x )|=p (x )―q (x )=ex ―e x ―1―a 所以，故在单调递减， m '(x )=―ex 2―e x ―1<0m (x )[1,e]所以，即， m (x )≤m (t )=e ―1―a <0|p (x )|<|q (x )|所以比更接近；ex e x ―1+a ln x ②当时，令，x >e n (x )=|p (x )|―|q (x )|=―p (x )―q (x )=―ex +2ln x ―e x ―1―a 所以，故单调递减， m '(x )=ex 2+2x ―e x ―1<3e ―e e ―1<0n (x )在[e ,+∞)所以，即，n (x )≤n (e)<0|p (x )|<|q (x )|所以比更接近；ex e x ―1+a ln x 综上：当及，比更接近.a >e x ≥1ex e x ―1+a ln x 【解析】本题主要考查导数与函数的性质,考查了转化思想与分类讨论思想,逻辑推理能力与计算能力.(1),分,两种情况讨论的符号,即可得出结论;(2)结f '(x )=e x ―a a ≤0a >0f '(x )合(1)的结论,分,两种情况讨论函数的单调性,即可得出结论;(3) 令a ≤e a >e f (x )，，,求导并函数函数的单调性,求出两个函数p (x )=ex ―ln x q (x )=e x ―1++a ―ln x x ≥1的最小值,比较两个最小值的大小,则可得结论.20．已知正整数为常数，且，无穷数列的各项均为正整数，其前项和为，且λ,μλ≠1{a n }n S n ，记数列中任意不同两项的和构成的集合为A. S n =λa n ―μ,n ∈N ∗{a n }(1)求证：数列为等比数列，并求的值； {a n }λ(2)若，求的值；2015∈A μ(3)已知，求集合的元素的个数. m ≥1{x |3μ•2m ―1<x <3μ•2m ,x ∈A }【答案】(1)证明：当时，， n ≥2S n =λa n ―μ,S n ―1=λa n ―1―μ所以，因为，，所以，a n =λa n ―λa n ―1λ≠1a n >0a na n ―1=λλ―1所以数列是以为公比的等比数列；{a n }λλ―1又因为为无穷数列且各项均为正整数，所以为正整数， {a n }λλ―1=1+1λ―1所以正整数；λ=2(2)由(1)知，则，故， S n =2a n ―μa 1=μa n =μ•2n ―1所以，A ={μ•(2i ―1+2j +1),1≤i <j,i,j ∈N ∗}因为，所以， 2015∈A 2015=μ•2i ―1(1+2j ―i )=5×13×31因为，所以为不小于3的奇数，j ―i >01+2j ―i1+2j―i=135×31,13×31,5×13×311+2j―i=55×13而，31，均不满足，所以，；1+2j―i=5j―i=2μ•2i―1=403i=1j=3,μ=403当时，，，则，满足；1+2j―i=65j―i=6μ•2i―1=31i=1j=7,μ=31当时，，，则，满足；μ=31综上：或403；B n={x|3μ•2n―1<x<3μ•2n,x∈A}3μ•2n―1<μ(2i―1+2j―1)<3μ•2n(3)因为，即，集合3•2n<2i+2j<3•2n+1(i,j)i<j,i,j∈N∗中元素等价于满足的不同解，，j>n+22i+2j≥2i+2n+3>3•2n+1若，则，矛盾；j<n+22i+2j≤2i+2n+1≤2n+2n+1=3•2n若，则，矛盾；j=n+2所以.21+2n+2―3•2n=1+2n>0又因为，3•2n<21+2n+2<22+2n+2<...<2n+2n+2<2n+1+2n+2=3•2n+1所以，i=1,2,...,n n x∈B n即满足，故共有个不同的.a n=S n―S n―1(n≥2)【解析】本题主要考查元素与集合,的应用,等比数列,考查了放缩法a n=S n―S n―1(n≥2)与定义法,逻辑推理能力与计算能力.(1)由题意,利用化简即可得出a n=μ•2n―1A={μ•(2i―1+2j+1),1≤i<j,i,j∈N∗}2015∈A结论;(2)由(1)可得,则,由,讨1+2j―i3μ•2n―1<μ(2i―1+2j―1)<3μ•2n论的值,进而得出结论;(3)由题意,即集合中元3•2n<2i+2j<3•2n+1(i,j)i<j,i,j∈N∗j>n+2素等价于满足的不同解，,分别讨论, ,三种情况,易得结论.j<n+2j=n+2⊙O⊙O21．如图，的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为上一点，AE=AC,求证：∠PDE=∠PO C.【答案】因A E =AC,AB 为直径， 故OAC =OA E.∠∠所以=+=+= ∠POC ∠OAC ∠OCA ∠OAC ∠OAC ∠EAC .又=, ∠EAC ∠PDE 所以，=∠PED ∠POC .【解析】本题主要考查圆的性质，考查了逻辑推理能力.由圆的性质可知，OAC =OA E ，进而可得=，由圆内接四边形的性质可知=∠∠∠POC ∠EAC ∠EAC ，即可得出结论. ∠PDE22．设矩阵 ，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为 ，属于特征值2的A =[m 0 0n ][10]一个特征向量为 ，求矩阵A.[01]【答案】由题意得=1，=1， [m 0 0n ][10][10][m 0 0n ][01][01]所以，故.{m =1,n =2,A =[10 02]【解析】本题主要考查矩阵与变换，考查了矩阵的特征值与特征向量. 由题意得=1，=1，求解可得结果. [m 0 0n ][10][10][m 0 0n ][01][01]23．在极坐标系中，设直线过点，，且直线与曲线有且仅有一个l A (3,π6)B (a,0)l C :ρ=cos θ公共点，求正数的值.a 【答案】依题意，的直角坐标为，A (3,π6)A (32,32)曲线的普通方程为，C :ρ=cos θ(x ―12)2+y 2=14因为直线过点A 且与曲线C 有且只有一个公共点，设，l l :y ―32=k (x ―32)所以解，令，所以(另一解舍). |3―k |k 2+1=12k =23±63y =0a =324【解析】本题主要考查参数方程与极坐标，极直互化，直线与圆的位置关系.求出点A 的直角坐标，与曲线C 的直角坐标方程，设直线，易得，求出k 的l :y ―32=k (x ―32)|3―k |k 2+1=12值，即可得出a .24．已知，且，求证：.a,b >0a +b =12a +1+2b +1≤22【答案】因为，(2a +1+2b +1)2≤(2a +1+2b +1)(12+12)=8所以.2a +1+2b +1≤22【解析】本题主要考查不等式证明，考查了柯西不等式的应用. 由题意，利用柯西不等式易得结论.(2a +1+2b +1)2≤(2a +1+2b +1)(12+12)25．如图，李先生家住H 小区，他工作在C 处科技园，从家开车到公司上班路上有两L 1,L 2条路线，路线上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为，路线上有两L 1A 1,A 2,A 312L 2B 1,B 2个路口，个各路口遇到红灯的概率依次为34,35(1)若走路线，求遇到红灯次数X 的分布列和数学期望；L 2(2)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.【答案】(1)依题意，的可能取值为0，1，2.X ，，P (X =0)=(1―34)×(1―35)=110P (X =1)=34×(1―35)+(1―34)×35=920. P (X =2)=34×35=920随机变量X 的分布列为：所以.E (X )=110×0+920×1+920×2=2720(2)设选择路线遇到红灯次数为，随机变量服从二项分布，所以L 1Y Y Y ∼B (3,12).E (Y )=3×12=32因为，所以选择路线上班最好.E (X )<E (Y )L 2【解析】本题主要考查相互独立事件同时发生的概率、离散型随机变量的分布列与期望、二项分布，考查了分析问题与解决问题的能力.(1) 依题意，的可能取值为0，1，2，利用相X 互独立事件的概率公式求出每一个变量X 的概率，即可得X 的分布列与期望；(2) 设E (X )选择路线遇到红灯次数为，随机变量服从二项分布，利用二项分布的期望公L 1Y Y Y ∼B (3,12)式求出，再结合(1)的结论进行比较，则可得结论.E (Y )。

江苏省南通市2016届高三数学全真模拟试题4

江苏省南通市2016届高三数学全真模拟试题4
开始
【答案】1 3． 运行如图所示的流程图，则输出的结果 S 是 【答案】 1 2 4． 若直线 y 1 x b(e是自然对数的底数) 是曲线 y ln x e 的一条切线，则实数 b 的值是 【答案】0 5． 某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中 的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为 【答案】 1 4 6． ▲ ． ▲ ． ▲ ．
2016 年数学全真模拟试卷四
试题Ⅰ
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案直接填写在答题卡相应 位置上.
1 2 ，则 A 的子集个数为 1． 已知集合 A 0，，
▲
．
【答案】8 2． ▲ 设复数 z1 2 ai ， z2 2 i （其中 a 0 ， i 为虚数单位） ．若 z1 z 2 ，则 a 的值为 ．
2 y2 b 0) 的焦距为 2c(c 0) ．当 a ， 10．在平面直角坐标系 xOy ，设双曲线 x 2 2 1(a 0， a b
▲
b 任意变
化时， a b 的最大值是 c 【答案】 2 【解析】因为 a 2 b 2 =c 2 ，即 a c
ab mn， c m，b n 得 m n 1 ，故 1 ，令 a c c
．
n 1
1 x 两式相除得 tan 3 2 7 ， tan 1 x 13 3 2
解得 x 1 ． 5 14．在平面直角坐标系 xOy 中，设 A ， B 分别为曲线 y 1 x 2 与 x 轴的两个交点， C ，
D
分别为曲线上的两个动点，则 AC BD 的取值范围是
12．观察下列一组关于非零实数 a ， b 的等式：

江苏省南京市金陵中学高三数学第四次模拟考试

江苏省南京市金陵中学高三数学第四次模拟考试

南京市金陵中学2011届高三第四次模拟考试数学注意事项：1. 本试卷满分160分，考试时间120分钟．2. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内． 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 在复平面内，复数－3＋i 和1－i 对应的点间的距离为________．2. 命题：“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”及其逆命题、否命题、逆否命题中正确的个数是________．3. 右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是________．4. 用半径为R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥桶，那么这个圆锥的高是________．5. 为了调查高中学生眼睛高度近视的原因，某学校研究性学习小组用分层抽样的方法从全校三个年级的高度近视眼患者中，抽取若干人组成样本进行深入研究，有关数据见下表(单位：人)：人都来自高三年级的概率是________．6. 双曲线x 2－y 24＝1的渐近线被圆x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0所截得的弦长为________． 7. 在共有2 013项的等差数列{a n }中，有等式(a 1＋a 3＋…＋a 2 013)－(a 2＋a 4＋…＋a 2 012)＝a 1 007成立；类比上述性质，在共有2 011项的等比数列{b n }中，相应的有等式________成立．8. 已知向量p 的模是2，向量q 的模为1，p 与q 的夹角为π4，a ＝3p ＋2q ，b ＝p －q ，则以a 、b 为邻边的平行四边形的长度较小的对角线的长是________．9. 若x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y －k ≥0，且z ＝2x ＋4y 的最小值为－6，则k 的值为________．10. 已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝n2n －1对任意n ∈N *恒成立，则a 10b 5的值为________． 11. 已知A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |x 2＋2x ＋a ≥0}，A ，B 的交集不是空集，则实数a 的取值范围是________．12. 定义在R 上的函数f (x )的图象过点M (－6,2)和N (2，－6)，对任意正实数k ，有f (x ＋k )＜f (x )成立，则当不等式|f (x －t )＋2|＜4的解集为(－4,4)时，实数t 的值为________．13. 平面四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝DC ＝CB ＝1，△ABD 和△BCD 的面积分别为S ，T ，则S 2＋T 2的最大值是________．14. 在直角坐标系xOy 中，点P (x P ，y P )和点Q (x Q ，y Q )满足⎩⎪⎨⎪⎧x Q ＝y P ＋x P ，y Q ＝y P －x P ，按此规则由点P 得到点Q ，称为直角坐标平面的一个“点变换”．此变换下，若OQOP＝m ，∠POQ ＝θ，其中O 为坐标原点，则y ＝m sin(x ＋θ)的图象在y 轴右边第一个最高点的坐标为________．二、 解答题：本题共6小题，共计90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知函数f (x )＝3sin 2x ＋sin x cos x －32(x ∈R )．(1) 若x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f (x )的最大值； (2) 在△ABC 中，若A ＜B ，f (A )＝f (B )＝12，求BCAB的值．16. (本小题满分14分)已知在直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为直角梯形，且满足AD ⊥AB ，BC ∥AD ，AD ＝16，AB ＝8，BB 1＝8，E ，F 分别是线段A 1A ，BC 上的点．(1) 若A 1E ＝5，BF ＝10，求证：BE ∥平面A 1FD . (2) 若BD ⊥A 1F ，求三棱锥A 1AB 1F 的体积．17. (本小题满分14分)省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f (x )与时刻x (时)的关系为f (x )＝⎪⎪⎪⎪x x 2＋1－a ＋2a ＋23，x ∈，其中a 是与气象有关的参数，且a ∈]，若取每天f (x )的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M (a )．(1) 令t ＝xx 2＋1，x ∈，求t 的取值范围；(2) 省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问：目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？18. (本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，⊙O ：x 2＋y 2＝b 2，点A ，F 分别是椭圆C 的左顶点和左焦点，点P 是⊙O 上的动点．(1) 若P (－1，3)，P A 是⊙O 的切线，求椭圆C 的方程；(2) 是否存在这样的椭圆C ，使得P APF是常数？如果存在，求C 的离心率，如果不存在，说明理由．19. (本小题满分16分)已知函数f (x )＝12ax 2－(2a ＋1)x ＋2ln x (a 为正数)．(1) 若曲线y ＝f (x )在x ＝1和x ＝3处的切线互相平行，求a 的值； (2) 求f (x )的单调区间；(3) 设g (x )＝x 2－2x ，若对任意的x 1∈(0,2]，均存在x 2∈(0,2]，使得f (x 1)＜g (x 2)，求实数a 的取值范围．(本小题满分16分)设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n (a 2n ＋1＋1)a 2n ＋1(n ≥1，n ∈N *)． (1) 求证：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋1a n ＋1a n 是常数列； (2) 求证：当n ≥2时，2＜a 2n －a 2n －1≤3； (3) 求a 2 011的整数部分.南京市金陵中学2011届高三第四次模拟考试数学附加题 注意事项：1. 附加题供选修物理的考生使用．2. 本试卷共40分，考试时间30分钟．3. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内．21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. 选修41：几何证明选讲如图，设AB 为⊙O 的任意一条不与直线l 垂直的直径，P 是⊙O 与l 的公共点，AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足分别为C ，D ，且PC ＝PD .求证：(1) l 是⊙O 的切线；(2) PB 平分∠ABD.B. 选修42：矩阵与变换已知点A 在变换T ：]→]＝]的作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点B .若点B 坐标为(－3,4)，求点A 的坐标．C. 选修44：坐标系与参数方程求曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝2t 2＋1，y ＝2tt 2＋1被直线l ：y ＝x －12所截得的线段长．D. 选修45：不等式选讲已知a 、b 、c 是正实数，求证：a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥b a ＋c b ＋ac.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在四棱锥OABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝45°，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点．(1) 求异面直线AB 与MD 所成角的大小；(2) 求平面OAB 与平面OCD 所成二面角的余弦值．23. (本小题满分10分)已知构成某系统的元件能正常工作的概率为p (0＜p ＜1)，且各个元件能否正常工作是相互独立的．今有2n (n 大于1)个元件可按如图所示的两种联结方式分别构成两个系统甲、乙． (1) 试分别求出系统甲、乙能正常工作的概率p 1，p 2；(2) 比较p 1与p 2的大小，并从概率意义上评价两系统的优劣．南京市金陵中学2011届高三第四次模拟考试数学参考答案及评分标准 1. 25 2. 2 3. －9 4. 32R 5. 126. 47. a 1·a 3·a 5…a 2 011a 2·a 4·a 6…a 2 010＝a 1 006 8. 29 9. 0 10. 1917 11. 12. 2 13. 78 14. ⎝⎛⎭⎫π4，2 15. (1) f (x )＝3(1－cos2x )2＋12sin2x －32＝12sin2x －32cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.(4分) ∵0＜x ＜π2，∴－π3＜2x －π3＜2π3.(6分)∴当2x －π3＝π2时，即x ＝5π12时，f (x )取最大值1.(7分)(2) ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x 是三角形的内角，则0＜x ＜π，－π3＜2x －π3＜5π3. 令f (x )＝12，得sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝12， ∴2x －π3＝π6或2x －π3＝5π6.解得x ＝π4或x ＝7π12.(9分)由已知，A ，B 是△ABC 的内角，A ＜B 且f (A )＝f (B )＝12，∴A ＝π4，B ＝7π12.∴C ＝π－A －B ＝π6.(11分)由正弦定理，得BC AB ＝sin Asin C ＝sinπ4sinπ6＝2212＝ 2.(14分)16. (1) 过E 作EG ∥AD 交A 1D 于G ，连接GF . ∵A 1E A 1A ＝58，∴EG AD ＝58，∴EG ＝10＝BF . ∵BF ∥AD ，EG ∥AD ，∴BF ∥EG .∴四边形BFGE 是平行四边形． ∴BE ∥FG .(4分)又FG ⊂平面A 1FD ，BE ⊄平面A 1FD ， ∴BE ∥平面A 1FD .(6分)(2) ∵在直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴A 1A ⊥BD . 由已知，BD ⊥A 1F ，AA 1∩A 1F ＝A 1， ∴BD ⊥平面A 1AF . ∴BD ⊥AF .(8分)∵梯形ABCD 为直角梯形，且满足AD ⊥AB ，BC ∥AD ，∴在Rt △BAD 中，tan ∠ABD ＝ADAB ＝2.在Rt △ABF 中，tan ∠BAF ＝FB AB ＝BF8.∵BD ⊥AF ，∴∠ABD ＋∠BAF ＝π2，∴BF 8＝12，BF ＝4.(10分) ∵在直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥平面ABCD ，∴平面AA 1B 1B ⊥平面ABCD ， 又平面ABCD ∩平面AA 1B 1B ＝AB ，∠ABF ＝90°，∴FB ⊥平面AA 1B 1B ，即BF 为三棱锥F A 1B 1A 的高．(12分) ∵∠AA 1B 1＝90°，AA 1＝BB 1＝8，A 1B 1＝AB ＝8， ∴S △AA 1B 1＝32.∴V 三棱锥A 1AB 1F ＝V 三棱锥F A 1B 1A ＝13×S △AA 1B 1×BF ＝1283.(14分)17. (1) 当x ＝0时，t ＝0；(2分)当0＜x ≤24时，1t ＝x ＋1x .对于函数y ＝x ＋1x ，∵y ′＝1－1x2，∴当0＜x ＜1时，y ′＜0，函数y ＝x ＋1x 单调递增，当1＜x ≤24时，y ′＞0，函数y ＝x ＋1x单调递增，∴y ∈.综上，t 的取值范围是]．(5分)(2) 当a ∈]时，f (x )＝g (t )＝|t －a |＋2a ＋23＝⎩⎨⎧3a －t ＋23，0≤t ≤a ，t ＋a ＋23，a ≤t ≤12.(8分)∵g (0)＝3a ＋23，g ⎝⎛⎭⎫12＝a ＋76，g (0)－g ⎝⎛⎭⎫12＝2a －12. 故M (a )＝⎩⎨⎧g ⎝⎛⎭⎫12，0≤a ≤14，g (0)，14＜a ≤12＝⎩⎨⎧a ＋76，0≤a ≤14，3a ＋23，14＜a ≤12.(10分)当且仅当a ≤49时，M (a )≤2，(12分)故a ∈]时不超标，a ∈⎝⎛49，1]时超标．(14分)18. (1) ∵P (－1，3)在⊙O ：x 2＋y 2＝b 2上， ∴b 2＝4.(2分)又∵P A 是⊙O 的切线，∴P A ⊥OP ，∴OP →·AP →＝0， 即(－1，3)·(－1＋a ，3)＝0，解得a ＝4.∴椭圆C 的方程为x 216＋y 24＝1.(5分)(2) 设F (c,0)，c 2＝a 2－b 2，设P (x 1，y 1)，要使得P APF是常数，则有(x 1＋a )2＋y 21＝λ，λ是常数． 即b 2＋2ax 1＋a 2＝λ(b 2＋2cx 1＋c 2)，(8分)比较两边，b 2＋a 2＝λ(b 2＋c 2)，a ＝λc ，(10分) 故cb 2＋ca 2＝a (b 2＋c 2)，即ca 2－c 3＋ca 2＝a 3， 即e 3－2e ＋1＝0，(12分)(e －1)(e 2＋e －1)＝0，符合条件的解有e ＝5－12，即这样的椭圆存在，离心率为5－12.(16分)19. f ′(x )＝ax －(2a ＋1)＋2x (x ＞0)．(1) f ′(1)＝f ′(3)，解得a ＝23.(4分)(2) f ′(x )＝(ax －1)(x －2)x (x ＞0)．①当0＜a ＜12时，1a ＞2，在区间(0,2)和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上，f ′(x )＞0； 在区间⎝⎛⎭⎫2，1a 上，f ′(x )＜0， 故f (x )的单调递增区间是(0,2)和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫2，1a .(6分) ②当a ＝12时，f ′(x )＝(x －2)22x≥0，故f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)．(8分)③当a ＞12时，0＜1a＜2，在区间⎝⎛⎭⎫0，1a 和(2，＋∞)上，f ′(x )＞0；在区间⎝⎛⎭⎫1a ，2上，f ′(x )＜0，故f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，1a 和(2，＋∞)，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫1a ，2.(10分) (3) 由已知，在(0,2]上有f (x )max ＜g (x )max .(11分) 由已知，g (x )max ＝0，由(2)可知，①当0＜a ≤12时，f (x )在(0,2]上单调递增，故f (x )max ＝f (2)＝2a －2(2a ＋1)＋2ln2 ＝－2a －2＋2ln2，∴－2a －2＋2ln2＜0，解得a ＞ln2－1，ln2－1＜0，故0＜a ≤12.(13分)②当a ＞12时，f (x )在⎝⎛0，1a ]上单调递增，在]上单调递减， 故f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－2－12a－2ln a . 由a ＞12可知ln a ＞ln 12＞ln 1e＝－1,2ln a ＞－2，－2ln a ＜2，∴－2－2ln a ＜0，f (x )max ＜0，(15分) 综上所述，a ＞0.(16分)20. (1) 易知，对一切n ≥1，a n ≠0，由a n ＋2＝a n (a 2n ＋1＋1)a 2n ＋1，得a n ＋2a n ＋1＋1a n ＋1＝a n ＋1a n ＋1a n. 依次利用上述关系式，可得a n ＋1a n ＋1a n ＝a n a n －1＋1a n －1＝a n －1a n －2＋1a n －2＝…＝a 2a 1＋1a 1＝21＋11＝1， 从而数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋1a n ＋1a n 是常数列．(4分) (2) 由(1)得a n ＋1＝a n ＋1a n.又a 1＝1，∴可知数列{a n }递增，则对一切n ≥1，有a n ≥1成立，从而0＜1a 2n≤1.(6分)当n ≥2时，a 2n ＝⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －12＝a 2n －1＋1a 2n －1＋2， 于是a 2n －a 2n －1＝1a 2n －1＋2， ∴2＜a 2n －a 2n －1≤3.(8分)(3) 当n ≥2时，a 2n ＝a 2n －1＋1a 2n －1＋2， ∴a 2n ＝1a 2n －1＋…＋1a 21＋a 21＋2(n －1)． a 21＝1，a 22＝4，则当n ≥3时，a 2n ＝1a 2n －1＋…＋1a 21＋a 21＋2(n －1) ＝1a 2n －1＋…＋1a 22＋1＋1＋2(n －1)＝1a 2n －1＋…＋1a 22＋2n ＞2n .a 22 011＝1a 22 010＋…＋1a 21＋2(2 011－1)＋1＞4 021 ＞3 969＝632，(10分a 22 011＝1a 22 010＋…＋1a 21＋2(2 011－1)＋1 ＝4 021＋1a 21＋…＋1a 22 010＜4 020＋11＋14＋16＋…＋12×2 010＝4 022＋12⎝⎛⎭⎫12＋13＋…＋12 010 ＝4 022＋12⎝⎛⎭⎫140＋141＋…＋1199＋⎝⎛⎭⎫1200＋1201＋…＋12 010]＜4 022＋12⎝⎛⎭⎫140＋140＋…＋140＋⎝⎛⎭⎫1200＋1200＋…＋1200]＝ 4 022＋12⎝⎛⎭⎫12×38＋140×160＋…＋1200×1 811＜4 022＋12(19＋4＋10)＜4 039＜4 096＝642.(14分)∴63＜a 2 011＜64，即a 2 011的整数部分为63.(16分)南京市金陵中学2011届高三第四次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准21. A: (1) 连接OP ，∵AC ⊥l ，BD ⊥l ，∴AC ∥BD .又OA ＝OB ，PC ＝PD ，∴OP ∥BP ，从而OP ⊥l .∵P 在⊙O 上，∴l 是⊙O 的切线．(6分)(2) 连接AP ，∵l 是⊙O 的切线，∴∠BPD ＝∠BAP .又∠BPD ＋∠PBD ＝90°，∠BAP ＋∠PBA ＝90°，∴∠PBA ＝∠PBD ，即PB 平分∠ABD .(10分)B ：]]＝]．(6分)设A (a ，b )，则由]]＝]，得⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－3，a ＋2b ＝4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝3，即A (－2,3)．(10分) C ：C 1：⎩⎨⎧x ＝2t 2＋1，①y ＝2t t 2＋1，②②①得t ＝y x ，代入①，化简得x 2＋y 2＝2x . 又x ＝2t 2＋1≠0，∴C 1的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(x ≠0)．(6分) 圆C 1的圆心到直线l ：y ＝x －12的距离 d ＝⎪⎪⎪⎪1－0－122＝122. 所求弦长为21－d 2＝142.(10分) D ：由⎝⎛⎭⎫a b －b c 2＋⎝⎛⎭⎫b c －c a 2＋⎝⎛⎭⎫c a －a b 2≥0，得2⎝⎛⎭⎫a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2－2⎝⎛⎭⎫a b ＋b c ＋c a ≥0，∴a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥b a ＋c b ＋a c.(10分) 22. 作AP ⊥CD 于点P ，分别以AB 、AP 、AO 所在直线为x 、y 、z 轴建立坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，P ⎝⎛⎭⎫0，22，0，D ⎝⎛⎭⎫－22，22，0，O (0,0,2)，M (0,0,1)．(1) AB →＝(1,0,0)，MD →＝⎝⎛⎭⎫－22，22，－1， 则cos 〈AB →，MD →〉＝－12，故AB 与MD 所成角为π3.(4分) (2) OP →＝⎝⎛⎭⎫0，22，－2，OD →＝⎝⎛⎭⎫－22，22，－2，设平面OCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则n ·OP →＝0，n ·OD →＝0，即⎩⎨⎧ 22y －2z ＝0，－22x ＋22y －2z ＝0，取z ＝2，则n ＝(0,4，2)．(6分)易得平面OAB 的一个法向量为m ＝(0,1,0)，cos 〈n ，m 〉＝223，(9分) 故平面OAB 与平面OCD 所成二面角的平面角余弦值为223.(10分) 23. (1) p 1＝p n (2－p n )，(2分)p 2＝p n (2－p )n .(4分)(2) (用二项式定理证明)p 2－p 1＝p n {n －2＋n }＝p n {－2＋}＝p n ＞0.(10分)说明：作差后化归为用数学归纳法证明：(2－p )n ＞2－p n 也可。

江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2016届

江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2016届

江苏省海安中学、南京外国语学校、金陵中学2016届高三第四次模拟考试数学试卷2016.05数学Ⅰ试题1234567－15b |a －b | 的值为 ▲ ．8． 现用一半径为10 2 cm ，面积为1002π cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为 ▲ cm 3． 9． 已知实数x y ，满足x 23＋y 2＝1，则u ＝|3x ＋3y －7|的取值范围为 ▲ ． 10．已知0＜α＜β＜π，且cos αcos β＝16，sin αsin β＝13，则tan(β－α)的值为 ▲ ．11． 在平面直角坐标xOy 中，已知A (1，0)，B (4，0)，直线x －y ＋m ＝0上存在唯一的点P 满足P A PB ＝12，则实数m 的取值集合是 ▲ ． （第5题）12．已知{a n }为等差数列，{a n ＋1}为等比数列，且a 1＝3，则n =1∑9a n的值为 ▲ ．13．已知8a 3＋9a ＋c ＝0，b 3－13b －c ＝0，其中a ，b ，c 均为非零实数，则ab 的值为 ▲ ．14．如图，在凸四边形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，且AC ⊥CD ，AC ＝CD ，则当∠ABC 变化时，线段BD 长的最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)已知tan α＝2，cos β＝－ 7210，且α，β∈(0，π)． （1）求cos2α的值； （2）求2α－β的值． 16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知底面ABCD 为矩形，且 AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，P A ⊥DE ． （1）求证：EF ∥平面P AD ； （2）求证：平面P AC ⊥平面PDE ． 17．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距F 1F 2的长为2，经过第二象限内一点P (m ，n )的直线mx a 2＋nyb 2＝1与圆x 2＋y 2＝a 2交于A ，B 两点，且OA ＝2．（1）求PF 1＋PF 2值；（2）若AB →⋅F 1F 2→＝83，求m ，n 的值．18．(本小题满分16分)如图，一个角形海湾AOB ，∠AOB ＝2θ（常数θ为锐角）．拟用长度为l （l 为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：方案一 如图1，围成扇形养殖区OPQ ，其中⌒PQ ＝l ； 方案二 如图2，围成三角形养殖区OCD ，其中CD ＝l ；ABCD（第14题）C（第16题） （第17题）（1）求方案一中养殖区的面积S 1 ；（2）求证：方案二中养殖区的最大面积S 2＝l 24tan θ；（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由． 19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝a (|sin x |＋|cos x |)－sin2x －1，a ∈R（1）写出函数f (x )的最小正周期（不必写出过程）； （2）求函数f (x )的最大值；（3）当a ＝1时，若函数f (x )在区间(0，k π)(k ∈N *)上恰有2015个零点，求k 的值． 20．(本小题满分16分)已知数列{a n }满足：a 1＝a 2＝a 3＝k （常数k ＞0），a n ＋1＝k ＋a n a n －1a n －2（n ≥3，n ∈N *）．数列{b n }满足：b n ＝a n ＋a n ＋2a n ＋1（n ∈N *）．（1）求b 1，b 2，b 3，b 4的值； （2）求出数列{b n }的通项公式；（3）问：数列{a n }的每一项能否均为整数？若能，求出k 的所有可能值；若不能，请说明理由．江苏省海安中学、南京外国语学校、金陵中学2016届高三第四次模拟考试数学试卷2016.05数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．．．．．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ． [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB 是半圆O 的直径，延长AB 到C ，使BC ＝2，CD 切半圆O 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ．若AE :EB ＝3:1，求DE 的长．B ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －71-⎣⎢⎡⎦⎥⎤311-C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)已知点P 在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θy ＝3sin θ（θ为参数）上，直线l ：⎩⎨⎧x ＝3＋22t ，y ＝－3＋22t （t 为参数），求P 到直线l 距离的最小值．D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)求函数f (x )＝4x ＋11－4x ，x ∈(0，14)的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)假定某篮球运动员每次投篮命中率均为p (0＜p ＜1)．现有3次投篮机会，并规定连续两次投篮均 不中即终止投篮．已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完3次投篮机会的概率是2125．（1）求p 的值；（2）设该运动员投篮命中次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E (ξ)．注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1． 本试卷共2页，均为解答题（第21~23题）。

高三数学第四次模拟考试试题含解析 试题 2

高三数学第四次模拟考试试题含解析 试题 2

金陵中学、海安高级中学、外国语2021届高三数学第四次模拟考试试题〔含解析〕制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅……日期：2022年二月八日。

一、填空题〔本大题一一共14小题，每一小题5分，一共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写上在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．〕 1.设全集U ＝{}5Nx x x *<∈，，集合A ＝{1，2}，B ＝{2，4}，那么∁U(A ⋃B)＝_______． 【答案】｛3｝【解析】【分析】先求集合U 和A ⋃B ，再由补集运算即可. 【详解】集合U ＝{}5N x x x *<∈，＝{}1,2,3,4，且A ＝{1，2}，B ＝{2，4}，得A ⋃B ＝{1，2，4}，所以∁U (A ⋃B)＝｛3｝故答案为：｛3｝【点睛】此题考察了集合的补集运算，属于根底题.i 2iz =-+〔i 为虚数单位〕在复平面内对应的点在第_______象限． 【答案】三【解析】【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简复数z ，求出复数z 在复平面内对应点的坐标即可．【详解】复数i2iz=-+＝i(2i)12555i--=--，所以z在复平面内对应的点的坐标为12(,)55--.在第三象限.故答案为：三【点睛】此题考察了复数代数形式的运算及其几何意义，属于根底题.3.将一个质地均匀的骰子〔一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具〕先后抛掷2次，那么出现向上的点数之和大于10的概率为_______．【答案】1 12【解析】【分析】先写出所有的根本领件个数36个，利用列举法写出满足题意的有3个，由此能求出满足题意的概率．【详解】所有的根本领件可能如下：一共有36种，点数之和大于10的有〔5,6〕，〔6,5〕，〔6,6〕，一共3种，所求概率为：P＝31 3612=.故答案为：1 12【点睛】此题考察古典概型概率的求法、考察运算求解才能，是根底题．4.对一批产品的质量〔单位：克〕进展抽样检测，样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如下图．根据HY ，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为次品．那么样本中次品件数为_______．【答案】200【解析】【分析】由频率分布直方图可知，算出次品所占的比例乘以样本容量即可得出结果．【详解】根据频率分布直方图可知，样本中次品的频率为：1－〔0.05＋0.0625＋0.0375〕×5＝0.25， 所以，样本中次品的件数为：0.25×800＝200故答案为：200【点睛】此题主要考察频率分布直方图的读图才能，注意纵坐标意义．属于简单题型.xOy 中，假设抛物线22y px =的焦点恰好是双曲线22184x y -=的右焦点，那么该抛物线的准线方程为_______． 【答案】23x =-【解析】【分析】先求出双曲线的右焦点，由题意得抛物线的焦点，进而求出抛物线的准线方程.【详解】双曲线22184x y -=中，22,2a b ==,22c a b =+＝23，双曲线右焦点为〔23，0〕， 因为抛物线22y px =的焦点恰好是双曲线22184x y -=的右焦点， 所以抛物线的焦点为〔23，0〕，即抛物线的准线方程为：23x =-.故答案为：23x =-【点睛】此题考察了双曲线和抛物线的焦点坐标等几何性质，属于根底题.6.如图是一个算法流程图，那么输出的b 的值是_______．【答案】8【解析】【分析】根据程序框图，写出每次运行结果，利用循环构造计算并输出b 的值．【详解】第1步：a ＞10不成立，a ＝a ＋b ＝2，b ＝a －b ＝1；第2步：a ＞10不成立，a ＝a ＋b ＝3，b ＝a －b ＝2；第3步：a ＞10不成立，a ＝a ＋b ＝5，b ＝a －b ＝3；第4步：a ＞10不成立，a ＝a ＋b ＝8，b ＝a －b ＝5；第5步：a ＞10不成立，a ＝a ＋b ＝13，b ＝a －b ＝8；第6步：a ＞10成立，退出循环，输出b ＝8.故答案为：8【点睛】此题考察循环构造的程序框图，对循环体每次循环需要进展分析并找出内在规律，属于根底题．7.α∈(0，π)，cos α=，那么tan()2πα+＝_______． 【答案】－2【解析】【分析】由题意得sin α=. 【详解】由α∈(0，π)，且cos α=sin α=所以tan()2πα+＝sin()cos 2sin cos()2πααπαα+=-+＝ 2. 故答案为：-2【点睛】此题考察了同角三角函数关系及诱导公式的应用，属于根底题.y =_______． 【答案】(1,2]-【解析】【分析】 由201x x -≥+解得12x -<≤，即可得函数的定义域. 【详解】依题意，得：201x x -≥+，等价于：(2)(1)010x x x -+≥⎧⎨+≠⎩，即(2)(1)010x x x -+≤⎧⎨+≠⎩， 得12x -<≤，所以定义域为：(1,2]-故答案为：(1,2]-【点睛】此题考察函数的定义域，分式不等式的解法，属于根底题.{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，14760a a a ++=，25851a a a ++=，假设对任意n N *∈，都有n S ≤k S 成立，那么正整数k 的值为_______．【答案】10【解析】【分析】设等差数列公差为d ，结合条件得d ＝－3和1a ＝29，进而得n S =236122n n -+　，对任意n N *∈，都有n S ≤k S 成立，求n S 最大值时n 的值即可得k 的值.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，设公差为d ，14760a a a ++=，25851a a a ++=，两式相减， 得：3d ＝－9，所以，d ＝－3，由等差中项得14743=60a a a a ++=，即14=320a a d +=，解得：1a ＝29，所以，(1)29(3)2n n n S n -=+⨯-＝236122n n -+　， 当n ＝616时，n S 获得最大值，但n 是正整数，所以，当n ＝10时，n S 获得最大值， 对任意n N *∈，都有n S ≤k S 成立，显然k ＝10.故答案为：10【点睛】此题考察了等差数列的性质，前n 项和的最大项，数列与函数的结合，属于中档题.10.如图，该几何体由底面半径一样的圆柱与圆锥两局部组成，且圆柱的高与底面半径相等．假设圆柱与圆锥的侧面积相等，那么圆锥与圆柱的高之比为_______．3【解析】【分析】设圆柱和圆锥的底面半径为R ，圆锥的母线长为L ，由圆柱与圆锥侧面积相等得L ＝2R ，进而得圆锥的高3，即可求出结果.【详解】设圆柱和圆锥的底面半径为R ，那么圆柱的高1h ＝R ，圆锥的母线长为L ，因为圆柱与圆锥的侧面积相等，所以，1222R R R L ππ⨯=⨯⨯，解得：L ＝2R ，得圆锥的高为2h 3，所以，圆锥与圆柱的高之比为33R R=. 3【点睛】此题考察了圆柱与圆锥侧面积的求法，属于根底题.xOy 中，圆C 经过M(1，3)，N(4，2)，P(1，﹣7)三点，且直线l ：x ＋ay ﹣1＝0(a R ∆R)是圆C 的一条对称轴，过点A(﹣6，a ) 作圆C 的一条切线，切点为B ，那么线段AB 的长度为_______．【答案】【解析】【分析】求出圆的HY 方程可得圆心和半径，由题意得直线l ：x+ay ﹣1＝0经过圆心，求得a 的值，可得点A 的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得线段AB 的长度．【详解】设圆C 方程为：220x y Dx Ey F ++++=，圆C 经过M(1，3)，N(4，2)，P(1，﹣7)三点， 所以，有1030204205070D E F D E F D E F +++=⎧⎪+++=⎨⎪+-+=⎩，解得：2420D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以，圆C 方程为：2224200x y x y +-+-=，即圆C 方程为：22(1)(2)25x y -++=，圆心为C 〔1，－2〕，R ＝5，因为直线l ：x ＋ay ﹣1＝0(a R ∆R)是圆C 的一条对称轴，所以直线l ：x+ay ﹣1＝0经过圆心， 得1210a --=，解得：a ＝0，所以点A 〔－6,0〕，｜AC= 切线长｜AB==故答案为：【点睛】此题主要考察圆的切线长的求法，解题时要注意圆的HY 方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于中档题．12.实数a ，b R ∆(0，2)，且满足2244242a b a b b --=--，那么a ＋b 的值是_______． 【答案】2【解析】【分析】 由2244242a b a b b --=--，且a ，b R ∆(0，2)，化简为：2222(2)2a b a b -+=-+，设()22x f x x =+，那么()f x 在()0,2上递增，由()()2f a f b =-，得a ＋b 的值. 【详解】由2244242a b a b b --=--，化简为：22222(2)a b a b -+=+-，即2222(2)2a b a b -+=-+， 设()22x f x x =+，那么()f x 在()0,2上递增，因为a ，b R ∆(0，2)，所以2-b R ∆(0，2)，且()()2f a f b =-，所以2a b =-，即2a b +=.故答案为：2【点睛】此题考察了等式的化简，构造函数，利用函数的单调性求值的问题，属于中档题.13.菱形ABCD 中，对角线AC ，BD ＝1，P 是AD 边上的动点〔包括端点〕，那么PB PC ⋅的取值范围为_______． 【答案】13[,]22【解析】【分析】由AC⊥BD 得，以对角线BD ，AC 为x 轴、y 轴建立直角坐标系，设P 〔x ，y 〕，102x ≤≤.由AP AD 可得102y x +=，代入13,,22PB PC x y x y ⎛⎫⎛⎫⋅=----- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23442x x =-+，根据二次函数的性质可求取值范围.【详解】由AC⊥BD 得，以对角线BD ，AC 分别为x 轴、y BD ＝1，∴10,,,0,0,222A B C ⎛⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11,0,,222D AD ⎛⎛⎫∴= ⎪ ⎝⎭⎝⎭∵P 是AD 边上的动点，设P 〔x ，y 〕，102x ≤≤，,2AP x y ⎛=+ ⎝⎭，∵1,02AP AD y x ∴+-=，∵,31PC x,y PB x,y 22⎛⎫⎛⎫=--=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴13,,22PB PC x y x y ⎛⎫⎛⎫⋅=----- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222134422x x y y x x =++=-+ 根据二次函数的性质可知，当x ＝12时，最小值为12.当x ＝0时，最大值为32. 所以，PB PC ⋅的取值范围为13[,]22故答案为：13[,]22【点睛】此题主要考察了向量数量积的坐标表示的应用，二次函数性质的应用，属于中档题.∆ABC 中，假设cos 2A ＋cos 2B ＋cos 2C ＜1，sinB 22，那么(tan 2A ﹣2)sin2C 的最小值为_______． 【答案】265 【解析】 【分析】 由sinB 2，得B ＝34π或者4π，按B ＝34π或者4π分类讨论，由二倍角的余弦公式化简，利用均值不等式求最值即可.【详解】在∆ABC 中，由sinB 2，所以B ＝34π或者4π，得cos 2B ＝12， 当B ＝34π，那么C ＝4A π-，所以，cos 2A ＋cos 2C ＜12，即cos 2A ＋cos 2〔4A π-〕＜12， 化简得：21sin 2cos 02A A +<，因为04A π<<，所以sin2A ＞0，即21sin 2cos 02A A +<不成立.当B ＝4π，那么C ＝34A π-，3sin 2sin(2)cos 22C A A π=-=- (tan 2A ﹣2)sin2C ＝222sin 2cos (cos 2)cos A A A A -⨯-＝2213cos (cos 2)cos AA A-⨯- ＝13cos 2(cos 2)1+cos2A A A --⨯-＝2cos 23cos 21+cos2A AA+＝225(1cos 2)3(1cos 2)1+cos2A A A-+++＝23(1cos 2)51+cos2A A++-55≥= 当23(1cos 2)1+cos2A A =+，即cos 213A =-时取等号故答案为：5【点睛】此题考察了同角三角函数关系和二倍角的余弦公式的应用，也考察了均值不等式求最值和分类讨论思想，属于中档题.二、解答题〔本大题一一共6小题，一共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内答题，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．〕()2sin ?cos 3f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．〔1〕假设02x π≤≤，求函数()f x 的值域；〔2〕设ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，假设A 为锐角且()2,3f A b c ===，求()cos A B -的值．【答案】〔1〕0,1⎡+⎢⎣⎦；〔2【解析】试题分析：〔1〕由函数形式知，用两角和的正弦公式展开，用二倍角公式降幂，再用两角和的正弦公式化函数为一个三角函数，求出正弦号后面整个角的取值范围，结合正弦函数可得值域；〔2〕由〔1〕的解析式可求得角3A π=，由余弦定理可求得边a ，由正弦定理可求得sin B ，利用两角差的余弦公式可得cos()A B -．试题解析：〔1〕()()2sin cos sin cos f x x x x x x x ==1sin 22sin 223x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由02x π≤≤得，42333x πππ≤+≤，sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭．∴0sin 213x π⎛⎫≤+≤+ ⎪⎝⎭，即函数()f x 的值域为0,12⎡+⎢⎣⎦．〔2〕由()sin 2322f A A π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭得sin 203A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又由02A π<<，∴42333A πππ<+<，∴2,33A A πππ+==．在ABC ∆中，由余弦定理2222cos 7a b c bc A =+-=，得a =由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 7b A B a ==，∵b a <，∴B A <，∴cos B =，∴()1cos cos cos sin sin 2A B A B A B -=+==考点：两角和与差的正弦公式，二倍角公式，正弦定理与余弦定理．16.如图，在三棱锥P —ABC 中，平面PAC⊥平面ABC ，AB ＝BC ，PA⊥PC．点E ，F ，O 分别为线段PA ，PB ，AC 的中点，点G 是线段CO 的中点． 〔1〕求证：FG∥平面EBO ； 〔2〕求证：PA⊥BE．【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕连AF交BE于Q，连QO．由线段长度间的关系证明FG∥QO，进而证得FG∥平面EBO．〔2〕先证明BO⊥面PAC，可得BO⊥PA．由OE∥PC，PC⊥PA 可得OE⊥PA，从而证得PA⊥平面EBO，即可证出结论.【详解】〔1〕连AF交BE于Q，连QO．因为E、F、O分别为边PA、PB、PC的中点，所以AOOG＝2．又Q是△PAB的重心．于是AGGF＝2＝AOOG，所以FG∥QO．因为FG⊄平面EBO，QO⊂平面EBO，所以FG∥平面EBO．〔2〕由AB＝BC，得△ACB为等腰三角形，因为O为边AC的中点，所以BO⊥AC，因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，BO⊂平面ABC，所以BO⊥面PAC．因为PA⊂平面PAC，故BO⊥PA．在△PAC内，O，E为所在边的中点，故OE∥PC，且PA⊥PC，∴OE⊥PA，又BO∩OE＝O，所以PA⊥平面EBO，EB⊂平面EBO，所以PA⊥BE.【点睛】此题考察证明线线垂直，线面垂直，线面平行的断定定理，证明FG∥QO 是线面平行的关键点，属于中档题．17.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=〔a ＞b ＞0〕离心率为22，其短轴长为2．〔1〕求椭圆C 的HY 方程；〔2〕如图，A 为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝12-，,AD DP AE λ==EQ μ〔λ，μ为非零实数〕，求λ2+μ2的值．【答案】〔1〕2212x y +=；〔2〕1 【解析】 【分析】〔1〕由题意可得b ＝1，运用离心率公式和a ，b ，c 的关系，可得a ，b ，进而得到椭圆方程； 〔2〕求得A 的坐标，设P 〔x 1，y 1〕，D 〔x 0，y 0〕，运用向量一共线坐标表示，结合条件求得P 的坐标，代入椭圆方程，可得λ2＝22112k +，同理得μ2＝21212k 12k +，即可得λ2+μ2的值． 【详解】〔1〕因为短轴长2b ＝2，所以b ＝1，又离心率e ＝2c a =a 2﹣b 2＝c 2， 解得a 2c ＝1，那么椭圆C 的方程为22x +y 2＝1；〔2〕由〔1〕可得点 A 〔﹣2，0〕，设P 〔x 1，y 1〕，D 〔x 0，y 0〕，那么y 1＝k 1x 1，y 0＝k 2x 0， 由AD DP λ=可得x 0+2＝λ〔x 3B x 、﹣x 0〕，y 0＝λ〔y 1﹣y 0〕， 即有x 0＝11021,1x y y λλλλ-+=+，k 1x 1＝y 1＝1λλ+y 0＝1λλ+k 2x 0＝k 2〔x 1﹣2λ〕， 两边同乘以k 1，可得k 12x 1＝k 1k 2〔x 1﹣2λ〕＝﹣12〔x 1﹣2λ〕， 解得x 1＝()()11221122,1212y k k k λλ=++，将P 〔x 1，y 1〕代入椭圆方程可得λ2＝22112k +， 由AE EQ μ=可得μ2＝2122212k 11212k k =++，可得λ2+μ2＝1．【点睛】此题考察椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和根本量的关系，考察直线方程和向量一共线的坐标表示，以及化简整理的运算才能，属于中档题．18.为解决城的拥堵问题，某城准备对现有的一条穿城公路MON 进展分流，穿城公路MON 自西向东到达城中心O 后转向ON 方向，∠MON＝34π，现准备修建一条城高架道路L ，L 在MO 上设一出入口A ，在ON 上设一出口B ，假设高架道路L 在AB 局部为直线段，且要求中心O 与AB 的间隔 为10km ． 〔1〕求两站点A ，B 之间的间隔 ；〔2〕公路MO 段上间隔 中心O 30km 处有一古建筑群C ，为保护古建筑群，设立一个以C 为圆心，5km 为半径的圆形保护区．因考虑将来道路AB 的扩建，那么如何在古建筑群和中心O 之间设计出入口A ，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区？【答案】〔1〕21)；〔2〕10220OA <<【解析】【分析】〔1〕过O作直线OE⊥AB于E，那么OE＝10，设∠EOA＝α，可求∠EOB＝34π﹣α，〔42ππα<<〕，可得AE＝10tanα，BE＝10tan〔34π﹣α〕，可求AB＝310sin43cos cos4ππαα⎛⎫-⎪⎝⎭，又31cos cos sin(24)424aπαα⎛⎫-=--⎪⎝⎭，结合42ππα<<，可得cosmax32cos44παα⎛⎫⋅-=⎪⎝⎭，可求两出入口之间间隔的最小值为201〕．〔2〕设切点为F，以O为坐标原点，以CO所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，设直线AB的方程为y＝kx+t〔k＞0〕，可求t＝20k，或者t＝60k，可求A〔﹣20，0〕，此时OA＝20，又由〔1〕可知当4πα=时，OA＝，综上即可得解．【详解】〔1〕过O作直线OE⊥AB于E，那么OE＝10，设∠EOA＝α，那么∠EOB＝34π﹣α，〔42ππα<<〕，故AE＝10tanα，BE＝10tan〔34π﹣α〕，AB＝10tanα+10tan〔34π﹣α〕＝10〔3sinsin43coscos4πααπαα⎛⎫-⎪⎝⎭+⎛⎫-⎪⎝⎭〕＝310sin43cos cos4ππαα⎛⎫-⎪⎝⎭，又cos3cos4παα⎛⎫⋅-⎪⎝⎭＝cosα•〔﹣2cosα+2sinα〕＝1sin2a244π⎛⎫--⎪⎝⎭由42ππα<<，可得：2α﹣3,444πππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故cosmax32cos44παα⎛⎫⋅-=⎪⎝⎭，当且仅当2α﹣42ππ=，即α＝38π时取等号，此时，AB有最小值为201〕，即两出入口之间间隔的最小值为201〕．〔2〕由题意可知直线AB是以O为圆心，10为半径的圆O的切线，根据题意，直线AB与圆C要相离，其临界位置为直线AB 与圆C 相切，设切点为F ，此时直线AB 为圆C 与圆O 的公切线，因为，出入口A 在古建筑群和中心O 之间， 如下图，以O 为坐标原点，以CO 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ， 由CF ＝5，OE ＝10，因为圆O 的方程为x 2+y 2＝100，圆C 的方程为〔x+30〕2+y 2＝25，设直线AB 的方程为y ＝kx+t 〔k ＞0〕，那么：221013051tkk t k ⎧=⎪+⎪⎨-+⎪=⎪+⎩，所以两式相除可得：|||30|t k t -+＝2，所以t ＝20k ，或者t ＝60k ，所以，此时A 〔﹣20，0〕或者A 〔﹣60，0〕〔舍去〕，此时OA ＝20， 又由〔1〕可知当4πα=时，OA ＝102，综上，OA (102,20)∈． 即设计出入口A 离中心O 的间隔 在102km 到20km 之间时，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区．【点睛】此题主要考察了三角函数模型在解决实际问题中的综合应用，考察了计算才能和转化思想，考察了数形结合思想的应用，属于中档题．19.各项均为正整数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：S n ﹣1+ka n ＝ta n 2﹣1，n≥2，n∈N *〔其中k ，t 为常数〕． 〔1〕假设k ＝12，t ＝14，数列{a n }是等差数列，求a 1的值； 〔2〕假设数列{a n }是等比数列，求证：k ＜t ．【答案】〔1〕a 1＝〔2〕见解析 【解析】 【分析】 〔1〕由k ＝12，t ＝14，可得2111124n n n S a a -+=-〔n≥2〕，设等差数列{a n }的公差为d ，分别令n ＝2，n＝3，利用等差数列的性质即可得出．〔2〕令公比为q ＞0，那么a n+1＝a n q ，利用递推关系可得1＝〔q ﹣1〕[ta n 〔q+1〕﹣k]，易知q≠1，从而可得t ＝0，从而证明．【详解】〔1〕∵k＝12，t ＝14，∴2111124n n n S a a -+=-〔n≥2〕，设等差数列{a n }的公差为d ，令n ＝2，那么212211a a a 124+=-，令n ＝3，那么2123311124a a a a ++=-，两式相减可得：()()()2332321124a a a a a a +=+-，∵a n ＞0，∴a 3﹣a 2＝2＝d ．由212211124a a a +=-，且d ＝2，化为2112a a -﹣4＝0，a 1＞0．解得a 1＝〔2〕∵S n ﹣1+ka n ＝ta n 2﹣1①，n≥2，n∈N *，所以S n +ka n+1＝2n 1ta +﹣1②， ②-①得a n +ka n+1﹣ka n ＝2n 1ta +﹣2n ta ，∴a n ＝〔a n+1﹣a n 〕[t 〔a n+1+a n 〕﹣k]， 令公比为q ＞0，那么a n+1＝a n q ，∴〔q ﹣1〕k+1＝ta n 〔q 2﹣1〕， ∴1＝〔q ﹣1〕[ta n 〔q+1〕﹣k]；∵对任意n≥2，n∈N *， 1＝〔q ﹣1〕[ta n 〔q+1〕﹣k]成立；∴q≠1，∴a n 不是一个常数； ∴t＝0，∴S n ﹣1+ka n ＝﹣1，且{a n }是各项均为正整数的数列，∴k＜0， 故k ＜t ．【点睛】此题考察了等差数列与递推数列的通项公式及其性质、递推关系的应用，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．20.函数f 〔x 〕＝ax 2﹣bx+lnx ，〔a ，b∈R 〕．〔1〕假设a ＝1，b ＝3，求函数f 〔x 〕的单调增区间；〔2〕假设b ＝0时，不等式f 〔x 〕≤0在[1，+∞〕上恒成立，务实数a 的取值范围； 〔3〕当a ＝1，b ＞92时，记函数f 〔x 〕的导函数f '〔x 〕的两个零点是x 1和x 2〔x 1＜x 2〕，求证：f 〔x 1〕﹣f 〔x 2〕＞6316﹣3ln2． 【答案】〔1〕f 〔x 〕在〔0，12〕，〔1，+∞〕递增；〔2〕a≤﹣12e ；〔3〕见解析【解析】 【分析】〔1〕求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；〔2〕问题转化为a≤﹣2ln x x 在区间[1，+∞〕恒成立，令h 〔x 〕＝﹣2ln xx ，根据函数的单调性求出a 的范围即可；〔3〕由题意得x 1，x 2〔x 1＜x 2〕是方程2x 2﹣bx+1＝0的两个根，记g 〔x 〕＝2x 2﹣bx+1，根据函数的单调性证明即可．【详解】〔1〕由题意得：x ＞0，a ＝1，b ＝3时，f 〔x 〕＝x 2﹣3x+lnx ，1(21)(1)()23x x f x x x x '--=-+=，令f '〔x 〕＞0，解得：0＜x ＜12或者x ＞1， 故f 〔x 〕在〔0，12〕，〔1，+∞〕递增；〔2〕b ＝0时，f 〔x 〕＝ax 2+lnx ，不等式f 〔x 〕≤0在[1，+∞〕恒成立， 即a≤﹣2ln x x 在区间[1，+∞〕恒成立，令h 〔x 〕＝﹣2ln x x ，那么32ln x 1h (x)x '-=，令h '〔x 〕＞0，解得：x h '〔x 〕＜0，解得：1＜x故f 〔x 〕在〔1，+∞〕递增，故h 〔x 〕min ＝h 〕＝﹣12e， 故a≤﹣12e；〔3〕a ＝1时，f 〔x 〕＝x 2﹣bx+lnx ，221()x bx f x x '-+=，〔x ＞0〕， 由题意得x 1，x 2〔x 1＜x 2〕是方程2x 2﹣bx+1＝0的两个根，记g 〔x 〕＝2x 2﹣bx+1，那么21291190,,02442g b g b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=>>∴=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，g 〔2〕＝9﹣2b ＜0， ∴x 1∈〔1b ，14〕，x 2∈〔2，+∞〕，且f 〔x 〕在[x 1，x 2]递减， 故f 〔x 1〕﹣f 〔x 2〕＞f 〔14〕﹣f 〔2〕＝763416b -﹣3ln2， ∵b＞92，∴f〔x 1〕﹣f 〔x 2〕＞796363312421616n ⨯--=﹣3ln2． 【点睛】此题考察了函数的单调性、最值问题，考察导数的应用以及函数恒成立问题，考察转化思想，是一道综合题．l ：x ＋y ＝1在矩阵A ＝ 0 1m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线l '：x ﹣y ＝1，求矩阵A ． 【答案】1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】设直线l ：x +y ＝1上任意一点M 〔x ，y 〕在矩阵A 的变换作用下，变换为点(,)M x y '''，根据矩阵A 列出x 与x '，y 与y '的关系式，再由(,)M x y '''在直线l '上，求出m 与n 的值，即可确定出矩阵A ．【详解】设直线l ：x+y ＝1上任意一点M 〔x ，y 〕在矩阵A 的变换作用下，变换为点(,)M x y '''， 由x y '⎡⎤⎢⎥'⎣⎦＝01m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ＝mx ny y ⎡+⎤⎢⎥⎣⎦，得x mx ny y y=+⎧⎨=''⎩， 又点(,)M x y '''在l '：x ﹣y ＝1上，∴=1x y '-'，即〔mx +ny 〕﹣y ＝1，依题意111m n =⎧⎨-=⎩，解得：12m n =⎧⎨=⎩，那么矩阵A ＝1201⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】此题考察了特殊的矩形变换，找出M 在矩阵A 的变换作用下点M '两点的坐标关系是解此题的关键，属于根底题．xOy 中，圆C 的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数)． 〔1〕以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程；〔2〕A(﹣2，0)，B(0，2)，圆C 上任意一点M(x ，y )，求△ABM 面积的最大值．【答案】〔1〕26cos 8sin 210ρρθρθ-++=；〔2〕922+ ．【解析】【分析】 〔1〕圆C 的参数方程为3242x cos y sin θθ=+⎧⎨=-+⎩，通过三角函数的平方关系消去参数θ，得到普通方程，通过x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，得到圆C 的极坐标方程．〔2〕先求出点M 〔x ，y 〕到直线AB ：x ﹣y+2＝0的间隔 ，表示出△ABM 的面积，通过两角和的正弦函数，结合绝对值的几何意义，求解△ABM 面积的最大值．【详解】〔1〕圆的参数方程为3242x cos y sin θθ=+⎧⎨=-+⎩〔为参数〕，所以普通方程为〔x ﹣3〕2+〔y +4〕2＝4， 圆的极坐标方程：ρ2﹣6ρcos θ+8ρsin θ+21＝0. 〔2〕因为点M 〔x ，y 〕在圆的参数方程为3242x cos y sin θθ=+⎧⎨=-+⎩〔为参数〕上，那么点M 到直线AB ：x ﹣y+2＝0的间隔 为，的面积，当sin 14πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 时，面积的最大值为【点睛】此题主要考察极坐标与参数方程和平面直角坐标方程的互化、点到直线的间隔 ，属于中档题．R x y z ，，∈，且满足：222++z 1x y =，23x y z ++=，求证：x y z ++=【答案】详见解析【解析】试题分析：根据题中所给条件：222x +y +z 1=，23x y z ++=，结合柯西不等式可得出：222222214(23)(123)(x +y +z )14x y z =++≤++=，由此可推出：123x y z ==，即可得出三者的关系：3,2z x y x ==，问题即可求解．222222214(23)(123)(x +y +z )14x y z =++≤++=，∴123x y z ==，∴3,2z x y x ==，又23x y z ++=∴x y z ===∴7x y z ++=. 10分 考点：不等式的证明24.一个暗箱中有形状和大小完全一样的3只白球与2只黑球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地依次取出3只球．〔1〕求甲三次都获得白球的概率；〔2〕求甲总得分ξ的分布列和数学期望．【答案】〔1〕27125；〔2〕365 【解析】【分析】〔1〕此题为有放回的取球问题，可看作HY 重复试验，求出概率即可；〔2〕ξ的所有可能取值为6，7，8，分别求其概率即可，利用期望公式求解即可．【详解】〔1〕由题意得，甲每次都获得白球的概率为35，所以甲三次都获得白球的概率为33275125⎛⎫= ⎪⎝⎭； 〔2〕甲总得分情况有6,7,8,9四种可能，记ξ为甲总得分． 3327(6)5125P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()2132354755125P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()2232336855125P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 328(9)5125P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭甲总得分ξ的期望275436836()67891251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】此题考察HY 重复事件的概率、离散型随机变量的分布列和期望等知识，属于根底题．25.数列{a n }中，11a 3=，当n≥2时，其前n 项和S n 满足2n n n 2S a 2S 1=-， 〔1〕求S n 的表达式及2lim n n n a S →∞的值； 〔2〕求数列{a n }的通项公式；【答案】〔1〕121n S n =+，2lim 2n n n a S →∞=-；〔2〕21(1)32(2)14n n a n n⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩【解析】【分析】〔1〕利用a n 和S n 的关系，代入变形可得．然后再用极限法那么求解． 〔2〕由〔1〕并利用a n 和S n 的关系，可解．【详解】〔1〕()2111121122221n n n n n n n n n n n S a S S S S S S n S S S ----=-=⇒-=⇒-=≥- 所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列．那么121n S n =+，222lim lim 2212lim 1n n n n n n n a S S S →∞→∞→∞===---． 〔2〕当n≥2时，12112212141n n n a S S n n n --=-=-=+--，综上，21(1)32(2)14n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩． 【点睛】此题考察数列极限的综合知识，其中注意a n 和S n 的关系，也考察了数列通项求法，属于根底题.制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

2020年江苏省金陵中学、海安高中、南京外国语学校高考数学四模试卷 (含答案解析)

2020年江苏省金陵中学、海安高中、南京外国语学校高考数学四模试卷 (含答案解析)

2020年江苏省金陵中学、海安高中、南京外国语学校高考数学四模试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 若集合M ={−1,1}，N ={−2,1，0}，则M ∩N =________．2. 复数(1−i)(2+3i)(i 为虚数单位)的实部是 ．3. 某高级中学共有学生3200人，其中高二年级与高三年级各有学生1000人，现采用分层抽样的方法，抽取容量为160的样本，则应抽取的高一年级学生人数为______． 4. 在伪代码中，_____________________表示将代数式xx+1的运算结果赋给变量y ． 5. 从0，1，2，3中任意取出两个不同的数，其和为3的概率是______ ． 6. 在平面直角坐标系xOy 中，直线2x +y =0为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线，则该双曲线的离心率为 ． 7. 已知cos(α+π4)=23，则sin(α−5π4)的值是______ ．8. 已知正项等比数列{a n }中，a 1=1，其前n 项和为S n (n ∈N ∗)，且1a 1−1a 2=2a 3，则S 4=______． 9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x −1)2+(y −2)2=1，过x 轴上的一个动点P 引圆C的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，则线段AB 长度的取值范围是______ ． 10. 圆锥高为3，体积为3π，则该圆锥的侧面积为__________．11. 已知函数f(x)是奇函数，且当x >0时，f(x)=x 3+2x +1，则当x <0时，f(x)的解析式为__________．12. 已知数列{a n }满足a n =2n +1，设函数f(n)={a n ,n 为奇数f(n 2),n 为偶数且c n =f(2n +4)，n ∈N ∗，则数列{c n }的前n 项和T n = ______ ．13. 已知O 为△ABC 的外心，AB =3，AC =5，若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，且3x +5y =3，则cos∠BAC 的值为__ .14. 已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，若1+tanAtanB =2cb，则a 2bc的最小值为______ ． 二、解答题（本大题共11小题，共144.0分）15. 如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =EC =12AA 1．(1)求证：AC 1//平面BDE;(2)求证：A1E⊥平面BDE．16.已知△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，若向量m⃗⃗⃗ =(2a−b,c)与n⃗=(cosB,cosC)共线．(Ⅰ)求角C的大小；(Ⅱ)若|m⃗⃗⃗ |=2|n⃗|=2，求a的大小．17.如图①，一条宽为1km的两平行河岸有三个工厂A、B、C，工厂B与A、C的直线距离都是2km，BC与河岸垂直，D为垂足．现要在河岸AD上修建一个供电站，并计划铺设地下电缆和水下电缆，从供电站向三个工厂供电．已知铺设地下电缆、水下电缆的费用分别为2万元/km、4万元/km．(Ⅰ)已知工厂A与B之间原来铺设有旧电缆(原线路不变)，经改造后仍可使用，旧电缆的改造费用是0.5万元/km.现决定将供电站建在点D处，并通过改造旧电缆修建供电线路，试求该方案总施工费用的最小值；(Ⅱ)如图②，已知供电站建在河岸AD的点E处，且决定铺设电缆的线路为CE、EA、EB，若)，试用θ表示出总施工费用y(万元)的解析式，并求总施工费用y的最小值．∠DCE=θ(0≤θ≤π318.在平面直角坐标系xOy中，点A，F分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)左顶点，右焦点，椭圆C的右准线与x轴相交于点Q，已知右焦点F恰为AQ的中点，且椭圆C的焦距为2．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过右焦点F的直线l与椭圆C相交于M，N.记直线AM，AN的斜率分别为k 1，k 2，若k 1+k 2=−1，求直线l的方程．19.已知函数f(x)=ax−1−lnx(a∈R)(Ⅰ)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；(Ⅱ)当x>y>e−1时，求证：e x−y>ln(x+1)ln(y+1)．20.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a，(a n+1)⋅(a n+1+1)=6(S n+n)，n∈N∗．n∈N∗．(1)求数列{a n}通项公式；(2)若对于∀n∈N∗都有S n≤n(3n+1)成立求实数a取值范围．21.已知矩阵[122a ]的属于特征值b的一个特征向量为[11]，求实数a、b的值．22.在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线5ρcosθ+12ρsinθ+a=0相切，求实数a的值．23.若实数a，b，c满足a2+b2+c2=4，求3a+4b+5c的最大值．24.某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测。

海安中学届高三上第四次数学试卷及答案

海安中学届高三上第四次数学试卷及答案

江苏省海安高级中学 2009 届高三上学期第四次检测（数学） A ．必做题部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.设U 为全集，M 、P 是U 的两个子集，且P P M C U =⋂)(，则=⋂P M_________2．偶函数)(x f 在区间[0,a]（a>0）上是单调函数， 且f （0）·f （a ）<0，则方程0)(=x f 在区间[－a,a ]内根的个数是_________3．已知,R m ∈复数,)32(1)2(2i m m m m m z -++--=若z 对应的点位于复平面的第二象限，则m 的取值范围是 ． 4.若条件41:≤+x p ,条件65:2-<x x q ,则p ⌝是q ⌝的 条件.(充分性和必要性都要作出判断)5．已知向量(3,4),(6,3),(5,3).OA OB OC m m =-=-=---u u u ru u u ru u u r若点A 、B 、C 三点共线，则实数m 应满足的条件为________ 6. 在10103cos ,21tan ,==∆B A ABC 中，则tan C 的值是_________． 7．如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P-ABCDEF ，则此正六棱锥的体积为_________ 8．定义在R 上的函数⎩⎨⎧≤<-≤<-=-=+)10(1)01(1)(),()1()(x x x f x f x f x f 且满足，则f （3）= ____ 9．设函数()cos 3cos )f x x x x ωωω=+(其中02ω<<),若函数()f x 图象的一条对称轴为3x π=，那么ω=____________10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0<d . 若存在正整数(3)m m ≥，使得m m a S =，则当n m>（+∈N n ）时，有._____n n S a （填“>”、“<”、“=”）. 11. 给出下列四个命题，其中真命题为_____________①命题“∃x ∈R ，使得x 2＋1＞3x ”的否定是“∀x ∈R ，都有x 2＋1≤3x ”；②“m =－2”是“直线（m ＋2）x ＋my ＋1=0与直线（m －2）x ＋（m ＋2）y －3=0相互 垂直”的必要不充分条件；③设圆022=++++F Ey Dx y x 与坐标轴有4个交点分别为()()()()2121,0,,0,0,,0,y D y C x B x A 则02121=-y y x x ；④函数()x x x f -=sin 的零点个数有3个．12．若定义在R 上的减函数()y f x =,对于任意的,x y R ∈,不等式22(2)(2)f x x f y y -≤--成立.且函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称,则当 14x ≤≤时,yx的取值范围是___________BA13．已知点P 的坐标(,)x y 满足4,,1.x y y x x +⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≥ 过点P 的直线l 与圆22:14C x y +=交于A 、B 两点，那么||AB 的最小值是 .14．设函数21123()n n f x a a x a x a x -=++++L ，1(0)2f =，数列{}n a 满足2*(1)()n f n a n N =∈，则数列{}n a 的通项n a 等于 .二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本题满分14分) 如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ，且2PA PD AD ==,若E 、F 分别为PC 、BD的中点.(Ⅰ)EF //平面PAD ；(Ⅱ) 求证:平面PDC ⊥平面PAD ；16．（本题满分14分）在△ABC 中，设A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量m =（cosA ，sinA ），=（A A cos ,sin 2-），若|+ |=2.（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若ABC a C b ∆==求且,2,24的面积.17．（本小题满分14分）已知可行域0,20,0,y x y ≥⎧⎪+≥⎨+-≤的外接圆C 与x 轴交于点A 1、A 2，椭圆C 1以线段A 1A 2为长轴，离心率e =． （1）求圆C 及椭圆C 1的方程；（2）设椭圆C 1的右焦点为F ，点P 为圆C 上异于A 1、A 2的动点，过原点O 作直线PF 的垂线交直线x =于点Q ，判断直线PQ 与圆C 的位置关系，并给出证明．18. (本小题满分16分)已知等差数列{}n a 的公差d 不为零，首项且前n 项和为.（I ）当S 936=时,在数列{}n a 中找一项,使得39m a a a ,,成为等比数列,求m 的值. （II ）当a 36=时，若自然数12,,,,k n n n LL 满足312<<<<<n n n k ΛΛ并且1213,,n n a a a a ,,k n a L L,,是等比数列，求的值。

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12．27
二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分． 2 5 15．解：(1)因为∈(0，)，且 tan＝2，所以 sin＝ ， 5 3 且 cos2＝1－2sin2＝－ ， 5 6分 4 7 2 (2)又因为 cos2＜0，所以 2∈( ，)，sin2＝ ，又因为∈(0，) ，cos＝－ ， 2 5 10 2 所以∈( ，)，sin＝ ，且 2－∈(－ ， )， 2 10 2 2 所以 sin(2－)＝－ 14 分 2 ，所以 2－＝－ ． 2 4 ………………… ……………………………………
F2
x
（第 17 题）
18．(本小题满分 16 分) 如图，一个角形海湾 AOB，∠AOB＝2θ（常数 θ 为锐角） ．拟用长度为 l（l 为常数）的围网围成 一个养殖区，有以下两种方案可供选择： ⌒ 方案一 如图 1，围成扇形养殖区 OPQ，其中 PQ ＝l； 方案二 如图 2，围成三角形养殖区 OCD，其中 CD＝l；
20．(本小题满分 16 分) 设数列{an}满足：a1＝a2＝a3＝k（常数 k＞0） ，an＋1＝ an＋an＋2 bn＝ （nN*） ． an＋1 （1）求 b1，b2，b3，b4 的值； （2）求出数列{bn}的通项公式； （3）问：数列{an}中能否所有的项均为整数？若能，求出 k 的所有可能值；若不能，请说明理由． k＋anan－1 （n≥3，nN*） ．数列{bn}满足： an－2
2016 届南外、金陵中学、海安中学三校联考 数学试卷
2016.05
数学Ⅰ试题
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页，包含填空题(第 1 题～第 14 题，共 14 题)、解答题(第 15 题～第 20 题，共 6 题)两部分。本次考试时间为 120 分钟。考试结束后，只要将答题卡交回。 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在 答题卡上，并用 2B 铅笔把答题卡上考试证号对应数字框涂黑，如需改动，请用橡皮 擦干净后，再正确涂写。 3．答题时，必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位 置作答一律无效。 4．如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。 参考公式： 样本数据 x1 ， x2 ，…， xn 的标准差 s 1 ( xi x )2 ，其中 x 1 xi ． n i 1 n i 1
数学参考答案及评分标准
说明：
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1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分 标准制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有 较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数． 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分． 1．[－1，3] 1 6． 12 11． 2 2 ，2 2 2．四 7． 205 3．( ， 2) 1 000 8． 3 13． 1 2 4． 2 2 9．1， 13 14． 6＋1 5．14 10． 3
n
n
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答题纸 相应位 ．．． ．．． 置 上． ．
1． 已知集合 A＝{x|0＜x≤3，x∈R }，B＝{x|－1≤x≤2，x∈R }， 则 A∪B＝ ▲ ． 3＋i 2． 在复平面内，复数 z＝ （i 是虚数单位）对应的点在第 ▲ 象限． 1 ＋i 3． 函数 f(x)＝log1(2－x)的定义域为 ▲ ．
9
12．设{an}为等差数列，{an＋1}为等比数列，且 a1＝3，则 ∑an 的值为 ▲ ．
n=1
1 a 13．设 8a3＋9a＋c＝0，b3－ b－c＝0，其中 a，b，c 均为非零实数，则 的值为 ▲ ． 3 b 14．如图，在凸四边形 ABCD 中，AB＝1，BC＝ 3，且 AC⊥CD， AC＝CD，则当ABC 变化时，线段 BD 长的最大值为 ▲ ． B C
B Q B D B
l
O
l 2θ
O 图2
2θ
A （第 18 题）
2θ
O 图1 P A
C A
（1）求方案一中养殖区的面积 S1 ； l2 （2）求证：方案二中养殖区的最大面积 S2＝ ； 4tanθ （3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由．
高三数学试卷
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19．(本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)＝a(|sinx|＋|cosx|)－sin2x－1，a∈R （1）写出函数 f(x)的最小正周期（不必写出过程） ； （2）求函数 f(x)的最大值； （3）若 a＝1，函数 f(x)在区间(0，k)(k∈N*)上恰有 2015 个零点，求 k 的值．
21． 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域 ．．．．．．．．．．．．．．．． 内作答 ．若多做，则按作答的前两题评分． ．．． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A． [选修 4—1：几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图，AB 是半圆 O 的直径，延长 AB 到 C，使 BC＝ 2，CD 切半圆 O 于点 D，DE⊥AB，垂足 为 E．若 AE:EB＝3:1，求 DE 的长．
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1 7． 在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 a＝(1，2)，向量 b 满足 a－ b＝(－2，1)，则|a－b| 的值为 5 ▲ ． 8． 现用一半径为 10 2 cm，面积为 100 2 cm2 的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接 部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗） ，则该容器的容积为 ▲ cm3．
C
17．(本小题满分 14 分) x2 y2 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的焦距 F1F2 为 2，经过第二象限内 a b mx ny 一点 P(m，n)的直线 2 ＋ 2 ＝1 与圆 x2＋y2＝a2 交于 A，B 两点，且 OA＝ 2． a b （1）求 PF1＋PF2 值； → → 8 （2）若 AB F1F2＝ ，求 m，n 的值． 3 P F1 O y B A
（第 14 题）
A
D
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题纸 指定区域内 作答，解答时应写出 ．．． ．．．．． 文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分 14 分) 已知 tan＝2，cos＝－ （1）求 cos2的值； （2）求 2－的值． 7 2 ，且，∈(0，)， 10
（第 21—A 题）
B． [选修 4－2：矩阵与变换](本小题满分 10 分) 设矩阵A＝
1 －2 3 的逆矩阵为 A1 ，矩阵B满足AB＝ ，求 A1 ，B． 1 3 －7
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C．[选修 4－4：坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) x＝3＋ t， x＝4cosθ 2 已知点 P 在曲线 C： （为参数）上，直线 l： （t 为参数） ，求 P 到直 2 y＝3sinθ 线 l 距离的最小值． 2 y＝－3＋ 2 t
23．(本小题满分 10 分) 1 1 已知数列{an}满足 an＋1＝(1＋ 2 )an＋ n( nN*)，且 a1＝1． 2 n ＋n （1）求证：当 n≥2 时，an≥2；
3
（2）利用“x＞0，ln(1＋x)＜x， ”证明：an ＜2e4 (其中 e 是自然对数的底数)．
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x2 9． 若实数 x ，y 满足 ＋y2＝1，则 u＝|3x＋3y－7|的取值范围为 ▲ ． 3 1 1 10．若 0＜＜＜，且 coscos＝ ，sinsin＝ ，则 tan(－)的值为 ▲ ． 6 3 11． 在平面直角坐标 xOy 中，已知 A(1，0)，B(4，0)，若直线 x－y＋m＝0 上存在唯一的点 P 满足 PA 1 ＝ ，则实数 m 的取值集合是 ▲ ． PB 2
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2016.05
数学Ⅱ(附加题)
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1． 本试卷共 2 页，均为解答题（第 21~23 题） 。本卷满分为 40 分，考试时间为 30 分 钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填 写在答题卡上，并用 2B 铅笔正确填涂考试号。 3． 作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它 位置作答一律无效。如有作图需要，用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
16．证明：证明： （1）取 PD 中点 G，连 AG，FG， 1 因为 F､G 分别为 PC､PD 的中点，所以 FG∥CD，且 FG＝ CD． …………………2 分 2 1 又因为 E 为 AB 中点，所以 AE∥CD，且 AE＝ CD． …………………4 分 2 所以 AE∥FG，AE＝FG．故四边形 AEFG 为平行四边形． / 平面 PAD，AG⊂平面 PAD， 所以 EF∥AG，又 EF⊂ 故 EF∥平面 PAD． …………………6 分
17．解： （1）由 OA 2 ，知 a 2 ， 又 c 1 ，所以 b2 a2 c2 1 ， 所
D．[选修 4－5：不等式选讲](本小题满分 10 分) 4 1 1 求函数 f(x)＝ ＋ ，x∈(0， )的最小值． x 1－4x 4
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