2019年高考压轴卷理科数学试题

2019年高考压轴卷理科数学试题本试卷共5页，150分.考试时间长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．若复数为纯虚数，则实数的值为( )（A）（B）0 （C）1 （D）或12．设，，若，则实数的取值范围是( )（A）（B）（C）（D）3．已知函数则( )（A）（B）（C）（D）4．“不等式”是“不等式”成立的 ( )（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件5．已知直线l，m与平面满足，，则有( )（A）且（B）且（C）且（D）且6．等差数列中，，则=( )（A）16 （B）12 （C）8 （D）67．如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积是，则该几何体的俯视图可以是( )8．已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图，下列关于函数的命题：①函数是周期函数；②函数在上是减函数；③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；④当时，函数有4个零点.其中真命题的个数是( )（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．若则 .10.某商场调查旅游鞋的销售情况，随机抽取了部分顾客的购鞋尺寸，整理得如下频率分布直方图，其中直方图从左至右的前3个小矩形的面积之比为，则购鞋尺寸在内的顾客所占百分比为______.11.执行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则图中判断框内①处应填12. 已知向量，，设，若，则实数的值是13.设，则二项式展开式中不含．．项的系数和是14．以下正确命题的为①命题“存在，”的否定是：“不存在，”； ②函数的零点在区间内；③在极坐标系中，极点到直线的距离是． ④函数的图象的切线的斜率的最大值是；⑤线性回归直线恒过样本中心，且至少过一个样本点.三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题共13分）已知函数23()sin cos 32f x x x x ωωω=⋅-（），直线，是图象的任意两条对称轴，且的最小值为． （I ）求的表达式；（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程，在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围.16．（本小题共13分）已知等差数列的前项和为，且 （1）求通项公式；（2）求数列的前项和17．本小题共14分乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用局胜制（即先胜局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.（Ⅰ）求甲以比获胜的概率；（Ⅱ）求乙获胜且比赛局数多于局的概率； （Ⅲ）求比赛局数的分布列.18．（本小题共13分）如图，底面为平行四边形的四棱柱ABCD —A′B′C′D′，DD′⊥底面ABCD ，∠DAB =60°，AB =2AD ，DD′=3AD ，E 、F 分别是AB 、D′E 的中点．（Ⅰ）求证：DF ⊥CE ；（Ⅱ）求二面角A —EF —C 的余弦值．19．（本小题共14分） 已知函数.（Ⅰ）若曲线经过点，曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试求函数()()()2713g x m f x x ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦（为实常数，）的极大值与极小值之差；（Ⅲ）若在区间内存在两个不同的极值点，求证：.20．（本小题共13分）已知直线，,直线被圆截得的弦长与椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的短轴长相等,椭圆的离心率(Ⅰ) 求椭圆的方程；(Ⅱ) 过点(，)的动直线交椭圆于、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1.A 【解析】因为复数为纯虚数，所以，解得，选A.2.A 【解析】集合}21{}3123{≤≤-=≤-≤-=x x x x A ，而，因为，所以，选A.3.A 【解析】∵f ()==—1< 0； ∴f (—1)=.4.C 【解析】不等式的解为或；不等式的解当时，成立，当时，得，所以不等式的解为或，所以不等式”是“不等式”成立的充要条件，选C.5.B 【解析】，又．6.D 【解析】设等差数列的首项为，公差为，9045102910101110=+=⨯+=d a d a S ，即，又，解 得，所以，选D.7.C 【解析】若俯视图为A,则几何体为边长为1的正方体，所以体积为1，不满足条件；若为B,则该几何体为底面直径为1，高为1的圆柱，此时体积为，不满足条件；若为D, 几何体为底面半径为1，高为1的圆柱的部分，此时体积为，不满足条件，若为C ，该几何体为底面是直角三角形且两直角边为1，高为1的三棱柱，所以体积为，满足条件，所以选C. 8.D 【解析】由导数图象可知，当或时，，函数单调递增，当或，，函数单调递减，当和，函数取得极大值，，当时，函数取得极小值,所以函数不是周期函数，①不正确；②正确；因为在当和，函数取得极大值，，要使当函数的最大值是4，当，所以的最大值为5，所以③不正确；由知，因为极小值未知，所以无法判断函数有几个零点，所以④不正确，所以真命题的个数为1个，选D.二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9. 【解析】521421tan tan cos sin cos sin 222=+=+=+αααααα. 10. 55% 【解析】后两个小组的频率为25.02125.02)0875.00375.0(=⨯=⨯+，所以前3个小组的频率为，又前3个小组的面积比为，所以第三小组的频率为，第四小组的频率为，所以购鞋尺寸在的频率为%5555.0175.0375,0==+.11. 4 【解析】第一次运算为，第二次运算为，第三次运算为，第四次运算为，第五次运算不满足条件，输出，所以，填4..12. 【解析】，)2,1()1,0()2,1(k k +=+=，因为，所以，解得. 13. 161 【解析】6)()31(20322-=-=-⎰x x dx x ，所以，二项式为，展开式的通项为k kk k k k k x C xx C T )2()2()(31266261-=-=--+，令，即，所以，所以的系数为，令，得所有项的系数和为，所以不含项的系数和为.14.②③④ 【解析】①命题的否定为“任意的，”，所以不正确；②因为，又，，所以函数的零点在区间，所以正确；③把极坐标方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式求出极点到确；④函数的导数为2)1()('-≤+-=--=-xx x x e e e e x f ，当且仅当，即时取等号，所以正确；⑤线性回归直线恒过样本中心，但不一定过样本点，所以不正确，综上正确的为②③④.三、解答题（共6小题，共80分） 15.解：（Ⅰ）11()sin 2sin 2cos 2sin(2)22223f x x x x x πωωωω=-=+=+，由题意知，最小正周期，，所以， ∴（Ⅱ）将的图象向右平移个个单位后，得到的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象. ()sin(2).6g x x π=-所以　令，∵,∴，在区间上有且只有一个实数解，即函数与在区间上有且只有一个交点，由正弦函数的图像可知或∴或.16.解：（1）设等差数列的公差为，则由条件得， 解得，所以通项公式，则（2）令，则，所以，当时，，当时，.所以，当时，]23)1(20[)(2121•-+--=+++-=+++=n n n a a a b b b T n n n n n n a a a a a b b b T ++++++-=+++= 872121)( 当时，n a a a a a a a a ++++++++++-= 8721721)(2所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-≤+-=8,154263237,2632322n n n n n n T n17.（Ⅰ）解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是．记“甲以比获胜”为事件，则334341111()C ()()2228P A -==． （Ⅱ）解：记“乙获胜且比赛局数多于局”为事件. 因为，乙以比获胜的概率为，乙以比获胜的概率为3363261115C ()()22232P -==， 所以 ．（Ⅲ）解：设比赛的局数为，则的可能取值为．，334341111(5)2C ()()2224P X -===，335251115(6)2C ()()22216P X -==⋅=， 336361115(7)2C ()()22216P X -==⋅=． 比赛局数的分布列为：18.（Ⅰ）,60AD AE DAE DAE =∠=∴△为等边三角形，设，则1,3,2,90DE CE CD DEC ===∴∠=， 即．底面， 平面， ．''''CE DECE DD E CE DD CE DF DF DD E DE DD D ⊥⎫⎫⊥⎪⎪⊥⇒⇒⊥⎬⎬⊆⎪⎭⎪=⎭平面平面． （Ⅱ）取中点，则，又，所以△为等边三角形． 则，．分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设， 则3131313(0,0,0),(,0),(,0),'(0,0,3),(,),(0,2,0)2242D E A D F C -． 31333(,,),(0,1,0),(,,0)422EF AE CE =--==-． 设平面的法向量为，则3130420x y z y ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩， 取．平面的法向量为，则13042302x y z x y ⎧-+=⎪⎪-=， 取．13130401320,cos 21=⋅=>=<n n α． 所以二面角的余弦值为．19.解：（Ⅰ），直线的斜率为，曲线在点处的切线的斜率为, ……① 曲线经过点， ……②由①②得：2,37.3a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，，()()2413g x m x x ⎛⎫'∴=--⎪⎝⎭, 由，或. 当，即或时，，，变化如下表由表可知：()()()403g x g x g g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭极大极小()()2232320118181m m ⎡⎤=---=-⎢⎥⎣⎦当即时，，，变化如下表由表可知：()()()403g x g x g g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭极大极小()()2232321018181m m =---=--综上可知：当或时，； 当时，（Ⅲ）因为在区间内存在两个极值点 ，所以， 即在内有两个不等的实根．∴2(1)120,(1)(2)440,(2)12,(3)4()0.(4)f a b f a b a a b '=++>⎧⎪'=++>⎪⎨<-<⎪⎪∆=->⎩由 （1）+（3）得：，由（4）得：，由（3）得：， ，∴． 故20.解： (Ⅰ)则由题设可知，又 所以椭圆C 的方程是.(Ⅱ)解法一：假设存在点T （u, v ）. 若直线l 的斜率存在，设其方程为，将它代入椭圆方程，并整理，得．设点A 、B 的坐标分别为，则 12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为1122(,),(,)TA x u y v TB x u y v =--=--及 所以1212()()()()TA TB x u x u y v y v =--+--2221212121(1)()()339v k x x u k kv x x u v =+-+++++++精品文档实用文档 222222(666)4(3325)62u v k ku u v v k +--+++-=+ 当且仅当恒成立时，以AB 为直径的圆恒过定点T ，所以2222618180,0,33250.u v u u v v ⎧+-=⎪=⎨⎪++-=⎩解得此时以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）.当直线l 的斜率不存在，l 与y 轴重合，以AB 为直径的圆为也过点T （0，1）.综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1），满足条件.解法二：若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆是若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆是由解得.由此可知所求点T 如果存在，只能是（0，1）.事实上点T （0，1）就是所求的点. 证明如下：当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆为，过点T （0，1）； 当直线l 的斜率存在，设直线方程为，代入椭圆方程，并整理，得8分设点A 、B 的坐标为，则12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为1122(,1),(,1)TA x y TB x y =-=-，21212121212416()1(1)()39TA TA x x y y y y k x x k x x =+-++=+-++ 222216161632160.189k k k k ---++==+所以，即以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）.综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1）满足条件. 34796 87EC 蟬21123 5283 劃D22740 58D4 壔26928 6930 椰25419 634B 捋K29160 71E8 燨 20230 4F06 伆22294 5716 圖V25504 63A0 掠。