《任意角的三角函数》教学案

《1.2.1任意角的三角函数》教学案(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)初步理解任意角的三角函数的概念；(2)初步学会判断三角函数在各象限中的符号；(3)初步学会使用三角函数线表示三角函数值；(4)能够推导同角三角函数的基本关系式；(5)能够学会使用公式一和同角三角函数的基本关系解题．2．过程与方法(1)借助于单位圆，得出任意角的三角函数的概念；通过相似三角形法，理解在不同情景下的三角函数的定义的统一性；(2)通过探究三角函数值在各象限的符号，发现三角函数值的分布规律；(3)观察角的终边在各象限时，三角函数线的画法及所表示的含义，加深对三角函数定义的理解；(4)学会使用定义法、公式法、数形结合法解题．3．情感、态度与价值观通过本节课的学习，树立数形结合的思想，养成逻辑推理的习惯，发现数学中所蕴含的哲学思想.●重点难点重点：三角函数的定义、三角函数线．难点：用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．(教师用书独具)●教学建议1．三角函数的定义关于三角函数定义的教学，建议教师在教学过程中，注意引导学生由锐角三角函数推广到任意角的三角函数，这样讲很自然地把新旧知识连成线，又让学生体会到了由特殊到一般的思维方法．2．三角函数定义域、函数值符号的判定(1)关于三角函数定义域的教学，建议教师紧紧抓住任意角三角函数的定义，让学生自己观察、思考、总结，得出结论．(2)关于函数值符号的判定的教学，建议教师让学生独立完成，最后以教师点评的方式进行，同时引导学生推导终边落在坐标轴上时正、余弦函数的取值情形．3．三角函数线关于三角函数线的教学，建议教师在教学过程中，利用多媒体予以呈现，让学生直观的感受三角函数线与三角函数线的关系，及在单位圆中的位置．结合图形，讲清三角函数线的位置、方向和大小．●教学流程创设问题情境，回顾初中锐角三角函数定义，引出任意角三角函数的定义.⇒引导学生结合三角函数定义，探究三角函数在各象限的符号，并总结其规律.⇒借助单位圆和三角函数的定义等知识，学习三角函数线的画法及所表示的含义.⇒通过例1及其互动探究，使学生掌握利用三角函数的定义求三角函数值的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握利用三角函数在各象限的符号规律判断三角函数值符号的方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握三角函数线的画法及利用三角函数线求角范围的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课前自主导学课标解读1.理解三角函数的定义，会使用定义求三角函数值．2．会判断给定角的三角函数值的符号．(重点、难点)3．会利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围．(难点)任意角的三角函数的定义根据锐角三角函数的定义，完成下面的填空：图形定义sin A＝________，cos A＝________，tan A＝________【提示】ac，bc，ab.在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)．并记|OP|＝r(此时r＝x2＋y2>0)，那么名称 定义 定义域正弦 sin α＝y r R余弦 cos α＝xr R正切tan α＝yx{α|α≠π2＋kπ，k ∈Z }sin α，cos α，tan α分别称为正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数．三角函数在各象限符号【问题导思】如果角α的终边在x 轴上方，那么能否判断sin α的符号？ 【提示】 ∵sin α＝yr ，y ＞0，r ＞0， ∴sin α＞0.三角函数线1．结合图形思考：在单位圆中，三角函数能否用图中的有向线段来表示？ 【提示】 能．2．若选取角α终边与单位圆的交点为P (x ，y )，如何求sin α，cos α？ 【提示】 ∵r ＝1， ∴sin α＝y ，cos α＝x .(1)有向线段：规定了方向的线段． (2)三角函数线课堂互动探究三角函数的定义及应用例1 (2013·青岛高一检测)已知角θ的终边上有一点P (－3，m )，且sin θ＝24m ，求cos θ与tan θ的值．【思路探究】 先利用三角函数定义sin θ＝y r ，求出m 的值，再用公式cos θ＝xr ，tan θ＝yx 代入数据求解．【自主解答】 由已知r ＝－32＋m 2＝3＋m 2，∴24m ＝m3＋m 2，解得m ＝0，或m ＝±5， (1)当m ＝0时，cos θ＝－1，tan θ＝0； (2)当m ＝5时，cos θ＝－64，tan θ＝－153； (3)当m ＝－5时，cos θ＝－64，tan θ＝153. 规律方法1．利用三角函数的定义求一个角的三角函数值需明确三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r .2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．互动探究将本例中条件改为“已知角α的终边上有一点P (m ，－2)(m ≠0)，且cos θ＝36m ”，如何求tan θ的值？【解】 由已知得m m 2＋2＝36m ，∵m ≠0，∴m ＝±10， 当m ＝10时，tan θ＝－210＝－55； 当m ＝－10时，tan θ＝－2－10＝55.例2 (1)α是第四象限角，sin α·tan α； (2)sin 3·cos 4·tan (－23π4)．【思路探究】 先确定各角所在象限，再判定各个三角函数值符号，然后判定三角函数式的符号．【自主解答】 (1)∵α是第四象限角， ∴sin α<0，tan α<0， ∴sin α·tan α>0. (2) ∵π2<3<π，π<4<3π2， ∴sin 3>0，cos 4<0. 又∵－23π4＝－6π＋π4， ∴tan (－23π4)>0， ∴sin 3·cos 4·tan (－23π4)<0. 规律方法三角函数值的符号取决于角的终边所在位置．三角函数值在各象限的符号可以用“一全正、二正弦、三正切、四余弦”(即第一象限角三角函数全是正值，第二象限角正弦函数是正值，第三象限角正切函数是正值，第四象限角余弦函数是正值)来判断．变式训练若sin θ·cos θ＞0，且cos θ·tan θ＜0，则角θ的终边落在第________象限． 【解析】 由sin θ·cos θ＞0可知θ为第一或第三象限角， 由cos θ·tan θ＜0可知θ为第三或第四象限角，则知θ为第三象限角． 【答案】 三三角函数线的应用例3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围，并由此写出角α的集合． (1)sin α≥32；(2)cos α≤－12.【思路探究】 根据三角函数线．在单位圆中首先作出满足sin α＝32，cos α＝－12的角的终边，然后由已知条件确定角α的终边范围．【自主解答】 (1)作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接O A ，O B ，则O A 与O B 围成的区域(如图①阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋π3≤α≤2kπ＋2π3，k ∈Z }，(2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接O C 与O D ，则O C 与O D 围成的区域(如图②阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋2π3≤α≤2kπ＋4π3，k ∈Z }． 规律方法1．三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的工具，要注意利用其来解决问题． 2．三角函数线的主要作用是解三角不等式、比较大小及求函数的定义域，在求三角函数定义域时，一般转化为不等式(组)，因此必须牢固掌握三角函数线的画法及意义．变式训练作出角5π6，－9π4的正弦线、余弦线、正切线，并比较相应三角函数值的大小． 【解】 如图(1)所示，图中有向线段MP ，OM ，A T 分别表示5π6 角的正弦线、余弦线、正切线．如图(2)所示，图中有向线段M ′P ′，OM ′，A′T ′分别表示－9π4角的正弦线、余弦线、正切线．由图可知MP ＞0＞M ′P ′，所以sin 5π6＞sin (－9π4)， OM ＜0＜OM ′，所以cos 5π6＜cos (－9π4)， 0＞A T ＞A′T ′，所以tan 5π6＞tan (－9π4). 易错易误辨析忽视角所在象限的讨论致误典例 已知角α的顶点在原点上，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标为(3a ，4a )(a ≠0)，求角α的正弦值和正切值．【错解】 由题意得x ＝3a ，y ＝4a ， 所以r ＝x 2＋y 2＝3a2＋4a2＝5a ，所以sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，tan α＝y x ＝4a 3a ＝43.【错因分析】 本题中点的坐标含参数，当a ＞0时，该点在第一象限，即角α的终边在第一象限；当a ＜0时，该点在第三象限，即角α的终边在第三象限．故应对a 的取值范围进行分类讨论．【防范措施】 根据角的终边上一点的坐标求三角函数值时，若坐标中含有字母，则应分类讨论．【正解】 由题意得x ＝3a ，y ＝4a ， 所以r ＝x 2＋y 2＝3a2＋4a2＝5|a |.若a ＞0，则r ＝5a ， 所以sin α＝y r ＝4a 5a ＝45， tan α＝y x ＝4a 3a ＝43； 若a ＜0，则r ＝－5a ， 所以sin α＝y r ＝4a －5a ＝－45， tan α＝y x ＝4a 3a ＝43.1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．2．三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大小，同时它也是以后学习三角函数的基础.当堂双基达标1．已知α的终边过点P (4，－3)，则下面各式中正确的是________．(只填序号) ①sin α＝45；②cos α＝－45；③tan α＝－34；④tan α＝－43.【解析】 易知x ＝4，y ＝－3，r ＝5，所以sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34. 【答案】 ③2．sin 105°cos 230°的符号为________．【解析】 ∵105°为第二象限角，230°为第三象限角， ∴sin 105°＞0，cos 230°＜0. ∴sin 105°·cos 230°＜0. 【答案】 负3．有下列命题：①若sin α＞0，则α是第一或第二象限角；②若α是第一或第二象限角，则sin α＞0；③三角函数线不能取负值；④若α是第二象限角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－xx 2＋y 2.其中正确命题的序号是________．【解析】 ∵sin π2＝1＞0，但π2不是第一或第二象限角，∴①不正确；三角函数线是三角函数值的几何表示，其数量可正可负，也可为0，∴③不正确；④应是cos α＝xx 2＋y 2(∵α是第二象限角，已有x ＜0)，∴④不正确．【答案】 ②4．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： (1)π6；(2)2π3；(3)－5π6.【解】 作角的正弦线、余弦线、正切线的关键是画出单位圆和角的终边．如图所示，有向线段MP ，OM ，A T 分别是题中三个角的正弦线、余弦线、正切线．一、填空题1．已知角α的终边经过点P (x ，－6)，若sin α＝－1213，则x 的值为________． 【解析】 由三角函数的定义得sin α＝y r ＝－636＋x 2＝－1213，∴x 2＝254，∴x ＝±52. 【答案】 ±522．(2013·巢湖高一检测)下列三角函数值的符号判断错误的是________． ①sin 165°＞0；②cos 280°＞0；③tan 170°＞0； ④tan 310°＜0.【解析】 165°为第二象限角，280°为第四象限角，170°为第二象限角，310°为第四象限角，第二象限角的正切值的符号为负，故③不正确．【答案】 ③3．(2013·广州高一检测)已知sin α＝35，cos α＝－45，则角α终边在第________象限． 【解析】 由sin α＝35＞0得，角α的终边在第一或第二象限；由cos α＝－45＜0得，角α的终边在第二或第三象限，故角α的终边在第二象限．【答案】 二4．角α的终边上有一点M (a ，a )，a ∈R 且a ≠0，则sin α的值为________． 【解析】 当a >0时，r ＝a 2＋a 2＝2a ，sin α＝y r ＝a 2a ＝22.当a <0时，r ＝a 2＋a 2＝－2a ，sin α＝y r ＝a －2a ＝－22.∴sin α＝22或－22. 【答案】 22或－225．如果cos x ＝|cos x |，那么角x 的取值范围是________．【解析】 ∵cos x ＝|cos x |，∴cos x ≥0，∴角x 的终边落在y 轴或其右侧，从而角x 的取值范围是[2kπ－π2，2kπ＋π2]，k ∈Z .【答案】 [2kπ－π2，2kπ＋π2]，k ∈Z6．已知α终边过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为________． 【解析】 ∵sin α>0，cos α≤0，∴α终边在第二象限或y 轴正半轴上，∴3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3. 【答案】 (－2，3]7．已知角α的终边与射线y ＝－3x (x ≥0)重合，则sin α·cos α－tan α的值为________． 【解析】 在角α终边上取一点P (1，－3)，此时x ＝1，y ＝－3. ∴r ＝12＋－32＝10.∴由三角函数定义得sin α＝y r ＝－310， cos α＝x r ＝110，tan α＝yx ＝－3.∴sin α·cos α－tan α＝－310×110－(－3)＝3－310＝2710. 【答案】 27108．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是________． ①[－3π4，π4]；②[－π2，π2]；③[－π4，3π4]；④[0，π]．【解析】 如图，画出三角函数线sin x ＝MP ，cos x ＝OM ，由于sin (－3π4)＝cos (－3π4)，sin π4＝cos π4，为使sin x ≤cos x 成立，由图可得－3π4≤x ≤π4.【答案】 ① 二、解答题9．(2013·杭州高一检测)已知角α的终边过点(a ，2a )(a ≠0)，求α的三个三角函数值． 【解】 因为角α的终边过点(a ，2a )(a ≠0)，所以r ＝5|a |，x ＝a ，y ＝2a . 当a ＞0时，sin α＝y r ＝2a 5|a |＝2a 5a ＝255， cos α＝x r ＝a 5a ＝55，tan α＝2；当a ＜0时，sin α＝y r ＝2a 5|a |＝2a －5a ＝－255， cos α＝x r ＝a －5a ＝－55，tan α＝2.10．已知角α的顶点在原点上，始边与x 轴的非负半轴重合，且sin α＜0，tan α＞0. (1)求角α的集合；(2)判断α2为第几象限角；(3)判断tan α2，sin α2·cos α2的符号． 【解】 (1)因为sin α＜0，tan α＞0， 所以角α是第三象限角，故角α的集合为{α|2kπ＋π＜α＜2kπ＋3π2，k ∈Z }． (2)由(1)知kπ＋π2＜α2＜kπ ＋3π4(k ∈Z )．当k ＝2m (m ∈Z )时，2mπ＋π2＜α2＜2mπ＋3π4(m ∈Z )，所以α2是第二象限角；当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，2mπ＋32π＜α2＜2mπ＋74π(m ∈Z )，所以α2是第四象限角．所以α2是第二或第四象限角． (3)由(2)知α2是第二或第四象限角， 从而tan α2＜0，sin α2·cos α2＜0. 11．利用单位圆写出符合下列条件的角x 的范围． (1)sin x <－22；(2)|cos x |≤12.【解】 (1)作出单位圆如图所示． 在0～2π内， ∵sin 5π4＝－22， sin 7π4＝－22，∴满足sin x <－22的角x 在(5π4，7π4)内．故在任意角范围内满足sin x <－22的角x 的范围是5π4＋2kπ<x <7π4＋2kπ(k ∈Z )．(2)作出单位圆如图所示．在0～π内，|cos π3|＝12， |cos 2π3|＝12.在π～2π内，|cos 4π3|＝12，|cos 5π3|＝12. 根据余弦线的变化情况可知满足|cos x |≤12的角x 的取值范围是π3＋kπ≤x ≤2π3＋kπ(k ∈Z ).(教师用书独具)备选例题求函数f (α)＝2sin α－1的定义域．【思路探究】 要使函数f (α)有意义，则sin α≥12.利用三角函数线可得x 的范围，即为函数f (α)的定义域．【自主解答】 要使函数f (α)有意义，必须使2sin α－1≥0，则sin α≥12.如图，画出单位圆，作出x 轴的平行直线y ＝12，交单位圆于两点P 1，P 2，连接OP 1，OP 2，分别过点P 1，P 2作x 轴的垂线，画出如图的两条正弦线，易知这两条正弦线的值都等于12.在[0，2π)内，sin π6＝sin 5π6＝12.由于sin α≥12，故满足条件的角α的终边在图中阴影部分，所以函数f (α)的定义域为{α|π6＋2kπ≤α≤5π6＋2kπ，k ∈Z }．规律方法利用三角函数线求三角函数的定义域时，一般转化为不等式(组)，其解题思路是： (1)首先画出取边界值的角α1的终边并在0～2π(或－2π～0)范围内写出α1的值． (2)根据三角函数线所在的范围，确定满足条件的角α终边所在范围． (3)写出解集． 备选变式求函数y ＝1＋2cos x ＋lg (2sin x ＋3)的定义域．【解】 要使函数y 有意义，只需{ 1＋2cos x ≥0，2sin x ＋3＞0，即⎩⎨⎧cos x ≥－12，sin x ＞－32.如图所示，由单位圆知2kπ－π3＜x ≤2kπ＋23π，k ∈Z . 故原函数的定义域为{x |2kπ－π3＜x ≤2kπ＋23π，k ∈Z }．。