新疆2019届高三第三次诊断性测试数学(理)试卷附答案解析
新疆2019届高三第三次诊断性测试数学(理)试卷
2019年高三年级第三次诊断性测试理科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意得，，，然后利用数轴可以得出.【详解】解：因为，所以，，又因为，所以，故选B。
【点睛】本题考查了集合的交集运算，将集合中变量的范围具体解析出来是解题的前提，属于简单题。
2.若复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据，求出，然后根据复数模的公式求出。
【详解】解：因为复数满足所以所以，故选A。
【点睛】本题考查了复数的四则运算和复数模的运算，求解复数模的前提是将复数表示为的标准形式，然后根据模的公式求解。
3.若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是（）A. 在圆上B. 在圆外C. 在圆内D. 以上都有可能【答案】B【解析】【分析】直线与圆有两个公共点，可得，即为，由此可得点与圆的位置关系。
【详解】解：因为直线与圆有两个公共点，所以有，即，因为点与圆心的距离为，圆的半径为1，所以点在圆外，故选B。
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系的判断方法有：1.圆心到直线的距离与半径做比较；2.联立直线与圆的方程，根据方程组根的个数进行判断。
4.如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根据三视图可以得到原几何体为三棱锥，且是有三条棱互相垂直的三棱锥，根据几何体的各面面积可得最大面的面积。
【详解】解：分析题意可知，如下图所示，该几何体为一个正方体中的三棱锥，最大面的表面边长为的等边三角形，故其面积为，故选B。
【点睛】本题考查了几何体的三视图问题，解题的关键是要能由三视图解析出原几何体，从而解决问题。
5.函数（其中）的图像如图所示，为了得到的图像，只需把的图像上所有点（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】C【解析】根据题目中的图象求解出周期，得出的值，再将点代入函数解析式，求出的值，然后根据图象变换规则得出答案。
新疆维吾尔自治区2019届高三第三次毕业诊断及模拟测试理科数学试题 Word版含解析】
2019届新疆维吾尔自治区高三年级第三次毕业诊断及模拟测试理科数学试题一､选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的. 1.1i 1i-=+( ) A. iB. -iC. 0D. 1 【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算，即得解. 【详解】化简：1(1)(1)21(1)(1)2i i i i i i i i ----===-++- 故选：B【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 2.已知集合{|20}A x x =->,集合{1,2,3,4}B =,那么集合A B =I ( )A. [2,4]B. [3,4]C. {}2,3,4D. {}3,4 【答案】D【解析】【分析】由交集的定义即得解.【详解】集合{|20}A x x =->,集合{1,2,3,4}B =,由交集的定义： A B =I {}3,4故选：D【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.3.双曲线221916x y -=的离心率为（ ）A. 4B. 3C. 54D. 53【答案】D【解析】【分析】由双曲线221916x y -=，求得3,4,5a b c ====，再由离心率的公式，即可求解．【详解】由双曲线221916x y -=，可得229,16a b ==，则3,5a c ===， 所以双曲线的离心率为53c e a ==，故选D ． 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质求解，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.已知数列{}n a 是等差数列,3728a a +=,其前5项和540S =,则4a 为( )A. 14B. 15C. 11D. 24 【答案】C【解析】【分析】由等差中项，可求得3752a a a +=，前n 项和公式155()52a a S +⨯=可求得1a ，514d a a =-可得解d ，即得解.【详解】数列{}n a 是等差数列,375522814a a a a +==∴=, 1551()54022a a S a +⨯==∴= 514123d a a d ∴=-=∴=4132911a a d ∴=+=+=故选：C【点睛】本题考查了等差数列的性质及前n 项和，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.5.运行如图所示的程序框图若输出的s 的值为55则在内应填入( )A. 8i >？B. 9i >？C. 10i >？D. 11i >？【答案】C【解析】【分析】 根据程序框图的循环条件，依次计算，即得解【详解】初始：1,0i s == ；011,12s i i =+==+=，不满足条件；123,13s i i =+==+=，不满足条件；336,14s i i =+==+=，不满足条件；6410,15s i i =+==+=，不满足条件； 10515,16s i i =+==+=，不满足条件；15621,17s i i =+==+=，不满足条件； 21628,18s i i =+==+=，不满足条件；28836,19s i i =+==+=，不满足条件； 36945,110s i i =+==+=，不满足条件；451055,111s i i =+==+=，满足输出条件； 故选：C【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，考查了学生逻辑推理，数学运算能力，属于中档题.6.函数sin 2()cos 1x f x x =-图象可能为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数定义域{|2,}x x k k Z π≠∈，函数为奇函数，()=0f π，结合分析即得解.【详解】函数定义域：cos 12,x x k k Z π≠∴≠∈，在0x =无定义，排除C ，由于sin(2)sin 2()()cos()1cos 1x x f x f x x x ---===----，故函数为奇函数，关于原点对称，排除B ， 且sin 2()=0cos 1f πππ=-，故排除D 故选：A 【点睛】本题考查了由函数解析式研究函数性质辨别函数图像，考查了学生综合分析，数形结合的能力，属于中档题.7.已知2sin 410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 2α的值为( ) A. 2425- B. 2425 C. 125 D. 125- 【答案】B【解析】 【分析】利用诱导公式，以及二倍角公式sin 2cos[2()]4παα=-212sin ()4πα=--，即得解.【详解】由诱导公式：sin 2sin[2()+]cos[2()]424πππααα=-=-， 再由二倍角公式：2cos[2()]12sin ()44ππαα-=--=2425 故选：B 【点睛】本题考查了诱导公式，二倍角公式综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.8.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,且313239log log log 9a a a ++⋯+=,则3746a a a a +=( )A. 6B. 9C. 18D. 81【答案】C【解析】【分析】由对数运算律：31323935log log log 9log a a a a ++⋯+=，可得解5a ，由等比中项的性质，22374655a a a a a a +=+，即得解. 【详解】由于931323931293535log log log log ...log 9log 9a a a a a a a a ++⋯+==== 355log 13a a ∴=∴=由等比中项的性质，2237465518a a a a a a ∴+=+= 故选：C【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.9.若()52a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的常数项等于-80，则a =（ ） A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 【答案】A【解析】【分析】 用5()a x x -展开式中的常数项（此式中没有此项）乘以2加上5()a x x -展开式中的1x -系数乘以1即得已知式展开式的常数项．【详解】由题意3325(1)80C a ⨯-=-，解得2a =-．故选A ． 【点睛】本题考查二项式定理，解题关键是掌握二项展开式的通项公式，同时掌握多项式乘法法则．10.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F 准线为1,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点,且Q 位于第四象限,过Q 作l 的垂线QE ,垂足为E ,若PF 的倾斜角为60°,则PQE V 的面积是( )A. 83B. 43C. 89D. 49【答案】A【解析】【分析】表示PF 方程为3(1)y x =-,与抛物线方程联立，求解Q 点坐标，求解PQE V 面积.【详解】由已知条件抛物线准线为1x =-，焦点为(1,0)F ,直线PF 倾斜角为60°,故斜率3k =3(1)y x =- 代入抛物线方程可得：223(1)431030x x x x -=∴-+=解得：1213,3x x == 由于Q 在第四象限123((1,3)3Q P -∴--142383(23)23QEF S ∆∴=⨯⨯-= 故选：A【点睛】本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.11.某几何体的三视图如图所示,网格纸上的小正方形边长为1,则此几何体的外接球的表面积为( )A. 32548πB. 32516πC. 894πD. 8912π 【答案】B【解析】【分析】由三视图可还原得到三棱锥，三棱锥可放在如图底面边长为2，侧棱长为4的正四棱柱中，E ，F 为棱中点，设O 为三棱锥外接球的球心，12,Q Q 分别为点Q 在平面ABCD ，平面ECD 的投影.由于,CDF CDE ∆∆都为等腰三角形，故12,Q Q 分别在中线FG ，EG 上.构造直角三角形可求解得到12,O D O D ，结合22211R OO O D =+即得解.【详解】由题设中的三视图，可得该几何体为如下图所示的三棱锥E CDF -，放在底面边长为2，侧棱长为4的正四棱柱中，E ，F 为棱中点，取G 为CD 中点，连接GF ，GE .设O 为三棱锥外接球的球心，12,O O 分别为点O 在平面ABCD ，平面ECD 的投影.由于,CDF CDE ∆∆都为等腰三角形，故12,O O 分别在中线FG ，EG 上.由于11O D O F =，在1Rt O GD ∆中， 设2221155(2)144O D x x x x O D =∴=-+∴=∴=； 同理在2Rt O GD ∆中， 设222221717(4)188O D y y y y O D =∴=-+∴=∴=， 221715488O G FG O E ∴=-=-= 外接球半径222222112132564R OD OO O D O G O D ==+=+= 故外接球的表面积2325416S R ππ==故选：B 【点睛】本题考查了三视图和三棱锥的外接球，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.12.已知函数()1f x kx =+,()1(11)x g x e x =+-剟,若()f x 与()g x 的图象上分别存在点M ,N ,使得点M ,N 关于直线1y =对称,则实数k 的取值范围是( )A. 1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 1,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. [,)e -+?D. 1(,],e e ⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】【分析】 由题意()f x 与()g x 的图象上分别存在点M ,N ,使得点M ,N 关于直线1y =对称，即112x kx e +++=，等价于x e kx =-，数形结合求解.【详解】由于()f x 与()g x 的图象上分别存在点M ,N ,使得点M ,N 关于直线1y =对称,则 112x kx e +++=，即x e kx =-所以指数函数x y e =与y kx =-在11x -剟恒有交点当直线y kx =-与x y e =相切时，由于'x y e =，设切点000(,),x xx e k e = 此时切线方程：000(),x x y e e x x -=-过（0，0）因此：01,x k e =∴=数形结合可知：k e ≥或k 0<时，xy e =与y kx =-有交点 又要求在11x -剟恒有交点， 由图像，当1x =时，1k e=，当1x =-时，k e =- 综上：解得x ∈1(,],e e ⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭故选：D【点睛】本题考查了函数的对称性问题，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算能力，属于较难题.二､填空题13.已知向量(1,)a m =r ,(2,3)b =-r ,且//a b r r ,则m =________. 【答案】32-【解析】【分析】由向量平行的坐标表示，计算即得解. 【详解】由于向量(1,)a m =r ,(2,3)b =-r ,且//a b r r ,由向量平行的坐标表示，1320m m ⨯+=∴=32- 故答案为：32- 【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.14.若实数x ，y 满足00320x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =-+的最小值为______.【答案】-3【解析】【分析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，代入即可求解．【详解】由题意，画出不等式组所表示平面区域，如图所示，目标函数2z x y =-+，可化为直线2y x z =+，直线2y x z =+过点A 时，此时直线在y 轴上的截距最小，目标函数取得最小值， 又由0320x y x y +=⎧⎨+-=⎩，解得(1,1)A -， 所以目标函数的最小值为2113z =-⨯-=-．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题． 15.如图所示,满足00x e y e ⎧⎨⎩剟剟的点(x ,y )围成的区域记为A ,区城A 内的两条曲线分别为函数()x f x e =,()ln g x x =图象的部分曲线,若向区域A 内随机投掷一个质点,则质点落在阴影部分的概率为________.【答案】221e - 【解析】 【分析】利用定积分可求解区域中非阴影部分面积为1'1x S e e dx =-=⎰，利用割补法即得2'S S S =-阴影正方形，再利用面积比即得解.【详解】不妨设()xf x e =与y e =交点为A ，则(1,)A e ，()lng x x =与x 轴交点为B ，则(1,0)B ；曲线()xf x e =在1x e ≤≤与x 轴所围的曲边梯形面积：11x S e dx e ==-⎰故()xf x e =在1y e ≤≤与y 轴所围的曲边梯形面积：1'1x S e e dx =-=⎰由于()xf x e =，()lng x x =互为反函数，图像关于y =x 对称， 因此图象中两块非阴影部分面积相等， 因此22'2S S S e =-=-阴影正方形故：若向区域A 内随机投掷一个质点,则质点落在阴影部分的概率为：222S e P S e -===阴影正方形221e-故答案为：221e -【点睛】本题考查了定积分与几何概型综合，考查了学生数形集合，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.16.已知长方体1111ABCD A B C D -，1AB BC ==，12AA =，在1A B 上取一点M ，在1D C 上取一点N ，使得直线//MN 平面11A ACC ，则线段MN 的最小值为___________. 【答案】23【解析】 【分析】作1MM AB ⊥于点1M ，作1NN BC ⊥于点1N ，则11//M N AC ．设11BM BN x ==，则12MM x =，122NN x =-，由此能求出MN 的最小值．【详解】解：作1MM AB ⊥于点1M ，作1NN BC ⊥于点1N ，Q 线段MN 平行于对角面11A ACC ，11//M N AC ∴．设11BM BN x ==，则12MM x =，122NN x =-， 在直角梯形11MNN M 中，222244(2)(24)1899MN x x x ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，∴当49x =时，MN 的最小值为23． 故答案为：23．【点睛】本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查推理论论能力、空间想象能力，属于中档题．三､解答题:解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos b C c B a A +=. （1）求A ；（2）若ABC ∆的周长为3，求a 的最小值. 【答案】（1）3A π=；（2）1.【解析】 【分析】（1）由正弦定理把条件cos cos 2cos b C c B a A +=转化为角的关系，再由两角和的正弦公式及诱导公式得A 的关系式，从而可得结论.（2）由余弦定理并代入3()a b c =-+可得()369bc b c =+-，结合基本不等式可得b c +的范围，从而得出a 的最小值及此时,b c 取值.【详解】（1）由已知及正弦定理得sin cos cos sin 2sin cos B C B C A A +=， 即()sin 2sin cos B C A A +=， ∵()()sin sin sin B C A A π+=-=， ∴1cos 2A =. 又∵()0,A π∈，∴3A π=.（2）∵()2222221cos 222b c bc a b c a A bc bc+--+-===， 化简得()()223*bc b c a =+-， ∵3a b c ++=，∴()3a b c =-+， 代入()*式得()369bc b c =+-，∵22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()23694b c b c +-≤+，即()()28120b c b c +-++≥， 解得2b c +≤或6b c +≥（舍），当且仅当b c =时取“=”.∴()31a b c =-+≥，即a 的最小值为1，此时1b c ==，且ABC ∆为正三角形. 【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理，考查基本不等式的应用，解题时要注意边角关系的转化.求“角”时，常常把已知转化为角的关系，求“边”时，常常把条件转化为边的关系式，然后再进行转化变形.18.某校高三共有1000位学生,为了分析某次的数学考试成绩,采取随机抽样的方法抽取了200位高三学生的成绩进行统计分析得到如图所示频率分布直方图:（1）计算这些学生成绩的平均值x 及样本方差2s (同组的数据用该组区间的中点值代替);（2）由频率分布直方图认为,这次成绩X 近似服从正态分布()2,N μσ,其中μ近似为样本平均数x ,2σ近似为样本方差2s . (i)求(80.8119.2)P X <<;(ii)从高三学生中抽取10位学生进行面批,记ξ表示这10位学生成绩在80.8,119.2（）的人数,利用(i)的结果,求数学期望()E ξ.附 4.8≈; 若()2~,X Nμσ,则()0.6826P X μσμσ-<<+=,(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.【答案】（1）100x =,2368s =.（2）(i)0.6826(ii)6.826 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图以及平均值x 及样本方差2s 的定义即得解； （2）（i ）借助()0.6826P X μσμσ-<<+=可得解； （ii ）根据二项分布的期望公式可得解. 【详解】（1）由频率分布直方图知:0.06600.23800.411000.251200.05140100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=222220.06(60100)0.23(80100)0.41(100100)0.25(120100)0.05s =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+2(140100)368⨯-=（2）(i )由（1）知,~(100,368)X N ∴236819.2σσ=⇒=== ∴(80.8119.2)(10019.210019.2)0.6826P X P X <<=-<<+= (ii )由题意知~(10,0.6826)B ξ ∴()100.6826 6.826E ξ=⨯=【点睛】本题考查了概率统计综合，考查了学生数据处理，概念理解，数学运算能力，属于中档题.19.如图1,在梯形ABCD 中,//AB CD ,3AB =,6CD =,过A ,B 分别作CD 的垂线,垂足分别为E ,F ,已知1DE =,3AE =,将梯形ABCD 沿AE ,BF 同侧折起,使得平面ADE ⊥平面ABFE ,平面//ADE 平面BCF ,得到图2.（1）证明://BE 平面ACD ; （2）求二面角C AD F --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析.（2）911【解析】 【分析】（1）设AF BE O =I ,取AC 中点M ,连接OM ，DM ，可证明四边形DEOM 为平行四边形 可得//DM OE ，即得证；（2）建立如图空间直角坐标系，求解平面ADF ，平面ADC 的法向量，由二面角的向量公式即得解.【详解】（1）设AF BE O =I ,取AC 中点M ,连接OM ，DM四边形ABFE 为正方形 ∴为AF 中点 ∵M 为AC 中点 ∴1//2OM CF ∵平面ADE ⊥平面ABFE 平面ADE I 平面ABFE AE =DEAE ⊥DE ∴⊥平面ABFE DE ⊂平面ADE又∵平面//ADE 平面BCF∴平面BCF ⊥平面ABFE 同理,CF ⊥平面ABFE 又∵1DE =,2FC = ∴1//2DE CF ∴//OM DE∴四边形DEOM 为平行四边形 ∴//DM OE ∵DM ⊂平面ADC ,BE ⊄平面ADC ∴//BE 平面ADC（2）由题意EA ，EF ，ED 两两垂直，以EA 为x 轴,EF 为y 轴,ED 为z 轴建立空间直角坐标系E xyz -∴0,0,1D （）,3,0,0A （）,0,3,0F （）,0,3,2C （）设平面ADF 的法向量为()1111,,n x y z =u r∵(3,0,1)DA =-u u u r ,(0,3,1)DF =-u u u r∴11113030x z y z -=⎧⎨-=⎩∴1(1,1,3)n =u r设平面ADC 的法向量为()2222,,n x y z =u u r∵(0,3,1)DC =u u u r∴22223030x z y z -=⎧⎨+=⎩∴2(1,1,3)n =-u u r设二面角C AD F --的平面角为θ,由图像得θ为锐角，∴1212129cos |cos ,||||11|||n n n n n n θ==⋅=r r r rr r【点睛】本题考查了立体几何和空间向量综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算能力，属于中档题.20.已知点()1,0F ，动点P 到直线2x =的距离与动点P 到点F. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作任一直线交曲线C 于A ,B 两点，过点F 作AB 的垂线交直线2x =于点N ；求证：ON 平分线段AB .【答案】（1）2212x y +=.（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）设(,)P x y=，化简即得解；（2）设AB 的直线方程为1x my =+，与椭圆联立得到M 点坐标，表示直线ON 方程，验证M 在ON 上即可.【详解】（1）设(,)P x y ,=化简得2212x y +=（2）设AB 的直线方程为1x my =+ 则NF 的直线方程为(1)y m x =--联立(1)2y m x x =--⎧⎨=⎩得(2,)N m -∴直线ON 的方程为2my x =-联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210m y my ++-= 设()11,A x y ,()22,B x y ,则12222my y m +=-+ 设AB 的中点为()00,M x y ,则120222y y my m +==-+ ∴002212x my m =+=+∴222,22m M m m ⎛⎫-⎪++⎝⎭将点M 坐标代入直线ON 的方程222222m my m m =-⋅=-++ ∴点M 在直线ON 上 ∴点M 平分线段AB【点睛】本题考查了直线和圆锥曲线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 21.已知函数2()ln f x k a x x=++(,k a R ∈且0a >) （1）求()f x 在[2,)+∞上的最小值;（2）若1a =,函数()f x 恰有两个不同的零点12,x x ,求证:124x x +>. 【答案】（1）当1a ≥时,()f x 的最小值为(2)1ln 2f k a =++; 当01a <<时,()f x 的最小值为22ln f k a a a a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求导研究函数单调性，分类讨论极值点与边界点2的大小关系，分1a ≥，01a <<两种情况讨论即得解；（2）转化121222ln ln x x x x +=+为12(1)ln t x t t -=，其中21(1)x t t x =>，则 122142ln ln x x t t t t ⎛⎫+-=⋅-- ⎪⎝⎭，证明1()2ln 0g t t t t =-->即得证.【详解】（1）定义域2222(0,)()a ax f x x x x '-+∞=-=, 由()0f x '>时,2,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭;()0f x '<时,20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭若22a…即1a ≥时,()f x 在[2,)+∞上单调递增,故()f x 在[2,)+∞的最小值为(2)1ln 2f k a =++;当01a <<时,()f x 在22,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减,在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单递增,故()f x 在[2,)+∞的最小值为22ln f k a a a a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭综上,当1a ≥时,()f x 在[2,)+∞上的最小值为(2)1ln 2f k a =++;当01a <<时,()f x 在[2,)+∞的最小值为22ln f k a a a a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）当1a =时,不妨设120x x <<,()1112ln 0f x k x x =++=,()2222ln 0f x k x x =++=,得 121222ln ln x x x x +=+,故()212212112ln ln ln x x xx x x x x -=-= 令21(1)x t t x =>,则12(1)ln t t tx -=,12(1)ln t x t t-=, 所以()21221(1)ln t x x x t t t-+=+=,故()2122121442ln ln ln t x xt t t tt t -⎛⎫+-=-=⋅-- ⎪⎝⎭, 令1()2ln g t t t t=--,而22212(1)()10t g t t t t'-=+-=>,所以()g t 在(1,)+∞上单调递增 又1t >,所以()(1)0g t g >=,而0lnt >,故124x x +>【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算的能力，属于较难题.22.已知在极坐标系中,直线l的极坐标方程为cos 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0ρθθ-=.以极点为原点极轴为x 轴正半轴,建立平面直角坐标系.（1）写出直线l 和曲线C 的直角坐标方程;（2）已知过点()2,0M 且与直线l 平行的直线与曲线C 交于P ,Q 两点,求22||||MP MQ +的值.【答案】（1）:l y =2C :2y x =.（2）1129 【解析】【分析】（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，即得解直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）表示直线l 的参数方程与圆联立，利用t 的几何意义，222212||||MP MQ t t +=+，借助韦达定理即得解.【详解】（1）由于1cos cos sin 62πρθρθρθ⎛⎫+=-⋅= ⎪⎝⎭由于cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩:l y ∴=; 222sin 2cos 0sin 2cos 0ρθθρθρθ-=∴-=Q2C :2y x ∴=（2）设过点(2,0)M 且与直线l平行的直线的参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)由212222t t ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得234160t t --= 设P ,Q 两点分别对应的参数为12,t t 则121243163t t t t ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩∴()22222121212112||||29MP MQ t t t t t t +=+=+-= 【点睛】本题考查了极坐标，参数方程综合，考查了极坐标与直角坐标互化，参数方程的几何意义，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.23.已知函数()|1||21|f x x x =++-.（1）解不等式()2f x >;（2）若()2f x ax a -+…恒成立,求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2(,0),3⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭.（2）73,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】（1）将f (x )分段表示，分段求解不等式即可；（2）令()2(1)2g x ax a a x =-+=+-,表示过定点()1,2--的一条直线,数形结合即得解a 的范围. 【详解】（1）3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-⎨⎪⎪>⎪⎩剟 当1x <-时原不等式可化为32x ->,解得23x <-,解集为{|1}x x <- 当112x -剟时,原不等式可化为22x -+>,解得0x <,解集为{|10}x x -<„ 当12x >时,原不等式可化为32x >,解得23x >,解集为2|3x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ 综上所述,原不等式得解集为2(,0),3⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭ （2）令()2(1)2g x ax a a x =-+=+-,表示过定点()1,2--的一条直线,分别作出()y f x =,()y g x =的图象如下:由图象可知,7 33a-剟∴a的取值范围是7 3,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解和恒成立问题，考查了学生综合分析，分类讨论，数形结合的能力，属于中档题.。
新疆2019届高三第三次诊断性测试数学(理)试卷【附解析】
2019年高三年级第三次诊断性测试理科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意得，，，然后利用数轴可以得出.【详解】解：因为，所以，，又因为，所以，故选B。
【点睛】本题考查了集合的交集运算，将集合中变量的范围具体解析出来是解题的前提，属于简单题。
2.若复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据，求出，然后根据复数模的公式求出。
【详解】解：因为复数满足所以所以，故选A。
【点睛】本题考查了复数的四则运算和复数模的运算，求解复数模的前提是将复数表示为的标准形式，然后根据模的公式求解。
3.若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是（）A. 在圆上B. 在圆外C. 在圆内D. 以上都有可能【答案】B【解析】【分析】直线与圆有两个公共点，可得，即为，由此可得点与圆的位置关系。
【详解】解：因为直线与圆有两个公共点，所以有，即，因为点与圆心的距离为，圆的半径为1，所以点在圆外，故选B。
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系的判断方法有：1.圆心到直线的距离与半径做比较；2.联立直线与圆的方程，根据方程组根的个数进行判断。
4.如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三视图可以得到原几何体为三棱锥，且是有三条棱互相垂直的三棱锥，根据几何体的各面面积可得最大面的面积。
【详解】解：分析题意可知，如下图所示，该几何体为一个正方体中的三棱锥，最大面的表面边长为的等边三角形，故其面积为，故选B。
【点睛】本题考查了几何体的三视图问题，解题的关键是要能由三视图解析出原几何体，从而解决问题。
5.函数（其中）的图像如图所示，为了得到的图像，只需把的图像上所有点（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】C【解析】【分析】根据题目中的图象求解出周期，得出的值，再将点代入函数解析式，求出的值，然后根据图象变换规则得出答案。
2019届新疆维吾尔自治区高三第三次毕业诊断及模拟测试数学(理)试题(解析版)
2019届新疆维吾尔自治区高三第三次毕业诊断及模拟测试数学（理）试题一、单选题 1．1i1i-=+( ) A ．i B ．-iC ．0D ．1【答案】B【解析】利用复数的除法运算，即得解. 【详解】 化简：1(1)(1)21(1)(1)2i i i ii i i i ----===-++- 故选：B 【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 2．已知集合{|20}A x x =->,集合{1,2,3,4}B =,那么集合A B =I ( ) A ．[2,4] B ．[3,4]C ．{}2,3,4D ．{}3,4【答案】D【解析】由交集的定义即得解. 【详解】集合{|20}A x x =->,集合{1,2,3,4}B =,由交集的定义：A B =I {}3,4故选：D 【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.3．双曲线221916x y -=的离心率为（ ）A ．B C ．54D ．53【答案】D【解析】由双曲线221916x y -=，求得223,4,5a b c a b ===+=，再由离心率的公式，即可求解． 【详解】由双曲线221916x y -=，可得229,16a b ==，则223,5a c a b ==+=，所以双曲线的离心率为53c e a ==，故选D ． 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质求解，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．已知数列{}n a 是等差数列,3728a a +=,其前5项和540S =,则4a 为( ) A ．14 B ．15C ．11D ．24【答案】C【解析】由等差中项，可求得3752a a a +=，前n 项和公式155()52a a S +⨯=可求得1a ，514d a a =-可得解d ，即得解.【详解】数列{}n a 是等差数列,375522814a a a a +==∴=,1551()54022a a S a +⨯==∴=514123d a a d ∴=-=∴= 4132911a a d ∴=+=+=故选：C 【点睛】本题考查了等差数列的性质及前n 项和，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.5．运行如图所示的程序框图若输出的s 的值为55则在内应填入( )A ．8i >？B ．9i >？C ．10i >？D ．11i >？【答案】C【解析】根据程序框图的循环条件，依次计算，即得解 【详解】初始：1,0i s == ；011,12s i i =+==+=，不满足条件；123,13s i i =+==+=，不满足条件； 336,14s i i =+==+=，不满足条件；6410,15s i i =+==+=，不满足条件； 10515,16s i i =+==+=，不满足条件；15621,17s i i =+==+=，不满足条件； 21628,18s i i =+==+=，不满足条件；28836,19s i i =+==+=，不满足条件； 36945,110s i i =+==+=，不满足条件；451055,111s i i =+==+=，满足输出条件； 故选：C 【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，考查了学生逻辑推理，数学运算能力，属于中档题. 6．函数sin 2()cos 1xf x x =-图象可能为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由函数定义域{|2,}x x k k Z π≠∈，函数为奇函数，()=0f π，结合分析即得解. 【详解】函数定义域：cos 12,x x k k Z π≠∴≠∈，在0x =无定义，排除C ， 由于sin(2)sin 2()()cos()1cos 1x xf x f x x x ---===----，故函数为奇函数，关于原点对称，排除B ， 且sin 2()=0cos 1f πππ=-，故排除D故选：A 【点睛】本题考查了由函数解析式研究函数性质辨别函数图像，考查了学生综合分析，数形结合的能力，属于中档题. 7．已知2sin 410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 2α的值为( ) A ．2425-B ．2425C ．125D ．125-【答案】B【解析】利用诱导公式，以及二倍角公式sin 2cos[2()]4παα=-212sin ()4πα=--，即得解. 【详解】由诱导公式：sin 2sin[2()+]cos[2()]424πππααα=-=-，再由二倍角公式：2cos[2()]12sin ()44ππαα-=--=2425 故选：B【点睛】本题考查了诱导公式，二倍角公式综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.8．已知等比数列{}n a 的各项均为正数,且313239log log log 9a a a ++⋯+=,则3746a a a a +=( )A ．6B ．9C ．18D ．81【答案】C【解析】由对数运算律：31323935log log log 9log a a a a ++⋯+=，可得解5a ，由等比中项的性质，22374655a a a a a a +=+，即得解.【详解】由于931323931293535log log log log ...log 9log 9a a a a a a a a ++⋯+====355log 13a a ∴=∴=由等比中项的性质，2237465518a a a a a a ∴+=+=故选：C 【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.9．若()52a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的常数项等于-80，则a =（ ）A ．-2B ．2C ．-4D ．4【答案】A【解析】用5()a x x-展开式中的常数项（此式中没有此项）乘以2加上5()a x x-展开式中的1x -系数乘以1即得已知式展开式的常数项． 【详解】由题意3325(1)80C a ⨯-=-，解得2a =-．故选A ．【点睛】本题考查二项式定理，解题关键是掌握二项展开式的通项公式，同时掌握多项式乘法法则．10．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F 准线为1,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点,且Q 位于第四象限,过Q 作l 的垂线QE ,垂足为E ,若PF 的倾斜角为60°,则PQE V 的面积是( ) A ．839B ．43C ．89D ．49【答案】A【解析】表示PF 方程为3(1)y x =-,与抛物线方程联立，求解Q 点坐标，求解PQE V 面积. 【详解】由已知条件抛物线的准线为1x =-，焦点为(1,0)F , 直线PF 倾斜角为60°,故斜率3k =3(1)y x =-代入抛物线方程可得：223(1)431030x x x x -=∴-+= 解得：1213,3x x ==由于Q 在第四象限123((1,3)3Q P -∴--142383(2323QEF S ∆∴=⨯⨯=故选：A 【点睛】本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 11．某几何体的三视图如图所示,网格纸上的小正方形边长为1,则此几何体的外接球的表面积为( )A ．32548πB ．32516πC ．894πD ．8912π【答案】B【解析】由三视图可还原得到三棱锥，三棱锥可放在如图底面边长为2，侧棱长为4的正四棱柱中，E ，F 为棱中点，设O 为三棱锥外接球的球心，12,Q Q 分别为点Q 在平面ABCD ，平面ECD 的投影.由于,CDF CDE ∆∆都为等腰三角形，故12,Q Q 分别在中线FG ，EG 上.构造直角三角形可求解得到12,O D O D ，结合22211R OO O D =+即得解. 【详解】由题设中的三视图，可得该几何体为如下图所示的三棱锥E CDF -，放在底面边长为2，侧棱长为4的正四棱柱中，E ，F 为棱中点，取G 为CD 中点，连接GF ，GE .设O 为三棱锥外接球的球心，12,O O 分别为点O 在平面ABCD ，平面ECD 的投影.由于,CDF CDE ∆∆都为等腰三角形，故12,O O 分别在中线FG ，EG 上.由于11O D O F =，在1Rt O GD ∆中， 设2221155(2)144O D x x x x O D =∴=-+∴=∴=； 同理在2Rt O GD ∆中，设222221717(4)188O D y y y y O D =∴=-+∴=∴=，221715488O G FG O E ∴=-=-= 外接球半径222222112132564R OD OO O D O G O D ==+=+=故外接球的表面积2325416S R ππ== 故选：B 【点睛】本题考查了三视图和三棱锥的外接球，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.12．已知函数()1f x kx =+,()1(11)x g x e x =+-剟,若()f x 与()g x 的图象上分别存在点M ,N ,使得点M ,N 关于直线1y =对称,则实数k 的取值范围是( ) A ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,e e⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[,)e -+?D ．1(,],e e ⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】由题意()f x 与()g x 的图象上分别存在点M ,N ,使得点M ,N 关于直线1y =对称，即112x kx e +++=，等价于x e kx =-，数形结合求解. 【详解】由于()f x 与()g x 的图象上分别存在点M ,N ,使得点M ,N 关于直线1y =对称,则112x kx e +++=，即x e kx =-所以指数函数xy e =与y kx =-在11x -剟恒有交点当直线y kx =-与x y e =相切时，由于'x y e =，设切点000(,),x xx e k e = 此时切线方程：000(),x x y ee x x -=-过（0，0）因此：01,x k e =∴=数形结合可知：k e ≥或k 0<时，xy e =与y kx =-有交点又要求在11x -剟恒有交点， 由图像，当1x =时，1k e =，当1x =-时，k e =- 综上：解得x ∈1(,],e e⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭故选：D 【点睛】本题考查了函数的对称性问题，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算能力，属于较难题.二、填空题13．已知向量(1,)a m =r ,(2,3)b =-r ,且//a b r r,则m =________.【答案】32-【解析】由向量平行的坐标表示，计算即得解. 【详解】由于向量(1,)a m =r ,(2,3)b =-r ,且//a b r r,由向量平行的坐标表示，1320m m ⨯+=∴=32-故答案为：32-【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.14．若实数x ，y 满足00320x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =-+的最小值为______.【答案】-3【解析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，代入即可求解． 【详解】由题意，画出不等式组所表示的平面区域，如图所示， 目标函数2z x y =-+，可化为直线2y x z =+，直线2y x z =+过点A 时，此时直线在y 轴上的截距最小，目标函数取得最小值，又由0320x y x y +=⎧⎨+-=⎩，解得(1,1)A -，所以目标函数的最小值为2113z =-⨯-=-．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．15．如图所示,满足00x e y e ⎧⎨⎩剟剟的点(x ,y )围成的区域记为A ,区城A 内的两条曲线分别为函数()xf x e =,()lng x x =图象的部分曲线,若向区域A 内随机投掷一个质点,则质点落在阴影部分的概率为________.【答案】221e -【解析】利用定积分可求解区域中非阴影部分面积为1'1x S e e dx =-=⎰，利用割补法即得2'S S S =-阴影正方形，再利用面积比即得解. 【详解】不妨设()xf x e =与y e =交点为A ，则(1,)A e ，()lng x x =与x 轴交点为B ，则(1,0)B ；曲线()xf x e =在1x e ≤≤与x 轴所围的曲边梯形面积：101xS e dx e ==-⎰故()xf x e =在1y e ≤≤与y 轴所围的曲边梯形面积：10'1xS e e dx =-=⎰由于()xf x e =，()lng x x =互为反函数，图像关于y =x 对称， 因此图象中两块非阴影部分面积相等， 因此22'2S S S e =-=-阴影正方形故：若向区域A 内随机投掷一个质点,则质点落在阴影部分的概率为：222S e P S e -===阴影正方形221e-故答案为：221e - 【点睛】本题考查了定积分与几何概型综合，考查了学生数形集合，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.16．已知长方体1111ABCD A B C D -，1AB BC ==，12AA =，在1A B 上取一点M ，在1D C 上取一点N ，使得直线//MN 平面11A ACC ，则线段MN 的最小值为___________. 【答案】23【解析】作1MM AB ⊥于点1M ，作1NN BC ⊥于点1N ，则11//M N AC ．设11BM BN x ==，则12MM x =，122NN x =-，由此能求出MN 的最小值．【详解】解：作1MM AB ⊥于点1M ，作1NN BC ⊥于点1N ，Q 线段MN 平行于对角面11A ACC ，11//M N AC ∴．设11BM BN x ==，则12MM x =，122NN x =-， 在直角梯形11MNN M 中，222244(2)(24)1899MN x x x ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，∴当49x =时，MN 的最小值为23． 故答案为：23．【点睛】本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查推理论论能力、空间想象能力，属于中档题．三、解答题17．已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos b C c B a A +=.（1）求A ；（2）若ABC ∆的周长为3，求a 的最小值. 【答案】（1）3A π=；（2）1.【解析】（1）由正弦定理把条件cos cos 2cos b C c B a A +=转化为角的关系，再由两角和的正弦公式及诱导公式得A 的关系式，从而可得结论.（2）由余弦定理并代入3()a b c =-+可得()369bc b c =+-，结合基本不等式可得b c +的范围，从而得出a 的最小值及此时,b c 取值.【详解】（1）由已知及正弦定理得sin cos cos sin 2sin cos B C B C A A +=， 即()sin 2sin cos B C A A +=， ∵()()sin sin sin B C A A π+=-=， ∴1cos 2A =. 又∵()0,A π∈，∴3A π=.（2）∵()2222221cos 222b c bc a b c a A bc bc+--+-===， 化简得()()223*bc b c a =+-， ∵3a b c ++=，∴()3a b c =-+， 代入()*式得()369bc b c =+-，∵22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()23694b c b c +-≤+，即()()28120b c b c +-++≥， 解得2b c +≤或6b c +≥（舍），当且仅当b c =时取“=”.∴()31a b c =-+≥，即a 的最小值为1，此时1b c ==，且ABC ∆为正三角形. 【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理，考查基本不等式的应用，解题时要注意边角关系的转化.求“角”时，常常把已知转化为角的关系，求“边”时，常常把条件转化为边的关系式，然后再进行转化变形.18．某校高三共有1000位学生,为了分析某次的数学考试成绩,采取随机抽样的方法抽取了200位高三学生的成绩进行统计分析得到如图所示频率分布直方图:（1）计算这些学生成绩的平均值x 及样本方差2s (同组的数据用该组区间的中点值代替);（2）由频率分布直方图认为,这次成绩X 近似服从正态分布()2,N μσ,其中μ近似为样本平均数x ,2σ近似为样本方差2s . (i)求(80.8119.2)P X <<;(ii)从高三学生中抽取10位学生进行面批,记ξ表示这10位学生成绩在80.8,119.2（）的人数,利用(i)的结果,求数学期望()E ξ.附 4.8≈; 若()2~,X Nμσ,则()0.6826P X μσμσ-<<+=,(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.【答案】（1）100x =,2368s =.（2）(i)0.6826(ii)6.826【解析】（1）由频率分布直方图以及平均值x 及样本方差2s 的定义即得解； （2）（i ）借助()0.6826P X μσμσ-<<+=可得解； （ii ）根据二项分布的期望公式可得解. 【详解】（1）由频率分布直方图知:0.06600.23800.411000.251200.05140100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=222220.06(60100)0.23(80100)0.41(100100)0.25(120100)0.05s =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+2(140100)368⨯-=（2）(i )由（1）知,~(100,368)X N ∴236819.2σσ=⇒=== ∴(80.8119.2)(10019.210019.2)0.6826P X P X <<=-<<+= (ii )由题意知~(10,0.6826)B ξ ∴()100.6826 6.826E ξ=⨯= 【点睛】本题考查了概率统计综合，考查了学生数据处理，概念理解，数学运算能力，属于中档题.19．如图1,在梯形ABCD 中,//AB CD ,3AB =,6CD =,过A ,B 分别作CD 的垂线,垂足分别为E ,F ,已知1DE =,3AE =,将梯形ABCD 沿AE ,BF 同侧折起,使得平面ADE ⊥平面ABFE ,平面//ADE 平面BCF ,得到图2.（1）证明://BE 平面ACD ; （2）求二面角C AD F --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析.（2）911【解析】（1）设AF BE O =I ,取AC 中点M ,连接OM ，DM ，可证明四边形DEOM 为平行四边形 可得//DM OE ，即得证；（2）建立如图空间直角坐标系，求解平面ADF ，平面ADC 的法向量，由二面角的向量公式即得解. 【详解】（1）设AF BE O =I ,取AC 中点M ,连接OM ，DM四边形ABFE 为正方形 ∴为AF 中点 ∵M 为AC 中点 ∴1//2OM CF ∵平面ADE ⊥平面ABFE 平面ADE I 平面ABFE AE =DE AE ⊥DE ∴⊥平面ABFE DE ⊂平面ADE又∵平面//ADE 平面BCF∴平面BCF ⊥平面ABFE 同理,CF ⊥平面ABFE 又∵1DE =,2FC = ∴1//2DE CF ∴//OM DE∴四边形DEOM 为平行四边形 ∴//DM OE ∵DM ⊂平面ADC ,BE ⊄平面ADC ∴//BE 平面ADC（2）由题意EA ，EF ，ED 两两垂直，以EA 为x 轴,EF 为y 轴,ED 为z 轴建立空间直角坐标系E xyz -∴0,0,1D （）,3,0,0A （）,0,3,0F （）,0,3,2C （）设平面ADF 的法向量为()1111,,n x y z =u r∵(3,0,1)DA =-u u u r ,(0,3,1)DF =-u u u r∴11113030x z y z -=⎧⎨-=⎩∴1(1,1,3)n =u r设平面ADC 的法向量为()2222,,n x y z =u u r∵(0,3,1)DC =u u u r∴22223030x z y z -=⎧⎨+=⎩∴2(1,1,3)n =-u u r设二面角C AD F --的平面角为θ,由图像得θ为锐角，∴1212129cos |cos ,||||11|||n n n n n n θ==⋅=r rr rr r 【点睛】本题考查了立体几何和空间向量综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算能力，属于中档题.20．已知点()1,0F ，动点P 到直线2x =的距离与动点P 到点F. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作任一直线交曲线C 于A ,B 两点，过点F 作AB 的垂线交直线2x =于点N ；求证：ON 平分线段AB .【答案】（1）2212x y +=.（2）证明见解析【解析】（1）设(,)P x y=（2）设AB 的直线方程为1x my =+，与椭圆联立得到M 点坐标，表示直线ON 方程，验证M 在ON 上即可. 【详解】（1）设(,)P x y ,=化简得2212x y +=（2）设AB 的直线方程为1x my =+ 则NF 的直线方程为(1)y m x =--联立(1)2y m x x =--⎧⎨=⎩得(2,)N m -∴直线ON 的方程为2m y x =-联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210m y my ++-= 设()11,A x y ,()22,B x y ,则12222my y m +=-+设AB 的中点为()00,M x y ,则120222y y my m +==-+ ∴002212x my m =+=+∴222,22m M m m ⎛⎫-⎪++⎝⎭将点M 坐标代入直线ON 的方程222222m my m m =-⋅=-++ ∴点M 在直线ON 上 ∴点M 平分线段AB 【点睛】本题考查了直线和圆锥曲线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.21．已知函数2()ln f x k a x x=++(,k a R ∈且0a >). （1）求()f x 在[2,)+∞上的最小值;（2）若1a =,函数()f x 恰有两个不同的零点12,x x ,求证:124x x +>. 【答案】（1）当1a ≥时,()f x 的最小值为(2)1ln 2f k a =++; 当01a <<时,()f x 的最小值为22ln f k a a a a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）答案见解析【解析】（1）求导研究函数单调性，分类讨论极值点与边界点2的大小关系，分1a ≥，01a <<两种情况讨论即得解；（2）转化121222ln ln x x x x +=+为12(1)ln t x t t -=，其中21(1)x t t x =>，则 122142ln ln x x t t t t ⎛⎫+-=⋅-- ⎪⎝⎭，证明1()2ln 0g t t t t =-->即得证. 【详解】（1）定义域2222(0,)()a ax f x x x x '-+∞=-=, 由()0f x '>时,2,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭;()0f x '<时,20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭若22a…即1a ≥时,()f x 在[2,)+∞上单调递增,故()f x 在[2,)+∞的最小值为(2)1ln 2f k a =++;当01a <<时,()f x 在22,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减,在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单递增,故()f x 在[2,)+∞的最小值为22ln f k a a a a ⎛⎫=++⎪⎝⎭综上,当1a ≥时,()f x 在[2,)+∞上的最小值为(2)1ln 2f k a =++;当01a <<时,()f x 在[2,)+∞的最小值为22ln f k a a a a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）当1a =时,不妨设120x x <<,()1112ln 0f x k x x =++=,()2222ln 0f x k x x =++=,得 121222ln ln x x x x +=+,故()212212112ln ln ln x x xx x x x x -=-= 令21(1)x t t x =>,则12(1)ln t t tx -=,12(1)ln t x t t-=, 所以()21221(1)ln t x x x t t t-+=+=,故()2122121442ln ln ln t x xt t t tt t -⎛⎫+-=-=⋅-- ⎪⎝⎭, 令1()2ln g t t t t=--,而22212(1)()10t g t t t t'-=+-=>,所以()g t 在(1,)+∞上单调递增 又1t >,所以()(1)0g t g >=,而0lnt >,故124x x +> 【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算的能力，属于较难题.22．已知在极坐标系中,直线l的极坐标方程为cos 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0ρθθ-=.以极点为原点极轴为x 轴正半轴,建立平面直角坐标系. （1）写出直线l 和曲线C 的直角坐标方程;（2）已知过点()2,0M 且与直线l 平行的直线与曲线C 交于P ,Q 两点,求22||||MP MQ +的值.【答案】（1）:l y =;2C :2y x =.（2）1129【解析】（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，即得解直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）表示直线l 的参数方程与圆联立，利用t 的几何意义，222212||||MP MQ t t +=+，借助韦达定理即得解.【详解】（1）由于1cos cos sin 62πρθρθρθ⎛⎫+=-⋅= ⎪⎝⎭由于cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩:l y ∴=;222sin 2cos 0sin 2cos 0ρθθρθρθ-=∴-=Q2C :2y x ∴=（2）设过点(2,0)M 且与直线l平行的直线的参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)由212222t ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得234160t t --= 设P ,Q 两点分别对应的参数为12,t t则121243163t t t t ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩∴()22222121212112||||29MP MQ t t t t t t +=+=+-=【点睛】本题考查了极坐标，参数方程综合，考查了极坐标与直角坐标互化，参数方程的几何意义，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 23．已知函数()|1||21|f x x x =++-. （1）解不等式()2f x >;（2）若()2f x ax a -+…恒成立,求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2(,0),3⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭.（2）73,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】（1）将f (x )分段表示，分段求解不等式即可；（2）令()2(1)2g x ax a a x =-+=+-,表示过定点()1,2--的一条直线,数形结合即得解a 的范围. 【详解】（1）3,11 ()2,1213,2x xf x x xx x⎧⎪-<-⎪⎪=-+-⎨⎪⎪>⎪⎩剟当1x<-时原不等式可化为32x->,解得23x<-,解集为{|1}x x<-当112x-剟时,原不等式可化为22x-+>,解得0x<,解集为{|10}x x-<…当12x>时,原不等式可化为32x>,解得23x>,解集为2|3x x⎧⎫>⎨⎬⎩⎭综上所述,原不等式得解集为2(,0),3⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭（2）令()2(1)2g x ax a a x=-+=+-,表示过定点()1,2--的一条直线,分别作出()y f x=,()y g x=的图象如下:由图象可知,733a-剟∴a的取值范围是73,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解和恒成立问题，考查了学生综合分析，分类讨论，数形结合的能力，属于中档题.第 21 页共 21 页。
新疆乌鲁木齐地区2019届高三第三次质量检测数学(理)试题 Word版含解析
乌鲁木齐地区2019年高三年级第三次质量监测理科数学（问卷）（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}20A x x x =->，{}22B x x =-<<，则( )A. A B =∅IB. A B R =UC. A B ⊆D. B A ⊆【答案】B 【解析】 【分析】算出A 后可得它们的关系.【详解】{}()()20,01,A x x x =->=-∞⋃+∞，故A B R =U ，选B .【点睛】本题考查集合的运算及关系，属于基础题. 2.若121aii i+=-- (其中i 是虚数单位)，则实数a =( ) A. -3 B. -1C. 1D. 3【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的四则运算可求出实数a 的值. 【详解】因为121aii i+=--，故()()121ai i i +=--，整理得到 3ai i =-，所以3a =-，故选A .【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.3.当01a <<时，在同一平面直角坐标系中，函数x y a -=与log ay x =的图象是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性和图象过的定点，判断出正确选项. 【详解】由于01a <<，所以1xxa y a -=⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递增且过()0,1，log a y x =在()0,∞+上递减且过()1,0.所以C 选项符合. 故选：C【点睛】本小题主要考查指数函数、对数函数的图像判断，属于基础题. 4.已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，以下四个命题①若//αβ，则l m ⊥；②若αβ⊥，则//l m ；③若//l m ，则αβ⊥；④若l m ⊥，则//αβ中正确的两个命题是( )A. ①与②B. ③与④C. ②与④D. ①与③【答案】D 【解析】 【分析】由线面垂直的性质及面面垂直判断可判断①和③正确，通过列举反例得②和④错误. 【详解】对于①，因为直线l ⊥平面α，//αβ，所以直线l ⊥平面β，因直线m ⊂平面β，所以l m ⊥，故①正确；对于②，l 与m 异面、平行或相交，故②错误；对于③，因为直线l ⊥平面α，//l m ，所以m α⊥，而m β⊂，所以αβ⊥，所以③正确； 对于④，当直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，l m ⊥时，α、β平行或相交，故④错误， 综上，①与③正确，故选D.【点睛】本题考查空间中点线面的位置关系，属于基础题.解决这类问题时注意动态地考虑不同的位置关系，这样才能判断所给的命题的真假. 5.611(1)x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（ ） A. -7 B. -5C. 5D. 7【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，求得题目所求展开式中的常数项. 【详解】根据二项式展开式的通项公式可知，611(1)x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是()016611165C C ⨯+-⨯=-=-.故选：B【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式的应用，属于基础题. 6.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37S =，663S =，则9S =（ ） A. 255 B. 511 C. 512 D. 567【答案】B 【解析】 【分析】根据36396,,S S S S S --也成等比数列列方程，解方程求得9S 的值.【详解】依题意6363756S S -=-=，而数列{}n a 是等比数列，所以36396,,S S S S S --也成等比数列，故()()263396S S S S S -=⋅-，即()2956763S =⨯-，解得9511S =.故选：B【点睛】本小题主要考查等比数列前n 项和的性质，属于基础题. 7.在下列区间中，函数()34x f x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 11,42⎛⎫⎪⎝⎭C. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】利用零点存在性定理，结合函数的单调性，判断出正确选项.【详解】依题意()34xf x e x =+-为R 上的增函数，且()150,11022f e f e ⎛⎫=-<=->⎪⎝⎭，所以()f x 的零点在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本小题主要考查零点存在性定理的应用，属于基础题. 8.将函数()f x 的图像上的所有点向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图像，若()()sin g x A x ωϕ=+0,0,2πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭A 的部分图像如图所示，则函数()f x 的解析式为 A. ()5sin 12f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. ()2cos 23f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭ C. ()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. ()7sin 212f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据图象求出A ，ω和φ的值，得到g （x ）的解析式，然后将g （x ）图象上的所有点向左平移π4个单位长度得到f （x ）的图象． 【详解】由图象知A ＝1，T π23=-（π6-）π2=，即函数的周期T ＝π，则2πω=π，得ω＝2， 即g （x ）＝sin （2x+φ），由五点对应法得2π3⨯+φ＝2k π+π，k πZ,φ2∈<Q ,得φπ3=， 则g （x ）＝sin （2x π3+），将g （x ）图象上的所有点向左平移π4个单位长度得到f （x ）的图象，即f （x ）＝sin[2（x π4+）π3+]＝sin （2x ππ32++）=πcos 2x 3⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 故选C ．【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，结合图象求出A ，ω和φ的值以及利用三角函数的图象变换关系是解决本题的关键．9.正方体的全面积是2a ，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（ ） A.23a π B.22a πC. 22a πD. 23a π【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体的全面积求得边长，由此求得体对角线长，也即外接球的直径，由此求得外接球的半径，进而求得外接球的表面积.【详解】设正方体的边长为x ，则226x a =，所以226a x =，x =，所以正方体的体对==，所以正方体外接球的半径为，球的表面积为2242a ππ⎫⨯=⎪⎪⎭. 故选：B【点睛】本小题主要考查正方体表面积有关计算，考查正方体外接球表面积的求法，属于基础题.10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为:设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数,例如: []2.13-=-,[]3.13=，已知函数123()12x x f x ++=+,则函数[]()y f x =的值域为( ) A. 1(,3)2B. {}0,1C. {}0,1,2D.{}0,1,2,3【答案】C 【解析】 【分析】先求()f x 的值域，再根据高斯函数的定义求()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域. 【详解】()f x 的定义域为R ，()()11111521231522121212122x xx x x f x +++++++===++++g ， 因为120x +>，所以150211522x +<+<g ，所以()f x 的值域为1,32⎛⎫⎪⎝⎭，所以()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为{}0,1,2，故选C . 【点睛】函数值域的求法，大致有两类基本的方法：（1）利用函数的单调性，此时需要利用代数变形把函数的单调性归结为一个基本初等函数的单调性，代数变形的手段有分离常数、平方、开方或分子（或分母）有理化等.（2）利用导数讨论函数的性质，从而得到函数的值域.11.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ,直线l 过焦点F 与抛物线C 分别交于A ，B 两点，且直线l 不与x 轴垂直，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点(100)P ，，则AOB ∆的面积为( )A.B.C.D. 【答案】C 【解析】 【分析】设直线:2l x ty =+，联立直线方程和抛物线方程可求得中垂线的方程，再利用P 的坐标求出t ，最后算出AB 的长和O 到AB 的距离后可得所求的面积.【详解】设直线:2l x ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，则由282y x x ty ⎧=⎨=+⎩可以得到28160y ty --=，所以AB 的中点()242,4M t t +，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点()100P ，，故0t ≠. 所以AB 的中垂线的方程为：()21124248y x t t x t t t t=---+=-++g ， 令0y =可得282x t =+，解方程21082t =+得1t =±.此时1216AB y y =-==，O 到AB的距离为d ==1162OAB S ∆=⨯=故选C .【点睛】直线与圆锥曲线相交时的产生的对称问题，应利用两个几何性质来构造不同变量之间的关系，这个两个几何性质就是中点和垂直.12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x <时，()(1)x f x e x =+.给出下列命题: ①当0x >时()(1)xf x e x -=-； ②函数()f x 有三个零点；③()0f x >的解集为(1,0)(1,)-??；④12,x x R ∀∈都有12()()2f x f x -<.其中正确的命题有( ) A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D 【解析】 【分析】先求出0x <时，()()1xf x e x =+，从而可判断①正确；再根据()(1),00,0(1),0x x e x x f x x e x x -⎧+<⎪==⎨⎪->⎩可求()0f x =及()0f x >的解，从而可判断②③正确，最后依据导数求出函数的值域后可判断④正确.【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x <时，()()1xf x e x =+.所以当0x <时，0x ->，故()()()()11xx f x f x ex x e --=--=--=-，故①正确.所以()(1),00,0(1),0x x e x x f x x e x x -⎧+<⎪==⎨⎪->⎩，当1,0,1x =-时，()0f x =即函数()f x 有三个零点，故②正确.不等式()0f x >等价于0(1)0x x e x <⎧⎨+>⎩或0(1)0x x e x >⎧⎨->⎩，解不等式组可以得10x -<<或1x >，所以解集为()()1,01,-⋃+∞，故③正确. 当0x >时，()()1xf x x e -=-，()()()'12xx x f x ex e x e ---=--=-，当02x <<时，()'0f x >，所以()f x 在()0,2上为增函数； 当2x >时，()'0f x <，所以()f x 在()0,2上为减函数； 所以当0x >时()f x 的取值范围为()21,e--，因为()f x 为R 上的奇函数，故()f x 的值域为()1,1-，故12,x x R ∀∈都有()()122f x f x -<，故④正确. 综上，选D.【点睛】（1）对于奇函数或偶函数，如果知道其一侧的函数解析式，那么我们可以利用()()f x f x =--或()()f x f x =-来求其另一侧的函数的解析式，注意设所求的那一侧的函数的自变量为x .（2）对于偶函数()f x ，其单调性在两侧是相反的，并且()()()f x f x f x ==-，对于奇函数()g x ，其单调性在两侧是相同的．本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题13.x，y满足约束条件10220240x yx yx y--≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则目标函数2z x y=+的最大值__________．【答案】17【解析】【分析】由题意画出可行域，改写目标函数，得到最值【详解】由约束条件可画出可行域为如图所示，目标函数2z x y=+，则目标函数2y x z=-+则当取到点C即10240x yx y--=⎧⎨-+=⎩时65xy=⎧⎨=⎩目标函数有最大值26517z=⨯+=，故目标函数2z x y=+的最大值为17【点睛】本题考查了线性规划，其解题步骤：画出可行域、改写目标函数、由几何意义得到最值，需要掌握解题方法14.在ABC∆中，D为BC的中点，E为AD的中点，F为BE的中点，若AF AB ACλμ=+u u u v u u u v u u u v，则λμ+=__________．【答案】34.【解析】【分析】两次利用中线向量公式可以得到5188AF AB AC=+u u u r u u u r u u u r，从而得到,λμ的值，故可计算λμ+．【详解】因为F为BE的中点，所以11111()22242AF AE AB AD AB AD AB⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，而1()2AD AB AC=+u u u r u u u r u u u r，所以1151()8288AF AB AC AB AB AC =++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以51,88λμ==，故34λμ+=，填34． 【点睛】本题考查向量的线性运算和平面向量基本定理，注意运算过程中利用中线向量公式简化计算．15.已知双曲线2222(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，以F 为圆心，焦距为半径的圆交y 轴正半轴于点M ，线段FM 交双曲线于点P ，且4FM FP =，则双曲线的离心率为________.【答案】13【解析】 【分析】设左焦点为1F ，根据42FM FP c ==，求得FP ，利用余弦定理求得1F P ，结合双曲线的定义以及离心率公式，求得双曲线的离心率.【详解】设左焦点为1F ，双曲线的焦距为2c ，所以2FM c =，由于42FM FP c ==，所以12FP c =.在三角形FMO 中，,2OF c MF c ==，所以60FMO ∠=o .在三角形1F FP 中，由余弦定理得12F P ==.由双曲线的定义得1122a F P FP c =-=，所以双曲线的离心率为22c e a ===故答案为：13【点睛】本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查余弦定理解三角形，属于中档题.16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =,12n n n S a a +=（*n ∈N ），若121(1)nn n n n b a a ++=-, 则数列{}n b 的前n 项和n T =_______________.【答案】(1)11n n --++或2,1,1n n n n n n +⎧-⎪⎪+⎨⎪-⎪+⎩为奇数，为偶数【解析】 由12n n n S a a +=可知1122)n n n S a a n --=≥（，两式相减得1112()n n n n n n n n a a a a a a a a +-+=-=-，因为11a =，所以0n a ≠，12n n a a +=-，构造11()2n n n n a a a a +--+-= ，所以1n n a a --=1， 数列{}n a 是以1为公差，1为首项的等差数列，所以11,()()1n n a n b n n ==-⋅++，1111111(1)()()(1)()223341n n T n n =-+++-+++-++L当n 为偶数时，111n T n =-++ ，当n 为奇数时，111n T n =--+ ，综上所述(1)11n n T n -=-++ ,故填(1)11n n --++或2,1,1n n n n n n +⎧-⎪⎪+⎨⎪-⎪+⎩为奇数，为偶数. 点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前n 项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误．三、解答题：第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2(2)cos 2csin 2Ba b C c -+= （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若4,a b c +==求ABC ∆的面积.【答案】（Ⅰ）3C π=；【解析】 【分析】（Ⅰ）利用降幂公式和正弦定理化简()2222Ba b cosC csinc -+=可得2sin cos sin A C A =，从而得到1cos 2C =即3C π=. （Ⅱ）利用余弦定理得到222122a b c ab +-=，再利用3,7a b c +==可得3ab =，利用面积公式计算即可.【详解】（Ⅰ）因为()2222Ba b cosC csinc -+=， 所以()()2cos 1cos a b C c B c -+-= 即()2cos cos a b C c B -=，由正弦定理得到2sin cos sin cos sin cos A C B C C B -=即 2sin cos sin A C A =，因()0,A π∈，故sin 0A >，所以1cos 2C = ，又()0,C π∈，3C π∴= .（Ⅱ）由（Ⅰ）得由余弦定理的2221cos 22a b c C ab +-== ，所以()227122a b ab ab+--=，整理得3ab =，11333sin 322ABC S ab C ∆∴==⨯⨯=. 【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式. 18.如图，在三棱锥P -ABC 中，12PA PB AC ==，PA PB ⊥，AC ⊥平面P AB ，D ，E 分别是AC ，BC 上的点，且//DE 平面P AB.（1）求证//AB 平面PDE ；（2）若D 为线段AC 中点，求直线PC 与平面PDE 所成角的正弦值. 【答案】（1）详见解析；（2）15【解析】 【分析】（1）根据面面平行的性质定理证得//DE AB ，再利用线面平行的判定定理证得//AB 平面PDE .（2）建立空间直角坐标系，利用直线PC 的方向向量和平面PDE 的法向量，求得线面角的正弦值.【详解】（1）因为//DE 平面PAB ，DE ⊂平面ABC ，平面ABC I 平面PAB AB =，所以//DE AB .因为AB ⊂/平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以//AB 平面PDE . （2）因为平面PAB ⊥平面ABC ，取AB 中点O ，连接,PO OE .因为PA PB =，所以PO AB ⊥，所以PO ⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OE 为y 轴，OP 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系.不妨设2PA =，则4AC =，22AB =，则()0,0,2P ，()2,4,0C -，()()2,2,0,0,2,0D E -，则()()2,4,2,2,0,0PC DE =--=u u u r u u u r ，()0,2,2PE =-u u u r .设平面PDE 的法向量为(),,n x y z =r ，则20220n DE x n PE y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u v v u u u vv ，令1y =，则2z =，所以()0,1,2n =r.设直线PC 与平面PDE 所成角为θ，则15sin 325n PC n PCθ⋅===⨯⋅r u u u r r u u u r .所以直线PC 与平面PDE 所成角的正弦值为15.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查利用空间向量法求线面角，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19.对某校高三年级100名学生的视力情况进行统计（如果两眼视力不同，取较低者统计），得到如图所示的频率分布直方图，已知从这100人中随机抽取1人，其视力在[4.1,4.3)的概率为110.（1）求a ，b 的值；（2）若报考高校A 专业的资格为：任何一眼裸眼视力不低于5.0，已知在[4.9,5.1)中有13的学生裸眼视力不低于5.0.现用分层抽样的方法从[4.9,5.1)和[5.1,5.3)中抽取4名同学，设这4人中有资格（仅考虑视力）考A 专业的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望. 【答案】（1）1,0.5a b ==；（2）分布列见解析，期望值为2. 【解析】 【分析】（1）根据“从这100人中随机抽取1人，其视力在[4.1,4.3)的概率为110”求得b ，根据频率之和为1列方程求得a .（2）首先求得[4.9,5.1)和[5.1,5.3)中分别抽取的人数，再按照分布列的计算方法求得分布列并求得数学期望.【详解】（1）由于“从这100人中随机抽取1人，其视力在[4.1,4.3)的概率为110”所以10.2,0.510b b ==.由()0.250.75 1.750.750.21b a +++++⨯=，解得1a =. （2）[4.9,5.1)和[5.1,5.3)的频率比为()()0.750.2:0.250.23:1⨯⨯=，所以在[4.9,5.1)中抽取3人，在[5.1,5.3)中抽取1人. [4.9,5.1)的人数为1000.750.215⨯⨯=，其中视力5.0以上有11553⨯=人，视力5.0以下有215103⨯=人.[5.1,5.3)的人数为1000.250.25⨯⨯=人.ξ的所有可能取值为1,2,3,4，且()30110553115524191C C C P C C ξ⨯⨯===⨯，()21110553115545291C C C P C C ξ⨯⨯===⨯，()12110553115520391C C C P C C ξ⨯⨯===⨯，()0311055311552491C C C P C C ξ⨯⨯===⨯.所以分布列为所以24452021234291919191E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本小题主要考查补全频率分布直方图，考查分层抽样，考查随机变量分布列和数学期望的计算，属于中档题.20.已知F 是椭圆2212x y +=的右焦点,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点. M 是AB 的中点，直线OM 与直线2x =交于点N . （Ⅰ）求征：0AB FN ⋅=u u u v u u u v；（Ⅱ）求四边形OANB 面积的最小值. 【答案】（Ⅰ）详见解析；. 【解析】 【分析】（Ⅰ）当直线AB 斜率存在时，设出直线的方程，联立直线方程和抛物线方程后可得AB 中点坐标，故可用直线的斜率表示N 的坐标，求出FN 的斜率后可证0AB FN ⋅=u u u v u u u v.注意直线AB 斜率不存在的情形.（Ⅱ）当直线AB 斜率存在时，利用（Ⅰ）的22121222422,1212k k x x x x k k-+==++可以计算OANB S 四边形=OANB S >四边形AB斜率不存在时，OANB S =四边形 故可得OANB S 四边形最小值.【详解】（Ⅰ）当直线AB 斜率不存在时，直銭AB 与x 轴垂直，AB FN ∴⊥，0AB FN ∴⋅=u u u v u u u v, 当直线AB 斜率存在时，设斜率为k ，则直线AB 的方程为()1,0y k x k =-≠， 设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，则1202x x x +=，1202y y y +=， 联立()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()2222124220k x k x k +-+-= 得22121222422,1212k k x x x x k k -+==++，200222,1212k kx y k k-∴==++， 所以直线的方程为2x y k =-，12,N k ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，又()1,0F Q ，1FN k k ∴=-，AB FN ∴⊥，0AB FN ∴⋅=u u u v u u u v；（Ⅱ）当直线AB 斜率不存在时，直线AB 与x 轴垂直，11222OANB S AB ON ∴=⋅==四边形 当直线AB 斜率存在时，OAB NAB OANB S S S =+四边形设点O 到直线AB 的距离为1d ，点N 到直线AB 的距离为2d ，则1d =，2d FN ==，)22112k AB k +==+OAB NAB OANB S S S ∴=+=四边形121122d AB d AB + ()1212AB d d=+)22112k k +=⋅+==>所以四边形OANB 【点睛】圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题. 21.已知函数()1x f x e kx =--. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若存在正数a ，使得0x a <<时，|()|f x x >，求实数k 的取值范围.【答案】（1）0k ≤时，()f x 在R 上递增；0k >时，()f x 在(),ln k -∞上递减，在()ln ,k +∞上递增.（2）0k ≤或2k >. 【解析】 【分析】（1）求得()f x 的导函数()'fx ，将k 分成0k ≤和0k >两种情况，讨论()f x 的单调性.（2）将k 分成0k ≤、01k <≤和1k >三种情况，结合（1）中的结论，化简|()|f x x >，然后利用构造函数法，结合导数，求得实数k 的取值范围. 【详解】（1）()'x fx e k =-.当0k ≤时，()'0f x >，()f x 在R 上递增.当0k >时，令()'0f x =解得ln x k =，当ln x k <时，()'0f x <，当ln x k >时，()'0f x >，所以()f x 在(),ln k -∞上递减，在()ln ,k +∞上递增. （2）|()|1xf x e kx x =-->，①当0k ≤时，()f x 在()0,a 上单调递增，且()00f =，所以()0f x >，所以()()f x f x =，即1x e kx x -->，也即()110xe k x -+->，令()()()()110,xg x e k x x a =-+-∈，则()()'1x g x e k =-+.因为0k ≤，0x a <<，所以11x k e +≤<，所以()'0g x >，所以()g x 在()0,a 上递增，()()00g x g >=，所以存在a ，在()0,a 上|()|f x x >成立.②当01k <≤时，ln 0k ≤，由（1）知()f x 在(),ln k -∞上递减，在()ln ,k +∞上递增，所以()f x 在()0,a 上递增，()00f =，所以()0f x >，所以()()f x f x =，即1x e kx x -->，也即()110xe k x -+->.令()()()()110,xg x e k x x a =-+-∈，则()()'1xg x e k =-+.令()'0g x =，解得()ln 1x k =+，因为01k <≤，所以()ln 10x k =+>，所以()g x 在()()0,ln 1k +上递减，()()00g x g <=，不符合.③当1k >时，ln 0k >.因为()f x 在(),ln k -∞上递减，在()ln ,k +∞上递增，存在a ，()0,x a ∈时，()()00f x f <=，所以()()1x f x f x kx e =-=+-，要使()f x x >，只需1x kx e x +->，即()110xe k x --+<.令()()()()110,xh x e k x x a =--+∈，则()()'1x h x e k =--，令()'0h x =，得()ln 1x k =-.当12k <≤时，()ln 10k -≤，()h x 在()0,a 上递增，()()00h x h >=，不成立.当2k >时，()ln 10k ->，存在a ，使得()h x 在()0,a 上递减，()()00h x h <=，成立.综上所述，0k ≤或2k >.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求解不等式成立时参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.选考题：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为21x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中.曲线C 的极坐标方程为)4πρθ=+.（Ⅰ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 与曲线C 的位置关系，并说明理由.【答案】（Ⅰ）直线l 的普通方程为220x y -+=,曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +-+=；（Ⅱ）相离. 【解析】 【分析】（Ⅰ）消去参数t 后可得直线的普通方程. 把4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭化成22cos 2sin ρρθρθ=-再利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化简后可得曲线C 的直角坐标方程.（Ⅱ）利用圆心到直线的距离可判断直线与曲线的位置关系.【详解】（Ⅰ）消去参数t ，则直线l普通方程为220x y -+=，因为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，故2cos 2sin ρθθ=-即22cos 2sin ρρθρθ=-， 曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +-+=.（Ⅱ）圆心()1,1-到直线220x y -+=的距离d =>，直线l 与曲线C 是相离的位置关系.【点睛】极坐标方程与直角方程的互化，关键是cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，必要时须在给定方程中构造cos ,sin ρθρθ．直线与圆的位置关系可用圆心到直线的距离与半径的大小来判断．23.已知函数()213f x x x =+-- （Ⅰ）求不等式()0f x ≥的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式()3f x x a ≥-+恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）][2,4,3x ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）7a ≤- 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用零点分段讨论可得不等式的解集.（Ⅱ）不等式恒成立等价于2123x x a +--≥，令()2123g x x x =+--，求出()g x 的最小值后可得实数a 的取值范围.【详解】（Ⅰ）()4312133232142x x f x x x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=+--=--≤<⎨⎪⎪--<-⎪⎩当()0f x ≥时，][2,4,3x ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭； （Ⅱ）()3f x x a ≥-+恒成立，即2123x x a +--≥恒成立，令()2123g x x x =+--，则()7314532172x g x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=--≤<⎨⎪⎪-<-⎪⎩，7a ∴≤- 【点睛】解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法、图像法、平方法等，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图像法求解时注意图像的正确刻画．。
2019届新疆高三第三次诊断性测试数学(理)试题(解析版)
2019届新疆高三第三次诊断性测试数学（理）试题一、单选题1．设集合，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，，，然后利用数轴可以得出.【详解】解：因为，所以，，又因为，所以，故选B。
【点睛】本题考查了集合的交集运算，将集合中变量的范围具体解析出来是解题的前提，属于简单题。
2．若复数满足，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据，求出，然后根据复数模的公式求出。
【详解】解：因为复数满足所以所以，故选A。
【点睛】本题考查了复数的四则运算和复数模的运算，求解复数模的前提是将复数表示为的标准形式，然后根据模的公式求解。
3．若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是（）A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都有可能【答案】B【解析】直线与圆有两个公共点，可得，即为，由此可得点与圆的位置关系。
【详解】解：因为直线与圆有两个公共点，所以有，即，因为点与圆心的距离为，圆的半径为1，所以点在圆外，故选B。
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系的判断方法有：1.圆心到直线的距离与半径做比较；2.联立直线与圆的方程，根据方程组根的个数进行判断。
4．如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据三视图可以得到原几何体为三棱锥，且是有三条棱互相垂直的三棱锥，根据几何体的各面面积可得最大面的面积。
【详解】解：分析题意可知，如下图所示，该几何体为一个正方体中的三棱锥，最大面的表面边长为的等边三角形，故其面积为，故选B。
【点睛】本题考查了几何体的三视图问题，解题的关键是要能由三视图解析出原几何体，从而解决问题。
5．函数（其中）的图像如图所示，为了得到的图像，只需把的图像上所有点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】C【解析】根据题目中的图象求解出周期，得出的值，再将点代入函数解析式，求出的值，然后根据图象变换规则得出答案。
新疆2019-2020学年高三年级第三次诊断性测试数学(理)试题(解析版)
2020年高三年级第三次诊断性测试理科数学（问卷）（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1. 本卷分为问卷（4页）和答卷（4页），答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上.2. 答卷前，先将答卷密封线内（或答题卡中的相关信息）的项目填写清楚.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}2|20A x xx =--≤，{}3|log 1B x x =≤，则A B =I （ ）A.[]1,2- B.(]0,1C.(]0,2D.[]1,3【答案】C 【解析】 【分析】先由二次不等式及对数不等式的解法求出集合A 、B ，然后结合集合交集的运算求A B I 即可.【详解】解：解不等式220x x --≤，得12x -≤≤，即[]1,2A =-，解不等式3log 1x ≤，得03x <≤， 即(]0,3B =，则A B =I(]0,2，故选：C.【点睛】本题考查了二次不等式及对数不等式的解法，重点考查了集合交集的运算，属基础题. 2.已知复数z 满足11zi z+=--（其中i 是虚数单位）,则1z +=（ ）A. 1B.C.D. 2【答案】B 【解析】 【分析】先求解z ,再求解1z +即可.【详解】11zi z +=--Q,化简得1z i iz +=-+ 1i i 1iz --∴==--.11z i ∴+=-==故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的运算以及模长的运算等.属于基础题. 3.方程ln 40x x +-=的实根所在的区间为（ ） A. (1,2) B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)【答案】B 【解析】 【分析】 构造函数()ln 4f x x x =+-，考查该函数的单调性，结合零点存在定理得出答案．【详解】构造函数()ln 4f x x x =+-，则该函数在()0,∞+上单调递增，()130f =-<Q ，()2ln 220f =-<，()3ln310f =->，由零点存在定理可知，方程ln 40x x +-=的实根所在区间为()2,3，故选B.【点睛】本题考查零点所在区间，考查零点存在定理的应用，注意零点存在定理所适用的情形，必要时结合单调性来考查，这是解函数零点问题的常用方法，属于基础题． 4.已知4sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2x =（ ） A. 1625-B.1625C. 725-D.725【答案】C 【解析】 【分析】利用平方的方法化简已知条件，由此求得sin 2x 的值.【详解】由4sin 45x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，得4cos 225x x -=， 两边平方并化简得11167sin 2sin 2222525x x -=⇒=-. 故选：C【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题.5.已知l ，m ，n 为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A.l m ⊥，l n ⊥，且,m n α⊂，则l α⊥B. 若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβC. 若m α⊥，m n ⊥，则//n αD. 若//m n ，n α⊥，则m α⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理判断A 是否正确；根据三点是否在平面的同侧来判断选项B 是否正确；根据直线与平面位置关系，来判断C 是否正确；根据平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面，来判断D 是否正确.【详解】对于选项A ，若//m n 时，l 与α不一定垂直， 所以A 错误；对于选项B ，若三点不在平面的同侧，则α与β相交， 所以B 错误；对于选项C ，,m m n α⊥⊥，有可能n ⊂α， 所以C 错误；对于选项D ，根据平行线中的一条垂直于一个平面， 另一条也垂直于这个平面，所以D 正确. 故选:D.【点睛】本题考查命题的真假判断，考查线面平行垂直、面面平行的判定，属于基础题.6. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有 A. 60种 B. 70种C. 75种D. 150种【答案】C 【解析】 试题分析：因,故应选C ．考点：排列数组合数公式及运用．7.把函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到图象上所有点向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象.则下列命题正确的是（ ） A. 函数()gx 在区间,44k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈上单调递减 B. 函数()gx 在区间,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈上单调递增 C. 函数()gx 的图象关于直线2k x =π，()k Z ∈对称 D. 函数()gx 的图象关于点,023k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，()k Z ∈对称 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数图象变换的知识求得()g x 的解析式，再根据()g x 的单调性和对称性对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】把函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍（纵坐标不变）得到sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把得到图象上所有点向右平移6π个单位长度，得到()sin 2sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.由222262k x k πππππ-≤-≤+，解得63k x k ππππ-＃+，所以()gx 的单调递增区间是(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 由3222262k x k πππππ+≤-≤+，解得536k x k ππππ+≤≤+，所以()g x 的单调递增区间是()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 所以A 选项错误，B 选项正确.由262x k πππ-=+，解得()23k x k Z ππ=+∈，即()23k x k Z ππ=+∈是()g x 的对称轴，所以CD 选项错误.故选：B【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数的单调性和对称性，属于中档题.8.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为31.5尺，前九个节气日影长度之和为85.5尺，则谷雨这一天的日影长度（ ） A. 5.5尺 B. 4.5尺C. 3.5尺D. 2.5尺【答案】A 【解析】 【分析】 先设等差数列{}n a ，首项为1a ，公差为d ，根据题意有14713931.5a a a a d ++=+=，9193685.5S a d =+=，然后由两式求解. 【详解】设等差数列{}n a ，首项为1a ，公差为d ，根据题意得14713931.5a a a a d ++=+=， 9193685.5S a d =+=，解得113.5,1a d ==-， 所以918 5.5a a d =+=. 故选：A【点睛】本题主要考查了等差数列的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 9.函数()()2sin ln1f x x x x =⋅+-的大致图象为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数()f x 的奇偶性和特殊范围的函数值，判断出正确选项.【详解】由于210x x +>≥，所以()f x 的定义域为R ，且()()()2sin ln 1f x x x x -=-⋅+22211sin 1x xx xx x x +++=-⋅+-())()122sin ln1sin ln1x x xx x x f x -=-⋅+=⋅+=.所以()f x 为偶函数，所以B,C 选项错误.()22211sin 1x xx xf x x x x++=⋅++2sin 1x x x=⋅++当01x <<时，211201x x ⎧⎪<+<⎨<<⎪⎩21121x x +<22111x x<<++，所以201x x<++，所以2sin 01x x x⋅<++.所以D 选项错误.故选：A【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，考查函数的奇偶性，属于基础题.10.多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其各维对象数总满足一定的数量关系，在三维空间中，多面体欧拉定理可表示为：顶点数＋表面数－棱长数＝2.在数学上，富勒烯的结构都是以正五边形和正六边形面组成的凸多面体，例如富勒烯60C （结构图如图）是单纯用碳原子组成的稳定分子，具有60个顶点和32个面，其中12个为正五边形，20个为正六边形.除60C 外具有封闭笼状结构的富勒烯还可能有28C ，32C ，50C ，70C ，84C ，240C ，540C ，等，则84C 结构含有正六边形的个数为（ ）A. 12B. 24C. 30D. 32【答案】D 【解析】 【分析】利用欧拉定理：顶点数＋表面数－棱长数＝2，即2VF E +-=；与多边形的边数为84C 的棱数建立方程组得解. 【详解】设84C 分子中形状为正五边形和正六边形的面各有x 和y 个，84V =,F x y =+，3842E =锤由欧拉公式2VF E +-= 可得8438422x y ++-锤= 即44x y +=又由多边形的边数可表示84C 的棱数， 即(56)23842x y +?锤 ，即56252x y +=4456252x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得1232x y =⎧⎨=⎩84C 结构含有正六边形的个数为32故选：D【点睛】本题考查欧拉公式2VF E +-=的应用，熟记欧拉公式和欧拉示数()2f p = 是解题关键.11.过双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>右焦点F 的直线l 与C 交于P ，Q 两点，2QP PF =u u u r u u u r ，若0OP FQ ⋅=u u u r u u u r，则C 的离心率为（ ）2B. 27 10【答案】C 【解析】 【分析】设G 是PQ 的中点，结合双曲线的定义和余弦定理，求得,a c 的关系式，由此求得双曲线的离心率. 【详解】设G 是PQ 的中点，设左焦点为1F ，画出图像如下图所示.由于0OP FQ ⋅=u u u r u u u r ，所以OP FQ ⊥.由于2QP PF =u u u r u u u r，所以QG GP PF ==. 由于O 是线段1F F 的中点，所以1//OP FG ，所以1F G FQ ⊥， 所以11F Q F P =. 设PFm =，则QG GP PF m ===，根据双曲线的定义可知11232QF QF a QF m a -=⇒=-，1122PF PF a PF a m -=⇒=+.所以3222m a a m m a -=+⇒=.所以1112,4,4,2,6F F c PF a QF a PF a QF a =====， 设1QFF α∠=，在三角形1PF F 和三角形1QF F 中，由余弦定理得222222441643616cos 222226c a a c a a a c c aα+-+-==⋅⋅⋅⋅， 化简得227c a =，所以7ce a==. 故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，属于综合题. 12.若函数()f x 满足()()()'ln f x x f x x =-，且11f e e⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数()f x （ ）A. 既无极大值又无极小值B. 有极小值无极大值C. 既有极大值又有极小值D. 有极大值无极小值【答案】A 【解析】 【分析】对已知式子进行整理可得()ln f x x x x '⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，从而可知()ln f x x c =+，结合11f e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭可求出()1ln 1f x x e=++，求出导数即可求出极值.【详解】解：因为0x > ，则()()()2ln xf x f x f x x x x x ''-⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，所以()ln f x x c =+，c 为常数， 则111ln 1f c c e e e ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭，所以11c e =+，则()1ln 1f x x e =++，所以()10f x x'==无解，所以函数既无极大值又无极小值. 故选:A.【点睛】本题考查了导数的运算，考查了函数极值的求解.本题的难点是对函数的解析式的求解.本题的关键是对已知式子进行变形整理.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知向量a r为单位向量,()1,1b =r ,且()0a b R λλ-=∈r r ,则λ=______.【答案】【解析】 【分析】根据单位向量模长为1以及向量数乘的性质求解即可.【详解】由题, b a λ=r r,故b a λ=⋅r r ,λ=,故λ.故答案为：【点睛】本题主要考查了向量模长的运算以及向量共线的性质.属于基础题.14.已知等腰直角三角形OAB 的直角顶点O 位于原点，另外两个顶点在抛物线26y x =上，则OAB V 的面积是______. 【答案】36 【解析】 【分析】由抛物线的关于x 轴对称，可得等腰直角三角形的另外两个点关于x 轴对称，求得直线y x =和抛物线点交点，即可得到所求的面积.【详解】由等腰直角三角形的直角顶点在坐标原点，另外两个顶点在抛物线26y x =上， 因为抛物线的关于x 轴对称，可得等腰直角三角形的另外两个点关于x 轴对称， 可设直线y x =，代入抛物线26y x =，即260x x -=，解得0x =或6x =，可得等腰直角三角形的另外两个点为(6,6),(6,6)-，所以等腰直角三角形的面积为21362S =⋅=. 故答案为：36.【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟记抛物线的对称性，转化为直线与抛物线的交点问题是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.15.甲、乙、丙、丁四个人背后有4个号码，赵同学说：甲是2号，乙是3号；钱同学说：丙是2号，乙是4号；孙同学说：丁是2号，丙是3号；李同学说：丁是1号，乙是3号，他们每人都只说对了一半，则丙背后的号码是______. 【答案】3 【解析】 【分析】依据现在知道四个人只对了一半，可用假设法推进推理，若得出矛盾则否定之，若得不出矛盾，则推理正确，即可求解.【详解】假设赵同学说的前半句“甲是2号”是对的，那么后半句“乙是3号”就是错误的， 那么李同学说：“丁是1号”也是对的，那么孙同学说的“丙是3号”也是对的， 钱同学说“丙是2号，乙是4号”中“乙是4号”就是对的，所以甲是2号，乙是4号，丙是3号，丁是1号. 故答案为：3.【点睛】本题主要考查了合情推理的应用，其中解答中牢牢抓住条件“四人都只说对一半”，运用假设法进行推理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力. 16.已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且2123n n S S n n ++=+，若1n n a a +<，则首项1a 的取值范围是______.【答案】15,44⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据2123n n S S n n ++=+和()()2122131n n S S n n +++=+++，化简得到2145n n a n a ++=+-()1n ≥，用该递推关系，得到141n n a n a +=+-，两式相减，得24n n a a +-=()2n ≥，可得数列{}n a 是从第二项开始的偶数项，组成的以4为公差的等差数列，由24n n a a +-=，可得114n n a a +--=()3n ≥，可得{}n a 是从第三项开始的奇数项，组成的以4为公差的等差数列，再利用121225S S a a +=+=，得出2152a a =-，用1a 依次表示出2a ，3a ，4a ，5a ，L ，n a ，然后，根据1n n a a +<，即可求出首项1a 的取值范围【详解】Q 2123n n S S n n ++=+，∴()()2122131n n S S n n +++=+++2275n n =++，两式相减，221n n n n S S a a +++∴-=+45n =+，化简得2145n n a n a ++=+-()1n ≥，① 进而可以利用该递推关系，得到141n na n a +=+-()2n ≥，②然后-①②得，2114n n n n a a a a +++-=-+，化简得24n n a a +-=()2n ≥，可得数列{}n a 是从第二项开始的偶数项，组成的以4为公差的等差数列，由24n n a a +-=，可得114n n a a +--=()3n ≥，可得{}n a 是从第三项开始的奇数项，组成的以4为公差的等差数列， 又Q 121225S S a a +=+=，则有2152a a =-，321942a a a =-=+，4311392a a a =-=-，5411782a a a =-=+，65121132a a a =-=-，对n N *∀∈，1n n a a +<，则由415623n a a a a a a a <<<<<<<L ，从第二项开始，得由23a a <得，114a >， 由34a a <得，154a <，由45a a <得，114a >，由56a a <得，154a <， L L ，明显地，解得 11544a << 综上，1a 的取值范围是15,44⎛⎫⎪⎝⎭故正确答案为：15,44⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查根据n S 求数列的通项，根据数列的单调性求范围参数的范围，属于中档题. 三、解答题：第17-21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤. 17.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若ABC V 的面积14Sabc =，且2sin sin 2sin sin 2sin b B a A B C C -=-.（1）求角A 的大小； （2）求ABC V 面积的最大值. 【答案】（1）3π；（2【解析】 【分析】 （1）由14S abc =，求得2sin cC =，得到2sin ,2sin a A b B ==，再利用题设条件和余弦定理，求得1cos 2A =，即可求解；（2）由（1）知，得到2sin a A ==，利用余弦定理和基本不等式，求得3bc ≤，即可求得ABC V 面积的最大值.【详解】（1）由题意知，ABC V 的面积14S abc =，可得11sin 24S ab C abc ==，解得2sin cC =， 根据正弦定理，可得2sin sin b aB A==，即2sin ,2sin a A b B ==， 又由22sin sin 2sin sin sin B C C b C c C ⋅-=-，即sin sin sin sin b B a A b C c C -=-，可得222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，因为(0,)A π∈，所以3A π=.（2）由（1）知，3A π=，所以2sin 3a A ==，又由余弦定理，得222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-即222232cos b c bc A b c bc bc =+-=+-≥，当且仅当b c =时，等号成立，即3bc ≤，所以1333sin sin 224ABC S bc A A =≤=△， 即ABC V 面积的最大值为33，此时ABC V 是正三角形. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18.如图在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，M ，N 在1DD 上，且1D M MN ND ==.（1）证明：直线//MF 平面1B EN ；（2）求平面1B EN 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2361【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，通过证明直线MF 的方向向量和平面1B EN 的法向量垂直，证得直线//MF 平面1B EN .（2）根据平面1B EN 的法向量和平面ABCD 的法向量，求得平面1B EN 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值. 【详解】（1）以A 为原点，如图建立空间直角坐标系，不妨取棱长为6， 则()0,6,4M，()3,6,0F ，()16,0,6B ，()6,3,0E ，()0,6,2N ，∴()3,0,4MF =-u u u r ，()10,3,6EB =-u u u r ，()6,3,2EN =-u u u r，设平面1B EN 的法向量()1,,n x y z =u r ，则1113606320n EB y z n EN x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩u v u u u vu v u u u v ， ∴可取()14,6,3n =u r ，∴10MF n ⋅=u u u r u r ，即1MF n ⊥u u u r u r，∴//MF 平面1B EN ；（2）由（1）知平面1B EN 的法向量()14,6,3n =u r ，又平面ABCD 的法向量()20,0,1n =u u r，∴平面1B EN 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值为1212n nn n ⋅===⋅u r u u ru r u u r .【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面角的求法，考查空间想象能力，属于中档题.19.“网购”已经成为我们日常生活中的一部分，某地区随机调查了100名男性和100名女性在“双十一”活动中用于网购的消费金额，数据整理如下：男性消费金额频数分布表消费金额0~500 500~1000 1000~1500 1500~2000 2000~3000（单位：元）人数15 15 20 30 20（1）试分别计算男性、女性在此活动中的平均消费金额；（2）如果分别把男性、女性消费金额与中位数相差不超过200元的消费称作理性消费，试问是否有5成以上的把握认为理性消费与性别有关.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）1425元，1100元；（2）有5成以上的把握认为理性消费与性别有关 【解析】 【分析】（1）根据表格中男性平均消费金额和频率分布直方图中女性平均消费金额，利用平均数的计算公式，即可求解； （2）由（1），求得女性的理性消费区间为()900,1300人数，男性理性消费区间为()1225,1625人数，得出22⨯的列联表，利用公式求得2K ，结合附表，即可得到结论. 【详解】（1）由表格知男性平均消费金额为0.152500.157500.212500.317500.225001425x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）由频率分布直方图知女性平均消费金额为：(2.50.37.50.212.50.217.50.1522.50.127.50.05)100y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯1100=（元）（2）由男性消费金额频数分布表，可得男性的消费的中位数为1500元，其中男性理性消费区间为()1300,1700，可得人数为2220302055⨯+⨯=人， 由频率分布直方图可得，女性消费的中位数为1000元，其中女性的理性消费区间为()800,1200，可得人数为22(0.0450.045)1001655⨯⨯+⨯⨯⨯=人，所以22⨯列联表为：∴22200(16808420)0.542010010036164K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，由0.54200.4550.708<<，∴有5成以上的把握认为理性消费与性别有关.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的平均数的计算，以及独立性检验的应用，其中解答中认真审题，熟记频率分布直方图的平均数的计算公式，以及独立性检验的公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 20.已知函数()()()20x f x a x e a =+≠. （1）求函数()f x 的最值；（2）当2x ≥-时，()26f x x x ≥+，求实数a 的取值范围.【答案】（1）0a >时最小值3-a e ，无最大值；0a <时，最大值3-a e，无最小值；（2）22a e -≥⋅【解析】 【分析】 （1）求出()()'3x f x ae x =+，令导数为零可得3x =-，分为0a >，0a <两种情况探究函数的单调性，即可求出最值.（2）当2x =-可得a R ∈；当2x >-原不等式可变形为26(2)xx xa x e +≥+，结合导数求出26()(2)(2)xx xg x x x e+=>-+⋅的最值，从而可求实数a 的取值范围. 【详解】（1）易知定义域为R ，且()()'3x f x ae x =+，∴()'0f x =得3x =-，∴当0a >时，()f x 在(),3-∞-上递减，在()3,-+∞上递增.∴()f x 有最小值()33a f e --=，同理，当0a <时，()f x 有最大值()33af e--=. （2）当2x =-，有()208f -=≥-，∴a R ∈，当2x >-时，226()6(2)xx xf x x x a x e +≥+⇔≥+.设26()(2)(2)x x xg x x x e +=>-+⋅，则()22(3)44'()(2)x x x x g x x e-++-=+⋅，由2x >-和()'0g x =，得2x =，2x =-（舍）∴()gx在()2,2-上递增，在()2,+∞上递减，∴()()2max22g x g e -==⋅22a e -≥⋅【点睛】本题考查了函数最值的求解，考查了不等式恒成立问题.本题易错点是在做第二问时，未讨论自变量的取值，直接参变分离.本题的关键是第二问构造函数，结合函数的最值求参数的取值范围.21.O 为坐标原点，椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，椭圆C 的右顶点为A .设M ，N 是C 上位于第二象限的两点，且满足//ON AM ，Q 是弦AM 的中点，射线OQ 与椭圆交于点P . （1）求证：直线OQ 与直线AM 斜率的乘积为12-； （2）若229OP ON+=，求椭圆C 的标准方程.【答案】（1）证明见解析；（2）22163x y +=【解析】【分析】（1）2e =可求出22222a b c ==即椭圆方程为222212x y b b +=，设()00,M x y ，()11,A x y ，代入椭圆方程，两方程相减进行整理可证明12AM OQ k k ⋅=-； （2）设OP l ：1y k x =，代入22222x y b +=，可求出P 的坐标，从而可求2212121212k b OP k +=⋅+，同理可求21222141242O k b N k +=⋅+，结合1212k k =-和229OP ON +=可求出23b =，从而可求椭圆的方程.【详解】（1）由2e =知22222a b c ==，∴方程可表示为222212x y b b +=， 设()00,M x y ，()11,A x y ，则2200222211221212x y bb x y b b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，即010*******y y y y x x x x -+⋅=--+，∴12AM OQ k k ⋅=-，结论成立； （2）设OP l ：1y k x =，代入22222x y b +=，得22121212b x k =+，2221121212b k y k =+， ∴2212121212k b OP k +=⋅+，同理设ON l ：2y k x =，则1212k k =-， 且22222122221141221242k k b b k ON k ++=⋅=⋅++，∴222121226323942OP O b N k b k ⎛⎫+=⋅== ⎪+⎝⎭+， ∴23b =，从而椭圆方程为22163x y+=.【点睛】本题考查了椭圆中的中点弦问题，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了椭圆方程的求解.本题第二问的关键是求出2OP ，2ON 的表达式.一般地关于中点弦问题，设出端点的坐标，代入圆锥曲线方程，两方程相减进行整理即可得弦中点和弦所在直线斜率的关系.选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上托所选题目的题号涂黑.22.在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为2cos 12sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）若直线l ：cos sin x t y t ϕϕ=⎧⎨=⎩（t 为参数）被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的倾斜角.【答案】（1）4sin 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）90ϕ=︒或150ϕ=︒ 【解析】 【分析】（1）根据圆C的参数方程消去参数得到2220x y y +--=，然后将cos ,sin x y ρθρθ==，代入上式得整理求解.（2）根据直线的参数方程消去参数得到,tan ,2πϕϕ⎛⎫==≠⎪⎝⎭y kx k 或 02x πϕ⎛⎫==⎪⎝⎭，再根据弦长为2，得到圆心C 到l的距离d =.【详解】（1）因为圆C的参数方程为2cos 12sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去参数得：(()2214x y +-=，即2220x y y +--=， 又因为cos ,sin x y ρθρθ==，代入上式得：()()22cos sin cos 2sin 0ρθρθθρθ+--=，2sin ρθθ=+，整理得：4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以圆C 的极坐标方程为4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （2）因为直线l ：cos sin x t y t ϕϕ=⎧⎨=⎩，消去参数得l ：,tan ,2πϕϕ⎛⎫==≠ ⎪⎝⎭y kx k 或 02x πϕ⎛⎫==⎪⎝⎭， 因为圆C的圆心)C，2r =，又弦长为2，所以圆心C 到l的距离d =当2πϕ≠时，==d解得tan ϕ==k ， 因为[0,180)ϕ∈o， 所以150ϕ=︒， 当2ϕπ=时，0==d 综上：l 的倾斜角90ϕ=︒或150ϕ=︒.【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化以及直线与圆的位置关系，还考查了运算求21解的能力，属于中档题.23.已知函数()2f x x a =-，其中2a >.（1）当4a =时，求不等式()61f x x ≥-+的解集； （2）已知关于x 的不等式()()24f x a f x +-≤的解集为{}|31x x -≤≤-，求a 的值. 【答案】（1）{1x x ≤-或}3x ≥；（2）4【解析】【分析】（1）根据题意，可得()24f x x =-，对不等式：当1x ≤-时，当12x -<≤时，当2x >时，分类讨论即可；（2）根据题意写出函数()f x 的分段函数，再根据解集为{}|31x x -≤≤-即可得到a 的值.【详解】（1）当4a =时，则()24f x x =-， 由()61f x x ≥-+，即为：2216x x -++≥ ()*①当1x ≤-时，()*式即为：336x -+≥，∴1x ≤-符合， ②当12x -<≤时，()*式即为：56x -+≥，1x ≤-不符合，③当2x >时，()*式即为：336x -≥，3x ≥符合， 综上，不等式的解集为{1x x ≤-或}3x ≥； （2）由()()2232f x a f x x a x a +-=+--34,2342,224,2a x a a x a a x a a x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩， 由()()24f x a f x +-≤的解集为{}|31x x -≤≤-，知424x a +≤的解集即为[]3,1--， ∴[]1,13,122a a ⎡⎤---=--⎢⎥⎣⎦， ∴22a =，即4a =. 【点睛】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，考查了分段函数，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．。
新疆2019-2020高三年级第三次诊断性测试数学(理)试题(wd无答案)
新疆2019-2020高三年级第三次诊断性测试数学（理）试题(wd无答案)一、单选题(★) 1. 设集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 已知复数满足（其中是虚数单位）,则（）A．1B．C．D．2(★) 3. 方程的实根所在的区间为（）A．B．C．D．(★★) 4. 已知，则（）A．B．C．D．(★★★) 5. 已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A．，，且，则B．若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则C．若，，则D．若，，则(★) 6. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A．60种B．70种C．75种D．150种(★★★) 7. 把函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变），再把得到图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象.则下列命题正确的是（）A．函数在区间，上单调递减B．函数在区间，上单调递增C．函数的图象关于直线，对称D．函数的图象关于点，对称(★★) 8. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为31.5尺，前九个节气日影长度之和为85.5尺，则谷雨这一天的日影长度（）A．5.5尺B．4.5尺C．3.5尺D．2.5尺(★★) 9. 函数的大致图象为（）A．B．C．D．(★★★) 10. 多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其各维对象数总满足一定的数量关系，在三维空间中，多面体欧拉定理可表示为：顶点数＋表面数－棱长数＝2.在数学上，富勒烯的结构都是以正五边形和正六边形面组成的凸多面体，例如富勒烯（结构图如图）是单纯用碳原子组成的稳定分子，具有60个顶点和32个面，其中12个为正五边形，20个为正六边形.除外具有封闭笼状结构的富勒烯还可能有，，，，，，，等，则结构含有正六边形的个数为（）A．12B．24C．30D．32(★★★) 11. 过双曲线：右焦点的直线与交于，两点，，若，则的离心率为（）A．B．2C．D．(★★★) 12. 若函数满足，且，则函数（）A．既无极大值又无极小值B．有极小值无极大值C．既有极大值又有极小值D．有极大值无极小值二、填空题(★★) 13. 已知向量为单位向量, ,且,则______.(★★★) 14. 已知等腰直角三角形的直角顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则的面积是______.(★★★) 15. 甲、乙、丙、丁四个人背后有4个号码，赵同学说：甲是2号，乙是3号；钱同学说：丙是2号，乙是4号；孙同学说：丁是2号，丙是3号；李同学说：丁是1号，乙是3号，他们每人都只说对了一半，则丙背后的号码是______.(★★★) 16. 已知数列前项和为，且，若，则首项的取值范围是______.三、解答题(★★★) 17. 在中，内角 ， ， 所对的边为 ， ， ，若的面积，且.（1）求角 的大小； （2）求面积的最大值.(★★★) 18. 如图在正方体中， ，分别是，的中点，，在上，且.（1）证明：直线 平面 ；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.(★★★) 19. “网购”已经成为我们日常生活中的一部分，某地区随机调查了100名男性和100名女性在“双十一”活动中用于网购的消费金额，数据整理如下： 男性消费金额频数分布表消费金额（单位：元） 0~500 500~1000 1000~1500 1500~2000 2000~3000 人数 15 15 20 30 20（1）试分别计算男性、女性在此活动中的平均消费金额； （2）如果分别把男性、女性消费金额与中位数相差不超过200元的消费称作理性消费，试问是否有5成以上的把握认为理性消费与性别有关.附：0.500.400.250.150.100.050.4550.7081.3232.0722.7063.841(★★★★) 20. 已知函数.（1）求函数 的最值； （2）当时，，求实数 的取值范围.(★★★★) 21. 为坐标原点，椭圆 ：的离心率为，椭圆 的右顶点为 .设，是 上位于第二象限的两点，且满足， 是弦的中点，射线与椭圆交于点 . （1）求证：直线 与直线斜率的乘积为；（2）若，求椭圆 的标准方程.(★★★) 22. 在平面直角坐标系中，圆 的参数方程为（ 为参数），以坐标原点为极点，以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同. （1）求圆 的极坐标方程； （2）若直线 ：（ 为参数）被圆 截得的弦长为2，求直线 的倾斜角.(★★★) 23. 已知函数，其中.（1）当时，求不等式的解集；（2）已知关于 的不等式的解集为，求 的值.。
2019届新疆高三第三次诊断性测试数学(理)试卷(含解析)
，
当
时，分别作出函数 及
的图象如下：
新疆 2019 届高三下学期第三次诊断性测试数学（理）试题
显然，两个函数图象只交于一点，故 当 时，分别作出函数 及
只有一解. 的图象如下：
显然，两个函数图象交于两点，故
有两个解.
所以实数 的取值范围是 .
故选：A
【点睛】本题主要考查了指数函数的图象，考查了分类思想及转化思想，属于基础题。
【答案】B 【解析】 【分析】 由题可得：竹九节的容量依次成等差数列，由下 3 节容量 4 升及上 4 节容量 3 升列方程即可 求得 及 ，问题得解。 【详解】由题可得：竹九节的容量依次成等差数列，
新疆 2019 届高三下学期第三次诊断性测试数学（理）试题
从上往下，不妨设每节的容量依次为： 又下 3 节容量 4 升，上 4 节容量 3 升，
题。
新疆 2019 届高三下学期第三次诊断性测试数学（理）试题
15.已知直线
，若 是抛物线
距离之和的最小值为____．
【答案】2
上的动点，则点 到直线的距离与其到 轴的
【解析】
【分析】
依据题意作出图形，由抛物线定义得：点 到直线的距离与其到 轴的距离之和的最小值可转
化成求点 到直线
距离问题，再由点到直线距离公式得解。
的标准形式，然后根据模的公式求解。
新疆 2019 届高三下学期第三次诊断性测试数学（理）试题
3.若直线 （） A. 在圆上 可能 【答案】B 【解析】 【分析】
与圆
有两个公共点，则点 与圆
B. 在圆外
C. 在圆内
的位置关系是 D. 以上都有
直线
与圆
有两个公共点，可得
，即为
乌鲁木齐2019年第三次诊断性测试数学理科试卷
乌鲁木齐地区2019年高三年级第三次质量监测理科数学(时间120分钟，满分150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={}02>-x x x ，B ={}22<<-x x ，则 ∩B =φ ∪B =R ⊆ ⊆2.若i iai -=-+211(其中i 是虚数单位)，则实数a =3.当10<<a 时，在同一直角坐标系中，函数x a y -=与x y a log =的图像是4.已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，以下四个命题①若α∥β，则l ⊥m ；②若α⊥β，则l ∥m ；③若l ∥m ，则α⊥β；④若l ⊥m ，则α∥β。
正确的两个命题是A. ①与②B.③与④C.②与 ④D.①与③5.6)1)(11(x x +-的展开式中的常数项是6.设等比数列{n a }的前n 项和为S n ，若S 3=7，S 6=63，则S 9=7.在下列区间中，函数43)(-+=x e x f x 的零点所在的区间为 A.⎪⎭⎫ ⎝⎛410， B.⎪⎭⎫ ⎝⎛2141， C.⎪⎭⎫ ⎝⎛121，D.⎪⎭⎫ ⎝⎛231， 8.将函数)(x f 的图像上的所有点向右平移4π个单位长度，得到函数)(g x 的图像，若函数 )sin()(g ϕω+=x A x ⎪⎭⎫ ⎝⎛<>>200πϕω，，A 的部分图像如图所示，则函数)(x f 的解析式为 A.)125sin()(π+=x x f B.)322cos()(π+=x x fC.)32cos()(π+=x x f D.)1272sin()(π+=x x f 9.正方体的全面积是3a ，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是 A.32a π B.22a π C.22a π D.23a π 10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]x y =称为高斯函数。
新疆2019届高三高考3月模拟试卷数学(理)试卷附答案解析
2019年新疆高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式得到集合，结合交集定义进行求解即可．【详解】，则，故选B．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合B的等价条件，首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响，在求交集时注意区间端点的取舍.2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.【考点定位】本题考查复数的基本运算，考查学生的基本运算能力.【此处有视频，请去附件查看】3.若变量满足约束条件，则的最大值是( )A. 0B. 2C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】由题意作出不等式组所表示的平面区域，将化为，相当于直线的纵截距，由几何意义可得结果．【详解】由题意作出其平面区域，令，化为，相当于直线的纵截距，由图可知，，解得，，则的最大值是，故选C．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4.执行如图所示程序框图的输出结果是（）A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得，，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，，满足条件，执行循环体，，，此时，不满足条件，退出循环，输出的值为7，故选C．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，，，则D. 若，，，则【答案】D【解析】【分析】对于A，B选项均有可能为线在面内，故错误；对于C选项，根据面面平行判定定理可知其错误；直接由线面平行性质定理可得D正确.【详解】若，，则有可能在面内，故A错误；若，，有可能在面内，故B错误；若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C错误．若，，，则由直线与平面平行的性质知，故D正确．故选D.【点睛】本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了空间中直线与平面的位置关系，属于中档题.6.已知等差数列的公差不为零，且，，成等比数列，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设等差数列的公差，由题意可得，用首项和公差表示化为，代入即可得出．【详解】设等差数列的公差，且，，成等比数列，∴，∴，，则，故选B．【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.设，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】不难发现从而可得【详解】,故选B.【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较数大小．8.已知椭圆的焦点分别为，，点，在椭圆上，于，，，则椭圆方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用椭圆的性质，根据，可得，，求解，然后推出椭圆方程．【详解】椭圆的焦点分别为，，点A，B在椭圆上，于，，，可得，，，解得，，所以所求椭圆方程为：，故选C．【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查．9.函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别计算，的值，利用函数值的对应性进行排除即可．【详解】，排除C，D；，排除B，故选A．【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括等.10.已知函数的最小正周期为，且，则的最小值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】首先利用三角函数的周期性求出，结合题意可得当时，函数取得最大值，直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的最值得应用求出结果． 【详解】函数的最小正周期为，解得：，所以， 由于，故：时，取最大值． 故：，解得：，即， 由于，故的最小值为，故选D ．【点睛】本题主要考查了正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．11.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为，现将该金杖截成长度相等的10段，记第段的重量为，且，若，则（ ） A. 4 B. 5C. 6D. 7【答案】C 【解析】由题意知,由细到粗每段的重量成等差数列，记为，设公差为，则，解得，所以该金杖的总重量，，解得，故选C.【方法点睛】本题主要考查阅读能力、等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式以及转化与划归思想，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.12.如图，是棱长为1的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，以下结论正确的是（）A. 点到的距离为B. 三棱锥的体积是C.与平面所成的角是D.与所成的角是【答案】D【解析】【分析】根据正方体的平面展开图，画出它的立体图形，分别判断，即可得出结论．【详解】解：根据正方体的平面展开图，画出它的立体图形如图所示，对于A，连接ND，与EF交于O点，连接AO，则AO的长即点到的距离，AO，故A错误；对于B，三棱锥的体积是，故B错误；对于C，F点到平面CDN的距离为，∴与平面所成的角的正弦值为，故C错误；对于D，与所成的角即MC与所成的角，显然是60°，故D正确，故选：D【点睛】本题考查根据正方体的平面展开图，画出它的立体图形，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.有5名学生做志愿者服务，将他们分配到图书馆、科技馆、养老院这三个地方去服务，每个地方至少有1名学生，则不同的分配方案有____种（用数字作答）.【答案】150【解析】【分析】由题意可知，由两种分配方案分别为2，2，1型或3,1,1型，每一种分配全排即可.【详解】解：将5名志愿者分配到这三个地方服务，每个地方至少1人，其方案为2，2，1型或3,1,1型．其选法有或，而每一种选法可有安排方法，故不同的分配方案有150种．故答案为：150．【点睛】本题考查了排列与组合的计算公式、“乘法原理”等基础知识与基本方法，属于中档题．14.已知是双曲线的焦点，过作一条渐近线的平行线与另一条渐近线交于点，若（是坐标原点）的面积为1，则双曲线的方程为__________．【答案】【解析】【分析】利用双曲线的渐近线方程，推出渐近线的斜率为1，可得，根据三角形的面积为1可求出的值，然后求解双曲线方程．【详解】是双曲线的焦点，过作一条渐近线的平行线与另一条渐近线交于点，若（O是坐标原点）的面积为1，可得，，，解得，则，所以所求的双曲线方程为：，故答案为．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力，属于基础题.15.已知，，则__________．【答案】7【解析】【分析】由的范围求出的范围，根据sin（）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（）的值，进而求出tan（）的值，tan A变形为tan[（）]，利用两角和与差的正切函数公式化简，计算即可求出值．【详解】解：∵∈（，），∴∈（，π），∵sin （），∴cos （），∴tan （）＝，则tan A＝tan[（）]．故答案为：【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，两角和与差的正切公式，熟练掌握基本关系是解本题的关键．16.已知，是函数（其中常数）图象上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】先推出f（x）的图象关于直线x＝a对称，然后得出直线P A，PB 分别与函数图象相切时，•的最小值为0，再通过导数的几何意义得切线的斜率，解出a＝1，结合图象可得x＝1时，f（x ）的最大值为．详解】解：A，B是函数f（x ）（其中a＞0）图象上的两个动点，当x＜a时，f（x）＝f（2a﹣x）＝﹣e（2a﹣x）﹣2a＝﹣e﹣x，∴函数f（x）的图象关于直线x＝a对称．当点A，B分别位于分段函数的两支上，且直线P A，PB 分别与函数图象相切时，•的最小值为0，设P A与f（x）＝﹣e﹣x相切于点A（x0，y0），∴f′（x）＝e﹣x，∴k AP＝f′（x0）＝e，解得x0＝a﹣1，∵•的最小值为0，∴⊥，∴k P A＝tan45°＝1，∴e1，∴x0＝0，∴a＝1，∴f（x）max．故答案为：【点睛】本题考查了分段函数的问题，以及导数的几何意义，考查化简运算能力，属于中档题．三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)17.在中，角的对边分别为，已知，，(1)若，求；(2)求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先由正弦定理求出，进而可求得，再次利用正弦定理即可求得；（2）利用三角形面积公式结合余弦定理得，结合二次函数的性质即可得结果.【详解】（1）∵，，∴，∴，∴，∴；（2），当时，的面积有最大值.【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，二次函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，且，点，分别是和的中点.（Ⅰ）求证平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用线线平行证明平面平面，从而证得平面；（Ⅱ）以的中点为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，求出平面平面的法向量，代入公式，即可得到结果.【详解】（Ⅰ）如图，取的中点，连结，，则，.∴平面平面，∴平面；（Ⅱ）以的中点为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则，得，，，，得，.设平面的法向量为，则，得，同理可得平面的法向量为，∴，∴二面角的余弦值为.【点睛】本题综合考查空间面面平行的判断以及空间角的计算，涉及二面角的平面角，利用向量法是解决空间角常用的方法，考查的知识面较广，难度中等．19.某学校高二年级的第二学期，因某学科的任课教师王老师调动工作，于是更换了另一名教师赵老师继任.第二学期结束后从全学年的该门课的学生考试成绩中用随机抽样的方法抽取了容量为50的样本，用茎叶图表示如下：学校秉持均衡发展、素质教育的办学理念，对教师的教学成绩实行绩效考核，绩效考核方案规定：每个学期的学生成绩中与其中位数相差在范围内（含）的为合格，此时相应的给教师赋分为1分；与中位数之差大于10的为优秀，此时相应的给教师赋分为2分；与中位数之差小于-10的为不合格，此时相应的给教师赋分为-1分.（Ⅰ）问王老师和赵老师的教学绩效考核平均成绩哪个大？（Ⅱ）是否有的把握认为“学生成绩取得优秀与更换老师有关”.附：【答案】（Ⅰ）王老师；（Ⅱ）没有.【解析】【分析】（Ⅰ）分别计算王老师和赵老师绩效考核的平均成绩，进行比较即可；（Ⅱ）完成列联表，计算的值，利用独立性检验的知识进行判断即可.【详解】（Ⅰ）第一学期的数据为：43，44，49，52，53，56，57，59，62，64，65，65，65，68，72，73，75，76，78，83，84，87，88，93，95，其“中位数”为65，优秀有8个，合格有12个，不合格有5个.∴王老师的教学绩效考核平均成绩为：；第二学期的数据为：44，49，52，54，54，58，59，60，61，62，63，63，65，66，67，70，71，72，72，73，77，81，88，88，94，其“中位数”为65，优秀有5个，合格有15个，不合格有5个，∴赵老师的教学绩效考核平均成绩为：，∴，所以，王老师的教学绩效考核平均成绩较大；（Ⅱ）由题意得：，∵，∴没有的把握认为“学生成绩优秀与更换老师有关”.【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，结合数据完成列联表计算的观测值是解决本题的关键，属于基础题.20.已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，若与轴垂直时，.(1)求抛物线的方程；(2)如图，若点在准线上的投影为是抛物线上一点，且，求面积的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）16.【解析】 【分析】（Ⅰ）由抛物线的定义求出，然后求解抛物线的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，设，利用韦达定理以及弦长公式，以及点到直线的距离求解三角形的面积． 【详解】（Ⅰ）由轴时，，∴抛物线的方程为：； （Ⅱ）由，可设：，与联立得：，设，，则，∴，由，，∴，，∴：，即，与联立得，∴，∴点到直线的距离，∴，∴当（即轴），取最小值16.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，弦长公式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.21.已知函数.(1)求函数的单调区间； (2)若，且是函数的两个极值点，求的最小值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】 【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数，对a 分类讨论，解不等式即可得到结果； （Ⅱ），构造新函数，研究函数的单调性，极值与最值即可.【详解】（Ⅰ），，，令，，①当，即时，恒成立，∴，∴在上单调递增；②当，即或时，有两个实数根，，若，则，∴，∴当时，，；当时，，，∴在上单调递减；在上单调递增，若，则，∴，当或时，，；当时，，，∴在，上单调递增；在上单调递减；（Ⅱ），令，由，，得，，∴，∴或（舍去），∴，令，，，∴在上单调递减，∴，且当时，，也取得最小值，∴.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.在平面直角坐标系中，已知点，曲线的参数方程为(为参数).以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.(1)判断点与直线的位置关系并说明理由；(2)设直线与曲线交于两个不同的点，求的值.【答案】（Ⅰ）点在直线上；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）把直线化成直角坐标方程后，代入点的坐标看是否满足；（Ⅱ）联立直线的参数方程与曲线，利用参数的几何意义可得．【详解】（Ⅰ）直线：，即，斜率，倾斜角，∵点满足此方程，∴点在直线上；（Ⅱ）曲线的普通方程为①，直线的参数方程为（为参数）②，把②代入①得，得，，又∵，，且与异号，∴.【点睛】本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程以及参数的几何意义，属于中档题.23.已知函数.(1)当时，解关于的不等式；(2)若函数的最大值是3，求的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】分析】（Ⅰ）代入，的值，通过讨论的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值不等式的性质求出，结合基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．【详解】（Ⅰ）∵当，时，，∴的解集为；（Ⅱ）∵，，，∴，∴，当且仅当，即，时，等号成立.故的最小值为.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
新疆2019届高三高考3月模拟试卷数学(理科)试题(解析版)
2019年新疆高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式得到集合，结合交集定义进行求解即可．【详解】，则，故选B．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合B的等价条件，首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响，在求交集时注意区间端点的取舍.2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.【学科网考点定位】本题考查复数的基本运算，考查学生的基本运算能力.3.若变量满足约束条件，则的最大值是( )A. 0B. 2C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】由题意作出不等式组所表示的平面区域，将化为，相当于直线的纵截距，由几何意义可得结果．【详解】由题意作出其平面区域，令，化为，相当于直线的纵截距，由图可知，，解得，，则的最大值是，故选C．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4.执行如图所示程序框图的输出结果是（）A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得，，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，，满足条件，执行循环体，，，此时，不满足条件，退出循环，输出的值为7，故选C．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，，，则D. 若，，，则【答案】D【解析】【分析】对于A，B选项均有可能为线在面内，故错误；对于C选项，根据面面平行判定定理可知其错误；直接由线面平行性质定理可得D正确.【详解】若，，则有可能在面内，故A错误；若，，有可能在面内，故B错误；若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C错误．若，，，则由直线与平面平行的性质知，故D正确．故选D.【点睛】本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了空间中直线与平面的位置关系，属于中档题.6.已知等差数列的公差不为零，且，，成等比数列，则（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】 设等差数列的公差，由题意可得，用首项和公差表示化为，代入即可得出．【详解】设等差数列的公差，且，，成等比数列，∴，∴，，则，故选B ．【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 7.设，则的大小关系为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】 不难发现从而可得【详解】,故选B.【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较数大小．8.已知椭圆的焦点分别为，，点，在椭圆上，于，，，则椭圆方程为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的性质，根据，可得，，求解，然后推出椭圆方程．【详解】椭圆的焦点分别为，，点A，B在椭圆上，于，，，可得，，，解得，，所以所求椭圆方程为：，故选C．【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查．9.函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别计算，的值，利用函数值的对应性进行排除即可．【详解】，排除C，D；，排除B，故选A．【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括等.10.已知函数的最小正周期为，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先利用三角函数的周期性求出，结合题意可得当时，函数取得最大值，直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的最值得应用求出结果． 【详解】函数的最小正周期为，解得：，所以， 由于，故：时，取最大值． 故：，解得：，即， 由于，故的最小值为，故选D ．【点睛】本题主要考查了正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．11.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为，现将该金杖截成长度相等的10段，记第段的重量为，且，若，则（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C 【解析】由题意知,由细到粗每段的重量成等差数列，记为，设公差为，则，解得，所以该金杖的总重量，，解得，故选C.【方法点睛】本题主要考查阅读能力、等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式以及转化与划归思想，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.12.如图，是棱长为1的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，以下结论正确的是（ ）A.点到的距离为B. 三棱锥的体积是C. 与平面所成的角是D. 与所成的角是【答案】D【解析】【分析】根据正方体的平面展开图，画出它的立体图形，分别判断，即可得出结论．【详解】解：根据正方体的平面展开图，画出它的立体图形如图所示，对于A，连接ND，与EF交于O点，连接AO，则AO的长即点到的距离，AO，故A错误；对于B，三棱锥的体积是，故B错误；对于C，F点到平面CDN的距离为，∴与平面所成的角的正弦值为，故C错误；对于D，与所成的角即MC与所成的角，显然是60°，故D正确，故选：D【点睛】本题考查根据正方体的平面展开图，画出它的立体图形，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.有5名学生做志愿者服务，将他们分配到图书馆、科技馆、养老院这三个地方去服务，每个地方至少有1名学生，则不同的分配方案有____种（用数字作答）.【答案】150【解析】【分析】由题意可知，由两种分配方案分别为2，2，1型或3,1,1型，每一种分配全排即可.【详解】解：将5名志愿者分配到这三个地方服务，每个地方至少1人，其方案为2，2，1型或3,1,1型．其选法有或，而每一种选法可有安排方法，故不同的分配方案有150种．故答案为：150．【点睛】本题考查了排列与组合的计算公式、“乘法原理”等基础知识与基本方法，属于中档题．14.已知是双曲线的焦点，过作一条渐近线的平行线与另一条渐近线交于点，若（是坐标原点）的面积为1，则双曲线的方程为__________．【答案】【解析】【分析】利用双曲线的渐近线方程，推出渐近线的斜率为1，可得，根据三角形的面积为1可求出的值，然后求解双曲线方程．【详解】是双曲线的焦点，过作一条渐近线的平行线与另一条渐近线交于点，若（O是坐标原点）的面积为1，可得，，，解得，则，所以所求的双曲线方程为：，故答案为．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力，属于基础题.15.已知，，则__________．【答案】7【解析】【分析】由的范围求出的范围，根据sin（）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（）的值，进而求出tan（）的值，tan A变形为tan[（）]，利用两角和与差的正切函数公式化简，计算即可求出值．【详解】解：∵∈（，），∴∈（，π），∵sin（），∴cos（），∴tan（）＝，则tan A＝tan[（）]．故答案为：【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，两角和与差的正切公式，熟练掌握基本关系是解本题的关键．16.已知，是函数（其中常数）图象上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】先推出f（x）的图象关于直线x＝a对称，然后得出直线P A，PB 分别与函数图象相切时，•的最小值为0，再通过导数的几何意义得切线的斜率，解出a＝1，结合图象可得x＝1时，f（x ）的最大值为．【详解】解：A，B是函数f（x ）（其中a＞0）图象上的两个动点，当x＜a时，f（x）＝f（2a﹣x）＝﹣e（2a﹣x）﹣2a＝﹣e﹣x，∴函数f（x）的图象关于直线x＝a对称．当点A，B分别位于分段函数的两支上，且直线P A，PB 分别与函数图象相切时，•的最小值为0，设P A与f（x）＝﹣e﹣x相切于点A（x0，y0），∴f′（x）＝e﹣x，∴k AP＝f′（x0）＝e，解得x0＝a﹣1，∵•的最小值为0，∴⊥，∴k P A＝tan45°＝1，∴e1，∴x0＝0，∴a＝1，∴f（x）max．故答案为：【点睛】本题考查了分段函数的问题，以及导数的几何意义，考查化简运算能力，属于中档题．三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)17.在中，角的对边分别为，已知，，(1)若，求；(2)求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先由正弦定理求出，进而可求得，再次利用正弦定理即可求得；（2）利用三角形面积公式结合余弦定理得，结合二次函数的性质即可得结果.【详解】（1）∵，，∴，∴，∴，∴；（2），当时，的面积有最大值.【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，二次函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，且，点，分别是和的中点.（Ⅰ）求证平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用线线平行证明平面平面，从而证得平面；（Ⅱ）以的中点为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，求出平面平面的法向量，代入公式，即可得到结果.【详解】（Ⅰ）如图，取的中点，连结，，则，.∴平面平面，∴平面；（Ⅱ）以的中点为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则，得，，，，得，.设平面的法向量为，则，得，同理可得平面的法向量为，∴，∴二面角的余弦值为.【点睛】本题综合考查空间面面平行的判断以及空间角的计算，涉及二面角的平面角，利用向量法是解决空间角常用的方法，考查的知识面较广，难度中等．19.某学校高二年级的第二学期，因某学科的任课教师王老师调动工作，于是更换了另一名教师赵老师继任.第二学期结束后从全学年的该门课的学生考试成绩中用随机抽样的方法抽取了容量为50的样本，用茎叶图表示如下：学校秉持均衡发展、素质教育的办学理念，对教师的教学成绩实行绩效考核，绩效考核方案规定：每个学期的学生成绩中与其中位数相差在范围内（含）的为合格，此时相应的给教师赋分为1分；与中位数之差大于10的为优秀，此时相应的给教师赋分为2分；与中位数之差小于-10的为不合格，此时相应的给教师赋分为-1分.（Ⅰ）问王老师和赵老师的教学绩效考核平均成绩哪个大？（Ⅱ）是否有的把握认为“学生成绩取得优秀与更换老师有关”.附：【答案】（Ⅰ）王老师；（Ⅱ）没有.【解析】【分析】（Ⅰ）分别计算王老师和赵老师绩效考核的平均成绩，进行比较即可；（Ⅱ）完成列联表，计算的值，利用独立性检验的知识进行判断即可.【详解】（Ⅰ）第一学期的数据为：43，44，49，52，53，56，57，59，62，64，65，65，65，68，72，73，75，76，78，83，84，87，88，93，95，其“中位数”为65，优秀有8个，合格有12个，不合格有5个.∴王老师的教学绩效考核平均成绩为：；第二学期的数据为：44，49，52，54，54，58，59，60，61，62，63，63，65，66，67，70，71，72，72，73，77，81，88，88，94，其“中位数”为65，优秀有5个，合格有15个，不合格有5个，∴赵老师的教学绩效考核平均成绩为：，∴，所以，王老师的教学绩效考核平均成绩较大；（Ⅱ）由题意得：，∵，∴没有的把握认为“学生成绩优秀与更换老师有关”.【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，结合数据完成列联表计算的观测值是解决本题的关键，属于基础题. 20.已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，若与轴垂直时，.(1)求抛物线的方程；(2)如图，若点在准线上的投影为是抛物线上一点，且，求面积的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）16.【解析】【分析】（Ⅰ）由抛物线的定义求出，然后求解抛物线的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，设，利用韦达定理以及弦长公式，以及点到直线的距离求解三角形的面积．【详解】（Ⅰ）由轴时，，∴抛物线的方程为：；（Ⅱ）由，可设：，与联立得：，设，，则，∴，由，，∴，，∴：，即，与联立得，∴，∴点到直线的距离，∴，∴当（即轴），取最小值16.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，弦长公式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.21.已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若，且是函数的两个极值点，求的最小值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数，对a分类讨论，解不等式即可得到结果；（Ⅱ），构造新函数，研究函数的单调性，极值与最值即可.【详解】（Ⅰ），，，令，，①当，即时，恒成立，∴，∴在上单调递增；②当，即或时，有两个实数根，，若，则，∴，∴当时，，；当时，，，∴在上单调递减；在上单调递增，若，则，∴，当或时，，；当时，，，∴在，上单调递增；在上单调递减；（Ⅱ），令，由，，得，，∴，∴或（舍去），∴，令，，，∴在上单调递减，∴，且当时，，也取得最小值，∴.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.在平面直角坐标系中，已知点，曲线的参数方程为(为参数).以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.(1)判断点与直线的位置关系并说明理由；(2)设直线与曲线交于两个不同的点，求的值.【答案】（Ⅰ）点在直线上；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）把直线化成直角坐标方程后，代入点的坐标看是否满足；（Ⅱ）联立直线的参数方程与曲线，利用参数的几何意义可得．【详解】（Ⅰ）直线：，即，斜率，倾斜角，∵点满足此方程，∴点在直线上；（Ⅱ）曲线的普通方程为①，直线的参数方程为（为参数）②，把②代入①得，得，，又∵，，且与异号，∴.【点睛】本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程以及参数的几何意义，属于中档题.23.已知函数.(1)当时，解关于的不等式；(2)若函数的最大值是3，求的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）代入，的值，通过讨论的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值不等式的性质求出，结合基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．【详解】（Ⅰ）∵当，时，，∴的解集为；（Ⅱ）∵，，，∴，∴，当且仅当，即，时，等号成立.故的最小值为.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
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2019年高三年级第三次诊断性测试理科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意得，，，然后利用数轴可以得出.【详解】解：因为，所以，，又因为，所以，故选B。
【点睛】本题考查了集合的交集运算，将集合中变量的范围具体解析出来是解题的前提，属于简单题。
2.若复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据，求出，然后根据复数模的公式求出。
【详解】解：因为复数满足所以所以，故选A。
【点睛】本题考查了复数的四则运算和复数模的运算，求解复数模的前提是将复数表示为的标准形式，然后根据模的公式求解。
3.若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是（）A. 在圆上B. 在圆外C. 在圆内D. 以上都有可能【答案】B【解析】【分析】直线与圆有两个公共点，可得，即为，由此可得点与圆的位置关系。
【详解】解：因为直线与圆有两个公共点，所以有，即，因为点与圆心的距离为，圆的半径为1，所以点在圆外，故选B。
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系的判断方法有：1.圆心到直线的距离与半径做比较；2.联立直线与圆的方程，根据方程组根的个数进行判断。
4.如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三视图可以得到原几何体为三棱锥，且是有三条棱互相垂直的三棱锥，根据几何体的各面面积可得最大面的面积。
【详解】解：分析题意可知，如下图所示，该几何体为一个正方体中的三棱锥，最大面的表面边长为的等边三角形，故其面积为，故选B。
【点睛】本题考查了几何体的三视图问题，解题的关键是要能由三视图解析出原几何体，从而解决问题。
5.函数（其中）的图像如图所示，为了得到的图像，只需把的图像上所有点（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】C【解析】【分析】根据题目中的图象求解出周期，得出的值，再将点代入函数解析式，求出的值，然后根据图象变换规则得出答案。
【详解】解：由图可知，即，所以，解得，将点代入到解析式，即，又因为，所以，函数的解析式为，故只需把函数向左平移个单位即可得到函数，故选C。
【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，解决问题的关键是由图象求出函数的解析式，再根据图象变换的规则解决问题，属于基础题。
6.关于的方程有两个解，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由得：，对的范围分类，作出函数及的图象，由图象即可得解。
【详解】由得：，当时，分别作出函数及的图象如下：显然，两个函数图象只交于一点，故只有一解.当时，分别作出函数及的图象如下：显然，两个函数图象交于两点，故有两个解.所以实数的取值范围是.故选：A【点睛】本题主要考查了指数函数的图象，考查了分类思想及转化思想，属于基础题。
7.《九章算术》中有如下问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升。
问中间二节欲均容，各多少？”其大意：“今有竹节，下节容量升，上节容量升，问使中间两节也均匀变化，每节容量是多少？”在这个问题中，中间这两节的容量是（）A. 升和升B. 升和升C. 升和升D. 升和升【答案】B【解析】【分析】由题可得：竹九节的容量依次成等差数列，由下3节容量4升及上4节容量3升列方程即可求得及，问题得解。
【详解】由题可得：竹九节的容量依次成等差数列，从上往下，不妨设每节的容量依次为：又下3节容量4升，上4节容量3升，可得，解得：，所以中间这两节的容量，故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的应用，考查了等差数列的通项公式及计算能力，属于中档题。
8.将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任意取两个，这两个都恰是两面涂色的概率是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成个同样大小的小正方体，其中恰有两面涂色的小正方体有12个，从个同样大小的小正方体任取两个的事件数为，从12个恰有两面涂色的小正方体任取两个的事件数为，再由古典概型可得结果。
【详解】解：一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成个同样大小的小正方体，其中恰有两面涂色的小正方体有12个，因为从个同样大小的小正方体任取两个的事件数为，从12个恰有两面涂色的小正方体任取两个的事件数为，由古典概型公式可得，这两个都恰是两面涂色的概率为，故选D。
【点睛】本题考查了古典概型问题，解题的关键是求出满足条件的事件数，再根据古典概型的计算公式求解问题，属于基础题。
9.现将甲、乙、丙、丁四个人安排到座位号分别是的四个座位上，他们分别有以下要求，甲：我不坐座位号为和的座位；乙：我不坐座位号为和的座位；丙：我的要求和乙一样；丁：如果乙不坐座位号为的座位，我就不坐座位号为的座位.那么坐在座位号为的座位上的是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】C【解析】【分析】对甲分别坐座位号为3或4分类推理即可判断。
【详解】当甲坐座位号为3时，因为乙不坐座位号为1和4的座位所以乙只能坐座位号为2，这时只剩下座位号为1和4又丙的要求和乙一样，矛盾，故甲不能坐座位号3.当甲坐座位号为4时，因为乙不坐座位号为1和4的座位，丙的要求和乙一样：所以丁只能坐座位号1，又如果乙不坐座位号为2的座位，丁就不坐座位号为1的座位.所以乙只能坐座位号2，这时只剩下座位号3给丙。
所以坐在座位号为3的座位上的是丙.故选：C【点睛】本题主要考查了逻辑推理能力，考查了分类思想，属于中档题。
10.已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，则三棱柱外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设的外接圆圆心为的外接圆圆心为，根据题意可得球心为的中点，在中求解球的半径，从而可得球的体积。
【详解】解：设的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，球的球心为，因为三棱柱的侧棱与底面垂直，所以球球心为的中点，且直线与上、下底面垂直，且，，所以在中，，即球的半径为，所以球的体积为，故选D。
【点睛】本题考查了柱体外接球的体积问题，解决问题的关键是要能准确想象出三棱柱各点、各棱、各面与外接球的位置关系，从立体图形中构建出平面图形，从而解得球的半径，属于中档题。
11.已知双曲线，过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线左、右两支于两点，以线段为直径的圆过右焦点，则双曲线离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以为直径的圆过右焦点F，所以得到该圆以原点为圆心，为半径，故得到，根据对称性，圆也过左焦点，设左焦点为，从而，再根据双曲线的定义解得离心率。
【详解】解：因为以为直径的圆过右焦点F，所以得到该圆以原点为圆心，为半径，故得到，因为过原点直线的倾斜角为，即，所以为等边三角形，所以，根据对称性，该圆也过双曲线的左焦点，设左焦点为，所以，，在中，由余弦定理得，，根据双曲线的定义得，，即，解得：，故选C。
【点睛】本题考查了双曲线的定义和性质，主要考查了双曲线的离心率这一性质，求解本题离心率的方法是利用定义法构建与的方程，属于中档题。
12.若函数，有三个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可知且，故函数最多两个零点，故函数必须有零点，而函数是单调函数，故函数最多有一个零点，所以得出函数必须有一个零点，函数必须有两个零点，再结合图象，根据函数零点存在定理得出的范围。
【详解】解：由题意可知且，当时，函数的导函数为，所以函数在为减函数，在为增函数，故函数最多两个零点；而当时，函数是单调函数，故函数最多有一个零点；根据上述分析可以得出：函数必须有两个零点，函数必须有一个零点。
当时，在函数中，因为，故，解得，当时，当时，函数是单调递减，，不满足题意，当时，函数是单调递增，因为在时有一个零点，则，解得：综上：，故选C。
【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，解题时运用了数形结合、分类讨论等思想方法进行求解，属于较难题。
二、填空题（将答案填在答题纸上）13.已知向量满足，且，则向量与的夹角为______．【答案】【解析】【分析】向量满足，所以有，化简整理得，将代入，从而得出向量与的夹角。
【详解】解：向量满足，所以有，化简整理得，将代入，，解得：所以向量与的夹角为。
【点睛】本题考查了向量的夹角问题、向量的数量积问题，解决问题时应准确运用向量乘法的法则，属于基础题。
14.设满足约束条件，若的最大值为，则的值为_____．【答案】3【解析】【分析】作出不等式组表示的区域，利用线性规划知识列方程即可得解。
【详解】作出不等式组表示的区域，如下图：作出直线，由图可得：当直线往上平移，经过点时，最大，由已知得：，解得：.【点睛】本题主要考查了利用线性规划知识求最值，考查了方程思想及计算能力，属于基础题。
15.已知直线，若是抛物线上的动点，则点到直线的距离与其到轴的距离之和的最小值为____．【答案】2【解析】【分析】依据题意作出图形，由抛物线定义得：点到直线的距离与其到轴的距离之和的最小值可转化成求点到直线距离问题，再由点到直线距离公式得解。
【详解】依据题意作出图形，点到直线的距离与其到轴的距离之和为：，设点到抛物线的准线的距离为，由抛物线定义可得：，所以的最小值问题可转化成的最小值问题.由图可得：的最小值就是点到直线距离，又,所以点到直线距离为：，所以点到直线的距离与其到轴的距离之和的最小值为：.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及抛物线的简单性质，考查转化能力及计算能力，属于中档题。
16.已知数列的前项和为，且，若集合中恰有三个元素，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】由法可求出，由转化成：，记，讨论的单调性，利用中恰有三个元素列不等式，从而得解。
【详解】因为...（1），所以 (2)（1）（2）整理得：.将代入得：所以是以，公比为的等比数列，所以，由可转化成：，记，则，所以,即：先增后减又，要使得中恰有三个元素，则满足的恰有三个，所以，即：.【点睛】本题主要考查了利用法求通项公式，还考查了等比数列的通项公式及判断数列的单调性，还考查了转化能力及计算能力，属于难题。
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.的内角的对边分别为，已知（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的面积的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理及二倍角公式可得：，化简得，问题得解。
（Ⅱ）由余弦定理可得：，结合已知及基本不等式得：，由三角形面积公式得，问题得解。
【详解】（Ⅰ）由正弦定理得.（Ⅱ），即，当且仅当时，等号成立。