2012年北京高考试题(文数,word解析版)

2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{}320A x R x =∈+>，{}(1)(3)0B x R x x =∈+->，则A B = ( ) A ．(,1)-∞- B ．2(1,)3-- C ．2(,3)3- D ．(3,)+∞2.在复平面内，复数103ii+对应的点坐标为（ ） A ． （1,3） B ． （3,1） C ．(1,3-） D ．31-（，）3.设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ） A ．4π B ． 22π- C ． 6π D ． 44π-4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16 5.函数121()()2xf x x =-的零点个数为（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 6. 已知{}n a 为等比数列.下面结论中正确的是（ ）A ．1322a a a +≥B ．2221322a a a +≥ C ．若13a a =，则12a a = D ．若31a a >，则42a a > 7. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ） A．28+ B．30+ C．56+D ．60+8. 某棵果树前n 年得总产量n S 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为（ ）A ．5B ．C ． 9D ．11第二部分（非选择题 共110分）（第4题图）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为 . 10.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若112a =，23S a =，则2a = ；n S = .11. 在△ABC 中，若3a =，b =3A π∠=，则C ∠的大小为 .12.已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则22()()f a f b += .13.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ⋅的值为 .14.已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-.若,()0x R f x ∀∈<或()0g x <，则m 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题13分） 已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.（1）求()f x 的定义域及最小正周期； （2）求()f x 的单调递减区间.16. （本小题14分）如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D,E 分别是AC ，AB 上的中点，点F 为线段CD 上的一点.将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图2. （1）求证：DE ∥平面A 1CB; （2）求证：A 1F ⊥BE;（3）线段A 1B 上是否存在点Q,使A 1C ⊥平面DEQ ？说明理由.17.（本小题13分）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,a b c ，其中0a >，600a b c ++=.当数据,,a b c 的方差2S 最大时，写出,,a b c 的值（结论不要求证明），并求此时2S 的值.（注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++- ，其中x 为12,,n x x x 的平均数）18.（本小题13分）已知函数2()1f x ax =+（0a >），3()g x x bx =+.（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，求,a b 的值； （2）当3,9a b ==-时，求函数()()f x g x +在区间[,2]k 上的最大值为28，求k 的取值范围.19.（本小题14分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为(2,0)A ，离心率为2.直线(1y k x =-）与椭圆C 交于不同的两点M,N .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当△AMN k 的值.20.（本小题13分）设A 是如下形式的2行3满足：性质P ：,,,,,[1,1]a b c d e f ∈-，且0++++=a b c d e f +.记()i r A 为A 的第i 行各数之和1,2=i （），()j c A 为A 的第j 列各数之和1,2,3=j （）； 记()k A 为1|()|r A ，2|()|r A ，1|()|c A ，2|()|c A ，3|()|c A 中的最小值. （1）对如下数表A,求()k A 的值；（2）设数表A 形如其中0-1d ≤≤.求()k A 的最大值；（3）对所以满足性质P 的2行3列的数表A,求()k A 的最大值。

参考答案一、选择题 1．【答案】D【解析】2|3A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，利用二次不等式的解法可得{}|31B x x x =><-或，画出数轴易得{}|3A x x ⋂=>。

【考点定位】本小题考查的是集合（交集）运算和一次和二次不等式的解法。

2．【答案】A 【解析】1010(3)133(3)(3)i i i i i i i -==+++-，实部是1，虚部是3，对应复平面上的点为(1,3)，故选A 【考点定位】本小题主要考查复数除法的化简运算以及复平面、实部虚部的概念。

3．【答案】D【解析】题目中0202x y ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩表示的区域表示正方形区域，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此2122244224p ππ⨯-⨯-==⨯，故选D 【考点定位】 本小题是一道综合题，它涉及到的知识包括：线性规划，圆的概念和面积公式、概率。

4．【答案】C 【解析】0,11,12,23,8k s k s k s k s ==⇒==⇒==⇒==，循环结束，输出的S 为8，故选C 【考点定位】 本小题主要考查程序框图，涉及到判断循环结束的时刻，以及简单整数指数幂的计算。

5．【答案】B【解析】函数121()()2x f x x =-的零点，即令()0f x =，根据此题可得121()2xx =，在平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选答案B 。

【考点定位】本小题表面上考查的是零点问题，实质上考查的是函数图像问题，该题涉及到图像幂函数和指数函数。

6．【答案】B 【解析】当10,0a q <<时，可知1320,0,0a a a <<>，所以A 选项错误；当1q =-时，C 选项错误；当0q <时，323142a a a q a q a a >⇒<⇒<，与D 选项矛盾。

因此根据均值定理可知B 选项正确。

【考点定位】本小题主要考查的是等比数列的基本概念，其中还涉及了均值不等式的知识，如果对于等比数列的基本概念（公比的符号问题）理解不清，也容易错选，当然最好选择题用排除法来做。

7．【答案】B【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和。

利用垂直关系和三角形面积公式，可得：10,10,10,S S S S ====后右左底30S =+B 。

【考点定位】本小题主要考查的是三棱锥的三视图问题，原来考查的是棱锥或棱柱的体积而今年者的是表面积，因此考查了学生的计算基本功和空间想象能力。

8．【答案】C【解析】由图可知6，7，8，9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C 。

【考点定位】 本小题知识点考查很灵活，要根据图像识别看出变化趋势，判断变化速度可以用导数来解，当然此题若利用数学估计过于复杂，最好从感觉出发，由于目的是使平均产量最高，就需要随着n 的增大，n S 变化超过平均值的加入，随着n 增大，n S 变化不足平均值，故舍去。

9．【答案】【解析】将题目所给的直线与圆的图形画出，半弦长为2l，圆心到直线的距离d ==，以及圆半径2r =构成了一个直角三角形，因此2222()42282l r d l l =-=-=⇒=⇒=【考点定位】本小题涉及到的是直线与圆的知识，由于北京的考卷多年没有涉及直线和圆，对于二生来说，可能能些陌生，直线与圆相交求弦长，利用直角三角形解题，也并非难题。

10．【答案】1，1(1)4n n + 【解析】23S a = ，所以111211212a a d a d d a a d ++=+⇒=⇒=+=，1(1)4n S n n =+。

【考点定位】 本小题主要考查等差数列的基本运算，考查通项公式和前n 项和公式的计算。

11．【答案】2π【解析】222cos 2b c a A c bc+-=⇒=sin sin c a C A =，故sin 12C C π=⇒=。

【考点定位】本小题主要考查的是解三角形，所用方法并不唯一，对于正弦定理和余弦定理此二者会其一都可以得到最后的答案。

12．【答案】2 【解析】()lg ,()1f x x f ab == ，lg()1ab ∴=2222()()lg lg 2lg()2f a f b a b ab ∴+=+==【考点定位】本小题考查的是对数函数，要求学生会利用对数的运算公式进行化简，同时也要求学生对于基础的对数运算比较熟悉。

13．【答案】1；1【解析】根据平面向量的点乘公式||||cos DE CB DE DA DE DA θ⋅=⋅=⋅ ，可知||cos ||DE DA θ= ，因此2||1DE CB DA ⋅== ；||||cos ||cos DE DC DE DC DE αα⋅=⋅=⋅ ，而||cos DE α就是向量DE 在DC 边上的射影，要想让DE DC ⋅ 最大，即让射影最大，此时E 点与B 点重合，射影为||DC，所以长度为1【考点定位】 本题是平面向量问题，考查学生对于平面向量点乘知识的理解，其中包含动点问题，考查学生最值的求法。