第5章-2010-5-5

1. 在具有相同幅频响应的因果的稳定的滤波器 集合中, 最小相位滤波器具有最小的相位偏移； 例：作为作业，请证明如下两个系统具有相同
的幅频响应：
H1 ( z ) z b 1 bz , 1 z a 1 az
1
a 1, b 1
bz 1 b z 1 H 2 ( z) , a 1, b 1 z 1 ) H ap ( z ) A( z )
对该全通系统，请自己证明：
H ap (e ) H (e ) H ap (e ) 1
* ap j j j 2
全通系统的特点：
1 . 是IIR系统(不考虑纯延迟形式）；
2. 极点数和零点数相等；
3. 极点和零点是以单位圆镜像对称的；
4. 极点都在单位圆内,零点都在单位圆外；
5. 全通系统的群延迟始终为正值。
全通系统的应用：
IIR系统的 h(n) 无限长，无法对称，即无法作
到线性相位。在实际中，可以用一个全通系统
和IIR系统相级联，在不改变幅频响应的情况下 对相频响应做矫正，使其接近线性相位。 全通系统还广泛应用在系统分析及一些特殊
为全通系统。
k
Hap ( z) z
最简单的全通 系统，纯延迟
一阶全通系统：
1 1 z 1 H ap ( z ) 1 1 z
1
镜像 对称
Pole : z , Zero : z 1
2
H ap ( z ) H ap ( z ) H ap ( z 1 ) 2
H ap (e ) H ap (e j ) H ap (e j ) 2
j 2
二阶全通系统：
(1 z )(1 ( ) z ) H ap ( z ) 1 1 (1 z )(1 z )
1 1 1 1
一对位于单位圆内的共轭极点，一对共 轭零点和极点以单位圆为镜像对称 。
2
2 2
0
0
0
-2 20
0
10
20
-2 10 0
0
10
20
-2 15 10 5
0
10
20
10 -10 0 0 0.25 0.5 -20 0 0.25 0.5
0
0
10
20
3. 设 H ( z ) 为最小相位系统 令：
则：
和
构成一对Hilbert变换
复倒谱：Cepstrum
4. 对于稳定因果系统，当且仅当其是最小相位 系统时, 该系统才有逆系统 （Inverse System)。
H g
cn sinn
n 1
N 1 2
特性： Hg()关于 =0,,2 奇对称 Hg()在0,,2 点为零 H(z)在z=±1处 为零点 ()有90º 相移 是的线性函数
N 1 2 2 N 1 N 1 c ( n) 2h ( n) n 1,2,, 2 2
一、线性相位条件 FIRDF 系统函数
H z
h( n) z
n 0
N 1
n
保证线性相位的条件 1.h(n)为实数 2.h(n)满足对称条件h(n)= ±h(N-1-n)
根据长度N的奇偶不同可将FIRDF分为两种类型
对称中心
n
N 1 2
二、线性相位特点
H ( e j )
b( n) 2 h(
N n) 2
n 1,2,,
N 2
2. 第二类线性相位FIRDF特性 h(n)奇对称：h(n) = -h(N-1-n)

N为奇数
N 1 h( )0 2
H e j e

N 1 N 1 j( ) 2 2 2 c

n 1
n sin n

N为偶数
H e j

N N 1 j 2 2 e N 2

1 bn cos ( n ) 2 n 1
1 H g bn cos ( n ) 2 n 1


N 1 2
特性： Hg()关于 = 奇对称 Hg()在点为零 Hg()=0； H(z)在z=-1处 有一个零点 () 是的线性函数
n 0
M
累计能量
有：
h2 min (n) h2 (n)
n 0 n 0
M
M
所以，最小相位系统的单位抽样响应又称最 小延迟序列。
思考： 具有线性相位的FIR 系统是否是最小相位系统？
例. 三个系统：
(1 0.5e j / 3 z 1 ) 2 (1 0.5e j / 3 z 1 ) 2 H1 ( z ) 1 0.81z 2 (1 0.5e j / 3 z 1 )(1 0.5e j / 3 z 1 )(0.5e j / 3 z 1 )(0.5e j / 3 z 1 ) H 2 ( z) 1 0.81z 2 (0.5e j / 3 z 1 ) 2 (0.5e j / 3 z 1 ) 2 H3 ( z) 1 0.81z 2
令： 记：
N ( z) H ( z) D( z ) 1 D( z ) H INV ( z ) H ( z) N ( z)
H ( z)
y ( n)
H ( z) 的逆系统
x ( n)
H INV ( z)
x ( n)
Deconvolution(反卷积）System identification(系统辨识）
滤波器的设计方面（如功率互补IIR滤波器组）
极－零图
1 1.5 0.5 1 0.5 0
幅频
一 阶 全 通 系 统
0 -0.5 -1 -1 0 -1 0 (a) 1
0
0.2 (b)
0.4
1
0.5 -2 0 -3 -4 -0.5
0
0.2 (c)
0.4
0
5
10 (d)
15
20
相频
抽样响应
1 1 0.5 0 -0.5 -1 -1 0 -2 0.5 -4 0 -6 -8 -0.5 0 (a) 1 0 0.5
那一个 是最小 相位系 统
z b 1 bz 1 H1 ( z ) , 1 z a 1 az
a 1, b 1
bz 1 b z 1 H 2 ( z) , a 1, b 1 1 z a 1 az
3
幅 频
4 1.5 2
0
0
0
0.2 (a)
它们具有相同的幅频响应，试判断，那一个是最 小相位系统？最大相位系统？混合相位系统？
请注意：为保证系统具有相同的幅频响应 H （相同的定标）， 1 ( z), H2 ( z), H3 ( z) 的表达式。
1 2 0 -1 -1 2 0 1 2 -2 0 2 2 -2 0 2 2 1 0 -1 2 1 0 -1 2


N为偶数
H e j e

N N 1 j( ) 2 2 2

1 d n sin ( n ) 2 n 1
特性： Hg()关于 = 偶对称 Hg()在0, 2点为零 H(z)在z=1处 为零点 ()有90º 相移 是的线性函数
2. 不在实轴，但在圆上，也是一对共轭零点；模＝1；
3. 在实轴但不在圆上，无共轭，角度＝0， 4. 在实轴，但在圆上，无共轭，角度＝0，
模<1;
模＝1;
在单位圆内
四个零点同时存在, 构成四阶系统.
把该式展开，其系数也是对称的，是具 有线性相位的子系统。
无共轭零点, 有镜象零点
无镜象对称零点, 有共轭零点.

n 0
n cosn
特性： Hg()偶对称 （=0，， 2） Hg()包括正负值， 长度为h(n)一半 () 是的线性函数
H g
an cosn
n 0
N 1 2
N 1 2
N 1 n0 h ( 2 ) an 2h( N 1 n) n 1,2, , N 1 2 2
1 H g d n sin ( n ) 2 n 1


N 2


2
N 1 2
N d ( n) 2h( n) 2
N n 1,2,, 2
5.3 具有线性相位系统的零点分布
H ( z ) h( n) z n h( N 1 n) z n
高阶全通系统：
z 1 k H ap ( z ) 1 k 1 1 k z
N
k 1
高阶全通系统的另一种表示形式：
aN aN 1 z 1 a1 z ( N 1) z N H ap ( z ) 1 2 N 1 a1 z a2 z aN z
H(z)零点的讨论 h(n)是实数时，H(z)的零点成共轭出现 h(n) = ±h(N-1-n) ,H(z-1)零点也是H(z)零点 Zk, Zk*, Zk-1, (Zk-1)*
H ( z ) 的零点分布:
H ( z ) 零点分布可
能有四种情况：
1. 不在实轴也不在圆上，应是一对共轭零点，模<1;
0
0.2 (b)
0.4
1
0
0.2 (c)
0.4
0
10 (d)
20
30
三阶全通系统
最小相位系统
一个离散系统，其极点必须在单位圆内，
但对零点没有限制，如果：
1. 所有的零点都在单位圆内： 最小相位系统； 2. 所有的零点都在单位圆外： 最大相位系统；