2018北京市朝阳区高三数 学(理)(一模)

2018北京市朝阳区高三数 学（理）（一模） 2018．3（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知全集为实数集R ，集合2{30}A x x x =-<，{21}x B x =>，则R A B ()=ðA ．(0][3,)，-∞+∞B ．(0,1]C ．[)3+∞，D ．[1)，+∞ 2．复数z 满足(1+i)i z =，则在复平面内复数z 所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．直线l 的参数方程为=3,1+3x t y t-ìïïíï=ïî（t 为参数），则l 的倾斜角大小为 A ．6π B ． 3π C ． 32π D ．65π4．已知a b ,为非零向量，则“0a b >⋅”是“a 与b 夹角为锐角”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．某单位安排甲、乙、丙、丁4名工作人员从周一到周五值班，每天有且只有1人值班，每人至少安排一天且甲连续两天值班，则不同的安排方法种数为A ．18B ．24C ．48D ．96 6．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于A ．34B ．23C ．12D ．137．庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”．庙会大多在春节、元宵节等节日举行．庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）．今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：俯视图正视图侧视图1 11 1甲说：“我或乙能中奖”； 乙说：“丁能中奖”； 丙说：“我或乙能中奖”； 丁说：“甲不能中奖”．游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,0)A ,(1,2)B ，动点P 满足O P O A O B λμ=+,其中,[0,1],[1,λμλμ∈+∈，则所有点P 构成的图形面积为A ． 1B ． 2C ． 3D ． 23第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．执行如图所示的程序框图，若输入5m =，则输出k 的值为________．10．若三个点(2,1),(2,3),(2,1)---中恰有两个点在双曲线222:1(0)x C y a a-=>上，则双曲线C 的渐近线方程为_____________．11．函数()sin()f x A x ωϕ=+（0,0,2A ωϕπ>><）的部分图象如图所示，则=ω ；函数()f x 在区间[,3ππ]上的零点为 ．12．已知点(2,0),(0,2)A B -，若点M 是圆22220x y x y +-+=上的动点，则ABM ∆面积的最小值为 ． 13．等比数列{}n a 满足如下条件：①10a >；②数列{}n a 的前n 项和1n S <． 试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式 ．14．已知R a ∈，函数211(+1)0π()sin 2,0.22x x x a x x f x x --+⎧+<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩+， ，当0x >时，函数()f x 的最大值是 ；若函数()f x的图m >50输出k 结束开始 输入m k =0m =2m -1 是k =k +1否象上有且只有两对点关于y 轴对称，则a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15． (本小题满分13分)在ABC ∆中，已知5sin 5A =，2cos b a A =． （Ⅰ）若5ac =，求ABC ∆的面积； （Ⅱ）若B 为锐角，求sin C 的值． 16．(本小题满分14分)如图1，在矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，E 为AD 的中点，O 为BE 中点．将ABE ∆沿BE 折起到A BE '，使得平面A BE '⊥平面BCDE （如图2）． （Ⅰ）求证：A O CD '⊥；（Ⅱ）求直线A C '与平面A DE '所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段A C '上是否存在点P ，使得//OP 平面A DE '? 若存在，求出A PA C''的值；若不存在，请说明理由．17．(本小题满分13分)某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：性别 选考方案确定情况 物理 化学 生物 历史 地理 政治 男生选考方案确定的有8人8 8 4 2 1 1 选考方案待确定的有6人 4 3 0 1 0 0 女生选考方案确定的有10人896331选考方案待确定的有6人5411（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？（Ⅱ）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的．从选考方案确定的8位男生中随机选出1人，从选考方案图1EABCDOA '图2CBDEO确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率； （Ⅲ）从选考方案确定的8名男生中随机选出2名，设随机变量221,2,ξ⎧=⎨⎩名男生选考方案相同名男生选考方案不同，，求ξ的分布列及数学期望E ξ．18． (本小题满分13分)已知函数ln 1()x f x ax x-=-． （Ⅰ）当2a =时，（ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ⅱ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若12a <<，求证：)(x f 1<-． 19． (本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为22，且过点2(1,)2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆C 的左焦点的直线1l 与椭圆C 交于,A B 两点，直线2l 过坐标原点且与直线1l 的斜率互为相反数．若直线2l 与椭圆交于,E F 两点且均不与点,A B 重合，设直线AE 与x 轴所成的锐角为1θ，直线BF 与x 轴所成的锐角为2θ，判断1θ与2θ大小关系并加以证明． 20． (本小题满分13分)已知集合128{,,,}X x x x =是集合{2001,2002,2003,,2016,2017}S =的一个含有8个元素的子集．（Ⅰ）当{2001,2002,2005,2007,2011,2013,2016,2017}X =时，设,(1,8)i j x x X i j ∈≤≤，（i ）写出方程2i j x x -=的解(,)i j x x ；（ii ）若方程(0)i j x x k k -=>至少有三组不同的解，写出k 的所有可能取值；（Ⅱ）证明：对任意一个X ，存在正整数k ，使得方程(1,8)i j x x k i j -=≤≤至少有三组不同的解．数学试题答案一、选择题：（本题满分40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CACBBDAC二、填空题：（本题满分30分） 题号9 1011 121314答案422y x =±2127π 212n n a =（答案不唯一）121(1,)2-三、解答题：（本题满分80分） 15． (本小题满分13分)解：（Ⅰ）由2cos b a A =，得cos 0A >，因为5sin 5A =，所以25cos 5A =.因为2cos b a A =，所以5254sin 2sin cos 2555B A A ==⨯⨯=． 故ABC ∆的面积1sin 22S ac B ==． ………………….7分 （Ⅱ）因为4sin 5B =，且B 为锐角，所以3cos 5B =.所以115sin sin()sin cos cos sin 25C A B A B A B =+=+=．………….13分16．(本小题满分14分)证明：（Ⅰ）由已知2AB AE ==，因为O 为BE 中点，所以A O BE '⊥． 因为平面A BE '⊥平面BCDE ，且平面A BE'平面BCDE BE =，A O '⊂平面A BE '，所以A O '⊥平面BCDE ．又因为CD ⊂平面BCDE ，所以A O CD '⊥． ………….5分 （Ⅱ）设F 为线段BC 上靠近B 点的四等分点，G 为CD 中点．由已知易得OF OG ⊥．由（Ⅰ）可知，A O '⊥平面BCDE ， 所以A O OF '⊥，A O OG '⊥.以O 为原点，,,OF OG OA '所在直线分别为,,x y z 轴zByCD A 'EO F G建立空间直角坐标系（如图）． 因为2A B '=，4BC =，所以(002),(110),(130),(130),(110)A B C D E ，，,，，，，，，，'---． 设平面A DE '的一个法向量为111(,,)x y z =m ，因为(132),(020)A D DE ，，，，'=--=-， 所以 0, 0,A D DE ⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即1111320,20. x y z y ⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩取11z =-，得(2,0,1)=-m ． 而A C '=()1,3,2-.所以直线A C '与平面A DE '所成角的正弦值222sin .3233θ==⋅ ……….10分 （Ⅲ）在线段A C '上存在点P ，使得//OP 平面A DE '. 设000(,,)P x y z ，且(01)A PA Cλλ'=≤≤'，则A P A C λ''=，[0,1]λ∈． 因为(002),(130)A C ，，，，'，所以000(,,2)(,3,2)x y z λλλ-=-， 所以000,3,22x y z λλλ===-，所以(,3,22)P λλλ-，(,3,22)OP λλλ=-．若//OP 平面A DE '，则OP ⊥m .即0OP ⋅=m .由（Ⅱ）可知，平面A DE '的一个法向量(2,0,1)=-m ，即2220λλ-+=，解得1[0,1]2λ=∈，所以当12A P A C '='时，//OP 平面A DE '． ……….14分17．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有4人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有6人，该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有1018420=1401830⨯⨯人． ……….3分 （Ⅱ）由数据可知，选考方案确定的8位男生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为21=84； Bx yz CD A 'E OPFG选考方案确定的10位女生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为310． 所以该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率为13341040⨯=．…….8分 （Ⅲ）由数据可知，选考方案确定的男生中有4人选择物理、化学和生物；有2人选择物理、化学和历史；有1人选择物理、化学和地理；有1人选择物理、化学和政治． 由已知得ξ的取值为1,2．2242281(1)4C C P C ξ+===， 1111422228()213(2)4C C C C P C ξ++⨯+===， 或3(2)1(1)4P P ξξ==-==. 所以ξ的分布列为ξ 12P14 34所以13712444E ξ=⨯+⨯=． …….13分 18． (本小题满分13分)（Ⅰ）当2a =时，ln 1()2x f x x x-=-.2222ln 22ln ()2x x xf x x x ---'=-=. （ⅰ）可得(1)0f '=，又(1)3f =-，所以()f x 在点（1,3-）处的切线方程为3y =-. ….3分 （ⅱ）在区间（0,1）上2220x ->，且ln 0x ->，则()0f x '>. 在区间（1,+∞）上2220x -<，且ln 0x -<，则()0f x '<.所以()f x 的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为（1,+∞）. ….8分 （Ⅱ）由0x >，()1f x <-，等价于ln 11x ax x--<-，等价于21ln 0ax x x -+->. 设2()1ln h x ax x x =-+-，只须证()0h x >成立.因为2121()21ax x h x ax x x--'=--=，12a <<，由()0h x '=，得2210ax x --=有异号两根. 令其正根为0x ，则200210ax x --=.在0(0,)x 上()0h x '<，在0(,)x +∞上()0h x '>.则()h x 的最小值为20000()1ln h x ax x x =-+-0011ln 2x x x +=-+- 003ln 2x x -=-.又(1)220h a '=->，13()2()30222a h a '=-=-<，所以0112x <<.则0030,ln 02x x ->->.因此003ln 02x x -->，即0()0h x >.所以()0h x >所以()1f x <-. ….….13分19． (本小题满分14分)解：（Ⅰ）由题意得222222,2,111.2c a a b c ab ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩解得2a =，1b =，1c =．故椭圆C 的方程为2212x y +=． ….….5分（Ⅱ）12=θθ．证明如下：由题意可设直线1l 的方程为(1)y k x =+，直线2l 的方程为y kx =-，设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)E x y ，33(,)F x y --．要证12=θθ，即证直线AE 与直线BF 的斜率之和为零，即0AE BF k k += ． 因为13231323AE BF y y y y k k x x x x -++=+-+ 13231323(1)(1)k x kx k x kx x x x x +++-=+-+ 2121231323[2()2]()()k x x x x x x x x x +++=-+．由22(1),1,2y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(12)4220k x k x k +++-=，所以2122412k x x k -+=+，21222212k x x k -=+．由22,1,2y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(12)2k x +=，所以232212x k =+． 所以2221212322244442()20121212k k x x x x x k k k --+++=++=+++．2121231323[2()2]0()()AE BFk x x x x x k k x x x x ++++==-+．所以12=θθ． ….….14分20． (本小题满分13分)解：（Ⅰ）（ⅰ）方程2i j x x -=的解有：(,)(2007,2005),(2013,2011)i j x x =．……2分 （ii ）以下规定两数的差均为正，则：列出集合X 的从小到大8个数中相邻两数的差：1，3，2，4，2，3，1； 中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）：4，5，6，6，5，4；中间相隔二数的两数差：6，9，8，9，6； 中间相隔三数的两数差：10，11，11，10； 中间相隔四数的两数差：12，14，12； 中间相隔五数的两数差：15，15； 中间相隔六数的两数差：16这28个差数中，只有4出现3次、6出现4次，其余都不超过2次，所以k 的可能取值有4，6．…………………………………………………………6分 （Ⅱ）证明：不妨设12820012017x x x ≤<<<≤，记1(1,2,,7)i i i a x x i +=-=，2(1,2,,6)i i i b x x i +=-=，共13个差数．假设不存在满足条件的k ，则这13个数中至多两个1、两个2、两个3、两个4、两个5、两个6，从而 127126()()2(126)749a a a b b b +++++++≥++++=. …………①又127126818721()()()()a a a b b b x x x x x x +++++++=-++--81722()()2161446x x x x =-+-≤⨯+=，这与①矛盾！所以结论成立．……………………………………………………………………13分。