2018年高三北京市朝阳区2018届高三(一模)数学

合集下载

专题3.1 以立体几何中探索性问题为背景的解答题——新高考数学专项练习题附解析

专题三压轴解答题第一关以立体几何中探索性问题为背景的解答题【名师综述】利用空间向量解决探索性问题立体几何中的探索性问题立意新颖，形式多样，近年来在高考中频频出现，而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色，它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具，应用空间向量这一工具，为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法．下面借“题”发挥，透视有关立体几何中的探索性问题的常见类型及其求解策略，希望读者面对立体几何中的探索性问题时能做到有的放矢，化解自如．1.以“平行”为背景的存在判断型问题典例1 （2019·山东省实验中学高考模拟）如图所示的矩形ABCD中，AB=12AD=2，点E为AD边上异于A，D两点的动点，且EF//AB，G为线段ED的中点，现沿EF将四边形CDEF折起，使得AE与CF的夹角为60°，连接BD，FD．(1)探究：在线段EF上是否存在一点M，使得GM//平面BDF，若存在，说明点M的位置，若不存在，请说明理由；(2)求三棱锥G—BDF的体积的最大值，并计算此时DE的长度．【名师指点】本题是直线和平面平行的存在性问题，这种问题可以利用空间直角坐标系，通过建系设点，利用空间向量求解，如果利用传统立体几何的方法，就需利用分析法，利用直线和平面平行的性质定理寻求点的位置．【举一反三】如图所示,在四棱锥中,四边形是正方形,点分别是线段的中点.（1）求证：;（2）线段上是否存在一点,使得面面,若存在，请找出点并证明;若不存在,请说明理由.类型2 以“垂直”为背景的存在判断型问题典例2 如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，，为中点,（1）求证：平面；（2）若是正三角形，且.(Ⅰ)当点在线段上什么位置时，有平面？(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，点在线段上什么位置时，有平面平面？【名师指点】以直线和平面垂直、直线和直线垂直为背景的垂直问题，可以通过建立空间直角坐标系，通过直线的方向向量与平面的法向量共线或者直线方向向量垂直求得，也可以利用传统立体几何知识利用分析的方法，确定线、面垂直关系来求解．【举一反三】【北京市通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试】如图，在三棱柱中，底面，△ABC是边长为的正三角形，，D，E分别为AB，BC的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在一点M ，使平面？说明理由.类型3 以“角”为背景的探索性问题典例3 （2019·山东高三月考）如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，SAD ∆是等边三角形，平面SAD ⊥平面ABCD ，1AB =，E 为棱SA 上一点，P 为AD 的中点，四棱锥S ABCD -的体积为233.（1）若E 为棱SA 的中点，F 是SB 的中点，求证：平面∥PEF 平面SCD ；（2）是否存在点E ，使得平面PEB 与平面SAD 所成的锐二面角的余弦值为30？若存在，确定点E 的位置；若不存在，请说明理由.【名师指点】与“两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角”有关的存在性问题，常利用空间向量法解决，可以避开抽象、复杂地寻找角的过程，只要能够准确理解和熟练应用夹角公式，就可以把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．事实说明，空间向量法是证明立体几何中存在性问题的强有力的方法．【举一反三】（2019·山东枣庄八中高三月考（理））如图，直三棱柱111-ABC A B C 中，120ACB ∠=且12AC BC AA ===，E 是棱1CC 上动点，F 是AB 中点.（Ⅰ）当E 是中点C 1C 时，求证：CF 平面 AE 1B ；（Ⅱ）在棱1CC 上是否存在点E ，使得平面AE 1B 与平面ABC 所的成锐二面角为6π，若存在，求CE 的长，若不存在，请说明理由.【精选名校模拟】1. （·山东高考模拟（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，,AD PCD PD CD ⊥⊥平面，底面ABCD 是梯形，//,1,2,AB DC AB AD PD CD AB Q ====为棱PC 上一点. (Ⅰ)若点Q 是PC 的中点，证明：//PQ PAD 平面； (Ⅱ)PQ PC λ=试确定λ的值使得二面角Q BD P --为60°. 2. （2019·夏津第一中学高三月考）如图所示，等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AD AB BC ===，4CD =，E 为CD 中点，AE 与BD 交于点O ，将ADE 沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）．（1）证明：平面POB ⊥平面ABCE ；（2）若6PB =，试判断线段PB 上是否存在一点Q （不含端点），使得直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值为15，若存在，求出PQ OB 的值；若不存在，说明理由．3. （2018·山东济南外国语学校高三月考（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60,90DAB ADP ∠=︒∠=︒，平面ADP ⊥平面ABCD ，点F 为棱PD 的中点．（Ⅰ）在棱AB 上是否存在一点E ，使得AF 平面PCE ，并说明理由；（Ⅱ）当二面角D FC B --的余弦值为24时，求直线PB 与平面ABCD 所成的角．【答案】（1）见解析（2）60︒4. （2019·北京北师大实验中学高三月考）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为正方形，已知PA ⊥平面ABCD ，2AB =，2PA =.（1）证明：BD PC ⊥；（2）求PC 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）在棱PC 上是否存在一点E ，使得平面BDE ⊥平面BDP ？若存在，求PEPC的值并证明，若不存在，说明理由.5.【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三上学期期末考试】如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱上的动点，且.（1）求证：；（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的正切值． 6. 【湖北省2019届高三联考测试】如图，在四棱锥中，，，，且PC=BC=2AD=2CD=2，.（1）平面；（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.7. 【福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查】如图，四边形是边长为2的正方形，平面平面，且.（1）证明：平面平面；（2）当，且与平面所成角的正切值为时，求二面角的正弦值.8. 【福建省厦门市2019届高三年级第一学期期末质检】如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，.（1）证明：平面；（2）当直线与平面所成角的正切值为时，求二面角的余弦值.9. 【北京市朝阳区2018-2019高三数学期末考试】如图，三棱柱的侧面是平行四边形，，平面平面，且分别是的中点.（1）求证：平面；（2）当侧面是正方形，且时，（ⅰ）求二面角的大小；（ⅱ）在线段上是否存在点，使得？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.10. 如图，在多面体ABCDMN 中，四边形ABCD 为直角梯形， //AB CD ， 22AB =， BC DC ⊥，2BC DC AM DM ====，四边形BDMN 为矩形.（1）求证：平面ADM ⊥平面ABCD ；（2）线段MN 上是否存在点H ，使得二面角H AD M --的大小为4π？若存在，确定点H 的位置并加以证明.11. 在三棱锥P ABC -中， AB AC =， D 为BC 的中点， PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知4,3,2,1BC PO AO OD ====. （1）证明： AP BC ⊥；（2）在线段AP 上是否存在一点M ，使得二面角A MC B --为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由.12 【安徽省江南十校2019届高三第二次大联考】如图，已知四边形中，对角线，，为等边三角形.（1）求面积的最大值；（2）当的面积最大时，将四边形沿折起成直二面角，在上是否存在点使直线与平面所成的角满足：，若不存在，说明理由；若存在，指出点的位置.13. 【云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，是棱上的一点.（1）若平面，证明：；（2）在（1）的条件下，棱上是否存在点，使直线与平面所成角的大小为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.14. 【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试】如图所示，是边长为2的正方形，平面，且.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）线段上是否存在一点，使二面角所成角的余弦值为？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由.15.如图，五面体11A BCC B -中，14AB =，底面ABC 是正三角形，2AB =，四边形11BCC B 是矩形，二面角1A BC C --为直二面角．（1）D 在AC 上运动，当D 在何处时，有1//AB 平面1BDC ，并说明理由；（2）当1//AB 平面1BDC 时，求二面角1C BC D --余弦值．专题三压轴解答题第一关以立体几何中探索性问题为背景的解答题【名师综述】利用空间向量解决探索性问题立体几何中的探索性问题立意新颖，形式多样，近年来在高考中频频出现，而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色，它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具，应用空间向量这一工具，为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法．下面借“题”发挥，透视有关立体几何中的探索性问题的常见类型及其求解策略，希望读者面对立体几何中的探索性问题时能做到有的放矢，化解自如．2.以“平行”为背景的存在判断型问题典例1 （2019·山东省实验中学高考模拟）如图所示的矩形ABCD中，AB=12AD=2，点E为AD边上异于A，D两点的动点，且EF//AB，G为线段ED的中点，现沿EF将四边形CDEF折起，使得AE与CF的夹角为60°，连接BD，FD．(1)探究：在线段EF上是否存在一点M，使得GM//平面BDF，若存在，说明点M的位置，若不存在，请说明理由；(2)求三棱锥G—BDF的体积的最大值，并计算此时DE的长度．【答案】（1）见解析；（2）33,2【解析】（1）取线段EF的中点M，有GM∥平面BDF．证明如下：如图所示，取线段EF的中点M，∵G为线段ED的中点，M为线段EF的中点，∴GM为△EDF的中位线，故GM∥DF，又GM⊄平面BDF，DF⊂平面BDF，故GM∥平面BDF；（2）∵CF ∥DE ，且AE 与CF 的夹角为60°，故AE 与DE 的夹角为60°，即60AED ∠=︒，过D 作DP ⊥AE 交AE 于P ，由已知得DE ⊥EF ，AE ⊥EF ，∴EF ⊥平面AED ， EF ⊥DP,又AE EF=E,∴DP ⊥平面AEFB ，即DP 为点D 到平面ABFE 的距离，且3DP x =，设DE ＝x ，则AE ＝BF ＝4﹣x ，由（1）知GM ∥DF ，G BDF M BDF D MBF V V V ---===11131(4)3322MBF S DP x x ⎡⎤⋅⋅=⨯⨯⨯-⨯⎢⎥⎣⎦()24333(4)x x x x -+=-⋅=，当且仅当4﹣x ＝x 时等号成立，此时x ＝DE ＝2．故三棱锥G ﹣BDF 的体积的最大值为33，此时DE 的长度为2．【名师指点】本题是直线和平面平行的存在性问题，这种问题可以利用空间直角坐标系，通过建系设点，利用空间向量求解，如果利用传统立体几何的方法，就需利用分析法，利用直线和平面平行的性质定理寻求点的位置．【举一反三】如图所示,在四棱锥中,四边形是正方形,点分别是线段的中点.（1）求证：;（2）线段上是否存在一点,使得面面,若存在，请找出点并证明;若不存在,请说明理由. 【解析】（1）证明：由四边形为正方形可知，连接必与相交于中点故∵面∴面（2）线段上存在一点满足题意，且点是中点理由如下：由点分别为中点可得：∵面∴面由（1）可知，面且故面面类型2 以“垂直”为背景的存在判断型问题典例2 如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，，为中点,（1）求证：平面；（2）若是正三角形，且.(Ⅰ)当点在线段上什么位置时，有平面？(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，点在线段上什么位置时，有平面平面？【解析】（1）证明：连接,,=，因为ABCD是平行四边形，则为中点，连接，又为中点，面，面平面.（2）解(Ⅰ)当点在线段中点时，有平面取中点，连接，又，又，，平面，又是正三角形，平面(Ⅱ)当时，有平面平面过作于，由(Ⅰ)知，平面，所以平面平面易得【名师指点】以直线和平面垂直、直线和直线垂直为背景的垂直问题，可以通过建立空间直角坐标系，通过直线的方向向量与平面的法向量共线或者直线方向向量垂直求得，也可以利用传统立体几何知识利用分析的方法，确定线、面垂直关系来求解．【举一反三】【北京市通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试】如图，在三棱柱中，底面，△ABC是边长为的正三角形，，D，E分别为AB，BC的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在一点M，使平面？说明理由.【解析】（Ⅰ）证明：在三棱柱中，因为底面，CD⊂平面ABC，所以．又为等边三角形，为的中点，所以．因为，所以平面；（Ⅱ）取中点，连结，则因为，分别为，的中点，所以．由（Ⅰ）知，，如图建立空间直角坐标系．由题意得，，，,,,,，，．设平面法向量，则即令，则，．即．平面BAE法向量．因为，，，所以由题意知二面角为锐角，所以它的余弦值为.（Ⅲ）解：在线段上不存在点M，使平面．理由如下．假设线段上存在点M，使平面．则，使得．因为，所以．又，所以．由（Ⅱ）可知，平面法向量，平面，当且仅当，即，使得．所以解得．这与矛盾．所以在线段上不存在点M ，使平面．类型3 以“角”为背景的探索性问题典例3 （2019·山东高三月考）如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，SAD ∆是等边三角形，平面SAD ⊥平面ABCD ，1AB =，E 为棱SA 上一点，P 为AD 的中点，四棱锥S ABCD -的体积为23.（1）若E 为棱SA 的中点，F 是SB 的中点，求证：平面∥PEF 平面SCD ；（2）是否存在点E ，使得平面PEB 与平面SAD 30E 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点E 位于AS 的靠近A 点的三等分点. 【解析】（1）证明：因为E 、F 分别是SA 、SB 的中点，所以EF AB ∥，在矩形ABCD 中，AB CD ∥，所以EF CD ∥，又因为E 、P 分别是SA 、AD 的中点，所以∥EP SD ，又因为EF CD ∥，EF EP E ⋂=，,EF EP ⊂平面PEF ，,SD CD ⊂平面SCD ，所以平面∥PEF 平面SCD .（2）解：假设棱SA 上存在点E 满足题意. 在等边三角形SAD 中，P 为AD 的中点，于是SP AD ⊥，又平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ⋂平面ABCD AD =，SP ⊂平面SAD ，所以SP ⊥平面ABCD ，所以SP 是四棱锥S ABCD -的高，设AD m =，则SP =，ABCD S m =矩形，所以1133S ABCD ABDD V S SP m -=⋅==矩形所以2m =，以P 为坐标原点，PA 所在直线为x 轴，过点P 与AB 平行的直线为y 轴，PS 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,0,0P ，()1,0,0A ，()1,1,0B，(S ，设(()()01AE AS λλλλ==-=-≤≤，()()1,0,0PE PA AE λ=+=+-()1λ=-，()1,1,0PB =，设平面PEB 的一个法向量为()1,,n x y z =，有()1110n PE x z n PB x y λ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令3x λ=，则()13,,1n λλ=-，易知平面SAD 的一个法向量()20,1,0n =，所以12122123cos ,721n n n n n n λλλ-⋅==-+30=，因为01λ≤≤，所以13λ=，所以存在点E ，位于AS 的靠近A 点的三等分点.【名师指点】与“两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角”有关的存在性问题，常利用空间向量法解决，可以避开抽象、复杂地寻找角的过程，只要能够准确理解和熟练应用夹角公式，就可以把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．事实说明，空间向量法是证明立体几何中存在性问题的强有力的方法．【举一反三】（2019·山东枣庄八中高三月考（理））如图，直三棱柱111-ABC A B C 中，120ACB ∠=且12AC BC AA ===，E 是棱1CC 上动点，F 是AB 中点.（Ⅰ）当E 是中点C 1C 时，求证：CF 平面 AE 1B ；（Ⅱ）在棱1CC 上是否存在点E ，使得平面AE 1B 与平面ABC 所的成锐二面角为6π，若存在，求CE 的长，若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）1CE =.【解析】（1）取1AB 中点G ，连结EG FG 、，则FG ∥1BB 且112FG BB =. 因为当E 为1CC中点时，CE ∥1BB 且112CE BB =，所以FG ∥CE 且FG = CE .所以四边形CEGF 为平行四边形，CF ∥EG ，又因为1CF AEB ⊄平面，1EG AEB ⊂平面，所以//CF 平面1AEB ；（2）假设存在满足条件的点E ，设()01CE λλ=≤≤.以F 为原点，向量1FB FC AA 、、方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系. 则()3,0,0A -，()13,0,2B ，()0,1,E λ，平面ABC 的法向量()0,0,1m =，平面1AEB 的法向量()333,3n λ=--，，()23cos 23991m n m n m nλ⋅===++-，，解得1λ=，所以存在满足条件的点E ，此时1CE =.【精选名校模拟】1. （·山东高考模拟（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，,AD PCD PD CD ⊥⊥平面，底面ABCD 是梯形，//,1,2,AB DC AB AD PD CD AB Q ====为棱PC 上一点. (Ⅰ)若点Q 是PC 的中点，证明：//PQ PAD 平面； (Ⅱ)PQ PC λ=试确定λ的值使得二面角Q BD P --为60°. 【答案】（1）见解析（2）36【解析】 (Ⅰ)取PD 的中点M ，连接AM ，M Q ，Q PC点是的中点，∴M Q∥CD，1.2MQ CD=又AB∥CD，1,2AB CD QM=则∥AB，QM＝AB，则四边形ABQM是平行四边形.BQ∴∥AM.又AM⊂平面PAD，BQ⊄平面PAD，BQ∴∥平面PAD.（Ⅱ）解：由题意可得DA，DC，DP两两垂直，以D为原点，DA，DC，DP所在直线为,,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，1，1)，C(0，2，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0).令()()()000000,,,,,1,0,2,1.Q x y z PQ x y z PC=-=-则()()000,,,10,2,1,PQ PC x y zλλ=∴-=-()0,2,1.Qλλ∴-又易证BC⊥平面PBD，()1,1,0.n PBD∴=-是平面的一个法向量设平面QBD的法向量为(),,,m x y z=(),0,0,2210,.0,1x yx ym DBy z z ym DQλλλλ=-⎧+=⎧⎧⋅=⎪⎨⎨⎨+-==⋅=⎩⎩⎪-⎩则有即解得令21,1,1,.1y mλλ⎛⎫==-⎪-⎝⎭则60Q BD P 二面角为--，21cos,,22221m n m n m nλλ⋅∴===⎛⎫⋅+ ⎪-⎝⎭解得3 6.λ=±Q 在棱PC 上，01,3 6.λλ<<∴=-2. （2019·夏津第一中学高三月考）如图所示，等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AD AB BC ===，4CD =，E 为CD 中点，AE 与BD 交于点O ，将ADE 沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）．（1）证明：平面POB ⊥平面ABCE ；（2）若6PB =PB 上是否存在一点Q （不含端点），使得直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值为155，若存在，求出PQ OB 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（215【解析】（1）证明：连接BE ，在等腰梯形中ABCD ，2AD AB BC ===，4CD =，E 为中点， ∴四边形ABED 为菱形，∴BD AE ⊥，∴OB AE ⊥，OD AE ⊥，即OB AE ⊥，OP AE ⊥，且OBOP O =，OB ⊂平面POB ，OP ⊂平面POB ，∴AE ⊥平面POB ．又AE ⊂平面ABCE ，∴平面POB ⊥平面ABCE ．（2）由（1）可知四边形ABED 为菱形，∴2AD DE ==，在等腰梯形ABCD 中2AE BC ==，∴PAE △正三角形， ∴3OP =3OB =∵6PB =，∴222OP OB PB +=，∴OP OB ⊥．由（1）可知OP AE ⊥，OB AE ⊥，以O 为原点，OE ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，由题意得，各点坐标为()0,0,3P ，()1,0,0A -，()0,3,0B，()2,3,0C ，()1,0,0E ，∴(3,3PB =-，(3,3PC =-，()2,0,0AE =，设()01PQ PB λλ=<<，()1,333AQ AP PQ AP PB λλλ=+=+=，设平面AEQ 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n AE n AQ ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()203330x x y λλ=⎧⎪⎨++=⎪⎩，取0x =，1y =，得1z λλ=-，∴0,1,1n λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，设直线PC 与平面AEQ 所成角为θ，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则15sin cos ,5PC nPC n PC nθ⋅===，即2331511011λλλλ+-=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭化简得：24410λλ-+=，解得12λ=， ∴存在点Q 为PB 的中点时，使直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值为155． 3. （2018·山东济南外国语学校高三月考（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60,90DAB ADP ∠=︒∠=︒，平面ADP ⊥平面ABCD ，点F 为棱PD 的中点．（Ⅰ）在棱AB 上是否存在一点E ，使得AF 平面PCE ，并说明理由；（Ⅱ）当二面角D FC B --的余弦值为2时，求直线PB 与平面ABCD 所成的角．【答案】（1）见解析（2）60︒ 【解析】（Ⅰ）在棱AB 上存在点E ，使得//AF 平面PCE ，点E 为棱AB 的中点．理由如下：取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，由题意，//FQ DC 且12FQ CD =， //AE CD 且12AE CD =，故//AE FQ 且AE FQ =.所以，四边形AEQF 为平行四边形.所以，//AF EQ ，又EQ ⊥平面PEC ，AF ⊥平面PEC ，所以，//AF 平面PEC . （Ⅱ）由题意知ABD ∆为正三角形，所以ED AB ⊥，亦即ED CD ⊥，又90ADP ∠=︒，所以PD AD ⊥，且平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ⋂平面ABCD AD =，所以PD ⊥平面ABCD ，故以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设FD a =，则由题意知()0,0,0D ，()0,0,F a ，()0,2,0C ，)3,1,0B，()0,2,FC a =-，()3,1,0CB =-，设平面FBC 的法向量为(),,m x y z =，则由m FCm CB⎧⋅=⎨⋅=⎩得2030y azx y-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令1x=，则3y=，23z=，所以取231,3,m⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，显然可取平面DFC的法向量()1,0,0n=，由题意：22cos,41213m na==++，所以3a=.由于PD⊥平面ABCD，所以PB在平面ABCD内的射影为BD，所以PBD∠为直线PB与平面ABCD所成的角，易知在Rt PBD∆中，tan3PDPBD aBD∠===，从而60PBD∠=︒，所以直线PB与平面ABCD所成的角为60︒.4. （2019·北京北师大实验中学高三月考）如图所示，在四棱锥P ABCD-中，底面四边形ABCD为正方形，已知PA⊥平面ABCD，2AB=，2PA=.（1）证明：BD PC⊥；（2）求PC与平面PBD所成角的正弦值；（3）在棱PC上是否存在一点E，使得平面BDE⊥平面BDP？若存在，求PEPC的值并证明，若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（210；（3）存在，23PEPC=，理由见解析【解析】（1）如图，连接AC交BD于点O，由于PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD所以PA BD⊥，即BD PA⊥由于BD PA ⊥，BD AC ⊥，PA AC A =，所以BD ⊥平面PAC又因为PC ⊂平面PAC ，因此BD PC ⊥ （2）由于PA ⊥平面ABCD ，AB平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥，PA AD ⊥又AB AD ⊥，所以PA ，AB ，AD 两两垂直，因比，如图建立空间直角坐标系A xyz -(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D，P因此(2,2,PC =，(2,0,PB =，(0,2,PD =设平面PBD 的法向量为(,,)m x y z =，则00m PB m PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2020x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 取1x =，1y =，z =，则(1,1,2)m =设直线PC 与平面PBD 所成角为θ，10sin |cos ,|=||10||||m PC m PC m PC θ⋅=<>=⋅（3）存在，设[0,1]PEPCλ=∈，则(2,2))E λλλ- 则(22,2))BE λλλ=--，(2,2,0)BD =-设平面BDE 的法向量为(,,)n a b c =，则0n BE n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2(1)2(1)0220a b a bλλλ⎧-+-=⎪⎨-+=⎪⎩，即1a λ=-，1b λ=-，2)c λ=-则(1,12))n λλλ=---，若平面BDE ⊥平面BDP ，则0m n ⋅=即1(1)1(1)2)0λλλ⋅-+⋅-+-=，则2[0,1]3λ=∈ 因此在棱PC 上存在点E ，使得平面BDE ⊥平面BDP ，23PE PC =5.【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三上学期期末考试】如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱上的动点，且.（1）求证：；（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的正切值．【解析】设AE＝BF＝x．以D为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：D（0，0，0），A（2，0，0），B （2，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），A1（2，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2），E（2，x，0），F（2﹣x，2，0）．（1）因为，，所以．所以A1F⊥C1E．（2）因为，所以当S△BEF取得最大值时，三棱锥B1﹣BEF的体积取得最大值．因为，所以当x＝1时，即E，F分别是棱AB，BC的中点时，三棱锥B1﹣BEF的体积取得最大值，此时E，F坐标分别为E（2，1，0），F（1，2，0）．设平面B1EF的法向量为，则得取a＝2，b＝2，c＝﹣1，得．显然底面ABCD的法向量为．设二面角B1﹣EF﹣B的平面角为θ，由题意知θ为锐角．因为，所以，于是．所以，即二面角B1﹣EF﹣B的正切值为．6. 【湖北省2019届高三联考测试】如图，在四棱锥中，，，，且PC=BC=2AD=2CD=2，.（1）平面；（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）∵在底面中，，且∴，∴又∵，，平面，平面∴平面又∵平面∴∵，∴又∵，，平面，平面∴平面（2）方法一：在线段上取点，使则又由（1）得平面∴平面又∵平面∴作于又∵，平面，平面∴平面又∵平面∴又∵∴是二面角的一个平面角设则，这样，二面角的大小为即即∴满足要求的点存在，且方法二：取的中点，则、、三条直线两两垂直∴可以分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系且由（1）知是平面的一个法向量设则，∴，设是平面的一个法向量则∴令，则，它背向二面角又∵平面的法向量，它指向二面角这样，二面角的大小为即即∴满足要求的点存在，且7. 【福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查】如图，四边形是边长为2的正方形，平面平面，且.（1）证明：平面平面；（2）当，且与平面所成角的正切值为时，求二面角的正弦值.【解析】（1）由题设知，平面平面，交线为.因为，平面，所以平面，因此，又，，所以平面.而平面，所以平面平面.（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系，则有，过点作于，设，则.因为，所以，，由题设可得，即，解得或，因为，所以，所以，.由，知是平面的法向量，，.设平面的法向量为，则取得，设二面角为，则，因为，.综上，二面角的正弦值为.8. 【福建省厦门市2019届高三年级第一学期期末质检】如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，.（1）证明：平面；（2）当直线与平面所成角的正切值为时，求二面角的余弦值. 【解析】（1）证明：由已知，得，在中，，∴，即，∵平面，平面，∴，又∵，平面，平面，∴平面（2）∵平面，∴为直线与平面所成角，∴，∴，在中，，取的中点，连结，则，∵平面，平面，∴，又∵，平面，平面，∴平面，以点为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，则，，，，∴，，设平面的法向量为，则，取，解得，又平面的法向量为，∴.∴二面角的余弦值为.9. 【北京市朝阳区2018-2019高三数学期末考试】如图，三棱柱的侧面是平行四边形，，平面平面，且分别是的中点.（1）求证：平面；（2）当侧面是正方形，且时，（ⅰ）求二面角的大小；（ⅱ）在线段上是否存在点，使得？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.【解析】证明：（1）取中点，连，连.在△中，因为分别是中点，所以，且.在平行四边形中，因为是的中点，所以，且.所以，且.所以四边形是平行四边形.所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为侧面是正方形，所以.又因为平面平面，且平面平面，所以平面.所以.又因为，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示. 设，则，.（ⅰ）设平面的一个法向量为.由得即令，所以. 又因为平面，所以是平面的一个法向量.所以.由图可知，二面角为钝角，所以二面角的大小为. （ⅱ）假设在线段上存在点，使得.设，则.因为，又，所以.所以.故点在点处时，有10. 如图，在多面体ABCDMN 中，四边形ABCD 为直角梯形， //AB CD ， 22AB =， BC DC ⊥，2BC DC AM DM ====，四边形BDMN 为矩形.（1）求证：平面ADM ⊥平面ABCD ；（2）线段MN 上是否存在点H ，使得二面角H AD M --的大小为4π？若存在，确定点H 的位置并加以证明.【解析】（1）证明：由平面几何的知识，易得2BD =， 2AD =，又22AB =，所以在ABD ∆中，满足222AD BD AB +=，所以ABD ∆为直角三角形，且BD AD ⊥. 因为四边形BDMN 为矩形，所以BD DM ⊥. 由BD AD ⊥， BD DM ⊥， DM AD D ⋂=，可得 BD ADM ⊥平面. 又BD ABD ⊂平面，所以平面ADM ⊥平面ABCD .（2）存在点H ，使得二面角H AD M --为大小为，点H 为线段AB 的中点.事实上，以D 为原点， DA 为x 轴， DB 为y 轴，过D 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0D A B , ()1,0,1M ，设(),,H x y z ,由MH MN DB λλ==，即()()1,,10,2,0x y z λ--=，得()1,2,1H λ. 设平面ADH 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则，即，不妨设11y =，取()10,1,2n λ=-. 平面ADM 的一个法向量为()20,1,0n =. 二面角H AD M --为大小为于是.解得或（舍去）.所以当点H 为线段MN 的中点时，二面角H AD M --为大小为.11. 在三棱锥P ABC -中， AB AC =， D 为BC 的中点， PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知4,3,2,1BC PO AO OD ====. （1）证明： AP BC ⊥；（2）在线段AP 上是否存在一点M ，使得二面角A MC B --为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由.法二：如图，以O 为原点，分别以过O 点与DB 共线同向的向量， OD ， OP 方向上的单位向量为单位正交基建立空间直角坐标系O xyz -，则()()()()()0,0,0,0,2,0,2,1,0,2,1,0,0,0,3,O A B C P --()()()0,2,3,4,0,0,2,3,0AP BC AC ==-=-∴0AP BC ⋅= ∴AP BC ⊥ ∴AP BC ⊥（2）假设M 点存在，设AM AP λ=， (),,M x y z ，则(),2,AM x y z =+，∴()(),2,0,2,3x y z λ+=，∴0{22 3x y z λλ=+==，∴()0,22,3M λλ-， ∴()2,23,3BM λλ=--设平面MBC 的法向量为()1111,,n x y z =，平面APC 的法向量为()2222,,n x y z = 由110{n BM n BC ⋅=⋅=得()111122330{40x y z x λλ-+-+=-=，令11y =，可得1320,1,3n λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，由220{n AC n AP ⋅=⋅=得2222230{230x y y z -+=+=，令16y =，可得()29,6,4n =-，若二面角A MC B --为直二面角，则120n n ⋅=，得326403λλ--⋅=，解得613λ=，∴613AM =故线段AP 上是否存在一点M ，满足题意， AM 的长为613. 12 【安徽省江南十校2019届高三第二次大联考】如图，已知四边形中，对角线，，为等边三角形.（1）求面积的最大值；（2）当的面积最大时，将四边形沿折起成直二面角，在上是否存在点使直线与平面所成的角满足：，若不存在，说明理由；若存在，指出点的位置. 【解析】（1）在中，记，，则由余弦定理：，（当且仅当时，上式取等号）此时，，的面积的最大值为.（2）由（1）知，，，设存在，在三棱锥中，取的中点，连接，易知.作于，由平面平面平面.故在平面上的投影为.与平面所成的角为，由.设，得，，故.故存在，且，满足题意.（2）另解：由（1），，设存在，则在三棱锥中，取的中点，连接，易求.以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，平面的法向量为，设，得，得，又.由.故存在，且，满足题意.13. 【云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，是棱上的一点.（1）若平面，证明：；（2）在（1）的条件下，棱上是否存在点，使直线与平面所成角的大小为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）连接交于，连接，则是平面与平面的交线.因为平面，平面，所以.又因为是中点，所以是的中点.所以.（2）由已知条件可知，所以，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.。

2018届高三数学文一轮复习课件：选4-4-2 参数方程精品

答案： 2
x＝t－3， 3．(2016·株洲模拟)已知直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为y＝ 3t (t 为参数)。以直角坐标系 xOy 中的原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，圆 C 的极坐标方程为 ρ2－4ρcosθ＋3＝0，则圆心 C 到直线 l 的距离为________。
x＝t＋2，
分别为 l：y＝1－s (s 为参数)和 C：y＝t2
(t 为参数)，若 l 与 C 相交于
A，B 两点，则|AB|＝________。
解析：直线 l 的普通方程为 x＋y＝2，曲线 C 的普通方程为 y＝(x－2)2(y≥0)，联立两方程得 x2－3x＋2＝0，求得两交点坐标为(1,1)，(2,0)，所以|AB|＝ 2。
微知识❷ 直线的参数方程过定点 P0(x0，y0)且倾斜角为
α
的直线的参数方程为
xy＝＝xy00＋＋ttcsionsαα，
(t
为参数)，则参数 t 的几何意义是有向线段 P0P 的数量
。
微知识❸ 圆的参数方程
圆心为(a，b)，半径为 r，以圆心为顶点且与 x 轴同向的射线，按逆时
针方向旋转到圆上一点所在半径成的角 α 为参数的圆的参数方程为
解析：记 A(x1，y1)，B(x2，y2)，将 θ＝4π转化为直角坐标方程为 y＝x(x≥0)，曲线为 y＝(x－2)2，联立上述两个方程得 x2－5x＋4＝0，所以 x1＋x2＝5，故线段 AB 的中点坐标为52，52。
答案：25，25
x＝t， 5．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为y＝t＋1 (参数 t∈R)，圆 C 的参数方程为yx＝＝scionsθθ＋1， (参数 θ∈[0,2π))，则圆心 C 到直线 l 的距离是__________。

2018届高三数学一模考试质量分析

2018届高三数学一模考试质量分析一、试题总体评价：注重基础、突出能力、难度稍大本试题紧扣教材、《考试大纲》和《考试说明》，在注重基础的同时更加突出了对考生(运算、迁移、应变等)能力的考查，符合当前高考命题基本原则与发展趋势。

试题比较全面地考查了学生通过一轮复习后对基础知识与基本能力的掌握情况，充分体现了既注重基础又突出能力的特点。

试题在全面覆盖了高中数学绝大多数高考考点的同时，对高中数学主干知识进行了重点考查，但由于我校一轮复习没有结束，而本试题有37分的试题学生没有复习到，对他们来说难度就大，且大部分题目来源于各省高考试题，难度较大。

二、学生答题情况分析：基础不牢,能力不强, 缺乏策略1、学生基础知识不牢，解题能力较差：如试卷的第1题、第5题、第6题、第8题、第13题、第17题都是一些常规题，解题思路存在一定问题。

2、运算能力不强：具体表现在试卷第15、20题的运算，尤其是解题思路和方法对的学生由于计算复杂而没有结果，很让人遗憾。

3、审题不清：如试卷第1题、第12题均存在审题不清的问题。

4、推理归纳能力和数形结合解决问题能力差：如试卷第11、12、13、16、19、22题等题尤为明显。

5、解答策略缺乏，抓分意识不强：根据学生考卷，考后教师与部分学生交谈，了解到部分学生心理素质较差，情绪不够稳定，考试过程中有些心慌意乱，碰到某些棘手题乱了阵脚，在一些选择题，填空题上花费了较长时间，致使后面某些有能力做出的解答题因无时间而白白丢掉。

三、下阶段的教学措施1、要认真回顾和反思“一轮”复习中各个环节的得失，认真分析和总结“一模”测试中学生存在的不足，科学规划和严密组织后阶段的各项备考工作。

⑴高三第一轮复习将于3月底结束，这轮复习主要是：梳理知识、构建网络、训练技能和兼顾能力。

根据学生实际与教学要求精心设计练习引领学生主动参与知识构建和技能训练，并把课前、课堂和课后进行有机整合，使学生对数学的基本知识、基本技能和重要的数学思想方法能经历恢复记忆、加深理解到巩固熟练的过程。

2018届高三数学（理）一轮复习考点规范练：第八章立体几何39Word版含解析

2018届高三数学（理）一轮复习考点规范练：第八章立体几何39Word版含解析考点规范练39空间几何体的表面积与体积基础巩固1.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=()A.1B.2C.4D.82.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是()A.1+B.1+2C.2+D.23.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB=AC,侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形,则侧面ABB1A1的面积为()A. B.1 C. D.4.(2016山东,理5)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示.则该几何体的体积为()A.πB.πC.πD.1+π5.已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为()A. B.4π C.2π D. ?导学号37270348?6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛7.棱长为4的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体的体积是.8.某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为.9.(2016邯郸一模)已知三棱锥P-ABC内接于球O,PA=PB=PC=2,当三棱锥P-ABC的三个侧面的面积之和最大时,球O的表面积为.?导学号37270349?10.在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形,设点M,N,P分别是棱AB,BC,B1C1的中点,则三棱锥P-A1MN的体积是.11.已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为20 cm和30 cm,且其侧面积等于两底面面积之和,求棱台的高.12.一个几何体的三视图如图所示.已知正视图是底边长为1的平行四边形,侧视图是一个长为、宽为1的矩形,俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形.(1)求该几何体的体积V;(2)求该几何体的表面积S.能力提升13.如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为()A. B. C. D. ?导学号37270350?14.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.+πB.+πC.+2πD.+2π15.(2016浙江,理11)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3.16.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F 分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.高考预测17.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥S-ABC的体积为()A.3B.2C.D.1 ?导学号37270351?参考答案考点规范练39空间几何体的表面积与体积1.B解析由条件及几何体的三视图可知该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成的.其表面积由一个矩形的面积、两个半圆的面积、圆柱的侧面积的一半及一个球的表面积的一半组成.∴S表=2r×2r+2r2+πr×2r+4πr2=5πr2+4r2=16+20π,解得r=2.2.C解析由三视图可得该四面体的直观图如图所示,平面ABD⊥平面BCD,△ABD与△BCD 为全等的等腰直角三角形,AB=AD=BC=CD=取BD的中点O,连接AO,CO,则AO⊥CO,AO=CO=1.由勾股定理得AC=,因此△ABC与△ACD为全等的正三角形,由三角形面积公式得S△ABC=S△ACD=,S△ABD=S△BCD=1,所以四面体的表面积为2+3.C解析由题意知,球心在侧面BCC1B1的中心O上,BC为△ABC所在圆面的直径,所以∠BAC=90°,△ABC的外接圆圆心N是BC的中点,同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中点.设正方形BCC1B1的边长为x,Rt△OMC1中,OM=,MC1=,OC1=R=1(R为球的半径),所以=1,即x=,则AB=AC=1.所以侧面ABB1A1的面积S=1=4.C解析由三视图可知,上面是半径为的半球,体积为V1=,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积V2=1×1=,故选C.5.D解析因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半,所以半径r==1,所以V球=13=故选D.6.B解析设底面圆半径为R,米堆高为h.∵米堆底部弧长为8尺,2πR=8,∴R=∴体积V=πR2h=π5.∵π≈3,∴V(立方尺).∴堆放的米约为22(斛).7.32解析由三视图,可得棱长为4的正方体被平面AJGI截成两个几何体,且J,I分别为BF,DH的中点,如图,两个几何体的体积各占正方体的一半,则该几何体的体积是43=32.8解析由三视图可知,四棱柱高h为1,底面为等腰梯形,且底面面积S=(1+2)×1=,故四棱柱的体积V=S·h=9.12π解析由题意三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,三棱锥P-ABC 的三个侧面的面积之和最大,三棱锥P-ABC的外接球就是它扩展为正方体的外接球,求出正方体的体对角线的长为2,所以球的直径是2,半径为,球的表面积为4π×()2=12π.10解析由题意,可得直三棱柱ABC-A1B1C1如图所示.其中AB=AC=AA1=BB1=CC1=A1B1=A1C1=1.∵M,N,P分别是棱AB,BC,B1C1的中点,∴MN=,NP=1.∴S△MNP=1=∵点A1到平面MNP的距离为AM=,11.解如图所示,三棱台ABC-A1B1C1中,O,O1分别为两底面中心,D,D1分别为BC和B1C1的中点,则DD1为棱台的斜高.由题意知A1B1=20,AB=30,则OD=5,O1D1=,由S侧=S上+S下,得3(20+30)×DD1=(202+302),解得DD1=,在直角梯形O1ODD1中,O1O==4(cm),所以棱台的高为4 cm.12.解(1)由三视图可知,该几何体是一个平行六面体(如图),其底面是边长为1的正方形,高为,所以V=1×1(2)由三视图可知,该平行六面体中,A1D⊥平面ABCD,CD⊥平面BCC1B1,所以AA1=2,侧面ABB1A1,CDD1C1均为矩形.S=2×(1×1+1+1×2)=6+213.A解析如图,分别过点A,B作EF的垂线,垂足分别为G,H,连接DG,CH,容易求得EG=HF=,AG=GD=BH=HC=,所以S△AGD=S△BHC=1=所以V=V E-ADG+V F-BHC+V AGD-BHC=2V E-ADG+V AGD-BHC=2+1=14.A解析由三视图可知,该几何体是一个组合体,其左边是一个三棱锥,底面是等腰直角三角形(斜边长等于2),高为1,所以体积V1=2×1×1=;其右边是一个半圆柱,底面半径为1,高为2,所以体积V2=π·12·2=π,所以该几何体的体积V=V1+V2=+π.15.7232解析由三视图,可知该几何体为两个相同长方体组合而成,其中每个长方体的长、宽、高分别为4 cm,2 cm,2 cm,所以其体积为2×(2×2×4)=32(cm3).由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形,所以其表面积为2×(2×2×2+4×2×4)-2×(2×2)=72(cm2).16.解(1)交线围成的正方形EHGF如图:(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH==6,AH=10,HB=6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为17.C解析如图,过A作AD垂直SC于D,连接BD.由于SC是球的直径,所以∠SAC=∠SBC=90°.又∠ASC=∠BSC=30°,又SC为公共边,所以△SAC≌△SBC.由于AD⊥SC,所以BD⊥SC.由此得SC⊥平面ABD.所以V S-ABC=V S-ABD+V C-ABD=S△ABD·SC.由于在Rt△SAC中,∠ASC=30°,SC=4,所以AC=2,SA=2由于AD= 同理在Rt△BSC中也有BD=又AB=,所以△ABD为正三角形.所以V S-ABC=S△ABD·SC=()2·sin 60°×4=,所以选C.。

北京市朝阳区2024届高三下学期质量检测数学模拟试题(含答案)

北京市朝阳区2024届高三下学期质量检测数学模拟试题第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知全集，，则（）{}1,2,3,4U ={}2A x U x =∈<U A =ðA ．B ．C ．D ．{}1{}1,2{}3,4{}2,3,42．复数在复平面内对应的点位于（）i3i +A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在△ABC 中，若a=2bsinA,则B 为3A ．B ．C ．或D ．或3π6π3π23π6π56π4．已知，则“”是“函数在上单调递增”的（）a ∈R 01a <<()()31f x a x =-R A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知直线和圆相交于A ，B 两点.若，则360x y -+=()2220x y r r +=>6AB =（）r =A ．2B ．C ．4D ．23326．已知等比数列的前项和为，且，，则（）{}n a n n S 121a a +=344a a +=6S =A ．9B ．16C ．21D ．257．已知双曲线：的右焦点为F ，过点F 作垂直于x 轴的直线，C ()222210,0x y a b a b -=>>l M ，N 分别是与双曲线C 及其渐近线在第一象限内的交点.若M 是线段的中点，则C 的l FN 渐近线方程为（）A ．B ．y x=±22y x =±C ．D ．33y x =±55y x =±H DHA．存在点，使得直线与直线13．已知函数，若实数满足，则 ()1,25,2x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩(),,a b c a b c <<()()()f a f b f c ==a b +=；的取值范围是.a b c ++14．已知函数.若曲线在点处的切线与其在点()1sin 22f x x =()y f x =()()11,A x f x 处的切线相互垂直，则的一个取值为.()()22,B x f x 12x x -15．设A ，B 为两个非空有限集合，定义其中表示集合S 的元素个数.(),1A BJ A B A B=-S某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为，，，.已知{物理，化学，生物}，{地理，物理，化学}，{思想政1S 2S 3S 4S 1S =2S =3S =治，历史，地理}，给出下列四个结论：①若，则{思想政治，历史，生物}；()24,1J S S =4S =②若，则{地理，物理，化学}；()()1214,,J S S J S S =4S =③若{思想政治，物理，生物}，则；4S =()()()142434,,,J S S J S S J S S <=④若，则{思想政治，地理，化学}.()()()142434,,,J S S J S S J S S >=4S =其中所有正确结论的序号是.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．已知函数的最小正周期为.()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭π(1)若，，求的值；1A =()202f =ϕ(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定的解析式，并求()f x 函数的单调递增区间.()()2cos 2h x f x x=-条件①：的最大值为2；()f x 条件②：的图象关于点中心对称；()f x 5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求证：；AC BD ⊥9667771.510648273(1)从这篇论文中随机抽取1篇，求甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过的概率；105(2)从这篇论文中随机抽取3篇，甲、乙两位评委对同一篇论文的评分之差的绝对值不超过10的篇数记为，求的分布列及数学期望；5X X (3)对于序号为的论文，设评委甲的评分为，评委乙的评分为，分别记甲、()1,2,,10i i =⋅⋅⋅i X i Y 乙两位评委对这10篇论文评分的平均数为，，标准差为，，以X Y s 甲s 乙作为序号为的论文的标准化得分.对这10篇论文按照初评得分与标准化12i i X X Y Y s s ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭甲乙i 得分分别从高到低进行排名，判断序号为2的论文的两种排名结果是否相同?（结论不要求证明）19．已知椭圆：的离心率为，A ，B 分别是E 的左、右顶点，P E ()222210x y a b a b +=>>22是E 上异于A ，B 的点，的面积的最大值为.APB △22(1)求E 的方程；(2)设O 为原点，点N 在直线上，N ，P 分别在x 轴的两侧，且与的面积相2x =APB △NBP △等.（i ）求证：直线与直线的斜率之积为定值；ON AP （ⅱ）是否存在点P 使得，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.APB NBP ≌△△20．已知函数.()()()1e R x f x ax a =-∈(1)讨论的单调性；()f x (2)若关于的不等式无整数解，求的取值范围.x ()()1f x a x >-a 21．若有穷自然数数列：满足如下两个性质，则称为数列：A ()12,,,2n a a a n ⋅⋅⋅≥A n B ①，其中，表示{}()112211max ,,,2,3,,k k k k a a a a a a a k n ---++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅≥+{}12max ,,,s x x x ⋅⋅⋅，这个数中最大的数；12,,,s x x x ⋅⋅⋅s ②，其中，表示{}()112211min ,,,12,3,,k k k k a a a a a a a k n ---++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅≤+{}12max ,,,s x x x ⋅⋅⋅，这个数中最小的数.12,,,s x x x ⋅⋅⋅s (1)判断：2，4，6，7，10是否为数列，说明理由；A 5B (2)若：是数列，且，，成等比数列，求；A 126,,,a a a ⋅⋅⋅6B 1a 2a 3a 6a (3)证明：对任意数列：，存在实数，使得.（n B A ()12,,,2n a a a n ⋅⋅⋅≥λ[]()1,2,,k a k k n λ==⋅⋅⋅表示不超过的最大整数）[]x x1．D【分析】求出集合A ，再利用补集的定义求解即得.【详解】全集，则，{}1,2,3,4U ={1}A =所以.{}2,3,4U A =ð故选：D 2．A【分析】利用复数的除法运算，化解复数，并结合复数的几何意义，即可求解.【详解】复数，所以复数对应的点为，为第一象限的点.()()()i 3i i 13i3i 3i 3i 10-+==++-13,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：A 3．C【详解】，，则或，选C.3sin 2sin sin A B A =3sin 2B =3B π=23B π=4．A【分析】分，，讨论函数的单调性，进而根据充分性和必要性的概念确1a =1a >1a <()f x 定答案.【详解】对于函数()()31f x a x =-当时，，为常数函数，1a =()0f x =当时，，函数在上单调递减，1a >10a -<()()31f x a x =-R 当时，，函数在上单调递增，1a <10a ->()()31f x a x =-R 所以“”是“函数在上单调递增”的充分而不必要条件.01a <<()()31f x a x=-R 故选：A.5．D【分析】借助点到直线的距离公式与垂径定理计算即可得.【详解】圆的圆心为：，半径为，()2220x y r r +=>()0,0r 则圆心到直线的距离为，360x y -+=6313d ==+8．B又，故，即，()()ln 2ln 42424f f ===4i x ≤e 4i x <≤若，则有，12115n n x x x x -++⋅⋅⋅+≤()1211e154n n x x x x n -++⋅≥⋅-⋅≥+即，由，故.601e n ≤+e 2.72≈60122.06123.07e +≈+=故最大正整数为.n 23故选：D.关键点点睛：本题关键点在于借助函数的性质，结合其单调性得到，从()ln xf x x =2e i y ≤<而得到，则有，即可得解.e 4i x <≤()1211e154n n x x x x n -++⋅≥⋅-⋅≥+11．15【分析】集合二项式展开式的通项公式即可求出结果.【详解】由二项式的展开式的通项公式，得，令，则，()()626611r rrr rr C xC x--=-12r =2r =所以系数为，()226115C -=故15.12．##0.5212【分析】借助抛物线的性质及其定义计算即可得.【详解】由抛物线准线方程为，故，1y =-2p =则，，由在抛物线上，24x y =()0,1F ()00,M x y 故，0012pFM y y =+=+由，可得，OM FM=()2220001x y y =++即，即.0020214x y y ==+012y =故；.21213．2()6,7【分析】结合分段函数与绝对值函数的性质，可得，且时，01245a b c <<<<<<<()0,2x ∈关于对称，即可得解.()f x 1x =【详解】由，故在、上单调递减，()1,25,2x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩()f x (),1-∞()2,+∞在上单调递增，且有，，，，，()1,2()10f =()21f =()01f =()41f =()50f =由，则，()()()f a f b f c==01245a b c <<<<<<<由时，，则关于对称，故，()0,2x ∈()1f x x =-()f x 1x =2a b +=则.()26,7a b c c ++=+∈故；.2()6,714．(答案不唯一)π2【分析】利用导数的几何意义，结合条件可知，，再根据函数的取值，即12cos 2cos 21x x ⋅=-可求解.【详解】，由题意可知，，()cos 2f x x='()()121f x f x '=-'即，所以，得，，，12cos 2cos 21x x ⋅=-12cos 21cos 21x x =⎧⎨=-⎩11πx k =22ππ2x k =+12,Z k k ∈或，得，，，12cos 21cos 21x x =-⎧⎨=⎩13ππ2x k =+24πx k =34,Z k k ∈所以，，,()1212ππ2x x k k -=-+-()1234ππ2x x k k -=+-1234,,,Z k k k k ∈所以的一个取值为.12x x -π2故(答案不唯一)π215．①③【分析】对于①③：直接根据定义计算即可；对于②：通过定义计算得到必为偶数，14S S 讨论和两种情况下的求解即可；对于④：通过举例{物理，地理，历146S S = 144S S = 4S =史}来说明.【详解】对于①：，所以，所以，()242424,11S S J S S S S =-= 240S S = 24S S =∅又{地理，物理，化学}，所以{思想政治，历史，生物}，①正确；2S =4S =对于②：，即，()()1214,,J S S J S S =121412142142S S S S S S S S ===所以，所以必为偶数，又，14142S S S S = 14S S 1436S S ≤≤ 当时，，不符合，146S S = 140S S =∅= 14142S S S S = 所以，且，此时情况较多，比如{物理，地理，生物}，②错误；144S S = 142S S = 4S 4S =对于③：若{思想政治，物理，生物}，则4S =，()()()231444211414,1,,1,,1425555J S S J S S J S S =-==-==-=所以，③正确；()()()142434,,,J S S J S S J S S <=对于④：当{物理，地理，历史}时，4S =，()()()231444142121,1,,1,,1554242J S S J S S J S S =-==-==-=满足，但不是{思想政治，地理，化学}，④错误.()()()142434,,,J S S J S S J S S >=4S =故选：①③方法点睛：对于新定义题目，一定要深刻理解定义的意义，然后套用定义进行计算即可，很多时候新定义题目难度并不很大，关键是要大胆做，用心做.16．(1)π4ϕ=(2)，单调递增区间，，()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πππ,π63k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦Z k ∈【分析】（1）根据条件，代入，即可求解；()202f =（2）根据三角函数的性质，选择条件，代入后，即可求解函数的解析式，利用三角恒等变换，代入函数单调递增区间，即可求解.【详解】（1）因为，，则，且，则；1A =()202f =2sin 2ϕ=π02ϕ<<π4ϕ=（2）因为函数的最小正周期为，则，()f x π2ω=若选①②，则，且，2A =5π5π2sin 0126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且，则，则，则，π02ϕ<<5π5π4π663ϕ<+<5ππ6ϕ+=π6ϕ=所以；()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭若选择①③，则，且，则，2A =ππ2sin 3126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3sin 62πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则，则，则，π02ϕ<<ππ2π663ϕ<+<ππ63ϕ+=π6ϕ=所以；()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭若选择②③，由②可知，，π6ϕ=由③可知，，则，πππ3sin 312662f A A ⎛⎫⎛⎫=+=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2A =所以.()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()π2sin 22cos 23sin 2cos 26h x x x x x⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，π2sin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令，，πππ2π22π262k x k -+≤-≤+Z k ∈得，，ππππ63k x k -+≤≤+Z k ∈所以函数的单调递增区间是，，()h x πππ,π63k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦Z k ∈17．(1)证明见解析(2)55【分析】（1）借助线面垂直的判定定理与性质定理即可得；（2）建立适当空间直角坐标系，借助空间向量计算即可得.【详解】（1）取中点，连接、，AC M DM BM由，，故、，AD DC =AB BC =AC DM ⊥AC BM ⊥又、平面，，DM BM ⊂DBM DM BM M = 则平面，又平面，故；AC ⊥DBM BD ⊂DBM AC BD ⊥（2）由侧面底面，且，平面，DAC ⊥ABC AC BM ⊥BM ⊂DBM 平面平面，故平面，AC =DAC ⋂ABC BM ⊥DAC 又平面，故，DM ⊂DAC BM DM ⊥即有、、两两垂直，BM DM AC 故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，M M ABD -由，，，，，5AB =2AC =2AD =AD DC =AB BC =则，，112DM AC ==()22512BM =-=即、、、、，()0,0,0M ()0,0,1D ()0,2,0B ()1,0,0A ()1,0,0C -、、，()0,2,1DB =-()1,0,1AD =-()2,0,0AC =-令，则，()0,2,DF DB λλλ==-()1,2,1AF AD DF λλ=+=--由，故，解得，AF BD ⊥()()22110λλ⨯+-⨯-=15λ=故，241,,55AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 令平面的法向量为，FAC (),,m x y z =则有，令，则有，2024055x x y z -=⎧⎪⎨-++=⎪⎩2y =()0,2,1m =- 由轴平面，故平面的法向量可为，z ⊥ABC ABC ()0,0,1n =则，15cos ,5411m n m n m n⋅--===+⋅故二面角的余弦值为.F AC B --55由已知，6780617870818468666471.910X +++++++++==，8286768485838674778281.510Y +++++++++==明显序号为7的论文甲乙两评委评分均最高，故初评得分排名为第，标准化得分排名仍然1为第，1现在就看初评得分排名为第的序号为的论文其标准化得分排名是否会发生变化，36666222261111222231X X Y Y X X Y Y X X Y Y s s s s s s s s ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫------+-+=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭甲乙甲乙甲乙乙甲根据表中数据观察可得评委甲的评分波动大，故，S S >甲乙所以，即，310s s->乙甲662211022X X Y Y X X Y Y s s s s ⎛⎫⎛⎫----+-+>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭甲乙甲乙所以序号为2的论文标准化得分排名为第，2所以序号为2的论文的两种排名结果相同.19．(1)22142x y +=(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）不存在点P【分析】（1）利用待定系数法，列方程组，即可求解；（2）（ⅰ）首先利用坐标表示和，利用面积相等，以及点在椭圆上的条件，即可APB S NBP S P 化简斜率乘积的公式，即可证明；（ⅱ）由条件，确定边长和角度的关系，APB NBP ≌△△再结合数形结合，即可判断是否存在点满足条件.P 【详解】（1）当点是短轴端点时，的面积最大，面积的最大值为，P APB △12222a b ⋅⋅=则，得，，2222222c a ab c a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩222b c ==24a =所以椭圆的方程为；E 22142x y +=（2）（ⅰ）设，，()00,P x y ()2,N t 00ty <（ⅱ）假设存在点，使得P APB 因为，，AB AP >NP NB>则，所以OPB OBP ∠=∠OP =则点与点重合，这与已知矛盾，P A 所以不存在点，使P APB ≌△△（2）不等式转化为，设函数，利用导数求函数的取值范围，再11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭()1e x x h x x -=-结合不等式，讨论的取值，即可求解.a 【详解】（1），()()1e xf x a ax '=--当，得，()0f x '=1a x a -=当时，时，，单调递增，0a >1,a x a -⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x 时，，单调递减，1,-⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭a x a ()0f x '<()f x 当时，时，，单调递减，0a <1,a x a -⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 时，，单调递增，1,-⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭a x a ()0f x ¢>()f x 当时，，函数在上单调递增，0a =()e x f x =()f x R 综上可知，时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是，0a >()f x 1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是，0a <()f x 1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭时，函数的增区间是，无减区间.0a =()f x (),-∞+∞（2）不等式，即，()()1e 1xax a x ->-11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭设，，()1e xx h x x -=-()2e 21e e x x x x x h x -+-'=-=设，，所以单调递增，()e 2x t x x =+-()e 10x t x '=+>()t x 且，，()01t =-()1e 20t =->所以存在，使，即，()00,1x ∈()00t x =()00h x '=当时，，单调递减，当时，，单调递增，()0,x x ∈-∞()0h x '<()h x ()0,x x ∈+∞()0h x '>()h x所以，()()00000e 1e x x x x h x h x -+≥=因为，所以，e 1xx ≥+()()()00002000000011e 110e e e x x x x x x x x x x h x h x +-+-++≥=≥=>当时，，当时，，0x ≤()()01h x h ≥=1x ≥()()11h x h ≥=不等式无整数解，即无整数解，()()1e 1xax a x ->-11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭若时，不等式恒成立，有无穷多个整数解，不符合题意，0a ≤若时，即，因为函数在上单调递减，在上单调递增，1a ≥11a ≤()h x (],0-∞[)1,+∞所以时，，所以无整数解，符合题意，Z x ∈()()(){}1min 0,11h x h h a ≥=≥()1h x a <当时，因为，显然是的两个整数解，不符合题意，01a <<()()1011h h a ==<0,1()1a h x ⋅<综上可知，.1a ≥关键点点睛：本题第二问的关键1是不等式的变形，第二个关键是确定函数11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭的单调性，以及确定.()1e x x h x x -=-()()011h h ==21．(1)不是，理由见解析(2)68a =(3)证明见解析【分析】（1）直接根据数列的定义验证；5B （2）根据数列的定义先列式求出，进而可求出；6B 123,,a a a 456,,a a a （3）先说明数列满足结论，然后假设存在自然数，存在数列使得结论不成立，设2B 2t >t B 这样的的最小值为，即存在数列对任意实数，存在，使t 0t 0t B 012:,,,t A a a a λ{}01,2,,k t ∈ 得，通过数列的定义退出矛盾，进而达到证明结论的目的.[]k a k λ≠n B 【详解】（1）：2，4，6，7，10不是数列，理由如下：A 5B 因为，13228,8a a a a +=+=所以，{}1322max ,8a a a a ++=但，所以不满足性质①，故不是数列；478a =<A 5B （2）根据：是数列可得：满足：A 126,,,a a a ⋅⋅⋅6B A 126,,,a a a ⋅⋅⋅或，或，211a a a =+2111a a a =++312a a a =+3121a a a =++①若，因为，，成等比数列，所以，211a a a =+1a 2a 3a 223114a a a a ==又，所以，所以，得，10a ≠312a a a ≠+312111314a a a a a =++=+=11a =②若，因为，，成等比数列，所以，2111a a a =++1a 2a 3a ()221231121a a a a a +==当时，，解得，与为自然数矛盾，舍去；312a a a =+()213112131a a a a +=+=1352a -±=1a 当时，，解得，与为自然数矛盾，舍去；3121a a a =++()213112132a a a a +=+=11a =-1a 所以，1231,2,4a a a ===由以及，31225,4a a a a ++=={}{}132241322max ,min ,1a a a a a a a a a ++≤≤+++得，所以，455a ≤≤45a =由以及，4123,66a a a a ++=={}{}142351423max ,min ,1a a a a a a a a a ++≤≤+++得，567a ≤≤由以及15243378,7,8a a a a a a ≤+≤+=+=，{}{}1524336152433max ,,min ,,1a a a a a a a a a a a a a +++≤≤++++可知，所以；688a ≤≤68a =（3）当时，根据数列的定义，可知或,2n =2B 212a a =2121a a =+若，取，则，结论成立，212a a =10.10a λ=+>[][]12,2a a λλ==若，取，则，结论成立，2121a a =+10.50a λ=+>[][]12,2a a λλ==假设存在自然数，存在数列使得结论不成立，设这样的的最小值为，2t >t B t 0t 即存在数列对任意实数，存在，使得，t B 012:,,,t A a a a λ{}01,2,,k t ∈ []k a k λ≠根据假设，数列的前项组成的数列是一个数列，A 01t -0121,,,t a a a - 01t B -从而存在实数，使得，，β[]k a k β=01,2,,1k t =- 即，()()00111,2,,1,1,2,,1k k k k a a a k a k t k t k k ββ+≤<+=-≤<=- 令，则，001122110011max ,,,,min 1,,,2121t t a a a a L a U a t t --+⎧⎫⎧⎫+==+⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭ L U β≤<令，则，00001max ,,min ,t t a a L L U U t t **+⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭,L L U U **≤≤①若，根据的定义，存在，使得，0t L t a *=U {}01,2,,1u t ∈- 1u U a u =+又，001t uu a a L U t uu -+≤<=-则且，()()00000111t t u u t u u u a a a a a a L U t t t u uu--*+++++=≤=<=-+0001t t a a L t t *+=<所以，L U **<②若，根据的定义，存在，使得，L L *=L {}01,2,,1l t ∈- lL l a =又，001t ll a U la L t l -+=<≤-则，且，()()000000111l t l l t l t l a a a a a a L L l l t l t l --*+++++==<=≤+-*L L U =<所以，L U **<所以，L L U U **≤<≤令，则，*2L U β*+'=L L U U β**'≤<<≤即，0022110011max ,,,min 1,,,22t t a a a a a a t t β+⎧⎫⎧⎫+<<+⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭'所以，()011,2,,k k a a k t k k β+<<=' 所以，()011,2,,k k a k a k t β<<+=' 即，与假设矛盾，[]k a k β='()01,2,,k t = 综上，结论成立.关键点点睛：本题第三问，假设存在自然数，存在数列使得结论不成立，设这样的2t >t B 的最小值为，即存在数列对任意实数，存在，使得t 0t 0t B 012:,,,t A a a a λ{}01,2,,k t ∈ ，利用反证法达到解决问题的目的.[]k a k λ≠。

2018年高考全国一卷理科数学答案及解析

2018年普通高等学招生全国统一考试（全国一卷）理科数学参考答案与解析一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。

1、设z=，则|z|=A 、0B 、C 、1D 、【答案】C【解析】由题可得i z =+=2i ）i -（，所以|z|=1【考点定位】复数2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则A =A 、{x|-1<x<2}B 、{x|-1x 2}C 、{x|x<-1}∪{x|x>2}D 、{x|x -1}∪{x|x 2} 【答案】B【解析】由题可得C R A={x|x 2-x-2≤0}，所以{x|-1x 2}【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是：A 、新农村建设后，种植收入减少。

B 、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。

C 、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。

D 、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。

【答案】A【解析】由题可得新农村建设后，种植收入37%*200%=74%>60%，【考点定位】简单统计4、记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=A、-12B、-10C、10D、12【答案】B【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d) (a1+a1+d+a1+2d+a1+3d)，整理得:2d+3a1=0; d=-3 ∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10【考点定位】等差数列求和5、设函数f（x）=x3+(a-1)x2+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：A、y=-2xB、y=-xC、y=2xD、y=x【答案】D【解析】f（x）为奇函数，有f（x）+f（-x）=0整理得:f（x）+f（-x）=2*(a-1)x2=0 ∴a=1f（x）=x3+x求导f‘（x）=3x2+1f‘（0）=1 所以选D【考点定位】函数性质：奇偶性；函数的导数6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=A、--B、--C、-+D、-【答案】A【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=AC 21AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=AC 41AB 41AD 21+= EB=AB-AE=AC 41AB 43）AC 41AB 41（-AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为11A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A 、B 、C 、3D 、2 【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开：注意到B 点在41圆周处。

2018年全国高考新课标2卷理科数学考试(解析版)

2018年全国高考新课标2卷理科数学考试（解析版）作者:日期:2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷理科数学注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 作答时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

434 3 3 4 3 4 A ・一 T 一弓 B * -5 + 5i c ∙ - 5 ' 5i D * - 5 + 5i解析：选D2. 已知集合A={(x,y) ∣χ2+y2≤3,x∈Z,y∈Z },则A 中元素的个数为( ) A. 9B. 8C. 5D ・ 4解析：选A 问题为确定圆面内整点个数 3. 函数f (x)=E 2的图像大致为()-、选择题：本题共12小题, 1.l+2i F r2解析：选B f(x)为奇函数，排除 A,x>0,f (x)>0,排除 D,取 x=2,f (2) = e 2-e^24 力，故选B4. 已知向量 a, b 满足 Ial=1, a ∙ b 二-1,则 a ∙ (2a~b)=( ) A. 4B. 3C. 2D.5.双曲线= I (a>0, b>0)的离心率为\龙，则其渐近线方程为( C. y=±迟X9A. y=±j∖βxB. y 二±ι∖βx=∖β C2 二 3¥ b=∖βa C √5 歹专,BC=I,AC 二 5, B. √30C 3 解析：选 A CoSo2cos 右-I= - ~ 2 5解析：选A e-6-在ΔABC 中，COS 则 AB 二() D. y=±A. 4√2 AB^AO+BC2-2AB ∙ BC ∙ COSC=322√5 AB=4√2 D.7. ................................................... 为计算S=I- 2 + 3 ^ 4 ++^ T∞,设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（）A. i=i+lB. i 二i+2C. i 二i+3D. i 二i+4解析：选B8. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）3为7+23, 11+19, 13+17,共3种情形，所求概率为P=FF109. 在长方体ABCD-ABc I D I 中，AB=BC=I, AAi=W 则异面直线AD】与DBl 所成角的余弦值为（D.解析：选C 建立空间坐标系，利用向量夹角公式可得。

2018年北京市高考数学试卷(理科)【附答案解析】

2018年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（5分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 2．（5分）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．B．C．D．4．（5分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A． f B． f C． f D．f5．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）设，均为单位向量，则“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）设集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（）A．对任意实数a，（2，1）∈A B．对任意实数a，（2，1）∉AC．当且仅当a＜0时，（2，1）∉A D．当且仅当a≤时，（2，1）∉A二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9．（5分）设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为．10．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）与圆ρ=2cosθ相切，则a=．11．（5分）设函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为．12．（5分）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x的最小值是．13．（5分）能说明“若f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，则f（x）在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是．14．（5分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为．三、解答题共6小题，共80分。

高考数学考点导数的几何意义以及应用#

考点09 导数的几何意义以及应用【高考再现】热点一导数的几何意义1.<2018年高考<课标文））曲线在点(1,1>处的切线方程为________2.<2018年高考<广东理））曲线在点处的切线方程为_______________【答案】【解读】,所以切线方程为,即.热点二导数的几何意义的应用3.<2018年高考<重庆理））设其中,曲线在点处的切线垂直于轴.(Ⅰ> 求的值。

(Ⅱ> 求函数的极值.【解读】(1>因,故因为曲线在点处的切线垂直于轴,故该切线斜率为0,即4.<2018年高考<山东文））已知函数为常数,e=2.71828是自然对数的底数>,曲线在点处的切线与x轴平行.(Ⅰ>求k的值。

(Ⅱ>求的单调区间。

(Ⅲ>设,其中为的导函数.证明:对任意.5.<2018年高考<湖北文））设函数,为正整数,为常数, 曲线在处的切线方程为.(1>求的值。

(2>求函数的最大值。

(3>证明:.【点评】本题考查多项式函数的求导,导数的几何意义,导数判断函数的单调性,求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归,分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程,导数的应用一般用来求解函数的极值,最值,证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值,最值等。

另外,要注意含有等的函数求导的运算及其应用考查.6．<2018年高考<北京文））已知函数(>,.(1>若曲线与曲线在它们的交点(1,>处具有公共切线,求的值。

(2>当时,求函数在区间上的最大值为28,求的取值范围.当时,函数在区间上的最大值小于28.因此,的取值范围是7.<2018年高考<北京理））已知函数(>,.(1>若曲线与曲线在它们的交点(1,>处具有公共切线,求的值。

北京海淀区2018届高三数学一模试卷理科带答案

北京海淀区2018届高三数学一模试卷（理科带答案）海淀区高三年级第二学期期中练习数学（文科）2018.4本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题纸交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)已知集合，，且，则可以是(A)(B)0(C)l(D)2(2)已知向量a=(l，2)，b=（，0），则a+2b=(A)（，2）(B)（，4）(C)(1，2)(D)(1，4）(3)执行如图所示的程序框图，输出的S值为(A)2(B)6(C)8(D)10(4)如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形及其内部的点组成的集合记为，为中任意一点，则的最大值为(A)1(B)2(C)(D)（5）已知，为正实数，则“，”是“”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(6)如图所示，一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作，则的值不可能是(A)(B)(C)(D)（7）下列函数中，其图像上任意一点的坐标都满足条件的函数是(A)(B)(C)(D)（8）已知点在圆上，点在圆上，则下列说法错误的是(A)的取值范围为(B)取值范围为(C)的取值范围为(D)若，则实数的取值范围为第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

(9)复数.(10)已知点(2，0)是双曲线：的一个顶点，则的离心率为.(11)直线（为参数）与曲线（为参数）的公共点个数为.(12)在中，若，，，则，.(13)一次数学会议中，有五位教师来自A，B，C三所学校，其中A学校有2位，B学校有2位，C学校有1位．现在五位教师排成一排照相，若要求来自同一所学校的教师不相邻，则共有种不同的站队方法．(14)设函数．①若有两个零点，则实数的取值范围是；②若，则满足的的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分。

2018年高三北京市朝阳区2018届高三(一模)数学

理科数学 2018年高三北京市朝阳区2018届高三(一模)数学(理)试题解析单选题略略略略略略略略填空题略略略略略略略略略略略略单选题（本大题共8小题，每小题____分，共____分。

）1．已知全集为实数集，集合，，则A.B.C.D.2．复数满足，则在复平面内复数所对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3．直线的参数方程为（为参数），则的倾斜角大小为A.C.D.4．已知为非零向量，则“”是“与夹角为锐角”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5．某单位安排甲、乙、丙、丁4名工作人员从周一到周五值班，每天有且只有1人值班，每人至少安排一天且甲连续两天值班，则不同的安排方法种数为A.B.C.D.6．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于A.C.D.7．庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”．庙会大多在春节、元宵节等节日举行．庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）．今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”．游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁8．在平面直角坐标系xOy中，已知点,，动点满足,其中，则所有点构成的图形面积为A.B.C.D.填空题（本大题共12小题，每小题____分，共____分。

）9．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为________．10．若三个点中恰有两个点在双曲线上，则双曲线的渐近线方程为_____________．11．函数（）的部分图象如图所示，则____；函数在区间上的零点为____．12．已知点，若点是圆上的动点，则面积的最小值为____．13．等比数列满足如下条件：①；②数列的前项和．试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式____．14．已知，函数当时，函数的最大值是____；若函数的图象上有且只有两对点关于轴对称，则的取值范围是____．15． (本小题满分13分)在中，已知，．（Ⅰ）若，求的面积；（Ⅱ）若为锐角，求的值．16．(本小题满分14分)如图1，在矩形中，，，为的中点，为中点．将沿折起到，使得平面平面（如图2）．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．17．(本小题满分13分)某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人（Ⅱ）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的．从选考方案确定的8位男生中随机选出1人，从选考方案确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率；（Ⅲ）从选考方案确定的8名男生中随机选出2名，设随机变量求的分布列及数学期望．18． (本小题满分13分)已知函数．（Ⅰ）当时，（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若，求证：．19． (本小题满分14分)已知椭圆的离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于两点，直线过坐标原点且与直线的斜率互为相反数．若直线与椭圆交于两点且均不与点重合，设直线与轴所成的锐角为，直线与轴所成的锐角为，判断与大小关系并加以证明．20． (本小题满分13分)已知集合是集合的一个含有8个元素的子集．（Ⅰ）当时，设，（i）写出方程的解；（ii）若方程至少有三组不同的解，写出的所有可能取值；（Ⅱ）证明：对任意一个，存在正整数，使得方程至少有三组不同的解．答案单选题1. C2. A3. C4. B5. B6. D7. A8. C 填空题9.410.11.12.213.14.15.（Ⅰ）由，得，因为，所以.因为，所以．故的面积．………………….7分（Ⅱ）因为，且为锐角，所以.所以．………….13分16.（Ⅰ）由已知，因为为中点，所以．因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面．又因为平面，所以．………….5分（Ⅱ）设为线段上靠近点的四等分点，为中点．由已知易得．由（Ⅰ）可知，平面，所以，.以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系（如图）．因为，，所以．设平面的一个法向量为，因为，所以即取，得．而.所以直线与平面所成角的正弦值……….10分（Ⅲ）在线段上存在点，使得平面.设，且，则，．因为，所以，所以，所以，．若平面，则.即.由（Ⅱ）可知，平面的一个法向量，即，解得，所以当时，平面．……….14分17.（Ⅰ）由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有4人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有6人，该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有人．……….3分（Ⅱ）由数据可知，选考方案确定的8位男生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为；选考方案确定的10位女生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为．所以该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率为．…….8分（Ⅲ）由数据可知，选考方案确定的男生中有4人选择物理、化学和生物；有2人选择物理、化学和历史；有1人选择物理、化学和地理；有1人选择物理、化学和政治．由已知得的取值为．，，或.所以的分布列为12所以．…….13分18.当时，..（ⅰ）可得，又，所以在点（）处的切线方程为. ….3分（ⅱ）在区间（）上，且，则.在区间（）上，且，则.所以的单调递增区间为（），单调递减区间为（）. ….8分（Ⅱ）由，，等价于，等价于. 设，只须证成立.因为，，由，得有异号两根.令其正根为，则.在上，在上.则的最小值为.又，，所以.则.因此，即.所以所以.….….13分19.Ⅰ）由题意得解得，，．故椭圆的方程为．….….5分（Ⅱ）．证明如下：由题意可设直线的方程为，直线的方程为，设点，，，．要证，即证直线与直线的斜率之和为零，即．因为．由得，所以，．由得，所以．所以．．所以．….….14分20.（Ⅰ）（ⅰ）方程的解有：． (2)分（ii）以下规定两数的差均为正，则：列出集合的从小到大8个数中相邻两数的差：1，3，2，4，2，3，1；中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）：4，5，6，6，5，4；中间相隔二数的两数差：6，9，8，9，6；中间相隔三数的两数差：10，11，11，10；中间相隔四数的两数差：12，14，12；中间相隔五数的两数差：15，15；中间相隔六数的两数差：16这28个差数中，只有4出现3次、6出现4次，其余都不超过2次，所以的可能取值有4，6．…………………………………………………………6分（Ⅱ）证明：不妨设，记，，共13个差数．假设不存在满足条件的，则这13个数中至多两个1、两个2、两个3、两个4、两个5、两个6，从而. …………①又，这与①矛盾！所以结论成立．……………………………………………………………………13分解析单选题略略略略略略略略填空题略略略略略略略略略略略略。

北京市朝阳区2018-2019高三数学期末考试(理科)试题(解析版)

北京市朝阳区2018-2019学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷（理工类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用并集定义直接求解．【详解】集合A＝{x∈N|1≤x≤3}＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，∴A∪B＝{1，2，3，4，5}．故选：D．【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.设复数满足，则=A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】由（1﹣i）z＝2i，得z，∴|z|．故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的=A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件跳出循环，确定输出S的值【详解】模拟程序的运行，可得S＝12，n＝1执行循环体，S＝10，n＝2不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝6，n＝3不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝0，n＝4不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝﹣8，n＝5满足条件S+n≤0，退出循环，输出S的值为﹣8．故选：A．【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4.在平面直角坐标系中，过三点的圆被轴截得的弦长为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用待定系数法求出圆的一般方程，令y＝0可得：x2﹣4x＝0，由此即可得到圆被轴截得的弦长.【详解】根据题意，设过A、B、C的圆为圆M，其方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，又由A（4，4），B（4，0），C（0，4），则有，解可得：D＝﹣4，E＝﹣4，F＝0，即圆M的方程为x2+y2﹣4x﹣4y＝0，令y＝0可得：x2﹣4x＝0，解可得：x1＝0，x2＝4，即圆与x轴的交点的坐标为（0，0），（4，0），则圆被x轴截得的弦长为4；故选：A．【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，涉及待定系数法求圆的方程，关键是求出圆的方程．5.将函数的图象向右平移个单位后，图象经过点，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数平移变换的规律得到向右平移φ（φ＞0）个单位长度的解析式，将点带入求解即可．【详解】将函数y＝sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，可得y＝sin2（x﹣φ）＝sin（2x﹣2φ），图象过点，∴sin（2φ），即2φ2kπ，或2kπ，k∈Z，即φ 或，k ∈Z ，∵φ＞0，∴φ的最小值为．故选：B ．【点睛】本题主要考查了函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，考查计算能力，属于基础题． 6.设为实数，则是 “”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由“x ＜0”易得“”，反过来，由“”可得出“x ＜0”，从而得出“x ＜0”是“”的充分必要条件．【详解】若x ＜0，﹣x ＞0，则：；∴“x ＜0“是““的充分条件；若，则；解得x ＜0； ∴“x ＜0“是““的必要条件；综上得，“x ＜0”是“”的充分必要条件．故选：C ．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件． 7.对任意实数，都有（且），则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得a＞1且a≤e x+3对任意实数x都成立，根据指数函数的性质即可求出．【详解】∵log a（e x+3）≥1＝log a a，∴a＞1且a≤e x+3对任意实数x都成立，又e x+3＞3，∴1＜a≤3，故选：B【点睛】本题考查了对数的运算性质和函数恒成立的问题，属于中档题．8.以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正八面体与大小正方体的关系，即可得到结果.【详解】正方体C1各面中心为顶点的凸多面体C2为正八面体，它的中截面（垂直平分相对顶点连线的界面）是正方形，该正方形对角线长等于正方体的棱长，所以它的棱长a2；以C2各个面的中心为顶点的正方体为图形C3是正方体，正方体C3面对角线长等于C2棱长的，（正三角形中心到对边的距离等于高的），因此对角线为，所以a，3故选：【点睛】本题考查组合体的特征，抓住两个组合体主元素的关系是解题的关键，考查空间想象能力，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9.已知数列为等差数列，为其前项的和.若，，则_______.【答案】【解析】【分析】运用等差数列的前n项和公式可解决此问题．【详解】根据题意得，2＝6，∴＝3 又＝7，∴2d＝7﹣3＝4，∴d＝2，＝1，∴S＝55+20＝25，5故答案为：25．【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式的应用．10.已知四边形的顶点A，B，C，D在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则____________.【答案】【解析】【分析】以A为坐标原点，以AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，分别求出的坐标，由数量积的坐标运算得答案．【详解】如图，以A为坐标原点，以AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（4，2），C（7，0），D（3，﹣2），∴，，∴7×1+0×4＝7．故答案为：7．【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及其运算，合理构建坐标系是解题的关键，是基础的计算题．11.如图，在边长为1的正方形网格中，粗实线表示一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为_______________．【答案】【解析】【分析】由三视图还原几何体，该几何体为三棱锥，底面三角形ACB与侧面三角形APB为全等的等腰直角三角形，侧面PAB⊥侧面ACB，AB＝4，PO＝OC＝2，由此即可得到结果．【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面三角形ACB与侧面三角形APB为全等的等腰直角三角形，侧面PAB⊥侧面ACB，AB＝4，PO＝OC＝2．侧面PAC与PBC为全等的等边三角形．则该三棱锥的体积为V＝．故答案为：．【点睛】本题考查由三视图求体积，关键是由三视图还原原几何体，考查空间想象能力及运算能力，是中档题．12.过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为.若，则__________________.【答案】【解析】【分析】设直线AB的倾斜家为锐角θ，由|AF|＝4|BF|，可解出cosθ的值，进而得出sinθ的值，然后利用抛物线的焦点弦长公式计算出线段AB的长，再利用|CD|＝|AB|sinθ可计算出答案．【详解】设直线AB的倾斜角为θ，并设θ为锐角，由于|AF|＝4|BF|，则有，解得，则，由抛物线的焦点弦长公式可得，因此，．故答案为：5．【点睛】本题考查抛物线的性质，解决本题的关键在于灵活利用抛物线的焦点弦长公式，属于中等题．13.2018年国际象棋奥林匹克团体赛中国男队、女队同时夺冠.国际象棋中骑士的移动规则是沿着3×2格或2×3格的对角移动.在历史上，欧拉、泰勒、哈密尔顿等数学家研究了“骑士巡游”问题：在格的黑白相间的国际象棋棋盘上移动骑士，是否可以让骑士从某方格内出发不重复地走遍棋盘上的每一格？图（一）给出了骑士的一种走法，它从图上标1的方格内出发，依次经过标2,3,4,5,6,,到达标64的方格内，不重复地走遍棋盘上的每一格，又可从标64的方格内直接走回到标1的方格内.如果骑士的出发点在左下角标50的方格内，按照上述走法，_____（填“能”或“不能”）走回到标50的方格内.若骑士限制在图（二）中的3×4=12格内按规则移动，存在唯一一种给方格标数字的方式，使得骑士从左上角标1的方格内出发，依次不重复经过2,3,4,5,6,,到达右下角标12的方格内，分析图（二）中A处所标的数应为____.【答案】(1). 能(2).【解析】【分析】根据题意，画出路线图，解判断是否能，再根据题意，结合题目中的数字，即可求出A处的数字．【详解】如图所示：如果骑士的出发点在左下角标50的方格内，按照上述走法，能走回到标50的方格内，如图所示：使得骑士从左上角标1的方格内出发，依次不重复经过2，3，4，5，6，…，到达右下角标12的方格，且路线是唯一的，故A处应该为8，故答案为：能，8【点睛】本题考查了合情推理的问题，考查了转化与化归思想，整体和部分的思想，属于中档题14.如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是___________.【答案】【解析】【分析】设等腰三角形底角为，阴影面积为，根据正弦函数的图象与性质即可得到结果.【详解】设等腰三角形底角为，则等腰三角形底边长为高为，阴影面积为：,当时，阴影面积的最大值为故答案为：【点睛】本题考查平面图形的面积问题，考查三角函数的图象与性质，解题关键用等腰三角形底角为表示等腰三角形的底边与高.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.在中，已知，（1）求的长；（2）求边上的中线的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用同角关系得到，结合正弦定理即可得到的长；（2）在中求出，结合余弦定理即可得到边上的中线的长. 【详解】解：（1）由，，所以.由正弦定理得，，即.（2）在中，.由余弦定理得，,所以.所以.【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查推理及运算能力，属于中档题.16.某日A,B,C三个城市18个销售点的小麦价格如下表：（1）甲以B市5个销售点小麦价格的中位数作为购买价格，乙从C市4个销售点中随机挑选2个了解小麦价格.记乙挑选的2个销售点中小麦价格比甲的购买价格高的个数为，求的分布列及数学期望；（2）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大.请你对A,B,C三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果）.【答案】（1）分布列见解析，期望为1（2）C,A,B【解析】【分析】(1)由题意可得的可能取值为0，1，2.求出相应的概率值，即可得到的分布列及数学期望；（2）三个城市按照价格差异性从大到小排列为：C，A，B．【详解】解：（1）B市共有5个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500.所以中位数为2500，所以甲的购买价格为2500.C市共有4个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2400，2470，2540，2580，故的可能取值为0，1，2.，，.所以分布列为所以数学期望.（2）三个城市按小麦价格差异性从大到小排序为：C,A,B【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.17.如图，三棱柱的侧面是平行四边形，，平面平面，且分别是的中点.（1）求证：平面；（2）当侧面是正方形，且时，（ⅰ）求二面角的大小；（ⅱ）在线段上是否存在点，使得？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）（ⅰ）（ⅱ）点在点处时，有【解析】【分析】（1）取中点，证明四边形是平行四边形，可得从而得证；（2）（ⅰ）先证明平面以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，即可得到二面角的大小；（ⅱ）假设在线段上存在点，使得. 设，则.利用垂直关系，建立的方程，解之即可.【详解】证明：（1）取中点，连，连.在△中，因为分别是中点，所以，且.在平行四边形中，因为是的中点，所以，且.所以，且.所以四边形是平行四边形.所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为侧面是正方形，所以.又因为平面平面，且平面平面，所以平面.所以.又因为，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示. 设，则，.（ⅰ）设平面的一个法向量为.由得即令，所以.又因为平面，所以是平面的一个法向量.所以.由图可知，二面角为钝角，所以二面角的大小为.（ⅱ）假设在线段上存在点，使得.设，则.因为，又，所以.所以.故点在点处时，有【点睛】本题考查向量法求二面角大小、线面平行的证明，考查满足线面垂直的点的位置的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查推理论论能力、空间想象能力，是中档题．18.已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的极小值；（Ⅱ）当时，讨论的单调性；（Ⅲ）若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）由题意，当时，求得，得出函数的单调性，进而求解函数的极值；（Ⅱ）由，由，得或，分类讨论，即可得到函数的单调区间；（Ⅲ）由（1）和（2），分当和，分类讨论，分别求得函数的单调性和极值，即可得出相应的结论，进而得到结论.【详解】解：（Ⅰ）当时：，令解得，又因为当，，函数为减函数；当，，函数为增函数.所以，的极小值为.（Ⅱ）.当时，由，得或.(ⅰ)若，则.故在上单调递增；（ⅱ）若，则.故当时，；当时，.所以在，单调递增，在单调递减.(ⅲ)若，则.故当时，；当时，.所以在，单调递增，在单调递减.（Ⅲ）（1）当时，，令，得.因为当时，，当时，，所以此时在区间上有且只有一个零点.（2）当时：（ⅰ）当时，由（Ⅱ）可知在上单调递增，且，，此时在区间上有且只有一个零点.（ⅱ）当时，由（Ⅱ）的单调性结合，又，只需讨论的符号：当时，，在区间上有且只有一个零点；当时，，函数在区间上无零点.(ⅲ)当时，由（Ⅱ）的单调性结合，，，此时在区间上有且只有一个零点.综上所述，.【点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.19.过椭圆W:的左焦点作直线交椭圆于两点，其中，另一条过的直线交椭圆于两点（不与重合），且点不与点重合.过作轴的垂线分别交直线，于,.（Ⅰ）求点坐标和直线的方程；（Ⅱ）求证：.【答案】（Ⅰ），的方程为（Ⅱ）详见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可得直线的方程为.与椭圆方程联立方程组，即可求解B点坐标；（Ⅱ）设，，的方程为，联立方程组，根据根与系数的关系，求得，，进而得出点的纵坐标，化简即可证得，得到证明.【详解】（Ⅰ）由题意可得直线的方程为.与椭圆方程联立,由可求.（Ⅱ）当与轴垂直时，两点与,两点重合，由椭圆的对称性，.当不与轴垂直时，设，，的方程为（）.由消去，整理得.则，.由已知，，则直线的方程为，令，得点的纵坐标.把代入得.由已知，，则直线的方程为,令，得点的纵坐标.把代入得.把，代入到中，=.即，即..【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.20.已知是由正整数组成的无穷数列，对任意，满足如下两个条件：①是的倍数；②.（1）若，，写出满足条件的所有的值；（2）求证：当时，；（3）求所有可能取值中的最大值.【答案】（1）（2）见解析（3）85【解析】【分析】（1）根据满足的两个条件即可得到满足条件的所有的值；（2）由，对于任意的，有. 当时，成立，即成立；若存在使，由反证法可得矛盾；（3）由（2）知，因为且是的倍数，可得所有可能取值中的最大值.【详解】（1）的值可取.（2）由，对于任意的，有.当时，，即，即.则成立.因为是的倍数，所以当时，有成立.若存在使，依以上所证，这样的的个数是有限的，设其中最大的为.则,成立，因为是的倍数，故.由,得.因此当时，.（3）由上问知，因为且是的倍数，所以满足下面的不等式：，. 则,, ,,,,,,,,当时，这个数列符合条件.故所求的最大值为85.【点睛】本题考查了数列的有关知识，考查了逻辑推理能力，综合性较强.。

2018年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)

关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料
第 3 页（共 28 页）
18．（12 分）如图，在平行四边形 ABCM 中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以 AC 为折痕将△ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 AB⊥DA．
（1）证明：平面 ACD⊥平面 ABC；（2）Q 为线段 AD 上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BP=DQ= DA，求三棱锥
A．12 π
B．12π
C．8 π
D．10π
【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】利用圆柱的截面是面积为 8 的正方形，求出圆柱的底面直径与高，然后
求解圆柱的表面积．
【解答】解：设圆柱的底面直径为 2R，则高为 2R，
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35m3 的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365 天计算，
同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
20．（12 分）设抛物线 C：y2=2x，点 A（2，0），B（﹣2，0），过点 A 的直线 l 与 C 交于 M，N 两点．
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5 分）已知集合 A={0，2}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则 A∩B=（）
A．{0，2}
B．{1，2}
C．{0}
D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
问题解决问题的能力．

2017-2018学年高中数学专题03破译三角函数图像变换问题特色专题训练新人教A版必修4

12专题03破译三角函数图像变换问题、单选题1.【湖北省咸宁市2018届高三重点高中11月联考】若函数f x =cos2x ， g x ]=sin j 2x -石【答案】【解析】/(+COS 2JC :+sin I 2x —— =cos2x4JT曲线严列乂）向左平移壬个单位长度后的解折式为:6本题选择E 选项.2•【山西省芮城中学 2018届高三期中】函数 f （x ） = Asin （G0x + W ）（其中A A O ，申 <:丄）的图象过点2,0 ,—, -1，如图所示，为了得到 g x ；=cos2x 的图象，则只要将 f x 的图象（）312曲线B .曲线y 二g x 向左平移 C .曲线 y = f x 向右平移 D .曲线丄个单位长度后得到曲线6■JT个单位长度后得到曲线6—个单位长度后得到曲线12—个单位长度后得到曲线126丿即/(x )+^(x) =A. 向右平移二个单位长度6B. 向右平移个单位长度1233【答案】D+ 卩= --- 2A H (A:E Z) — +2lac(k e Z) 23It和八、 .K-(P — — > J (x) = SID I 2x4-—C.向左平移'个单位长度 6D.向左平移个单位长度12【解析】12 3TSJD3it71 1C — cos2x — sin 2无+—2 3二肚2 "12点睛：已知函数 y=Asi nicx 」‘LB （A -0,八＞0）的图象求解析式 (1)y max — y min y max yminA, B =一 2由函数的周期T 求co ,T = 利用“五点法”中相对应的特殊点求:.【广东省执信中学 2017-2018学年高二上学期期中】将函数 y=Sin j 2x ' 的图象向右平移一个单位2长度，所得图象对应的函数■: 7 二■: 7 二A 在区间［,］上单调递减B 在区间［,］上单调递增12 12 12 12J ［ JEJ ［ J ［C.在区间^-,-］上单调递减D在区间［wy 上单调递增【答案】B兀【解析】将函数向右平移个单位长度得:((y =sin 2 x 一一J T(二 sin I 2x- 3 ，所以当7 2 二二二时，2x ，—12 3IL 2 24 •【陕西省西安市长安区2018届高三上学期质量检测】把函数.的图象上个点的横坐标缩短到原61 TI来的（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一个对称中心为23A B.c D (%)4【答案】D【解析】根据题意函数尸血时勺）的图象上个点的横坐标缩短到原来的k纵坐标不知，可得厂血伍昇6 2I创再将團象向右平移*单位，可得：V J sin|2 （x）+ -] = sin —）- ~cos2x^3 3 6 22K ■- + kn*2可得：x«- + -kn, kE疋"4 2当k・0时，可得对称中点为（：0）.4故选ZZf x二cosi2x • 的图象，只需将函数I 6丿g x 二sin2x 的图象（）A向左平移一个单位6C. 向左平移二个单位3【答案】A B向右平移一个单位6D向右平移少个单位3，所以函数单调递增，故选 B.125.【山东省莱芜市2018届高三上学期期中】要得到函数f x i = sin 「x ■ ' （其中）的图象如图2所示，为了得到 y 二cos 「x 的图象，只需把 y 二f x 的图象上所有点（）【解析】g x 二 sin2x =cos所以向左平移n 二26 个单位，选A2 66 •【辽宁省沈阳市交联体2018届高三上学期期中】函数C.向左平移二个单位长度6【答案】AT 7 7T更jr 【解析】根据函数的^m-=—4 122九"所以：T^JL9<D=——=2>当沪彳时，函数fyr jr即：/ ( —) =sin (2x — +<p) =0.解得所以:f (x) =sin( 2x+ —).要得到y=cos2x的图象只需将函数 f (x) =sin(2x< )向左平移.个单位长度,3 12n 兀即y=sin (2x+ + ) =cos2x.6 3故选：A.点睛：已知函数y=Asi n[cx」‘LB(A 0^ 0)的图象求解析式(1 )2■:人=涯沁，ymin.(2)由函数的周期T求,T =2 2 ⑷利用“五点法”中相对应的特殊点求:.【豫西南部分示范性高中2017-2018年高三年级第一学期联考】已知函数f X =sin 2x，为得到B.向右平移.个单位长度12D.向右平移二个单位长度6A向左平移.个单位长度123A 向左平移二个单位长度 B.向左平移.个单位长度612C.向右平移二个单位长度D.向右平移二个单位长度612【答案】A【解析】函数 g x 二 cosi2x sin ；2xsin 12x —• I 6丿 126丿 J 3丿函数f （x ）=s in ”2x +工1= sin |2 " x +丄1+》=sin " 2x +2兀】=g （ x ），是向左平移了工个单位长 2 V 3丿 [16丿3 一 V 3丿“丿 6度。

几何图形的面积问题(与函数值域转化)(解析版)

几何图形的面积问题（与函数值域转化）一、考情分析圆锥曲线中几何图形的面积问题，是近几年高考命题的重点和难点。

在2018年的全国卷和2019年的全国卷中，都有圆锥曲线的大题压轴的第二问出现。

题目的难度是可想而知的，这其中涉及到：距离，斜率，切线，直线与圆，三角形的面积，四边形的面积等。

此专题，从这个出发点出发，梳理了最近的高考题和诊断性考试题，得出曲径通幽的解题之法。

归根结底，最终都是转换到函数值域。

二、经验分享圆锥曲线中的几何图形的面积问题，以及围绕与几何图形的面积问题关键是：其一，选取合适的变量，第二，建立目标函数，转化函数的取值范围与最值问题（也就是转化成函数值域问题），第三，构造函数，用导数的方法求其最大值与最小值。

其求解策略一般有以下几种：①几何法：根据题目上传达的几何图形以及几何关系，建立目标函数，若目标函数有明显几何特征和意义，则考虑几何图形的性质求解；②代数法: 若目标函数的几何意义不明显，利用基本不等式、导数等方法求函数的值域或最值，注意变量的范围，在对目标函数求最值前，常要对函数进行变换，注意变形技巧，若一个函数式的分母中含有一次式或二次式、分子中含有一次式或二次式的二次根式，则可以通过换元的方法把其转化为分母为二次式、分子为一次式的函数式，这样便于求解此函数式的最值.三、题型分析（一）角的最值问题例1. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点A 关于原点O 的对称点为,B F 为其右焦点,若,AF BF ⊥设,ABF α∠=且,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则椭圆离心率的取值范围是 .【答案】26[,]23【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式2sin 2cos 2c c a αα+=,然后借助已知条件,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦利用三角函数的图象求解离心率的范围. 【变式训练1】【百校联盟2018届TOP202018届高三三月联考】．已知平行四边形ABCD 内接于椭圆()2222:10x y a b a b Ω+=>>，且AB ， AD 斜率之积的范围为32,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则椭圆Ω离心率的取值范围是（） A. 13,23⎛⎫⎪⎪⎝⎭ B. 32,32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C. 13,43⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D. 11,43⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【变式训练2】【2019届河北武邑中学高三周考】已知直线:60l x y +-=和曲线22:2220M x y x y +---=,点A 在直线l 上,若直线AC 与曲线M 至少有一个公共点C ,且030MAC ∠=,则点A 的横坐标的取值范围是（）A ．()0,5B ．[]1,5C ．[]1,3D ．(]0,3 【答案】B【解析】设()00,6A x x -,依题意有圆心到直线的距离sin302d AM =≤,即()()22001516x x -+-≤,解得[]01,5x ∈.【变式训练3】【2019届山东省济宁市高三3月模拟】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，焦距为2(0)c c >，抛物线22y cx =的准线交双曲线左支于,A B 两点，且0120(AOB O ∠=为坐标原点），则该双曲线的离心率为（） A.31 B. 2 C. 21 D. 51【答案】A【解析】由题意得，当()22222424c a b cx y a-=-⇒= ，则 ()()2222222244,,2424ca b ca b c cA B aa⎛⎛-- -- ⎝⎝，又因为120AOB ∠=︒， ()22242242244244tan 384084032ca b c c a c a c a a aπ-==-+=⇒-+=4222840423(4231,)331e e e e e ∴-+=⇒=±-<⇒=⇒=舍去.（二）距离的最值问题例2.【2019届山东菏泽一中宏志部高三上学期月考】若过点()2 3 2P --，的直线与圆224x y +=有公共点,则该直线的倾斜角的取值范围是（）A ．0 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．0 3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C. 0 6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．0 3π⎛⎤ ⎥⎝⎦，【答案】B【解析】当过点(23,2)P --的直线与圆224x y += 相切时,设斜率为k ,则此直线方程为+2=k(23)y x +,即k 2320x y k -+-=.由圆心到直线的距离等于半径可得2|232|21k k -=+,求得0k =或3k =,故直线的倾斜角的取值范围是[0,]3π,所以B 选项是正确的.【变式训练1】【2020届河北省武邑中学高三上学期测试】在平面直角坐标系x y O 中,圆1C :()()221625x y ++-=,圆2C :()()2221730x y r -+-=．若圆2C 上存在一点P ,使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点A ,B ,满足2PA =AB ,则半径r 的取值范围是（） A ．[]5,55 B ．[]5,50 C ．[]10,50 D ．[]10,55 【答案】A【解析】由题,知圆1C 的圆心为(1,6)-,半径为5,圆2C 的圆心为(17,30),半径为r ,两圆圆心距为22(171)(306)30++-=,如图,可知当AB 为圆1C 的直径时取得最大值,所以当点P 位于点1P 所在位置时r 取得最小值,当点P 位于点2P 所在位置时r 取得最大值．因为max ||10AB =,||2||PA AB =,所以min 5r =,max 55r =,故选A ．（三）几何图形的面积的范围问题例3.在平面直角坐标系中,,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切,则圆C 面积的最小值为（）A.45πB.34πC.(625)π-D.54π 【答案】A【解析】设直线l ：240x y +-=.因为1||||2C l OC AB d -==,所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点,l 为准线的抛物线.圆C 半径最小值为11422255O l d -=⨯=,圆C 面积的最小值为1．【变式训练1】【北京市朝阳区2018届高三第一学期期末】阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点,A B 间的距离为2，动点P 与A ， B 距离之比为2，当,,P A B 不共线时， PAB ∆面积的最大值是 A. 22 B. 2 C.223 D. 23【答案】A【变式训练2】【吉林省普通中学2020届第二次调研】已知F 为抛物线2y x =的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，而且·6OAOB =（O 为坐标原点），若ABO ∆与AFO ∆的面积分别为1S 和2S ，则124S S +最小值是（）A ．73 B ． 6 C ． 132D ． 3【答案】B【变式训练3】【2016高考新课标1卷】设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.【解析】（Ⅰ）因为||||AC AD =,AC EB //,故ADC ACD EBD ∠=∠=∠, 所以||||ED EB =,故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ,从而4||=AD ,所以4||||=+EB EA . 由题设得)0,1(-A ,)0,1(B ,2||=AB ,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：13422=+y x （0≠y ）. （Ⅱ）当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ,),(11y x M ,),(22y x N .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k .可得当l 与x 轴不垂直时,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.当l 与x 轴垂直时,其方程为1=x ,3||=MN ,8||=PQ ,四边形MPNQ 的面积为12.综上,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.（四）函数转化例4.【2019届成都一诊】设椭圆()012222>>=+b a by a x C ：的左右顶点为A,B.P 是椭圆上不同于A,B 的一点，设直线AP,BP 的斜率分别为m,n ，则当()||ln ||ln 32323n m mnmn b a +++⎪⎭⎫ ⎝⎛-取得最小值时，椭圆C 的离心率为（）A.51 B.22 C.54D.23【答案】D【解析】设()()(),,,0,,0,00y x P a B a A -，点P 在双曲线上，得()01220220>>=+b a b y a x C ：，2202220)(ax a b y -=，所以a x y m +=00，a x y m -=00，化简,22ab mn -=原式⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=b a b a b a b a a b a b a b b a ln 63232ln 62323232222所以设1>=b a t ，函数t t t t t f ln 63232)(23++-=，求导可以得到：2t =时，函数取得最小值=)2(f ，2=ba，23=e 。

2018届高三理科数学函数与导数解题方法规律技巧详细总结版

2018届高三理科数学函数与导数解题方法规律技巧详细总结版【3年高考试题比较】对于导数的解答题，考纲的要求是：1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)；3.会用导数解决实际问题.通过比较近三年的高考卷总结如下：一般有两问，（16年3卷出现了三问），第一问往往是以讨论函数单调性和切线问题为主，也有根据不等式恒成立或零点问题求参数范围的问题，但一般难度不大，第二问主要涉及不等式的恒成立问题，零点问题，函数最值问题，一元的不等式证明和二元的不等式证明，方法灵活，难度较大.【必备基础知识融合】1.基本初等函数的导数公式2.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0).3.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. 4.函数的单调性与导数(1)在区间D 上，若f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0不连续成立⇔函数f (x )在区间D 上递增；(2)在区间D 上，若f ′(x )≤0，且f ′(x )＝0不连续成立⇔函数f (x )在区间D 上递减； (3)在区间D 上，若f ′(x )＝0恒成立⇔函数f (x )在区间D 上是常函数. 5.函数的极值与导数6.函数的最值与导数(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值.(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值.【解题方法规律技巧】典例1：已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2，4)的切线方程.【规律方法】(1)求切线方程的方法：①求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；②求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.典例2：设函数f(x)＝a ln x＋x－1x＋1，其中a为常数.(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性.③当－12＜a ＜0时，Δ＞0.设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点，则x 1＝－（a ＋1）＋2a ＋1a ，x 2＝－（a ＋1）－2a ＋1a .由x 1＝a ＋1－2a ＋1－a ＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a ＞0，所以x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减. 综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－12＜a ＜0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－（a ＋1）＋2a ＋1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－（a ＋1）－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－（a ＋1）＋2a ＋1a ，－（a ＋1）－2a ＋1a 上单调递增.【规律方法】 (1)确定函数单调区间的步骤： ①确定函数f (x )的定义域； ②求f ′(x )；③解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； ④解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.(2)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如函数f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0(x ＝0时，f ′(x )＝0)，但f (x )＝x 3在R 上是增函数.（3）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f (x )含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.分类讨论时，要做到不重不漏.典例3：已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0).(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求实数a 的取值范围.(2)由h (x )在[1，4]上单调递减得，当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，③即a ≥1x 2－2x 恒成立.设G (x )＝1x 2－2x ，所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1，因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716.【规律方法】利用单调性求参数的两类热点问题的处理方法： (1)函数f (x )在区间D 上存在递增(减)区间. 方法一：转化为“f ′(x )>0(<0)在区间D 上有解”；方法二：转化为“存在区间D 的一个子区间使f ′(x )>0(<0)成立”. (2)函数f (x )在区间D 上递增(减).方法一：转化为“f ′(x )≥0(≤0)在区间D 上恒成立”问题；方法二：转化为“区间D 是函数f (x )的单调递增(减)区间的子集”. 易错警示对于①：处理函数单调性问题时，应先求函数的定义域；对于②：h (x )在(0，＋∞)上存在递减区间，应等价于h ′(x )<0在(0，＋∞)上有解，易误认为“等价于h ′(x )≤0在(0，＋∞)上有解”，多带一个“＝”之所以不正确，是因为“h ′(x )≤0在(0，＋∞)上有解即为h ′(x )<0在(0，＋∞)上有解，或h ′(x )＝0在(0，＋∞)上有解”，后者显然不正确；对于③：h (x )在[1，4]上单调递减，应等价于h ′(x )≤0在[1，4]上恒成立，易误认为“等价于h ′(x )<0在[1，4]上恒成立”.典例4：已知函数()()2ln R 2a f x x x x a =-∈ .（1）若2a = ，求曲线()y f x = 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()()()1g x f x a x =+- 在1x = 处取得极小值，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）y x =-（2）1a <()1'01,g x x a ⎛⎫<∈ ⎪⎝⎭，时， ()'0g x > ，所以()g x 在1x =处取得极小值，满足题意.③当1a =时，当()0,1x ∈ 时， ()'0h x >， ()'g x 在()0,1内单调递增， ()1,x ∈+∞时， ()()'0,'h x g x < 在()1,+∞内单调递减，所以当()0,x ∈+∞时， ()()'0,g x g x ≤单调递减，不合题意. ④当1a >时，即101a <<，当1,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()()'0,'h x g x < 单调递减， ()'0g x > ，当()1,x ∈+∞时， ()()'0,'h x g x <单调递减， ()'0g x < ，所以()g x 在1x =处取得极大值，不合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为1a < .【规律方法】函数极值的两类热点问题(1)求函数f (x )极值这类问题的一般解题步骤为：①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f (x )在x 0处取极大值，如果左负右正，那么f (x )在x 0处取极小值.(2)由函数极值求参数的值或范围.讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f ′(x )＝0根的有无(个数).然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号.典例5：已知函数f (x )＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a ＜0. (1)当a ＝－4时，求f (x )的单调递增区间； (2)若f (x )在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值.①当－a2≤1时，即－2≤a ＜0时，f (x )在[1，4]上的最小值为f (1)，由f (1)＝4＋4a ＋a 2＝8，得a ＝±22－2，均不符合题意. ②当1＜－a2≤4时，即－8≤a ＜－2时，f (x )在[1，4]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－a2＝0，不符合题意. ③当－a2＞4时，即a ＜－8时，f (x )在[1，4]上的最小值可能在x ＝1或x ＝4处取得，而f (1)≠8，由f (4)＝2(64＋16a ＋a 2)＝8得a ＝－10或a ＝－6(舍去)，当a ＝－10时，f (x )在(1，4)上单调递减，f (x )在[1，4]上的最小值为f (4)＝8，符合题意. 综上有，a ＝－10.【规律方法】(1)求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤：①求函数在(a ，b )内的极值；②求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；③将函数f (x )的极值与 f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(2)含参数的函数的最值一般不通过比值求解，而是先讨论函数的单调性，再根据单调性求出最值.含参函数在区间上的最值通常有两类：一是动极值点定区间，二是定极值点动区间，这两类问题一般根据区间与极值点的位置关系来分类讨论.典例6：已知函数f(x)＝ax＋ln x，x∈[1，e].(1)若a＝1，求f(x)的最大值；(2)若f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围.【规律方法】由不等式恒(能)成立求参数的范围常有两种方法：(1)讨论最值：先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出含参函数的最值，进而得出相应的含参不等式求参数的取值范围；(2)分离参数：先分离参数变量，再构造函数，求出函数的最值，从而求出参数的取值范围. 典例7：设函数f(x)＝ln x ＋mx，m ∈R .(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值； (2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数.解 (1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋ex ，定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝x －ex 2，由f ′(x )＝0，得x ＝e.∴当x ∈(0，e)，f ′(x )＜0，f (x )在(0，e)上单调递减，当x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee ＝2，∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x3(x ＞0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x ＞0).设φ(x )＝－13x 3＋x (x ＞0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0，1)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减. ∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点. ∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，可知①当m ＞23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点. 综上所述，当m ＞23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点.【规律方法】利用导数研究函数的零点常用两种方法：(1)运用导数研究函数的单调性和极值，利用单调性和极值定位函数图象来解决零点问题；(2)将函数零点问题转化为方程根的问题，利用方程的同解变形转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.典例8：已知函数f (x )＝ax ＋b x 2＋1在点(－1，f (－1))处的切线方程为x ＋y ＋3＝0. (1)求函数f (x )的解析式；(2)设g (x )＝ln x ，求证：g (x )≥f (x )在[1，＋∞)上恒成立；(3)若0<a <b ，求证：ln b －ln a b －a >2a a 2＋b 2.【规律方法】证明不等式通常需要构造函数，利用函数的最值、单调性证明.(1)证明不等式f (x )<g (x )，可构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，利用导数求F (x )的值域，得到F (x )<0即可；(2)对于证明含有两个变量a ，b 的不等式时，一种方法是通过变形构造成不等式f (a )>f (b )，然后利用函数f (x )的单调性证明，另一种方法是通过换元构造成单变量不等式，如本例令x ＝b a然后再利用已知关系证明即可.典例9：设k ∈R ，函数()ln f x x kx =-.(Ⅰ)若2k =，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；(Ⅱ)若()f x 无零点，求实数k 的取值范围；(Ⅲ)若()f x 有两个相异零点12x x ，，求证： 12ln ln 2x x +>.【答案】(Ⅰ) 10x y ++=；(Ⅱ) 1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(Ⅲ)证明见解析.(Ⅱ)①若k 0<时，则()()'0f x f x >，是区间()0,∞+上的增函数，∵()()()10e e 1e 0k k k f k f k k k =->=-=-<，，∴()()1e 0k f f ⋅<，函数()f x 在区间()0,∞+有唯一零点； ②若()0ln k f x x ==，有唯一零点1x =；③若0k >，令()'0f x =，得1x k =，在区间10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上， ()'0f x >，函数()f x 是增函数；【规律方法】涉及到二元问题的证明问题，通常是将二元问题一元化，进而利用函数导数求最值即可得解. 二元问题一元化的一般思路有：（1）等量代换，将题中的等量关系代入即可；（2，12t x x =+，12t x x =-等手段将二元关系换成关于t 的一元函数即可；（3）利用“极值点偏移”的思想，将二元换为一元.典例10：设函数()()2(x f x x ax a e a R -=+-⋅∈）. （1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程；（2）设()21g x x x =--，若对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立，求a 的取值范围. 【答案】(1) 320ex y e ++=；(2) 1a ≤-或24a e ≥-.(2)“对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立”等价于“在区间[]0,2上， ()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”.因为()2215124g x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，所以()g x 在[]0,2上的最大值为()21g =. ()()()2'2x x f x x a e x ax a e --=+⋅-+-⋅ ()222x e x a x a -⎡⎤=-+--⎣⎦ ()()2x e x x a -=--+,令()'0f x =，得2x =或x a =-.①当0a -≤，即0a ≥时， ()'0f x ≥在[]0,2上恒成立， ()f x 在[]0,2上为单调递增函数， ()f x 的最大值大为()()2124f a e =+⋅，由()2141a e+⋅≥，得24a e ≥-； ②当02a <-<，即20a -<<时，当()0,x a ∈-时， ()()'0,f x f x <为单调递减函数，当(),2x a ∈-时，()()'0,f x f x >为单调递增函数，所以()f x 的最大值大为()0f a =-或()()2124f a e=+⋅.由1a -≥，得1a ≤-；由()2141a e +⋅≥，得24a e ≥-，又因为20a -<<，所以21a -<≤-； ③当2a -≥，即2a ≤-时， ()'0f x ≤在[]0,2上恒成立， ()f x 在[]0,2上为单调递减函数，所以()f x 的最大值大为()0f a =-，由1a -≥，得1a ≤-，又因为2a ≤-，所以2a ≤-，综上所述，实数a 的取值范围是1a ≤-或24a e ≥-.【规律方法】利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数极值，导数几何意义等内容是考查的重点.解题时，注意函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想的应用，另外，还要能够将问题进行合理的转化，尤其是“任意”和“存在”问题的等价转化，可以简化解题过程.本题“对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立”等价于“在区间[]0,2上， ()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”. 【归纳常用万能模板】设函数f (x )＝e 2x －a ln x .(1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数； (2)证明：当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a .满分解答 (1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －a x (x ＞0).当a ≤0时，f ′(x )＞0，f ′(x )没有零点.2分当a ＞0时，设u (x )＝e 2x ，v (x )＝－a x ，因为u (x )＝e 2x 在(0，＋∞)上单调递增，v (x )＝－a x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增.4分又f ′(a )＞0，当b 满足0＜b ＜a 4且b ＜14时，f ′(b )＜0(讨论a ≥1或a ＜1来检验)，故当a ＞0时，f ′(x )存在唯一零点.6分(2)证明由(1)，可设f ′(x )在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0.故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0)9分由于2e2x 0－a x 0＝0，所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a . 故当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a .12分❶得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分.如第(1)问中，求导正确，分类讨论；第(2)问中利用单调性求f (x )的最小值和基本不等式的应用.❷得关键分：解题过程不可忽视关键点，有则给分，无则没分，如第(1)问中，求出f (x )的定义域，f ′(x )在(0，＋∞)上单调性的判断；第(2)问，f (x )在x ＝x 0处最值的判定.❸得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证.如第(1)问中，求导f ′(x )准确，否则全盘皆输，求解使f ′(b )＜0的b 满足的约束条件0＜b ＜a 4，且b＜14.如第(2)问中x 0满足条件的计算，若计算错误不得分，另外还应注意规范的文字、符号语言的表述.1.讨论零点个数的答题模板第一步：求函数的定义域；第二步：分类讨论函数的单调性、极值；第三步：根据零点存在性定理，结合函数图象确定各分类情况的零点个数.2.证明不等式的答题模板第一步：根据不等式合理构造函数；第二步：求函数的最值；第三步：根据最值证明不等式.。

高考数学一轮复习考点32 数列的综合问题必刷题理(含解析)-人教版高三全册数学试题

考点32 数列的综合问题1．（市房山区2019年高考第一次模拟测试理）《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．若蒲、莞长度相等，则所需时间为（）（结果精确到0.1．参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771．）A．天B．天C．天D．天【答案】C【解析】设蒲的长度组成等比数列{a n}，其a1=3，公比为，其前n项和为A n，则A n=.莞的长度组成等比数列{b n}，其b1=1，公比为2，其前n项和为B n．则B n，由题意可得：，整理得：2n+=7，解得2n=6，或2n=1（舍去）．∴n=≈2.6．∴估计2.6日蒲、莞长度相等.故选：C．2．（某某乌鲁木齐市2018届高三第三次诊断性测验）已知数列，满足，，，则数列的前10项的和为A．B．C．D．【答案】D【解析】由a n +1﹣a n 2，所以数列{a n }是等差数列，且公差是2，{b n }是等比数列，且公比是2．又因为＝1，所以a n ＝+（n ﹣1）d ＝2n ﹣1．所以b 2n ﹣1＝•22n ﹣2＝22n ﹣2．设，所以＝22n ﹣2，所以4，所以数列{∁n }是等比数列，且公比为4，首项为1．由等比数列的前n 项和的公式得：其前10项的和为（410﹣1）．故选：D ．3．（某某省“皖南八校”2018届高三第三次（4月)联考）删去正整数数列中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2018项是（） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由题意可得，这些数可以写为：，第个平方数与第个平方数之间有个正整数，而数列共有项，去掉个平方数后，还剩余个数，所以去掉平方数后第项应在后的第个数，即是原来数列的第项，即为，故选B.4．（华大新高考联盟2018届高三上学期11月教学质量测评理）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,，则42S S =（） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】由可得312a a =，所以22q =，又因为，所以选B.5．（某某省2017届高三高考冲刺预测卷六理）最近各大城市美食街火爆热开，某美食店特定在2017年元旦期间举行特大优惠活动，凡消费达到88元以上者，可获得一次抽奖机会.已知抽奖工具是一个圆面转盘，被分为6个扇形块，分别记为1，2，3，4，5，6，其面积成公比为3的等比数列（即扇形块2是扇形块1面积的3倍），指针箭头指在最小的1区域内时，就中“一等奖”，则一次抽奖抽中一等奖的概率是（） A ．140B ．1121C ．1364D ．11093【答案】C 【解析】由题意，可设1,2,3,4,5,6 扇形区域的面积分别为，则由几何概型得，消费88 元以上者抽中一等奖的概率，故选C.6．（某某省钟祥市2019届高三高考第一次模拟考试理）对于实数x ，[x]表示不超过x 的最大整数，已知正数列{a n }满足S n =12（a n n 1a +），n ∈N*，其中S n 为数列{a n }的前n 项的和，则[]=______．【答案】20 【解析】由题可知0n S >，当1n >时，化简可得，当所以数列2{}n S 是以首项和公差都是1的等差数列，即又1n >时，记一方面另一方面所以2021S << 即[]20S = 故答案为207．（市某某区2019届高三第一次（3月)综合练习一模）天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的某某石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_______．【答案】2433402 【解析】第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则依题意得：每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，所以，a n ＝9＋（n －1）×9＝9n ，所以，a 27＝9×27＝243，前27项和为：＝3402.8．（某某省某某师大附中2018届高三高考考前模拟考试）在数列{a n }中，若a 4＝1，a 12＝5，且任意连续三项的和都是15，则a 2018＝______．【答案】9【解析】分析：将a n +a n+1+a n+2=15中n 换为n+1，可得数列{a n }是周期为3的数列．求出a 2，a 1，即可得到a 2018 详解：由题意可得a n +a n+1+a n+2=15，将n 换为a n+1+a n+2+a n+3=15，可得a n+3=a n ，可得数列{a n 是周期为3的数列．故，由a n +a n+1+a n+2=15，n 取1可得，故，故答案为9.9．（某某省武昌2018届元月调研考试）对任一实数序列，定义新序列，它的第项为，假设序列的所有项都是，且，则__________．【答案】100. 【解析】设序列的首项为，则序列，则它的第n 项为，因此序列A 的第项，则是关于的二次多项式，其中的系数为，因为，所以必有，故。

北京市朝阳区2018-2019学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷(理工类)

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15.（本小题满分13分）
在中，已知，
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）求边上的中线的长.
16.（本小题满分13分）
某日A,B,C三个城市18个销售点的小麦价格如下表：
销售点序号
所属城市
小麦价格（元/吨）
销售点序号
所属城市
小麦价格（元/吨）
所以，且 .
所以四边形是平行四边形.
所以 .
又因为平面，平面，
所以平面 .…………………4分
（Ⅱ）因为侧面是正方形，所以 .
又因为平面平面，且平面平面，
所以平面 .所以 .
又因为，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示.
设，则，
.
（ⅰ）设平面的一个法向量为 .
由得即令，所以 .
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.设复数满足，则 =
A. B. C.2D.
3.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的 =
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，过三点的圆被轴
截得的弦长为
A. B. C. D.
5.将函数的图象向右平移个单位后，图象经过
点，则的最小值为
（Ⅰ）求点坐标和直线的方程；
（Ⅱ）求证： .
20.（本小题满分13分）
已知是由正整数组成的无穷数列，对任意，满足如下两个条件：
① 是的倍数；
② .
（Ⅰ）若，，写出满足条件的所有的值；
（Ⅱ）求证：当时，；
（Ⅲ）求所有可能取值中的最大值.

2018届北京市朝阳区高三二模理数试题Word版含解析

2018届北京市朝阳区高三二模理数试题（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．+对应的点位于1．已知i为虚数单位，则复数z=i(12i)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】试题分析：因为，所以对应的点的坐标是，故选B．考点：1．复数的运算；2．复数在复平面内所对应的点．2．执行如图所示的程序框图，则输出的S值是A．23 B．31 C．32 D．63【答案】B【解析】第一次循环: ; 第二次循环:第三次循环:第四次循环:第五次循环:第六次循环:结束循环,输出选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 3．“0,0x y >>”是“2y xx y+≥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】当时，由均值不等式成立。

但时，只需要,不能推出。

所以是充分而不必要条件。

选A.4．已知函数π()sin()(0)6f x x ＞=+ωω的最小正周期为4π，则A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的图象关于直线π3x =对称 C ．函数()f x 图象上的所有点向右平移π3个单位长度后，所得的图象关于原点对称D ．函数()f x 在区间(0,π)上单调递增【答案】C 【解析】,所以不是奇函数, 图象不关于原点对称;时不是最值, 图象不关于直线对称; 所有点向右平移个单位长度后得为奇函数, 图象关于原点对称;因为,所以函数在区间上有增有减,综上选C.5．现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为A ．12B ． 24C ．36D ． 48 【答案】D【解析】甲、乙分得的电影票连号有种情况,其余三人有分法,所以共有，选D.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为A. B. C. D.【答案】C【解析】三视图还原图形三棱锥，如下图：,所以最长边为，选C.7．已知函数log ,0,()3,40a x x f x x x >⎧⎪=⎨+-≤<⎪⎩(0a >且1)a ≠．若函数()f x 的图象上有且只有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是A ．(0,1)B ．(1,4)C ．(0,1)(1,)+∞UD ．(0,1)(1,4)U 【答案】D 【解析】由题意得与有且仅有一个交点，当时，有且仅有一个交点；当时，需满足，因此的取值范围是，选D.点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 8．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”．某中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识的竞赛．现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐．规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈；选手最后得分为各场得分之和．在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是A ．每场比赛第一名得分a 为4B ．甲可能有一场比赛获得第二名C ．乙有四场比赛获得第三名D ．丙可能有一场比赛获得第一名【答案】C【解析】若每场比赛第一名得分为4，则甲最后得分最高为，不合题意；三人总分为，每场总分数为分，所以，因此甲比赛名次为5个第一，一个第三；而乙比赛名次有1个第一，所以丙没有一场比赛获得第一名，因此选C.即乙比赛名次为1个第一，4个第三，1个第二. 第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．双曲线22136x y -=的渐近线方程是，离心率是．【答案】 (1). (2).【解析】渐近线方程是 ,离心率为10．若平面向量(cos ,sin )a =θθ，(1,1)-b =，且a b ⊥，则sin 2θ的值是．【答案】【解析】由题意得11．等比数列{a n }的前n 项和为n S ．已知142,2a a ==-，则{a n }的通项公式n a = ， 9S = ．【答案】 (1).(2). 2【解析】12．在极坐标系中，圆2cos ρθ=被直线1cos 2ρθ=所截得的弦长为．【答案】【解析】由题意得圆，直线，所以交点为，弦长为13．已知,x y 满足,4,2.y x x y x y k ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩若2z x y =+有最大值8，则实数k 的值为．【答案】【解析】由图知直线过A 点时取最大值8，由得，所以点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.14．已知两个集合,A B ，满足B A ⊆．若对任意的x A Î，存在,i j a a B Î()i j ≠，使得 12i j x a a λλ=+（12,{1,0,1}λλ?），则称B 为A 的一个基集．若 {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A =，则其基集B 元素个数的最小值是．【答案】4三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中, 角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且b c =，2sin B A ．（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）若2a =，求△ABC 的面积．【答案】（1）（2）16．（本小题满分13分）从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；（Ⅲ）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180 cm 以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用X表示身高在180 cm以上的男生人数，求随机变量X的分布列和数学期望EX．【答案】（1）（2）（3）【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间概率及所有小长方形面积之和为1得,解得．（2）根据平均数等于组中值与对应概率乘积的和得平均值,(3)先确定随机变量的取法:．再利用组合数求对应概率,列表可得分布列.最后根据数学期望公式求期望.试题解析：解：（Ⅰ）根据题意得：．解得．（Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为，则．所以估计该市中学全体男生的平均身高为．（Ⅲ）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在以上的概率约为．由已知得，随机变量的可能取值为．所以；；；．随机变量的分布列为因为~，所以．点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.17．（本小题满分14分）如图1，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，4,2AC BC ==，D E ,分别为边,AC AB 的中点，点,F G 分别为线段,CD BE 的中点．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使160A DC ∠=︒．点Q 为线段1A B 上的一点，如图2．（Ⅰ）求证：1A F BE ⊥；（Ⅱ）线段1A B 上是否存在点Q ，使得FQ 平面1A DE ？若存在，求出1AQ 的长，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当1134A Q AB =时，求直线GQ 与平面1A DE 所成角的大小．【答案】（1）见解析（2）在线段上存在中点，使平面．且（3）图1图2BA 1FCED QG ABCDEFG【解析】试题分析：（1）先根据等腰三角形性质得．再由折叠中不变的垂直关系得，根据线面垂直判定定理得平面，即得．最后再根据线面垂直判定定理得平面，即得．（2）利用空间向量研究线面平行关系，即通过平面法向量与直线方向向量垂直进行研究，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出平面法向量，利用向量数量积求直线方向向量与法向量夹角，最后根据平面法向量与直线方向向量数量积为零列式求解参数.（3）利用空间向量求线面角，仍是先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出平面法向量，利用向量数量积求直线方向向量与法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角之间互余关系列式求线面角大小.试题解析：解：（Ⅰ）因为，所以△为等边三角形．又因为点为线段的中点，所以．由题可知，所以平面．因为平面，所以．又，所以平面．所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，．设平面的一个法向量为，,，所以即令，所以，所以假设在线段上存在点，使平面．设，.又，所以．所以.则. 所以.解得，.则在线段上存在中点，使平面．且（Ⅲ）因为，又，所以．所以．又因为，所以．因为设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角为.18．（本小题满分13分）已知椭圆W：22221x ya b+=(0)a b>>的上下顶点分别为,A B，且点B(0,1)-．12,F F分别为椭圆W的左、右焦点，且12120F BF∠=．（Ⅰ）求椭圆W的标准方程；（Ⅱ）点M是椭圆上异于A，B的任意一点，过点M作MN y⊥轴于N，E为线段MN 的中点．直线AE与直线1y=-交于点C，G为线段BC的中点，O为坐标原点．求OEG∠的大小．【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）由顶点坐标得再在中利用椭圆几何条件得．（2）利用向量数量积研究的大小．先设，则得．求出直线与直线交点，得．再根据向量数量积得，根据代入化简得，即得．试题解析：解：(Ⅰ)依题意，得．又，在中，，所以．所以椭圆的标准方程为．(Ⅱ)设，，则，．因为点在椭圆上，所以．即．又，所以直线的方程为．令，得．又，为线段的中点，所以．所以，．因为，所以．．19．（本小题满分14分）已知函数2()e xf x x x =+-，2(),g x x ax b =++,a b ÎR ．（Ⅰ）当1a =时，求函数()()()F x f x g x =-的单调区间；（Ⅱ）若曲线()y f x =在点(0,1)处的切线l 与曲线()y g x =切于点(1,)c ，求,,a b c 的值；（Ⅲ）若()()f x g x ≥恒成立，求a b +的最大值．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先明确函数定义域，再求函数导数，根据导函数符号确定单调区间，（2）由导数几何意义得切线斜率为，则得，.即得（3）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题：先利用导数研究函数最值：当时，在上单调递增. 仅当时满足条件，此时；当时，先减后增，，再变量分离转化为，最后利用导数研究函数最值，可得的最大值．试题解析：解：（Ⅰ），则. 令得，所以在上单调递增. 令得，所以在上单调递减.（Ⅱ）因为，所以，所以的方程为.依题意，，.于是与抛物线切于点，由得.所以（Ⅲ）设,则恒成立.易得（1）当时，因为，所以此时在上单调递增.①若，则当时满足条件，此时；②若，取且此时，所以不恒成立．不满足条件；（2）当时，令，得由，得；由，得所以在上单调递减，在上单调递增.要使得“恒成立”，必须有“当时，”成立.所以.则令则令，得由，得；由，得所以在上单调递增，在上单调递减,所以，当时，从而，当时，的最大值为.综上，的最大值为.20．（本小题满分13分）各项均为非负整数的数列}{n a 同时满足下列条件： ①m a =1 ()N m ∈*；②1n a n ≤- (2)n ≥；③n 是12n a a a +++的因数（1n ≥）．（Ⅰ）当5=m 时，写出数列}{n a 的前五项；（Ⅱ）若数列}{n a 的前三项互不相等，且3≥n 时，n a 为常数，求m 的值；（Ⅲ）求证：对任意正整数m ，存在正整数M ，使得n M ≥时，n a 为常数．。

十年高考真题汇编(北京卷,含解析)之不等式

十年高考真题（2011-2020）（北京卷）专题08不等式本专题考查的知识点为：不等式，历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：不等式的性质，基本不等式，不等式的实际应用等，预测明年本考点题目会比较稳定，会有所变化，备考方向以不等式的性质及其实际应用为重点较佳.1．【2019年北京理科05】若x ，y 满足|x |≤1﹣y ，且y ≥﹣1，则3x +y 的最大值为（） A ．﹣7 B ．1C ．5D ．72．【2019年北京理科08】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2+y 2＝1+|x |y 就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过√2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是（）A ．①B ．②C ．①②D ．①②③3．【2017年北京理科04】若x ，y 满足{x ≤3x +y ≥2y ≤x ，则x +2y 的最大值为（）A ．1B ．3C ．5D ．94．【2016年北京理科02】若x ，y 满足{2x −y ≤0x +y ≤3x ≥0，则2x +y 的最大值为（）A ．0B ．3C ．4D ．55．【2016年北京理科05】已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则（）A ．1x−1y＞0 B ．sin x ﹣sin y ＞0C ．（12）x ﹣（12）y ＜0 D ．lnx +lny ＞06．【2015年北京理科02】若x ，y 满足{x −y ≤0x +y ≤1x ≥0，则z ＝x +2y 的最大值为（）A ．0B ．1C ．32D ．27．【2014年北京理科06】若x ，y 满足{x +y −2≥0kx −y +2≥0y ≥0，且z ＝y ﹣x 的最小值为﹣4，则k 的值为（） A ．2B ．﹣2C ．12D ．−128．【2013年北京理科08】设关于x ，y 的不等式组{2x −y +1＞0，x +m ＜0，y −m ＞0表示的平面区域内存在点P （x 0，y 0），满足x 0﹣2y 0＝2，求得m 的取值范围是（） A ．(−∞，43) B ．(−∞，13)C ．(−∞，−23)D ．(−∞，−53)9．【2019年北京理科14】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为． 10．【2018年北京理科12】若x ，y 满足x +1≤y ≤2x ，则2y ﹣x 的最小值是．11．【2017年北京理科13】能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a +b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为．1．若a ，b 是任意实数，且a >b ，则（） A ．a 2>b 2B ．ba<1C ．a −b >1D ．(12)a <(12)b2．【2020届北京市丰台区高三一模】“x>1”是“1x<1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件3．【2020届北京市顺义区高三第一次模拟】若b>a>1，则下列不等式一定正确的是（）A．ab>2B．a+b<2C．1a <1bD．ba+ab>24．【北京市丰台区2018年高三年级一模】已知a<b<0，则下列不等式中恒成立的是A．1a >1bB．√−a<√−b C．2a>2b D．a3>b35．【2020届北京怀柔区高三下学期适应性练习】已知a<b<0，则下列不等式成立的是（）A．a2<b2B．a2<ab C．1a <1bD．ba<16．【2020届陕西省汉中市高三下学期第二次模拟】若a<b<0，则下列不等式不能成立的是（）A．1a >1bB．1a−b>1aC．|a|>|b|D．a2>b27．【北京市首都师范大学附属中学2019届高三一模】在各项均为正数的等比数列{a n}中，a6=3，则a4+ a8=（）A．有最小值6B．有最大值6C．有最大值9D．有最小值38．【2020届北京市第四中学高三第二学期统练】已知a>0，b>0，a+b=1，若α=a+1a ，β=b+1b，则α+β的最小值是（）A．3B．4C．5D．69．【北京市一五九中学2019-2020学年高一第一学期期中】设x∈R，则“x>12”是“2x2+x−1>0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．【2020届山西省高三（4月）适应性考试】已知a>0，b>0，m∈R，则“a≤b”的一个必要不充分条件是（）A．a m≤b m B．am2≤bm2C．am2≤bm2D．a+m2≤b+m211．【北京市海淀区2019届高三第二学期期中练习（一模）】已知x>y，则下列各式中一定成立（）A．1x <1yB．x+1y>2C．(12)x>(12)y D．2x+2−y>212．【2020届北京市西城区第十五中学高三模拟（一）】已知a、b∈R，且a>b，则（）A．1a <1bB．sina>sinb C．(13)a<(13)b D．a2>b213．【北京市陈经纶中学2019-2020学年高一上学期期中】设a,b∈R且ab≠0，则ab>1是a>1b的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要14．【2020届北京理工大附中高三上学期9月开学】“x>0，y>0”是“yx +xy≥2”的（）．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件15．【北京市朝阳区2019届高三第一次综合练习】已知a,b,c∈R,给出下列条件：①a2>b2；②1a <1b；③ac2>bc2，则使得a>b成立的充分而不必要条件是（）A．①B．②C．③D．①②③16．【2020届北京市人民大学附属中学高考模拟（4月份）】设a，b，c为非零实数，且a>c，b>c，则（）A．a+b>c B．ab>c2C．a+b2>c D．1a+1b>2c17．【北京工业大学附属中学2018-2019学年度第一学期摸底】已知a>0,b>0,a+b=2,则y=1a +4b的最小值是( )A．72B．4C．92D．518．【2020届北京市东城区高三一模】已知x<−1，那么在下列不等式中，不成立的是()A．x2−1>0B．x+1x<−2C．sinx−x>0D．cosx+x>0 19．如果正数a，b，c，d满足a+b=cd=4，那么（）A．ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一B．ab≥c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一C．ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一D．ab≥c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一20．【北京师范大学附中2018届高三下学期第二次模拟】已知a>0，b>0，并且1a ，12，1b成等差数列，则a+9b的最小值为()A．16B．9C．5D．421．【2020届北京市第四中学高三第二学期统练】已知x>0，y>0，且2x +1y=1，若x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是______.22．【北京五中2020届高三（4月份）高考数学模拟】若三角形三边成等比数列，则公比q的范围是____ _.23．【北京市西城区2017-2018学年高二下学期期末】已知x>1，则f(x)=x+1x−1的最小值是_________ _．24．已知x,y∈R+，且满足x3+y4=1，则xy的最大值为____________________.25．若对任意x>−1，不等式x+1x2+2x+2≤a恒成立，则a的取值范围是______.26．若实数x，y满足xy=1，则x2+4y2的最小值为______．27．【2020届北京市丰台区高三一模】若x>1，则函数f(x)=x+1x−1的最小值为______，此时x=______.28．【浙江省绍兴一中2018届高三下学期5月高考模拟】已知x,y>0，且x+y+1x +12y=194，则3x−716y的最小值是________.29．已知首项与公比相等的等比数列{a n}中，若m，n∈N∗，满足a m a n2=a42，则2m +1n的最小值为__________．30．已知a , b∈R，且a−3b+6=0，则2a+18b的最小值为_____________.1．【2019年北京理科05】若x ，y 满足|x |≤1﹣y ，且y ≥﹣1，则3x +y 的最大值为（） A ．﹣7 B ．1C ．5D ．7【答案】解：由{|x|≤1−y y ≥−1作出可行域如图，联立{y =−1x +y −1=0，解得A （2，﹣1），令z ＝3x +y ，化为y ＝﹣3x +z ，由图可知，当直线y ＝﹣3x +z 过点A 时，z 有最大值为3×2﹣1＝5．故选：C ．2．【2019年北京理科08】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2+y 2＝1+|x |y 就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过√2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是（）A ．①B ．②C ．①②D ．①②③【答案】解：将x 换成﹣x 方程不变，所以图形关于y 轴对称，当x ＝0时，代入得y 2＝1，∴y ＝±1，即曲线经过（0，1），（0，﹣1）；当x ＞0时，方程变为y 2﹣xy +x 2﹣1＝0，所以△＝x 2﹣4（x 2﹣1）≥0，解得x ∈（0，2√33]，所以x 只能取整数1，当x ＝1时，y 2﹣y ＝0，解得y ＝0或y ＝1，即曲线经过（1，0），（1，1），根据对称性可得曲线还经过（﹣1，0），（﹣1，1），故曲线一共经过6个整点，故①正确．当x ＞0时，由x 2+y 2＝1+xy得x 2+y 2﹣1＝xy ≤x 2+y 22，（当x ＝y 时取等），∴x 2+y 2≤2，∴√x 2+y 2≤√2，即曲线C 上y 轴右边的点到原点的距离不超过√2，根据对称性可得：曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过√2；故②正确．在x 轴上图形面积大于矩形面积＝1×2＝2，x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积=12×2×1=1，因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于2+1＝3，故③错误．故选：C ．3．【2017年北京理科04】若x ，y 满足{x ≤3x +y ≥2y ≤x ，则x +2y 的最大值为（）A ．1B ．3C ．5D ．9【答案】解：x ，y 满足{x ≤3x +y ≥2y ≤x的可行域如图：由可行域可知目标函数z ＝x +2y 经过可行域的A 时，取得最大值，由{x =3x =y ，可得A （3，3），目标函数的最大值为：3+2×3＝9．故选：D ．4．【2016年北京理科02】若x ，y 满足{2x −y ≤0x +y ≤3x ≥0，则2x +y 的最大值为（）A ．0B ．3C ．4D ．5【答案】解：作出不等式组{2x −y ≤0x +y ≤3x ≥0对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z ＝2x +y 得y ＝﹣2x +z ，平移直线y ＝﹣2x +z ，由图象可知当直线y ＝﹣2x +z 经过点A 时，直线y ＝﹣2x +z 的截距最大，此时z 最大．由{2x −y =0x +y =3，解得{x =1y =2，即A （1，2），代入目标函数z ＝2x +y 得z ＝1×2+2＝4．即目标函数z ＝2x +y 的最大值为4．故选：C ．5．【2016年北京理科05】已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则（） A ．1x−1y ＞0 B ．sin x ﹣sin y ＞0C ．（12）x ﹣（12）y ＜0 D ．lnx +lny ＞0【答案】解：∵x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则1x＜1y，sin x 与sin y 的大小关系不确定，(12)x ＜(12)y ，即(12)x −(12)y＜0，lnx +lny 与0的大小关系不确定．故选：C ．6．【2015年北京理科02】若x ，y 满足{x −y ≤0x +y ≤1x ≥0，则z ＝x +2y 的最大值为（）A ．0B ．1C ．32D ．2【答案】解：作出不等式组{x −y ≤0x +y ≤1x ≥0表示的平面区域，当l 经过点B 时，目标函数z 达到最大值 ∴z 最大值＝0+2×1＝2．故选：D ．7．【2014年北京理科06】若x ，y 满足{x +y −2≥0kx −y +2≥0y ≥0，且z ＝y ﹣x 的最小值为﹣4，则k 的值为（）A ．2B ．﹣2C ．12D ．−12【答案】解：对不等式组中的kx ﹣y +2≥0讨论，可知直线kx ﹣y +2＝0与x 轴的交点在x +y ﹣2＝0与x 轴的交点的右边，故由约束条件{x +y −2≥0kx −y +2≥0y ≥0作出可行域如图，当y ＝0，由kx ﹣y +2＝0，得x =−2k ， ∴B （−2k ，0）．由z ＝y ﹣x 得y ＝x +z ．由图可知，当直线y ＝x +z 过B （−2k ，0）时直线在y 轴上的截距最小，即z 最小．此时z min =0+2k=−4，解得：k =−12．故选：D ．8．【2013年北京理科08】设关于x ，y 的不等式组{2x −y +1＞0，x +m ＜0，y −m ＞0表示的平面区域内存在点P （x 0，y 0），满足x 0﹣2y 0＝2，求得m 的取值范围是（） A ．(−∞，43) B ．(−∞，13)C ．(−∞，−23)D ．(−∞，−53)【答案】解：先根据约束条件{2x −y +1＞0，x +m ＜0，y −m ＞0画出可行域，要使可行域存在，必有m ＜﹣2m +1，要求可行域包含直线y =12x ﹣1上的点，只要边界点（﹣m ，1﹣2m ）在直线y =12x ﹣1的上方，且（﹣m ，m ）在直线y =12x ﹣1的下方，故得不等式组{m ＜−2m +11−2m ＞−12m −1m ＜−12m −1，解之得：m ＜−23．故选：C ．9．【2019年北京理科14】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为．【答案】解：①当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60+80＝140（元），即有顾客需要支付140﹣10＝130（元）； ②在促销活动中，设订单总金额为m 元，可得（m ﹣x ）×80%≥m ×70%，即有x ≤m8，由题意可得m ≥120，可得x ≤1208=15，则x 的最大值为15元．故答案为：130，1510．【2018年北京理科12】若x ，y 满足x +1≤y ≤2x ，则2y ﹣x 的最小值是．【答案】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z ＝2y ﹣x ，则y =12x +12z ，平移y =12x +12z ，由图象知当直线y =12x +12z 经过点A 时，直线的截距最小，此时z 最小，由{x +1=y y =2x 得{x =1y =2，即A （1，2），此时z ＝2×2﹣1＝3，故答案为：311．【2017年北京理科13】能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a +b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为．【答案】解：设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a +b ＞c ”是假命题，则若a ＞b ＞c ，则a +b ≤c ”是真命题，可设a ，b ，c 的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一），故答案为：﹣1，﹣2，﹣31．若a ，b 是任意实数，且a >b ，则（） A ．a 2>b 2 B ．ba<1C ．a −b >1D ．(12)a <(12)b【答案】D 【解析】A.取a =1，b =−2，则a 2<b 2，所以该选项错误；B.取a =−1，b =−2，则ba >1，所以该选项错误；C.取a =2，b =32，则a −b <1，所以该选项错误；D.由于指数函数y =(12)x 为R 上的减函数，∵a >b ，∴(12)a <(12)b ，所以该选项正确.故选：D.2．【2020届北京市丰台区高三一模】“x>1”是“1x<1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】解：因为1x <1等价于x−1x>0等价于x>1或x<0，又“x>1”是“x>1或x<0”的充分而不必要条件，即“x>1”是“1x<1”的充分而不必要条件，故选：A.3．【2020届北京市顺义区高三第一次模拟】若b>a>1，则下列不等式一定正确的是（）A．ab>2B．a+b<2C．1a <1bD．ba+ab>2【答案】D【解析】因为：b>a>1对于A：当a=32,b=43,所以ab=32×43=2,故A错误；对于B：因为b>a>1,所以a+b>2,故B错误；对于C：因为b>a>1,所以0<1b <1a<1,故C错误；对于D：因为b>a>1,所以ba +ab≥2√ba⋅ab=2,又因为b>a>1,则ba ≠ab,故不取等,即ba+ab>2,故D正确；故选：D4．【北京市丰台区2018年高三年级一模】已知a<b<0，则下列不等式中恒成立的是A．1a >1bB．√−a<√−b C．2a>2b D．a3>b3【答案】A 【解析】构造函数y=1x 在(−∞,0)上是减函数，已知a<b<0,则1a>1b，故A正确;√−a>√−b,故B不正确；C构造函数y=2a是增函数，故2a<2b，故选项不正确；D.a3>b3，构造函数y=x3是增函数，故a3<b3，所以选项不正确.故答案为A.5．【2020届北京怀柔区高三下学期适应性练习】已知a<b<0，则下列不等式成立的是（）A．a2<b2B．a2<ab C．1a <1bD．ba<1【答案】D【解析】a2−b2=（a+b)(a−b)>0,∴a2>b2,所以A选项是错误的. a2−ab=a(a−b)>0,∴a2>ab.所以B选项是错误的.1 a −1b=b−aab>0,∴1a>1b.所以C选项是错误的.b a −1=b−aa<0,∴ba<1.所以D选项是正确的.故选：D.6．【2020届陕西省汉中市高三下学期第二次模拟】若a<b<0，则下列不等式不能成立的是（）A．1a >1bB．1a−b>1aC．|a|>|b|D．a2>b2【答案】B 【解析】选项A：由于a<b<0，即ab>0，b−a>0，所以1a −1b=b−aab>0，所以1a>1b，所以成立；选项B：由于a<b<0，即a−b<0，所以1a−b −1a=ba(a−b)<0，所以1a−b<1a，所以不成立；选项C：由于a<b<0，所以−a>−b>0，所以|a|>|b|，所以成立；选项D：由于a<b<0，所以−a>−b>0，所以|a|>|b|，所以a2>b2，所以成立.故选：B.7．【北京市首都师范大学附属中学2019届高三一模】在各项均为正数的等比数列{a n}中，a6=3，则a4+ a8=（）A．有最小值6B．有最大值6C．有最大值9D．有最小值3【答案】A【解析】设等比数列{a n}的公比为q(q>0)∵a6=3∴a4=a6q2=3q2，a8=a6q2=3q2∴a4+a8=3q2+3q2≥2√3q2⋅3q2=6当且仅当3q2=3q2即q=1时上式等号成立本题正确选项：A8．【2020届北京市第四中学高三第二学期统练】已知a>0，b>0，a+b=1，若α=a+1a ，β=b+1b，则α+β的最小值是（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】∵a>0，b>0，a+b=1，∴α+β=a+1a+b+1b=1+1ab≥1+1(a+b2)2=5，当且仅当a=b=12时取“＝”号．答案：C9．【北京市一五九中学2019-2020学年高一第一学期期中】设x∈R，则“x>12”是“2x2+x−1>0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意得，不等式2x2+x−1>0，解得x<−1或x>12，所以“x>12”是“2x2+x−1>0”的充分而不必要条件，故选A．10．【2020届山西省高三（4月）适应性考试】已知a>0，b>0，m∈R，则“a≤b”的一个必要不充分条件是（）A．a m≤b m B．am2≤bm2C．am2≤bm2D．a+m2≤b+m2【答案】C【解析】由题知a >0,b >0,a ≤b ⇔a m ≤b m ,故A 是“a ≤b ”的既不充分也不必要条件; 因为m 2≥0,所以1m 2>0(m ≠0),所以a ≤b ⇔am 2≤b m 2,故B 是“a ≤b ”的充要条件; 因为m 2≥0,所以a ≤b ⇒am 2≤bm 2, 若m 2=0,则am 2≤bm 2⇒a ≤b , 故C 是“a ≤b ”的必要不充分条件;a ≤b ⇔a +m 2≤b +m 2,故D 是“a ≤b ”的充要条件. 故选:C.11．【北京市海淀区2019届高三第二学期期中练习（一模）】已知x >y ，则下列各式中一定成立（） A ．1x <1y B ．x +1y >2C ．(12)x >(12)yD ．2x +2−y >2【答案】D 【解析】x ，y 的符号不确定，当x ＝2，y ＝－1时，x >y ，对于A ，1x <1y 不成立，所以错误；对于B 、x +1y =2−1=1>2也错；对于C ，y =(12)x 是减函数，所以，(12)x >(12)y 也错；对于D ，因为x −y >0，所以，2x +2−y ≥2√2x ·2−y =2√2x−y >2√20=2，正确，故选D12．【2020届北京市西城区第十五中学高三模拟（一）】已知a 、b ∈R ，且a >b ，则（） A ．1a<1bB ．sina >sinbC ．(13)a <(13)bD ．a 2>b 2【答案】C 【解析】对于A 选项，取a =1，b =−1，则a >b 成立，但1a >1b ，A 选项错误；对于B 选项，取a =π，b =0，则a >b 成立，但sinπ=sin0，即sina =sinb ，B 选项错误；对于C 选项，由于指数函数y =(13)x 在R 上单调递减，若a >b ，则(13)a <(13)b ，C 选项正确；对于D选项，取a=1，b=−2，则a>b，但a2<b2，D选项错误.故选：C.13．【北京市陈经纶中学2019-2020学年高一上学期期中】设a,b∈R且ab≠0，则ab>1是a>1b的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要【答案】D【解析】若“ab＞1”当a＝﹣2，b＝﹣1时，不能得到“a＞1b”，若“a＞1b”，例如当a＝1，b＝﹣1时，不能得到“ab＞1“，故“ab＞1”是“a＞1b”的既不充分也不必要条件，故选：D．14．【2020届北京理工大附中高三上学期9月开学】“x>0，y>0”是“yx +xy≥2”的（）．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】当x>0,y>0时，由均值不等式yx +xy≥2成立．但yx+xy≥2时，只需要xy>0,不能推出x>0,y>0．所以是充分而不必要条件．选A.15．【北京市朝阳区2019届高三第一次综合练习】已知a,b,c∈R,给出下列条件：①a2>b2；②1a <1b；③ac2>bc2，则使得a>b成立的充分而不必要条件是（）A．①B．②C．③D．①②③【答案】C【解析】由①a2>b2，得：|a|>|b|，不一定有a>b成立，不符；对于②，当a=−1,b=1时，有1a <1b，但a>b不成立，所以不符；对于③，由ac2>bc2，知c≠0，所以，有a>b成立，当a>b成立时，不一定有ac2>bc2，因为c可以为0，符合题意；本题选择C选项.16．【2020届北京市人民大学附属中学高考模拟（4月份）】设a，b，c为非零实数，且a>c，b>c，则（）A．a+b>c B．ab>c2C．a+b2>c D．1a+1b>2c【答案】C【解析】a>c,b>c，故a+b>2c，a+b2>c，故C正确；取a=−1,b=−1,c=−2，计算知ABD错误；故选：C.17．【北京工业大学附属中学2018-2019学年度第一学期摸底】已知a>0,b>0,a+b=2,则y=1a +4b的最小值是( )A．72B．4C．92D．5【答案】C 【解析】由题意可得：y=1a+4b=12×(a+b)(1a+4b)=12×(5+ba+4ab)≥12×(5+2√ba×4ab)=92，当且仅当a=23,b=43时等号成立.即y=1a +4b的最小值是92.故选：C.18．【2020届北京市东城区高三一模】已知x<−1，那么在下列不等式中，不成立的是()A．x2−1>0B．x+1x<−2C．sinx−x>0D．cosx+x>0【答案】D【解析】∵x<−1，则x2−1=(x−1)(x+1)>0，x+1x +2=x2+2x+1x=(x+1)2x<0，又∵sinx、cosx∈[−1,1]，∴sinx−x>0，cosx+x<0.可得：ABC成立，D不成立.故选：D.19．如果正数a，b，c，d满足a+b=cd=4，那么（）A．ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一B．ab≥c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一C．ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一D．ab≥c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一【答案】A【解析】正数a，b，c，d满足a+b=cd=4，∴4=a+b≥2√ab，即ab≤4，当且仅当a=b=2时，“=”成立；又4= cd≤(c+d2)2，∴c+d≥4，当且仅当c=d=2时，“=”成立；综上得ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值都为2，选A．20．【北京师范大学附中2018届高三下学期第二次模拟】已知a>0，b>0，并且1a ，12，1b成等差数列，则a+9b的最小值为()A．16B．9C．5D．4【答案】A【解析】根据题意，a＞0，b＞0，且1a ，12，1b成等差数列，则1a +1b=2×12=1；则a+9b＝（a+9b）（1a +1b）＝10+9ba+ab≥10+2√9ba×ab=16；当且仅当9ba =ab，即a=4,b=43时取到等号，∴a+9b的最小值为16；故选A．21．【2020届北京市第四中学高三第二学期统练】已知x>0，y>0，且2x +1y=1，若x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是______.【答案】(−4,2)【解析】因为x +2y =(x +2y)(2x +1y )=4+4y x+xy≥4+2×2=8，要使x +2y >m 2+2m 恒成立，所以m 2+2m <8，解得−4<m <2. 故答案为：(−4,2)．22．【北京五中2020届高三（4月份）高考数学模拟】若三角形三边成等比数列，则公比q 的范围是_____.【答案】(√5−12,1+√52)；【解析】设三边：a 、qa 、q 2a 、q >0则由三边关系：两短边和大于第三边a +b >c ，即（1）当q ⩾1时a +qa >q 2a ，等价于解二次不等式：q 2−q −1<0，由于方程q 2−q −1=0两根为：1−√52，1+√52，故得解：1−√52<q <1+√52且q ⩾1，即1⩽q <1+√52（2）当q <1时，a 为最大边，qa +q 2a >a 即得q 2+q −1>0，解之得q >√5−12或q <−1+√52且q >0即q >√5−12综合（1）（2），得：q ∈(√5−12,1+√52)故答案为：(√5−12,1+√52)23．【北京市西城区2017-2018学年高二下学期期末】已知x >1，则f(x)=x +1x−1的最小值是__________．【答案】3 【解析】 ∵x >1∴x −1>0由基本不等式可得，f(x)=x +1x−1=x −1+1x−1+1≥2√(x −1)�1x−1+1=3，当且仅当x −1=1x−1即x −1=1时，x =2时取等号“=” 答案为3.24．已知x,y ∈R +，且满足x3+y4=1，则xy 的最大值为____________________. 【答案】3 【解析】本题考查了基本不等式求最值，考查了同学们的转化能力．因为1=x 3+y 4≥2√x 3.y 4=2√xy 12=√xy3，所以xy ≤3，当且仅当x 3=y 4，即x =32,y =2时取等号，所以xy 的最大值为3． 25．若对任意x >−1，不等式x+1x 2+2x+2≤a 恒成立，则a 的取值范围是______. 【答案】[12,+∞) 【解析】因为x >−1，则x +1>0依题意得：设y =x+1x 2+2x+2=x+1(x+1)2+1=1(x+1)+1(x+1)所以y =(x +1)+1(x+1)≥2√(x +1)⋅1(x+1)=2 得y =1(x+1)+1x+1≤12，即y ⩽12当且仅当x +1=1x+1时，即x =0时，取得最大值为12，又因为x+1x 2+2x+2≤a 恒成立，即y max ≤a ，得a ≥12，故答案为：[12,+∞).26．若实数x ，y 满足xy =1，则x 2+4y 2的最小值为______．【答案】4 【解析】若实数x,y 满足xy =1,则x 2+4y 2≥2⋅x ⋅2y =4xy =4, 当且仅当x =2y =±√2时,上式取得最小值4 故答案为：427．【2020届北京市丰台区高三一模】若x >1，则函数f(x)=x +1x−1的最小值为______，此时x =______. 【答案】32 【解析】f(x)=x −1+1x −1+1⩾2√(x −1)⋅1x −1+1=3 当且仅当x −1=1x−1，即x =2时，取等号即函数f(x)=x +1x−1的最小值为3，此时x =2 故答案为：3；228．【浙江省绍兴一中2018届高三下学期5月高考模拟】已知x,y >0，且x +y +1x +12y =194，则3x −716y的最小值是________. 【答案】−14 【解析】因为x +y +1x +12y =194，所以3x −716y =3x −716y +x +y +1x +12y −194=x +4x +y +116y −194≥92−194=−14，当且仅当x =4x ,y =116y ，即x =2,y =14时，取等号.故答案为：−1429．已知首项与公比相等的等比数列{a n }中，若m ，n ∈N ∗，满足a m a n 2=a 42，则2m +1n 的最小值为__________．【答案】1 【解析】设等比数列{a n }公比为q ，则首项a 1=q由a m a n 2=a 42得：a 1q m−1⋅(a 1q n−1)2=(a 1q 3)2 则：q m+2n =q 8∴m +2n =8∴2m +1n =18⋅(2m +1n )(m +2n)=18⋅(2+4n m +m n +2)=18⋅(4+4n m +mn) ∵m,n ∈N ∗∴4n m >0,mn>0 则4n m+m n≥2√4n m ⋅m n=4（当且仅当4n m =mn ，即2n =m 时取等号）∴(2m +1n )min =18×(4+4)=1 本题正确结果：130．已知a , b ∈R ，且a −3b +6=0，则2a +18b 的最小值为_____________.【答案】14 【解析】由a −3b +6=0可知a −3b =−6，且：2a +18b =2a +2−3b ，因为对于任意x ，2x >0恒成立，结合均值不等式的结论可得：2a +2−3b ≥2×√2a ×2−3b =2×√2−6=14.当且仅当{2a =2−3b a −3b =−6，即{a =−3b =1时等号成立.综上可得2a +18b 的最小值为14.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

理科数学 2018年高三北京市朝阳区2018届高三(一模)数学(理)试题
解析
单选题
略略略略略略略略
填空题
略略略略略略略略略略略略
单选题（本大题共8小题，每小题____分，共____分。

）
1．已知全集为实数集，集合，，则
A.
B.
C.
D.
2．复数满足，则在复平面内复数所对应的点位于
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3．直线的参数方程为（为参数），则的倾斜角大小为
A.
B.
C.
D.
4．已知为非零向量，则“”是“与夹角为锐角”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
5．某单位安排甲、乙、丙、丁4名工作人员从周一到周五值班，每天有且只有1人值班，每人至少安排一天且甲连续两天值班，则不同的安排方法种数为
A.
B.
C.
D.
6．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体
积等于
A.
B.
C.
D.
7．庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”．庙会大多在春节、元宵节等节日举行．庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）．今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：
甲说：“我或乙能中奖”；
乙说：“丁能中奖”；
丙说：“我或乙能中奖”；
丁说：“甲不能中奖”．
游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
8．在平面直角坐标系xOy中，已知点,，动点满足,其中，则所有点构成的图形面积为
A.
B.
C.
D.
填空题（本大题共12小题，每小题____分，共____分。

）
9．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为________．
10．若三个点中恰有两个点在双曲线上，则双曲线的渐近线方程为_____________．
11．函数（）的部分图象如图所示，则____；函数在区间上的零点为____．
12．已知点，若点是圆上的动点，则
面积的最小值为____．
13．等比数列满足如下条件：①；②数列的前项和．
试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式____．
14．已知，函数当时，函数的最大值是____；若函数的图象上有且只有两对点关于轴对称，则的取值范围是____．
15． (本小题满分13分)
在中，已知，．
（Ⅰ）若，求的面积；
（Ⅱ）若为锐角，求的值．
16．(本小题满分14分)
如图1，在矩形中，，，为的中点，为中点．将沿折起到，使得平面平面（如图2）．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
17．(本小题满分13分)
某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．
某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：
（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？
（Ⅱ）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的．从选考方案确定的8位男生中随机选出1人，从选考方案确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率；
（Ⅲ）从选考方案确定的8名男生中随机选出2名，
设随机变量
求的分布列及数学期望．
18． (本小题满分13分)
已知函数．
（Ⅰ）当时，（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若，求证：．
19． (本小题满分14分)
已知椭圆的离心率为，且过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于两点，直线过坐标原点且与直线
的斜率互为相反数．若直线与椭圆交于两点且均不与点重合，设直线与
轴所成的锐角为，直线与轴所成的锐角为，判断与大小关系并加以证明．20． (本小题满分13分)
已知集合是集合的一个含有8
个元素的子集．
（Ⅰ）当时，
设，
（i）写出方程的解；
（ii）若方程至少有三组不同的解，写出的所有可能取值；
（Ⅱ）证明：对任意一个，存在正整数，使得方程至少有三
组不同的解．
答案
单选题
1. C
2. A
3. C
4. B
5. B
6. D
7. A
8. C
填空题
9.
4
10.
11.
12.
2
13.
14.
15.
（Ⅰ）由，得，
因为，所以.
因为，所以．
故的面积．………………….7分（Ⅱ）因为，且为锐角，所以.
所以．………….13分16.
（Ⅰ）由已知，
因为为中点，所以．
因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面．
又因为平面，所以
．………….5分
（Ⅱ）设为线段上靠近点的四等分点，为中点．
由已知易得．
由（Ⅰ）可知，平面，
所以，.
以为原点，所在直线分别为轴
建立空间直角坐标系（如图）．
因为，，
所以．
设平面的一个法向量为，
因为，
所以即
取，得．
而.
所以直线与平面所成角的正弦值……….10分（Ⅲ）在线段上存在点，使得平面.
设，且，则，．
因为，所以，
所以，
所以，．
若平面，则.即.
由（Ⅱ）可知，平面的一个法向量，
即，解得，
所以当时，平面
．……….14分17.
（Ⅰ）由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有4人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有6人，
该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有人．……….3分
（Ⅱ）由数据可知，选考方案确定的8位男生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为；
选考方案确定的10位女生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为．
所以该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率为．…….8分
（Ⅲ）由数据可知，选考方案确定的男生中有4人选择物理、化学和生物；有2人选择物理、化学和历史；有1人选择物理、化学和地理；有1人选择物理、化学和政治．
由已知得的取值为．
，
，
或.
所以的分布列为
1
2
所以
．
…….13分
18.
当时，.
.
（ⅰ）可得，又，所以在点（）处的切线方程为. ….3分
（ⅱ）在区间（）上，且，则.
在区间（）上，且，则.
所以的单调递增区间为（），单调递减区间为（）. ….8分
（Ⅱ）由，，等价于，等价于. 设，只须证成立.
因为，，
由，得有异号两根.
令其正根为，则.
在上，在上.
则的最小值为
.
又，，
所以.
则.
因此，即.所以
所以
.
….….13分
19.
Ⅰ）由题意得解得，，．
故椭圆的方程为．….….5分
（Ⅱ）．
证明如下：
由题意可设直线的方程为，直线的方程为，设点，，，．
要证，即证直线与直线的斜率之和为零，即．
因为
．
由得，
所以，．
由得，所以．
所以．
．
所以
．
….….14分
20.
（Ⅰ）（ⅰ）方程的解有：．……2分（ii）以下规定两数的差均为正，则：
列出集合的从小到大8个数中相邻两数的差：1，3，2，4，2，3，1；
中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）：4，5，6，6，5，4；
中间相隔二数的两数差：6，9，8，9，6；
中间相隔三数的两数差：10，11，11，10；
中间相隔四数的两数差：12，14，12；
中间相隔五数的两数差：15，15；
中间相隔六数的两数差：16
这28个差数中，只有4出现3次、6出现4次，其余都不超过2次，
所以的可能取值有4，6．…………………………………………………………6分
（Ⅱ）证明：不妨设，记，
，共13个差数．假设不存在满足条件的，则这13个数中至多两个1、两个2、两个3、两个4、两个5、两个6，从而
. …………①
又
，这与①矛盾！
所以结论成立．……………………………………………………………………13分
解析
单选题
略略略略略略略略
填空题
略略略略略略略略略略略略。

2018年高三北京市朝阳区2018届高三(一模)数学

专题3.1 以立体几何中探索性问题为背景的解答题——新高考数学专项练习题附解析

2018届高三数学文一轮复习课件：选4-4-2 参数方程 精品

2018届高三数学一模考试质量分析

2018届高三数学（理）一轮复习考点规范练：第八章立体几何39Word版含解析

北京市朝阳区2024届高三下学期质量检测数学模拟试题(含答案)

2018年高考全国一卷理科数学答案及解析

2018年全国高考新课标2卷理科数学考试(解析版)

2018年北京市高考数学试卷(理科)【附答案解析】

高考数学考点导数的几何意义以及应用#

北京海淀区2018届高三数学一模试卷理科带答案

2018年高三北京市朝阳区2018届高三(一模)数学

北京市朝阳区2018-2019高三数学期末考试(理科)试题(解析版)

2018年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)

2017-2018学年高中数学专题03破译三角函数图像变换问题特色专题训练新人教A版必修4

几何图形的面积问题(与函数值域转化)(解析版)

2018届高三理科数学函数与导数解题方法规律技巧详细总结版

高考数学一轮复习 考点32 数列的综合问题必刷题 理(含解析)-人教版高三全册数学试题

北京市朝阳区2018-2019学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷(理工类)

2018届北京市朝阳区高三二模理数试题Word版含解析

十年高考真题汇编(北京卷,含解析)之不等式

2018届高三数学文一轮复习课件：选4-4-2 参数方程精品

高考数学一轮复习考点32 数列的综合问题必刷题理(含解析)-人教版高三全册数学试题