2018年高考文科数学北京卷及答案解析

数学试卷 第1页（共16页） 数学试卷 第2页（共16页）绝密★启用前北京市2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷满分150分.考试时长120分钟.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{||}2|x A x =<，2,0,{1,2}B =-，则A B = （ ）A .{}0,1B .{}1,0,1-C .{}2,0,1,2-D .{}1,0,1,2-2.在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于（ ）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 3.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）A .12B .56C .76D .7124.设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad bc =”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的（ ）A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件5.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献。

十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于f ，则第八个单音频率为（ ）ABC.D. 6.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）A .1B .2C .3D .47.在平面坐标系中，AB ，CD ，EF ，GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（ ）A .AB B .CDC .EFD .GH毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共16页） 数学试卷 第4页（共16页）8.设集合{(,)|1,4,2}A x y x y ax y x ay =-+>-≥≤，则 （ ）A .对任意实数a ，(2,1)A ∈B .对任意实数a ，(2,1)A ∉C .当且仅当0a <时，(2,1)A ∉D .当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.设向量(1,0)a =，(1,)b m =-，若()a ma b ⊥-，则m = .10.已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为 .11.能说明“若a b >，则11a b<”为假命题的一组a ，b 的值依次为 .12.若双曲线2221(0)4x y a a -=>，则a = . 13.若x ，y 满足12x y x +≤≤，则2y x -的最小值是 . 14.若ABC △222)a c b +-，且C ∠为钝角，则B ∠= ；c a的取值范围是 .三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题满分13分）设{}n a 是等差数列，且1ln 2a =，235ln 2a a +=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求12e e e n a a a +++….16.（本小题满分13分）已知函数2()sin cos f x x x x =+. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()f x 在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，求m 的最小值.数学试卷 第5页（共16页） 数学试卷 第6页（共16页）17.（本小题满分13分）好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）18.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，E ，F 分别为AD ，PB 的中点.（Ⅰ）求证：PE BC ⊥；（Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面PCD ； （Ⅲ）求证：EF ∥平面PCD .-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________数学试卷 第7页（共16页） 数学试卷 第8页（共16页）19.（本小题满分13分）设函数2()[(31)32]e x f x ax a x a =-+++.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线斜率为0，求a ； （Ⅱ）若()f x 在1x =处取得极小值，求a 的取值范围.20.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>，焦距为斜率为k 的直线l与椭圆M 有两个不同的交点A ，B . （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ，D 和点71,42Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭共线，求k .数学试卷 第9页（共16页） 数学试卷 第10页（共16页）北京市2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案解析一、选择题 1.【答案】A【解析】(|22)A x x =-<<，(2,0,1,2)B =-，则{}0,1A B =.【考点】集合的交集运算 2.【答案】D 【解析】21(1i)1i 11i 1i(1i)(1i)1i 22++===+--+-，所以其共轭复数为11i 22-，在复平面内对应点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第四象限。

【考点】复数的四则运算与共轭复数的概念 3.【答案】B【解析】1k =，1s =，1111(1)112s =+-⨯=+，2k =，不满足3k ≥，继续循环2115(1)2126s =+-⨯=+，3k =，满足3k ≥，循环结束，输出56s =.【考点】算法的循环结构 4.【答案】B【解析】“a ，b ，c ，d 成等比”，根据等比数列的性质有ad bc =，所以“ad bc =”是“a ，b ，c ，d 成等比”的必要条件；若3a d ==，3b c ==满足ad bc =，但是数列3，3-，3-，3不是等比数列，所以“ad bc =”是“a ，b ，c ，d 成等比”的必要不充分条件.【考点】比数列的性质与充分必要条件的判断 5.【答案】D【答案】根据题意可以知单音的频率形成一个等比数列；其首项为f；公比为所以第八单音的频率为7f =.【考点】数学文化与等比数列 6.【答案】C【解析】根据三视图可以还原该几何体为正方体中的一个四棱锥1D APCD -，其中P 为AB 的中点，所以四棱锥1D APCD -中的侧面为直角三角形的有1D CD △，1D AD △，1D AP △，共三个.【考点】三视图 7.【答案】C【解析】在四段圆弧上任意取一点，分别作出正弦线、余弦线、正切线观察即可选择C .【考点】三角函数的定义与三角函数线的应用 8.【答案】D【解析】当2a =时，)24{(}222A x y x y x y y =-+>-，|≥1，，≤，将(2,1)代人满足不等式组，所以排除B,当12a =去时11(,)|1,4,222A x y x y x y x y ⎧⎫=-+>-⎨⎬⎩⎭≥≤，将(2,1)代入不满足不等式号4x y +>，所以排除A ，C . 【考点】不等式组表示的平面区域 二、填空题 9.【答案】1-【解析】(1,)ma b m m -=+-，根据()()101a ma b a ma b m m -⇒-=+=⇒=-⊥. 【考点】平面向量的坐标运算10.【答案】(1,0)【解析】根据题意将1x =代人抛物线方程可得24ya y =⇒=±，根据抛物线的对称性有41a =⇒=；所以抛物线的焦点坐标为(10)，. 【考点】抛物线的方程11.【答案】1，1-（答案不唯一）数学试卷 第11页（共16页） 数学试卷 第12页（共16页）【解析】当1a =，1b =-时，满足a b >，此时1161a=>=-. 【考点】不等式的性质与命题真假的判断 12.【答案】4【解析】根据2222245164c c a a a a a +==⇒=，因为0a >，所以4a =. 【考点】双曲线的方程与离心率的计算 13.【答案】3【解析】不等式组12y x y x+⎧⎨⎩≥≤，表示的区较为如图所示的阴影部分，设12z y x =-，则122z y x =+，所以2z 的几何意义为直线的纵截距，1,12,2y x x y x y ⎧=+=⎧⎪⇒⎨⎨==⎪⎩⎩所以当直线过点(12)A ，处时，取得最小值，所以min 2213z =⨯-=.【考点】线性规划问题 14.【答案】60︒(2,)+∞【解析】根据三角形面积公式有2221sin )2ac B a c b +-，所以222sin 2a c b B B ac ⎫+-==⎪⎭，所以t a n 3B=，所以B ∠，2sin sinC 13sin sinA c a A A π⎛⎫- ⎪⎝⎭====，又因为C ∠为钝角，即526C Bπππ+>+=∠∠，所以00tan 6A A π<<⇒<∠，所以1tan A >11222+>=，所以c a的取值范围为(2,)+∞.【考点】三角形问题与三角函数图象与性质 三、解答题15.【答案】解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵235ln 2a a +=， ∴1235ln 2a d +=，又1ln 2a =，∴ln2d =. ∴1(1)ln 2n a a n d n =+-=. （II ）由（I ）知ln 2n a n =，∵ln 2ln 2e e e =2nna n n ==，∴{e }n a是以2为首项，2为公比的等比数列.∴212ln 2ln 2ln 2e e e e e enn a a a +++=+++2=222n +++1=22n +-. ∴12e e e n a a a +++1=22n +-.【考点】等差、等比数列综合问题16.【答案】（Ⅰ）1cos 211π1()22cos 2sin(2)22262x f x x x x x -=-+=-+，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.（Ⅱ）由（Ⅰ）知π1()sin(2)62f x x =-+.因为π,3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π5ππ2,2666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦. 要使得()f x 在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，即πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1. 所以ππ262m-≥，即π3m ≥.所以m 的最小值为π3.【答案】三角函数的图象和性质17.【答案】（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140503002008005102000+++++=.第四类电影中获得好评的电影部数是2000.2550⨯=，数学试卷 第13页（共16页） 数学试卷 第14页（共16页）故所求概率为500.0252000=.（Ⅱ）方法一：由题意知，样本中获得好评的电影部数是1400.4500.23000.152000.258000.25100.15610455016051=372.⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+++++ 故所求概率估计为37210.8142000-=.方法二：设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B . 没有获得好评的电影共有1400.6500.83000.852000.758000.85100.91628⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=部. 由古典概型概率公式得16280.8142)00(0P B ==.（Ⅲ）增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率. 【考点】相互独立事件概率的求解以及方差的求解18.【答案】（Ⅰ）∵PA PD =，且E 为AD 的中点，∴PE AD ⊥.∵底面ABCD 为矩形，∴BC AD ∥， ∴PE BC ⊥.（Ⅱ）∵底面ABCD 为矩形，∴AB AD ⊥.∵平面PAD ⊥平面ABCD ，∴AB ⊥平面PAD . ∴AB PD ⊥.又PA PD ⊥，∵PD ⊥平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PCD .（Ⅲ）如图，取PC 中点G ，连接FG ，GD .∵F ，G 分别为PB 和PC 的中点， FG BC ∥，且12FG BC =.∵四边形ABCD 为矩形，∴且E 为AD 的中点，∴ED BC ∥，12DE BC =∴ED FG ∥，且ED FG =，∴四边形EFGD 为平行四边形， ∴EF GD ∥.又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ，∴EF ∥平面PCD .【考点】空间几何体线面位置关系的判断问题19.【答案】解：（Ⅰ）因为2()[(31)32]e x f x ax a x a =-+++， 所以2()[(1)1]e x f x ax a x '=-++.2(2)(21)e f a '=-，由题设知(2)0f '=，即2(21)e 0a -=，解得12a =. （Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得2()[(1)1]e (1)(1)e x x f x ax a x ax x '=-++=--.若1a >，则当1,1x a⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>. 所以()f x 在1x =处取得极小值.若1a ≤，则当(0,1)x ∈时，110ax x --<≤， 所以()0f x '>.所以1不是()f x 的极小值点. 综上可知，a 的取值范围是(1,)+∞. 方法二：()(1)(1)e x f x ax x '=--.（1）当0a =时，令()0f x '=得1x =.'，()f x 随x 的变化情况如下表：∴()f x 在1x =处取得极大值，不合题意.（2）当a >0时，令()0f x '=得121,1ax x ==.数学试卷 第15页（共16页） 数学试卷 第16页（共16页）①当12x x =，即a =1时，2()(1)e 0xf x x '=-≥，∴()f x 在R 上单调递增， ∴()f x 无极值，不合题意.②当，即0<a <1时，'随x 的变化情况如下表：∴()f x 在x =1处取得极大值，不合题意.③当x x <，即a >1时，(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：∴()f x 在1x =处取得极小值，即1a >满足题意.（3）当0a <时，令()0f x '=得11x a=，21x ='随x 的变化情况如下表：∴()f x 在1x =处取得极大值，不合题意.综上所述，a 的取值范围为(1,)+∞. 【考点】导数在研究函数问题中的应用20.【答案】（Ⅰ）由题意得2c =c =又e c a ==a ，所以2221b a c=-=，所以椭圆M 的标准方程为2213x y+=.（Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12|||2AB x x -=，易得当20m =时，max ||AB ||AB（Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，则221133x y +=①，222233x y +=②， 又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230kx k x k +++-=，则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+， 又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+，所以1111712,4747x y C x x ⎛⎫--⎪++⎝⎭，同理可得2222712,4747x y D x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.故3371,44QC x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，4471,44QD x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为Q ，C ，D 三点共线，所以3443717104444x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，将点C ，D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =.【考点】直线与椭圆的位置关系。