程序设计学PPT课件 第6章 结构化程序的正确性证明

循环不变式产生的方法
对于程序部分正确性证明的不变式断言法，这一 方法的关键是建立一个正确的不变式断言，对一般程 序来说，不变式断言的建立主要依靠程序员对程序的 理解，尚无系统的方法。 但对结构化程序来说，如果已知它的程序函数， 则可以根据不变式状态定理，来确定它的一个循环不 变式。
循环不变式产生的方法
例子1
预期函数 f=(x:=-x) 程序P为 if x>0 then x:=x-2*x else x:=x+2*abs(x) [P]=(x>0 x:=x-2*x| x≤0 x:=x+2*abs(x)) 证明

(1) f和P的定义域均为整数，相同。 (2) [P]是一个分离规则，且 x>0 (x:=x-2*x) = (x:=-x) x≤0 (x:=x+2*abs(x))=(x:=x+2*(-x))=(x:=-x)

对于任意的条件规则 （p1 r1 | p2 r2 | p3 r3 | …） 化为分离规则
（p1r1 |¬ p1∧p2r2|¬ p1∧¬ p2∧p3r3 | …）
条件语句的正确性证明

假设某一条语句的程序函数是分离规则： （p1r1|p2r2|p3r3） 预期函数是f，由于f可以是赋值的形式，例如y:=f(x)的形式 给出时，为了证明条件语句的正确性，需证明以下两点： (1) f(x)的定义域和分离规则式的定义域是相同的； (2) 利用分离规则的谓词将f(x)的定义域分解，并有以下 关系成立： p (x)r (x)=f(x) 1 1 p (x)r (x)=f(x) 2 2 p (x)r (x)=f(x) 3 3
重复递归引理－引理2和引理3


引理2 已知函数f和循环程序P：do g until p ,则 f=[P]的充要条件是：对所有x∈D（f），程序P终止， 且 f=[g;if ¬ p then f ] 引理3 已知函数f和循环程序P：do1 g while p do2 h ,则 f=[P]的充要条件是：对所有x∈D（f），程序P终止， 且 f=[g;if p then h;f ]
跟踪表为： 语句 1 2 y:=a y:=x*y+b y:=x*y+c y:= x*y+d x x1=x0 x2=x1 y y1=a y2:=x1*y1+b
3 4
x3=x2 x4=x3
y3:=x2*y2+c y4:=x3*y3+d
代数方法——跟踪表
所以，
x4=x3= x2=x1=x0 y4= x3*y3+d =x2*(x2*y2+c)+d = x1*(x1*(x1*y1+b)+c)+d = x0*(x0*(x0*a+b)+c)+d 相应的程序函数为： (x,y=x, x*(x*(x*a+b)+c)+d) 即 y=ax3+bx2+cx+d
代数方法——跟踪表
1.已知程序P：x:=x+y;y:=x-y;x:=x-y;求它的程序函数。 假设变量x,y的初值是x0,y0 ，执行第一个赋值语句后变量 值为x1,y1 ……，则可以建立赋值表如下： 语句 1 2 x:=x+y y:=x-y x x1=x0+y0 x2=x1 y y1=y0 y2=x1-y1
不变式状态定理： 假设f=[while p(x) do g(x) ]， x0是初始值，则
循环不变式q(x)为：f(x) = f(x0) 证明： 1.在进入循环时， f(x0) = f(x0)，因此q(x)成立。
2.试证假设在每一次进入循环前q(x) 成立，即f(x) = f(x0) ， 则执行循环后q(x)也成立，即证明 p(x)∧q(x) => qg(x) 由p(x)为真，及正确性定理 f={(x,y)|p(x)y=fg(x)|¬ p(x)y=x}可知 即 p(x) => (f(x)=fg(x))
重复递归引理告诉我们，循环程序的验证可以通 过将循环化为递归的方法，将程序转化为由选择 以及序列组成的无循环程序进行验证！
正确性定理

已知预期函数f和基本程序P，则f=[P]的充要条件 是： x∈D(f)，程序P终止，且对于不同的基本程 序，函数f分别满足下列关系：

情形a，对于序列，p=g;h,有f={(x,y)|y=hg(x)} 情形b，对于if-then程序，if p then g，有 f={(x,y)|p(x) y=g(x) | ¬ p(x) y=x} 情形c，对于if-then-else，if p then g else h，有 f={(x,y)|p(x) y=g(x)| ¬ p(x) y=h(x)} 情形d，对while-do程序，while p do g，有 f={(x,y)|p(x) y=fg(x)| ¬ p(x) y=x} 情形e，对于do-until程序，do g until p od,有 f={(x,y)|pg(x) y=g(x)| ¬ pg(x) y=fg(x)} 情形f，对于do-while-do程序，do1 g while p do2 h od， 有 f={(x,y)|pg(x) y= fhg(x)| ¬ pg(x) y=g(x)}
将条件规则化为分离规则




在化简和比较条件规则时，分离规则比一般的条件 规则使用更方便一些。 一般的复合规则不一定能展开，但分离的复合规则 总可以展开。 一般的条件规则的前后顺序是不能交换的，而分离 规则的顺序是可以交换的。 讨论程序的正确性时，总是首先将条件规则化为分 离规则。
将条件规则化为分离规则
重复递归引理－－引理1

已知预期函数f和循环程序P while p do g 则f=[P]的充要条件是：对所有x∈D（f）， 程序P终止，且f=[if p then g;f]
重复递归引理－－引理1
证明： 必要性 f= [P]=[while p do g ] => f=[if p then g;f] [P]=[while p do g]=[if p then g; while p do g]
循环不变式产生的方法－－例1
对于循环程序P：while v≠0 do u,v=u+1,v-1 ， 其程序函数为{(u,v),(u+v,0)}，求其循环不变式。 对循环中所有变量，分别计算f(x)和f(x0)，列表如下：
例子2
语句 x y
y1 =y0+a0 y2=a0* x1 + y1 x,y:=x-1,y+a x1 =x0-1 x,y,a:=0,a*x+y,a x2 =0 于是有： x2 =0 ∧ y2=a0*(x0-1)+y0+a0=a0* x0 +y0 即当x>0时 x,y,a :=0,a*x+y,a; 当x=0时 x,y,a :=0,y,a = 0,a*0+y,a 因此可知，f＝ {(x,y,a),(0,a*x+y,a)}，与预期函数相等，因此 得证。
正确性定理－－证明
情形a,b,c由程序函数直接可得 情形d,由下式可得（根据引理1）： 对while-do程序,while p do g ，有 [while p do g] = [if p then g;f ] = {(x,y)|p(x) y=f g(x)| ¬ p(x) y=x} = f 情形e,f由引理2，3可证
=[if p then g;f ]
充分性 f=[if p then g;f] => f= [while p do g]
[if p then g;f ]=[if p then g;if p then g;f ]= [if p then g;if p then g;……(if p then g) ]= [if p then g;if p then g;……I ]= [while p do g ]
分离规则

条件语句 if p then g else h 可用条件规则表示出 来 (pg | ¬ ph)。 为了证明条件语句的正确性，就需要比较预期函 数f和条件规则是否相等。

复合条件规则的化简



(p1 (q11 r11 | q12 r12 ) | p2 (q21 r21 | q22 r22 ) ) (p1 ∧ q11) r11 | (p1 ∧ q12) r12 | (p2 ∧ q21) r21 | (p2 ∧ q22) r22 p1,p2是分离的，即p1 ∧ p2为假。 如果一个条件规则的所有谓词都是分离的， 称它为分离规则。

重复递归引理

基本概念：基于程序函数的程序正确性概念。
假设已知一个程序P和一个预期函数f，若有 f=[P] 则称程序P正确地实现了函数f，或说程序P是正确的。
重复递归引理

重复递归引理内容 引理1 while-do的正确性定理 引理2 do-until的正确性定理 引理3 do-while-do的正确性定理
得证
例子2
已知预期函数f是（x,y,a是整数，且x≥0） {(x,y,a),(0,a*x+y,a)} 程序P如下，其中x≥0： while x≠0 do x,y=x-1,y+a 证明程序P是正确的，即f=[P] 证明1：程序是终止的 证明2：定义域相同 证明3：f={(x,y)|p(x) y=fg(x) | ¬ p(x) y=x}， 其中，p(x)=(x>0), ¬ p(x)=(x=0) 利用fg(x)的跟踪表证明3
循环不变式产生的方法
又进入循环前q(x) 成立，即q(x)=(f(x0)=f(x))
∴ p(x)∧q(x) => (f(x0)= fg(x))
而(f(x0)= fg(x))＝ (fg(x) =f(x0)) ＝ (f(g(x)) =f(x0)) ＝ q(g(x)) (归纳假设q(x)=(f(x0)=f(x))) ＝ qg(x)