立体几何的结构体系
欧几里德几何
欧几里德几何简称“欧氏几何”。
几何学的一门分科。
公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。
在其公理体系中，最重要的是平行公理，由于对这一公理的不同认识，导致非欧几何的产生。
按所讨论的图形在平面上或空间中，分别称为“平面几何”与“立体几何”。
欧几里德几何指按照欧几里德的《几何原本》构造的几何学。
欧几里德几何有时就指平面上的几何，即平面几何。
三维空间的欧几里德几何通常叫做立体几何。
高维的情形请参看欧几里德空间。
数学上，欧几里德几何是平面和三维空间中常见的几何，基于点线面假设。
数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。
公理描述[编辑本段] 欧几里德几何的传统描述是一个公理系统，通过有限的公理来证明所有的“真命题”。
欧几里德几何的五条公理是：任意两个点可以通过一条直线连接。
任意线段能无限延伸成一条直线。
给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
所有直角都全等。
若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。
第五条公理称为平行公理，可以导出下述命题：通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。
平行公理并不像其他公理那么显然。
许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。
19世纪，通过构造非欧几里德几何，说明平行公理是不能被证明的。
（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一般的几何，即绝对几何。
）从另一方面讲，欧几里德几何的五条公理并不完备。
例如，该几何中的有定理：任意线段都是三角形的一部分。
他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。
然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。
因此，许多公理系统的修订版本被提出，其中有希尔伯特公理系统。
高中数学教材内容大纲
高中数学教材内容大纲（一）体系教材体系结构1.1集合1.2函数及其表示1.3函数的基本性质实作业第2章基本初等函数（1）2.1指数函数2.2对数函数2.3幂函数第3章函数的应用3.1函数与方程3.2函数模型及其应用实作业必修数学2立体几何初步、平面解析几何初步第1章空间几何体1.1空间几何体的结构1.2空间几何体的三视图和直观图1.3空间几何体的表面积与体积实作业第2章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.2直线、平面平行的判定及其性质2.3直线、平面垂直的判定及其性质第3章直线与方程3.1直线的倾斜角和斜率续表3.2直线的方程3.3直线的交点坐标与距离公式第4章圆与方程4.1圆的方程4.2直线、圆的位置关系4.3空间直角坐标系必修数学3算法初步、统计、概率第1章算法初步1.1算法与程序框图1.2基本算法语句1.3算法案例第2章统计2.1随机抽样2.2用样本估量总体2.3变量间的相干关系实作业第3章概率必修数学1调集、函数概念与根本初等函数1第1章调集与函数概念3.1随机事件的概率3.2古典概型3.3多少概型必修数学4三角函数、平面上的向量、三角恒等变更第1章三角函数1.1任意角和弧度制1.2任意角的三角函数1.3三角函数的诱导公式1.4三角函数的图象与性质1.5函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象1.6三角函数模型的简单应用第2章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的根本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例第3章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式3.2简单的三角恒等变换必修数学5解三解形、数列、不等式第1章解三角形1.1正弦定理和余弦定理续表1.2应用举例练功课第2章数列2.1数列的概念与简单表示法2.2等差数列2.3等差数列的前nXXX2.4等比数列2.5等比数列的前nXXX第3章不等式3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.4基本不等式第1章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件和必要条件选修1第一册常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用1.3简单的逻辑联结词：“或”“且”“非”的含义1.4全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程2.1椭圆与方程2.2椭圆的简朴性质2.3抛物线、双曲线与方程2.4圆锥曲线的简单应用第3章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的计算3.3导数在研究函数中的应用3.4生活中的优化问题举例练功课选修1第二册统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图第1章统计案例1.1案例1：自力性检验（2×2列联表）1.2案例2：假定检验1.3案例3：聚类分析1.4案例4：回归分析第2章推理与证明2.1合情推理2.2演绎推理2.3分析法和综合法续表2.4反证法2.5公理化思想与机器证明第3章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充3.2复数的基本概念3.3复数的代数表示及其几何意义3.4复数的四则运算第4章框图4.1流程图4.2结构图选修2第一册常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何第1章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件和必要条件1.3简朴的逻辑联络词：“或”“且”“非”的含义1.4全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程2.1椭圆及其标准方程2.2椭圆的简单性质2.3抛物线及其标准方程2.4抛物线的简朴性质2.5双曲线的标准方程和简单性质2.6圆锥曲线的简朴应用2.7曲线与方程第3章空间向量与立体几何 3.1从平面到空间──空间向量及其运算3.2立体几何中的向量方法选修2第二册导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入第1章导数及其应用1.1变化率与导数1.2几种常见函数的导数1.3导数的运算1.4导数在研究函数中的应用1.5生活中的优化问题举例1.6定积分的概念1.7微积分根本定理实作业第2章推理与证明2.1合情推理2.2归纳推理2.3分析法和综合法续表2.4反证法2.5数学归纳法2.6正义化思想与机器证明第3章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充3.2复数的根本概念3.3复数的代数表示及其几何意义3.4复数的四则运算选修2第三册计数原理、统计案例、概率第1章计数原理1.1分类计数原理和分步计数原理1.2排列1.3组合1.4二项式定理第2章统计与概率2.1离散型随机变量及其分布列2.2条件概率和事件的独立性2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布2.5统计案例选修3第一册《数学史选讲》第一讲早期算术与几何──计数与测量一、纸草书中记录的数学（古代埃及）二、泥板书中记实的数学（两河流域）三、中国《周髀算经》、勾股定理（XXX的图）四、十进位值制的发展第二讲古希腊数学一、毕达哥拉斯多边形数，从勾股定理到勾股数，不可公度问题二、欧几里得与《原本》三、XXX的工作：求积法第三讲中国古代数学瑰宝一、《九章算术》中的数学（方程术、加减消元、正负数）二、大衍求一术（孙子定理）三、中国古代数学家介绍第四讲平面解析几何的产生──数与形的结合1、函数与曲线二、笛卡儿方法论的意义第五讲微积分的产生──划时代的成就第六讲近代数学两巨星──欧拉与XXX一、XXX的数学直觉二、XXX时代的特点（数学严密化）续表第七讲千古谜题──XXX的解答1、从XXX到伽罗瓦（一其中学生数学家）二、几何作图三大难题三、近世代数的产生第八讲XXX的集合论──对无限的思考1、无穷调集与势二、罗素悖论与数学基础（XXX不完备定理）第九讲随机思想的发展一、概率论溯源二、近代统计学的缘起第十讲算法思想的历程一、算法的历史背景二、计算机科学中的算法第十一讲中国现代数学的发展现代中国数学家振奋拼搏，赶超世界数学先进程度的光辉历程研究总结报告选修3第二册《信息安全与密码》第一讲初等数论的有关知识1、整除和同余；模m的完全同余系和简化剩余系；欧拉定理和费马小定理；大数分解问题二、欧拉函数的界说和计算公式；威尔逊定理及在素数判别中的应用；原根与指数；模p 的原根存在性；离散对数问题第二讲数论在信息安全中的应用1、通信完全中的有关概念；通信安全中的根本问题二、古典密码的一个例子：流密码（利用模m同余方式）三、公钥系统体例；加密和数学签名的办法四、离散对数在密钥交换和分配中的应用五、离散对数在加密和数字签名中的应用六、拉格朗日插值公式在密钥共享中的应用研究总结报告选修3第三册《球面上的几何》第一讲“球面上的几何”概述一、现实中的球面几何（如测量、航空、卫星定位）问题二、球面图形与平面图形三、球面的对称性质四、球面上的根本图形第二讲球面三角形的性质1、欧氏平面图形的性质在球面上的推行（球面三角形的全等定理s．s．s，s．a．s，a．s．a）二、球面三角形全等的a.a.a定理三、单元球面三角形的面积公式（S＝A＋B＋C－π）四、球面三角形的内角和五、欧拉公式的证明第三讲球面三角公式一、球面余弦定理（cosc＝cosacosb＋sinasinbcosC）二、球面上的勾股定理（即当C＝π/2时的球面余弦定理）三、球面的正弦定理（四、球面的三角公式与平面三角公式第四讲XXX研究总结报告）选修3第四册《对称与群》引言第一讲平面图形的对称群一、平面刚体运动二、对称变更三、平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一、n元对称群Sn二、多项式的对称变更三、抽象群的概念第三讲对称与群的故事1、带饰和面饰二、化学分子的对称群三、晶体的分类四、伽罗瓦理论研究总结报告选修3第五册《欧拉公式与闭曲面分类》第一讲欧拉公式一、用变换对平面图形分类二、欧拉公式第二讲闭曲面分类一、曲面的三角剖分二、曲面的欧拉示性数三、拓扑变换的直观含义四、拓扑不变量和曲线、闭曲面分类五、拓扑思想的应用研究总结报告选修3第六册《三等分角与数域扩充》第一讲三等分角问题与尺规作图1、古希腊三大多少作图问题二、办理三平分角问题的根本思路三、尺规作长为有理数的线段四、用尺规作长为的线段第二讲数域和数域的扩充一、有理数域和一般数域二、数域扩充及实例第三讲三平分角问题的会商1、三平分角问题的代数化二、证明：不能用尺规作图的方法三等分六十度角三、多少问题代数化办法的应用四、复数乘法的棣莫弗公式五、用尺规作图办法作正十七边形研究总结报告选修4第一册《多少证明选讲》第一讲圆与直线关系的有关定理1、类似图形的性质二、圆与直线关系的有关定理第二讲圆锥曲线性质的探究一、平行投影的含义二、平面与圆锥面的交线及相干证明三、XXX双球与椭圆研究总结报告选修4第二册《矩阵与变换》第一讲二阶矩阵与变换一、二阶矩阵二、二阶矩阵与平面向量的乘法、平面图形的变换三、变换的复合──二阶方阵的乘法四、逆矩阵与二阶行列式第二讲矩阵的应用一、二阶矩阵与二元一次方程组二、变换的不变量三、矩阵的应用研究总结报告选修4第三册《数列与差分》第一讲数列的差分1、数列差分的概念二、数列的一阶差分三、数列的二阶差分四、差分与数列的有关性质第二讲线性差分方程（组）一、线性差分方程二、一阶线性差分方程组第三讲非线性问题举例1、方程xn＋1＝kxn（1－xn）二、非线性问题复杂性举例研究总结报告选修4第四册《坐标系与参数方程》第一讲坐标系1、平面直角坐标系伸缩变更下的平面图形变革二、极坐标系三、极坐标系中简单图形的方程四、柱坐标系、球坐标系简介第二讲参数方程一、抛物运动轨迹的参数方程二、直线、圆和圆锥曲线的参数方程三、参数方程与通俗方程的比较四、平摆线和渐开线的参数方程五、阅读材料：摆线的生成过程及应用举例研究总结报告选修4第五册《不等式选讲》第一讲不等式与绝对值不等式1、不等式二、绝对值不等式三、绝对值不等式的求解第二讲柯西不等式1、柯西不等式的几种分歧形式及其多少意义二、柯西不等式的证明三、柯西不等式一般情况的讨论四、柯西不等式的应用五、排序不等式第三讲数学归纳法一、数学归纳法原理二、数学归纳法的简单应用举例三、贝努利不等式及其简单应用第四讲不等式证明办法举例一、比较法二、综合法三、分析法四、反证法五、放缩法研究总结报告选修4第六册《初等数论初步》第一讲整数和整除一、同余和剩余类二、整除三、整数的整除判别法第二讲辗转相除法1、两个整数的最大条约数二、一次不定方程及其求解三、一次同余方程组模子第三讲初等数论中的几个重要定理一、大衍求一术和孙子定理二、费马小定理三、欧拉定理四、数论在密码中的应用──公开密钥研究总结报告选修4第七册《优选法与试验设计初步》第一讲优选法初步1、理想生活中的优选问题二、分数法、0.618法及其应用三、斐波那契数列与黄金分割四、对分法、爬山法、分批试验法五、目标函数为多峰情况下的处理方法六、双因素、多因素的优选问题第二讲试验设计初步一、现实生活中的试验设计问题二、正交试验设想办法三、正交试验设想的简朴应用研究总结报告选修4第八册《统筹法及图论开端》第一讲统筹办法一、统筹问题的思想及其应用举例二、统筹法中的基本概念三、统筹图的绘制四、统筹图中的参数计算五、统筹图的关键路及其算法六、统筹办法的简朴应用第二讲图论开端一、图的基本概念和作用二、图的生成树及相关的算法三、图的最短路问题及其算法续表四、图论的其他问题和算法的庞大性研究总结报告选修4第九册《风险与决策》第一讲日常生活及经济活动中的风险决策第二讲损益函数与损益矩阵；决策途径与方法的探索；决策结论的意义第三讲决策树；用反推决策树的方法进行决策第四讲风险决策灵敏度分析第五讲马尔可夫型决策及其决策方法研究总结报告选修4第十册《开关电路与布尔代数》第一讲开关电路简介1、开关电路的两种状态及其构成二、两个电路的并联和串连电路，逆反电路，和它们的状态的确定三、开关电路设想的根本问题，和一个详细电路设想问题第二讲从开关电路到布尔代数1、以开关电路为背景的布尔代数二、布尔代数中运算所满足的运算律（与算术对比）三、布尔多项式及其标准型（与代数对比）四、开关电路与不耳朵相似的相互转化五、布尔函数及关于布尔函数的基本定理六、第一讲三中问题的解决第三讲布尔代数在计算机的电路设计中的作用第四讲布尔代数与命题演算。
高考数学立体几何专题：等体积法
高考数学立体几何专题：等体积法一、引言在高考数学中，立体几何是一门重要的学科，它考察了学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
其中，等体积法是一种常用的方法，它在解决立体几何问题中具有重要的作用。
本文将详细介绍等体积法的基本原理和应用，并通过实例来展示其用法。
二等体积法的基本原理等体积法的基本原理是：对于同一个体积，可以将其分解为不同的几何形状，并且这些几何形状的体积相等。
在立体几何中，常见的几何形状有长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等。
这些形状的体积可以通过其高度、底面积和高度的乘积等参数来计算。
三等体积法的应用等体积法在解决立体几何问题中具有广泛的应用。
下面我们将通过几个例子来展示其用法：1、求几何体的表面积和体积例1：已知一个长方体的长、宽和高分别为a、b和c，求该长方体的表面积和体积。
解：该长方体的表面积为2(ab+bc+ac)，体积为abc。
2、判断两个几何体是否体积相等例2：给定两个几何体，判断它们是否体积相等。
解：根据等体积法，我们可以分别计算两个几何体的体积，如果两个体积相等，则两个几何体体积相等；否则，两个几何体体积不相等。
3、求几何体的重心位置例3：已知一个长方体的长、宽和高分别为a、b和c，求该长方体的重心位置。
解：根据等体积法，我们可以将该长方体分成两个小的长方体，它们的重心位置与原长方体的重心位置相同。
因此，我们只需要找到这两个小长方体的重心位置即可。
四、结论等体积法是一种常用的方法，在解决立体几何问题中具有重要的作用。
它可以帮助我们计算几何体的表面积和体积，判断两个几何体是否体积相等，以及求几何体的重心位置等。
在实际应用中，我们需要灵活运用等体积法来解决各种不同的问题。
在数学的世界里，立体几何是一门研究空间几何形状、大小、位置关系的科学。
它不仅在数学领域中占据着重要的地位，同时也是高考数学中的重要考点之一。
本文将针对高考数学立体几何专题进行深入探讨，帮助大家更好地理解和掌握这一部分内容。
落实新课标 研读新教材 走进高效课堂
落实新课标研读新教材走进高效课堂作者：蔺勇来源：《杂文月刊·教育世界》2014年第12期【摘要】面对新课改，每一位数学教师都要明确教育教学的目的，不仅仅教给学生知识，更教给他们主动获得知识的能力。
数学教师要认真解读新课标，领悟在新课程体系中蕴涵的思想，树立正确的教育观念，践行新课改，研读新教材，改变学生学习方式，重视学习方法的培养，注重教学环节，为学生构建一个自主、合作、探究的学习平台，不断培养学生的创新精神与实践能力，努力创建高效课堂。
【关键词】新课标变化高效我省实施新教材已有10年，作为一线教师，对新课标、新教材的要求及内容可以说已基本全面掌握。
但对课标的落实和教材的处理是否到位、恰当不敢苟同，是否还有以下情况：有的老师还没有仔细读过新课标的内容，没有比较过新旧教材内容的差别，每一个知识点的要求层次是否准确掌握，课堂教学还是凭经验无新意的满堂灌，学生的主体地位还没有得到落实等等。
为了今后在教学中既能解放教师与学生沉重的负担，又能提高教学的效果，实现高效课堂，我们对新课标的要求应做到扎实贯彻与落实。
一、熟悉高中数学新课标，明确课标基本理念高中数学新课标的基本理念有：（1）构建共同基础，提供发展平台;（2）提供多样课程，适应个性选择;（3）倡导积极主动、勇于探索的学习方式;（4）注重提高学生的数学思维能力;（5）发展学生的数学应用意识;（6）与时俱进地认识”双基”;（7）强调本质，注意适度形式化;（8）体现数学的文化价值;（9）注重信息技术与数学课程的整合;（10）建立合理、科学的评价体系。
二、认真研读新教材，感受其变化与要求高中《数学新课程标准》中，倡导数学课程应该反璞归真，努力揭示数学的概念、法则、结论发生、发展过程和数学的本质，教师在教学过程中，根据数学知识结构，学生已有的认知水平，让学生了解知识产生的背景，体验数学知识的发生和发展过程，这样将有利于培养学生科学的学习态度和方法，激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯，培养创新精神。
立体图形梳理
立体图形的框架结构分析内容领域：空间与图形一级结构：立体图形二级结构：立体图形的认识立体图形的测量教材对立体图形分三个层次安排的：1、直观整体感知。
（第一学段认识长方体、正方体、圆柱和球）2、具体刻画特征。
（第二学段认识长正方体和圆柱圆锥的特征。
）3、度量。
（第二学段从测量表面积、体积的角度认识）第一学段第二学段一上二上三上四下五下六上六下认识物体观察物体观察物体观察物体认识长方体展开与折叠露在外面的面观察物体面的旋转认识圆柱体认识圆锥1、教材呈现形式：一上：（1）通过分、摸实物认识几何体特征。
（2）建立实物与立体图形的联系，认识立体图形。
（3）拼搭积木进一步认识几何体。
二上：（1）观察长方体实物（讲桌）体验最多只能看到三个面。
（2）观察长方体模型辨认正、侧、上三个面。
（3）观察正方体搭成的简单物体，辨认表示三个方向观察到的形状（4）搭建简单物体并观察，体验不同物体的某一面的形状可能相同。
三上：（1）根据指令搭积木，初步学会用“上、下、左、右、前、后”等词语描述正方体的相对位置。
（2）问问题搭立体图形，想象所搭形状，提高形象思维能力。
四下：（1）根据观察点想先对象形状的变化，判断位置与变化图的对应关系。
培养空间想象力和空间推理能力。
五下：（1）长方体的认识：a、借助生活场景辨认长、正方体。
b、借助长、正方体模型认识顶点、面、棱。
c、通过自主探索发现长、正方体的特点，并利用表格进行整理，加深对长、正方体特点的认识。
（2）长方体、正方体的展开图：a、剪长、正方体盒子，直观认识长、正方体的展开图。
b、通过将展开图折成长、正方体，体会展开图与长、正方体的联系。
（3）露在外面的面：a、呈现堆箱子的生活情境，观察并求出露在外面的面积。
b、用学具摆出其他的堆放方法，体会堆放方法不同，露出的面积可能会发生相应变化。
c、按图摆放小正方体，探索露出部分的变化规律。
（4）折叠：a、通过想、画、做将平面图形折叠成立体图形，体会立体图形和它的平面展开图之间的关系。
浅谈高中数学新课程中“立体几何”部分的内容与要求
浅谈高中数学新课程中“立体几何”部分的内容与要求张劲松2003年4月教育部正式颁布实施《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）。
与《标准》配套的《普通高中课程标准实验教科书·数学》于2004年秋季开始在山东、广东、海南、宁夏进行实验，2005年秋季又扩大到江苏，到2006年秋季，福建、浙江、安徽、辽宁、天津加入，共有10省（区、直辖市）使用《普通高中课程标准实验教科书·数学》。
这次高中数学课程改革比较突出的特点是在“构建共同基础，提供发展平台”的前提下，“提供多样课程，适应个性选择”“强调本质”“注意提高学生的数学思维能力”“发展学生的数学应用意识”等等。
具体做法是，课程内容分为诸多模块和专题，突出数学教科书的“数学味”，注重从现实情景引入数学知识，用数学处理具体的实际问题等等。
实事求是地讲，《标准》设计的理念和思路都是非常好的，作为《标准》最主要的载体——教材在实验过程中，有很多积极的评价。
但也存在不少问题，比较突出的是《标准》把“内容与要求”合在一起写。
有些内容不明确，教还是不教，难以把握。
本文结合《标准》《普通高中课程标准实验教科书·数学》和实验教师的反映，以“立体几何”部分的内容与要求为例，谈一下粗浅的认识，希望对教学有一定的帮助。
一、“立体几何”部分到底包括哪些内容“立体几何”是高中数学非常经典的内容，也是非常重要的内容。
回顾上个世纪90年代以后开始的近20年的高中数学课程改革，1997年前，“立体几何”部分单独成册《立体几何》，与《代数》（上册）同时开设，在高一两个学期完成，《立体几何》约需57课时。
1997年后，《全日制普通高级中学数学教学大纲》把“立体几何”部分的内容缩为一章“直线、平面、简单几何体”，再加上“研究性学习课题：多面体欧拉定理的发现”，共39课时。
翻看《全日制中学数学教学大纲（高中部分）》（修订本）和《全日制普通高级中学数学教学大纲》，其教学内容和具体要求（或教学目标）都是分开表述，学什么，达到什么目标，比较清晰。
到四面体四个顶点距离相等的平面
四面体是一种立体几何图形，它由四个三角形构成，并且每一个三角形都共享一个公共顶点。
四面体有着许多有趣的性质，其中一个引人注目的性质就是四面体四个顶点距离相等的平面。
本文将介绍这个有趣的几何性质，并进行相关讨论。
一、四面体的定义四面体是一个由四个三角形构成的立体几何图形。
这四个三角形被称为四面体的面，而它们共享一个共同的顶点。
四面体有六条边，四个顶点以及四个面。
四面体的每个面上都有三个顶点，每个顶点都与三条边相连。
二、四面体四个顶点距离相等的平面的几何性质定义四面体的四个顶点为A、B、C、D。
若对于任意三个顶点A、B、C四边形ABC的面积等于三个顶点A、B、D所构成四边形ABD的面积，且点D在BC的上方，那么四面体ABCD的四个顶点构成的面的距离相等。
三、四面体四个顶点距离相等的平面的证明证明四面体ABCD的四个顶点构成的面的距离相等可以通过以下步骤进行证明：1. 假设四面体ABCD的四个顶点构成的面的距离不等。
2. 根据假设，选取四面体ABCD的四个顶点构成的面中距离最长的两个面。
不妨设为面ABC和面ABD。
3. 由面ABC和面ABD的距离不等可得面ABC的面积不等于面ABD的面积。
4. 然而，根据条件，面ABC的面积等于面ABD的面积，与假设矛盾。
5. 原假设不成立，得证四面体ABCD的四个顶点构成的面的距离相等。
通过以上证明可知，四面体ABCD的四个顶点构成的面的距离相等。
四、四面体四个顶点距离相等的平面的应用四面体四个顶点距离相等的平面的性质在实际生活中有许多应用。
例如在建筑设计中，设计师需要确保建筑结构的稳定性和坚固性，而四面体四个顶点距离相等的平面提供了一种均衡的支撑结构。
另外，在工程测量中，四面体四个顶点距离相等的平面也可以用来确定不同测量点之间的水平距离。
五、结论四面体是一种立体几何图形，它由四个三角形构成，并且每一个三角形都共享一个公共顶点。
四面体有许多有趣的性质，其中一个引人注目的性质就是四面体四个顶点距离相等的平面。
建筑中的立体几何国内外研究现状及问题
建筑中的立体几何国内外研究现状及问题建筑中的立体几何是指应用立体几何原理和方法来研究建筑空间形态、结构物形状及其之间的关系。
立体几何在建筑设计、结构设计、室内设计等领域中起着重要的作用。
以下是建筑中立体几何的国内外研究现状及问题。
国内研究现状：1. 空间构造：国内学者在空间构造方面进行了一些研究，探索了空间的形态生成及其对建筑功能的影响。
2. 建筑形态：国内学者也关注建筑形态的优化设计，通过立体几何方法研究不同形态对建筑性能的影响，如采光、通风等。
3. 结构设计：立体几何在结构设计中发挥着重要的作用，国内研究者研究了不同的结构形式和结构体系，并探索了其在建筑中的应用。
国际研究现状：1. 形态生成算法：国际上关注建筑形态生成算法的研究，通过立体几何方法构建形态生成模型，从而探索设计空间中的可行解。
2. 数字设计工具：国际学者借助立体几何方法开发了一些数字化设计工具，能够辅助建筑师进行形态设计和结构设计。
3. 空间优化：国际学者也关注建筑空间优化设计，通过立体几何方法探索最优形态设计，以满足建筑的功能需求和性能要求。
存在的问题：1. 研究深度不够：虽然已有一些研究在建筑中应用立体几何方法，但研究的深度还有待提高，尤其在空间构造和形态生成方面的研究仍较少。
2. 缺乏系统化方法：目前的研究多为案例分析或个别模型设计，缺乏系统化的方法论，难以推广应用到实际建筑设计中。
3. 数字化设计工具有待改进：虽然国际上有一些数字化设计工具，但仍存在一些问题，如计算复杂度高、用户界面不友好等，需要进一步改进和完善。
综上所述，建筑中的立体几何在国内外研究中扮演着重要的角色，但仍存在一些问题需要解决。
未来的研究应深入探索立体几何在建筑中的应用，加强理论研究，提高设计工具的效率和用户体验。
高三数学一轮复习备考教学设计：高考中的立体几何问题说课稿
《高考中的立体几何问题》说课稿立体几何是高中数学知识体系的重要组成部分，是培养学生空间想象能力的重要载体，是每年高考必考的重要知识点！无论是从高考的现实出发，还是从学生个人的长远发展来看，学好立体几何这一模块的内容对于学生来说都是极为重要的。
在此，我仅从高考要求、命题趋势、考纲变化、复习意义四个方面来对立体几何模块谈谈我的看法。
一、高考要求1、空间几何体（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征；（2）能画出简单空间图形的三视图，能识别相应三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出他们的直观图；（3）会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表现形式；（4）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。
2、点、直线、平面之间的位置关系（1）理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解四个公理及推论；（2）认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理；（3）能够用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
3、空间向量与立体几何（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；（3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量数量积判断向量的共线与垂直；（4）理解直线的方向向量及平面的法向量；（5）能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；（6）能用向量法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理；（7）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。
二、命题趋势通过分析最近5年全国卷在立体几何模块的命题可以发现如下规律：1、题型一般是两道小题一道大题（偶尔出现一道小题一道大题）；2、小题中必考内容：三视图！三视图一般与特殊的柱体、锥体、球体及相关组合体的表面积与体积结合考查；3、小题中变化的内容：直线平面平行垂直的性质判定与命题结合、球的切接几何体问题、简单的空间角的计算等。
立体几何异面直线垂直概念-概述说明以及解释
立体几何异面直线垂直概念-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述立体几何是几何学的一个重要分支，研究的对象是三维空间中的图形和物体。
立体几何的基本概念和定理在数学和工程学科中都有着广泛的应用。
异面直线是立体几何中的一个重要概念，它指的是不在同一个平面上的两条直线。
本文将专注于异面直线的垂直概念。
本文将以引言、正文和结论三个部分来介绍立体几何中异面直线垂直的概念。
在引言部分，我们将对本文的结构和目的进行简要介绍。
接下来的正文部分将详细介绍立体几何的基本概念和异面直线的定义性质。
最后，在结论部分，我们将进一步讨论异面直线的垂直概念，并探讨其在实际应用中的意义和重要性。
通过阅读本文，读者将能够深入了解立体几何中的异面直线垂直概念，并理解其在实际问题中的应用。
对于对这一领域感兴趣的读者来说，本文将为他们提供一个全面而详尽的介绍。
同时，本文所介绍的内容也将为相关学科的研究者和从业人员提供有益的参考。
立体几何异面直线垂直概念的研究对于推动科学技术的发展具有重要的意义。
在建筑、工程、设计等领域中，对于异面直线垂直的理解和应用能够帮助我们更好地进行空间规划和设计。
同时，对立体几何的研究也为我们揭示了世界的另一种面貌，能够提高我们的空间思维能力和解决实际问题的能力。
在接下来的文章内容中，我们将深入探讨立体几何中异面直线垂直的概念，希望读者能够通过阅读本文，加深对立体几何的理解，并能够在实际问题中灵活运用。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构来进行讨论立体几何中的异面直线垂直概念：1.2.1 章节一: 立体几何的基本概念在这一章节中，我们将介绍立体几何的基本概念，包括点、线、面等基本元素的定义和性质。
通过理解这些基础概念，为后续讨论异面直线的垂直概念打下基础。
1.2.2 章节二: 异面直线的定义和性质这一章节将深入探讨异面直线的定义以及相关性质。
我们将介绍异面直线的几何特征和判定方法，如何确定两条直线是否在三维空间中异面，并介绍一些典型的异面直线的性质和定理。
高中数学必修及选修教材学习知识体系结构与框架
第一章集合集合与函数概函数及其定义念概念表示方法：列举法、描述法根本关系：交集、并集、补集、全集、属于根本运算交、并、补元素的概念、个数概念定义域、值域对应关系区间：闭开，半开半闭展示发放：图像法、列表函数的单调性增函数基本性质最大、最小值定义义奇偶性；判断方法减函数a r a s a r s指数与指数幂的运算( a r) s a rs( ab) r a r b r第二章整数指数幂基本初等函数指数函数互为反函数对数函数幂函数指数幂指数函数性质对数与对数运算对数函数及性质定义：有理数指数幂无理数指数幂定义定义域 R性质值域〔 0,+ ∞〕图像过定点〔 0，1〕单调性对数底数真数定义log a ( M N ) log a M log a N运算log a M log a M log a NNlog a M n nlog a M定义定义域图象值域过点〔 1， 0〕性质单调性过〔 1,1 〕性质奇偶性单调性第三章]函数与程函数的应用函数模型及应用定义关系方程的根与函数的零点零点定理二分法定义用二分法求方程的近视根求根步骤几类不同增长的函数模型函数模型的应用实例建立实际问题的函数模型必修二第一章空间几何体锥、柱、台、球的结构特征空间几何体的结构简单组合体的结构特征正视图三视图侧视图俯视图空间几何体的三视图与直观图斜二侧画法直观图平行投影与中心投影锥、柱、台的外表积与体积空间几何体的表面积与体积球的外表积与体积第二章平面：公理1、公理 2、公理3共面相交直线平行直线：点、直线、平面间的位置关系空间点、直线、平面间的位置关系直线、平面平行的判定及性质直线、平面垂直的判定及性质空间中直线与直线的位置公理 4关系异面直线平行平面与平面间的位置关系相交直线在平面空间中直线与内平面的位置关相交系平行直线与平面平行的判定定理平面与平面平行的判定定理直线与平面平行的性质定理平面与平面平行的性质定理直线与平面垂直的判定定理平面与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的性质定理第三章直线与方程倾斜角 0°≤α＜ 180°直线的倾斜角与斜率斜率 k tanl1 //l2k1k2,b1b2两条直线平行与垂直的判定l 1l2k 1k 21点斜式y y1k(x x1 )截距式 y kx b直线的方程两点式yy1x x1y2y1x2x1一般式 Ax By C0两条直线的交点坐标A1 x B1 y C10A2 x B2 y C20两点间的距离公式|AB|(x x)2(y y)22121直线的交点坐标与距离公式点到直线的距离Ax0 By0CdB 2A 2平行线间的距离第四章圆的标准方程x a 2y b 2r 2圆的一般方程圆的方程y2x 2Dx Ey F0d r l 与 C 相交直线与圆的位置关系d r l 与 C相切圆与方程直线、圆的位置关系直线与圆的方程的应用圆与圆的位置关系概念空间直角坐标系空间两点间的距离公式d r l与 C相离相交 R r d R r内切d Rr外切 d Rr内含 d Rr相离 d Rr辗转相除法与更相减损术必修三算法的概念第一章算法秦久韶算法算法与程序框图顺序结构程序框图条件结构循环结构输入语句、输出语赋值语句初根本算法语句步条件语句、循环语句算法案例第二章随机抽样统用样本估计总体计变量间的相关关系抽签法简单随机抽样随机法系统抽样求极差分层抽样决定组距组数将数据分组用样本频率分布估计总体分布列频率分布表画频率分布直方图用数本的数字特征估众数，中位数，平均数计总体的数字特征标准差变量间的相关关系正相关两个变量的线性相关负相关回归直线第三章概率随机事件的概率随机事件的概率频率意义概率性质必然事件不可能事件任何两个不同事件互斥根本领件特征古典概型任何事件都可表示为根本领件的和概率定义几何概型概率必修四第一章任意角和弧度制任意角弧度制正角负角零角任意角的三角函数三角函数三角函数的图像与性质三角函数：正弦函数，余弦函数，正切函数公式一：终边相同的角同一三角函数值相等周期性同角三角函数关系单调性正弦余弦函数的性质奇偶性正弦余弦函数的图像最大最小值正弦为奇余弦为偶正切函数的性质与图像周期奇偶性单调性三角函数的诱导公式函数y sin x的图像公式二值域公式三公式四公式五公式六振幅周期2初相相位x频率f12三角函数模型的简单应用第二章平面向量的实际背景及根本概念平面向量的线性运算平面向量平面向量的根本定理及坐标表示平面向量的数量积平面向量应用实例向量的物理背景与概念有向线段零向量，单位向量的几何表示向量平行向量相等向量与共线向向量加法三角形法那么量向量加法运算及几何意义向量加法平行四边形法那么向量减法运算及几何r ra a意义r r r向量数乘运算及几a a a何意义rrr ra b a b平面向量根本定理平面向量的正交分解极坐标表示平面向量坐标运算数量积rrrrr r r r o o 共线的坐标表示a b a b cos a0,b0,0180物理背景与定义投影rx , ya坐标表示，模，夹r角x2y2ar rx1x2y1 y2平面几何中的向量cosa br r2222方法 a b x1y1x2y2向量在物理中的应用举例cos cos cos sin sin两角差的余弦公式cos cos cos sin sin 第三章sin sin cos cos sin两角和与差的正弦sin sin cos cos sin 两角和与差的正余弦正切公式弦，余弦和正切公tantan tan 1 tan tan式tantan tan 1tan tan三sin22sin cos角二倍角的正弦余弦恒正切公式2222等cos2 cos sin2cos 1 1 2sin 变换tan 22 tan 1tan2简单的三角恒等变换必修五正弦定理a b c 第一章sin sin 2 Rsin C解三角形222正弦定理和余弦定ab c 2bccos理余弦定理b2a2c22accosc2a2b22ab cosC应用举例第二章数列项数列的概念与简单表示法有穷数列无穷数列定义等差数列数列等差数列的前n 项和等比数列等比数列前n 项和S n等差中项ba c2通项 a a n 1 dn1公差 da n a mn mn a1 a nS n2数列的应用S n na1n n1d2定义公比q n m a na m等比中项 a n2a p a q通项a n a1q n 1na1q1a11q n anqq 11qa11q必修五a b 0a b第三章不等式与不等关系a b0a ba b 0a b一元二次不等式及不其解法等式根本不等式二元一次不等式〔组〕与简单线性规划问题ax2bx c0ax2bx c0ax2bx c0a b 2 ab最大最小值问题一元一次不等式〔组〕与平面区域目标函数线性目标函数线性规划简单的线性规划问题可行解可行域最优解选修 1-1第一章命题及其关系常充分条件和必要条件用逻辑用语简单的逻辑连接词全称量词与存在量词真命题：判断为真的语句命题假命题：判断为假的语句四种命题及其关系原命题逆命题四种命题否命题逆否命题充分条件和必要条件充要条件且或非全称量词x M , p( x)存在量词x M , p( x)含有一个量词的命题的否认x M , p(x)nx i y i nx yb i1n2x i2nxi 1a y bx 选修 1-2回归分析的根本思想及初步应用样本中心第一章统计案例独立性检验的根本思想与初步应用第二章合情推理合情推理与演绎推理推理演绎推理与证明总偏差平方和回归方程y bx a分类变量随机变量 K 2越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。
高中数学教材全解课件 新课标 人教版 必修2(A)
3.分散难点
立体几何教学的两个主要任务： 培养空间观念，培养逻辑推理能力
按照“点线面——体”组织的结构体系， 逻辑严谨，但“两个任务”交织在一起， 特别是对逻辑推理能力要求高，而且“判 定定理”的证明要培养空间观念（合情推理），再推进到 逻辑推理能力的培养，适当分散难点。
证明非常漂亮、经典，渗透了许多数学思想， 重心是逻辑推理能力。
依据“标准”的要求，实验教
材对这个定理不进行演绎证明， 而让学生通过一个探究实验发现 结论，进行合情推理。
上述过程经历的步骤：
具体 观 实 发现 提 出 问题 察 验 规律 猜想
把握立体几何教学的变化：
几何教育功能的全面性，即从单 纯强调几何的逻辑推理转变为合 情推理与逻辑推理并重。
1.3 空间几何体的表面积与体积
教学目标： 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积 的计算公式（不要求记忆公式）；根据柱、 锥、台、球体的几何特征并结合它们的展 开图，推导出它们的表面积的计算公式， 并通过对各种几何体体积计算公式之间联 系的分析，帮助学生从计算的角度去认识 空间几何体，更加准确地把握空间几何体 的结构特征。
在立体几何学习中，经历合情推理——演绎 推理过程。通过对事物、模型、图片等的操 作和感知，引导学生归纳、概括几何图形的 结构特征，认识空间点、线、面的位置关系， 用数学语言表达平行、垂直的性质与判定， 并能进行证明。
不是不要证明，而是完善过程。
既要发展演绎推理能力，也要发展合情推理 能力。
直线与平面垂直的判定定理
能根据三视图描述基本几何体或实物原 型。
高中：
能识别三视图所表示的立体模型，会使 用材料（如纸板）制作模型；用斜二测 画直观图等（初中没有）。
加强实物、三视图、直观图的相互转化 你能画出它们的三视图吗？
高中数学“立体几何初步”教学研究
专题讲座高中数学“立体几何初步”教学研究袁京生北京市朝阳区教育研究中心一、“立体几何初步”教学内容的整体把握（一）“立体几何初步”内容的背景分析1.从立体几何发展的历程看立体几何课程（1）不同学段几何学习的特点一个学生从小学的数学课中就接触到了空间图形，由于知识和年龄的限制，他们对空间图形的认识方法主要是大量的观察、操作，对空间图形形成一定的感性认识.在初中，课程安排了简单几何体的概念及体积公式，三视图的基本知识，正方体的截面、展开问题，建立了长方体模型概念，已初步具有平面几何基础知识及推理论证能力，总体上看，初中学生对空间图形的认识主要是直观感知，操作确认，但平面几何的学习又呈现出思辨论证等理性的特征.总之，高中以前的学生对空间图形的认识主要是对图形的整体形象的直观感知，操作确认，这种基于直观和操作的认知的优点是简便、直观，不需要更多的知识作基础，但不足也是很明显的，即不能对空间图形及其内部的元素关系进行深入的分析，不能产生对空间图形本质的认识.当学生进入高中以后，教材对空间图形的有了专门的介绍：立体几何.从历次的立体几何教材看，无论教材怎样变化，高中立体几何的最终目标都是要从学生可接受的理论高度来认识空间图形.除了传统的综合几何外，近几年的高中《大纲》或《课程标准》还引入了空间向量，空间向量进入几何，使几何有了更多代数的味道，因此现行的高中几何不完全是欧式几何.当我们回顾大学的几何学习时，容易发现，大学的几何学习正是沿着几何代数化的方向展开，无论《空间解析几何》、《高等几何》、《微分几何》等无不是通过代数的手段对几何进行研究，通过代数的形式呈现几何结论.（2）几何研究方法的发展关于传统几何的改革，吴文俊先生说“对于几何，对于研究空间形式，你要真正的腾飞，不通过数量关系，我想不出有什么好办法．”吴文俊先生明确指出为了使几何“腾飞”，必须采取“数量化”的方法，也就是代数化几何的处理方法．因此从几何的发展、几何的研究方法和几何课程的变化整体看，随着几何关系越来越复杂，用代数方法研究几何问题成为几何研究发展的大趋势，而且研究几何使用的代数的工具也是不断提升.可以设想，如果仍然用综合几何方法方法平面圆锥曲线的性质是多么的困难.在空间向量进入中学几何之后，复杂的空间几何问题的解决变得如此的简单.那么是不是在中学就应该完全抛弃综合几何，把中学的立体几何变成纯粹的代数几何呢？回答是否定的，因为尽管代数几何可以更深刻地认识复杂几何图形的性质，但直观研究对于初级阶段没有更多知识的学生具有简单学的特点；另一面，几何直观在发现问题，寻找问题的切入点等方面在几何研究中仍起着重要的作用.正如庞加莱所说：“我们是通过逻辑去证明，但我们是通过直观去创造.”从历史的视角看，欧几里德公理体系把几何与逻辑结合起来，几何就与演绎推理结下了不解之缘，很久以来几何学就成为训练逻辑推理的素材.然而就推理来说，既有合情推理，又有演绎推理，而且从数学自身发展的过程来看，即使演绎推理也并非“几何”所独有，它广泛存在于数学的各个分支中.（3）几何教育的改革英国著名数学家M.阿蒂亚曾认为，几何是直观逻辑，代数是有序逻辑。
高三立体几何教学建议-2013-10-25米大毅
3．点、线、面位置的确定
基本思想：相互依存、相互转化 如： 线由点运动而形成，点由线相交而确定； 面由线运动而形成，线由面相交而确定
4.线面位置关系（平行、垂直）
基本策略：
一要运用合情推理与演绎推理理解并熟练掌握所 有判定与性质定理，梳理好几种位置关系的常见证 明方法，如证明线面平行，既可以构造线线平行， 也可以构造面面平行； 二要掌握解题时由已知想性质、由求证想判定， 即分析法与综合法相结合来寻找证明的思路； 三要严格要求学生注意表述规范，推理严谨，避 免使用一些正确但不能作为推理依据的结论． 此外，会分析一些非常规放置的空间几何体.
如长方体几何模型，可容纳所有棱锥， 棱柱等。特别利于解决三视图与几何体之 间的关系问题。再如墙角模型等.
4.尝试图形的分解（割）、组合（补）、展开、折 叠，感受复杂图形与基本图形的内在联系
例5对正方体的开放性研究
5.重视空间几何体三视图—--是综合考查相 关知识、考查空间想象力的有力工具 注意三视图的分析策略： 由三视图还原直观图时，可以借助长方体， 将一个三视图分别画在三个投射面内，由各图中 的点（通常找关键点， 如顶点）出发还原投射 线，从而确定原图的对应点，再得到立体图形的 直观图;反之亦然.
3．空间点、线、面的位置关系主要考 查平面的基本性质、空间两条直线的位置 关系，多以选择题、填空题为主，难度不 大．
4．空间直线与平面、平面与平面平 行、垂直的判定与性质，是高考题中解答 题的第一问，主要以考查垂直为主，属中 档题，一般出现在立体几何的解答题中， 近几年难度为中等偏难。
5．运动变化、存在性等探究性问题现在也是 高考的一个热点问题，应予以足够重视．
立体几何初步复习课
立体几何初步复习课一、内容和内容解析1．内容人教版普通高中教科书数学必修第二册第167页至第171页第八章立体几何初步小结及复习参考题8．重点是通过分析常见几何图形及典型问题，梳理立体几何初步的核心概念、定理等内容与思想方法．本章知识结构如下框图：2．内容解析本章包括两部分内容，第一部分是认识基本立体图形：包括从空间几何体的整体观察入手，通过认识柱、锥、台、球等基本立体图形的组成元素及其相互关系，认识这些图形的几何结构特征，以及它们在平面上的直观图表示和它们的表面积和体积的计算．第二部分是认识基本图形位置关系：主要是讨论组成立体图形的几何元素之间的位置关系．从组成立体图形的基本元素——点、直线、平面出发，研究平面基本性质，认识空间点、直线、平面的位置关系，重点研究直线、平面之间的平行和垂直这两种特殊的位置关系．因此本节课的教学重点是通过分析常见几何图形及典型问题，梳理立体几何初步的核心概念、定理等内容与思想方法，从而构建立体几何的核心体系．难点是分析组合体的结构特征以及运用有关定理推理证明一些几何元素间的位置关系．二、目标和目标解析1．目标（1）在回顾与思考本章的主要内容的基础上，引导学生梳理立体几何的核心概念、定理等内容与思想方法，构建立体几何的核心体系，体会研究空间图形的基本思路：直观感知、操作确认、推理论证、度量计算．（2）借助分析典型问题的通性通法，通过“图”（识图、画图、用图）提升学生直观想象素养，通过“写”（图形、文字、符号三种语言）培养学生逻辑推理能力，通过“悟”（直观感知、操作确认）发展学生数学抽象水平．2．目标解析（1）通过问题的形式回顾主要内容，并不是简单的重复，而是深入思考、归纳概括、建立知识结构，形成研究空间图形的基本方法．（2）借助正方体等常见几何体模型，设计一些综合性较强的问题让学生自主探究，建立一套解决复杂问题的处理模式．三、教学问题诊断分析学生虽然学完了立体几何初步的内容，但对几何图形的认识基本上停留在碎片化的就题论题的表层水平，对空间元素位置关系的研究不深入，需要在一两节复习课上以师生相互交流的方式更深入地认识立体几何．四、教学支持条件分析观察和展示现实生活中的实例与图片，“几何画板”的画图软件，投影仪等．五、教学过程设计问题1：我们是从哪些角度入手研究基本几何体的结构特征的？你能用基本几何体的结构特征解释身边物体的结构吗？请举例说明．我们从对空间几何体（实物、模型、图片等）的整体观察入手，认识多面体、旋转体以及一些基本几何体（棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球）的结构特征，研究这些几何体的组成元素及其相互关系．师生共同总结：（1）n棱锥：F=n+1,E=2n,V=n+1,V+F-E=2n棱柱与n棱台：F=n+2,E=3n,V=2n,V+F-E=2n棱锥的本质特征：有一个面是n边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形．n棱柱的本质特征：有两个面（均为n边形）相互平行，其余各面是每相邻两个面的公共边互相平行的四边形面．n棱台是用一个平行于n棱锥底面的平面去截棱锥，所得的底面与截面之间的部分．当n棱柱的一个底面“均匀”缩小变为面积较小的相似底面时，变成n棱台；继续“均匀”缩小成一个点时，便变成n棱锥．（2）V+F-E=2这个规律是欧拉拓扑公式：V+F-E=2,其中V,F,E分别是简单多面体的顶点个数、面数、棱的条数．例2 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，半正多面体体现了数学的对称美．图2是图1“半正多面体”的直观图．（1）请你数一数该几何体的面数F，棱数E，顶点数V，是否有例1的规律？（2）请你说说是怎样数出来的？说说该半正多面体的结构特征．师生共同总结：（1）F=26,E=48,V=24,F+V-E=2（2）①该半正多面体可看成一个组合体，从上而下看，最上层与最下层是两个全等的多面体（如图3，图5），图3多面体的下底面是正八边形，上底面是正方形，且下底面与上底面平行，侧面有四个正方形，四个正三角形；中间是正八棱柱（如图4）．②从上下、左右、前后三个方向看，该半正多面体都具有相同的结构，体现了数学的对称美，也展示了南北朝时期的审美观与几何文化．问题2：利用斜二测画法可以画出空间几何体的直观图．你能结合实例说出用斜二测画法画空间几何体的直观图的基本步骤吗？斜二测画法画空间几何体的直观图，是用平面图形表示空间图形的重要方法，我们能够根据直观图想象空间几何体的形状和结构．简单说，斜二测画法的规则是：横竖不变，纵减半，平行性不变．我们可以例1中的正八棱柱为例，具体展示用斜二测画法画空间几何体的直观图的基本步骤（如图6）．问题3：对于空间几何体，可以有不同的分类，你能选择不同的分类标准对柱、锥、台、球等空间几何体进行分类吗？如何计算柱、锥、台、球的表面积和体积？你能说出柱、锥、台、球的体积公式之间的联系吗？空间几何体按照围成它的各个面的特征（平面还是曲面）分类，可以得到多面体、旋转体．进一步地，按照组成多面体和旋转体的面、棱、顶点等组成要素的特征及其位置关系分类，又可以得到棱柱、棱锥、棱台等基本的多面体以及圆柱、圆锥、圆台、球等基本的旋转体．棱柱、棱锥和棱台的表面积就是组成它们的各个面的面积和，圆柱、圆锥、圆台的侧面与表面积可以通过侧面展开为平面图形来处理．用运动变化的观点研究棱柱、棱锥和棱台的体积公式之间的关系：分析：考虑旋转后得到怎样的几何体．解析：图7旋转后形成的几何体是底面圆半径与高均为的圆柱挖去一个圆锥后的几何体，该圆锥的顶点为圆柱下底的圆心，底面与圆柱上底面重合（如图9中的右图所示）．为什么这两个几何体的体积相等呢？课后同学们可上网查阅“祖暅原理”进行更多的了解．探究1：问以该正方体的顶点为顶点的四面体有几种（全等的算一种）？比较这些四面体的结构特征．展示同学们的作业，同时交流思路．四面体的四个顶点不可能在正方体的同一个面上，应该分布在正方体的上、下两个面上，以在下底面的顶点为标准分类考虑．归纳总结有以下四种（如图11）：探究2：是否存在四个面都是直角三角形的四面体？总结：（1）求四面体的体积一般可根据四面体的结构特征，确定高与底面，转化为求三棱锥的体积；图11（4）中的四面体是正四面体（各面都是全等的正三角形），也可通过割补法求得；定义法、转化法、割补法等是求几何体体积的重要方法．（2）经计算发现，图11（4）中的正四面体的体积最大，表面积最小，这也是现实中经常要考虑的最优化问题．探究4：怎样求图11中的四个四面体的外接球与内切球的半径？四个四面体的外接球与正方体的外接球相同，其一条直径为正方体的体对角线，半径．如图12，可以类比三角形内切圆半径的面积计算思路，可计算出四个内切球的半径．问题4：刻画平面的三个基本事实是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形、进行逻辑推理的基础．实际上，三个基本事实刻画了平面的“平”、平面的“无限延展”，你能归纳一下刻画的方法吗？平面的三个基本事实是按照从简单到复杂的顺序，刻画平面的基本性质．基本事实1是从点与平面关系的角度刻画平面的唯一存在性，基本事实2是从直线与平面关系的角度利用直线的“直”和“无限延伸”的属性刻画了平面的“平”和“无限延展”的属性，基本事实3是从平面与平面关系的角度进一步说明了平面的“平”和“无限延展”的特征：由于平面是“平的”，因而它们才可能交于一条直线，否则交线就不是“直”的，而是“曲”的了，例如圆柱的侧面和底面的交线就是一条曲线；另外，两个平面相交于一条直线，直线是“无限延伸”的，也说明平面的交点有无数个，平面是“无限延展”的．空间直线与直线，直线与平面，平面与平面之间的位置关系是从生活世界中找到模型，再根据公共点的个数、是否共面等进行逻辑分类建立起来的．例5（复习参考题8第5题）三个平面可将空间分成几部分？请分情况说明．探究1：一个平面将空间分成两个部分，两个平面有几种位置关系？它们将空间分成几部分？图13（1）中αPβ，它们将空间分成三部分；图13（2）中αIβ=a，它们将空间分成四部分．探究2：在图13中再增加一个平面，这三个平面可能产生哪些位置关系？每种位置关系可将空间分成几部分？可能出现五种不同的位置关系如图14，三个不同的平面α，β，γ，直线a,b,c,l．将12条分成三个共面组，侧棱组4条，上底面棱组4条，下底面棱组4条，若“异面直线组”含四条或以上的棱，则至少有两条棱在同一组，这样两条棱便共面，这与“异面直线组”的定义矛盾，故“异面直线组”最多有三条棱．问题5：在直线、平面的位置关系中，“平行”和“垂直”是最重要的．（1）在研究这些位置关系的判定时，我们采用了哪些思想方法？以直线与平面垂直为例，总结一下研究判定的内容、过程和方法．（2）研究这些位置关系的性质，实际上就是要研究什么问题？以两个平面相互垂直为例，总结一下研究性质的内容、过程和方法．研究“什么是空间直线、平面的垂直？”以及“空间直线、平面垂直时其要素（直线、平面）有什么确定不变关系”；确立研究空间直线、平面垂直的内容（判定与性质）与路径：“化繁为简”“以简驭繁”“空间问题平面化”是空间元素位置关系的一般思路．我们利用直线与直线的垂直研究直线与平面的垂直，利用直线与直线垂直、直线与平面垂直研究平面与平面垂直．反过来，由直线与平面垂直又可以得到直线与直线垂直，由平面与平面垂直又可以得到直线与直线、直线与平面垂直．小结：正方体（或长方体）是重要的几何体模型，我们要深入研究正方体模型，对它进行变形，构建出新的模型，探求各种空间位置关系或几何模型与正方体之间的联系，彰显正方体的“母体”地位．课后作业：5．教材第170页复习参考题8第10题．6．教材第170页复习参考题8第11题．7．教材第171页复习参考题8第13题．8．教材第171页复习参考题8第14题．六、目标检测设计（时间：90分，满分：100分）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列说法错误的是（）．（A）一个八棱柱有10个面（B）任意n面体都可以分割成n个棱锥（C）棱台侧棱的延长线必相交于一点（D）矩形旋转一周一定形成一个圆柱2．给出下列4个命题：①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一平面的两条直线平行；③平行于同一直线的两个平面平行；④平行于同一平面的两个平面平行．其中正确的命题是（）．（A）①②（B）③④（C）①④（D）②③3．给出下列4个命题：①垂直于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一平面的两条直线平行；③垂直于同一直线的两个平面平行；④垂直于同一平面的两个平面平行．其中正确的命题是（）．（A）①②（B）③④（C）①④（D）②③4．三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为，则这个三棱锥的体积是（）．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在对应题号的位置上．9．正方体相邻两个面的两条对角线所成角的大小是________．10．长方体的所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别为3，2，1，那么这个球面的面积是________．11．正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，则它的体积为________．13．已知矩形ABCD，AB＝2，AD＝1，沿BD将△ABD折起成△．若点A′在平面BCD上的射影落在△BCD的内部，则四面体的体积的取值范围是________．14．空间的4个平面，最多能将空间分成________个区域．三、解答题：本大题共4小题，共38分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分8分）画图，并证明：若m//α，n⊥α，则m⊥n．16．（本题满分10分）17．（本题满分10分）如图，正四棱锥P-ABCD中，已知侧棱和底面边长都等于2，E是AB的中点．（1）求证：AB∥平面PCD．（2）求异面直线PE与BC所成角的余弦值．。
科大机械CADCAM习题集
科⼤机械CADCAM习题集机械CAD/CAM技术习题集青岛科技⼤学CAD中⼼复习⼤纲第⼀章概述1.掌握CAD、CAE、CAM、CAPP及CAD/CAM系统集成的含义2.了解硬件组成及分类，掌握联机系统的联⽹⽅式3.了解CAD/CAM硬件及软件的组成4.了解CAD/CAM系统的功能和任务5.熟练掌握CAD/CAM集成的⽅法6.了解CAD/CAM的发展趋势7.列举CAD／CAM系统的软件类型8.试述系统软件的作⽤。
CAD／CAM系统所⽤的系统软件有哪⼏种？9.说明CAD应⽤软件的类型及应⽤场合。
10.CAD／CAM的发展经历了哪些阶段?11.CAD／CAM系统的基本功能。
12.采⽤CAD／CAM技术的优点13.CAD／CAM⽀撑软件应包含哪些功能模块?第⼆章数据结构1. 掌握数据、数据元素、数据项和数据结构的定义2. 掌握数据结构包括的内容：逻辑结构、物理结构和运算3. 了解数据逻辑结构的分类4. 掌握线性表结构的定义5. 熟练掌握线性表结构的顺序存储⽅式和链式存储⽅式各⾃的优缺点6. 了解链式存储结构的种类，熟练掌握双向链表的数据操作原理7. 了解栈和队列的定义，掌握栈和队列的特点8. 掌握树及其相关概念，熟练掌握树和⼆叉树的相互转换及⼆叉树的遍历第三章计算机辅助图形处理1. 掌握齐次坐标的特点及在此基础上构造的变换矩阵的含义2. 掌握⼆维基本变换，熟练掌握⼆维复合变换3. 掌握三维基本变换，熟练掌握三维复合变换4. 掌握窗视变换的概念和原理5. 熟练掌握编码裁剪法的原理和步骤6. 掌握凸体隐藏⾯的法向⽮量法7. 掌握包含性测试的基本原理8. 了解图形的⽣成⽅法9．计算机绘图中如何产⽣三视图?第四章⼏何建模和特征建模1. 掌握建模的概念及过程2. 掌握⼏何建模的概念3. 掌握曲⾯⽣成的⽅法4. 掌握边界表⽰法的原理、特点及其和曲⾯建模的区别5. 熟练掌握构造⽴体⼏何法的基本原理会会绘制构造树6.了解混合模型的基本原理7.熟练掌握空间单元表⽰法的⼯作原理8.了解建模发展的趋势9.熟练掌握线框建模、曲⾯建模、实体建模的优缺点及优缺点的⽐较10.掌握特征的概念与分类11.掌握形状特征的分类12.掌握特征类之间的关系13．三维⼏何建模系统有哪⼏种建模⽅式?各⾃的特点是什么？14．试述实体建模中计算机内部表⽰⽅法，其数据结构的特点。
三投影面体系与三视图
右视图主要反映物体的侧面形状和特征，特别是与前视图垂直的轮 廓线。
右视图的用途
在工程设计和制造中，右视图用于表示物体的侧面形状和特征，特别 是在表示与前视图垂直的轮廓线时，为设计和制造提供辅助数据。
后视图
后视图
是从物体的后侧看过去，在投影 面上得到的视图。在三视图体系 中，后视图用于表示物体的背面 形状和特征。
前视图是最主要的视图，能够反 映物体的主要形状和特征。
前视图的特点
前视图是观察者正对着物体看过去 得到的视图，因此物体的正面形状 和特征能够得到最直接的反映。
前视图的用途
在工程设计和制造中，前视图是最 常用的视图，用于表示物体的主要 形状和特征，为设计和制造提供基 础数据。
右视图
右视图
是从物体的右侧看过去，在投影面上得到的视图。在三视图体系中， 右视图用于表示物体的侧面形状和特征。
在机械制图中，俯视图通常用于表示物体的位置 和高度信息。
左视图
左视图是垂直于正投 影面的另一个视图， 显示物体的宽度和高 度。
在机械制图中，左视 图通常用于表示物体 的宽度和侧面结构信 息。
左视图可以显示物体 的侧面形状和结构， 但无法显示长度。
03
水平投影面上的视图
前视图
前视图
是正对着物体看过去，在投影面 上得到的视图。在三视图体系中，
05
三视图的投影规律
长对正
总结词
长对正是指三视图中的长度方向对应关系。
详细描述
在三投影面体系中，主视图、俯视图和左视图之间的长度方向应保持对应关系。当主视图中的长度方向与投影面 平行时，俯视图和左视图中的长度方向也应与投影面平行，且长度相等。
高平齐
总结词
高中数学中的深度广度【精选】
如何把握好高中数学新课程的深度和广度数学班李寿成[摘要]由于课程改革的力度大，教师对《普通高中数学课程标准》（以下简称《标准》）的学习、研究和消化的困难也比较大，造成教师对《标准》中一些内容的定位和教学的“广度”和“深度”的认识和把握不够准确，有不少教师提出《标准》对教学内容的要求还不够明确，表述比较模糊《标准》一句话，教材几页纸，教学几课时，教学时如何把握教学深度，教师心里确实没底，还有一此教师存在恋旧心理，潜意识中留恋《大纲》和老教材，排斥《标准》和新教材，按照惯性思维处理新教材。
[关键词]把握新课程的深度和广度《标准》中明确规定，每个模块36课时，4课时/ 周．一个模块9周讲完，1周复习考试，完成一个模块需要10周的时间．每个学期要完成两个模块的学习．按照现在课时的安排，这是一个不可能完成的任务．教师都是第一次接触，对全部教学内容都没有整体上的了解，对未来高考怎么考更知之甚少。
在这种情况下，如何把握新课标高中数学课程的教学深度成为了所有教师的担忧。
那么我们怎样看待这个问题？当然每个地区、每个学校学生的实际情况不同，深度与广度也不同，大部分学校每周加大课时量，增加深度与广度，并且存在选修课必选的现象。
下面我就结合《标准》和新教材谈谈自己的一些看法：《标准》规定的内容确实增多了，教材也变厚了，但《标准》的要求与原大纲要求有了很大的区别。
《标准》教材与大纲教材比较内容非常丰富了许多，在正文中设置了“观察”“思考”“探究”栏目，发挥问题的作用．“看过问题三百个，不会解题也会问”，在学生主动发现问题、提出问题的能力比较薄弱的情况下，先帮助学生提出问题，引导学生思维，适当展开学习过程．使学生的学习更主动、更生动、更富探索性；再次，教材中的选材素材“观察与猜想”“阅读与思考”“探究与发现”等拓展性栏目．基于此，《标准》教材厚了一些．但是《标准》的结构体系、内容安排等作了较大的调整，特别是关于教学要求变化很大，因此教师对整套教材的结构体系以及内容安排应该有个整体的把握，教学时要认真钻研教材，深刻领会教材的编排意图和新大纲的要求，如：一、关于函数部分（1）对函数概念的认识函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终．函数是两个数集之间的一种对应关系，对这种对应关系的认识和理解需要一个过程．从课程内容本身来看，函数的内容是分阶段安排的：《数学1》安排函数的基本概念、基本初等函数I：指数函数、对数函数；《数学4》安排基本初等函数Ⅱ：三角函数；《选修二1-1》（《选修2-2》）安排导数及其应用．从函数与其他一些数学内容联系来看，《数学5》中“数列”是一种特殊的函数，“一元二次不等式”与二次函数的联系；《数学3》“统计”中两个变量线性相关与一次函数的联系；《数学2》解析几何初步以及《选修1-1》（《选修2-1》）中“圆锥曲线与方程”与函数的联系．学习这些知识内容，可以加深对函数概念的认识，体会不同知识内容的联系性，从不同角度看待同一数学内容，感受数学的整体性．（2）关于函数的单调性单调性虽然是函数的重要性质，但对它的认识、研究是个漫长的过程．在《数学1》中介绍函数单调性的定义，并通过定义，判断简单函数的单调性，然后讨论了指数函数、对数函数以及幂函数的单调性；《数学4》在介绍正弦函数、余弦函数、正切函数时，进一步研究了函数的单调性；在《选修1-1》（或《选修2-2》）中，用导数作为工具，研究了一般函数的单调性，主要是三次多项式函数的单调性．如果在《数学1》中就让学生用函数单调性的定义，讨论三次多项式函数和一些复杂的函数的单调性．那么，我们可以肯定地说，教师对教材整体的把握方面存在很大的问题．（3）关于复合函数在《数学1》中没有明确提出“复合函数”的概念，明确提出“复合函数”的概念是在《选修2-2》“第一章导数及其应用”中．（4）关于反函数对反函数的处理，《标准》“只要求以具体函数为例进行解释和直观理解，不要求一般地讨论形式化的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数”，“知道指数函数y = ax与对数函数y = logax互为反函数（a＞0，a≠0）”．至于“互为反函数的两个函数的图象关于直线y = x对称”更不作为要求．因此关于反函数的问题，《标准》和教材的要求非常明确，不要拓展内容，不要提高要求，应适可而止．（5）关于幂函数幂函数在高中数大纲教材中反反复复地出现，但大纲教材没有提出“幂函数”的概念，这次高中新课程中又一次提出幂函数的概念．其实教师和学生对幂函数并不陌生，正比例函数y = x，反比例函数y = x－1，最简单的二次函数y = x2都是幂函数．现在只不过是给出了幂函数的形式化定义，且只讨论指数是1，1／2,2，3，-1的幂函数，结合它们的图象，了解它们的变化情况．在《数学1》中，对幂函数的要求很低，主要是结合它们的图象，了解它们的变化情况，并与指数函数、对数函数进行比较，比较它们的增长差异．（6）关于函数模型及其应用首先要对“数学模型”有个正确的认识．《标准》中多次提到“数学模型”一词，目的是进一步加强数学与现实世界的联系．数学模型是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的描述．数学模型的形式是多样的，它们可以是几何图形，也可以是方程式、函数解析式等等．实际问题越复杂，相应的数学模型也越复杂．当数学模型的形式是函数时，这时，我们称之为函数模型．函数模型的表现形式也是多样的：解析式、图象、表格等．本次高中数学课程改革把“发展学生的数学应用意识”作为课程的基本理念之一，提出“高中数学课程应提供基本内容的实际背景，反映数学的应用价值”．《标准》中，函数模型的建立及其应用贯穿于整个高中数学课程教材的始终，分层次、分步骤，螺旋安排，逐步深入．在《数学1》、《数学4》的“三角函数”、《数学5》的“数列”以及《选修1-1》（《选修2-2》）的“导数及其应用”中都有函数模型及其应用的内容．它们收集许多社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用等等．（7）关于函数的定义域、值域函数的定义域和值域是函数的组成部分．尽管《标准》要求“会求一些简单函数的定义域和值域”，同时“避免在求函数定义域、值域时出现过于繁琐的技巧训练，避免人为地编造一些求定义域和值域的偏题”．因此在教学中，教师不要拔高这方面的要求，出现很多把对数、根号、分母、绝对值、一元二次不等式等“整合”在一起的“堆砌题”，使学生“沉浸”在繁琐的技巧训练中，在一定程度上冲淡了对函数本质及有关性质的理解．值域的问题亦如此，很多借助求函数的反函数定义域的方法求函数的值域更是《标准》和教材中没有提到的．增加这些内容，势必拓展这方面的要求．关于这方面的要求，要切实把握好．实际上，建立函数模型描述实际问题、解决实际问题时，其定义域和值域是显而易见的。
1998年高一立体几何教科书
1998年高一立体几何教科书1998年，是中国高中教育发展的重要时期，也是我国高一学生学习立体几何的关键阶段。
在这一年，高一立体几何教科书的出版对学生的学习成绩以及对这门学科的理解起到了重要的推动作用。
本文将重点介绍关于1998年高一立体几何教科书的特点和学习内容。
首先，1998年高一立体几何教科书的特点之一是注重知识结构的系统性和综合性。
这本教科书在编写过程中，力求将立体几何的基础知识和相关概念、定理有机地结合起来，构建起一个完整、清晰的知识体系。
学生通过阅读这本教科书，可以逐步掌握立体几何的基本概念和定理，进而能够运用这些知识解决实际问题。
其次，1998年高一立体几何教科书在教学内容上也有所突破。
与传统的课本相比，这本教科书注重培养学生的综合思维能力和解决问题的能力。
除了基本的平面图形的性质和体积的计算等知识内容外，这本教科书还引入了一些常见的实际问题，要求学生通过运用立体几何的知识和技巧进行分析和求解。
这种教学内容的设计，不仅能够提高学生的综合运用能力，还能更好地培养学生的创新思维。
再次，1998年高一立体几何教科书还注重培养学生的实践操作能力。
这本教科书中，通过引入一些实际的建模问题和实物测量题，让学生得以近距离地接触立体几何的实际应用，锻炼他们的实践操作能力。
这种教学方法的应用，让学生能够将理论知识与实际问题相结合，更加深入地理解立体几何的内涵和应用。
最后，1998年高一立体几何教科书还为学生提供了大量的练习题和例题。
这些习题涵盖了不同难度级别的问题，能够满足不同水平学生的需求。
每道题目都配有详细的解题思路和解答过程，方便学生进行自学和自我检测。
通过反复训练，学生能够巩固所学知识，提高解题能力。
总体而言，1998年高一立体几何教科书的出版对中国高中学生的学习立体几何有着重要的影响。
它在知识体系的构建、教学内容的设计、实践操作能力的培养和学习资源的提供等方面取得了一定的突破。
这本教科书的出版为学生提供了更好的学习材料，有助于提高学生的学习效果和学科素养。
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立体几何的结构体系
立体几何是高中数学的一个重要内容，从平面几何到立体几何是一道难度较高的台阶，学生们往往对立体几何的学习倍感畏惧。
究其原因，不外乎沿袭平面几何的思维，缺乏空间想象力，造成思维受阻。
与传统的立体几何的结构体系相比，新课程中的立体几何的体系结构有重大改革。
传统的立体几何内容，常从研究构成空间几何体的基本要素：点、直线和平面开始，讲述平面及其基本性质，点、直线、平面之间位置关系和有关公理、定理，再研究由它们组成的几何体，包括棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、台、球的结构特征、体积、表面积等等，基本上按照从局部到整体的原则。
现在，先从对空间几何体的整体感受入手，再研究组成空间几何体的点、直线和平面。
因此，培养学生空间想象力，突破空间思维上的障碍，是学好立体几何的关键。
通过研究和总结，在教学中我们具体是这么做的。
解析几何的应用题
（1）某房地产公司要在荒地ABCDE（如图）上列出一块长方形地面修建一幢公寓楼。
问如何设计才能使公寓的占地面积最大，并求出其最大面积。
分析：显然建房的矩形地面的两边必须在DC、DE上，关键在于如何寻找矩形的第四个顶点才能使建房面积最大，而第四个顶点G一定在AB边上。
解：以BC、AE边所在直线分别为x、y轴建立如图所示的直角坐标系，则直线AB的方程为x/30＋y/20＝1设建房的矩形的第四个顶点为G（3x,20-2x），矩形地面的面积为S平方米，依条件有：
S=(100-3x)[80-(20-2x)]＝（100-3x）（60+2x）＝
≤＝当且仅当200-6x=180+6x即3x=5时等式成立，故S max＝
平方米。
从而在线段AB上取点G（5,50/3），过点G分别作BC与AB的平行线交DC与DE于H、F，则此矩形地面的面积最大，其最大面积为平方米。