初中数学竞赛精品标准教程及练习67：参数法证平几

例 5.已知：如图△ABC 中，AD 是高，AB＋DC＝AC＋BD.
求证：AB＝AC.
证明：设 AB＝c，AC＝b, BD=m, DC=n.
根据勾股定理
D
N
j M
C
B
b2 n2 c 2 m2；
得
c
n
b
m.
A
(b n)(b n) (c m)(c m)； c m b n. b n c m； b c n m.
∴ BE CF AD＝. DB EC FA
Sin Sin
Sin
×
Sin
×
Sin Sin(180
)
＝1
.
即 AD BE CF ＝1.
DB EC FA
C
Eபைடு நூலகம்B
H
三、练习 67 1. 已知：如图三条弦 AB，CD，EF 两两相交于 G，H，I. IA＝GD＝HE，IC＝GF＝HB. 求证：△GHI 是等边三角形.
m
n
x
a 2
y
a 2
.
a
x
y
∴ 1 1 a 1 a ， a ( 1 1 ) 3 ，
2 2x 2y
2x y 2
∴1 1 3. xya
∴ 1 ＋1＝3 . BG CF BC
例 4.已知：如图四边形 ABCD 中，过点 B 的直线交 AC 于 M，交 CD 于 N，且 AM ＝ CN AC CD
S△AOD ＝ d
xu
b
，同理
xv
S△BOC b yv
c yu
8.设 EF=x, FH=y, DA=DE=a, CB=CE=b, 可证 EF∥BC
x a ， y b
b ab
a ba
9. 设 PA＝PC＝PD＝x， QB＝QE＝QF＝y, AB=a，CD＝EF
由切割线定理可知 x=y,
PQ2=(2x+a)2=4x2+4xa+a2=4x(x+a)+a2
两边的乘积的比.
8. 已知：AB 是⊙O 的直径，E 是半圆上的一点，过点 E 作⊙O 的切线和过 A，B 的⊙O
的两条切线分别相交于 D，C，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于 F，EF 的延长线
交 AB 于 H.
求证：EF=FH.
9. 已知：如图⊙M 和 ⊙N 相交于 A，B，公共弦 AB 的延长线交两条外公切线于 P，Q.
于 D，E.
求证：DE 平分 PC.
5. 已知：△ABC 的两条高 AD 和 BE 相交于 P，且 AD＝BC，F 是 BC 的中点.
1
求证：PD＋PF＝ BC
2
6. 已知：平行四边形 ABCD 中，∠A＜∠B，AC2×BD2＝AB4＋AD4.
1
求证：∠A＝ ∠B.
3
7. 求证：四边形内切圆的圆心，它到一组对角的顶点的距离的平方的比，等于该组角的
S△ABC∶S△ABD∶S△BCD＝1∶3∶4. 求证：M，N 平分 AC 和 CD.
证明：设 S△ABC＝1， 则 S△ABD＝3， S△BCD＝4， S△ACD＝3＋4－1＝6.
设 AM ＝ CN ＝k (0<k<1).连结 AN.
AC CD
D
根据高相等的三角形面积的比等于底的比，得
S△ACN S△ACD
2c c2 2ab c
∴x=
=
4
Ax
D
B
C
c 2 2ab
cba
, 又根据切线长定理得 x＝
，
2
2
c c2 2ab c b a
∴
＝
.
2
2
1
c2－2ab=a2－2ab+b2. ∴ c2=a2+b2 .
∴ ∠C＝Rt∠.
例 3.已知：等边三角形 ABC 中，P 是中位线 DE 上一点，BP，CP 的延长线分别交 AC 于 F，
OD=OE－r= R 2 - 2Rr －r， AD=OA＋OD＝R+ R 2 - 2Rr －r
根据射影定理 AC2=AD×AB=(R+ R 2 - 2Rr －r)×2R
=2R2+2R R 2 - 2Rr －2Rr
=R2+2R R 2 - 2Rr +(R2－2Rr)
=(R+ R 2 - 2Rr )2
求证：PA=QB； PQ2=AB2+CD2.
D P C
10. 已知：正方形 ABCD 内一点 P，满足等式
A
PA∶PB∶PC＝1∶2∶3.
M
N
求证：∠APB＝135 .
B
E Q F
11. 一个直角三角形斜边为 c,内切圆半径是 r,求内切圆面积与直角三角形面积的比. （提示：引入参数 a 和 b 表示两直角边）
∴AC= R+ R 2 - 2Rr .
∴AC=AE
例 2. 已知：△ABC 的内切圆 I 和边 AB，BC，CA 分别切于 D，E，F，
AC×BC＝2AD×DB.
C
求证：∠C＝Rt∠. 证明：设 AD＝x, 则 DB＝c－x.
bF I
E a
代入 AC×BC＝2AD×DB.
得 ab=2x(c－x). 2x2－2cx+ab=0.
4
练习 67 参考答案：
1. 设 IA＝a, IC＝b, IH＝x, HQ＝y 用相交弦定理列方程组.
PE PF
2. 引入参数α，设∠DBC＝α，PA2＝PB×PD＝
…
Sin Cos
3. 设∠ABH＝∠ACH＝α，用 AH∶Sinα表示两圆的半径.
4. 设 DF＝m, FE=n, PF=x, FC=y, ⊙P 的半径为 r,由相交弦定理，得
CD⊥AB 于 D，⊙N 与⊙O 内切且与 AB、CD 分
FN
别切于 E，F. 求证：AC=AE.
A
OD E B
分析：选取两圆半径为参数，通过半径联系 AC，AE 的关系.
证明：设⊙O，⊙N 半径分别为 R 和 r，连接 ON，NE.
根据勾股定理：
OE= (R - r)2 r 2 = R 2 - 2Rr ， AE=OA＋OE＝R+ R 2 - 2Rr ；
初中数学竞赛精品标准教程及练习(67)
参数法证平几
一、内容提要
1.联系数量间关系的变数叫做参变数，简称参数.
2.有一类平面几何的证明，可以根据图形性质引入参数，布列方程，通过计算来完成，我
们称它为参数法.其关键是正确选定参数和准确的进行计算.
二、例题
C
例 1 如图已知：AB 是⊙O 的直径，C 是半圆上的一点，
c
b
B
mD n
C
n m c b； n m b c. ∴c－b=b－c， b=c.
即 AB＝AC.
例 6. 如图已知：一条直线截△ABC 三边 AB，BC，AC 或延长线于 D，E，F.
求证： AD BE CF ＝1 （曼奈拉斯定理） DB EC FA
证明：设∠BDE＝α，∠DEB＝β，∠F＝γ.
=4PA×PB+AB2=4PC2+AB2=4（CD ）2 +AB2=AB2+CD2 2
r
11.
cr
5
交 AB 于 G.
求证： 1 ＋ 1 ＝ 3 . BG CF BC
证明：设△ABC 边长为 a, PD＝m, PE=n, BG=x, CF=y.
1
∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE∥BC，DE＝ BC.
2
m a
x
x
a 2
(1)
∴ n a
ya 2
y
(2)
A
F G
Dm
nE
P
B
C
（1）＋（2）：
∵S△ACN－S△AMN＝S△MNC＝S△BCN－S△BMC ∴6k－6k2=4k－(1－k) .
6k2－k－1=0.
1
1
1
∴k= ；或 k= . (k= .不合题意，舍去.)
A
2
3
3
∴ AM ＝ CN ＝k= 1 . AC CD 2
∴AM＝MC，CN＝ND .
即 M，N 平分 AC 和 CD.
＝CN ＝k CD
， ∴S△ACN＝6k；
A
S△AMN ＝ AM ＝k , S△ACN AC
∴S△AMN＝6k×k＝6k2；
N
j M
C
B
2
S△BCN ＝ CN ＝k , S△BCD CD
∴S△BCN＝4k；
S△ABM ＝ AM ＝k , S△ABC AC
∴S△ABM＝k； S△BMC＝1－k.
I A
G D
F
2. 已知：在矩形 ABCD 中，AP⊥BD 于 P，PE⊥BC 于 E，PF⊥CD 于 F.
求证：PA3＝PE×PF×BD
3. 已知：△ABC 的两条高 AD，BE 相交于 H，
求证：过 A，B，H 三点的圆与过 A，C，H 三点的圆是等圆.
4. 已知：AB 是⊙O 的直径，P 是半圆上的一点，PC⊥AB 于 C，以 PC 为半径的⊙P 交⊙O
mn=x(y+r)=y(x+r)
p 2 q 2 2(a 2 b2 ) 6.设 AB＝a, AD=b, AC=p , D=q (q<p), 则 p 2q 2 a 4 b4
a2 b2 q2
2
CosA=
……= ，∠A＝45 度.
2ab
2
7.设 AB=a, BC=b. CD=c, DA=d, OA=x, OC=y， OD=u, OB=v,
根据正弦定理：
A
BE 在△BDE 中， Sin