奥鹏福师201803《高等代数选讲》试卷A参考答案

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《高等代数选讲》期末考试

一、 单项选择题（每小题4分，共20分）

1 2 3 4 5 D

A

A

C

D

1．设,A B 是n 阶方阵，k 是一正整数，则必有（ ）

() ()k k k A AB A B =； ()B A A -=-；

22()

()()C A B A B A B -=-+； ()D AB B A =。

2．设A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，则（ ）。

()A 若m n >，则0AB =； ()B 若m n <，则0AB =； ()

C 若m n >，则0AB ≠； ()

D 若m n <，则0AB ≠；

3．n

中下列子集是

n

的子空间的为（ ）．

()

{}

3

111[,0,

,0,],n n A W a a a a =∈

()3

2121[,,

,],1,2,

,,1n

n i i i B W a a a a i n a =⎧

⎫

=∈

==⎨⎬⎩⎭∑；

()3

3121[,,

,],1,2,

,,1n n i i i C W a a a a i n a =⎧

⎫

=∈==⎨⎬⎩⎭∏；，

()

{}3

42[1,,

,],2,3,

,n i D W a a a i n =∈

=

4．3元非齐次线性方程组Ax b =，秩()2r A =，有3个解向量

123,,ααα， 23(1,0,0)T αα-=，12(2,4,6)T a α+=，则Ax b

=的一般解形式为（ ）.

（A ）1(2,4,6)(1,0,0)T T k +，1k 为任意常数 （B ） 1(1,2,3)(1,0,0)T

T

k +，1k 为任意常数 （C ）1(1,0,0)(2,4,6)T T k + ，1k 为任意常数 （D ） 1(1,0,0)(1,2,3)T T k +，1k 为任意常数

5．已知矩阵A 的特征值为1,1,2-，则1A -的特征值为（ ）

()A 1,1,2-； ()B 2,2,4-； ()C 1,1,0-； ()D 11,1,

2

-。

二、 填空题（共20分）

1．（6分）计算行列式2

2

2

1

11

2

34234= 2 ；32001200

02321

2

4

4

= 16 。 2．（4分）设4

44113

2145

3

33222354245613

D =，则212223A A A ++= 0 ；2425A A += 0 。

3．（3分）计算

100123100010456001001789010⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 。

4．（4分）若2

4

2

(1)|1x ax bx -++，则a = 1 ；b = -2 。

5．（3分）当λ满足 λ≠1,-2 时，方程组

000x y z x y z x y z λλλ++=⎧⎪

++=⎨⎪++=⎩

有唯一解。 三．（10分）计算n 阶行列式：320001320001300000320

1

3

n D =

四．（10分）已知矩阵X 满足111221022402110066X -⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

，求X

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所以，

五．（10分）利用综合除法将4()f x x =表示成1x -的方幂和的形式。

解：使用综合除法，如下所示：

六．（15分）试就,p t 讨论线性方程组123123

1

234232724

px x x x tx x x tx x

++=⎧⎪

++=⎨⎪++=⎩解的情况，并在有无穷多解时求其通解。

解：

七．（15分）设矩阵122212221A ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

， 1． 求矩阵A 的所有特征值与特征向量；

2． 求正交矩阵P ，使得1P AP -为对角矩阵。

解：1、

（5-λ）（1-λ），

，得A 的特征值为5，-1，

-1

因此将 中得基础解系为

，其对应的全部特征

向量为k 1a 1,其中k 1为任意非零常数。 将代入

中得基础

解系为

，

其

对应的全部特征向量为k 2a 2+k 3a 3,其中k 2，k 3

为不为零的常数。

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