2017-2018年四川省泸州市江阳区老窖天府中学九年级(上)期中数学试卷和答案

2017-2018学年四川省泸州市江阳区老窖天府中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）如果a与﹣3互为倒数，那么a是（）A．﹣3 B．C．3 D．2．（3分）我国南海海域面积为3500000km2，用科学记数法表示正确的是（）A．3.5×105km2 B．3.5×106km2 C．3.5×107km2 D．3.5×108km23．（3分）计算（2x3）2的结果是（）A．4x6B．2x6C．4x5D．2x54．（3分）如图所示，在△ABC中，DE∥BC，若AD=1，DB=2，则的值为（）A．B．C．D．5．（3分）如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC的长为（）A．19 B．16 C．18 D．206．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥1 B．k＞1 C．k＜1 D．k≤17．（3分）若实数x，y满足|x﹣4|+=0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为（）A．20 B．16 C．20或16 D．128．（3分）以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距（圆心到边的距离）为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于（）A．B．C．D．10．（3分）如果关于x的一元二次方程x2+2x+6﹣b=0有两个相等的实数根x1=x2=k，则直线y=kx+b必定经过的象限是（）A．一、二、三B．一、二、四C．二、三、四D．一、三、四11．（3分）如图，反比例函数的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（）A．3 B．4 C．5 D．612．（3分）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）A． B．C．D．二、填空题（每小题3分，共12分）13．（3分）分解因式：3a2+6a+3=．14．（3分）设x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值为．15．（3分）若直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是．16．（3分）在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是．三、解答题（共72分）17．（6分）计算：．18．（6分）化简：（a+1﹣）•．19．（6分）如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）AB∥DE．20．（7分）在一次为地震灾区的捐款活动中，某校随机调查了50名学生的捐款情况，统计如表：（1）这50名学生捐款金额的众数和中位数分别为多少元？（2）如果把这50名学生的捐款情况绘制成扇形统计图，则捐款金额为15元的人数所对应的扇形圆心角为多少度？（3）若该校共有1200名学生，估计该校的捐款总数大约是多少元？21．（7分）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=5，PB=12，PC=13，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，求点P与点P′之间的距离及∠APB的度数．22．（8分）某宾馆准备购进一批换气扇，从电器商场了解到：一台A型换气扇和三台B型换气扇共需275元；三台A型换气扇和二台B型换气扇共需300元．（1）求一台A型换气扇和一台B型换气扇的售价各是多少元；（2）若该宾馆准备同时购进这两种型号的换气扇共40台并且A型换气扇的数量不多于B型换气扇数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．23．（8分）如图，直线y=kx+2k（k≠0）与x轴交于点B，与双曲线交于点A、C，其中点A在第一象限，点C在第三象限．（1）求B点的坐标；=2，求A点的坐标；（2）若S△AOB（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标．24．（12分）如图△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：点D是AB的中点；（2）求证：DE与⊙O相切；（3）若BC=18，AB=12，求DE的长．25．（12分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B点左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线x=，OA=2，OD平分∠BOC交抛物线于点D（点D在第一象限）；（1）求抛物线的解析式和点D的坐标；（2）点M是抛物线上的动点，在x轴上存在一点N，使得A、D、M、N四个点为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的坐标；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BPD的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2017-2018学年四川省泸州市江阳区老窖天府中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）如果a与﹣3互为倒数，那么a是（）A．﹣3 B．C．3 D．【解答】解：∵﹣3×（﹣）=1，∴a是﹣．故选：B．2．（3分）我国南海海域面积为3500000km2，用科学记数法表示正确的是（）A．3.5×105km2 B．3.5×106km2 C．3.5×107km2 D．3.5×108km2【解答】解：将3500000用科学记数法表示为：3.5×106．故选：B．3．（3分）计算（2x3）2的结果是（）A．4x6B．2x6C．4x5D．2x5【解答】解：（2x3）2=4x6．故选：A．4．（3分）如图所示，在△ABC中，DE∥BC，若AD=1，DB=2，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴===．故选：C．5．（3分）如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC的长为（）A．19 B．16 C．18 D．20【解答】解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E；∵∠A=∠B=60°，∴∠ADB=60°；∴△ADB为等边三角形；∴BD=AD=AB=12；∴OD=4，又∵∠ADB=60°，∴DE=OD=2；∴BE=10；∴BC=2BE=20；故选：D．6．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥1 B．k＞1 C．k＜1 D．k≤1【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1=0有实数根，∴△=b2﹣4ac=4（k﹣1）2﹣4（k2﹣1）=﹣8k+8≥0，解得：k≤1．故选：D．7．（3分）若实数x，y满足|x﹣4|+=0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为（）A．20 B．16 C．20或16 D．12【解答】解：根据题意得，x﹣4=0，y﹣8=0，解得x=4，y=8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4=8，∴不能组成三角形；②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长=8+8+4=20．综上所述，等腰三角形的周长是20．故选：A．8．（3分）以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距（圆心到边的距离）为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．B．C．D．【解答】解：如图1，∵OC=1，∴OD=1×sin30°=；如图2，∵OB=1，∴OE=1×sin45°=；如图3，∵OA=1，∴OD=1×cos30°=，则该三角形的三边分别为：，，，∵（）2+（）2=（）2，∴该三角形是直角三角形，∴该三角形的面积是××=，故选：D．9．（3分）如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴设AD=BC=a，则AB=CD=2a，∴AC=a，∵BF⊥AC，∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，∴BC2=CE•CA，AB2=AE•AC∴a2=CE•a，2a2=AE•a，∴CE=，AE=，∴=，∵△CEF∽△AEB，∴=（）2=，故选：A．10．（3分）如果关于x的一元二次方程x2+2x+6﹣b=0有两个相等的实数根x1=x2=k，则直线y=kx+b必定经过的象限是（）A．一、二、三B．一、二、四C．二、三、四D．一、三、四【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+6﹣b=0有两个相等的实数根x1=x2=k，∴△=22﹣4×（6﹣b）=0，2k=﹣2，∴k=﹣1，b=5，∴直线y=kx+b经过第一、二、四象限．故选：B．11．（3分）如图，反比例函数的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：由题意得：E、M、D位于反比例函数的图象上，则S=|k|，S△OAD=|k|．△OCE=|k|，过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S矩形ONMG又∵M为矩形ABCO对角线的交点，∴S=4S矩形ONMG=4|k|，矩形ABCO由于函数图象在第一象限，k＞0，则k+k+9=4k，解得：k=3．故选：A．12．（3分）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）A． B．C．D．【解答】解：由题意可得BQ=x．①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x，则△BPQ的面积=BP•BQ，解y=•3x•x=x2；故A选项错误；②1＜x≤2时，P点在CD边上，则△BPQ的面积=BQ•BC，解y=•x•3=x；故B选项错误；③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9﹣3x，则△BPQ的面积=AP•BQ，解y=•（9﹣3x）•x=x﹣x2；故D选项错误．故选：C．二、填空题（每小题3分，共12分）13．（3分）分解因式：3a2+6a+3=3（a+1）2．【解答】解：3a2+6a+3，=3（a2+2a+1），=3（a+1）2．故答案为：3（a+1）2．14．（3分）设x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值为27．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1=0的两实数根，∴x1+x2=5，x1x2=﹣1，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=25+2=27，故答案为：27．15．（3分）若直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是0＜m＜2．【解答】解：分段函数y=的图象如图：故要使直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，常数m的取值范围为0＜m＜2，故答案为：0＜m＜2．16．（3分）在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是．【解答】解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．∵AB=2，∴AE=，PA=2，∴PE=1．∵点D在直线y=x上，∴∠AOC=45°，∵∠DCO=90°，∴∠ODC=45°，∴∠PDE=∠ODC=45°，∴∠DPE=∠PDE=45°，∴DE=PE=1，∴PD=．∵⊙P的圆心是（2，a），∴点D的横坐标为2，∴OC=2，∴DC=OC=2，∴a=PD+DC=2+．故答案为：2+．三、解答题（共72分）17．（6分）计算：．【解答】解：原式=﹣1+1+2017+6=2023．18．（6分）化简：（a+1﹣）•．【解答】解：（a+1﹣）•====2a﹣4．19．（6分）如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）AB∥DE．【解答】证明：（1）∵BE=CF，∴BE+EC=EC+CF，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）．（2）∵△ABC≌△DEF，∴∠B=∠DEF，∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）．20．（7分）在一次为地震灾区的捐款活动中，某校随机调查了50名学生的捐款情况，统计如表：（1）这50名学生捐款金额的众数和中位数分别为多少元？（2）如果把这50名学生的捐款情况绘制成扇形统计图，则捐款金额为15元的人数所对应的扇形圆心角为多少度？（3）若该校共有1200名学生，估计该校的捐款总数大约是多少元？【解答】解：（1）根据表格可知这50名学生捐款金额的众数为10元，又∵第25个数为10，第26个数为15，∴中位数为=12.5元．（2）由题意捐款金额为15元的人数所对应的扇形圆心角为360°×=72°．（3）平均每人的捐款金额==15.1，∴若该校共有1200名学生，估计该校的捐款总数大约是15.1×1200=18120元．21．（7分）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=5，PB=12，PC=13，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，求点P与点P′之间的距离及∠APB的度数．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，∴∠P′AP=∠BAC=60°，AP′=AP，BP′=CP=13，∴△AP′P为等边三角形，∴PP′=AP=5，∠APP′=60°，在△BPP′中，∵PP′=5，BP=12，BP′=13，∴PP′2+BP2=BP′2，∴△BPP′为直角三角形，∠BPP′=90°，∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=60°+90°=150°．答：点P与点P′之间的距离为5，∠APB的度数为150°．22．（8分）某宾馆准备购进一批换气扇，从电器商场了解到：一台A型换气扇和三台B型换气扇共需275元；三台A型换气扇和二台B型换气扇共需300元．（1）求一台A型换气扇和一台B型换气扇的售价各是多少元；（2）若该宾馆准备同时购进这两种型号的换气扇共40台并且A型换气扇的数量不多于B型换气扇数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【解答】解：（1）设一台A型换气扇x元，一台B型换气扇的售价为y元，根据题意得：，解得，答：一台A型换气扇50元，一台B型换气扇的售价为75元；（2）设购进A型换气扇z台，总费用为w元，则有z≤3（40﹣z），解得：z≤30，∵z为换气扇的台数，∴z≤30且z为正整数，w=50z+75（40﹣z）=﹣25z+3000，∵﹣25＜0，∴w随着z的增大而减小，∴当z=30时，w最大=25×30+3000=2250，此时40﹣z=40﹣30=10，答：最省钱的方案是购进30台A型换气扇，10台B型换气扇．23．（8分）如图，直线y=kx+2k（k≠0）与x轴交于点B，与双曲线交于点A、C，其中点A在第一象限，点C在第三象限．（1）求B点的坐标；=2，求A点的坐标；（2）若S△AOB（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标．【解答】解：（1）对于y=kx+2k，当y=0时，x=﹣2，（2分）∴B点坐标为（﹣2，0）；（2分）（2）设点A坐标为（a，b），∵点A在第一象限，∴a＞0，b＞0，=2，∵S△AOB∴，∴b=2（4分）∵点A在双曲线上，∴a=2（5分）∴A坐标为（2，2）；（6分）（3）符合条件的点P有4个，坐标为：（0，2），（0，4），（0，），（0，）．（10分）24．（12分）如图△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：点D是AB的中点；（2）求证：DE与⊙O相切；（3）若BC=18，AB=12，求DE的长．【解答】（1）证明：连结CD，如图，∵BC为直径，∴∠BDC=90°，∴CD⊥AB，∵AC=BC，∴AD=BD，即点D是AB的中点；（2）解：DE与⊙O相切．理由如下：连结OD，∵AD=BD，OC=OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，而DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE为⊙O的切线．（3）解：∵AB=12，BD=AD，∴AD=6，∵CA=CB=18，在Rt△ADC中，DC==12，∵DE⊥AC，∴•AD•CD=•AC•DE，∴DE==4．25．（12分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B点左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线x=，OA=2，OD平分∠BOC交抛物线于点D（点D在第一象限）；（1）求抛物线的解析式和点D的坐标；（2）点M是抛物线上的动点，在x轴上存在一点N，使得A、D、M、N四个点为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的坐标；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BPD的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵OA=2，∴A（﹣2，0）．∵A与B关于直线x=对称，∴B（3，0），∵A、B，两点在抛物线y=﹣x2+bx+c上，∴，解得；∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+3．过D作DE⊥x轴于E．∵∠BOC=90°，OD平分∠BOC，∴∠DOB=45°，∠ODE=45°，∴DE=OE，即x D=y D，∴x=﹣x2+x+3，解得x1=2，x2=﹣3（舍去），∴D（2，2）；（2）分两种情况讨论：①当AD为平行四边形AMDN的对角线时，∵MD∥AN，即MD∥x轴，∴y M=y D，∴M与D关于直线x=对称，∴M（﹣1，2）；②当AD为平行四边形ADNM的边时，∵平行四边形ADNM是中心对称图形，△AND≌△ANM，∴|y M|=|y D|，即y M=﹣y D=﹣2，∴令﹣x2+x+3=﹣2，即x2﹣x﹣10=0；解得x=，∴M（，﹣2）或M（，﹣2）．综上所述：满足条件的M点有3个，即M（﹣1，2）或M（，﹣2）或M（，﹣2）；（3）∵BD为定值，∴要使△BPD的周长最小，只需PD+PB最小．∵A与B关于直线x=对称，∴PB=PA，只需PD+PA最小．连接AD，交对称轴于点P，此时PD+PA最小．由A（﹣2，0），D（2，2）可得直线AD：y=x+1，令x=，得y=，∴存在点P（，），使△BPD的周长最小．。