高二数学期中试卷带答案

高二数学期中试卷带答案
考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题
1.已知若存在互不相同的四个实数满
足，则
的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2.下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损（表格中◆处），则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（ ）
A ．
B ．
C
． D ．
3.下列结论中正确的是 A ．导数为零的点一定是极值点 B ．如果在
附近的左侧，右侧，那么是极大值 C ．如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值 D ．如果在
附近的左侧
，右侧
，那么
是极大值
4.“”是“函数为偶函数”的 （ ）
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分又不必要条件
5.已知函数y = f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则
=( )
A f ′(x 0)
B 2f ′(x 0)
C －2f ′(x 0)
D 0 6.下列叙述中错误的是( ) A ．若且
，则
；
B ．三点确定一个平面；
C ．若直线，则直线与能够确定一个平面；
D ．若且，则
.
7.设曲线在点（1，1）处的切线与轴的交点的横坐标为,
则
的值为
A ．
B ．
C ．
D ．1
8.计算机中常用的十六进进是逢16进1的计数制，采用数字0~9和字母
共16个计数符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表： 十六进制 0 1 2 3 4 5
6 7 十进制
8 9 10 11 12 13 14 15
例如，用十六进制表示，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9.若直线l 过点A ，B ，则l 的斜率为（ ）
A ．1
B ．
C ．2
D ．
10.（2015秋•新余期末）已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为（ ）
A ．=1.5x+2
B ．=﹣1.5x+2
C ．=1.5x ﹣2
D ．=﹣1.5x ﹣2 11.一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表
数
12 13 24 15 13 7
则样本数据落在上的频率为
A ．0.13
B ．0.39
C ．0.52
D ．0.64 12.直线与圆相交所得的弦的长为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
13.直三棱柱中，，
，则直线
与直
线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
14.若圆C: 关于直线对称,则由点向圆C所作切线长的最小值是（）
A． B． C． D．
15.在等差数列中，，设数列的前项和为，则
（）
A．18 B．99 C．198 D．297
16.已知，则在复平面内，复数对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
17.、下图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )
A． B． C． D．18.设成等差数列，则为（）
A．3
B．4
C．5
D．6
19.如图为一个几何体的三视图，其中府视图为正三角形，,则该几何体的表面积为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
20.直线与抛物线
交于
两点，为坐标原点，且
，
则（ ）
A ．2
B ．-2
C ．1
D ．-1
二、填空题
21.设定义域为
的单调函数，对任意的，都有，若是方程的一个解，且，则实数 ．
22.已知动圆P 与定圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1相外切，又与定直线l ：x ＝1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是________________________．
23.中，角所对的边分别为，已知，
则 .
24.设抛物线的焦点为，点.若线段的中点在抛
物线上，则点到该抛物线准线的距离为
.
25.已知函数图象上任意不同的两点的连线的斜率都大于，则实数的取值范围为__________． 26.已知函数
的定义域为R ，则的取值范围是_____．
27.已知点P(x,y)满足： ，则可取得的最大值为 ．
28.已知是双曲线 (上的不同三点，且
两点
连线经过坐标原点，若直线 的斜率乘积
，则该双曲线的
离心率= ．
29.①方程表示的曲线是两条直线
②在
中,则“
”是“
”的充要条件
③“
恒成立”为真命题的必要不充分条件为
④设P 是异面直线外的一点，则过P 且与
都平行的平面有且只有
一个
以上命题中真命题的序号为_______________.
30.抛物线与直线所围成的图形的面积=________．
三、解答题
31.函数对任意实数都有,（Ⅰ）分别求的值；
（
Ⅱ）猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．32.在平面直角坐标系xOy 中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F交抛物线于A、B两点．
(1) 若=8，求直线l的斜率
(2)若=m,=n.求证为定值
33.（本小题满分12分）
已知函数在处取得极值.
（1）求f(x)的解析式
（2）求f(x)的单调区间
34.如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A
1
处时，乙船位于甲船的北
偏西105°方向的B
1
处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达
A
2
处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B
2
处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？
35.设函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，是否存在整数，使不等式
恒成立？若存在，求整数的值；若不存在，则说明理由；
（3）关于的方程在上恰有两个相异实根，求实数的取值范围.
参考答案
1 .D
【解析】
画出的图象如图，由图知，
，可得，由二次函数对称性可得
，，由得，由
得，，即，即的取值范围是,故选C.
【方法点睛】本题主要考查对数函数、二次函数的性质以及数形结合思
想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过
数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四
种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解
2 .C
【解析】
试题分析：由茎叶图中的数据得，
甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，
则甲的平均成绩．甲=（88+89+90+91+92）=90；
设污损数字为x，
则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+x，
则乙的平均成绩．乙= [83+83+87+99+（90+x）]=88．4+，
当x=8或9时，．甲≤．乙，
即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为；
则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率．
考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率
3 .B
【解析】
试题分析：当时，，则函数在上是增函数，当时，，则函数在上是减函数，这时，是函数的极大值，故选B。

考点：函数的极值。

点评：出现极值处两边单调性不一样，因而导数不一样。

对于极值，要与最值区分。

4 .A
【解析】本题考查函数奇偶性及充要条件个判定和推理.
为偶函数；若函数为偶函数，则
，即对定义域内任意恒成立；平方整理的对定义域内任意恒成立；所以故选A
5 .B
【解析】根据导数的定义可知，由于
，故选B.
6 .B
【解析】
试题分析：由于选项A中，根据面面相交时，且，则；，则必然只有一条通过公共点的直线。

故成立。

选项B中，只有不共线的三点可以确定一个平面。

因此错误。

选项C中，由于两条直线相交，则必然确定一个平面，因此成立。

选项D中，由于点A,B既在直线上，又在平面上，则直线上两点在一个平面内，该直线在平面内，成立。

故选B.
考点：本题主要是考查空间中点、线、面的位置关系的运用。

点评：解决该试题的关键是利用平面的基本性质，以及公理2的理解和运用问题。

只有不共线的三点可以确定一个平面。

7 .C
【解析】
试题分析：曲线，，∴曲线y=x n+1
（n∈N*）在（1，1）处的切线方程为，该切线与x轴的交点的横坐标为，因此。

考点：的导数，曲线C的切线方程，直线与x的交点.
8 .A
【解析】
试题分析：∵表格中A对应的十进制数为10，B对应的十进制数为11，∴A×B=10×11，
由十进制表示为：10×11=6×16+14，
又表格中E对应的十进制为14，
∴用十六进制表示A×B=6E．
故选A．
考点：本题主要考查进位制，考查学生的学习能力。

点评：此题属于新定义的题型，此类题主要是弄清题意，理解新定义，解本题的关键是从表格中找出十六进制与十进制间的转换关系．
9 .B
【解析】由斜率公式得
故选B
10 .B
【解析】
试题分析：根据散点图的带状分布特点判断回归方程的斜率和截距．
解：因为散点图由左上方向右下方成带状分布，故线性回归方程斜率为负数，排除A，C．
由于散点图的带状区域经过y轴的正半轴，故线性回归方程的截距为正数，排除D．
故选：B．
考点：线性回归方程．
11 .C 【解析】略
12 .B
【解析】
试题分析：由圆的方程可知圆心为原点，半径为，则圆心到直线的距离为，设弦的长为。

则有数形结合分析可得，即，解得。

故B正确。

考点：1点到线的距离；2直线和圆相交弦的弦长。

13 .D
【解析】分别以CA、CC
1
、CB为x轴、y轴和z轴建立坐标系，
∵CA=CC
1
=2CB,∴可设CB=1,CA=CC
1
=2
∴A(2,0,0),B(0,0,1),B
1
(0,2,1),C
1
(0,2,0)
∴
可得,且，
向量所成的角(或其补角)就是直线BC
1
与直线AB
1
夹角，
设直线BC
1
与直线AB
1
夹角为θ,则.
本题选择D选项.
14 .B
【解析】试题分析：圆化为标准方程为
，半径。

圆关于直线
对称，所以圆心（-1,2）在直线上，所以
，即。

点到圆心的距离最小时切线取最小值。

点到圆心的距离为
，当时，取
最小值。

所以切线长的最小值是。

故选C。

【点睛】分析图可知半径、切线长、点到圆心的距离构成勾股数，可先
求点到圆心的距离的最小值。

15 .B
【解析】
试题分析：,故选B．
考点：等差数列．
16 .D
【解析】由得，则复数对应的点的坐标为，故复数对应的点位于第四象限，故选D.
17 .A
【解析】略18 .B
【解析】
试题分析：,解得，故选B.
考点：等差数列
19 .C
【解析】
试题分析：,故选C.
考点：表面积.
20 .A
【解析】
试题分析：先设，联立方程，得到
有两个不同于原点的解，因此有，由于，因此有，
，即
考点：直线与抛物线的位置关系；
21 .2
【解析】
试题分析：根据题意，对任意的，都有，又由是定义在上的单调函数则为定值，设，则，又，可得，故，
，又是方程的一个解，所以是
的零点，分析易得
，所以函数的零点介于之间，
故
考点：导数运算
【思路点睛】由题意可得为定值，设为，代入即可得到的值，从而可得函数的解析式，代入化简新构造函数，根据零点存在性定
理即可得到零点所在范围，从而求出所得答案．此类题目一般都需要进
行整体换元来做，进而可以求出函数的解析式，然后根据题意即可得到
所求答案．
22 .y2＝－8x
【解析】设P(x，y)，动圆P在直线x＝1的左侧，其半径等于1－x，则PC＝1－x＋1，即＝2－x.
∴y2＝－8x.
答案：y2＝－8x
点睛：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
②定义法：根据圆、直线等定义列方程．③几何法：利用圆的几何性质列方程．
④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
23 .
【解析】
试题分析：由三角形的面积公式，可得
，由余弦定理得
，所以．
考点：正弦定理；余弦定理．
24 .
【解析】
试题分析：因为抛物线的焦点.则AF的中点，所以
,
因而点B到抛物线准线：的距离为.
考点：抛物线的标准方程，中点坐标公式，点与抛物线的位置关系.
点评：解本小题的突破口是求出F的坐标，再根据中点坐标公式求出B 的坐标，利用点B在抛物线上，建立关于p的方程，得到p的值，从而得到点B到抛物线准线的距离.
25 .
【解析】假设存在实数m ,使得函数h (x )的图象上任意不同的两点A (x 1,h (x 1)),B (x 2,h (x 2))连线的斜率都大于m ,即,不妨设x 2>x 1>0，
则问题可以转化为h (x 2)−mx 2>h (x 1)−mx 1， ∴y =h (x )−mx 在(0,+∞)上是增函数,∴ ,即
在
(0,+∞)上恒成立， 设
,由
,得x >1,H ′(x )<0，得0<x <1.
可知H (x )在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数。

∴H (x )的最小值为H (1)=8⩾m . ∴存在m ,且m 的取值范围是(−∞,8]. 26 .
【解析】 试题分析：令
结合
图形可知
所以
故a 的取值范围是
考点：1、函数的单调性与导数；2、导数的运算．
【方法点晴】本题主要考查的是导数的运算和应用导数判断单调性，属于中档题.由题意的定义域为R 可知在R 上恒成立，即在R 上恒成立，将问题转化为求函数的最小值，使得即可. 27 . 【解析】
试题分析：先做出线性约束条件下的可行域，观察可行域可知当
过直线
与
的交点时取得最大值，交点为
考点：线性规划问题
点评：最值点一般出现在可行域边界或顶点处 28 .
【解析】 试题分析：设
考点：双曲线方程及性质 29 .②
【解析】
试题分析：①中表示一条直线和一条射线
②由正弦定理可知
③“恒成立”为真命题可得，所以充分不必要条件为
④这样的平面可能有一个可能没有
考点：命题真假的判定
30 .
【解析】略
31 .（Ⅰ）4,9,16（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）抽象函数求值主要采用特殊赋值法求解；（Ⅱ）数学归纳法证明时关键是借助于时命题成立来证明时命题成立
试题解析：（Ⅰ），
（Ⅱ）猜想，下用数学归纳法证明之.
（1）当n=1时,f(1)=1,猜想成立；
（2）假设当n=k时，猜想成立，即 f(k)=k2
则当n=k+1时， f(k+1)=f(k)+f(1)+2k×1=k2+2k+1=(k+1)2
即当n=k+1时猜想成立。

由（1）、（2）可知，对于一切n∈N*猜想均成立。

考点：赋值法求值及数学归纳法
32 .（1）k=1或-1（2）="1"
【解析】
考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质。

分析：
（1）求出抛物线的焦点坐标，准线方程，设直线l方程为：y=k（x-1），代入y2=4x得[k（x-1）]2=4x，利用韦达定理及抛物线的定义，即可求直
线l的斜率
（2）由（1）知，|AF|=m=x
1
+1，|BF|=n=x
2
+1，表示出1/m+1/n。

利用韦达定理代入化简即可得出结论。

解答：
（1）解：抛物线的焦点坐标为（1，0），准线方程为：x=-1
设直线l 方程为：y=k （x-1），代入y 2=4x 得[k （x-1）]2=4x ，即k 2x 2-（2k 2+4）x+k 2=0
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2k 2
+4/ k 2
，x 1x 2=1
∵|AB|=8，∴x 1+x 2+2=8
∴2k 2+4/ k 2=6，∴k 2=1 ∴k=1或-1。

（2）证明：由（1）知，|AF|=m=x 1+1，|BF|=n=x 2+1。

∴1/m+1/n=（1/ x 1+1）+（1/ x 2+1）=（x 1+1+x 2+1）/[(x 1+1)(x 2+1)]= （x 1+x 2+2）/[(x 1+x 2)+x 1x 2+1] ∵x 1+x 2=2k 2+4/ k 2，x 1x 2=1 ∴（x 1+x 2+2）/[(x 1+x 2)+x 1x 2+1]=1 ∴1/m+1/n=1，为定值。

点评：本题重点考查抛物线的标准方程，考查抛物线过焦点的弦，利用抛物线的定义，正确运用韦达定理是解题的关键。

33 .解：（1）
，依题意， ，即
解得
┅┅
∴，∴
（2）令，得 若，则
故在
上是增函数；
若，则
故
在上是减函数；
【解析】略
34 .乙船每小时航行30海里．
【解析】
试题分析：思路分析：首先发现△A 1A 2B 2是等边三角形， 在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得
＝
＋
－2
·
·cos 45°，可得B 1B 2＝10
.
解： 如图所示，连结A 1B 2.
由已知A 2B 2＝10，A 1A 2＝30
×＝10，
∴A 1A 2＝A 2B 2.又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形， ∴A 1B 2＝A 1A 2＝10
.
由已知A 1B 1＝20，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°. 在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得
＝＋
－2
··cos 45°
＝202＋(10)2－2×20×10×
＝200， ∴B 1B 2＝10
.
因此，乙船的速度为×60＝30 (海里/小时)．
答：乙船每小时航行30
海里．
考点：等腰三角形，余弦定理的应用
点评：中档题，通过发现三角形的特殊性，探索发现解题数据，应用余
弦定理，建立方程，达到解题目的。

35 .（1）单调递增区间是
，单调递减区间是.（2）（3）
【解析】试题分析：（1）求函数的定义域、导函数，由
，可求单调区间；（2）由（1）可求函数
在
上的单调性，进而求最大值、最小值。

由不等式恒成立，
得
，解不等式组可求m 的范围；（3）构造函数
=
，求其导函数，进而求单调性、最大、最
小值，由关于的方程
在上恰有两个相异实根，转化
为，进而不等式组求实数的取值范围.
试题解析：（1）由
得函数的定义域为
.
.
由，得
；由
，得
.
∴函数
的单调递增区间是
，单调递减区间是. （2）由（1）知，
在
上单调递减，在
上单调递增.∴
.
又
，
,且，
∴时，.
∵不等式恒成立，
∴，
即
.
∵是整数，∴.
∴存在整数，使不等式恒成立.
（3）由，得.
令，，则，.由，得；由得.
∴在上单调递减，在上单调递增.
∵方程在上恰有两个相异实根，
∴函数在和上各有一个零点.∴
.
∴实数的取值范围是.
【点睛】不等式恒成立问题可转化为函数的最大值、最小值问题。

含参数的方程有解问题可转化为参数与最大、最小值有关的不等式组问题。