2024年北京门头沟初三二模数学试卷和答案解析

门头沟区2024年初三年级综合练习（二）
数学
考生须知：
1.本试卷共8页，共三道大题，28个小题．满分100分．考试时间120分钟．
2.在试卷和答题卡上准确填写学校和姓名，并将条形码粘贴在答题卡相应位置处．
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4.在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答．
5.考试结束，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 某几何体的展开图是由大小形状相等的两个正方形、四个长宽不等的矩形组成，则该几何体是（ ）A. 正方体
B. 长方体
C. 四棱锥
D. 三棱柱
2. 目前所知病毒中最小的是一级口蹄疫病毒，它属于微核糖核酸病毒科鼻病毒属，其最大颗粒直径为23纳米，即0.000000023米，将0.000000023化成科学计数法为（ ）A. 7
2.310-⨯ B. 8
2.310-⨯ C. 9
2.310-⨯ D.
10
0.2310-⨯3. 下图是手机的一些手势密码图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 某个正多边形的一个内角是它的外角的2倍，则该正多边形是（ ）A. 正方形 B. 正五边形 C. 正六边形 D. 正七边
形
5. 数轴上的三点A 、B 、C 所表示的数分别为a 、b 、c 且满足0a b +<，0b c ⋅<，则原点在（ ）
A. 点A 左侧
B. 点A 点B 之间（不含点A 点B ）
C. 点B 点C 之间（不含点B 点C ）
D. 点C 右侧
6. 如图，AB CD ，CE 平分ACD ∠，170=︒∠，2∠的度数为（ ）
A. 30︒
B. 35︒
C. 45︒
D. 70︒
7. 小明去商场购物，购买完后商家有一个抽奖答谢活动，有m 张奖券，其中含奖项的奖券有n 张，每名已购物的顾客只能抽取一次，小明抽之前有10名顾客已经抽过奖券，中奖的有3人，则小明中奖的概率为（ ）A.
n m
B.
10
n m - C.
310
n m -- D.
3n m
-8. 如图所示，两个体积不等的圆柱形水杯，大小水杯口均朝上，现往大水杯中均匀注水，注水过程中小水杯始终在原来位置，设水面上升高度为h ，注水时间为t ，下列图象能正确反应注水高度随时间变化关系的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 如果分式
1
1
m m +-值为零，那么实数m 的取值是______．10. 如图所示网格是正方形网格，点A ，B ，C 是网格线交点，则sin A =______．
11. 在实数范围内进行因式分解：22mx m -=______．
12. 如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，AC CD =
，如果AC =O 的半径长为______．
13. 某函数图象满足过点()0,2，且当0x >时，y 随x 的增大而增大，写出一个满足条件的表达式______．
14. 如图，在平面直角坐标系内，某图象上的点A 、B 为整数点，以点O 为位似中心将该图像扩大为原的2倍，则点A 的坐标为______．
15. 某校抽测了某班级的10名学生竞赛成绩（均为整数），从低到高排序如下：1x ，2x ，
3x ，4x ，5x ，6x ，7x ，8x ，9x ，10x ，如果483x =，786x =，该组数据的中位数是85，
则5x =______．
16. “谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”知农爱农，珍惜粮食，传承美德，从校园做起．为响应此
的
号召学校举办“减少舌尖上的浪费”宣传活动，参加活动的共60人，其中有校领导，教师代表，七年级学生代表，八年级学生代表和九年级学生代表．已知校领导和教师代表的总人数是七年级学生代表和八年级学生代表总人数的四分之一，校领导和七年级学生代表的总人数是教师代表和八年级学生代表总人数的七倍，则参加这次活动的九年级学生代表有______人．
三、解答题（本题共68分，第17～21题每小题5分，第22～24题每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27～28题每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. ()2
1220212sin 602π-⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭
°．
18. 解分式方程
26111
x x x -=+-19. 已知：0x y -=，求
()22
22x y
x y x xy y -⋅+++的值．
20. 如图，小明在拼图时，发现8个一样的小长方形恰好可以拼成一个边长为22的正方形，但是中间留了个洞，恰好是边长为2的小正方形，求每个小长方形的长和宽．
21. 已知：如图，在ABCD Y 中，过点D 作DE AB ⊥于E ，点F 在边CD 上，
DF BE =，连接AF 和BF ．
（1）求证：四边形BFDE 是矩形；（2）如果
AF 平分DAB ∠，4BF =，4
sin 5
C =
，求CD 的长．
22. 在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数()0k
y k x
=
≠的图象过点()1,1A ．
（1）求k 的值；
（2）一次函数()0y ax b a =+≠的图象过()0,3A ，与()0k
y x x
=
>的图象交于两点，两函数图象交点之间的部分组成的封闭图形称作图象“G ”，该图象内横纵坐标均为整数的点称为“G 区域点”（不含边界）；
①当一次函数图象过()3,1时，存在______个“G 区域点”；
②如果“G 区域点”的个数为3个，画出示意图，直接写出a 的取值范围．
23. 啦啦操是一项展现青春活力的运动项目，北京市多所学校都选择以啦啦操为载体，让更多的学生在训练的过程中收获了健康与快乐．某校啦啦操学员共16名，测量并获取了所有学员的身高（单位：cm ），数据整理如下：a ．16名学生的身高：153153157158159160160161164
164
164
164
167
169
169
169
b ．16名学生的身高的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数161.94
m
n
（1）写出表中m ，n 的值；
（2）教练将学员分组进行PK 赛，如果一组学员的身高的方差越小，则认为该舞台呈现效果越好，据此推断：下列两组学员中，舞台呈现效果更好的是______（填“A 组”或“B
组”）；A 组学员身高157158159160161B 组学员的身高
161
164
164
164
167
（3）该啦啦操队要选五名学生，已确定三名学员参赛，她们的身高分别为：160，160，
164，她们的身高的方差为
32
9
．在选另外两名学员时，首先要求所选的两名学员与已确定的三名学员所组成的五名学员的身高的方差小于32
9
，其次要求所选的两名学员与已确定的
三名学员所组成的五名学员的身高的平均数尽可能的大，则选出的另外两名学员的身高分别为______和______．
24. 如图，AB 是O 的直径，AC 切O 于点A ，连接BC 交O 于点D ，AC CF =，连接
AF 并延长交O 于点E ，连接AD ．
（1）求证：EBD EAB ∠=∠；（2）若4AB =，3CF =，求
AF
值．
25. 医学院某药物研究所研发了甲，乙两种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用，服药后的时间x （小时），服用甲种药物后每毫升血液中的含药量1y （微克），服用乙种药物后每毫升血液中的含药量2y （微克），记录部分实验数据如下：x
00.200.40 1.00 1.53 2.26 2.52 3.38 4.53 5.44…1y 0
0.68 1.36
3.40
3.21
2.77
2.65
2.31
1.92
1.65
…
2
y 0
018
0.369.00 5.03 2.26 1.700.660.190.07…
对以上数据进行分析，补充完成以下内容．
（1）可以用函数刻画1y 与x ，2y 与x 之间的关系，在同一平面直角坐标系xOy 中，已经画
的的.
出1y 与x 的函数图象，请画出2y 与x 的函数图象；
（2）如果两位病人在同一时刻分别服用这两种药物，服药1小时后两位病人每毫升血液中含药量相差______微克；两位病人大约服药后______小时每毫升血液中含药量相等；（结果保留小数点后一位）
（3）据测定，每毫升血液中含药量不少于2微克时对治疗疾病有效，则两种药物中______种药的药效持续时间较长，药效大约相差______小时（结果保留小数点后一位）．26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++的经过点10,A a ⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，将点A 向左平移4个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）点B 的纵坐标为3-时，求a 的值；（3）已知点11,
M a ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
，()4,3N --．若抛物线与线段MN 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．
27. ABC 中，AB AC =，45BAC ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，点E ，
F 分别在AC BC ，在
上，且1
2
CEF BAC ∠=
∠，EF CD ，交于点N ．
（1）如图1，当点E 与点A 重合时，EN
CF
=______；（2）如图2，当点E 在AC 边上时，①依题意补全图2；②
EN
CF
的值是否发生变化，请说明理由．28. 对于关于x 的一次函数()0y kx b k =+≠，我们称函数{}()(),
.kx b x n y n kx b x n ⎧+<⎪=⎨--≥⎪⎩
为一次
函数()0y kx b k =+≠的n 级衍生函数（其中n 为常数）．
例如，41y x =-+的3级衍生函数为：当3x <时，{}41y x x =-+；当3x ≥时，
{}41y x x =-．
（1）如果1y x =+的4级衍生函数为{}4y ，①当3x =时，{}4y =______；②当{}1
42
y =-
时，x =______．（2）如果21y x =+的2-级衍生函数为{}2y -，求双曲线3
y x
=-与{}2y -的图像的交点坐标；
（3）如果以点()0,A t 为圆心，2为半径的A 与2y x =-+的1-级衍生函数{}1y -的图像有交点，直接写出t 的取值范围．
门头沟区2024年初三年级综合练习（二）
数学
考生须知：
1.本试卷共8页，共三道大题，28个小题．满分100分．考试时间120分钟．
2.在试卷和答题卡上准确填写学校和姓名，并将条形码粘贴在答题卡相应位置处．
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4.在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答．
5.考试结束，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 某几何体的展开图是由大小形状相等的两个正方形、四个长宽不等的矩形组成，则该几何体是（ ）A. 正方体 B. 长方体
C. 四棱锥
D. 三棱柱
【答案】B 【解析】
【分析】本题考查的是长方体的展开图的认识，熟记长方体的展开图中平面图形的形状是解本题的关键，先根据要求画出其中1种展开图的形态，从而可得答案．
【详解】解：某几何体的展开图是由大小形状相等的两个正方形、四个长宽不等的矩形组成，如图，
∴则该几何体是长方体；故选B
2. 目前所知病毒中最小的是一级口蹄疫病毒，它属于微核糖核酸病毒科鼻病毒属，其最大颗粒直径为23纳米，即0.000000023米，将0.000000023化成科学计数法为（ ）A. 7
2.310-⨯ B. 82.310-⨯ C. 9
2.310-⨯ D.
10
0.2310-⨯【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，使用负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解．
【详解】解：80.000000023 2.310-=⨯．
故选：B ．
3. 下图是手机的一些手势密码图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可．
【详解】解：A ．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；B ．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
C ．该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
D ．该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
故选D ．
4. 某个正多边形的一个内角是它的外角的2倍，则该正多边形是（ ）
A. 正方形
B. 正五边形
C. 正六边形
D. 正七边
形
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和的问题．设这个多边形的边数是n ，根据一个内角是它的外角的2倍，可得该正多边形内角和是其外角和的2倍，据此列出方程，即可求解．
【详解】解：设这个多边形的边数是n ，
∵一个内角是它的外角的2倍，
∴该正多边形内角和是其外角和的2倍，
∴()21802360n -⨯︒=⨯︒，
解得：6n =，
即这个多边形是六边形．
故选：C ．
5. 数轴上的三点A 、B 、C 所表示的数分别为a 、b 、c 且满足0a b +<，0b c ⋅<，则原点在（ ）
A. 点A 左侧
B. 点A 点B 之间（不含点A 点B ）
C. 点B 点C 之间（不含点B 点C ）
D. 点C 右侧
【答案】C
【解析】【分析】此题考查了数轴，有理数的加法运算，乘法运算的含义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．根据a b c <<，0a b +<，0b c ⋅<，可得b ，c 异号，从而得到原点的位置，即可得解．
详解】解：由图可知，a b c <<，而0a b +<，0b c ⋅<，
∴0a b c <<<，
∴原点在点B 点C 之间；
故选C
6. 如图，AB CD ，CE 平分ACD ∠，170=︒∠，2∠度数为（
）
【的
A. 30︒
B. 35︒
C. 45︒
D. 70︒
【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，先根据“两直线平行，同位角相等”得ACD ∠，根据角平分线定义得DCE ∠，然后根据“两直线平行，同位角相等”得出答案．
【详解】∵AB CD ，
∴170ACD Ð=Ð=°．
∵CE 平分ACD ∠，∴1==352
DCE ACD ∠∠︒．∵AB CD ，
∴235DCE ∠=∠=︒．
故选：B ．
7. 小明去商场购物，购买完后商家有一个抽奖答谢活动，有m 张奖券，其中含奖项的奖券有n 张，每名已购物的顾客只能抽取一次，小明抽之前有10名顾客已经抽过奖券，中奖的有3人，则小明中奖的概率为（ ）A. n
m B. 10n
m - C. 3
10n m -- D. 3
n m
-【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了简单的概率计算．熟练掌握简单的概率计算公式是解题的关键．根据简单的概率计算公式求解作答即可．【详解】解：由题意知，小明中奖的概率为
310
n m --，故选：C ．
8. 如图所示，两个体积不等的圆柱形水杯，大小水杯口均朝上，现往大水杯中均匀注水，注水过程中小水杯始终在原来位置，设水面上升高度为h，注水时间为t，下列图象能正确反应注水高度随时间变化关系的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查函数的定义以及函数图象的识别．探究大水杯中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系，从而确定图象．
【详解】解：开始往大水杯中均匀注水，h的值由0逐渐增大，当水漫过小水杯向小水杯注水，此时h的值保持不变，小烧杯注满后，水再次进入大水杯中直至到大水杯顶部时，h的再次增大，但变化比开始时变慢．
观察四个图象，选项C符合题意．
故选：C．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 如果分式
1
1
m
m
+
-
值为零，那么实数m的取值是______．
【答案】1-
【解析】
【分析】本题考查了分式为零的条件．熟练掌握分式为零的条件是解题的关键．由题意知，10
m+=，计算求解即可．
【详解】解：∵分式
1
1
m
m
+
-
值为零，
∴10
m+=，
解得，1
m=-，
故答案为：1-．
10. 如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C是网格线交点，则sin A=______．
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，求正弦，连接BC，根据勾股定理的逆定理证明ABC
是等腰直角三角形，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，连接BC，
∴AB BC AC
=====
∴222
AB BC AC
+=
∴ABC
是等腰直角三角形，
∴sin
BC
A
AC
==
．
11. 实数范围内进行因式分解：22
mx m
-=______．
【答案】(
m x x
+
【解析】
【分析】本题考查的是利用提公因式与公式法分解因式，算术平方根的含义，先提取公因式，
再利用平方差公式分解因式即可．
在
【详解】解：()(2222mx m m x m x x -=-=+；
故答案为：(m x x +-．
12. 如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，AC CD =，如果AC =O 的半径长为______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，如图，连接AD ，OC ，证明ABC 为等边三角形，再进一步解答即可．
【详解】解：如图，连接AD ，OC ，
∵AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，
∴CE DE =，AC AD =，
∵AC CD =，
∴AC CD AD ==，
∴ABC 为等边三角形，
∴60ACD ∠=︒，906030CAE ∠=︒-︒=︒，
∴12
CE AC ==∵OA OC =，
∴30OCA OAC ∠=∠=︒，
∴603030OCE ∠=︒-︒=︒，
∴2cos30CE CO ===︒，故答案为：2
13. 某函数图象满足过点()0,2，且当0x >时，y 随x 的增大而增大，写出一个满足条件的表达式______．
【答案】22y x =+（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及解析式，根据当0x >时，y 随x 的增大而增大且过点()0,2，则开口向上，对称轴为0x =，据此写出表达式，即可作答．
【详解】解：∵某函数图象满足过点()0,2，且当0x >时，y 随x 的增大而增大
∴22
y x =+故答案为：22y x =+（答案不唯一）
14. 如图，在平面直角坐标系内，某图象上的点A 、B 为整数点，以点O 为位似中心将该图像扩大为原的2倍，则点A 的坐标为______．
【答案】()2,2-或()2,2-##()2,2-或()
2,2-【解析】
【分析】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或k -．
根据位似变换的性质计算即可．
【详解】解：由题意得：A 的坐标为()12,12-⨯⨯或()()()12,12-⨯-⨯-，
∴A 的坐标为()2,2-或()2,2-，
故答案为：()2,2-或()2,2-．
15. 某校抽测了某班级的10名学生竞赛成绩（均为整数），从低到高排序如下：1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，7x ，8x ，9x ，10x ，如果483x =，786x =，该组数据的中位数是85，则5x =______．
【答案】84或85
【解析】
【分析】本题考查了求中位数，正确理解中位数的的定义是解题的关键．由中位数的定义可知，56+852
x x =，再根据483x =，786x =，即可得出答案．【详解】由已知，10个成绩从低到高排列，居中的两个成绩为5x 和6x ,且该组数据的中位数是85，
56+852
x x ∴=483x = ，786x =，
584x ∴=，686x =，或585x =，685x =，
故答案为：84或85．
16. “谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”知农爱农，珍惜粮食，传承美德，从校园做起．为响应此号召学校举办“减少舌尖上的浪费”宣传活动，参加活动的共60人，其中有校领导，教师代表，七年级学生代表，八年级学生代表和九年级学生代表．已知校领导和教师代表的总人数是七年级学生代表和八年级学生代表总人数的四分之一，校领导和七年级学生代表的总人数是教师代表和八年级学生代表总人数的七倍，则参加这次活动的九年级学生代表有______人．
【答案】20
【解析】
【分析】设参加这次活动的校领导有x 人，教师代表有y 人，七年级学生代表有z 人，则参加这次活动的八年级学生代表有()4x y z ⎡⎤+-⎣⎦人，九年级学生代表有()605x y ⎡
⎤-+⎣⎦人，
根据校领导和七年级学生代表的总人数是教师代表和八年级学生代表总人数的七倍，可列出关于x ，y ，z 的三元一次方程，变形后，可得出()()278x y z y +=-，结合x ，y ，z 均为正整数且27和8互质，可得出x y +是8的倍数，结合九年级学生代表人数为正，可确定8x y +=，再将其代入()605x y -+中，即可求出结论．
【详解】解：设参加这次活动的校领导有x 人，教师代表有y 人，七年级学生代表有z 人，则参加这次活动的八年级学生代表有()4x y z ⎡⎤+-⎣⎦人，九年级学生代表有
()605x y ⎡⎤-+⎣⎦人，
根据题意得：()74x z y x y z ⎡⎤+=++-⎣⎦，
整理得：27358x y z +=，
∴()()278x y z y +=-．
∵x ，y ，z 均为正整数，且27和8互质，
∴x y +是8的倍数，
又∵()6050x y -+>，
∴12x y +<，
∴8x y +=，
∴()605605820x y -+=-⨯=（人），
∴参加这次活动的九年级学生代表有20人．
故答案为：20．
三、解答题（本题共68分，第17～21题每小题5分，第22～24题每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27～28题每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. ()2
01220212sin 602π-⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭°．【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，根据相应的运算法则计算即
可．
()2
01220212sin 602π-⎛⎫-++︒+ ⎪⎝⎭
214=--+
5=．
18. 解分式方程26111
x x x -=+-【答案】5
x =-【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的法则及步骤是解题的关键．将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程求出解并检验即可．【详解】解：26111
x x x -=+-，方程两边乘以(1)(1)x x +-得：(1)6(1)(1)--=+-x x x x ，
去括号：2261x x x --=-，
移项：2216x x x --=-+，
合并同类项：5x -=，
系数化1：5x =-．
经检验：5x =-是原方程的解．
∴原方程的解是5x =-．
19. 已知：0x y -=，求()22
22x y x y x xy y -⋅+++的值．【答案】2x y x y -+，12
-【解析】
【分析】本题考查分式化简求值问题，先通分，计算括号里的，再除法转化成乘法，计算括号外的，最后把x y =的值代入计算即可．【详解】解：()2222x y x y x xy y
-⋅+++
()
()2
2x y
x y x y -=
⋅++
2x y
x y
-=
+，∵0x y -=，∴x y =，∴原式21
2
x x x x -=
=-+．20. 如图，小明在拼图时，发现8个一样的小长方形恰好可以拼成一个边长为22的正方形，但是中间留了个洞，恰好是边长为2的小正方形，求每个小长方形的长和宽．
【答案】每个小长方形的长为10，宽为6【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长和宽，根据1个长加上2个宽等于22，2个宽减去1个长等于2列出方程组，再求出解即可．【详解】解：设小长方形的长为x ，宽为y ，根据题意可得
222
22x y y x +=⎧⎨
-=⎩
，解得：106x y =⎧⎨=⎩
，
∴每个小长方形的长为10，宽为6．
21. 已知：如图，在ABCD Y 中，过点D 作DE AB ⊥于E ，点F 在边CD 上，
DF BE =，连接AF 和BF ．
（1）求证：四边形BFDE 是矩形；（2）如果
AF 平分DAB ∠，4BF =，4
sin 5
C =
，求CD 的长．【答案】（1）见解析 （2）8
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，正弦；（1）先求出四边形BFDE 是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；（2）利用4
sin 5
C =求出5BC =，由勾股定理求出3CF =，再证明A
D DF BC ==，即可得出答案．【小问1详解】∵ABCD Y ，∴AB CD ，∴DF B
E ∥，∵D
F BE =，
∴四边形BFDE 为平行四边形，∵DE AB ⊥，90DEB ∴∠=︒，
∴四边形BFDE 为矩形；【小问2详解】
由（1）可得四边形BFDE 为矩形，∴90BFC ∠=︒，
在Rt ABC △中，4BF =，4sin 5BF C BC
=
=，5BC ∴=，
由勾股定理得3=FC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴5AD BC ==，∵
AF 平分DAB ∠，
∴DAF FAB ∠=∠.又∥ AB CD ，∴DFA FAB ∠=∠，
∴DAF DFA FAB ∠=∠=∠，
5DF AD ∴==，8DC DF FC ∴=+=．
22. 在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数()0k
y k x
=
≠的图象过点()1,1A ．
（1）求k 的值；
（2）一次函数()0y ax b a =+≠的图象过()0,3A ，与()0k
y x x
=
>的图象交于两点，两函数图象交点之间的部分组成的封闭图形称作图象“G ”，该图象内横纵坐标均为整数的点称为“G 区域点”（不含边界）；
①当一次函数图象过()3,1时，存在______个“G 区域点”；
②如果“G 区域点”的个数为3个，画出示意图，直接写出a 的取值范围．【答案】（1）1k = （2）①2个；②见解析，21
32
a -<≤-【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题等知识点，（1）把11A （，）
代入()0k
y k x
=≠中可得k 的值；（2）①将()31，代入3y ax =+可得：直线解析式为2
33
y x =-
+，画图可得结论；②画图
计算边界时a 的值，即可得解；
熟练掌握整点的定义，并利用数形结合的思想是解决此题的关键．【小问1详解】∵反比例函数()0k
y k x
=≠的图象过点11A
（，），∴111k =⨯=；∴k 的值为1；【小问2详解】
①一次函数()0y ax b a =+≠的图象过()03，，()31，，
∴331b k b =⎧⎨+=⎩，解得233
k b ⎧
=-⎪
⎨⎪=⎩，
∴直线l 的解析式为2
33
y x =-+，画出图形，如图所示，
区域G 内的整点有()12，
和()21，共两个；故存在2个“G 区域点”；故答案为：2；
②如图，直线l ：3y ax =+过()31，时，133a =+，
解得2
3
a =-
，
直线l ：3y ax =+过()41，
时，143a =+，解得1
2
a =-
，观察图象可知：“G 区域点”的个数为3个时，a 的取值范围是2132
a -
<≤-．23. 啦啦操是一项展现青春活力的运动项目，北京市多所学校都选择以啦啦操为载体，让更多的学生在训练的过程中收获了健康与快乐．某校啦啦操学员共16名，测量并获取了所有学员的身高（单位：cm ），数据整理如下：a ．16名学生的身高：153153157158159160160161164
164
164
164
167
169
169
169
b ．16名学生的身高的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数161.94
m
n
（1）写出表中m ，n 的值；
（2）教练将学员分组进行PK 赛，如果一组学员的身高的方差越小，则认为该舞台呈现效果越好，据此推断：下列两组学员中，舞台呈现效果更好的是______（填“A 组”或“B 组”）；
A 组学员的身高157158159160161
B 组学员的身高
161
164
164
164
167
（3）该啦啦操队要选五名学生，已确定三名学员参赛，她们的身高分别为：160，160，
164，她们的身高的方差为
32
9
．在选另外两名学员时，首先要求所选的两名学员与已确定的三名学员所组成的五名学员的身高的方差小于32
9
，其次要求所选的两名学员与已确定的
三名学员所组成的五名学员的身高的平均数尽可能的大，则选出的另外两名学员的身高分别为______和______．
【答案】（1）162.5m =，164n = （2）A 组 （3）161，164
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）计算每一组的方差，根据方差越小数据越稳定进行判断即可；（3）根据要求，身高的平均数尽可能大且方差小于32
9
，结合其余学生的身高即可做出选择．
【小问1详解】
解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：153，153，157，158，159，160，160，
161，164，164，164，164，167，169，169，169，
出现次数最多的数是164，出现了4次，即众数164n =，16个数据中的第8和第9个数据分别是161，164，∴中位数161164
162.52
m +=
=，∴166m =，165n =；【小问2详解】解：A 组身高的平均数为()1
1571581591601611595
++++=，A 组身高的方差为
()()()()()22222
157159158159159159211601561159195⎡⎤+-+-+--+-=⎣
⎦
B 组身高的平均数为()1
1611641641641671645
++++=，B 组身高的方差为()()()222
11611643164164167164 3.65⎡⎤-+-+-=⎣
⎦，∵3.62
>∴舞台呈现效果更好的是A 组，故答案为：A 组；【小问3详解】
解：160，160，164的平均数为
()11
16133
160160164=++∵所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于32
9
，∴数据的差别较小，数据才稳定，可供选择的有：161，164，且选择161，164时，平均数会增大，故答案为：161，164．
【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义：方差越小数据越稳定是解题的关键．
24. 如图，AB 是O 的直径，AC 切O 于点A ，连接BC 交O 于点D ，AC CF =，连接
AF 并延长交O 于点E ，连接AD ．
（1）求证：EBD EAB ∠=∠；（2）若4AB =，3CF =，求AF 的值．
【答案】（1）见解析 （2【解析】
【分析】（1）由AB 是O 的直径得到90AEB ∠=︒，即90EBD EFB ∠+∠=°，由AC 是切线得到90CAB ∠=︒，即90CAF EAB ∠+∠=︒，由
AC CF =得到
CAF CFA BFE ∠=∠=∠，从而得证EBD EAB ∠=∠；
（2）连接AD ，在Rt ABC △中，根据勾股定理求得5BC =，根据三角形的面积公式有
11
22CAB S CA AB CB AD =
⋅=⋅ ，求得125
AD =，根据CAD CAB △∽△，得到CD AC CA BC =，从而求得95CD =，65
DF =，在Rt ADF 中，根据勾股定理即可求得AF ．【小问1详解】
证明：∵AB 是O 的直径，
90AEB ∴∠=︒，
90EBD EFB ∴∠+∠=°，
AC 切O 于点A ，90BAC ∴∠=︒，
90CAF EAB ∴∠+∠=°AC CF = ，
CAF CFA ∴∠=∠，
EFB CFA ∠=∠ ，
EBD EAB ∴∠=∠【小问2详解】解：连接AD ，
4AB = ，3AC =，
∴在Rt ABC △中，5BC ===，
AB 是O 的直径，
90ADB ∴∠=︒，
由（1）可得90CAB ∠=︒，
11
22
CAB S CA AB CB AD
∴=⋅=⋅ CA AB CB AD
∴⋅=⋅
∴345AD
⨯=125
AD ∴=
，∵C C ∠=∠，90CAD CDA ∠=∠=︒，∴CAD CAB △∽△，
∴
CD AC
CA BC =，即335
CD =，9
5
CD ∴=，
96355
DF CF CD AC CD ∴=-=-=-
=
∴在Rt ADF 中，AF ===．【点睛】本题考查切线的性质，直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质．综合运用相关知识是解题的关键．
25. 医学院某药物研究所研发了甲，乙两种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用，服药后的时间x （小时），服用甲种药物后每毫升血液中的含药量1y （微克），服用乙种药物后每毫升血液中的含药量2y （微克），记录部分实验数据如下：x
00.200.40 1.00 1.53 2.26 2.52 3.38 4.53 5.44…1y 0
0.68
1.36
3.40
3.21
2.77
2.65
2.31
1.92
1.65
…
2
y 00.180.369.00 5.03 2.26 1.700.660.190.07…
对以上数据进行分析，补充完成以下内容．
（1）可以用函数刻画1y 与x ，2y 与x 之间的关系，在同一平面直角坐标系xOy 中，已经画出1y 与x 的函数图象，请画出2y 与x 的函数图象；
（2）如果两位病人在同一时刻分别服用这两种药物，服药1小时后两位病人每毫升血液中含药量相差______微克；两位病人大约服药后______小时每毫升血液中含药量相等；（结果保留小数点后一位）
（3）据测定，每毫升血液中含药量不少于2微克时对治疗疾病有效，则两种药物中______种药的药效持续时间较长，药效大约相差______小时（结果保留小数点后一位）．【答案】（1）见解析 （2）5.6；0.5或2.1
（3）甲，1.5【解析】
【分析】本题考查了函数的应用，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．（1）先根据对应x 和2y 的值在图上描点，然后用光滑的曲线连接即可；
（2）观察图象，分别求出当1x =时， 1y 、2y 的值，然后求出1y 、2y 的差即可； 当每毫升血液中含药量相等时，即12y y =，1y 、2y 交点所对应的x 即为两位病人大约服药时间；（3）求出当2y =时，两个函数图像与2y =交点的横坐标，即可求出每毫升血液中含药量不少于2微克的时间，然后比较大小即可．【小问1详解】
解：如图，根据对应x 和2y 的值在图上描点，然后用光滑的曲线连接即可．。