高中数学第4章概率与统计4.2随机变量4.2.4第1课时离散型随机变量的均值b选择性

7
个，从中任取
2
个球，
提 素
知
养
合 作
已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为(
探
究
A．3
B．4
释
疑 难
C．5
D．2
)课
时 分 层 作 业
·
返 首 页
第十四页，共五十五页。
·
情
课
境
堂
导
小
学
结
·
探 新
(2)(一题两空)某运动员投篮命中率为 p＝0.6，则
提 素
知
养
①投篮 1 次时命中次数 X 的数学期望为________；
探
课 时
究
释 疑
可知 X～B300，13，∴E(X)＝300×13＝100.]
分 层 作 业
难
·
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第十九页，共五十五页。
·
情
离散(lísàn)型随机变量均值的性质
课
境
堂
导
小
学
结
·
探 新
【例 2】 已知随机变量 X 的分布列为
提 素
知
养
X －2 －1 0 1 2
合
作 探 究
P
1 4
1 3
1 5
提 素
知
养
奇数”的对立事件的概率；(2)先求出 ξ 的取值及每个取值的概率，
合
作
课
探 然后求其分布列和均值．
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
·
返 首 页
第二十七页，共五十五页。
情
[解] 只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事 课
境
堂
导 学
件数．
小 结
·
·
探 新
(1)设
A
表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则 A 表示
合
情境
导学
探新
知
素 养
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
·
返 首 页
第三页，共五十五页。
·
情
课
境
堂
导
小
学
结
·
探
提
新
素
知
养
某商场要将单价分别为 18 元/kg,24 元/kg,36 元/kg 的三种糖果按
合
作
课
探 3∶2∶1 的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？
究
时 分
层
释
作
疑
业
难
·
返 首 页
第四页，共五十五页。
n
1 12
课 时 分
层
释
疑
1
1
1
1
难
A.3
B.4
C.6
D.8
作 业
·
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第二十四页，共五十五页。
A [因为 η＝12ξ＋7，则 E(η)＝12E(ξ)＋7，
情 境 导
即 E(η)＝121×14＋2×m＋3×n＋4×112＋7＝34.
课 堂 小
学
结
·
探 新 知
所以 2m＋3n＝53，①
提 素 养
合
作
课
探
②重复 5 次投篮时，命中次数 Y 的数学期望为________．
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
·
返 首 页
第十五页，共五十五页。
·
(1)A (2)①0.6 ②3 [(1)设白球 x 个，则取出的 2 个球中所含
情
课
境 导 学
白球个数为 ξ～H(7,2，x), E(ξ)＝27x＝67，∴x＝3.故选 A.
情 境
1．均值或数学期望
课 堂
导
小
学
(1)定义：一般地，如果离散型随机变量 X 的分布列如下表所示． 结
·
探
提
新 知
X x1 x2 … xk … xn
素 养
·
·
合 作
P p1 p2 … pk … pn
课
探 究
则称
时 分
释 疑
E(X)＝ x1p1＋x2p2＋…＋xnpn
n
＝ ∑ i＝1xipi
层
为离散型随机变量 X
提 素
知
养
“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得
合
作 探 究
P(A)＝1－P( A )＝1－CC2623
课 时 分 层
释
作
疑 难
＝1－15＝45.
业
·
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第二十八页，共五十五页。
(2)ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,4，且
情 境 导 学
P(ξ＝0)＝C526＝13，P(ξ＝1)＝C426＝145，P(ξ＝2)＝C326＝15，P(ξ＝3)
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第十七页，共五十五页。
·
情
课
境 导
[跟进训练]
堂 小
学
结
·
探
1．(1)篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分，不命中得 0 提
新
素
知
养
分．已知他命中的概率为 0.8，则罚球一次得分 X 的期望是________．
合
作 探 究
(2)设离散型随机变量 X 的分布列为 P(X＝k)＝Ck300·13k·23300－k(k
课
探
时
究 对应的概率相等，再由定义法求得 Eξ.
分 层
释
作
疑
业
难
·
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第二十三页，共五十五页。
·
情
[跟进训练]
课
境
堂
导
2．已知随机变量 ξ 和 η，其中 η＝12ξ＋7，且 E(η)＝34，若 ξ 的 小
学
结
·
探 新
分布列如下表，则 m 的值为(
)
提 素
知
养
ξ123 4
合
作 探 究
P
1 4
m
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
·
返 首 页
第十一页，共五十五页。
·
情
课
境
堂
导 学
探
4．(一题两空)若随机变量 X 服从二项分布 B4，13，则 E(X)的值
·
小 结
提
新
素
知 为________；若随机变量 Y～H(10,3,5)，则 E(Y)＝________.
养
合
作
课
探 究
释
4 3
3 2
[E(X)＝np＝4×13＝43，E(Y)＝3× 105＝32.]
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
课 堂
导
小
学
(1)随机变量 X 的数学期望 E(X)是个变量，其随 X 的变化而变化． 结
·
探
提
新 知
(
)
素 养
合
(2)随机变量的均值反映样本的平均水平．
()
作
课
探 究
(3)若随机变量 X 的数学期望 E(X)＝2，则 E(2X)＝4. (
时
)分
层
释 疑 难
m
1 20
课 时 分
层
释
疑
若 Y＝－2X，则 E(Y)＝________.
作 业
难
·
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第二十页，共五十五页。
情 境
17 15
[由随机变量分布列的性质，得
课 堂
导
小
学
结
探 新
14＋13＋15＋m＋210＝1，解得 m＝16，
·
提 素
知
养
·
合 作
∴E(X)＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×210＝－3107.
课
探 究
释
此
n
次试验中，X
出现的平均值等于p1nx1＋p2nx2n＋…＋pnnxn＝E(X)．
时 分 层 作
疑
业
难
故 E(X)＝p1x1＋p2x2＋…＋pnxn.
·
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第七页，共五十五页。
·
情 境
2．两点分布、二项分布及超几何分布的均值
课 堂
导 学
(1)若随机变量 X 服从参数为 p 的两点分布，则 E(X)＝ p .
重分析概率的相关知识． 返 首 页
情
课
境
常见的三种分布的均值
堂
导
小
学
结
探
1．设 p 为一次试验中成功的概率，则
·
提
新
素
知
(1)两点分布 E(X)＝p；
养
·
·
合 作
(2)二项分布 E(X)＝np.
课
探
时
究
释 疑
2．超几何分布 E(X)＝nNM，其中 X～H(N，n，M)．
分 层 作 业
难
熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度．
情
课
境
求离散型随机变量 ξ 的数学期望的步骤
堂
导
小
学
(1)根据 ξ 的实际意义，写出 ξ 的全部取值．
·
结
探
提
新
素
知
(2)求出 ξ 的每个值的概率．
养
·
·
合
(3)写出 ξ 的分布列．
作
课
探
时
究
(4)利用定义求出数学期望．
分 层
释
作
疑 难
其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注 业
知
养
各单位的演出顺序(序号为 1,2，…，6)，求：
合
作
课
探
(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
究
时 分
层
释
(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数 ξ 的分布列与均值．
作
疑
业
难
·
返 首 页
第二十六页，共五十五页。
·
情
课
境
堂
导
小
学
结
·
探 新
[思路点拨]
(1)可先求“甲乙两单位的演出序号至少有一个为
作 业
难
的均值或数学期望(简称为期望)．
返 首 页
第五页，共五十五页。
·
情
课
境
堂
导
小
学
结
·
探 新
(2)意义：它刻画了 X 的 ． 平均(píngjūn)取值
提 素
知
养
(3)性质：若 X 与 Y 都是随机变量，且 Y＝ax＋b(a≠0)，
合
作 探
则 E(Y)＝ aE(x)＋b .
究
课 时 分
层
释
作
疑
课 堂 小 结
·
·
探 新 知
＝C226＝125，P(ξ＝4)＝C126＝115.
提 素 养
·
合
从而知 ξ 的分布列为
作
课
探
ξ0 1 2 3 4
时
究
分
释 疑
P
1 3
4 15
1 5
2 15
1 15
层 作 业
难
所以 E(ξ)＝0×13＋1×145＋2×15＋3×125＋4×115＝43.
返
首
页
第二十九页，共五十五页。
第四章 概率 与统计 (gàilǜ)
4.2 随机变量 4.2.4 随机变量的数字(shùzì)特征
第1课时 离散型随机变量的均值
第一页，共五十五页。
学习目标
核心素养
·
情 境
1．理解离散型随机变量的均值的
课 堂
导
小
学 意义和性质，会根据离散型随机变
结
·
探
新 知
量的分布列求出均值．(重点)
1．通过学习离散型随机变量的均 提 素
堂 小 结
·
探 新
(2)①投篮 1 次，命中次数 X 的分布列如下表：
提 素
知
养
X0 1
合
作 探
P 0.4 0.6
课 时
究 释
则 E(X)＝0.6.
分 层 作
疑 难
②由题意，重复 5 次投篮，命中的次数 Y 服从二项分布，即 Y～ 业
·
B(5,0.6)，则 E(Y)＝np＝5×0.6＝3.]
返
首
页
第十六页，共五十五页。
课 时 分 层
释
作
疑 难
＝0,1,2，…，300)，则 E(X)＝________.
业
·
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第十八页，共五十五页。
·
情
课
境
堂
导 学
(1)0.8
(2)100
[(1)因为 P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以 E(X)
小 结
·
探 新
＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.
提 素
知
养
合 作
(2)由 P(X＝k)＝Ck300·13k·23300－k，
(4)随机变量 X 的均值 E(X)＝x1＋x2＋n …＋xn.
作
( )业
·
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
返 首
页
第九页，共五十五页。
情
2．若随机变量 X 的分布列为
课
境
堂
导 学
X －1 0 1
小 结
·
探
提
新 知
P
1 2
11 63
素 养
·
·
合 作
则 E(X)＝( )
课
探
时
究
释
A．0
课
探
时
究
由 Y＝－2X，得 E(Y)＝－2E(X)，
分 层
释
作
疑 难
即 E(Y)＝－2×－1370＝1175.]
业
·
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第二十一页，共五十五页。
·
情
课
境
堂
导
小
学
结
探 新
(变结论)本例条件不变，若
ξ＝aX＋3，且
E(ξ)＝－121，求
a
的值．
·
提 素
知
养
合 作
[解] E(ξ)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－3107a＋3＝－121，
业
难
·
返 首 页
第六页，共五十五页。
情
拓展：随机变量的均值公式与加权平均数的联系
课
境
堂
导
小
学
加权平均数，假设随机试验进行了 n 次，根据 X 的概率分布， 结
·
探
提
新 知
在 n 次试验中，x1 出现了 p1n 次，x2 出现了 p2n 次，…，xn 出现了 pnn
素的总次数为 p1nx1＋p2nx2＋…＋pnnxn.因