郧西县四中八年级数学上册第15章轴对称图形与等腰三角形15.3等腰三角形第1课时等腰三角形的性质教

15.3 等腰三角形

第1课时等腰三角形的性质

【知识与技能】

进一步认识等腰三角形的定义和性质.

【过程与方法】

通过观察、操作、想象、推理和交流活动，理解等腰三角形“三线合一”等有关性质、提高几何推理意识.

【情感与态度】

通过对问题的发现和解决，培养学生合作精神，树立学好教学的信心，形成有条理的表达.

【教学重点】

重点是掌握等腰三角形的性质.

【教学难点】

难点是对等腰三角形“三线合一”的理解.

一、回顾交流、操作感知

1.教师用如图所示的三角形.

【教学说明】在图所示的三种三角形有什么特殊性呢？是怎样的从属关系呢？

学生活动：思考后回答，等腰三角形有两个边是相等的叫做腰，不等的边叫做底；等边三角形的三条边都相等，它是等腰三角形的特例；而等腰三角形是三角形家族中的成员之一.

如图所示：

【教学说明】让学生认清等腰三角形的有关名词.

学生活动：指出图中的边、角的名称，温故知新.

2.操作探究

教师叙述：请同学们把一张长方形的纸对折，剪去一个角，再把它展开，得到的三角形有什么特征呢？

学生活动：拿出事先准备好的纸和剪刀，动手剪，然后观察得出结论：“剪刀剪过的两条边是相等的.”

师生共识：上面剪出的等腰三角形是轴对称图形.

【教学说明】要求学生把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角，填入下表：

重合的线段重合的角

你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.

学生活动：发现问题，如图甲所示，重合的线段是AB=AC，BD=CD，底边上的高、顶角的平分线、底边上的中线重合，重合的角是∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°；等边三角形如图乙所示，根据三角形三边相等的概念，得出∠A=∠B=∠C，再由三角形内角和等于180°，得∠A=∠B=∠C=60°.

师生共识

性质1：等腰三角形两个底角相等，简称“等边对等角”.

性质2：等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边.

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高线三线合一.

推论：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°.

学生活动：运用全等三角形证明上述性质.

二、范例学习，应用所学

例1 如图所示，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD＝BC=AD，求△ABC各角的度数.

【分析】首先应用等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，再运用三角形内角和定理求解∠A=36°，∠ABC=∠C=72°，这里可以运用代数的方法列式求解方程.

学生活动:参与教师分析，发表自己的见解，尝试用不同的方法求解，如设∠A=x°，而后把问题转化成代数形式，再解.（解略）

例 2 如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E是底边上两点，且BD=AD，CE=AE，求∠DAE的度数.

【分析】先由AB=AC，得到∠B=∠C=30°，再根据BD=AD，推出∠BAD=∠B=30°，同样，可以利用等腰三角形的性质求出∠CAE＝∠C=30°，最后求出∠DAE=∠BAC―∠BAD―∠CAE=60°.

学生活动：参与教师分析，理解等腰三角形的应用方法.

【教学说明】增加补充例题，目的是拓展学生的思维.

三、随堂练习，巩固深化

1.课本第134页练习第1、2、3题.

2.探研时空

已知：如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BD是角平分线，DE⊥BC于E，若BC=10cm，求△DEC的周长.

解：∵△ABC为等腰三角形，且∠A＝90°，

∴AB=AC,∠ABC=∠C=45°,

∵DE⊥BC,∴∠DEB=90°,

∵DB是∠ADE平分线，

∴∠BDA=∠BDE.

在△ADB与△BDE中,

∵

90,

,

.

A DEB

BDA BDE BD BD

∠=∠=︒∠=∠

=

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

∴△BDA≌△BDE(AAS).

∴BA=BE,DA=DE.

∵△DEC的周长＝DE+DC+EC=AD+DC+EC=AC+EC=EB+EC=BC, ∴△DEC的周长为10cm.

四、师生互动，课堂小结

（1）等腰三角形有哪些性质？

（2）你对本节课中等腰三角形与轴对称概念的联系有何体会？

1.课本第136页练习第1、2、3题.

2.完成练习册中的相应作业.

本节设计了“回顾交流,操作感知——范例学习，应用所学——随堂练习，巩固深化——师生互动，课堂小结”四个环节，使学生进一步认识等腰三角形的定义和性质，通过对问题的发现和解决，培养学生的合作精神，树立学好数学的信心，形成有条理的表达.

第2课时角平分线的性质

【知识与技能】

探索角平分线的性质定理.

【过程与方法】

通过探索角平分线定理的过程，体会这个定理的作用，增强几何空间意识.

【情感与态度】

培养良好的逻辑思维能力，感悟逻辑推理在现实生活中的应用价值.

【教学重点】

重点是掌握角平分线的性质定理.

【教学难点】

难点是运用角平分线定理简化证明线段相等的问题.

一、导入新知

课堂活动：教师在黑板上演示怎样做一个已知角的平分线，要求学生与教师同步操作，在完成课本图的图形后，提出思考问题.

问题思索：

1.为什么所做的OP，就是∠AOB的平分线呢？

2.如图，OP是∠AOB的平分线，P是OP上的任一点，过点P分别作PC⊥OA，PD⊥OB，C，D是垂足，根据你学过的知识，从图中你们得到哪些结论？写出这个问题的已知、求证，并给出证明.

学生活动：讨论、分析，写出已知、求证，并证明如下.

已知：如图所示，OP平分∠BOA，PD⊥OB，垂足为D，PC⊥OA，垂足为C.

求证：PD=PC

【证明】∵OP平分∠AOB.（已知）

∴∠AOP=∠BOP（角平分线定义）

又∵PC⊥OA,PD⊥OB,(已知)

∴∠PCO=∠PDO=90°.（垂直的定义）

在△PCO和△PDO中,