任意角

Y
| 90
2k 180 , k Z


O
X
S2 | 270 k 360 , k Z
| 90 180 k 360 , k Z




| 90 180 2k 180 , k Z
B
-300
C
900 600
AOC = AOB + BOC
= 900 + (-300)
=
A 600
O
各角和的旋转量等于各角旋转量的和.
为进一步研究角的需要，常在直角坐标系内讨论角： 我们使角α的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合， 2.象限角：
角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负 (1)概念: 半轴重合，角的终边在第几象限，则这个角 就是第几象限的角
0
注：终边相同的角不一定相等，终边相等的角有无数 多个，它们相差3600的整数倍.
1．角的分类 （一起口答） • (1)正角：按 逆时针 方向旋转形成的角； • (2)负角：按 顺时针 方向旋转形成的角； • (3) 零角：射线没有作任何旋转，称为形 成一个零角． 2．终边相同的角：所有与角α终边相同的 角，连同角α在内，可构成一个集合：S ＝ ． {β|β＝k·360°＋α， k ∈Z}
③第二象限的角一定比第一象限的角大吗？
☆象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.
思考4:在直角坐标系中，与135°角的终边相同的角有多 少个呢？这些角之间存在什么内在联系？
， 585， 225， 135， 495， 855，
这些角与135°在数量上相差多少度？
→终边相同的角，度数相差360°的整数倍

| 90 （2k 1 ） 180 , k Z


S＝S1 S2 | 90 n 180 , n Z
写出终边在Y轴上的角的集合
S1 | 90 k 360 , k Z

| 90
可用集合S={α|α=135°+ k· 360°, k∈Z}来表示所有与135°的角终边相同 的角： …… 当k=0时，α表示135°的角； 当k=1时，α表示495°的角； 当k= -1时，α表示－225°的角； ……
y
x o
思考5
一般地，所有与角 终边相同的角，连同角 在内所构成 的集合S可以表示为：
356 46,3 14,363 14
练习1:
(1).把 1485 化成k 360 0 360 , k Z
0 0 0 0
的形式是

0 0
A. 4 360 45
0
B. 4 360 315
0
0
C. 10 360 315
0
D. 5 360 315
终边落在坐标轴上，该角不属于任何 (2)轴线角: 象限
练1：-50°，405°，210°, -200°， - 450°分别是第 几象限的角？
y y 210° x o －50° o 405° y y
x
o
x
y
x o －200° o
x
－450°
画图表示一个大小一定的角： 先画一条射线作为角的始边（在直角坐 标系中，以x轴正半轴为始边）， 再由角的正负确定角的旋转方向， 再由角的绝对值大小确定角的旋转量， 最后画出角的终边，并用带箭头的螺旋 线加以标注.
小结
1.任意角的概念；
(1)按逆时针方向旋转形成的角叫做正角; (2)按顺时针方向旋转形成的角叫做负角;
(3)若射线没有作任何旋转, 则形成零角.
2.象限角； (1)角的终边在第几象限, 就说这个角是第几象限角; (2)角的终边在坐标轴上, 就说这个角不属于任何象限. 3.终边相同的角； S
| k 360 , k Z
初中角的概念:
顶点
O
B
角的边
A
把公共端点的两条射线组成的图形叫做角.
角还可以看成平面内一条射线
绕着端点从一个位置旋转到另一个 位置所成的图形．
问题提出 1.角是平面几何中的一个基本图形，角是可以度量大小围:[00,3600].
╭╮ ● 平角 ● 周角
o o
o o
（2）终边落在y轴的非正半轴上的角的集合
270 k 360 ， k Z} 90 k 360 ， k Z}
o o
o o
o o o o
（3）终边落在y轴上的角的集合
90 k 180 ， k Z} 90 k 180 ， k Z}
| 45 2k 180 , k Z



| 45 （2k 1 ） 180 , k Z
| 45 n 180 , n Z




例3、
（1）终边落在y轴的非负半轴上的角的集合
90 k 360 ， k Z} 270 k 360 ， k Z}
练习1：

180 180 的角的集合.

k为整数 k=-3,-2,-1,0,1,2.
分别代入 5 k 60 得满足条件的 集合为

{175 , 115 , 55 ,5 ,65 ,125 }






例2.如果角的终边经过点M (1, 3), 试写出角的 集合S,并求出S中最大的负角和绝对值最小的角. 解 : 关键是求出0 到360 范围内的角
3.终边相同的角
即任一与 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个 周角的和.
注3：
S | k 360 , k Z
0
(1) 为任意角 (2) k Z 这一条件必不可少； (3) 终边相同的角不一定相等，
终边相等的角有无数多个，它们相差3600的整数倍.
例1 在 0


写出终边在直线Y=X上的角的集合
S＝S1 S2
| 45 k 360 , k Z | 225 k 360 , k Z

| 45



2k 180 , k Z

| 45 180 2k 180 , k Z
(2) 已知角 终边与 50 角终边互相垂直, 求角的集合N
解： (1) 230 与 50 的终边关于y轴对称
M { 230 k 360 , k Z }

(2) 50 90 与 50 角终边互相垂直
N { 50 90 k 360 , k Z }
0
0
思考5:集合M={α|α=495°+ k· 360°, k∈Z} 与集合N={α|α=135°+ k· 360°, k∈Z}等价么？ y
集合M={α|α=495°+ k· 360°, k∈Z} 和 集合N={α|α=135°+ k· 360°, k∈Z} 都 表示所有与135°的角终边相同的角： 对集合N， …… 当k=0时，表示135°的角； 当k=1时，表示495°的角； 当k=-1时，表示－225°的角； ……

终边在直线Y=X上的角的集合
2k 180 , k Z

Y
S2 | 270 k 360 , k Z
| 90 180 k 360 , k Z



O
X

S1
| 90 180 2k 180 , k Z
练2： ①准确区分“锐角”和“第一象限角”，“钝角”和“第二象限角” 锐角是第一象限角，钝角是第二象限角;反之不然. ②准确区分： 锐角： 0 90
0 ~ 90的角： 0 90 小于90的角： 90 （包括负角）
问：集合M={小于90°的角}， N={锐角}的关系如何？ N Ø M
x o
对集合M， …… 当k=-1时，表示135°的角； 当k=0时，表示495°的角； 当k=1时，表示－225°的角； ……
思考4
二．应用举例
例1. 如果6 与30 角的终边相同, 求适合不等式

解 :由题意得 6 =30 k 360 (k Z ) 180 180 5 k 60 37 35 k 180 5 k 60 180 12 12
360 范围内，找出与950 12' 角终边相同的
950 12' 129 48' 3 360
角，并判断它是第几象限角.
练1 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在
360 720 的角写出来.
(1)60 ; (2) 21 ; (3)363 14
300 ,60 ,420 解: (1) S { | k 360 60 , k Z } (2) S { | k 360 21 , k Z } 21 ,339 ,699 (3) S { | k 360 363 14, k Z }
● 锐角
● 直角
● 钝角
生活中实例： 体操运动员转体720º ， 跳水运动员向内、向外转体1080º ； 扳手拧螺母； 这些例子不仅不在范围[0º , 360º ] 因此仅有0°～360°范围内的角是不够的，我们必须将 角的概念进行推广.
1.任意角的概念 (1)定义：平面内一条射线绕着其端点从一个位置旋转到 另一个位置所组成的图形，叫做角. 其中，射线的起始位置叫做角的始边； 射线的终止位置叫做角的终边； 射线的端点叫做角的顶点. 在不引起混淆的情况下，角 或∠ ，可简记成 ； 注1：角的四个“要素”是：顶点、始边、终边和旋转方 B 向. α O
注2：①角度的范围不再限于00~3600 ； ②确定任意角的度数要抓住旋转方向 及旋转圈数； ③当角的始边相同时，角相等则终边 相同，但终边相同的角不一定相等.
α O A
④引入正、负角的概念后，角的加减运算类似于实数的加减运算.
练习
射线OA绕端点O旋转900到射线OB,接
着再旋转-300到OC求角AOC.

| 45 k 360 , k Z

S2
| 90 （2k 1 ） 180 , k Z



| 225 k 360 , k Z
S＝S1 S2
| 90 n 180 , n Z
A
1.正角、负角、零角
正角： 按逆时针方向旋转所形成的角
负角： 按顺时针方向旋转所形成的角
零角： 射线没做任何旋转
记法：角 或 ，可简记为 逆时针 顺时针
注意： 1：角的正负由旋转方向决定 2：角可以任意大小，绝对值大小 由旋转次数及终边位置决定
1.任意角的概念
(2)角的分类，规定： ①按逆时针方向旋转形成的角叫做正角; ②按顺时针方向旋转形成的角叫做负角; ③若一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角. B
（独立完成后举手回答）
3、在0°～360°范围内找出与下列各角终边相 同的角，并判定它们是第几象限角． ①－120° ② 640° 4、若α是第二象限角，则180°＋α是( ) • A．第一象限角 B．第二象限角 • C．第三象限角 D．第四象限角 • [答案] D
写出终边在Y轴上的角的集合
S1 | 90 k 360 , k Z
在0 到360 范围内由几何方法可求得 , 60
S { 60 k 360 , k Z }

其中最大负角为 300 (k 1)
绝对值最小的角为60 (k 0)


例3 (1) 已知角 终边与 50 角终边关于y轴对称

求角的集合M